VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STAVEBNÍ ÚSTAV VODNÍCH STAVEB FACULTY OF CIVIL ENGINEERING INSTITUTE OF WATER STRUCTURES NUMERICKÉ MODELOVÁNÍ HYDRAULICKÝCH ZTRÁT V POTRUBÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR'S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR Ea Kacálkoá BRNO 014

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STAVEBNÍ ÚSTAV VODNÍCH STAVEB FACULTY OF CIVIL ENGINEERING INSTITUTE OF WATER STRUCTURES NUMERICKÉ MODELOVÁNÍ HYDRAULICKÝCH ZTRÁT V POTRUBÍ NUMERICAL MODELLING OF ENERGY LOSSES IN PIPES BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR'S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR EVA KACÁLKOVÁ doc. Ing. JAN JANDORA, Ph.D. BRNO 014

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Studijní program Tp studijního programu Studijní obor Pracoiště B3607 Staební inženýrstí Bakalářský studijní program s prezenční formou studia 3647R015 Vodní hospodářstí a odní stab Ústa odních staeb ZADÁNÍ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE Student Ea Kacálkoá Náze Vedoucí bakalářské práce Datum zadání bakalářské práce Datum odezdání bakalářské práce V Brně dne 30. 11. 013 Numerické modeloání hdraulických ztrát potrubí doc. Ing. Jan Jandora, Ph.D. 30. 11. 013 30. 5. 014...... prof. Ing. Jan Šulc, CSc. Vedoucí ústau prof. Ing. Rostisla Drochtka, CSc., MBA Děkan Fakult staební VUT

Podklad a literatura BOOR, B., KUNŠTÁTSKÝ, J., PATOČKA, C. 1968. Hdraulika pro odohospodářské stab. SNTL, Praha. ČIHÁK, F., VALENTA, P., VANĚČEK, S., ZEMAN, E. 1991. Automatizace inženýrských úloh. ČVUT, Praha. KOLÁŘ, V., PATOČKA, C., BÉM, J. 1983. Hdraulika. SNTL/ALFA, Praha. RODI, W. 1980. Turbulence models and their application in hdraulics. International Association for hdraulic research, state-of-the-art paper, Delft. JANDORA, J. 008. Matematické modeloání e odním hospodářstí. VUT Brně. ŘÍHA, J., a kol. 1997. Matematické modeloání hdrodnamických a disperzních jeů. VUT Brně. Zásad pro pracoání V práci bude proedena rešerše literatur týkající se problému ztrát od potrubí. Poté bude následoat lastní numerického modeloání ztrát od potrubí. K řešení bude použito dostupných programů na Ústau odních staeb. Dále bude uedeno poronání numerického a fzikálního modeloání proudění od potrubí. Práce bude obsahoat: - Úod - Ztrát od potrubí - Matematické a numerické modeloání proudění od - Výsledk řešení - Záěr Předepsané příloh... doc. Ing. Jan Jandora, Ph.D. Vedoucí bakalářské práce

Abstrakt Předložená bakalářská práce se zabýá numerickým modeloáním hdraulických ztrát potrubí e D. Ukazuje postup torb matematického modelu, použíané matematické ronice a numerické metod jejich řešení. V praktické části je teorie užita na torbu modelu potrubí a jeho hdraulických ztrát. Abstract The bachelor s thesis deals with numerical modelling of energ losses in pipes in D. It shows the process of creation of mathematical model, used mathematical equations and numerical methods of their solution. The theor is applied on the creation of pipe model and their energ losses. Klíčoá sloa Potrubí, numerické modeloání, ztrát. Ke words Pipes, numerical modelling, energ losses.

Bibliografická citace VŠKP Ea Kacálkoá. Brno, 014. 58 s. Bakalářská práce. Vsoké učení technické Brně, Fakulta staební, Ústa odních staeb. Vedoucí práce doc. Ing. Jan Jandora, Ph.D.

Prohlášení: Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci zpracoala samostatně a že jsem uedla šechn použité informační zdroje. V Brně dne 30.5.014 podpis autora Ea Kacálkoá

PODĚKOVÁNÍ Ráda bch poděkoala šem, kteří mi přispěli sým přístupem a posktli cenné informace pro pracoání záěrečné práce, zláště doc.ing Janu Jandoroi, Ph.D. za edení práce a Ing. Daidu Duchanoi, Ph.D. za pomoc při práci s počítačoými program.

OBSAH 1 ÚVOD...3 USTÁLENÉ TLAKOVÉ PROUDĚNÍ VODY V POTRUBÍ...4.1 Ztrát mechanické energie...4. Laminární a turbulentní proudění...6.3 Ztrát třením...7.3.1 Součinitel tření...8.4 Místní ztrát... 10.4.1 Náhlé rozšíření průřezu... 11.4. Kónické rozšíření průřezu... 1.4.3 Náhlé zúžení průřezu... 1.4.4 Kónické zúžení průřezu... 13 3 MODELOVÁNÍ IZOTERMICKÉHO USTÁLENÉHO POHYBU NESTLAČITELNÉ KAPALINY... 14 3.1 Matematická formulace proudění e D... 15 3.1.1 Naier-Stokeso ronice a ronice spojitosti e D... 15 3.1. Renoldso ronice a ronice spojitosti e D... 15 3.1.3 k-ε model e D... 16 3. Okrajoé podmínk... 16 3..1 Stěnoá podmínka... 16 3.. Smetrická okrajoá podmínka... 17 3.3 Formulace problému turbulentního proudění nestlačitelné kapalin e 3D s turbulentním k-ε modelem... 17 3.4 Numerické řešení metoda konečných prků... 18 3.5 Postup při numerickém modeloání... 19 3.5.1 Pre-processing... 19 3.5. Solution (řešení)... 1 3.5.3 Post-processing... 1 4 PRAKTICKÁ APLIKACE... 4.1 Matematické řešení problému... 4.1.1 Náhlé zúžení... 4.1. Náhlé rozšíření... 35 4.1.3 Kónické zúžení... 39 4.1.4 Kónické rozšíření... 4 1

4. Fzikální modeloání... 46 4..1 Náhlé zúžení... 46 4.. Náhlé rozšíření... 48 5 VÝSLEDKY... 50 6 ZÁVĚR... 54 7 POUŽITÁ LITERATURA... 55 8 SEZNAM TABULEK... 56 9 SEZNAM OBRÁZKŮ... 57

1 ÚVOD Moderních metod matematického modeloání je posledních letech užíáno mnoha odětích lidské činnosti. Může za to značný rozoj ýpočetní technik, a to zejména její zšující se ýpočetní ýkonnost. Cílem této práce je numerické modeloání proudění od potrubí, určení součinitelů místních ztrát a součinitelů ztrát třením po délce z numerických modelů a jejich poronání s hodnotami uedenými literatuře a dále hodnotami získanými fzikálním modeloáním. Teoretická část prní části uádí jednotliá potrubí, jejich geometrii a součinitele ztrát, a to jak součinitele ztrát místních, tak i ztrát třením po délce. Dále zde budou ueden ronice pro fzikální ýpočet ztrát potrubí. V další části je uedena matematická formulace proudění od a numerické modeloání programu ANSYS. Praktická část práce je rozdělena do několika částí. V prní části je předstaen program ANSYS a nastíněn postup jednotliých kroků modeloání potrubí. V následující části je potom lastní numerické modeloání a prezentoání ýsledků získaných ýpočtem. V záěrečné praktické části je ýpočet hodnot součinitelů místních ztrát a součinitelů ztrát třením po délce z fzikálního modeloání ztrát od hdraulické laboratoři. V záěru práce jsou ueden ýsledk matematického modeloání, které jsou poronán s hodnotami uáděnými literatuře a také hodnotami určenými laboratoři. 3

USTÁLENÉ TLAKOVÉ PROUDĚNÍ VODY V POTRUBÍ Při proudění od potrubí znikají ztrát mechanické energie. Potrubím tomto případě rozumíme zařízení na doprau kapalin [1]. Podle záislosti eličin tekutin na čase můžeme proudění rozdělit na ustálené (stacionární) a neustálené (nestacionární). Při ustáleném (stacionárním) proudění jsou eličin kapalin daném místě kapalin na čase nezáislé. Např. rchlost proudění kapalin daném bodě se čase nemění. Při neustáleném (nestacionárním) proudění jsou eličin kapalin daném místě kapalin na čase záislé. Např. rchlost proudění kapalin daném bodě se může měnit čase []. Při tlakoém proudění je zde dominantní li tlakoého gradientu a nezáleží na sklonu potrubí. Tpické příklad tlakoého proudění jsou například spodní ýpusti přehrad, nebo proudění pitné od e odárenských soustaách [3]. Dle hdraulického hlediska dělíme potrubí na: - tlakoé potrubí (odoodní potrubí, tlakoé přiaděče, zálahoá potrubí, ); - potrubí s olnou hladinou (kanalizační stok, drenážní potrubí, beztlakoé přiaděče ), které se hdraulick nijak neliší od oteřených kort, a proto i jejich ýpočet bude stejný [1]..1 ZTRÁTY MECHANICKÉ ENERGIE V prai se nejíce osědčilo použíání potrubí kruhoého průřezu, protože dobře odoláá nitřnímu přetlaku, je hdraulick nejýhodnější a i po stránce ýrobní je nejjednodušší. Ztrát mechanické energie rozeznááme podstatě da druh [1]. Ztráta třením zniká celé délce proudu třením mezi jednotliými rstami azké kapalin a třením kapalin o pené stěn edení proudu. Ztráta třením je ted úměrná délce proudu. Místní ztrát znikají deformací rchlostního pole (rozložení ektoru bodoé rchlosti napříč profilem), ted např. rozšířením nebo zúžením proudu. Při proudění kapalin takoými míst znikne hlaní proud, jehož mezení od ostatní kapalin býá často nestabilní. Stkem se sousedními pomalejšími částicemi zniká snadno íroá plocha. Vazkostí a deformací proudu se pohb zniklých írů brzdí a část mechanické energie přechází jinou. Tato disipace části mechanické energie je lastní podstatou místních ztrát, ačkoli zde samozřejmě přistupuje i tření [1]. Ztrát můžeme jádřit z Bernoulliho ronice proudu skutečné kapalin p g g p g g 1 1 = h h z (.1) h po úpraě pak: p1 1 1 p h z h1 h (.) g g g g 4

Celkoou ztrátu h z dostaneme složením jednotliých ztrát, jež se proede sečtením. Dopustíme se tím šak jisté nepřesnosti, poněadž změna proudění způsobená místním odporem jednom místě může olinit elikost místních odporů dalším úseku. Bude ted přibližně platit: h z = h t h m, (.3) Kde h t je součet šech ztrát třením na uažoaném úseku a h m součet šech ztrát místních. Velikost ztrát určujeme z měření, a to za ustáleného pohbu z (.1) změřením rozdílů geodetických ýšek (h - h 1 ), tlakoých (piezometrických) ýšek a rchlostních ýšek 1 g p1 p g na začátku a konci příslušného úseku. Na odoroném potrubí stálého průřezu bude ztrátoá ýška dána rozdílem tlakoých ýšek ( 1 = a h 1 = h ): p1 p p hz =. (.4) g g Ztráta třením a místní ztráta se obkle jadřují jako část rchlostní ýšk e taru: 1 hz =, (.5) g kde je součinitel příslušné ztrát [1]. Obr. 1 Ronoměrný pohb kapalin [1] 5

. LAMINÁRNÍ A TURBULENTNÍ PROUDĚNÍ Při proudění azkých tekutin znikají odpor, které jsou podstatně oliněn strukturou pohbu jednotliých částic. Renoldsem blo eperimentálně prokázáno, že eistují da režim pohbu: - laminární (neboli rstenaté, z lat. lamina = rsta); - turbulentní (čili írnaté, z lat. turbulentus = nespořádaný). Při laminárním režimu proudění jednotlié částice procházejí drahách souběžných a mezi sebou se nemísí. Turbulentní režim proudění se značuje nepraidelnou pulsací složek rchlosti a tlaku kolem jejich střední hodnot. Částice se nazájem mísí [1]. Obr. Laminární proudění [4] Obr. 3 Turbulentní proudění [4] Pomocí Renoldsoa kritéria můžeme určit, zda se jedná o pohb laminární či turbulentní. Dokážeme jej charakterizoat rchlostí, průměrem trubice D a kinematickou iskozitou υ, které zájemně toří bezrozměrnou eličinu [1]. D Re =. (.6) Při nízkých hodnotách Renoldsoa kritéria ( potrubí řádoě do hodnot Renoldsoa kritéria 1000), kd jsou přeládající síl azkosti, charakterizují laminární proudění. Oproti tomu přeládají-li síl setračnosti, jedná se o turbulentní proudění. Při proudění kapalin není rchlost kapalin různých místech průřezu stejná. Vrsta nejblíže u stěn je praktick klidu a rchlost ostatních rste roste směrem k ose trubice [5]. K laminárnímu proudění dochází zejména při nižších rchlostech malých průtočných průřezech nebo u silně iskózních kapalin. V průtočném profilu je rozložení rchlostí parabolické. Toto rozložení rchlosti nastáá proto, že krajní rst kapalin lpí na stěnách (mezi stěnou a kapalinou je tření teoretick nekonečně elké) a liem tření kapalině se nazájem zdržují jednotlié její rst [5]. 6

Turbulentní proudění se naopak projeuje při ětších rchlostech a částice konáají kromě posouání i složitý lastní pohb. Při ětších rchlostech začne přeládat rušiý li írů, proudění se zcela změní a proudoá lákna se začnou proplétat, zniká proudění turbulentní. Při turbulentním proudění se rozinou znatelně ír kapalině a nastáá promícháání kapalin. Rchlosti jednotliých částic se nepraidelně mění, částice nemají e šech místech stejnou rchlost co do směru a elikosti. Rchlostní profil již není parabolický jako při laminárním proudění, ale rchlost je celé nitřní části trubice přibližně stejná, krom tenké rst u stěn, níž prudce stoupá přibližně úměrně se zdáleností od stěn. Při turbulentním proudění můžeme slšet pohb od potrubí [5]. Přechodná oblast mezi laminárním a turbulentním prouděním je literatuře udáána jako Re 30. V uzařených profilech je udáána i přechodná oblast a přechod z proudění turbulentního do laminárního není tak náhlý. Tab. 1 Hodnot Renoldsoa kritéria uzařeném profilu [6] Proudění Hodnota Renoldsoa kritéria Laminární < 30 Přechodná oblast 30 4000 Turbulentní > 4000.3 ZTRÁTY TŘENÍM Výsledk měření ukazují, že hdraulický sklon i je u turbulentního proudění zhruba úměrný kadrátu průřezoé rchlosti. Zapišme tuto úměru e taru [1]: = R i = ; 1 0 g C i h z L ; = C R i ; Q A = A C R i, (.7) kde C je rchlostní součinitel dle Manninga určený zorcem: 1 1 R n 6 C, (.8) kde n je drsnostní součinitel (pro odoodní potrubí obkle n = 0,01) a R je hdraulický poloměr. Ronice (.7) je základní ronice, která udáá záislost mezi rchlostí ronoměrného proudění a hdraulickým sklonem i. Tato ronice bla půodně odozena pro oteřená korta Chézm roce 1775 a nazýá se podle autora Chézho ronice. Pro kruhoé potrubí o poloměru r a průměru D hdraulický poloměr nabýá taru [1]: A r r D R. (.9) O r 4 Úpraou (.7) obdržíme: i = 4 1 C D. 7

Zaedeme-li označení: 4, (.10) C g jádříme hdraulický sklon i a ztrátoou ýšku h z e ztahu k rchlostní ýšce a součinitel jako bezrozměrné číslo. Pak obdržíme Darc-Weisbachou záislost [1]: i = 1 L ; h z = i L, D g D g (.11) kde i hdraulický sklon [-], L délka daného úseku [m], λ součinitel tření [-], D průměr potrubí [m], rchlost kapalin [m/s], g tíhoé zrchlení [m/s ]. g Tato ronice je základní ztah pro ýpočet ztrát třením při ronoměrném proudění od [8]..3.1 Součinitel tření Součinitel tření (odporoý součinitel) λ, je podstatě záislý na drsnosti potrubí, jeho průměru a hodnotě Renoldsoa kritéria (ted na průřezoé rchlosti, průměru potrubí a azkosti kapalin). Začneme-li od nejmenších rchlostí, můžeme mezit pro součinitele tření λ několik oblastí s různými zákonitostmi: 1. laminární režim proudění, kde je λ záislá pouze na hodnotě Renoldsoa kritéria (λ =f (Re)): 64 =, (.1) Re. oblast přechodu, což je mezi koncem laminárního proudění a plně inutého turbulentního proudění, 3. turbulentní proudění hdraulick hladké potrubí turbulentním režimu, kde λ záisí ještě pouze na hodnotě Renoldsoa kritéria (λ =f (Re)). Vír znikající u ýstupků hdraulick hladkých potrubích, zůstáají při stěně unitř mezní rst, neodtrháají se od ní a tím nezšují turbulenci proudění. Tto ír ted nemají li na odpor potrubí [1]. 8

Obr. 4 Drsnost stěn a mezní rsta δ u stěn potrubí [1] Výraz pro určení součinitele tření λ jsou: dle Blasia: 0,3164 =, 0,5 Re (.13) dle Prandtloa-Kármánoa ýrazu: 1 Re = log,51, (.14) přechodná oblast ztrát třením turbulentním režimu, kde má na λ li jak Re i relatiní drsnost D - = f (Re, D ), přičemž D je průměr potrubí [1]. kadratická oblast ztrát třením turbulentním režimu s plně inutým turbulentním pohbem u hdraulick drsných potrubí. V této oblasti není záislost λ na Re a součinitel tření λ je záislý jen na relatiní drsnosti = f ( D ). Pro λ platí Nikuradsů ztah [1]: 0,5 =. (.15) 3,7 log D V celé oblasti turbulentního proudění platí pro technická potrubí Colebrook- Whiteoa ronice [1]: 1 = - log,51 Re + 3,7 D, (.16) kde je absolutní drsnost stěn. Tab. Součinitel tření λ pro odoodní potrubí (n = 0,01) [1] průměr D [mm] 50 80 100 15 150 00 50 (dle Manninga) 0,049 0,04 0,039 0,036 0,034 0,031 0,08 (dle Paloského) 0,040 0,035 0,03 0,030 0,09 0,06 0,05 průměr D [mm] 300 350 400 500 600 800 1000 (dle Manninga) 0,07 0,05 0,04 0,03 0,01 0,019 0,018 (dle Paloského) 0,04 0,03 0,0 0,00 0,019 0,018 0,017 9

Grafické znázornění Colebrook-Whiteo ronice předstauje Moodho diagram (Obr. 5), který umožňuje pro hodnot Re a D určit elikost součinitele tření λ [1]..4 MÍSTNÍ ZTRÁTY Obr. 5 Moodho diagram pro určení součinitele tření λ [1] Všude tam, kde dochází k deformaci rchlostního pole, znikají místní ztrát. Je to předeším: kde - změnou směru proudění; - tářením úplau a íroých oblastí při nedokonalém obtékání překážek proudu kapalin; - rozšířením a zúžením proudu; - dělením a spojoáním proudu; - jinými rušiými zásah. Jinými slo tto ztrát zniknou například: - při změně průřezu potrubí; - při změně směru (oblouk, kolena); - při sloučení nebo oddělení proudu (T-kus, odbočk na potrubí); - na armaturách (šoupátka, klapk, entil) atd. [1]. Místní ztrát jadřujeme dle Weisbacha e taru násobku rchlostní ýšk: h m, (.17) g průřezoá rchlost [m/s], ξ součinitel místní ztrát [-]. 10

Součinitel místní ztrát ξ (např. součinitel ztrát rozšířením průřezu, kolenem, spojením proudů, šoupětem, tokem,...) je záislý na taru singularit (geometrickém uspořádání odporu), na drsnosti stěn, na rchlostním poli, na hodnotě Renoldsoa kritéria Re, atd. Nejíce se li hodnot Renoldsoa kritéria projeuje při malých hodnotách tohoto kritéria [1]..4.1 Náhlé rozšíření průřezu Tato ztráta se nazýá ztráta Bordoa. Vzniká při napojení potrubí o ětším průměru D na potrubí s menším průměrem D 1 jednom místě (Obr. 6). Z průřezu 1 téká proud jako souislý paprsek, mísí se s okolní kapalinou a uádí ji do ířiého pohbu. Pozolna se rozšiřuje, až průřezu zaujme celý průřez A. Intenziní íření zniká koutech za rozšířením [1]. Vnější síl jsou: Obr. 6 Náhlé rozšíření [1] a) složka tíh objemu kapalin mezi průřez "1" a "": h1 h G cos g S L cos g S ( h1 h ), protože: cos ; L b) tlakoé síl: průřezu "1" jde předeším o tlak na plochu A-D a o reakci stěn ABCD, ted celkem o tlak na plochu S. V průřezu "" jde o tlak na plochu S směrem proti pohbu. V obou průřezech počítáme s rozdělením tlaků podle zákonů hdrostatik, takže tlakoou sílu působící těžišti průřezu dostaneme násobením ploch a tlaku; c) sil třením jsou na krátkém úseku rozšíření zanedbatelné [1]. Ztráta náhlým rozšířením průřezu je dána rchlostní ýškou rozdílu rchlostí obou průřezech. Výraz ododil Borda roce 1766. Z ronice spojitosti: A Q 1 A1 A 3 A3 1 (.18) A1 ted jádříme: A h mr = 1. (.19) g A 1 11

Odporoý součinitel ξ r (ztažený k rchlosti průřezu ) ted nabude tar h A D = 1 1 A1 D1 r ; (.0) mr = r. (.1) g Řešení bude e skutečnosti ještě složitější, protože do ět o hbnostech b se mělo zaádět skutečné rozdělení rchlostí před a za zúžením. Pro zmenšení ztrát je někd ýhodné narhnout rozšíření postupné, a to buď [1]: - kónické rozšíření průřezu (difuzor); - plnulé (křikoé) rozšíření (rozšíření rotační plochou); - stupňoité rozšíření..4. Kónické rozšíření průřezu Nejětší li na odpor má při kónickém rozšíření (Obr. 7 a) u daného poměru D 1 /D rcholoý úhel rozšíření a délka přechodu. Při rcholoém úhlu = 7 až 9 o nastáají minimální ztrát a maimální jsou při úhlu = 65 až 70 o. Při úhlu = 40 až 50 o je ýhodnější použití náhlého rozšíření. Vztah pro ztrátu kónickým rozšířením je dán ztahem: hmrk = rk, (.) g kde rk je součinitel ztrát kónickým rozšířením ztažený k průřezoé rchlosti, pro který platí: = -1 D1 D rk. (.3) Součinitel ( záislosti na úhlu ) je ueden Tab. 3 [1]. Tab. 3 Součinitel Ψ pro ýpočet ztrát kónickým rozšířením průřezu [1] [ o ] 6 o 8 o 10 o 1 o 14 o 16 o 0 o 5 o 30 o 40 o 60 o 90 o 180 o 0,08 0,11 0,15 0,19 0,3 0,7 0,36 0,50 0,65 0,9 1,15 1,10 1,00.4.3 Náhlé zúžení průřezu S Pro poměr ploch průřezů n = 0, 4 jsou ztrát při náhlém zúžení (Obr. 7 b) menší než při náhlém rozšíření. Ztráta při náhlém zúžení je dána ztahem: h mz = z S 1, (.4) g kde z je součinitel ztrát náhlým zúžením průřezu: 1

1 z = -1, (.5) kde součinitel zúžení záisí na poměru S n = podle ztahu [1]: S1 0,043 = 0,57 +. (.6) 1,1 - n.4.4 Kónické zúžení průřezu Ztrát při kónickém zúžení (Obr. 7 c) jsou poměrně nízké: h mzk = zk, (.7) g kde zk je součinitel ztrát kónickým zúžením ztažený k průřezoé rchlosti (Tab. 4) [1]. Tab. 4 Součinitel ztrát kónickým zúžením průřezu ξ zk 5 o 7 o 10 o 15 o 0 o 30 o 45 o 60 o 75 o zk 0,06 0,1 0,16 0,18 0,0 0,4 0,30 0,3 0,34 Obr. 7 Změn průřezu potrubí [1] 13

3 MODELOVÁNÍ IZOTERMICKÉHO USTÁLENÉHO POHYBU NESTLAČITELNÉ KAPALINY Obecně je pohb tekutin přírodě neustálený a trojrozměrný. Základní otázkou je určení rozdělení rchlostí a tlaku při pohbu tekutin e zkoumané oblasti. Při řešení běžných praktických problémů jsme odkázáni na empirické metod, ale některé důležité technické problém žadují znalost lastností turbulentního proudění. Poznatk o turbulentním pohbu se íjel jednak na základě ýsledků dosažených eperimentálními metodami a také na základě teoretických ýsledků, které do hdrodnamik zaedli koncem minulého století Renolds a Boussinesq. Nní se stále zdokonaluje půodní Renoldsoa teorie tak, ab mohla sloužit za podklad k řešení těchto problémů. Je hodné podotknout, že pro izotermické proudění jsou neznámé: ektor rchlosti = [,, z ] T [m/s]; tlak p [Pa], tj. 4 neznámé a k dispozici jsou 4 ronice (ronice kontinuit a Naier-Stokeso ronice). Je zřejmé, že soustaa je uzařena. Naier-Stokeso ronice popisující proudění kapalin jsou obecně známé íce jak 150 let. Tto ronice lze použít k tz. přímé numerické simulaci (Direct Numerical Simulation - DNS), je šak zapotřebí: dělení oblasti sítí s roztečí uzlů e zlomcích milimetru; časoý krok e zlomcích sekund; popsat počáteční podmínk a každém časoém kroku okrajoé podmínk. Z tohoto pohledu není možné použít DNS pro modeloání praktických úloh na fakultě. Proto je na řešení těchto Naier-Stokesoých ronic aplikoán statistický přístup a Naier- Stokeso ronice jsou časoě průměroán (Obr. 8). Pak tto ronice popisují azb mezi středními hodnotami rchlosti a tlaku. Při průměroání ronic se šak oteřel noý problém, počet neznámých zrostl na 8: 4 střední hodnot složek rchlosti a tlaku (,, p ); z, 4 fluktuace složek rchlosti a tlaku (,, p ), z, ale ronice zůstal 4 (1 ronice kontinuit a 3 Naier-Stokeso ronice pro střední hodnot čase, ted tz. Renoldso roncie). Sstém je ted oteřený, a lze ho uzařít pouze zaedením dalších předpokladů, které spočíají e stupu empirických hodnot [5]. 14

i (,,z,t) t f t c t Obr. 8 Časoé průměroání Naier-Stokesoých ronic [7] 3.1 MATEMATICKÁ FORMULACE PROUDĚNÍ VE D V následujících odstacích jsou ueden Naier-Stokeso ronice, ronice kontinuit, Renoldso ronice a k-ε model pro roinné proudění. Roinné proudění je aproimace obecného třídimenzionálního proudění. Tuto aproimaci lze s dostatečnou přesností použít případech, kd lze zanedbat jednu ze složek ektoru rchlosti ( tomto případě z ) [5]. 3.1.1 Naier-Stokeso ronice a ronice spojitosti e D Diferenciální ronice Naier-Stokeso jsou nejobecnější ronice pohbu azké nestlačitelné tekutin. Vjadřují pro jednotku hmotnosti protékající kapalin ztah mezi silami nějšími, tlakoými, odporoými a silami setračnými [5]. - 1 p f + ; (3.1) t - 1 p f + ; (3.) t 0. (3.3) 3.1. Renoldso ronice a ronice spojitosti e D Střední hodnot a fluktuace okamžitých složek rchlosti, okamžitého tlaku a okamžité energie jsou [5]: = ; = ; = 0 ; (3.4) = ; = ; = 0 ; (3.5) p = p p ; p = p ; p = 0 ; (3.6) 1 p f - + ; (3.7) t 15

16 ; + 1 - t p f (3.8) 0. (3.9) 3.1.3 k-ε model e D k-ε model posktuje poměrně přesné ýsledk a je jedním z nejrozšířenějších modelů turbulentního proudění. Tab. 5 Koeficient k-ε modelu [5] c c 1 c k 0,09 1,44 1,9 1,0 1,3 Tento douronicoý model užíá dou ronic, které jsou jádřen pro kinetickou turbulentní energii k a její disipaci ε [5]: = k c t ; (3.10) ; k k k k t k t t k t k t ; (3.11). 1 1 k c k c k c t t t t t (3.1) ; + 1 - t P f t t (3.13) ; + 1 - t P f t t (3.14) 3. OKRAJOVÉ PODMÍNKY 3..1 Stěnoá podmínka Na pené stěně jsou střední hodnot a fluktuační složk rchlosti ron 0. Z toho plýá, že stěna nepropouští proudící kapalinu a že na porchu stěn ulpíají částice kapalin. Naproti tomu disipace energie má na stěně konečnou nenuloou hodnotu. Zadání stěnoé podmínk žaduje integraci transportních ronic napříč iskózní podrstou, to je šak z následujících důodů neýhodné: strmé gradient rchlostí e iskózní podrstě edou k olbě elkého počtu integračních bodů této oblasti, ab se získalo uspokojié řešení;

této rstě jsou dominantní síl iskozit a neplatí tad model turbulence odozené pro soké hodnot Renoldsoa kritéria. Tuto integraci šak lze e iskózní rstě nahradit použitím dostatečně obecných empirických ztahů, které jadřují ztah sledoané eličin na stěně na hodnotách eličin ležících mimo iskózní podrstu. 3.. Smetrická okrajoá podmínka Na osách nebo roinách smetrie jsou normáloé gradient šech eličin se smetrickým rozložením nuloé. Nuloý je ted i jejich tok přes tuto hranici. 3.3 FORMULACE PROBLÉMU TURBULENTNÍHO PROUDĚNÍ NESTLAČITELNÉ KAPALINY VE 3D S TURBULENTNÍM k- MODELEM Neznámými funkcemi případě turbulentního proudění nestlačitelné kapalin s konstantní iskozitou jsou: složk časoě zprůměroaaného ektoru rchlosti [, ] T ; časoě zprůměroaaný tlak p ; turbulentní iskozita t; kinetická energie turbulence k; rchlost disipace kinetické energie turbulence. K řešení těchto 6 neznámých funkcí je zapotřebí 6 ronic, kterými jsou ronice spojitosti (3.9), Renoldso ronice (3.13) a (3.14) a ronice k- modelu (3.10) až (3.1). Předpokládá se obecně definoaná oblast s hranicí, která je sjednocením částí 1 a, = ( 1 ) a ( 1 ) = 0. Diferenciální ronice popisující proudění nestlačitelné kapalin s konstantní iskozitou jsou ueden kap. 3.1, ronice (3.9) (3.14). oblasti Koeficient k - modelu (c, c 1, c, k, ) jsou ueden tabulce 5. Počáteční podmínk jadřují známé (nebo zadané) průběh funkcí e šech bodech neužijeme. čase t = 0. V dalším budeme uažoat proudění ustálené, ted tuto podmínku Okrajoé podmínk jsou na hranici na hranici 1 zadané jako známé hodnot rchlosti a na hranici zadané jako známé hodnot tlaku. 17

Úkolem je nalézt neznámé funkce,, p, t, k a, které splňují okrajoé a počáteční podmínk a hoují ronicím (3.10) až (3.14). 3.4 NUMERICKÉ ŘEŠENÍ METODA KONEČNÝCH PRVKŮ U počátečních a okrajoých podmínek bla použita metoda konečných prků (MKP), která bla půodně inuta pro řešení úloh mechanik deformoatelných těles. Základní krok MKP lze shrnout do následujících bodů [5]: 1. Problém formuluje jako ariační.. Oblast řešení Ω se rozdělí na konečný počet podoblastí nazýaný konečnými prk. Každé da prk nemají společný žádný bod, nebo mají společný rchol nebo stranu nebo stěnu (u 3D úloh). 3. Přibližné řešení se hledá na třídě funkcí, které jsou po prcích daného dělení polnom určitého tpu a stupně (Lagrangeo resp. Hermiteo), resp. na lomené funkce (isoparametrické prk). 4. Postupem, který je MKP obklý, tj. pomocí kódoých čísel se s přihlédnutím k okrajoým podmínkám z lokálních matic jednotliých prků sestaí ýsledná matice sousta a ektor praé stran. Řešením sousta ronic se získají hodnot neznámých parametrů uzlech náhradní oblasti. Výraznými ýhodami MKP oproti starším numerickým metodám (metodě sítí, Ritzoě metodě) jsou: - algoritmus ýpočtu není záislý na taru řešené oblasti, záisí pouze na tpu elementu; - při sestaení sítě konečných prků není třeba dodržoat žádnou praidelnou strukturu, síť je možné přizpůsobit taru řešené oblasti (četně otorů, zářezů, a nepraidelností) a očekáanému průběhu neznámé funkce; - místech, kde je toho zapotřebí, lze použít zahuštěné sítě, popřípadě síť kombinoanou z elementů různých tpů; - každý konečný prek může mít obecně různé fzikální lastnosti, které je během ýpočtu možné měnit na základě získaných meziýsledků; - matice sousta algebraických lineárních ronic je smetrická a pásoá s dominantní diagonálou. 18

3.5 POSTUP PŘI NUMERICKÉM MODELOVÁNÍ Jako názorná ukázka modeloání je této kapitole uedeno řešení proudění trubici s náhlým rozšířením. Geometrie a rozměr řešené oblasti jsou ueden na Obr. 9. Obr. 9 Schéma řešené oblasti [5] Rozměr trubice dle obrázku 9 jsou následující: D 1 = 0, m, D = 0,4 m, L 1 = 0,4 m, L = 0,8 m. Řešení blo proedeno pomocí turbulentního modelu, který je zapracoán souboru programů ANSYS FLOTRAN. Tento programoý soubor je založen na numerickém řešení Naier-Stokesoých ronic (kap. 3.1.1) metodou konečných prků s použitím dou ronicoého turbulentního k-ε modelu (kap. 3.1.3). Postup modeloání sestáá ze tří základních kroků [5]: přípra stupních dat (pre-processing); řešení (solution); zobrazení ýsledků řešení (post-processing). 3.5.1 Pre-processing Tento krok obsahuje schematizaci skutečného stau s ohledem na zjednodušení taru oblasti, diskretizaci oblasti na konečné prk a realizaci okrajoých podmínek. V prostředí pre-processoru programu ANSYS postup spočíá následujících krocích: olba tpu elementu pro ýpočet proudění potrubí dle obr. 9 lze s ýhodou užít dojrozměrné izoparametrické element (FLUID141) definoané clindrických souřadnicích, rotační smetrie je tomto případě zolena kolem os, která je osou potrubí. V našem případě lze s ýhodou zmenšit oblast řešení pouze na poloinu řezu osou potrubí (Obr. 10) [5]. 19

Obr. 10 Schéma náhradní oblasti dělení oblasti řešení na podoblasti následujícím postupem [5]: - určení rcholů podoblastí (kepoints); - určení hran podoblastí (lines); - určení podoblastí (areas) pomocí hran; diskretizace podoblastí [5]: - určení jemnosti dělení na hranách podoblastí (shape and size); - automatické dělení (mesh) podoblastí na čtřúhelníkoé konečné prk FLUID141 (iz Obr. 11); oblast sestáá z 1000 čtřúhelníkoých prků; realizace okrajoých podmínek (Obr. 1) [5]: - na části hranice 11, která je tokoým profilem, blo zadáno ronoměrné rozdělení rchlostí -oými složkami ektoru rchlosti = 0,5 m/s; - na části hranice 1, která je stěnou potrubí, bl zadán nuloé složk ektoru rchlosti = = 0 m/s; - na části hranice, která je ýtokoým profilem, bl zadán nuloé hodnot tlaku p = 0 Pa; - na části hranice 13 (osa smetrie) bla zadána smetrická okrajoá podmínka = 0 m/s. Obr. 11 Dělení náhradní oblasti na konečné prk 0

Obr. 1 Realizace okrajoých podmínek definice materiáloých lastností [5]: - konstantní mechanicko-fzikální lastnosti kapalin; - hustota ρ = 1000 kg/m 3 ; - dnamická iskozita μ = 0,001 kg/m.s; nastaení parametrů ýpočtu [5]: - turbulentní režim proudění; - počet iterací n; - ustálený sta proudění; - bl použit hodnot konstant k-ε modelu uedené Tab. 5. 3.5. Solution (řešení) Výsledkem řešení jsou [5]: - složk ektoru rchlosti uzlech náhradní oblasti; - celkoé ektor rchlosti; - hodnot tlaků uzlech náhradní oblasti; - hodnot kinetické energie turbulence k a disipace turbulentní energie ε; - dnamická iskozita μ a efektiní iskozita μ e. 3.5.3 Post-processing Výsledk řešení je možno zobrazit jak grafické, tak tabelární formě. Soubor ýstupních dat obsahují tabelární formě hodnot počítaných eličin. Výsledk řešení jsou ztažen buď k uzlům, nebo k prkům náhradní oblasti. Grafické zobrazení je možno proést e formě: - ektorů rchlosti; - izolinií ektorů rchlosti a jeho složek, tlaků a dalších počítaných eličin; - průběhu braných eličin podél specifikoané linie. 1

4 PRAKTICKÁ APLIKACE Pro ýpočet modelů bl použit program ANSYS Mechanical APDL Product Launcher 14.5. V tomto programu bl tořen geometrický model potrubí, tořena ýpočtoá síť, zadán počáteční a okrajoé podmínk, proeden ýpočet a dále zpracoán ýsledk ýpočtu. Pro ýpočet bl použit notebook ASUS X51Lseries, maimální frekence GHz, procesor Intel Pentium Dual Core T300, operační paměť 104 MB s operačním sstémem Windows XP Professional 3-bit. Celkem jsem tořila 90 fungujících modelů, což při řešení jedné ariant trající 6 hodin celkoě předstauje 540 hodin ýpočtoého času. 4.1 MATEMATICKÉ ŘEŠENÍ PROBLÉMU 4.1.1 Náhlé zúžení V programu bl nejpre tořen geometrický model zužujícího se potrubí. Celkem blo modeloáno programu ANSYS 4 ariant náhlého zúžení. Průměr potrubí D 1, D a jejich poměr n = D /D 1 jsou ueden Tab. 5. Z tabulk plýá, že olen bl poměr od 0,5 do 0,8. Délk potrubí L 1 a L jednotliých průměrů D 1, D bl určen pro šechn ariant 1,1 m. Na ýtoku z potrubí bl olen tlak p = 0 Pa a rchlost potrubí, zadáaná na stupu do potrubí, bla olena dle různých ariant ( 1 = 0,5 m/s, = 0,75m/s a 3 = 1,0 m/s). Schematický nákres potrubí s kreslením okrajoých podmínek je zobrazen na Obr. 13. Jak již blo uedeno kapitole 3..1, potrubí je smetrické dle os, a proto bla modeloána jen poloina řešené oblasti. V této kapitole bude zájemně poronáno 6 ariant řešení. Prní poronáané potrubí je o rozměrech D 1 = 0,15 m a D = 0,1 m (poměr n D /D 1 = 0,8), lišící se zadáaných rchlostech. V prní ariantě (dále jen VAR6) je zadána rchlost 1 = 0,5 m/s, e druhé ariantě (VAR1) je rchlost = 0,75 m/s a poslední (VAR36) je rchlost 3 = 1 m/s. Dále bude poronáán model potrubí o průměru D 1 = 0,3 m a D = 0,15 m, ted poměr n = D /D 1 = 0,5. Opět zde budou zadán rchlosti 1 = 0,5 m/s (VAR11), = 0,75 m/s (VAR6) a 3 = 1 m/s (VAR41). Vzájemně budou poronán VAR6 a VAR11, následně VAR1 a VAR6 a jako poslední VAR36 a VAR41.

Obr. 13 Schéma náhlého zúžení potrubí Tab. 6 Náhlé zúžení-průměr potrubí a jejich poměr Průměr D 1 Průměr D Poměr n [m] [m] [-] 0,08 0,05 0,63 0,1 0,05 0,50 0,1 0,08 0,80 0,15 0,08 0,64 0,15 0,08 0,53 0,15 0,1 0,80 0,15 0,1 0,67 0, 0,1 0,50 0, 0,15 0,75 0,5 0,15 0,60 0,3 0,15 0,50 0,5 0, 0,80 0,3 0, 0,67 0,4 0,3 0,75 Jak již blo uedeno kapitole 3..1, nejpre blo proedeno dělení oblasti na podoblasti. Rozmístění bodů a jejich spojnic je znázorněno na Obr. 14 (VAR6) a na Obr. 15 (VAR11). Obr. 14 Schéma oblasti VAR6 programu ANSYS 3

Obr. 15 Schéma oblasti VAR11 programu ANSYS Z předcházejících obrázků je jasně patrný rozdíl poměrech zúžení (0,5 a 0,8). Jako následující krok bla tořena síť. Pro lepší kreslení změn rchlostí a tlaků u změn průřezu bla 0,1 m před zúžením a 0,1 m za ním tořena hustější síť. Obr. 16 Detail zhuštění sítě VAR6 Dalším krokem blo nastaení počátečních podmínek. Zde už bl pro jednotlié ariant zadáán různé rchlosti e stupním profilu. Nejpre bla zadána rchlost 1 = 0,5 m/s. Na Obr. 17 můžeme idět rozložení rchlostí blízkosti změn průřezu u VAR6 a na Obr. 18 pro VAR11. Obr. 17 Rozložení rchlostí blízkosti změn průřezu u VAR6 4

Obr. 18 Rozložení rchlostí blízkosti změn průřezu u VAR11 Obr. 19 Rozložení rchlostí celé délce potrubí VAR6 Z obrázků 17 a 18 je patrné, že celém potrubí s poměrem zúžení 0,5 zniká, i přes zadanou shodnou rchlost e stupním profilu, ětší rchlost. V těsné blízkosti za zúžením znikne odtržení proudu od stěn trubice. 5

Obr. 0 Rozložení tlaků blízkosti změn průřezu VAR6 Obr. 1 Rozložení tlaků blízkosti změn průřezu VAR11 Na obrázcích 0 a 1 můžeme idět průběh tlaků blízkosti změn průřezu zúžením. U VAR11 je daleko ětší oblast podtlaku oblasti hned za změnou profilu, místě nejětšího odtržení proudu od stěn. Po získání ýstupních hodnot z programu ANSYS a jejich následném zpracoání jsem získala Coriolisoo číslo α, součinitele ztrát třením po délce λ 1 u potrubí s průměrem D 1, λ u potrubí průměrem D a součinitele ztrát místních ξ místě změn průřezů potrubí. Dále jsem dopočítala ztrát místní h m (.13), ztrát třením jednotliých průměrech potrubí h t1, h t (.7) a celkoou ztrátu h z (.3), iz Tab. 7. 6

Obr. Rozložení tlaků celé délce potrubí VAR6 Tab. 7 Hodnot ztrátoých součinitelů a celkoé ztrát pro VAR6 a VAR11 Z tabulk je patrné, že ztrátoý součinitel ξ a ztráta h z je ětší u změn průřezu s poměrem n = 0,5, tzn. D 1 = 0,3 m a D = 0,15 m. Místní ztrát h m jsou ztažen k profilu D s rchlostí. Tab. 8 Coriolisoa čísla u VAR6 a VAR11 Coriolisoo číslo α blo odečítáno průřezech 1,, 3 a 4, kde průřez 1 bl olen 1,0 m od stupního profilu po směru proudění. Průřez č. bl olen 1,1 m od stupního profilu (což je zároeň profil změn průřezů), průřez č. 3 bl olen 0,1 m za průřezem č. a průřez č. 4 bl profil ýstupní, tj., m od profilu stupního a 1,1 m od změn průřezu potrubí. D 1 -D ξ λ 1 λ h m h t 1 h t h z VAR [m] [-] [-] [-] [m] [m] [m] [m] 6 0,15-0,1 0,00 0,045 0,0148 0,0066 0,007 0,0049 0,014 11 0,3-0,15 0,4805 0,043 0,0099 0,0967 0,0011 0,0146 0,114 VAR6 Průřez Stejný postup zadáání rozměrů a stupních podmínek jsem olila i u ariant, kde rchlost e stupním profilu bla zadána jako = 0,75 m/s. Zde jsem u VAR1 olila opět zúžení z D 1 = 0,15 m na D = 0,1 m (poměr n = D /D 1 = 0,8) a u VAR6 to bl rozměr D 1 = 0,3 m a D = 0,15 m, ted poměr n = D /D 1 = 0,5. VAR11 Průřez 1,08 1,14 1,17 1,07 1,11 1,0 1,09 1,15 7

Obr. 3 Rozložení rchlostí blízkosti změn průřezu VAR1 Obr. 4 Rozložení rchlostí blízkosti změn průřezu VAR6 8

Obr. 5 Rozložení rchlostí celé délce potrubí VAR6 Jak můžeme idět na obrázcích 3 a 4, rozdíl mezi rchlostmi jsou zhruba o elikosti 3, m/s s tím, že ětší rchlosti jsou u VAR6, což je poměr n = 0,5. V širším profilu jsou u obou ariant rchlosti nižší než u profilu menším průměrem. Obr. 6 Rozložení tlaků blízkosti změn průřezu VAR1 9

Obr. 7 Rozložení tlaků blízkosti změn průřezu VAR6 Obr. 8 Rozložení tlaků celé délce potrubí VAR6 Na obrázcích 6 a 7 můžeme idět průběh tlaků blízkosti změn průřezu zúžením. U VAR6 je daleko ětší oblast podtlaku oblasti hned za změnou profilu, místě nejětšího odtržení proudu od stěn. Na obrázku 8 je zobrazeno rozložení tlaků celé délce potrubí. Je patrné, že širším průřezu je tlak šší než profilu za zúžením. Coriolisoo číslo α blo opět odečítáno průřezech 1,, 3 a 4, kde průřez 1 bl olen 1,0 m od stupního profilu po směru proudění. Průřez č. bl olen 1,1 m od stupního 30

profilu (což je zároeň profil změn průřezů), průřez č. 3 bl olen 0,1 m za průřezem č. a průřez č. 4 bl profil ýstupní, tj., m od profilu stupního a 1,1 m od změn průřezu potrubí. Tab. 9 Coriolisoa čísla u VAR1 a VAR6 Tab. 10 Hodnot ztrátoých součinitelů a celkoé ztrát pro VAR1 a VAR6 Z tabulk plýá, že ztrátoý součinitel ξ a ztráta h z je ětší u změn průřezu s poměrem n = 0,5, tzn. D 1 = 0,3 m a D = 0,15 m. Místní ztrát h m jsou ztažen k profilu D s rchlostí. VAR1 Průřez VAR6 Průřez 1 1,07 1 1,13 1,17 1,07 3 1,10 3 1, 4 1,09 4 1,08 D 1 -D ξ λ 1 λ h m h t 1 h t h z VAR [m] [-] [-] [-] [m] [m] [m] [m] 1 0,15-0,1 0,54 0,05 0,0157 0,0153 0,0055 0,0117 0,034 6 0,3-0,15 0,4876 0,01 0,0194 0,08 0,003 0,0644 0,875 Jako poslední ariantu u náhlého zúžení jsem určila rchlost e stupním profilu ronu 3 = 1,0 m/s. Zde jsem u VAR36 olila stejné rozměr potrubí jako u VAR1, ted zúžení z D 1 = 0,15 m na D = 0,1 m (poměr n = D /D 1 = 0,8) a u VAR41 stejné jako u VAR6, což jsou rozměr D 1 = 0,3 m a D = 0,15 m, ted poměr n = D /D 1 = 0,5. Obr. 9 Rozložení rchlostí blízkosti změn průřezu VAR36 31

Obr. 30 Rozložení rchlostí blízkosti změn průřezu VAR41 Jak můžeme idět na obrázcích 9 a 30, při zadání počáteční podmínk 3 = 1,0 m/s, jsou rozdíl mezi rchlostmi přibližně 5 m/s s tím, že ětší rchlosti jsou dosahoán u VAR41, což je poměr n = 0,50. V širším profilu jsou u obou ariant rchlosti nižší než u profilu menším průměrem. K nejětšímu odtržení proudu dochází těsné blízkosti za zúžením. Obr. 31 Rozložení rchlostí celé délce potrubí VAR41 3

Obr. 3 Rozložení tlaků blízkosti změn průřezu VAR36 Obr. 33 Rozložení tlaků blízkosti změn průřezu VAR41 Na obrázcích 3 a 33 můžeme idět průběh tlaků blízkosti změn průřezu zúžením. U VAR41 je daleko ětší oblast podtlaku oblasti hned za změnou profilu, místě 33

nejětšího odtržení proudu od stěn. Na obrázku 34 je zobrazeno rozložení tlaků celé délce potrubí. Je zde opět patrné, že širším průřezu je tlak šší než profilu za zúžením. Obr. 34 Rozložení tlaků celé délce potrubí VAR41 Tab. 11 Coriolisoa čísla u VAR36 a VAR41 VAR36 Průřez VAR41 Průřez 1 1,07 1 1,13 1,17 1,7 3 1,11 3 1,13 4 1,08 4 1,06 Coriolisoo číslo α blo opět odečítáno průřezech 1,, 3 a 4, kde průřez 1 bl olen 1,0 m od stupního profilu po směru proudění. Průřez č. bl olen 1,1 m od stupního profilu (což je zároeň profil změn průřezů), průřez č. 3 bl olen 0,1 m za průřezem č. a průřez č. 4 bl profil ýstupní, tj., m od profilu stupního a 1,1 m od změn průřezu potrubí. Tab. 1 Hodnot ztrátoých součinitelů a celkoé ztrát pro VAR36 a VAR41 D 1 -D ξ λ 1 λ h m h t 1 h t h z VAR [m] [-] [-] [-] [m] [m] [m] [m] 36 0,15-0,1 0,36 0,013 0,015 0,069 0,009 0,0165 0,057 41 0,3-0,15 0,535 1,575 1,576 0,414 0,0039 0,0469 0,473 34

Z tabulk plýá, že ztrátoý součinitel ξ a ztráta h z je ětší u změn průřezu s poměrem n = 0,5, tzn. D 1 = 0,3 m a D = 0,15 m. Místní ztrát h m jsou ztažen k profilu D s rchlostí. 4.1. Náhlé rozšíření V programu ANSYS jsem modeloala celkem 15 ariant náhlého rozšíření. Průměr potrubí D 1, D jsou ueden Tab. 13. Délk potrubí L 1 a L jednotliých průměrů D 1, D bl olen pro šechn ariant 1,1 m. Na ýtoku z potrubí bl olen tlak p = 0 Pa a rchlost potrubí, zadáána na stupu do potrubí, bla olena rchlost 3 = 1,0 m/s. Jak již blo uedeno kapitole 3..1, potrubí je smetrické dle os, a proto bla modeloána jen poloina řešené oblasti. V této kapitole se budu zabýat posouzením VAR51, u které jsem olila rozšíření z D 1 = 0,1 m na D = 0,15 m a VAR56, u které blo oleno rozšíření z D 1 = 0,15 m na D = 0,3 m. Při řešení případů náhlého rozšíření jsem tořila model s počáteční podmínkou rchlosti 3 = 1,0 m/s. Tab. 13 Průměr potrubí u náhlého rozšíření Průměr D 1 Průměr D [m] [m] 0,05 0,08 0,05 0,1 0,08 0,1 0,08 0,15 0,08 0,15 0,1 0,15 0,1 0,15 0,1 0, 0,15 0, 0,15 0,5 0,15 0,3 0, 0,5 0, 0,3 0,3 0,4 35

Obr. 35 Rozložení rchlostí blízkosti změn průřezu VAR51 Obr. 36 Rozložení rchlostí blízkosti změn průřezu VAR56 36

Obr. 37 Rozložení rchlostí celé délce potrubí VAR51 Jak můžeme idět na obrázcích 35 a 36, při zadání počáteční podmínk 3 = 1,0 m/s, nejsou rozdíl mezi rchlostmi ýrazně rozdílné. V širším profilu jsou u obou ariant rchlosti nižší než u profilu s menším průměrem. Obr. 38 Rozložení tlaků blízkosti změn průřezu VAR51 37

Obr. 39 Rozložení tlaků blízkosti změn průřezu VAR56 Na obrázcích 38 a 39 můžeme idět průběh tlaků blízkosti změn průřezu zúžením. U VAR51 je ětší podtlak a zároeň i oblast podtlaku oblasti kolem změn profilů. Průřez Tab. 14 Coriolisoa čísla u VAR51 a VAR56 VAR51 Průřez VAR56 1 1,08 1 1,06 1,5 1,06 3 1,44 3 1,51 4 1,09 4 1,33 Coriolisoo číslo α blo opět odečítáno průřezech 1,, 3 a 4, kde průřez 1 bl olen 1,0 m od stupního profilu po směru proudění. Průřez č. bl olen 1,1 m od stupního profilu (což je zároeň profil změn průřezů), průřez č. 3 bl olen 0,1 m za průřezem č. a průřez č. 4 bl profil ýstupní, tj., m od profilu stupního a 1,1 m od změn průřezu potrubí. Coriolisoo číslo α chází za změnou průřezu náhlým rozšířením ětší než je obklé. Je to z důodu elkého íření tekutin potrubí za změnou průřezu. Tab. 15 Hodnot ztrátoých součinitelů a celkoé ztrát pro VAR51 a VAR56 Z tabulk je patrné, že ztrátoý součinitel ξ je markantně ětší u změn průřezu s poměrem n = 0,5, tzn. D 1 = 0,3 m a D = 0,15 m. Místní ztrát h m jsou ztažen k profilu D 1 s rchlostí 1. D 1 -D ξ λ 1 λ h m h t 1 h t h z VAR [m] [-] [-] [-] [m] [m] [m] [m] 51 0,1-0,15 0,1593 0,016 0,0131 0,003 0,0116 0,003 0,0171 56 0,15-0,3 0,6331 0,006 0,057 0,000 0,0075 0,0007 0,0101 38

4.1.3 Kónické zúžení Pro ariantu kónického zúžení jsem programu ANSYS modeloala celkem 15 ariant. Délk potrubí L 1 a L 3 jednotliých průměrů D 1, D bl olen pro šechn ariant 1,1 m a délka L oblasti zúžení bla olena žd dle rozdílu (D 1 D ). Na ýtoku z potrubí bl olen tlak p = 0 Pa a rchlost potrubí, zadáána na stupu do potrubí, bla olena rchlost 3 = 1,0 m/s. Kónické zúžení jsem počítala pro úhel δ = 45. V této kapitole se budu zabýat posouzením VAR66, u které jsem olila zúžení z D 1 = 0,15 m na D = 0,1 m a VAR71, u které blo oleno zúžení z D 1 = 0,3 m na D = 0,15 m. Při řešení případů náhlého rozšíření jsem tořila model s počáteční podmínkou rchlosti 3 = 1,0 m/s. Obr. 40 Rozložení rchlostí blízkosti změn průřezu VAR66 39

Obr. 41 Rozložení rchlostí blízkosti změn průřezu VAR71 Jak můžeme idět na obrázcích 40 a 41, při zadání počáteční podmínk 3 = 1,0 m/s, jsou rozdíl mezi rchlostmi přibližně 4 m/s s tím, že ětší rchlosti jsou dosahoán u VAR71. V širším profilu jsou u obou ariant rchlosti nižší než u profilu s menším průměrem. K nejětšímu odtržení proudu dochází těsné blízkosti za zúžením. Obr. 4 Rozložení rchlostí celé délce potrubí VAR71 40

Obr. 43 Rozložení tlaků blízkosti změn průřezu VAR66 Obr. 44 Rozložení tlaků blízkosti změn průřezu VAR71 41

Obr. 45 Rozložení tlaků celé délce potrubí VAR71 Tab. 16Coriolisoa čísla u VAR66 a VAR71 VAR66 Průřez VAR71 Průřez 1 1,07 1 1,04 1,14 1,05 3 1,07 3 1,04 4 1,08 4 1,06 Coriolisoo číslo α blo opět odečítáno průřezech 1,, 3 a 4, kde průřez 1 bl olen 1,0 m od stupního profilu po směru proudění. Průřez č. bl olen místě nejětšího odtržení proudu od stěn potrubí, průřez č. 3 bl olen 0,1 m za průřezem č. a průřez č. 4 bl profil ýstupní. Tab. 17 Hodnot ztrátoých součinitelů a celkoé ztrát pro VAR66 a VAR71 Z tabulk plýá, že ztrátoý součinitel ξ a ztráta h z je ětší u změn průřezu s poměrem n = 0,5, tzn. D 1 = 0,3 m a D = 0,15 m. Místní ztrát h m jsou ztažen k profilu D s rchlostí. D 1 -D ξ λ 1 λ h m h t 1 h t h z VAR [m] [-] [-] [-] [m] [m] [m] [m] 66 0,15-0,1 0,149 0,019 0,0177 0,017 0,0095 0,034 0,050 71 0,3-0,15 0,1518 0,1560 0,0145 0,1 0,088 0,0856 0,366 4.1.4 Kónické rozšíření Pro ariantu kónického rozšíření jsem programu ANSYS modeloala celkem 15 ariant. Délk potrubí L 1 a L 3 jednotliých průměrů D 1, D bl olen pro šechn 4

ariant 1,1 m a délka L oblasti rozšíření bla olena žd dle rozdílu (D D 1 ). Na ýtoku z potrubí bl olen tlak p = 0 Pa a rchlost potrubí, zadáána na stupu do potrubí, bla olena rchlost 3 = 1,0 m/s. Kónické rozšíření jsem počítala pro úhel δ = 45. V této kapitole se budu zabýat posouzením VAR81, u které jsem olila rozšíření z D 1 = 0,1 m na D = 0,15 m a VAR86, u které blo oleno rozšíření z D 1 = 0,15 m na D = 0,3 m. Při řešení případů náhlého rozšíření jsem tořila model s počáteční podmínkou rchlosti 3 = 1,0 m/s. Obr. 46 Rozložení rchlostí blízkosti změn průřezu VAR81 Obr. 47 Rozložení rchlostí blízkosti změn průřezu VAR86 43

Obr. 48 Rozložení rchlostí celé délce potrubí VAR86 Z obrázků je zřejmé, že při zadání počáteční podmínk 3 = 1,0 m/s jsou rozdíl mezi rchlostmi přibližně 0,1 m/s s tím, že ětší rchlosti jsou dosahoán u VAR86. V širším profilu jsou u obou ariant rchlosti nižší než u profilu s menším průměrem. Obr. 49 Rozložení tlaků blízkosti změn průřezu VAR81 44

Obr. 50 Rozložení tlaků blízkosti změn průřezu VAR86 Tab. 18 Coriolisoa čísla u VAR81 a VAR86 Coriolisoo číslo α blo opět odečítáno průřezech 1,, 3 a 4, kde průřez 1 bl olen 1,0 m od stupního profilu po směru proudění. Průřez č. bl olen místě přechodu průřezu D 1 do kónické části přechodu, průřez č. 3 bl olen 0,1 m za průřezem č. a průřez č. 4 bl profil ýstupní. Číslo α chází za změnou průřezu náhlým rozšířením ětší než je obklé (obzláště e VAR86). Je to z důodu elkého íření tekutin potrubí za změnou průřezu. Tab. 19 Hodnot ztrátoých součinitelů a celkoé ztrát pro VAR81 a VAR86 Z tabulk plýá, že ztrátoý součinitel ξ je ětší u změn průřezu s poměrem n = 0,5, tzn. D 1 = 0,3 m a D = 0,15 m. Místní ztrát h m jsou ztažen k profilu D 1 s rchlostí 1. VAR81 Průřez VAR86 Průřez 1 1,08 1 1,06 1,08 1,06 3 1,33 3,3 4 1,08 4 1,39 D 1 -D ξ λ 1 λ h m h t 1 h t h z VAR [m] [-] [-] [-] [m] [m] [m] [m] 81 0,1-0,15 0,1536 0,013 0,0154 0,0031 0,0115 0,007 0,0173 86 0,15-0,3 0,57 0,006 0,1860 0,0016 0,0075 0,001 0,011 45

4. FYZIKÁLNÍ MODELOVÁNÍ Součástí mé práce blo i naměření hodnot laboratoři, kde jsem získala hodnot pro fzikální modeloání potrubí. Nejpre jsem si zjistila průtok, který činil Q = 0,0015 m 3 /s. V laboratoři blo simuloáno pouze náhlé zúžení a náhlé rozšíření, proto se budu následujících dou odstacích ěnoat pouze těmto případům. 4..1 Náhlé zúžení V laboratoři blo umístěno potrubí o nitřních průměrech potrubí D 1 = 0,119 m a D = 0,0464 m. Z údaje o průměrech potrubí jsem si dle zorce D A = mohla 4 spočítat ploch jednotliých potrubí A 1, A a následně jsem podle (.18) dokázala spočítat jednotlié rchlosti potrubích. V určitých zdálenostech bl na potrubí umístěn piezometr (Obr. 51) a na piezometrickém tablu (iz Obr. 5) jsem si ted mohla odečíst rozdíl piezometrických ýšek ztažených k jednotliým bodům. V případě náhlého zúžení to bla mezi bod 3 a 5 (iz Obr. 51) hodnota 0,065 m. Obr. 51 Náhlé zúžení-piezometrické trubičk 46

Obr. 5 Piezometrické tablo Po dosazení do (.1.) jsem si jádřila součinitel ztrát ξ, který bl ztažen k průměru potrubí D a rchlosti. Ztrát třením jsem tomto případě zanedbala. Následně jsem hodnot L, D, h z a (ztažené k rchlosti profilu D 1 ) dosadila do (.11) a získala součinitel ztrát třením po délce λ. Přehled daných hodnot a počítaných ýsledků je ueden Tab. 0. Tab. 0 Fzikální měření-náhlé zúžení D 1 = 0,1190 m D = 0,0464 m Q = 1,5 l/s = 0,0015 m3/s A 1 = 0,0111 m A = 0,0017 m 1 = 0,1349 m/s = 0,8871 m/s p/( ρ*g) = 0,0650 m α= 1,05 - *g = 19,6 - L = 4,35 m ξ = 0,5949 λ= 0,0339 47

4.. Náhlé rozšíření U měření součinitelů pro náhlé rozšíření jsem cházela z údajů: - nitřní průměr potrubí D 1 = 0,0464 m a D = 0,119 m. - rozdíl piezometrických ýšek mezi bod 3 a 5 (iz Obr. 53) bl 0,015 m Obr. 53 Náhlé rozšíření Ve ýpočtech jsem postupoala stejným způsobem jako u náhlého zúžení, tzn. po dosazení do (.1.) jsem si jádřila součinitel ztrát ξ, který bl ztažen k průměru potrubí D 1 a rchlosti 1. Ztrát třením jsem tomto případě zanedbala. Následně jsem hodnot L, D, h z a (ztažené k rchlosti profilu D 1 ) dosadila do (.7) a získala součinitel ztrát třením po délce λ. Přehled daných hodnot a počítaných ýsledků je ueden Tab. 1. 48

Tab. 1 Fzikální měření-náhlé rozšíření D 1 = 0,0464 m D = 0,1190 m Q = 1,5 l/s = 0,0015 m3/s A 1 = 0,0017 m A = 0,0111 m 1 = 0,8871 m/s = 0,1349 m/s p/( ρ*g) = 0,0150 m α= 1,05 - *g = 19,6 - L = 4,35 m ξ = 1,3997 λ= 0,0339 49

5 VÝSLEDKY V této kapitole uádím tabulk ýsledků se šemi ariantami počítanými programu ANSYS. Dále zde bude uedena tabulka poronání ýsledků matematického a fzikálního ýpočtu. V záěru kapitol budou poronán ýsledk dosažené matematickým ýpočtem a hodnotami uáděnými literatuře. Tab. Výsledk-náhlé zúžení-=0,5 m/s =0,5 m/s D 1 -D ξ λ 1 λ h m h t 1 h t h z VARIANTA [m] [-] [-] [-] [m] [m] [m] [m] 1 0,08-0,05 0,4300 0,050 0,0 0,034 0,004 0,0388 0,0771 0,1-0,05 0,534 0,045 0,0174 0,106 0,0033 0,0749 0,1808 3 0,1-0,08 0,41 0,046 0,0175 0,0067 0,0033 0,007 0,017 4 0,15-0,08 0,3993 0,04 0,017 0,094 0,006 0,018 0,0449 5 0,15-0,08 0,4905 0,043 0,010 0,075 0,00 0,015 0,0989 6 0,15-0,1 0,00 0,045 0,0148 0,0066 0,007 0,0049 0,014 7 0,15-0,1 0,3761 0,043 0,0088 0,036 0,00 0,0061 0,0319 8 0,-0,1 0,5008 0,040 0,0100 0,1001 0,0017 0,01 0,138 9 0,-0,15 0,737 0,041 0,0048 0,0108 0,0017 0,0014 0,0139 10 0,5-0,15 0,4308 0,043 0,0113 0,0417 0,0013 0,0080 0,0511 11 0,3-0,15 0,4805 0,043 0,0099 0,0967 0,0011 0,0146 0,114 1 0,5-0, 0,1966 0,041 0,0134 0,0060 0,0013 0,00 0,0096 13 0,3-0, 0,996 0,041 0,0060 0,0191 0,0011 0,001 0,03 14 0,4-0,3 0,119 0,043 0,0188 0,0048 0,0008 0,007 0,0083 Tab. 3 Výsledk-náhlé zúžení-=0,75 m/s =0,75 m/s D 1 -D ξ λ 1 λ h m h t 1 h t h z VARIANTA [m] [-] [-] [-] [m] [m] [m] [m] 16 0,08-0,05 0,470 0,017 0,0169 0,1357 0,0145 0,118 0,684 17 0,1-0,05 0,5181 0,013 0,0159 0,4061 0,0115 0,736 0,6911 18 0,1-0,08 0,9 0,07 0,0174 0,0150 0,0069 0,0161 0,0379 19 0,15-0,08 0,3949 0,04 0,0148 0,0654 0,0055 0,0337 0,1046 0 0,15-0,08 0,486 0,04 0,014 0,1678 0,0046 0,0590 0,314 1 0,15-0,1 0,54 0,05 0,0157 0,0153 0,0055 0,0117 0,034 0,15-0,1 0,3707 0,03 0,019 0,054 0,0046 0,000 0,0770 3 0,-0,1 0,4715 0,01 0,0061 0,11 0,0034 0,0304 0,459 4 0,-0,15 0,899 0,0 0,011 0,058 0,0034 0,0073 0,0365 5 0,5-0,15 0,4659 0,01 0,0105 0,1015 0,007 0,0167 0,109 6 0,3-0,15 0,4876 0,01 0,0194 0,08 0,003 0,0644 0,875 7 0,5-0, 0,1988 0,0 0,0094 0,0137 0,008 0,0036 0,000 8 0,3-0, 0,3553 0,01 0,0099 0,0509 0,003 0,0078 0,0610 9 0,4-0,3 0,136 0,04 0,0163 0,019 0,0017 0,0054 0,063 50