5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi Tomá² Sala MÚ UK, MFF UK ZS 2017/18 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32
5.1 Funkce spojité na intervalu Denice 5.1 (funkce spojitá na intervalu - opakování) Nech J R je nedegenerovaný interval (neboli obsahuje nekone n mnoho bod ). Funkce f : J R je spojitá na intervalu J, jestliºe platí: f je spojitá zprava v levém krajním bod intervalu J, pokud tento bod pat í do J, f je spojitá zleva v pravém krajním bod intervalu J, pokud tento bod pat í do J, f je spojitá v kaºdém vnit ním bod J. V ta 5.1 (Bolzano; Darboux) Nech f je spojitá funkce na intervalu [a, b] taková, ºe f (a) < f (b). Potom pro kaºdé c (f (a), f (b)) existuje ξ (a, b) takové, ºe platí f (ξ) = c. 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 2 / 32
5.1 Funkce spojité na intervalu V ta 5.2 (zobrazení intervalu spojitou funkcí) Nech J je nedegenerovaný interval. Nech f : J R je spojitá funkce na J. Potom f (J) je interval (nebo bod). V ta 5.3 (o inverzní funkci) Nech f je spojitá a rostoucí (klesající) funkce na intervalu J. Potom funkce f 1 je spojitá a rostoucí (klesající) na intervalu f (J). V ta 5.4 Nech f spojitá funkce na intervalu [a, b]. Potom f je na [a, b] omezená shora i zdola. 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 3 / 32
5.1 Funkce spojité na intervalu Denice 5.2 Nech f je reálná funkce, M bu podmnoºina D f a x M. ekneme, ºe f nabývá v bod x maxima (resp. minima) na M, jestliºe platí y M : f (y) f (x) (resp. f (y) f (x)). Bod x pak nazýváme bodem maxima (resp. minima) funkce f na mnoºin M. V ta 5.5 Nech f je spojitá funkce na intervalu [a, b]. Potom funkce f nabývá na [a, b] své nejv t²í hodnoty (maxima) a své nejmen²í hodnoty (minima), tj. existují body c, d [a, b] takové, ºe f (c) = sup{f (x) : x [a, b]}, f (d) = inf{f (x) : x [a, b]}. 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 4 / 32
5.1 Funkce spojité na intervalu Denice 5.3 Nech M R a nech f : M R je funkce. ekneme, ºe funkce f má v bod x M lokální maximum (resp. minimum), jestliºe existuje δ > 0 takové, ºe y U δ (x) : f (y) f (x) (resp. f (y) f (x)), Lokální extrém (maximum/minimum) je ostrý, je-li nerovnost ostrá. V ta 5.6 (nutná podmínka lokálního extrému) Budiº a R bodem lokálního maxima nebo lokálního minima funkce f. Potom f (a) neexistuje nebo je rovna nule. 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 5 / 32
5.2 V ty o st ední hodnot V ta 5.7 (Rolleova) Nech funkce f má následující vlastnosti: (i) je spojitá na intervalu [a, b], (ii) má derivaci (vlastní i nevlastní) v kaºdém bod (a, b), (iii) platí, ºe f (a) = f (b). Potom existuje ξ (a, b) takové, ºe f (ξ) = 0. V ta 5.8 (Lagrangeova) Nech f je spojitá funkce na intervalu [a, b] a má derivaci (vlastní i nevlastní) v kaºdém bod intervalu (a, b). Potom existuje ξ (a, b) takové, ºe f f (b) f (a) (ξ) =. b a 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 6 / 32
5.2 V ty o st ední hodnot D sledek 5.1 Je-li f (x) = 0 pro v²echna x (a, b), pak f je konstantní na (a, b). V ta 5.9 (Cauchyova) Nech f, g jsou spojité funkce na intervalu [a, b], nech f má derivaci (vlastní i nevlastní) v kaºdém bod intervalu (a, b) a nech g má v kaºdém bod intervalu (a, b) vlastní nenulovou derivaci. Potom existuje ξ (a, b) takové, ºe platí f (ξ) f (b) f (a) g = (ξ) g(b) g(a). Poznámka L'Hospitalovo pravidlo a v ta o jednostranné limit derivací jsou (mimo jiné) d sledkem v t o st ední hodnot. 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 7 / 32
5.2 V ty o st ední hodnot V ta 5.10 (vztah derivace a monotonie) Nech funkce f je spojitá a má derivaci na intervalu (a, b), a < b. (i) (ii) (iii) (iv) Je-li f (x) > 0 pro v²echna x (a, b), pak f je rostoucí na (a, b). Je-li f (x) < 0 pro v²echna x (a, b), pak f je klesající na (a, b). Je-li f (x) 0 pro v²echna x (a, b), pak f je neklesající na (a, b). Je-li f (x) 0 pro v²echna x (a, b), pak f je nerostoucí na (a, b). 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 8 / 32
5.5 Taylor v polynom Denice 5.4 (symbol "malé o") Nech f a g jsou funkce. Jestliºe f (x) lim x a g(x) = 0, pak íkáme, ºe funkce f je v bod a R malé o od g (pí²eme f (x) = o(g(x)), x a). 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 9 / 32
5.5 Taylor v polynom N která pravidla pro zacházení se symbolem "o": Bude nás zajímat speciální p ípad g(x) = x n, a = 0 a n N 0 := N {0}. o(x lim n ) = x 0 x n 0 c o(x n ) = o(x n ) c R, n N 0, x 0, o(x n ) ± o(x n ) = o(x n ) n N 0, x 0, o(x n ) o(x m ) = o(x n+m ) n, m N 0, x 0, x m o(x n ) = o(x n+m ) n, n N 0, x 0, o(o(x n )) = o(x n ) n N 0, x 0, f (x) = o(x n ) = f (x) = o(x m ), kdykoliv m n 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 10 / 32
Denice 5.5 Nech f je funkce, která má v bod a R vlastní derivace aº do ádu n. Potom polynom T f,a n (x) = f (a) + f (a)(x a) + + f (n) (a) (x a) n n! nazýváme Taylorovým polynomem ádu n funkce f v bod a. V ta 5.11 (Peano) Nech f, a jsou jako v denici 5.5. Pak lim x a f (x) T f,a n (x) = 0 (x a) n neboli f (x) = T f,a n (x) + o((x a) n ), x a. 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 11 / 32
5.5 Taylor v polynom V ta 5.12 (Obecný tvar zbytku) Nech a, x R, a < x. P edpokládejme, ºe f je funkce, která má v kaºdém bod intervalu [a, x] vlastní (n + 1)-ní derivaci, ϕ je spojitá funkce na [a, x], která má v kaºdém bod intervalu (a, x) vlastní nenulovou derivaci. Pak existuje ξ (a, x) takové, ºe f (x) T f,a n (x) = 1 n! ϕ(x) ϕ(a) ϕ f (n+1) (ξ)(x ξ) n. (ξ) 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 12 / 32
5.5 Taylor v polynom V ta 5.13 (Lagrange v tvar zbytku) Nech a, x, f jsou jako ve V t 5.12. Pak existuje ξ (a, x) takové, ºe f (x) T f,a n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x a)n+1. V ta 5.14 (Cauchy v tvar zbytku) Nech a, x, f jsou jako ve V t 5.12. Pak existuje ξ (a, x) takové, ºe f (x) T f,a n pop. pro jisté θ (0, 1) f (x) T f,a n (x) = f (n+1) (ξ) (x ξ) n (x a), n! (x) = (1 θ) n (x a) n+1 f (n+1) (a + θ(x a)). n! 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 13 / 32
5.5 Taylor v polynom Denice 5.6 Nech f je funkce, která má v bod a R vlastní derivace v²ech ád. Potom adu f (n) (a) (x a) n n! n=0 nazýváme Taylorovou adou o st edu a. Ve speciálním p ípad a = 0 mluvíme o Maclaurinov ad. 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 14 / 32
5.5 Taylor v polynom x R : e x = x ( 1, 1] : ln(1 + x) = x R : sin x = x R : cos x = n=0 x n n! ( 1) n 1 x n n=1 n ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)! ( 1) n x 2n (2n)! n=0 n=0 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 15 / 32
5.5 Taylor v polynom x R : sinh x = x R : cosh x = x ( 1, 1), α R : (1 + x) α = n=0 n=0 x 2n+1 (2n + 1)! x 2n (2n)! ( ) α x n, n n=0 ( ) α kde n = α(α 1)...(α n+1) n! pro n N ( α a 0) = 1, α R. 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 16 / 32
5.3 Konvexní a konkávní funkce Denice 5.7 ekneme, ºe reálná funkce f je konvexní na intervalu I, jestliºe x, y, z I, x < y < z platí: f (z) f (x) f (y) f (x) + (y x). (1) z x Pokud platí v (1) obrácená nerovnost, pak f nazýváme konkávní na I. Jsou-li nerovnosti ostré, mluvíme o ostré konvexit /konkávit. 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 17 / 32
5.3 Konvexní a konkávní funkce Poznámka Rovnice f (z) f (x) ξ(y) = f (x) + (y x) z x popisuje p ímku procházející body [x, f (x)] a [z, f (z)]. Tedy pro konvexní funkce leºí graf pod se nou, pro konkávní nad se nou. Pro konvexní funkce platí f (λx + (1 λ)z) λf (x) + (1 λ)f (z), (2) kde x, y I, 0 λ 1. (Pro konkávní, resp. ost e konvexní, resp. ryze konkávní pak v (2) platí, resp. <, resp. >.) 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 18 / 32
5.3 Konvexní a konkávní funkce V ta 5.15 Následující výroky jsou ekvivaletní: (i) f je konvexní na I, (ii) (iii) (iv) f (y) f (x) y x f (y) f (x) y x f (z) f (x) z x f (z) f (x) z x, f (z) f (y) z y, f (z) f (y) z y, kde v (ii), (iii) a (iv) poºadujeme, aby nerovnosti platily x, y, z I, x < y < z. 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 19 / 32
5.3 Konvexní a konkávní funkce V ta 5.16 Nech f : [a, b] R je spojitá. Jestliºe pro kaºdé x (a, b) platí (i) (ii) (iii) (iv) f (x) 0, pak f je na [a, b] konvexní. f (x) 0, pak f je na [a, b] konkávní. f (x) > 0, pak f je ryze konvexní na [a, b]. f (x) < 0, pak f je ryze konkávní na [a, b]. Denice 5.8 (inexní bod) Nech x 0 D f a nech existuje vlastní f (x 0 ). íkáme, ºe [x 0, f (x 0 )] je inexní bod funkce f, jestliºe existuje δ > 0 tak, ºe f je konkávní (resp. konvexní) v P (x δ 0 ) a konvexní/konkávní v P+(x δ 0 ). 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 20 / 32
5.4 Pr b h funkce V ta 5.17 (nutná podmínka pro inexi) Nech [x 0, f (x 0 )] R 2 je inexní bod funkce f. Potom f (x 0 ) neexistuje nebo je rovna nule. V ta 5.18 Nech f (a) = 0. (i) Nech na n jakém P δ (a) je f (a) > 0 a na P δ +(a) je f (a) < 0. Potom f má v a lokální maximum. (ii) Nech na n jakém P δ +(a) je f (a) < 0 a na P δ (a) je f (a) > 0. Potom f má v a lokální minimum. (iii) Nech f (a) < 0. Potom f má v a lokální maximum. (iv) Nech f (a) > 0. Potom f má v a lokální minimum. 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 21 / 32
5.4 Pr b h funkce Denice 5.9 ekneme, ºe funkce y(x) = ax + b, a, b R, je asymptotou funkce f v + (resp. v ), jestliºe lim (f (x) ax b) = 0, (resp. lim (f (x) ax b) = 0). x + x V ta 5.19 Funkce f má v + asymptotu y(x) = ax + b, a, b R, práv kdyº f (x) lim = a R, lim (f (x) ax) = b R. x + x x + 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 22 / 32
5.4 Pr b h funkce Vy²et ení pr b hu funkce 1 Ur íme deni ní obor a obor spojitosti funkce. 2 Zjistíme symetrie funkce: lichost, sudost, periodicita; pr se íky s osami (pokud je to moºné). 3 Dopo ítáme limity v "krajních bodech deni ního oboru". 4 Spo teme první derivaci, p ípadn jednostrannou, ur íme intervaly monotonie a nalezneme lokální a globální extrémy. Ur íme obor hodnot. 5 Spo teme druhou derivaci a ur íme intervaly, kde funkce f je konvexní nebo konkávní. Ur íme inexní body. 6 Vypo teme asymptoty funkce. 7 Na rtneme graf funkce. 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 23 / 32
5.6 Základní typy oby ejných diferenciálních rovnic Motivace: volný pád bez odporu vzduchu: Obecn pak ma = F (t, x, v), tj. ma = mg v = g m d2 x dx = F (t, x, dt2 dt ). Oby ejné diferenciální rovnice (ODR): rovnice pro neznámou funkci jedné prom nné (zde x = x(t)), ve které se vyskytují derivace hledané funkce. 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 24 / 32
5.6 Základní typy ODR Denice 5.10 (Oby ejnou) diferenciální rovnicí (ODR) pro funkci y = y(x) rozumíme rovnici tvaru F (y (n), y (n 1),..., y, y, y, x) = 0, (3) kde F je reálná funkce n + 2 prom nných. ádem ODR (3) nazveme ád nejvy²²í derivace funkce y, která se v rovnici (3) vyskytuje. 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 25 / 32
5.6 Základní typy ODR Denice 5.11 e²ením diferenciální rovnice (3) rozumíme funkci y denovanou na n jakém neprázdném otev eném intervalu I, která má v kaºdém bod intervalu I vlastní n-tou derivaci a jejíº hodnoty spolu s hodnotami derivací spl ují rovnici (3) v kaºdém bod intervalu I, tj. pro kaºdé x I platí F (y (n) (x), y (n 1) (x),..., y (x), y (x), y(x), x) = 0. e²ení y diferenciální rovnice (3) je maximální, pokud neexistuje takové e²ení z, pro které D y D z a které se na D y shoduje s y. 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 26 / 32
5.6 Základní typy ODR Denice 5.12 Rovnice se separovanými prom nnými je rovnice tvaru y = g(y) h(x). (4) Návod k e²ení: Pokud g(c) = 0, je funkce y(x) = c e²ením rovnice. Na intervalech, kde g(y) 0 uvaºte y dy g(y) = h(x) dx. g(y) = h(x) s následným Nutná je diskuse o moºnostech navazování e²ení p edchozích dvou typ! 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 27 / 32
5.6 Základní typy ODR Denice 5.13 Lineární ODR prvního ádu je rovnice tvaru y + p(x)y = q(x), (5) kde p, q jsou spojité funkce na daném intervalu (a, b), a, b R, a < b Návod k e²ení: Násobte rovnici výrazem e P(x), kde P je primitivní funkce k p na (a, b). Upravte na levé stran do tvaru derivace sou inu. Integrujte. 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 28 / 32
5.6 Základní typy ODR Denice 5.14 Lineární diferenciální rovnice druhého ádu s konstantními koecienty je rovnice tvaru Ay + By + Cy = f (x), (6) kde A, B, C R, A 0, a funkce f (x) je spojitá na intervalu (a, b). Pokud je f identicky nulová na (a, b), nazýváme rovnici (6) homogenní. 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 29 / 32
5.6 Základní typy ODR P ípad I: f 0, rovnice: Ay + By + Cy = 0, obecné e²ení y h Pokud charakteristická rovnice Aλ 2 + Bλ + C = 0 má: 1 dva r zné reálné ko eny λ 1 λ 2 : y h (x) = c 1 e λ1x + c 2 e λ 2x 2 jeden dvojnásobný reálný ko en λ: y h (x) = c 1 e λx + c 2 xe λx 3 dva komplexn sdruºené ko eny α ± iβ, β 0: y h (x) = e αx (c 1 cos βx + c 2 sin βx) 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 30 / 32
5.6 Základní typy ODR P ípad II: f 0, rovnice: Ay + By + Cy = f (x) Pro e²ení y(x) platí: y(x) = y h (x) + y p (x), kde y h (x) je obecné e²ení homogenní rovnice (viz p edchozí p ípad) a y p (x) je jedno (jakékoliv), tzv. partikulární e²ení rovnice Ay + By + Cy = f (x). N která partikulární e²ení lze 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 31 / 32
5.6 Základní typy ODR Je-li f (x) = P(x)e αx, kde α R a P je polynom, potom existuje polynom Q, st Q = st P, ºe 1 α λ 1, α λ 2 = y p (x) = Q(x)e αx, 2 α λ 1, α = λ 2 = y p (x) = xq(x)e αx, 3 α = λ 1 = λ 2 = y p (x) = x 2 Q(x)e αx. Je-li f (x) = e αx (P(x) cos βx + R(x) sin βx), (P, R polynomy), existují polynomy Q, S, stupn nejvý²e max(st P, st R), takové, ºe 1 α + iβ λ 1, α + iβ λ 2 = y p (x) = e αx (Q(x) cos βx + S(x) sin βx), 2 α + iβ = λ 1, α + iβ λ 2 = y p (x) = xe αx (Q(x) cos βx + S(x) sin βx), Více se dozvíme ve speciální kapitole v nované ODR v p edná²ce Aplikovaná matematika 3, NMAF073. 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 32 / 32