Kapitola 10 Rovinné nosníkové soustavy: trojkloubový nosník bez táhla a s táhlem 10.1 Trojkloubový rám Trojkloubový rám se skládá ze dvou rovinně lomených nosníků v rovinné úloze s kloubovým spojením a podepřením dvěma kloubovými vodorovně i svisle neposuvnými podporami. Pokud by byl rovinně lomený nosník v rovinné úloze se dvěma kloubovými vodorovně i svisle neposuvnými podporami, jednalo by se o tzv. dvojkloubový rám, který je 1x kinematicky přeurčitý a 1x staticky neurčitý. Vložením 1 vnitřního momentového kloubu vznikne soustava kinematicky i staticky určitá. Při výpočtu celkem 4 neznámých reakcí ve vnějších vazbách se využijí 3 podmínky rovnováhy a podmínka, že ohybový moment ve vnitřním momentovém kloubu je nulový. Tuto vnitřní sílu lze počítat z obou stran, čímž lze získat dostatečné množství výpočetních podmínek i ke kontrole. Jednotný postup pro výpočet reakcí ve vnějších vazbách pak může vypadat následovně: 1. Součet statických momentů na celé konstrukci k pravé podpoře M b = 0, 2. Ohybový moment ve vnitřním momentovém kloubu počítaný zleva Mc L = 0, 3. Součet statických momentů na celé konstrukci k levé podpoře M a = 0, 4. Ohybový moment ve vnitřním momentovém kloubu počítaný zprava Mc P = 0, 5. Kontrolní součet všech vnějších sil ve svislém směru R z = 0, 6. Kontrolní součet všech vnějších sil ve vodorovném směru R x = 0. V případě, že vnější vazby v bodech a a b neleží ve stejné výškové úrovni, rovnice 1 a 2, resp. 3 a 4 představují dvojici soustav 2 rovnic o dvou neznámých. V opačném případě mohou být rovnice 1 až 4 při vhodném pořadí ve výpočtu vždy jen s jednou neznámou. 140
10.2. PŘÍKLAD 1 10.2 Příklad 1 Postup výpočtu reakcí a vnitřních sil lze procvičit u trojkloubového rámu, jehož statické schéma je zobrazeno na obr. 10.1. Obrázek 10.1: Schéma trojkloubov0ho r8mu z příkladu 1 10.2.1 Výpočet reakcí 1. Součet statických momentů na celé konstrukci k levé podpoře: Ma = 0 : P 1 1,5+Q 2+P 2 2 R b 4 = 0 R b = 2,75 [kn] ( ), (10.1) 2. Součet statických momentů na celé konstrukci k pravé podpoře: Mb = 0 : R a 4 P 1 5,5 Q 2+P 2 2 = 0 R a = 3,25 [kn] ( ), (10.2) 141
10.2. PŘÍKLAD 1 3. Ohybový moment ve vnitřním momentovém kloubu počítaný zleva: M L c = 0 : H a 4 P 1 1,5 = 0 H a = 0,75 [kn] ( ), (10.3) 4. Ohybový moment ve vnitřním momentovém kloubu počítaný zprava: M P c = 0 : H b 4+R b 4+P 2 2 Q 2 = 0 H b = 2,25 [kn] ( ), (10.4) 5. Kontrolní součet všech vnějších sil ve vodorovném směru R x = 0. 6. Kontrolní součet všech vnějších sil ve svislém směru: R x = 0 : H a H b +P 2 = 0. (10.5) R z = 0 : R a +R b P 1 Q = 0, (10.6) 10.2.2 Průběhy vnitřních sil Výpočet vnitřních sil se pak provádí s využitím podmínek rovnováhy tradičním způsobem. Výsledné průběhy normálových a posouvajících sil jsou uvedeny na obr. 10.2 a 10.3, průběhy ohybových momentů pak na obr. 10.4. Obrázek 10.2: Průběh normálových sil na trojkloubovém rámu z příkladu 1 142
10.3. TROJKLOUBOVÝ RÁM S TÁHLEM Obrázek 10.3: Průběh posouvajících sil na trojkloubovém rámu z příkladu 1 Obrázek 10.4: Průběh ohybových momentů na trojkloubovém rámu z příkladu 1 10.3 Trojkloubový rám s táhlem U trojkloubového rámu vznikají vodorovné složky reakcí (jsou větší čím menší je převýšení kloubu oproti spojnici podporových bodů). Zachycení těchto vodorovných účinků je někdy obtížné, nebot konstrukce může být uložena na zdech nebo štíhlých sloupech, které nemusí být schopny tyto vodorovné síly unést. Řešením je proto využití táhla, které vodorovné účinky přenáší. Konstrukce, na které trojkloubový rám spočívá, pak není zatížena vodorovnými účinky (pokud na trojkloubový rám ale nepůsobí vodorovné zatížení). 143
10.4. PŘÍKLAD 2 Postup pro výpočet reakcí ve vnějších vazbách se pak neliší od výpočtu např. u lomeného nosníku: 1. Součet statických momentů na celé konstrukci k levé podpoře M a = 0 R bz, 2. Součet statických momentů na celé konstrukci k pravé podpoře M b = 0 R az, 3. Součet všech vnějších sil ve vodorovném směru R x = 0 R ax nebo R bx. 4. Kontrolní součet všech vnějších sil ve svislém směru R z = 0. Normálová síla v táhle N t se pak určí z podmínky, která se váže k vnitřnímu momentovému kloubu - ohybový moment je v něm nulový. Tuto vnitřní sílu lze počítat z obou stran, čímž lze kromě určení hodnoty síly v táhle N t provést také její kontrolu. 10.4 Příklad 2 Postup výpočtu reakcí, síly v táhle N t a vnitřních sil lze procvičit u trojkloubového rámu s táhlem, jehož statické schéma je zobrazeno na obr. 10.5. Obrázek 10.5: Schéma trojkloubového rámu s táhlem z příkladu 2 144
10.4. PŘÍKLAD 2 10.4.1 Výpočet reakcí Výpočet reakcí je následující: 1. Součet statických momentů na celé konstrukci k levé podpoře: Ma = 0 : Q 2,5 P 7+M +R b 5 = 0 R b = 8,8 [kn] ( ), (10.7) 2. Součet všech vnějších sil ve vodorovném směru: R x = 0 : H a +P = 0 H a = 3 [kn] ( ), (10.8) 3. Součet statických momentů na celé konstrukci k pravé podpoře: Mb = 0 : R a 5+Q 2,5 P 5+M H a 2 = 0 R a = 1,2 [kn] ( ), (10.9) 4. Kontrolní součet všech vnějších sil ve svislém směru: 10.4.2 Výpočet síly v táhle R z = 0 : R a +R b Q = 0. (10.10) Sílu v táhle N t lze s využitím schématu na obr. 10.6 určit následujícím způsobem: 1. Ohybový moment ve vnitřním momentovém kloubu počítaný zleva: M L c = 0 : H a 7 N t 5 = 0 N t = 4,2 [kn], (10.11) 2. Ohybový moment ve vnitřním momentovém kloubu počítaný zprava: M P c = 0 : M +R b 5 N t 5 Q 2,5 = 0 N t = 4,2 [kn]. (10.12) 10.4.3 Průběhy vnitřních sil Výpočet vnitřních sil se pak provádí s využitím podmínek rovnováhy tradičním způsobem. Výsledné průběhy normálových a posouvajících sil jsou uvedeny na obr. 10.7 a 10.8. Průběhy ohybových momentů jsou pak zobrazeny na obr. 10.9. 145
10.4. PŘÍKLAD 2 Obrázek 10.6: Schéma pro určení síly v táhle trojkloubovém rámu s táhlem z příkladu 2 Obrázek 10.7: Průběh normálových sil na trojkloubovém rámu s táhlem z příkladu 2 146
10.4. PŘÍKLAD 2 Obrázek 10.8: Průběh posouvajících sil na trojkloubovém rámu s táhlem z příkladu 2 Obrázek 10.9: Průběh ohybových momentů na trojkloubovém rámu s táhlem z příkladu 2 147