Technická univerzit v Liberci Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky ROVNOĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ, VOLNÉ ROVNOĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ Pomocný učební text Petr Pirklová Liberec, září 2013 1
ekriptivní geometrie e zbývá metodmi způoby zobrzování protorových útvrů n rovinu řešením úloh v těchto útvrech yntetickou metodou. Tké rozšiřuje pětuje protorovou předtvivot. PROMÍTÁNÍ Promítání zobrzuje protorové útvry do promítcí roviny (průmětn). Pokud promítáme kždý bod útvru do roviny ze tředu, vznikne tředové promítání. Vedeme-li kždým bodem útvru přímku dného měru tkto promítneme útvr do roviny, máme rovnoběžné promítání. Středové promítání e nejvíce blíží proceu vidění. Je velice názorné, le jeho nevýhodou je ložitot kontrukcí měření délek. N druhé trně v rovnoběžném promítání nejou kontrukce tk ložité, le trpí v něm názornot. S Středové promítání V náledujícím textu e budeme zbývt pouze promítáním rovnoběžným. Pokud zobrzujeme npř. bod, vedeme jím přímku měru promítání (promítcí přímk). T protne průmětnu v jejím rovnoběžném průmětu. Tkto zdné promítání všk není vzájemně jednoznčné zobrzení. Nelze zpětně zrekontruovt podobu vzoru. = = Rovnoběžné promítání Pokud je možné útvr v protoru zpětně zíkt z jeho rovinného obrzu, pk je tkové zobrzení vzájemně jednoznčné nzýváme ho zobrzovcí metodou. Zobrzení používná v dekriptivní geometrii: ) Rovnoběžná promítání: kótovné promítání Mongeovo promítání prvoúhlá xonometrie kooúhlé promítání kooúhlá xonometrie volné rovnoběžné promítání není zobrzovcí metod 2
b) Středová promítání: tředové zobrzení (promítání) lineární perpektiv peciální přípd tředového zobrzení ROVNOĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ efinice: Útvr U promítáme ve měru, etrojíme-li všemi body útvru U přímky měru. efinice: Rovnoběžný průmět útvru U do roviny je množin rovnoběžných průmětů všech bodů útvru U. Vltnoti rovnoběžného promítání: 1) Průmětem bodu je bod. 2) Průmětem přímky je přímk nebo bod, je-li přímk promítcí (měru promítání). P=P = = =P=P Obrz přímky v rovnoběžném promítání 3) Průmětem roviny je celá průmětn nebo přímk, je-li rovin promítcí. 4) Promítání e incidence zchovává. 5) Rovnoběžným průmětem dvou různých rovnoběžných přímek jou opět rovnoběžné přímky (různé nebo plývjící) nebo dv různé body, jou-li přímky promítcí. b b b b =b b Obrz dvou rovnoběžek 6) Průmětem rovnoběžníku je rovnoběžník nebo úečk. 7) Průmětem rovnoběžných hodných úeček jou opět rovnoběžné hodné úečky (jejichž přímky noitelky mohou plývt) nebo dv body (které mohou tké plývt). 8) Z předchozích vět je vidět, že rovnoběžnot e zchovává. Vltnotem, které e při promítání nemění, říkáme invrinty. efinice: ělící poměr tří různých bodů ležících n přímce je čílo () = =, přitom předpokládáme, že,. Znménko + pltí tehdy, leží-li bod vně úečky. Znménko pltí tehdy, leží-li bod uvnitř úečky. Pozn.: leží-li bod vně z bodem je λ > 1, leží-li vně z bodem je λ < 1 λ > 0. 9) ělící poměr tří různých bodů ležících n přímce, která není promítcí, e rovnoběžným promítáním zchovává. 3
10) Poměr velikotí rovnoběžných úeček neležících n promítcích přímkách (mohou ležet i n jedné přímce) e rovnoběžným promítáním nemění. Zvláštním přípdem rovnoběžného promítání je promítání prvoúhlé. Promítcí přímky jou kolmé k průmětně. Pro prvoúhlé promítání tedy pltí věty 1) - 10) i věty dlší. Některé i uvedeme. 11) Odchylk přímky p od roviny je menší než odchylk přímky p od libovolné přímky q, ležící v různoběžné prvoúhlým průmětem p přímky p do roviny. p q=q < p Odchylk přímky od roviny 12) Pro velikot prvoúhlého průmětu úečky pltí:, kde je odchylk přímky od průmětny. 13) Nechť přímk p není kolmá k průmětně, potom libovolná přímk kolmá k p zároveň rovnoběžná průmětnou je tké kolmá k prvoúhlému průmětu p přímky p. Obráceně: je-li kolmá k p zároveň je rovnoběžné průmětnou, pk tké pltí, že je kolmá k p. 14) Vět o prvoúhlém průmětu prvého úhlu: Prvoúhlým průmětem prvého úhlu, jehož žádné rmeno není kolmé k průmětně jehož, lepoň jedno rmeno je průmětnou rovnoběžné, je prvý úhel. Obráceně: Je-li prvoúhlým průmětem úhlu prvý úhel, je-li lepoň jedno rmeno rovnoběžné průmětnou, pk úhel je prvý. VOLNÉ ROVNOĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ Volné rovnoběžné promítání používáme k ilutrci řešení zobrzování. Obrzy protorových útvrů v tomto promítání e vyznčují poměrnou kontrukční jednoduchotí názornotí. Volné rovnoběžné promítání čátečně vychází z Pohlkeovy věty: Mějme dán libovolný čtyřtěn. Pk kždé čtyři body v rovině, které neleží n přímce, můžeme povžovt z rovnoběžné průměty vrcholů některého čtyřtěnu, který je podobný dným čtyřtěnem. Z této věty plyne: Mějme dán libovolný trojúhelník. Pk kždé tři body v průmětně, pokud všechny neplývjí, můžeme pokládt z rovnoběžný průmět vrcholů trojúhelníku, který je dným trojúhelníkem podobný. 4
Při zobrzování geometrických útvrů ve VRP vycházíme, jk je již uvedeno výše, z Pohlkeovy věty z vltnotí rovnoběžného promítání (zchování incidence, rovnoběžnoti, dělícího poměru). Ve všem ottním je volb obrzu volná řídí e zprvidl jen účelnotí názornotí. Tkto zvedené RP všk není vzájemně jednoznčným zobrzením, tedy není zobrzovcí metodou. Proto VRP užíváme jen v přípdech, kdy ná nezjímá kutečná velikot objektů, le pouze jejich vzájemné vzthy. Z průmětnu povžujeme vilou rovinu, kterou obvykle přemíťujeme do nákreny. Přímky rovnoběžné průmětnou nzýváme průčelné, přímky kolmé k průmětně hloubkové. Roviny rovnoběžné průmětnou jou roviny průčelné. Rovinné obrzce volíme nejčtěji ve vodorovných (horizontálních) nebo vilých (vertikálních) rovinách. horizontální r. vertikální r. průčelná r. Roviny ve volném rovnoběžném promítání N náledujících obrázcích je několik způoby zobrzen čtverec, o jehož poloze umítění k průmětně nic nevíme. Všechn prvidl pro zobrzení ve VRP jou všk zchován. Pokud upřeníme, že čtverec je v rovině kolmé k průmětně tk, že trny jou v průčelné rovině, pk velikot těchto trn e zchová. Obrzy přímek hloubkových, již volíme libovolně, tejně jko délky obrzů úeček,. Muí všk tyto velikoti být tejné. konečně muí pltit rovnoběžnot přímek, přímek,. = = Čtverec ve volném rovnoběžném promítání Kvůli názornoti obrzu zprvidl zvádíme ještě dlší dvě úmluvy: 1. Obrzy přímek kolmých k průmětně (hloubkových) krelíme tk, by vírly vodorovnou přímkou průmětny úhel 45. 5
2. Obrzy úeček n hloubkových přímkách zkrcujeme n polovinu jejich kutečné velikoti. Nyní zobrzíme ve VRP rovnotrnný trojúhelník. Pokud bychom nepřihlíželi k poledním dvěm úmluvám, pk obrzem rovnotrnného trojúhelník by mohl být jkýkoliv trojúhelník. Přihlédneme-li k nim, pk etrojíme obrz npř. podle níže uvedeným obrázkům, kde trn, je v průčelné poloze ve kutečné velikoti. Obrz hloubkové přímky (výšk n trnu c) vírá obrzem přímky úhel velikoti 45 úečk je zkrácen n polovinu kutečné velikoti. Přitom rozlišujeme pohled zprv pohled zlev. 45 45 pohled zprv pohled zlev Při etrojování obrzů mnohoúhelníků můžeme potupovt tk, že zvolíme libovolný trojúhelník, který je čátí zobrzovného rovinného obrzce pk použitím vltnotí, které e rovnoběžným promítání zchovávjí, doplníme obrz. ORZ KRUŽNIE Je-li rovin kružnice promítcí, pk obrzem kružnice je úečk. Je-li v průčelné poloze, pk obrzem je kružnice obrzy jejích družených průměrů jou opět kolmé průměry. V ottních přípdech je obrzem kružnice elip. Kolmé průměry MN, PQ kružnice k e zobrzí do družených průměrů elipy. Q M S N P Obrz kružnice hceme-li všk pouze přibližně určit obrz kružnice, pk pomocí dvou čtverců opných kružnici určíme pro obrz kružnice om bodů tečnmi v nich. Obrz kružnice pk do tohoto obrzce vepíšeme. Obrz kružnice pomocí dvou čtverců 6
ZORZENÍ TĚLES Těle volíme obvykle podtvou ve vodorovné rovině u hrntých těle volíme jednu hrnu nebo těnu v průčelné rovině. Vždy e nžíme, by obrz zobrzovného těle byl názorný. Viditelnot hrn určíme podle toho, zd je těleo zobrzeno v ndhledu zprv, ndhledu zlev, podhledu zlev nebo podhledu zprv. ndhled z prv ndhled zlev podhled z lev podhled z prv Poznámk: při zobrzování těle budeme zprvidl používt ndhled zprv. V této kpitole e peciálně zmíníme o etrojení obrzu kulové plochy. Kulová ploch e zobrzí jko elip. Tuto elipu určíme jko obálku obrzů tří obvodových kružnic kulové plochy, které leží v průčelné, vertikální horizontální rovině. V průčelné rovině e kružnice zobrzí jko kružnice. V horizontální vertikální rovině e zobrzí jko elipy, jejichž družené průměry jou n přímce v průčelné poloze n hloubkové přímce (zobrzí e pod úhlem 45 délk poloměru, který n této přímce leží, e zkrátí n polovinu). r r r/2 S Zobrzení kulové plochy Příkld: Zobrzte obrz krychle o délce trny ve volném rovnoběžném promítání. Příkld: Zobrzte obrz prvidelného pětibokého jehlnu ve volném rovnoběžném promítání. 7