14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

Podobné dokumenty
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

12. N á h o d n ý v ý b ě r

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

8. Analýza rozptylu.

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

V. Normální rozdělení

Bc. Barbora Šimková. Odhady parametrů rozdělení náhodných veličin

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

Pravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

n-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti

Teorie odhadů 2 Teorie odhadů... 3 Odhad parametrů... 4

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a statistika II

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

Intervalové odhady parametrů

Číselné charakteristiky náhodných veličin

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

Pravděpodobnost a matematická statistika

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PoznÁmky k přednášce

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

NMSA331 Matematická statistika 1

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Pravděpodobnost a matematická statistika

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady

Pravděpodobnostní modely

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

Kvantily. Problems on statistics.nb 1

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Pravděpodobnost a matematická statistika

Úloha II.S... odhadnutelná

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Pavel Pejřimovský. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Statistika pro metrologii

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:

5. Posloupnosti a řady

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Mocninné řady - sbírka příkladů

Testy homoskedasticity v lineárním modelu

1 Základní pojmy a vlastnosti

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

Úloha III.S... limitní

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Deskriptivní statistika 1

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Interval spolehlivosti pro podíl

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

6. P o p i s n á s t a t i s t i k a

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Testování statistických hypotéz

3. cvičení - LS 2017

3. cvičení - LS 2017

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Michaela Kurková. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Stochastické modely časových řad

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Transkript:

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž úlohu, ve které hledáme odhady ezámých parametrů rozděleí. 4.. Formulace úlohy. Předpokládáme, že je dá áhodý výběr X, X 2,..., X z rozděleí s hustotou f(x, θ, θ 2,..., θ m ), či pravděpodobostí fukcí p(x, θ, θ 2,..., θ m ), kde θ = (θ, θ 2,..., θ m ) jsou parametry rozděleí. Na základě hodot áhodého výběru odhadujeme parametry rozděleí tak, aby co ejlépe odpovídaly hodotám áhodého výběru. Odhad provádíme pomocí vhodě zvoleé fukce áhodého výběru, statistiky τ, která je odhadem parametrů θ či jejich fukce γ(θ). O takové úloze mluvíme jako o bodovém odhadu parametrů. Příklad: V případě ormálího rozděleí, kdy X i N(µ; σ 2 ), je θ = µ a θ 2 = σ 2. Pro expoeciálí rozděleí, kde X i Exp(A; δ), je třeba θ = A + δ a θ 2 = δ, eboť je středí hodota rova A + δ a rozptyl je δ 2. 4.2. Testováí vhodosti a kvality odhadů.. Nestraost odhadů. Statistika τ je estraým odhadem fukce parametrů γ(θ), jestliže je E(τ) = γ(θ). Příklad: Je-li X, X 2,..., X áhodý výběr z rozděleí, pro které je E(X i ) = µ, pak je statistika výběrový průměr τ = X = X i estraým odhadem středí hodoty µ. Je-li rozptyl D(X i ) = σ 2, pak je statistika výběrový rozptyl estraým odhadem rozptylu σ 2. τ = S 2 = (X i X) 2 Pozámka: Pro středí hodotu statistiky τ je ěkdy splěa slabší podmíka lim E(τ) = γ(θ). Takový odhad azýváme asymptoticky estraý. Příklad: Statistika τ = s 2 = (X i X) 2 je asymptoticky estraým odhadem rozptylu σ 2, eboť je E(s 2 ) = σ2. 2. Kozistetost odhadu. Statistika τ je kozistetím odhadem fukce parametrů γ(θ), jestliže platí lim P ( τ γ(θ) < ε) = pro každé ε > 0. 82

Pozámka: Z Čebyševovy erovosti vyplývá, že estraé odhady s koečým rozptylem jsou kozistetí. Je totiž E(τ) = γ(θ) a P ( τ γ(θ) < ε) D(τ) ε 2. Příklad: Je-li áhodý výběr výběrem z ormálího rozděleí N(µ; σ 2 ), pak pro výběrový průměr platí: E(τ) = E(X) = µ a D(τ) = D(X) = σ2. Je tedy výběrový průměr X estraým a kozistetím odhadem středí hodoty µ. Pro výběrový rozptyl S 2 je E(S 2 ) = σ 2 a D(S 2 ) = ( ) ( 3)σ4 µ 4, 3 je tedy statistika S 2 estraým a kozistetím odhadem rozptylu σ 2. 3. Vydatost odhadu. Nestraý odhad τ fukce parametrů γ(θ), pro který je rozptyl D(τ) = E[(τ γ(θ)) 2 ] miimálí, se azývá ejlepší estraý odhad. Metody hledáí bodových odhadů. 4.3. Metoda maximálí věrohodosti je založea a vlastostech sdružeé hustoty či pravděpodobostí fukce. Je-li X, X 2,..., X z rozděleí s hustotou, či pravděpodobostí fukcí f(x, θ, θ 2,..., θ m ), pak má áhodý vektor (X, X 2,..., X ) sdružeou hustotu, či pravděpodobostí fukci Tuto fukci ozačujeme f(x, θ, θ 2,..., θ m ).f(x 2, θ, θ 2,..., θ m )... f(x, θ, θ 2,..., θ m ). ( ) L(x, x 2,..., x, θ) a azýváme ji věrohodostí fukcí. Hodotu ˆθ, pro kterou je věrohodostí fukce maximálí, azýváme maximálě věrohodým odhadem parametrů θ. Protože má v řadě případů hustota expoeciálí průběh používáme místo věrohodostí fukce L(x, θ) její logaritmus. Maximálě věrohodý odhad ˆθ je řešeím soustavy věrohodostích rovic L(x, x 2,..., x, θ) θ k = 0 l L(x, x 2,..., x, θ) θ k = 0, k m. Odhadujeme-li fukci γ(θ), pak je jejím maximálě věrohodým odhadem fukce γ(ˆθ). 4.4. Příklad: Normálí rozděleí. Pro ormálí rozděleí N(µ; σ 2 ) je hustota rova f(x) = σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 83

a tedy věrohodostí fukce je rova L(x, x 2,..., x, µ, σ 2 ) = (σ 2π) e (x i µ) 2 2σ 2 Pro logaritmus věrohodostí fukce l L tedy platí: l L(x, x 2,..., x, µ, σ 2 ) = 2 l (σ2 ) l ( 2π) 2σ 2 Potom je soustava věrohodostích rovic rova: l L µ = 2σ 2 2 (x i µ)( ) = 0, (x i µ) 2 Z prví rovice dostaeme l L σ 2 = 2σ 2 + 2σ 4 (x i µ) 2 = 0. Po dosazeí do druhé rovice dostaeme (x i µ) = 0 ˆµ = X i = X. σ 2 = (X i µ) 2 ˆσ 2 = (X i X) 2. Všimeme si, že odhad středí hodoty µ je estraý a kozistetí odhad a odhad rozptylu σ 2 je asymptoticky estraý. 4.5. Příklad: Poissoovo rozděleí P o(λ) má pravděpodobostí fukci p(k) = λk k! e λ, k = 0,, 2,... a E(X i ) = D(X i ) = λ. Je tedy věrohodostí fukce rova a její logaritmus je rove L(k, k 2,..., k, λ) = λk +k 2 +...+k k!k 2!... k e λ l L(k, k 2,..., k, λ) = λ + (k + k 2 +... + k ) l λ l (k!k 2!... k!). Odtud dostaeme věrohodostí rovici l L λ = + λ (k + k 2 +... + k ) = 0 λ = (k + k 2 +... + k ). Maximálě věrohodý odhad parametru λ je rove ˆλ = X i = X. 84

Protože je E(X) = λ a D(X) = λ je získaý odhad estraý a kozistetí. 4.5. Příklad: Expoeciálí rozděleí Exp(0; δ) má hustotu f(x) = δ e x δ, x > 0, pro které je E(X i ) = δ. Věrohodostí fukce je rova a její logaritmus je rove L(x, x 2,..., x, δ) = δ e δ x i l L(x, x 2,..., x, δ) = l δ δ Odtud dostaeme věrohodostí rovici x i. l L δ = δ + δ 2 x i = 0. Maximálě věrohodý odhad parametru δ je Teto odhad je estraý a kozistetí. ˆδ = X i = X. 4.6. Příklad: Expoeciálí rozděleí Exp(A; δ) má hustotu f(x) = x A e δ, x > A, δ pro které je E(X i ) = A + δ a D(X i ) = δ. Věrohodostí fukce je rova a její logaritmus je rove L(x, x 2,..., x, A, δ) = δ e δ (x i A) l L(x, x 2,..., x, A, δ) = l δ (x i A). δ Musí být X i A, i a tudíž fukce l L má maximálí hodotu pro  = mi{x, X 2,..., X }. Věrohodostí rovice pro parametr δ je l L δ = δ + δ 2 (x i A) = 0. Maximálě věrohodý odhad parametru δ je ˆδ = (X i Â) = X Â. 85

Protože je E(Â) = A + δ eí teto odhad estraý, je vychýleý, asymptoticky estraý, ale je kozistetí. Dále je E(ˆδ) = δ, tudíž je teto odhad rověž asymptoticky estraý. 4.7. Příklad: Rovoměré rozděleí v itervalu (µ h, µ + h) má hustotu f(x) = 2h, µ h < x < µ + h, kde E(X i ) = µ a D(X i ) = h2 3. Věrohodostí fukce je a její logaritmus je rove L(x, x 2,..., x, µ, h) = (2h), µ h < x i < µ + h l L(x, x 2,..., x, µ, h) = l (2h) Tato fukce má maximálí hodotu pro miimálí volbu parametru h. Je tedy maximálě věrohodý odhad parametru h rove ĥ = 2 (max{x i; i } mi{x i ; i }). Pro maximálě věrohodý odhad středí hodoty dostaeme ˆµ = 2 (max{x i; i } + mi{x i ; i }). Z rozděleí uspořádaého výběru dostaeme, že E(ĥ) = h + a E(ˆµ) = µ. Odhad ˆµ je estraý, odhad ĥ je asymptoticky estraý a oba jsou kozistetí. Metoda mometů je založea a rovosti výběrových mometů a mometů rozděleí. 4.8. Defiice: Je-li X, X 2,..., X áhodý výběr, pak defiujeme k-tý výběrový momet jako M k = Xi k, k a k-tý cetrálí výběrový momet jako i M k = (X i X) k, k. Pokud má rozděleí, ze kterého provádíme áhodý výběr, parametry θ, θ 2,..., θ m, pak jejich odhad θ, θ 2,..., θ m určíme z rovic kde µ k jsou obecé momety rozděleí. M k = µ k, k m, 86

Pozámka: Nejčastěji používáme prví dva momety, pro které platí: M = X i = X a M 2 = Xi 2. 4.9. Příklad: Biomické rozděleí Bi(, p) má středí hodotu E(X i ) = p a rozptyl D(X i ) = p( p). Odhad parametru p určíme z rovice p = M = X i p = 2 X i = X. Protože je je odhad p estraý a kozistetí. E(p ) = 2.p = p a D(p ) = p( p) 2 4.0. Příklad: Normálí rozděleí N(µ; σ 2 ). Pro ormálí rozděleí je E(X i ) = µ, D(X i ) = σ 2 a E(X 2 i ) = σ2 + µ 2. Odhady parametrů µ a σ 2 dostaeme z rovic tedy µ = M = X, σ 2 + µ 2 = M 2 = Xi 2, µ = X a σ 2 = Xi 2 (X) 2. Odhady jsou shodé s maximálě věrohodými odhady z odstavce 4.4. 4.. Příklad: Expoeciálí rozděleí Exp(0, δ) má středí hodotu E(X i ) = δ a tudíž odhad parametru δ získáme z rovice M = µ X i = X = δ, tedy odhadem parametru δ je hodota δ = X. I teto odhad je shodý s maximálě věrohodým odhadem ˆδ z odstavce 4.5. 4.2. Příklad: Expoeciálí rozděleí Exp(A, δ) Má středí hodotu E(X i ) = A + δ a rozptyl D(X i ) = δ 2. Odhady parametrů rozděleí získáme z rovic tedy jejichž řešeím dostaeme δ = X = A + δ, M = µ a M 2 = µ 2, Xi 2 (X)2 a Xi 2 = δ 2 + (A + δ) 2, A = X 87 Xi 2 (X)2.

Všimeme si, že jsme získali jié odhady ež jsou maximálě věrohodé odhady z odstavce 4.5. 4. 3. Příklad: Rovoměré rozděleí v itervalu (µ h, µ+h) má středí hodotu E(X i ) = µ a roztyl D(X i ) = h2 3. Pro odhady parametrů µ a h dostaeme rovice M = µ a M 2 = µ 2 + h2 3. Jejich řešeím dostaeme pro odhady vyjádřeí ( µ = X a h = 3 Xi ), 2 (X)2 což jsou hodoty odlišé od maximálě věrohodých odhadů z odstavce 4.7. 88