Matematika a fyzika. René Kalus KAM, FEI, VŠB-TUO

Podobné dokumenty
2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

Laserová technika prosince Katedra fyzikální elektroniky.

Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY

Vlastní číslo, vektor

Obsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD TEORETICKÁ MECHANIKA...15

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

Fyzika I. Něco málo o fyzice. Petr Sadovský. ÚFYZ FEKT VUT v Brně. Fyzika I. p. 1/20

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Podobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

SVD rozklad a pseudoinverse

Teorie náhodných matic aneb tak trochu jiná statistika

10 Funkce více proměnných

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

Netradiční výklad tradičních témat

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory

5. 9. FYZIKA Charakteristika předmětu

Co je obsahem numerických metod?

Vybrané kapitoly z matematiky

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Simulace (nejen) fyzikálních jevů na počítači

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

MATEMATIKA I. Marcela Rabasová

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

Okruhy k maturitní zkoušce z fyziky

21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic

RELACE, OPERACE. Relace

Obsah PŘEDMLUVA 11 ÚVOD 13 1 Základní pojmy a zákony teorie elektromagnetického pole 23

Bakalářská matematika I

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

Linearní algebra příklady

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro

Základy matematiky pro FEK

Nelineární problémy a MKP

Globální matice konstrukce

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

0.1 Úvod do lineární algebry

Symetrické a kvadratické formy

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST

Podobnostní transformace

7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Soustavy lineárních rovnic

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC

AVDAT Vektory a matice

Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019

Matematická analýza pro informatiky I.

Učitelství 2. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY

Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.

15 Maticový a vektorový počet II

1 Vektorové prostory a podprostory

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému

Úlohy nejmenších čtverců

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Vlastní čísla a vlastní vektory

DRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma

Matematická analýza 1

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

16. Matematický popis napjatosti

Měření dat Filtrace dat, Kalmanův filtr

8 Matice a determinanty

FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:

Kvantová fyzika atomárních soustav letní semestr VIII. KOTLÁŘSKÁ 23. DUBNA 2014

6.1 Vektorový prostor

stránkách přednášejícího.

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Základy matematiky pro FEK

Analýza napjatosti PLASTICITA

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Arnoldiho a Lanczosova metoda

MATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Aplikovaná numerická matematika

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

Transkript:

Matematika a fyzika René Kalus KAM, FEI, VŠB-TUO

Úvod Příroda k nám promlouvá řečí matematiky Galileo Galilei

Úvod Philosophy is written in this grand book I mean the universe It is written in the language of mathematics, and its characters are triangles, circles, and other geometric figures, without which it is humanly impossible to understand a single word of it Galileo Galilei, Il Saggiatore, 1623, str. 171 překlad Richard Henry Popkin, citováno v The Philosophy of the Sixteenth and Seventeenth Centuries, 1966

Úvod Příklad - fyzika EMPIRIE pozorování a experiment data a vztahy mezi nimi TEORIE matematické odvozování nová data a nové vztahy

Úvod Příklad - fyzika EMPIRIE pozorování a experiment data a vztahy mezi nimi TEORIE matematické odvozování nová data a nové vztahy

Úvod Příklad - fyzika EMPIRIE pozorování a experiment data a vztahy mezi nimi čísla funkce statistika TEORIE matematické odvozování nová data a nové vztahy

Úvod Příklad - fyzika EMPIRIE pozorování a experiment data a vztahy mezi nimi TEORIE matematické odvozování nová data a nové vztahy primitivní pojmy axiomy (modely)

Úvod Příklad - fyzika EMPIRIE pozorování a experiment data a vztahy mezi nimi TEORIE matematické odvozování nová data a nové vztahy matematické struktury rovnice primitivní pojmy axiomy (modely)

Úvod Příklad - fyzika EMPIRIE pozorování a experiment data a vztahy mezi nimi TEORIE matematické odvozování nová data a nové vztahy primitivní pojmy axiomy (modely)

Úvod Příklad - fyzika EMPIRIE pozorování a experiment data a vztahy mezi nimi TEORIE matematické odvozování nová data a nové vztahy matematika matematika primitivní pojmy axiomy (modely)

Úvod Příklad - fyzika EMPIRIE pozorování a experiment data a vztahy mezi nimi TEORIE matematické odvozování nová data a nové vztahy primitivní pojmy axiomy (modely) předpovědi pochopení

Úvod Příklad - fyzika EMPIRIE pozorování a experiment data a vztahy mezi nimi TEORIE matematické odvozování nová data a nové vztahy přibližné, numerické, výpočetní metody primitivní pojmy axiomy (modely) předpovědi pochopení

Úvod Příklad - fyzika EMPIRIE pozorování a experiment data a vztahy mezi nimi TEORIE matematické odvozování nová data a nové vztahy primitivní pojmy axiomy (modely) předpovědi pochopení

Úvod Příklad racionální fyzika EMPIRIE pozorování a experiment data a vztahy mezi nimi TEORIE matematické odvozování nová data a nové vztahy primitivní pojmy axiomy (modely) předpovědi pochopení

Úvod Cíl dnešní přednášky Na jednoduchém příkladě materiálových rovnic pro dielektrika ilustrovat explicitní oddělení empirie a teorie a ukázat, že v deduktivní fázi si matematika vystačí sama se sebou i při odvozování docela konkrétních závěrů

EMPIRIE (primitivní pojmy a model)

Teorie elektromagnetického pole Maxwellovy rovnice B rot E t divd D rot H j t divb 0 Materiálové rovnice D D( E, H) B H j 0 D() 0 0

Materiálový vztah D = D(E) D D D D ( E, E, E ) 1 1 1 2 3 D ( E, E, E ) 2 2 1 2 3 D ( E, E, E ) 3 3 1 2 3

TEORIE I D = D(E) pro slabá pole

Taylorova věta 1 f( x) f( x ) f ( x )( x x ) f ( x )( x x ) 2... 0 0 0 2! 0 0

Taylorova věta 1 f( x) f( x ) f ( x )( x x ) f ( x )( x x ) 2... 0 0 0 2! 0 0 n f f( x,..., x ) f( x,..., x ) ( x,..., x )( x x ) 1 n 01 0n 01 0n j 0 j j1 x j n n 2 1 f 2! ( x01,..., x0n)( x j x0 j )( xk x0k )... x x j1 k1 j k

Taylorova věta (lineární přiblížení) n f f( x,..., x ) f( x,..., x ) ( x,..., x )( x x ) 1 n 01 0n 01 0n j 0 j j1 x j

Taylorova věta (lineární přiblížení) n f f( x,..., x ) f( x,..., x ) ( x,..., x )( x x ) 1 n 01 0n 01 0n j 0 j j1 x j a její aplikace na D 1 D1 D1 D1 D ( E1, E2, E3 ) D (0,0,0) (0,0,0) E (0,0,0) E (0, 0,0) E E E E 1 1 1 2 3 1 2 3

Taylorova věta (lineární přiblížení) n f f( x,..., x ) f( x,..., x ) ( x,..., x )( x x ) 1 n 01 0n 01 0n j 0 j j1 x j a její aplikace na D x D1 D1 D1 D ( E1, E2, E3 ) D (0,0,0) (0,0,0) E (0,0,0) E (0, 0,0) E E E E 1 1 1 2 3 1 2 3 D ( E, E, E ) E E x x y z E 11 1 12 2 13 3

Obecný tvar D = D(E) pro slabá pole D D 1 2 E E 11 1 12 2 13 3 E E E 21 1 22 2 23 3 D E E E 3 31 1 32 2 33 E 3

Obecný tvar D = D(E) pro slabá pole D D 1 2 E E 11 1 12 2 13 3 E E E 21 1 22 2 23 3 D E E E 3 31 1 32 2 33 E 3 D1 11 12 13 E1 D2 21 22 23 E2 D3 31 31 3 3 E3

Obecný tvar D = D(E) pro slabá pole V přiblížení slabých polí lze materiálové vlastnosti dielektrik charakterizovat devíti čísly. D D 1 2 E E 11 1 12 2 13 3 E E E 21 1 22 2 23 3 D E E E 3 31 1 32 2 33 E 3 D1 11 12 13 E1 D2 21 22 23 E2 D3 31 31 3 3 E3

Obecný tvar D = D(E) pro slabá pole V přiblížení slabých polí lze materiálové vlastnosti dielektrik charakterizovat devíti čísly. D D 1 2 E E 11 1 12 2 13 3 E E E 21 1 22 2 23 3 D E E E 3 31 1 32 2 33 E 3 D1 11 12 13 E1 D2 21 22 23 E2 D3 31 31 3 3 E3 Poznámky lineární vs. nelineární optika proč jsou pole zpravidla slabá transformační vlastnosti (tenzor)

TEORIE II Další omezení tvaru D = D(E) (slabá pole)

II. zákon termodynamický (EMPIRIE) ε 11 12 13 21 22 23 31 31 33 je symetrická a pozitivně definitní

Šest čísel. II. zákon termodynamický (EMPIRIE) ε 21 1 11 12 13 22 23 31 3 33 je symetrická a pozitivně definitní

Věta (TEORIE) pozitivně definitní (symetrickou) matici A ortogonální matice Q taková, že Q T.A.Q je diagonální a její prvky na diagonále jsou kladné. Věta (TEORIE) Množina všech rotací na R 3 je izomorfní s množinou všech ortogonálních matic 3 x 3. Galileův Einsteinův princip relativity (EMPIRIE) Fyzikální zákony mají ve všech inerciálních vztažných soustavách stejný tvar.

Věta (TEORIE) pozitivně definitní (symetrickou) matici A ortogonální matice Q taková, že Q T.A.Q je diagonální a její prvky na diagonále jsou kladné. Věta (TEORIE) Množina všech rotací na R 3 je izomorfní s množinou všech ortogonálních matic 3 x 3. Galileův Einsteinův princip relativity (EMPIRIE) Fyzikální zákony mají ve všech inerciálních vztažných soustavách stejný tvar.

Věta (TEORIE) pozitivně definitní (symetrickou) matici A ortogonální matice Q taková, že Q T.A.Q je diagonální a její prvky na diagonále jsou kladné. Věta (TEORIE) Množina všech rotací na R 3 je izomorfní s množinou všech ortogonálních matic 3 x 3. Galileův Einsteinův princip relativity (EMPIRIE) Fyzikální zákony mají ve všech inerciálních vztažných soustavách stejný tvar.

Věta (TEORIE) pozitivně definitní (symetrickou) matici A ortogonální matice Q taková, že Q T.A.Q je diagonální a její prvky na diagonále jsou kladné. Věta (TEORIE) Množina všech rotací na R 3 je izomorfní s množinou všech ortogonálních matic 3 x 3. Galileův Einsteinův princip relativity (EMPIRIE) Fyzikální zákony mají ve všech inerciálních vztažných soustavách stejný tvar. ε 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0

Věta (TEORIE) pozitivně definitní (symetrickou) matici A ortogonální matice Q taková, že Q T.A.Q je diagonální a její prvky na diagonále jsou kladné. Věta (TEORIE) Množina všech rotací na R 3 je izomorfní s množinou všech ortogonálních matic 3 x 3. Galileův Einsteinův princip relativity (EMPIRIE) Fyzikální zákony mají ve všech inerciálních vztažných soustavách stejný tvar. ε Tři (kladná) čísla. 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0

TEORIE III Závěry

Závěr V přiblížení slabých polí je možno materiálové (elektrické, optické) vlastnosti dielektrik popsat třemi kladnými čísly.

Závěr V přiblížení slabých polí je možno materiálové (elektrické, optické) vlastnosti dielektrik popsat třemi kladnými čísly. Klasifikace dielektrik 1 = 2 = 3 1 2 = 3 1 2 3 izotropní dielektrika (D = E) jednoosé krystaly dvojosé krystaly

Závěr V přiblížení slabých polí je možno materiálové (elektrické, optické) vlastnosti dielektrik popsat třemi kladnými čísly. Klasifikace dielektrik 1 = 2 = 3 1 2 = 3 1 2 3 Ingredience izotropní dielektrika (D = E) jednoosé krystaly dvojosé krystaly Taylorova věta (věta o totálním diferenciálu) věta o diagonalizaci symetrických matic izomorfie rotací a ortogonálních matic II. zákon termodynamiky princip relativity

Shrnutí Take-home message(s) role matematiky ve fyzice nenahraditelná na všech úrovních je možno / užitečné oddělit empirii od teorie a empirii náležitě formalizovat (racionální fyzika) (velmi) konkrétní závěry bez dalšího empirického vstupu vše souvisí se vším ne vždy vystačíme s počítáním na prstech jedné ruky Domácí úkol jak netriviální matematiku (a její použití ve fyzice) zprostředkovat (přinejmenším) nadaným SŠ studentům

Shrnutí Take-home message(s) role matematiky ve fyzice nenahraditelná na všech úrovních je možné / užitečné oddělit empirii od teorie a empirii náležitě formalizovat (racionální fyzika) (velmi) konkrétní závěry bez dalšího empirického vstupu vše souvisí se vším ne vždy vystačíme s počítáním na prstech jedné ruky Domácí úkol jak netriviální matematiku (a její použití ve fyzice) zprostředkovat (přinejmenším) nadaným SŠ studentům

Shrnutí Take-home message(s) role matematiky ve fyzice nenahraditelná na všech úrovních je možné / užitečné oddělit empirii od teorie a empirii náležitě formalizovat (racionální fyzika) (velmi) konkrétní závěry bez dalšího empirického vstupu vše souvisí se vším ne vždy vystačíme s počítáním na prstech jedné ruky Domácí úkol jak netriviální matematiku (a její použití ve fyzice) zprostředkovat (přinejmenším) nadaným SŠ studentům

Shrnutí Take-home message(s) role matematiky ve fyzice nenahraditelná na všech úrovních je možné / užitečné oddělit empirii od teorie a empirii náležitě formalizovat (racionální fyzika) (velmi) konkrétní závěry bez dalšího empirického vstupu vše souvisí se vším ne vždy vystačíme s počítáním na prstech jedné ruky Domácí úkol jak netriviální matematiku (a její použití ve fyzice) zprostředkovat (přinejmenším) nadaným SŠ studentům

Shrnutí Take-home message(s) role matematiky ve fyzice nenahraditelná na všech úrovních je možné / užitečné oddělit empirii od teorie a empirii náležitě formalizovat (racionální fyzika) (velmi) konkrétní závěry bez dalšího empirického vstupu vše souvisí se vším ne vždy vystačíme s počítáním na prstech jedné ruky Domácí úkol jak netriviální matematiku (a její použití ve fyzice) zprostředkovat (přinejmenším) nadaným SŠ studentům

Shrnutí Take-home message(s) role matematiky ve fyzice nenahraditelná na všech úrovních je možné / užitečné oddělit empirii od teorie a empirii náležitě formalizovat (racionální fyzika) (velmi) konkrétní závěry bez dalšího empirického vstupu vše souvisí se vším ne vždy vystačíme s počítáním na prstech jedné ruky Domácí úkol jak netriviální matematiku (a její použití ve fyzice) zprostředkovat (přinejmenším nadaným) SŠ studentům

Douška na úplný závěr Jak zformulovat lidsky (v kontextu této přednášky)? Nechť M n je množina všech n-prvkových množin kladných reálných čísel (s opakováním). Zaveďme na každé z těchto n-prvkových množin relaci ekvivalence EQ1 totožnou s rovností v. Dále přiřaďme každé n-prvkové množině uspořádanou m-tici (m n), jejíž jednotlivé složky odpovídají počtům prvků v jednotlivých třídách ekvivalence EQ1 uspořádaným vzestupně. Na M n definujme relaci ekvivalence EQ2 tak, že ekvivalentní n-prvkové množiny mají tyto vektory stejné (dokažte, že se jedná o relaci ekvivalence). Kolik tříd ekvivalence EQ2 na M n existuje?