Matematika a fyzika René Kalus KAM, FEI, VŠB-TUO
Úvod Příroda k nám promlouvá řečí matematiky Galileo Galilei
Úvod Philosophy is written in this grand book I mean the universe It is written in the language of mathematics, and its characters are triangles, circles, and other geometric figures, without which it is humanly impossible to understand a single word of it Galileo Galilei, Il Saggiatore, 1623, str. 171 překlad Richard Henry Popkin, citováno v The Philosophy of the Sixteenth and Seventeenth Centuries, 1966
Úvod Příklad - fyzika EMPIRIE pozorování a experiment data a vztahy mezi nimi TEORIE matematické odvozování nová data a nové vztahy
Úvod Příklad - fyzika EMPIRIE pozorování a experiment data a vztahy mezi nimi TEORIE matematické odvozování nová data a nové vztahy
Úvod Příklad - fyzika EMPIRIE pozorování a experiment data a vztahy mezi nimi čísla funkce statistika TEORIE matematické odvozování nová data a nové vztahy
Úvod Příklad - fyzika EMPIRIE pozorování a experiment data a vztahy mezi nimi TEORIE matematické odvozování nová data a nové vztahy primitivní pojmy axiomy (modely)
Úvod Příklad - fyzika EMPIRIE pozorování a experiment data a vztahy mezi nimi TEORIE matematické odvozování nová data a nové vztahy matematické struktury rovnice primitivní pojmy axiomy (modely)
Úvod Příklad - fyzika EMPIRIE pozorování a experiment data a vztahy mezi nimi TEORIE matematické odvozování nová data a nové vztahy primitivní pojmy axiomy (modely)
Úvod Příklad - fyzika EMPIRIE pozorování a experiment data a vztahy mezi nimi TEORIE matematické odvozování nová data a nové vztahy matematika matematika primitivní pojmy axiomy (modely)
Úvod Příklad - fyzika EMPIRIE pozorování a experiment data a vztahy mezi nimi TEORIE matematické odvozování nová data a nové vztahy primitivní pojmy axiomy (modely) předpovědi pochopení
Úvod Příklad - fyzika EMPIRIE pozorování a experiment data a vztahy mezi nimi TEORIE matematické odvozování nová data a nové vztahy přibližné, numerické, výpočetní metody primitivní pojmy axiomy (modely) předpovědi pochopení
Úvod Příklad - fyzika EMPIRIE pozorování a experiment data a vztahy mezi nimi TEORIE matematické odvozování nová data a nové vztahy primitivní pojmy axiomy (modely) předpovědi pochopení
Úvod Příklad racionální fyzika EMPIRIE pozorování a experiment data a vztahy mezi nimi TEORIE matematické odvozování nová data a nové vztahy primitivní pojmy axiomy (modely) předpovědi pochopení
Úvod Cíl dnešní přednášky Na jednoduchém příkladě materiálových rovnic pro dielektrika ilustrovat explicitní oddělení empirie a teorie a ukázat, že v deduktivní fázi si matematika vystačí sama se sebou i při odvozování docela konkrétních závěrů
EMPIRIE (primitivní pojmy a model)
Teorie elektromagnetického pole Maxwellovy rovnice B rot E t divd D rot H j t divb 0 Materiálové rovnice D D( E, H) B H j 0 D() 0 0
Materiálový vztah D = D(E) D D D D ( E, E, E ) 1 1 1 2 3 D ( E, E, E ) 2 2 1 2 3 D ( E, E, E ) 3 3 1 2 3
TEORIE I D = D(E) pro slabá pole
Taylorova věta 1 f( x) f( x ) f ( x )( x x ) f ( x )( x x ) 2... 0 0 0 2! 0 0
Taylorova věta 1 f( x) f( x ) f ( x )( x x ) f ( x )( x x ) 2... 0 0 0 2! 0 0 n f f( x,..., x ) f( x,..., x ) ( x,..., x )( x x ) 1 n 01 0n 01 0n j 0 j j1 x j n n 2 1 f 2! ( x01,..., x0n)( x j x0 j )( xk x0k )... x x j1 k1 j k
Taylorova věta (lineární přiblížení) n f f( x,..., x ) f( x,..., x ) ( x,..., x )( x x ) 1 n 01 0n 01 0n j 0 j j1 x j
Taylorova věta (lineární přiblížení) n f f( x,..., x ) f( x,..., x ) ( x,..., x )( x x ) 1 n 01 0n 01 0n j 0 j j1 x j a její aplikace na D 1 D1 D1 D1 D ( E1, E2, E3 ) D (0,0,0) (0,0,0) E (0,0,0) E (0, 0,0) E E E E 1 1 1 2 3 1 2 3
Taylorova věta (lineární přiblížení) n f f( x,..., x ) f( x,..., x ) ( x,..., x )( x x ) 1 n 01 0n 01 0n j 0 j j1 x j a její aplikace na D x D1 D1 D1 D ( E1, E2, E3 ) D (0,0,0) (0,0,0) E (0,0,0) E (0, 0,0) E E E E 1 1 1 2 3 1 2 3 D ( E, E, E ) E E x x y z E 11 1 12 2 13 3
Obecný tvar D = D(E) pro slabá pole D D 1 2 E E 11 1 12 2 13 3 E E E 21 1 22 2 23 3 D E E E 3 31 1 32 2 33 E 3
Obecný tvar D = D(E) pro slabá pole D D 1 2 E E 11 1 12 2 13 3 E E E 21 1 22 2 23 3 D E E E 3 31 1 32 2 33 E 3 D1 11 12 13 E1 D2 21 22 23 E2 D3 31 31 3 3 E3
Obecný tvar D = D(E) pro slabá pole V přiblížení slabých polí lze materiálové vlastnosti dielektrik charakterizovat devíti čísly. D D 1 2 E E 11 1 12 2 13 3 E E E 21 1 22 2 23 3 D E E E 3 31 1 32 2 33 E 3 D1 11 12 13 E1 D2 21 22 23 E2 D3 31 31 3 3 E3
Obecný tvar D = D(E) pro slabá pole V přiblížení slabých polí lze materiálové vlastnosti dielektrik charakterizovat devíti čísly. D D 1 2 E E 11 1 12 2 13 3 E E E 21 1 22 2 23 3 D E E E 3 31 1 32 2 33 E 3 D1 11 12 13 E1 D2 21 22 23 E2 D3 31 31 3 3 E3 Poznámky lineární vs. nelineární optika proč jsou pole zpravidla slabá transformační vlastnosti (tenzor)
TEORIE II Další omezení tvaru D = D(E) (slabá pole)
II. zákon termodynamický (EMPIRIE) ε 11 12 13 21 22 23 31 31 33 je symetrická a pozitivně definitní
Šest čísel. II. zákon termodynamický (EMPIRIE) ε 21 1 11 12 13 22 23 31 3 33 je symetrická a pozitivně definitní
Věta (TEORIE) pozitivně definitní (symetrickou) matici A ortogonální matice Q taková, že Q T.A.Q je diagonální a její prvky na diagonále jsou kladné. Věta (TEORIE) Množina všech rotací na R 3 je izomorfní s množinou všech ortogonálních matic 3 x 3. Galileův Einsteinův princip relativity (EMPIRIE) Fyzikální zákony mají ve všech inerciálních vztažných soustavách stejný tvar.
Věta (TEORIE) pozitivně definitní (symetrickou) matici A ortogonální matice Q taková, že Q T.A.Q je diagonální a její prvky na diagonále jsou kladné. Věta (TEORIE) Množina všech rotací na R 3 je izomorfní s množinou všech ortogonálních matic 3 x 3. Galileův Einsteinův princip relativity (EMPIRIE) Fyzikální zákony mají ve všech inerciálních vztažných soustavách stejný tvar.
Věta (TEORIE) pozitivně definitní (symetrickou) matici A ortogonální matice Q taková, že Q T.A.Q je diagonální a její prvky na diagonále jsou kladné. Věta (TEORIE) Množina všech rotací na R 3 je izomorfní s množinou všech ortogonálních matic 3 x 3. Galileův Einsteinův princip relativity (EMPIRIE) Fyzikální zákony mají ve všech inerciálních vztažných soustavách stejný tvar.
Věta (TEORIE) pozitivně definitní (symetrickou) matici A ortogonální matice Q taková, že Q T.A.Q je diagonální a její prvky na diagonále jsou kladné. Věta (TEORIE) Množina všech rotací na R 3 je izomorfní s množinou všech ortogonálních matic 3 x 3. Galileův Einsteinův princip relativity (EMPIRIE) Fyzikální zákony mají ve všech inerciálních vztažných soustavách stejný tvar. ε 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0
Věta (TEORIE) pozitivně definitní (symetrickou) matici A ortogonální matice Q taková, že Q T.A.Q je diagonální a její prvky na diagonále jsou kladné. Věta (TEORIE) Množina všech rotací na R 3 je izomorfní s množinou všech ortogonálních matic 3 x 3. Galileův Einsteinův princip relativity (EMPIRIE) Fyzikální zákony mají ve všech inerciálních vztažných soustavách stejný tvar. ε Tři (kladná) čísla. 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0
TEORIE III Závěry
Závěr V přiblížení slabých polí je možno materiálové (elektrické, optické) vlastnosti dielektrik popsat třemi kladnými čísly.
Závěr V přiblížení slabých polí je možno materiálové (elektrické, optické) vlastnosti dielektrik popsat třemi kladnými čísly. Klasifikace dielektrik 1 = 2 = 3 1 2 = 3 1 2 3 izotropní dielektrika (D = E) jednoosé krystaly dvojosé krystaly
Závěr V přiblížení slabých polí je možno materiálové (elektrické, optické) vlastnosti dielektrik popsat třemi kladnými čísly. Klasifikace dielektrik 1 = 2 = 3 1 2 = 3 1 2 3 Ingredience izotropní dielektrika (D = E) jednoosé krystaly dvojosé krystaly Taylorova věta (věta o totálním diferenciálu) věta o diagonalizaci symetrických matic izomorfie rotací a ortogonálních matic II. zákon termodynamiky princip relativity
Shrnutí Take-home message(s) role matematiky ve fyzice nenahraditelná na všech úrovních je možno / užitečné oddělit empirii od teorie a empirii náležitě formalizovat (racionální fyzika) (velmi) konkrétní závěry bez dalšího empirického vstupu vše souvisí se vším ne vždy vystačíme s počítáním na prstech jedné ruky Domácí úkol jak netriviální matematiku (a její použití ve fyzice) zprostředkovat (přinejmenším) nadaným SŠ studentům
Shrnutí Take-home message(s) role matematiky ve fyzice nenahraditelná na všech úrovních je možné / užitečné oddělit empirii od teorie a empirii náležitě formalizovat (racionální fyzika) (velmi) konkrétní závěry bez dalšího empirického vstupu vše souvisí se vším ne vždy vystačíme s počítáním na prstech jedné ruky Domácí úkol jak netriviální matematiku (a její použití ve fyzice) zprostředkovat (přinejmenším) nadaným SŠ studentům
Shrnutí Take-home message(s) role matematiky ve fyzice nenahraditelná na všech úrovních je možné / užitečné oddělit empirii od teorie a empirii náležitě formalizovat (racionální fyzika) (velmi) konkrétní závěry bez dalšího empirického vstupu vše souvisí se vším ne vždy vystačíme s počítáním na prstech jedné ruky Domácí úkol jak netriviální matematiku (a její použití ve fyzice) zprostředkovat (přinejmenším) nadaným SŠ studentům
Shrnutí Take-home message(s) role matematiky ve fyzice nenahraditelná na všech úrovních je možné / užitečné oddělit empirii od teorie a empirii náležitě formalizovat (racionální fyzika) (velmi) konkrétní závěry bez dalšího empirického vstupu vše souvisí se vším ne vždy vystačíme s počítáním na prstech jedné ruky Domácí úkol jak netriviální matematiku (a její použití ve fyzice) zprostředkovat (přinejmenším) nadaným SŠ studentům
Shrnutí Take-home message(s) role matematiky ve fyzice nenahraditelná na všech úrovních je možné / užitečné oddělit empirii od teorie a empirii náležitě formalizovat (racionální fyzika) (velmi) konkrétní závěry bez dalšího empirického vstupu vše souvisí se vším ne vždy vystačíme s počítáním na prstech jedné ruky Domácí úkol jak netriviální matematiku (a její použití ve fyzice) zprostředkovat (přinejmenším) nadaným SŠ studentům
Shrnutí Take-home message(s) role matematiky ve fyzice nenahraditelná na všech úrovních je možné / užitečné oddělit empirii od teorie a empirii náležitě formalizovat (racionální fyzika) (velmi) konkrétní závěry bez dalšího empirického vstupu vše souvisí se vším ne vždy vystačíme s počítáním na prstech jedné ruky Domácí úkol jak netriviální matematiku (a její použití ve fyzice) zprostředkovat (přinejmenším nadaným) SŠ studentům
Douška na úplný závěr Jak zformulovat lidsky (v kontextu této přednášky)? Nechť M n je množina všech n-prvkových množin kladných reálných čísel (s opakováním). Zaveďme na každé z těchto n-prvkových množin relaci ekvivalence EQ1 totožnou s rovností v. Dále přiřaďme každé n-prvkové množině uspořádanou m-tici (m n), jejíž jednotlivé složky odpovídají počtům prvků v jednotlivých třídách ekvivalence EQ1 uspořádaným vzestupně. Na M n definujme relaci ekvivalence EQ2 tak, že ekvivalentní n-prvkové množiny mají tyto vektory stejné (dokažte, že se jedná o relaci ekvivalence). Kolik tříd ekvivalence EQ2 na M n existuje?