Optimální řízení procesů

Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Optimální řízení procesů učební tet Milan HEGER Ostrava 7

POKYNY KE STUDIU Optimálního řízení procesů Pro předmět Optimálního řízení procesů jste obdrželi studijní balík obsahující integrované skriptum pro kombinované studium obsahující i pokyny ke studiu. Prerekvizity Nejsou nutnou podmínkou. Cílem předmětu a výstupy z učení Cílem předmětu je seznámení s problematikou optimálního řízení a optimalizačních metod obecně. Po prostudování předmětu by měl student být schopen: výstupy znalostí: Student bude znát základní pojmy a vztahy teorie optimálního řízení. Student bude znát analytické a numerické metody jednorozměrné a vícerozměrné statické optimalizace a klasické teorie etremální regulace. Student bude znát principy lineárního programování a dynamické optimalizace. výstupy dovedností: Student bude umět klasiikovat a aplikovat jednotlivé metody teorie optimálního řízení v prai. Student bude umět navrhovat postupy pro optimalizaci řízení jednotlivých technologických agregátů. Student bude umět vypočítat etrémy unkcí a unkcionálů při řešení optimalizačních úloh řízení technologických agregátů. Pro koho je předmět určen Předmět je zařazen do magisterského studia na FMMI, ale může jej studovat i zájemce z kteréhokoliv jiného oboru, pokud splňuje požadované prerekvizity. Studijní opora se dělí na části, kapitoly, které odpovídají logickému dělení studované látky, ale nejsou stejně obsáhlé. Předpokládaná doba ke studiu kapitoly se může výrazně lišit, proto jsou velké kapitoly děleny dále na číslované podkapitoly a těm odpovídá níže popsaná struktura. Při studiu každé kapitoly doporučujeme následující postup: Pozorně přečíst teoretickou část kapitoly.

Ihned si na počítači vyzkoušet všechny, byť jen dílčí příklady. Vytvořit všechny programy, které jsou v zadání úloh k řešení a snažit se je tvůrčím způsobem modiikovat. Způsob komunikace s vyučujícími: Podrobnější pokyny, tak jako úkoly, programy a projekty budou zadány vyučujícím na počátku přímé kontaktní výuky. Výsledky budou kontrolovány dle pokynů vyučujícího. Konzultace je možno domluvit s vyučujícím přímo ve výuce nebo e-mailem s vyučujícím, který naleznete v kontaktech VŠB-TU Ostrava. K orientaci v tetu vám mohou sloužit následující ikony: Čas ke studiu: hodin Na úvod kapitoly je uveden čas potřebný k prostudování látky. Čas je orientační a může vám sloužit jako hrubé vodítko pro rozvržení studia celého předmětu či kapitoly. Čas strávený nad každou kapitolou bude značně závislý na množství příkladů, které budete řešit samostatně na počítači a hloubce jejich propracování. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět popsat... deinovat... vyřešit... Nejprve se seznámíte s cíli, kterých máte dosáhnout po prostudování této kapitoly. Jde o konkrétní dovednosti, znalosti a praktické zkušenosti, které studiem kapitoly získáte. Výklad Následuje výklad studované látky, zavedení nových pojmů, jejich vysvětlení, vše doprovázeno obrázky, tabulkami, příklady a odkazy na výukové programy s animacemi. Shrnutí pojmů Na závěr kapitoly jsou stručně zopakovány významné pasáže a pojmy, které si máte osvojit. Otázky 3

Pro ověření, že jste dobře a úplně látku kapitoly zvládli, máte k dispozici několik teoretických, ale i praktických otázek. Úlohy k řešení Protože většina teoretických pojmů tohoto předmětu má bezprostřední význam a využití v prai, jsou Vám nakonec předkládány i praktické úlohy k řešení. V nich je hlavní význam předmětu, a to schopnost aplikovat čerstvě nabyté znalosti při řešení reálných situací. Spojení s pedagogem Pro studenty kombinovaného studia jsou přednášející a cvičící pedagogové připraveni konzultovat probíranou problematiku ormou e-mailu, které je aktuálně snadné získat v kontaktech VŠB-TU Ostrava. Úspěšné a příjemné studium s touto učebnicí Vám přeje autor výukového materiálu M. Heger Milan Heger Obsah 4

. JEDNOROZMĚRNÁ STATICKÁ OPTIMALIZACE... 6.. Úvod... 6.. Analytické metody statické optimalizace... 8.3. Numerické metody statické optimalizace.... VÍCEROZMĚRNÁ STATICKÁ OPTIMALIZACE... 6.. Úvod... 6.. Vícerozměrné statické optimalizační úlohy bez omezení... 7.3. Vícerozměrné statické optimalizační úlohy s omezením ve tvaru rovnosti... 6.4. Vícerozměrné statické optimalizační úlohy s omezením ve tvaru nerovnosti... 3 3. LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ... 34 3.. Teorie lineárního programování... 34 3.. Výrobní programování... 36 3.3. Nutriční problém... 4 3.4. Distribuční problém... 45 3.5. Řezný plán... 5 4. DYNAMICKÁ OPTIMALIZACE... 56 4.. Teorie dynamické optimalizace... 56 4.. Variační počet... 59 4.3. Dynamické programování... 68 4.4. Princip minima (maima)... 77 5

. Jednorozměrná statická optimalizace.. Úvod Čas ke studiu:,5 hodiny Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět deinovat pojem jednorozměrné statické optimalizace popsat problematiku tvorby účelových unkcí a omezení vyřešit graicky problematiku optimalizace statických systémů Výklad V technické prai se často setkáváme s požadavkem na optimalizaci procesů, které můžeme matematicky popsat obecně nelineární unkcí () jedné proměnné. Optimalizace v tomto případě znamená, nalezení etrému (E) unkce () na intervalu přípustných řešení (uzavřený interval) a ; b, kde a je levá hranice intervalu (nejnižší hodnota), b je pravá hranice intervalu (nejvyšší hodnota). Etrém musíme chápat jako maimum nebo minimum unkce (), která se nazývá účelovou unkcí. Dle Weierstrassovy věty má každá unkce na uzavřeném intervalu vždy alespoň jedno minimum a jedno maimum. Na hranicích intervalu vždy vystupují lokální vázané etrémy, pokud eistuje etrém uvnitř intervalu, pak hovoříme o lokálním volném etrému. Globální maimum je to největší z lokálních maim a globální minimum je naopak to nejmenší z lokálních minim. Vázané etrémy je snadné najít, jde vždy o krajní body intervalu přípustných řešení. Úlohou optimalizace je však nalezení volných etrémů, které se mohou nacházet v kterémkoliv místě intervalu přípustných řešení. 6

Vyhledání volných lokálních etrémů Na následujících obrázcích můžeme vidět tři různé unkce, které vykazují tři kvalitativně různá minima. V obrázcích jsou zároveň vykresleny derivace unkcí.,8,6,4, - -, -,4 -,6 -,8 - () '() 3.5.5.5 - -.5 - -.5 () '().5.5 -.5 () '() - -.5 - V prvním případ je pro nezávisle proměnnou *, tedy pro bod minima hodnota první derivace nulová. Ve dvou následujících případech derivace v bodě * neeistuje. Dalo by se tedy říct, že minimum se nachází v bodě, kde je první derivace účelové unkce rovna nule nebo neeistuje. Na následujících obrázcích se však rovněž nacházejí body, kde je první derivace nulová nebo neeistuje, avšak je zde vidět, že v těchto bodech minimum nevystupuje. Z toho vyplývá, že je splněna jen nutná podmínka (NP) eistence etrému. Je-li tedy v daném bodě etrém, pak je splněna nutná podmínka, avšak je-li v daném bodě splněna NP, nemusí v tomto bodě jednoznačně etrém vystupovat. 7

.5.5.5-5 5 () '() 8 6 4 - - () '().5.5 -.5 - -.5 - () '() Vyhledáním bodů, v kterých je nutná podmínka splněna, je prvním krokem při hledání etrémů účelové unkce. Získáme tak tzv. podezřelé body. Druhým krokem je ověření, zda je nalezený podezřelý bod minimem, maimem nebo není etrémem vůbec. K tomu nám slouží postačující podmínky (PP). Zde platí, že pokud je postačující podmínka splněna, pak v daném bodě * vystupuje etrém (PP E). Pro řešení algebraických výrazů je možno použít analytické metody. Pak dostáváme naprosto přesné řešení. Tam, kde analytické řešení není možné, použijeme řešení numerické. Zde je přesnost řešení omezena námi zadanými parametry přesnosti (např. na jednu setinu). Pro některé zvláštní případy se používají i graicko-početní metody nebo metody eperimentální. Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) účelová unkce, interval přípustných řešení, etrém, maimum, minimum, vázaný etrém, volný etrém, lokální etrém, Globální maimum, globální minimum, nutná podmínka (NP), postačující podmínky (PP), podezřelý bod. Otázky k probranému učivu. Co znamená jednorozměrná statická optimalizace?. Jak vypadá účelová unkce s volným etrémem? 3. Jak získáme řešení optimalizačních úloh jednorozměrné statické optimalizace?.. Analytické metody statické optimalizace 8

Čas ke studiu: hodina Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět deinovat pojem analytické jednorozměrné statické optimalizace popsat problematiku zjištění podezřelých bodů vyřešit analyticky úlohy jednorozměrné statické optimalizace Výklad Je-li derivace účelové unkce algebraickým výrazem, můžeme použít pro vyhledání etrému účelové unkce analytické metody výpočtu. Postup výpočtu: vypočteme první derivaci účelové unkce, vyhledáme podezřelé body, kde je první derivace účelové unkce nulová nebo neeistuje (NP), ověříme, v kterých z podezřelých bodů vystupuje etrém (PP). Ověření postačujících podmínek mohou vycházet ze tří přístupů (metod):. Srovnání unkčních hodnot nalevo ([ * ] ) a napravo ([ * ]+) od podezřelého bodu. Budeli platit, že [ * ] > ( * ) a současně [ * ]+ > ( * ), pak v daném bodě vystupuje lokální minimum. Budou-li nerovnosti opačné, pak bude v daném bodě lokální maimum.. Srovnání polarity derivací unkce nalevo ([ * ] ) a napravo ([ * ]+) od podezřelého bodu. Bude-li platit, že [ * ] < a současně [ * ]+ >, pak v daném bodě vystupuje lokální minimum. Budou-li nerovnosti opačné, pak bude v daném bodě lokální maimum resp. ostré lokální maimum. 3. Metoda vyšších derivací, kdy je účelová unkce postupně derivována a do těchto derivací je dosazována hodnota podezřelého bodu n ( * ). Postup se opakuje až do okamžiku, kdy je n-tá derivace v podezřelém bodě nenulová n ( * ). Je-li n liché 9

číslo, pak nejde o etrém, je-li sudé, pak záleží na polaritě n-té derivace. Je-li n-tá derivace kladná, pak v podezřelém bodě vystupuje lokální minimum v opačném případě maimum. Řešené úlohy Příklad.. Vypočtěte minimum účelové unkce () = 3-5 na intervalu přípustných řešení (interval neurčitosti): ; Řešení Pro účelovou unkci () = 3-5 vytvoříme první derivaci: () = 3-5 položíme ji rovnou nule: 3( * ) - 5 = ( * ) = 5/3 odtud podezřelý bod: * 5,9994449 3 a v něm hodnota účelové unkce: ( * ) -4,333489 Dalšími podezřelými body jsou dle Weierstrassovy věty krajní body intervalu neurčitosti. Tedy: * = ( * ) = 3 * = ( 3* ) = - v kterých budou zaručeně vystupovat lokální minima či maima. Nyní ověříme, zda podezřelý bod *, 9994449je lokálním minimem:. Porovnáme unkční hodnoty nalevo a napravo od tohoto bodu. Protože nejbližší podezřelé body jsou až hraniční body intervalu neurčitosti, můžeme je použít pro porovnání unkčních hodnot. Obě jsou vyšší než unkční hodnota v bodě. Z toho plyne, že jde o lokální a zároveň globální minimum.. Vypočteme-li první derivaci v krajních bodech () -5 () 7. Derivace se postupně mění ze záporné hodnoty do kladné. Z toho plyne, že jde o lokální a zároveň globální minimum. *

3. Pro využití metody vyšších derivací nejprve vypočteme druhou derivaci: * ( * ) () 6 a pro podezřelý bod je >. Protože jako první nenulová derivace v podezřelém bodě je sudá a kladná, vystupuje v daném bodě ostré lokální minimum, které je zároveň globálním minimem. Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) Na závěr kapitoly jsou vyjmenovány pojmy, které byly v tetu rozebrány a které je nutné znát. Metoda srovnání unkčních hodnot, metoda porovnání znaménka prvních derivací, metoda vyšších derivací. Otázky k probranému učivu 4. Co znamená nutná podmínka eistence etrému a jak se vypočítá? 5. Které metody ověření postačujících podmínek znáte? 6. Jak získáme analytické řešení jednorozměrné statické optimalizace?.3. Numerické metody statické optimalizace Čas ke studiu: hodin Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět deinovat pojem numerické jednorozměrné statické optimalizace popsat problematiku zjištění podezřelých bodů numericky vyřešit numericky úlohy jednorozměrné statické optimalizace Výklad Není-li derivace účelové unkce algebraickým výrazem, můžeme použít pro vyhledání etrému účelové unkce numerické metody výpočtu. Numerické metody se dají rozdělit na dierenciální a přímé. Dierenciální vyžadují znalost alespoň první derivace a přímé naopak využívají jen znalosti unkčních hodnot. Mezi dierenciální metody patří: Bolzanova metoda, Newtonova metoda, metoda sečen.

Přímé metody se dále dělí na interpolační a komparativní. Jako interpolační je používaná metoda kvadratické interpolace. Komparativní je možno rozdělit na pasivní a adaptivní. Představitelem pasivních metod je metoda rovnoměrná komparativní, mezi známé adaptivní metody patří metoda zlatého řezu a metoda Fibonacciova. Principem numerických metód je v postupném iteračním cyklu přibližování se k skutečnému řešení úlohy. Iterační cyklus se ukončí tehdy, když je dosaženo požadované přesnosti řešení. Většinou je přesnost udávána v deinovaném rozdílu posledního (n-tého) řešení od skutečného řešení, které ovšem neznáme: n * * ;, kde ε je libovolně malé číslo. Proto bývá podmínka dosažení dané přesnosti určena vztahem n - n- < ε. Některé metody jsou založeny na postupném zmenšování intervalu neurčitosti a n ; b n, který musí stále obsahovat bod *. V tom případě je výpočet ukončen podmínkou bn - an < ε. Všechny postupy si vysvětlíme na úloze hledání minima. Úlohu maimalizace převedeme jednoduchou úpravou na minimalizaci: * arg ma arg min Bolzanova metoda (Metoda dichotomie, metoda půlení intervalu) Metoda patří mezi metody dierenciální. Pro řešení je tedy nutno znát i první derivaci účelové unkce, která je využita pro rozhodování o dalším postupu řešení v následujícím kroku. Metoda je založena na postupném zkracování intervalu neurčitosti Ii = a ; b tak, aby stále i i obsahoval bod, ve kterém se nachází hledaný etrém. Poměr zkrácení délky dvou za sebou jdoucích intervalů li:li+ je :. Lze tedy konstatovat, že: lim I n n lim n n * l Postup řešení hledání minima účelové unkce Bolzanovou metodou

Zadáme požadovanou přesnost výpočtu hodnotou ε. V prvním kroku zvolíme interval neurčitosti v souladu se zadáním úlohy a = a b = b a vypočteme jeho střed: = (a + b )/ a ; b a = a l = b - a délka prvního intervalu je: I a = a b = l = l / * ( ) ( ) b = b I vypočteme první derivaci v bodě : ( ) Je-li hodnota derivace () >, pak musí ležet minimum nalevo od tohoto bodu, a proto zvolíme následující interval neurčitosti od bodu a do bodu, čímž získáme výchozí parametry intervalu pro druhý krok. Je-li hodnota derivace () <=, pak musí ležet minimum napravo od tohoto bodu, a proto zvolíme následující interval neurčitosti od bodu do bodu b. Obdobným způsobem postupujeme v následujících krocích. Výpočet ukončíme tehdy, když je splněna podmínka: bn - an <= ε pak obdržíme výsledek ve tvaru: * = n ± ε Další vhodné numerické metody jednorozměrné optimalizace naleznete na studijním portálu VŠB-TU Ostrava [http://books.s.vsb.cz/statickaoptimalizace/inde.htm]. Příklad.. Řešené úlohy 3

Vypočtěte s přesností ε =,3 minimum účelové unkce ()= 3-5 na intervalu přípustných řešení (interval neurčitosti): ; Řešení Pro účelovou unkci () = 3-5 vytvoříme první derivaci: () = 3 5 krok : a = a = b = b = a vypočteme jeho střed ( ): = (a + b )/ = (+)/ = délka prvního intervalu je: l = b - a = - = Jelikož není splněna podmínka pro ukončení výpočtu ( b n - a n <= ε ), budeme pokračovat dalším krokem. vypočteme první derivaci v bodě : () = 3 5 ( ) = 3() 5 = - < Hodnota první derivaci v bodě je záporné číslo, proto volíme jako druhý interval I napravo od bodu. I ; b krok : a = = b = b = a vypočteme jeho střed ( ): = (a + b )/ = (+)/ =,5 délka prvního intervalu je: l = b a = - = Jelikož není splněna podmínka pro ukončení výpočtu ( b n - a n <= ε ), budeme pokračovat dalším krokem. vypočteme první derivaci v bodě : () = 3 5 4

( ) = 3(,5) 5 =,75 > Hodnota první derivaci v bodě je kladné číslo, proto volíme jako třetí interval I 3 nalevo od bodu. I3 a ; krok 3: a 3 = a = b 3 = =,5 a vypočteme jeho střed ( 3): 3 = (a 3 + b 3)/ = (+,5)/ =,5 délka prvního intervalu je: l 3 = b 3 a 3 =,5- =,5 Jelikož je splněna podmínka pro ukončení výpočtu ( b n - a n <= ε ), výpočet ukončíme: * = n ± ε * =,5 ±,3 Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) Na závěr kapitoly jsou vyjmenovány pojmy, které byly v tetu rozebrány a které je nutné znát. Dierenciální a přímé metody, interpolační a komparativní metody, pasivní a adaptivní metody, Bolzanova metoda, přesnost ε. Otázky k probranému učivu 7. Co znamená přesnost výpočtu numerických metod? 8. Které numerické metody znáte? 9. Jak získáme numerické řešení jednorozměrné statické optimalizace? 5

. Vícerozměrná statická optimalizace.. Úvod Čas ke studiu:,5 hodin Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět deinovat pojem vícerozměrné statické optimalizace popsat problematiku dělení vícerozměrných úloh statické optimalizace Výklad Vícerozměrná statická optimalizace je úlohou deinovanou v n-rozměrném Eukleidovském prostoru R n. Nezávisle proměnná je vektorem (označeno tučně), který se skládá z n složek: Účelová unkce je n-rozměrnou unkcí (), kde množina přípustných řešení může být celý n- rozměrný Eukleidovský prostor X = R n, pak hovoříme o úlohách bez omezení, pokud je množina přípustných řešení podmnožinou Eukleidovského prostoru X R n, danou omezujícími unkcemi, pak půjde o úlohy s omezením, které může být dvojího typu. Dle tvaru omezujících unkcí úlohy rozdělujeme na dva typy: úlohy s omezením ve tvaru rovností omezující unkce mají tvar gj() = bj, kde j m úlohy s omezením ve tvaru nerovností omezující unkce mají například tvar gj() bj, kde j m 6

Úlohu optimalizace můžeme vyjádřit podobně jako u jednorozměrné optimalizace tímto zápisem: * arg min X Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) Na závěr kapitoly jsou vyjmenovány pojmy, které byly v tetu rozebrány a které je nutné znát. Eukleidovský prostor, úlohy bez omezení, úlohy s omezením ve tvaru rovností, úlohy s omezením ve tvaru nerovností. Otázky k probranému učivu. Co znamená lineární Eukleidovský prostor?. Co nazýváme jako úlohy bez omezení, úlohy s omezením ve tvaru rovností a úlohy s omezením ve tvaru nerovností?.. Vícerozměrné statické optimalizační úlohy bez omezení Čas ke studiu: 5 hodin Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět deinovat pojem optimalizačních vícerozměrných úloh bez omezení popsat problematiku řešení vícerozměrných úloh bez omezení vykreslit úlohu optimalizačních vícerozměrných úloh bez omezení v Ecelu Výklad Postup při hledání etrémů vícerozměrné statické optimalizace je následující. Nejprve vypočteme první parciální derivace účelové unkce a vytvoříme gradient unkce: T,,..., n 7

8 Stacionární bod (podezřelý bod) je takový, ve kterém je hodnota gradientu nulová. Nutnou podmínkou eistence etrému je, že všechny parciální derivace jsou rovny nule. NP I. řádu: i = Abychom zjistili, zda v podezřelých bodech vystupuje nějaký typ etrému nebo ne, využijeme Hessovou matici druhých parciálních derivací, která má následující tvar:............ n n n n H Po výpočtu jednotlivých druhých parciálních derivací Hessové matice a dosazení hodnoty podezřelého bodu obdržíme matici:............ n n n n H Následně budeme zjišťovat deinitnost Hessovy matice, která je rozhodující pro zjištění, zda v podezřelém bodě vystupuje minimum, maimum nebo sedlový bod, ve kterém etrém

nevystupuje. Deinitnost matice H() (ve stacionárním bodě ) zjistíme pomocí Sylvestrova kritéria následujícím postupem: hlavní rohové minory (subdeterminanty) matice označíme symboly H, H,, Hn, pak Hessová matice je kladně deinitní H() >, když jsou všechny její hlavní rohové subdeterminanty kladné. Hessová matice je kladně semideinitní H(), když eistuje alespoň jeden hlavní rohový subdeterminant nulový Hi = a současně jsou všechny její hlavní subdeterminanty nezáporné. Je-li matice H() kladně (semi-) deinitní, pak matice H() je záporně (semi-) deinitní a naopak. Není-li matice ani kladně (semi-) deinitní ani záporně (semi-) deinitní, pak ji označujeme jako indeinitní. Je-li matice H() >, pak v podezřelém bodě vystupuje ostré lokální minimum. Je-li matice H(), pak v podezřelém bodě vystupuje neostré lokální minimum. Je-li matice H() <, pak v podezřelém bodě vystupuje ostré lokální maimum. Je-li matice H(), pak v podezřelém bodě vystupuje neostré lokální maimum. Je-li matice H() indeinitní, pak v podezřelém bodě nevystupuje etrém. Příklad.3. Řešené úlohy 9

Vypočtěte etrém vícerozměrné účelové unkce pro následující zadání: R Řešení Vypočteme první parciální derivace účelové unkce: a Pro stacionární body platí: a pak pro stacionární bod platí: = [;] Následně vypočteme Hessovou matici: H pro stacionární bod vychází pro tento případ stejná Hessová matice: H Zjistíme deinitnost matice dle Sylvestrova kritéria: H = > a H = 4 > Hessová matice je kladně deinitní H() > a v bodě * = [;] vystupuje ostré lokální minimum.

,5,5-,5,,8 -,5,5- -,5 - -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 - -,4 Příklad.4. Vypočtěte etrém vícerozměrné účelové unkce pro následující zadání: ( ) R Řešení Vypočteme první parciální derivace účelové unkce: a Pro stacionární body platí: pak pro stacionární bod platí: = [;] a Následně vypočteme Hessovou matici: H Zjistíme deinitnost matice dle Sylvestrova kritéria: H = - < a H = 4 >

- -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 Matice není kladně deinitní a proto vytvoříme záporně vzatou matici vynásobením všech členů původní matice mínus jedničkou a pro stacionární bod vychází pro tento případ následující Hessova matice: H Zjistíme deinitnost matice H dle Sylvestrova kritéria: H = > a H = 4 > H Hessová matice je kladně deinitní bodě * = = [;] vystupuje ostré lokální maimum. >, proto původní matice H je záporně deinitní a v -,5 - -,4,,8 -,5- - ---,5 -,5-- -,5 ---,5 - Příklad.5. Vypočtěte etrém vícerozměrné účelové unkce pro následující zadání: R Řešení Vypočteme první parciální derivace účelové unkce: a Pro stacionární body platí:

3 a pak pro stacionární bod platí: = [;] Následně vypočteme Hessovou matici: H Zjistíme deinitnost matice dle Sylvestrova kritéria: H = - < a H = -4 < Matice není kladně deinitní a proto vytvoříme záporně vzatou matici vynásobením všech členů původní matice mínus jedničkou a pro stacionární bod vychází pro tento případ následující Hessovou maticí: H Zjistíme deinitnost matice H dle Sylvestrova kritéria: H = > a H = -4 < Hessova matice H není kladně deinitní, proto původní matice H nemůže být ani záporně deinitní a v bodě * = = [;] nevystupuje etrém ale sedlový bod.

,5 -,5 - -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 - -,4,,8,5- -,5 -,5- ---,5 - Příklad.6. Vypočtěte etrém vícerozměrné účelové unkce pro následující zadání: 4 4 R Řešení Vypočteme první parciální derivace účelové unkce: 3 4 a 3 4 Pro stacionární body platí: a pak pro stacionární bod platí: = [;] Následně vypočteme Hessovou matici: H pro stacionární bod vychází pro tento případ následující Hessova matice: 4

H Zjistíme deinitnost matice dle Sylvestrova kritéria: H = a H = Hessova matice je v bodě * = [;] semideinitní a proto musíme sledovat deinitnost matice v okolí podezřelého bodu = * ± ε ( = ± ε a také = ± ε) Z mocninného výrazu i vyplývá, že v okolí bodu = * ± ε budou vždy kladné hodnoty, a proto je Hessova matice kladně semideinitní H() a v bodě * = [;] vystupuje neostré lokální minimum.,5,5-,5,,8 -,5,5- -,5 - -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 - -,4 Pro vykreslení grau byl použit typ povrchový, deinovaný na následujícím ragmentu tabulky: B C D E F G H - -,9 -,8 -,7 -,6 3 - =($B3^4+C$^4) =($B3^4+D$^4) =($B3^4+E$^4) =($B3^4+F$^4) =($B3^4+G$^4) 4 -,9 =($B4^4+C$^4) =($B4^4+D$^4) =($B4^4+E$^4) =($B4^4+F$^4) =($B4^4+G$^4) 5 -,8 =($B5^4+C$^4) =($B5^4+D$^4) =($B5^4+E$^4) =($B5^4+F$^4) =($B5^4+G$^4) 6 -,7 =($B6^4+C$^4) =($B6^4+D$^4) =($B6^4+E$^4) =($B6^4+F$^4) =($B6^4+G$^4) 7 -,6 =($B7^4+C$^4) =($B7^4+D$^4) =($B7^4+E$^4) =($B7^4+F$^4) =($B7^4+G$^4) 8 -,5 =($B8^4+C$^4) =($B8^4+D$^4) =($B8^4+E$^4) =($B8^4+F$^4) =($B8^4+G$^4) 9 -,4 =($B9^4+C$^4) =($B9^4+D$^4) =($B9^4+E$^4) =($B9^4+F$^4) =($B9^4+G$^4) 5

Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) Na závěr kapitoly jsou vyjmenovány pojmy, které byly v tetu rozebrány a které je nutné znát. Gradient, Hessova matice, deicitnost matic, řešitel. Otázky k probranému učivu. Co znamená gradient unkce? 3. Co nazýváme Hessovou maticí? 4. Jak získáme řešení vícerozměrných úloh bez omezení?.3. Vícerozměrné statické optimalizační úlohy s omezením ve tvaru rovnosti Čas ke studiu: 5 hodin Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět deinovat pojem optimalizačních vícerozměrných úloh s omezením ve tvaru rovností popsat problematiku řešení vícerozměrných úloh s omezením ve tvaru rovností vyřešit vícerozměrné úlohy s omezením ve tvaru rovností v Ecelu. Výklad Optimalizační úlohy s omezeními ve tvaru rovností (jde o klasické úlohy na vázaný etrém) lze vyjádřit jako: kde * arg min X X - je podmnožina R n vymezena m-rozměrnou soustavou omezujících unkcí ve tvaru obecně nelineárních rovnic: gj() = bj, přičemž j m 6

Řešení musí splňovat podmínky omezení a zároveň optimalizovat účelovou unkci. Vztah mezi rozměrem úlohy n a počtem omezujících unkcí m udává stupeň volnosti úlohy a je deinován jako s = n m. K optimalizaci účelové unkce dochází jen tehdy, pokud je s >, což znamená, že počet omezujících unkcí m je menší, než rozměr úlohy n. V případě, že s =, tedy počet omezujících unkcí m je stejný jako rozměr úlohy n. Dostáváme řešení jako řešení soustavy omezujících unkcí nezávisle na tvaru účelové unkce. V případě, že s <, tedy počet omezujících unkcí m je větší než rozměr úlohy n. Nemá obecně tento případ žádné řešení. Je-li s =, je možné do účelové unkce dosadit za n- neznámých výrazy vzniklé úpravou omezení a převést tak úlohu na úlohu jednorozměrnou. Obecně se však vytváří za účelem vyřešení optimalizační úlohy s omezeními ve tvaru rovností tzv. Lagrangeova unkce, která danou úlohu převede na n+m rozměrnou úlohu bez omezení, kterou již umíme řešit. Tvar Lagrangeovy unkce je následující: m L(,, n,p,p, pm) = (,, n,p,p, pm) + g,,..., kde proměnná pj se nazývá Lagrangeův multiplikátor. 7 p j j n j Nutné podmínky prvního řádu lze získat z podmínek stacionarity Lagrangeovy unkce: L = * * * * * *,,..., n, p, p,..., pm to znamená, že všechny parciální derivace Lagrangeovy unkce podle jednotlivých i a pj položíme rovny nule: L i L p * * * g,,..., b j j n j b j

Takto podobně jako u optimalizace úloh bez omezení získáme stacionární body (podezřelé body) a následně dle deinitnosti Hessovy matice, ovšem vypočtené pro původní účelovou unkci (), určíme typ etrému. Určení typu etrémů je pak stejné jako v případě úloh bez omezení, které již známe z předchozí kapitoly. Řešené úlohy Příklad.7. Vypočtěte etrém vícerozměrné úlohy s omezením ve tvaru rovností pro následující zadání: s omezující unkcí ve tvaru: Řešení Vytvoříme Lagrangeovu unkci ve tvaru: L(,,p ) = p vypočteme všechny parciální derivace Lagrangeovy unkce podle jednotlivých i a p a položíme je rovny nule: * * * p L * * * p L * L p * * * * g,,..., b n Řešením uvedené soustavy tří rovnic o třech neznámých obdržíme řešení: * = [ ; ] Nyní pomocí Hessové matice určíme deinitnost původní účelové unkce (). 8

H, která je ve všech bodech kladně deinitní, a proto v podezřelém bodě * = [ ; ] vystupuje ostré lokální minimum. To však je oproti minimu z úlohy bez omezení posunuto tak, aby leželo v půdorysně na křivce, určené závislosti, která vychází z tvaru omezující unkce a zároveň bylo nejníže na účelové unkci (). Nyní si úlohu se stejným zadáním vypočteme v Ecelu: Za tím účelem použijeme dvě buňky pro hodnoty a (C4:D4), v buňkách (C3:D3) si je pro přehlednost pojmenujeme a buňku B4 označíme tetem nastavení hodnot i. V buňce C5 vytvoříme vzorec odpovídající účelové unkci () a buňku B5 označíme tetem hodnota účelové unkce (). V buňce C6 vytvoříme vzorec odpovídající levé straně omezující unkce g() a buňku B6 označíme tetem levá strana omezující unkce g() j. V buňce C7 vepíšeme konstantu odpovídající pravé straně omezující unkce g() a buňku B7 označíme tetem levá strana omezující unkce g() j. B C D 3 4 nastavení hodnot i 5 hodnota účelové unkce () =C4*C4+D4*D4 6 levá strana omezující unkce g() j =D4-C4^ 7 pravá strana omezující unkce b j Pro řešení zadané úlohy použijeme řešitele. Jeho nastavení vidíme v kopii dialogového okna: Výsledek řešení je patrný z následující tabulky: 9

nastavení hodnot i hodnota účelové unkce () levá strana omezující unkce g() j pravá strana omezující unkce b j Z té je patrno, že řešení se shoduje s řešením za použití Lagrangeovy unkce * = [ ; ]. Minimální hodnota účelové unkce () =. Poslední dva řádky tabulky ukazují, že je splněna i omezující podmínka, neboť hodnota levé a pravé strany omezující unkce jsou shodné. Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) Na závěr kapitoly jsou vyjmenovány pojmy, které byly v tetu rozebrány a které je nutné znát. Lagrangeův multiplikátor, Lagrangeova unkce, typ omezení, řešitel. Otázky k probranému učivu 5. Co znamená Lagrangeův multiplikátor? 6. Co nazýváme Lagrangeovou unkcí? 7. Jak získáme řešení úlohy vícerozměrné optimalizace s omezením ve tvaru rovností?.4. Vícerozměrné statické optimalizační úlohy s omezením ve tvaru nerovnosti Čas ke studiu: 5 hodin Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět deinovat pojem optimalizačních vícerozměrných úloh s omezením ve tvaru nerovností popsat problematiku řešení vícerozměrných úloh s omezením ve tvaru nerovností vyřešit vícerozměrné úlohy s omezením ve tvaru nerovností v Ecelu. Výklad Optimalizační úlohy s omezeními ve tvaru nerovností (jde o neklasické úlohy na vázaný etrém) lze vyjádřit jako: 3

* arg min X kde X - je podmnožina R n vymezena m-rozměrnou soustavou omezujících unkcí ve tvaru obecně nelineárních rovnic: gj() bj, přičemž j m opačnou nerovnost snadno změníme na vhodný typ vynásobením -: -gj() -bj, Řešení musí splňovat podmínky omezení a zároveň optimalizovat účelovou unkci. Vztah mezi rozměrem úlohy n a počtem omezujících unkcí m v případě úloh s omezením ve tvaru nerovností není nikterak omezený, tzn. v tomto případě může být počet omezujících unkcí m i větší, než rozměr úlohy n. Obecně se však vytváří za účelem vyřešení optimalizační úlohy s omezeními ve tvaru nerovností tzv. Lagrangeova unkce, která rovněž danou úlohy převede na n+m rozměrnou úlohu bez omezení. Tvar Lagrangeovy unkce je následující: m L(,, n,p,p, pm) = (,, n,p,p, pm) + g,,..., p j j n j b j Pro řešení úlohy s omezením ve tvaru nerovností použijeme tzv. Kuhnovy Tuckerovy podmínky: * * * * * *,...,, p, p p L i L p j,...,, n m * * * * * *,...,, p, p p, n,..., m * * * * * * * i L,,..., n, p, p,..., pm = i 3

p * i p * i j L = * * * * * *,,..., n, p, p,..., pm * p i Postup výpočtu Vypočteme všechna řešení rovnic Kuhnovych Tuckerovych podmínek (postupně uvažujeme i nulová řešení i a pj). Ověříme, pro která řešení jsou splněny nerovnosti Kuhnovych Tuckerovych podmínek a podmínky nezápornosti. Nyní vybereme řešení, pro které nabývá účelová unkce minima. Řešené úlohy Příklad.8. Vypočtěte etrém vícerozměrné úlohy s omezením ve tvaru nerovností pro následující zadání: s omezující unkcí ve tvaru: Řešení Vytvoříme Lagrangeovu unkci ve tvaru: L(,,p ) = p vypočteme všechny parciální derivace Lagrangeovy unkce podle jednotlivých i a p a následně vytvoříme vztahy pro Kuhnovy Tuckerovy podmínky: * * * p L * * * p L * 3

33,...,, * * * b g p L n * * * * * p L * * * * p L *,...,, * * * * b g p L p n * * * p * Řešením uvedené soustavy tří rovnic o třech neznámých obdržíme řešení: * = [ ; ] Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) Na závěr kapitoly jsou vyjmenovány pojmy, které byly v tetu rozebrány a které je nutné znát. Vázaný etrém, Kuhnovy Tuckerovy podmínky, řešitel. Otázky k probranému učivu 8. Co znamená pojem Kuhnovy Tuckerovy podmínky? 9. Jak získáme řešení úlohy vícerozměrné optimalizace s omezením ve tvaru nerovností?

3. Lineární programování 3.. Teorie lineárního programování Čas ke studiu: 5 hodin Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět deinovat pojem lineárního programování popsat problematiku tvorby účelových unkcí a omezení vyřešit graicky problematiku optimalizace statických lineárních systémů Výklad Pro lineární programování je typické, že patří mezi vícerozměrné optimalizační úlohy obecně s omezením ve tvaru nerovností, kdy jak účelová unkce, tak i omezení jsou tvořeny lineárními unkcemi. Účelová unkce se nazývá lineární orma a má tvar: kde z = c. +c. +. c n. n, ci - jsou konstanty, i - jsou nezávislé proměnné, n rozměr Eukleidovského prostoru, v němž je úloha řešena (počet proměnných ). Podle yzikální podstaty úlohy pak hledáme minimum nebo maimum lineární ormy tak, aby byly splněny omezující podmínky. Omezení jsou ve tvaru lineárních nerovností, kdy počet omezení může být i vyšší než rozměr úlohy a mohou mít například tvar: a. +a. +. a n. n > l a. +a. +. a n. n l a m. +a m. +. a mn. n < l m 34

Většinou je pro řešitelnost úloh typické, že při minimalizaci jsou omezení ve ormě a při maimalizaci. Typické jsou rovněž podmínky nezápornosti proměnných, neboť v prai jde například o počty výrobků, počty technologických operací nebo váhové množství materiálu. Platí tedy pro všechna : i. Dvojrozměrné úlohy lineárního programování je snadné vysvětlit za použití graického řešení. To znamená, že úloha obsahuje jen dva vstupy a, počet omezení může být libovolný. Podmínky nezápornosti vytýčí první kvadrant jakožto množinu přípustných řešení. Použijemeli v omezeních na místo nerovností rovnosti, dostáváme sadu přímek, které můžeme snadno zakreslit. Nerovnosti však znamenají, že přípustná řešení leží vždy v jedné polorovině určené každou z takto vykreslených přímek. O kterou polorovinu jde, nejsnadněji zjistíme, dosadímeli do nerovnosti počátek souřadnic, tedy bod [,]. Je-li nerovnost splněna, pak vybereme tu polorovinu, v které leží počátek souřadnic. Průnikem všech takto graicky vytvořených množin je množina přípustných řešení. Položíme-li lineární ormu z =, dostaneme opět přímku, tentokrát procházející počátkem souřadnic. Jde-li o maimalizaci, pak hledáme k této přímce rovnoběžku, která leží v oblasti přípustných řešení a je zároveň od původní přímky nejdále (viz. následující obrázek). V našem případě by bylo výsledkem jen, které je různé od nuly. * p z // z z = p Obrázek: Graické řešení lineárního programování Příklad.9. Řešené úlohy 35

Nakreslete graické řešení pro následující zadání: p: 5 + p:,5 +5 z = + minimum Řešení 5 p * p z // z 4 z = řešením rovnic: dostaneme: 5 + =,5 +5 = =,5 =,5 Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) Na závěr kapitoly jsou vyjmenovány pojmy, které byly v tetu rozebrány a které je nutné znát. Lineární programování, omezující podmínky, lineární orma, polyedr. Otázky k probranému učivu. Co znamená lineární programování?. Co nazýváme jako lineární ormou?. Jak získáme graické řešení jednoduchých úloh lineárního programování? 3.. Výrobní programování Čas ke studiu: 5 hodin Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět deinovat pojem výrobní programování popsat problematiku tvorby omezení a lineární ormy pro výrobní programování vyřešit úlohu výrobního programování v Ecelu Výklad 36

Jednotlivé typické úlohy lineárního programování si uvedeme na základních příkladech, do kterých mohou být zahrnuty i jiné aplikace se stejným matematickým základem. Podnik vyrábí dva výrobky postupně na dvou strojích, každý výrobek V a V spotřebuje určitý čas strojů S a S. Oba stroje mají limitované počty hodin, které jsou schopny během roku poskytnout při výrobě. Výrobky se prodávají za ceny c a c. V následující tabulce jsou uvedeny konkrétní hodnoty. V V Limit S a a l S a a l cena c c z Dle tabulky lze vytvořit matematický model, který zahrnuje podmínky nezápornosti, omezení a účelovou unkci. Účelová unkce se nazývá lineární orma a má tvar: z = c. +c. hledáme maimum lineární ormy tak, aby byly splněny omezující podmínky: Omezení jsou ve tvaru lineárních nerovností, kdy počet omezení může být i vyšší než rozměr úlohy a mohou mít například tvar: a. +a. l a. +a. l Pro podmínky nezápornosti platí, že pro všechna : a Pro řešení je vhodný Simpleův algoritmus, ale pro jednoduchost budou příklady řešeny v Ecelu. Výsledek vyjde ve tvaru * = [ *, * ]. Interpretace výsledku je následující budeme vyrábět * výrobků V a * výrobků V. 37

Příklad.. Řešené úlohy Vypočtěte řešení výrobního programování pro následující zadání: V V Limit S 4 5 S 6 3 cena 5 ZISK Řešení Vytvoříme matematický model omezení: 4. +5. 6. +3. Vytvoříme matematický model lineární ormy: z =. +5. A podmínky nezápornosti: a Vytvoříme v Ecelu výpočetní tabulku a následně pro vlastní optimalizaci použijeme doplněk Řešitel : B C D E F 3 V V Limit 4 S 4 5 5 S 6 3 6 cena 5 ZISK 7 8 38

9 V V Limit Skutečnost S =C$*C4 =D$*D4 =SUMA(C:D) 3 S =C$*C5 =D$*D5 =SUMA(C3:D3) 4 cena =C$*C6 =D$*D6 =SUMA(C4:D4) Nastavení možností řešitele: V možnostech nastavíme Lineární model a Nezáporná čísla. Nastavení řešitele: Nastavit buňku označí se buňka v které je vzorec pro výpočet obratu (zisku) Nastavit ma pro úlohu maimalizaci (zisku) Měněné buňky označíme buňky, v kterých jsou hodnoty nezávislé proměnných i. Omezující podmínky vytvořit relace mezi buňkami limit a skutečnost (strojový čas). 39

Po stisku tlačítka Řešit dojde k řešení dané úlohy. Výsledkem je tabulka: A B C D E F 9 4 V V Limit Skutečnost S 3 S 4 cena Interpretace výsledku je následující: Budeme vyrábět pouze 4 ks výrobků a obrat bude Kč. Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) Na závěr kapitoly jsou vyjmenovány pojmy, které byly v tetu rozebrány a které je nutné znát. Výrobní programování, typ omezení, typ lineární ormy, řešitel. Otázky k probranému učivu 3. Co znamená výrobní programování? 4. Co nazýváme řešitelem? 4

5. Jak získáme řešení úlohy výrobního programování? 3.3. Nutriční problém Čas ke studiu: 5 hodin Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět deinovat pojem nutriční problém popsat problematiku tvorby omezení a lineární ormy pro nutriční problém vyřešit úlohu nutričního problému v Ecelu Výklad Duální úloha k výrobnímu programování je nutriční (směšovací) problém. Duální znamená, že matematický model bude duální, což znamená, že nerovnosti budou opačné a lineární orma bude minimalizována. Rovněž zde pro vysvětlení podstaty a postupu použijeme praktický příklad. Podnik nakupuje tři suroviny S, S a S3. Z nich získává tři prvky P, P a P3. Výroba potřebuje zajistit alespoň l jednotek prvku P a tak postupně až minimálně l3 jednotek prvku P3. Suroviny jsou kupovány za ceny c až c3. V následující tabulce jsou uvedeny obecné hodnoty. S S S3 Limit P a a a 3 l P a a a 3 l P3 a 3 a 3 a 33 l 3 cena c c c 3 z Dle tabulky lze vytvořit matematický model, který zahrnuje podmínky nezápornosti, omezení a účelovou unkci. Účelová unkce se nazývá lineární orma a má tvar: z = c. +c. +c 3. 3 4

hledáme maimum lineární ormy tak, aby byly splněny omezující podmínky: Omezení jsou ve tvaru lineárních nerovností, kdy počet omezení může být i vyšší než rozměr úlohy a mohou mít například tvar: a. +a. +a 3. 3 l a. +a. +a 3. 3 l a 3. +a 3. +a 33. 3 l 3 Pro podmínky nezápornosti platí, že pro všechna : a a 3 Pro řešení je vhodný Duální Simpleův algoritmus, ale pro jednoduchost budou příklady řešeny rovněž v Ecelu. Výsledek vyjde ve tvaru * = [ *, *, 3 * ]. Interpretace výsledku je následující budeme nakupovat * suroviny S a * suroviny S a 3 * suroviny S3. Příklad.. Řešené úlohy Vypočtěte řešení směšovacího problému pro následující zadání: S S S3 Limit P 4 5 5 P 3 5 P3 6 3 cena 5 5 ZISK Řešení Vytvoříme matematický model omezení: 4. +5. +. 3 5 3. +5. +. 3 6. +3. +. 3 4

Vytvoříme matematický model lineární ormy: z =. +5. +5. 3 A podmínky nezápornosti: a a 3 Vytvoříme v Ecelu výpočetní tabulku a následně pro vlastní optimalizaci použijeme doplněk Řešitel : B C D E F G 3 S S S3 Limit 4 P 4 5 5 5 P 3 5 6 P3 6 3 7 cena 5 5 ZISK 8 9 3 =C3 =D3 =E3 Limit Skutečnost 3 =B4 =C$*C4 =D$*D4 =E$*E4 =F4 =SUMA(C3:E3) 4 =B5 =C$*C5 =D$*D5 =E$*E5 =F5 =SUMA(C4:E4) 5 =B6 =C$*C6 =D$*D6 =E$*E6 =F6 =SUMA(C5:E5) 6 cena =C$*C7 =D$*D7 =E$*E7 =SUMA(C6:E6) Nastavení možností řešitele: V možnostech nastavíme Lineární model a Nezáporná čísla. 43

Nastavení řešitele: Nastavit buňku označí se buňka, v které je vzorec pro výpočet nákladů Nastavit min pro úlohu minimalizaci nákladů Měněné buňky označíme buňky, v kterých jsou hodnoty nezávislé proměnných i. Omezující podmínky vytvořit relace mezi buňkami limit a skutečnost. Po stisku tlačítka Řešit dojde k řešení dané úlohy. Výsledkem je tabulka: 3 44

3,89 38,89 S S S3 Limit Skutečnost P 55,56 94,4 5 5 P 4,67 94,4 36 P3 83,33 6,7 cena 77,8 97, 5 Interpretace výsledku je následující: Budeme nakupovat pouze 3,89 jednotek suroviny S a 38,89 jednotek suroviny S, náklady budou 5 Kč. Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) Na závěr kapitoly jsou vyjmenovány pojmy, které byly v tetu rozebrány a které je nutné znát. Nutriční problém, model, typ omezení, typ lineární ormy, řešitel. Otázky k probranému učivu 6. Co znamená nutriční problém? 7. Jak vypadá model pro nutriční problém? 8. Jak získáme řešení úlohy nutriční problém? 3.4. Distribuční problém Čas ke studiu: 5 hodin Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět deinovat pojem distribuční problém popsat problematiku tvorby omezení a lineární ormy pro distribuční problém vyřešit úlohu distribučního problému v Ecelu Výklad 45

Mírně složitější, hlavně co do rozměru je úloha nazvaná distribuční (dopravní) problém. Nerovnosti zde budou zastoupeny v obou variantách a lineární orma bude minimalizována. Rovněž zde pro vysvětlení podstaty a postupu použijeme praktický příklad. Ve třech skladech tří dodavatelů D, D a D3 jsou k dispozici určitá množství materiálu ld, ld, ld3, která jsou určena k distribuci. Na druhé straně jsou tři odběratelé O, O a O3, kteří potřebují materiál v množstvích lo, lo, lo3. Transport jednotky materiálu od i-tého dodavatele k j-tému odběrateli představuje náklady v ceně cij (c až c33). Aby byla úloha řešitelná, musí ΣlDi = ΣlOj. V následující tabulce jsou uvedeny obecné hodnoty. O O O3 Limit D i D c c c 3 l D D c c c 3 l D D3 c 3 c 3 c 33 l D3 limit O j l O l O l O3 ZISK Dle tabulky lze vytvořit matematický model, který zahrnuje podmínky nezápornosti, omezení a účelovou unkci. Účelová unkce se nazývá lineární orma a má tvar: z = c. +c. + + c ij. ij+ + c 33. 33 hledáme minimum lineární ormy tak, aby byly splněny omezující podmínky: Omezení jsou ve tvaru lineárních nerovností, kdy počet omezení může být i vyšší než rozměr úlohy a mohou mít například tvar: pro dodavatele platí: + + 3 l D + + 3 l D 3+ 3+ 33 l D3 pro odběratele platí: + + 3 l O + + 3 l O 3+ 3+ 33 l O3 46

Pro podmínky nezápornosti platí, že pro všechna : ij Pro řešení je vhodná Voglova metoda, ale pro jednoduchost budou příklady řešeny rovněž v Ecelu. Výsledek vyjde ve tvaru * = [ *, *,, 33 * ]. Interpretace výsledku je následující budeme převážet ij * jednotek materiálu od i-tého dodavatele k j-tému odběrateli. Příklad.. Řešené úlohy Vypočtěte řešení distribučního problému pro následující zadání: O O O3 Limit D i D 4 5 5 D 3 5 7 D3 6 3 limit O j 5 ZISK Řešení Vytvoříme matematický model omezení: pro dodavatele platí: + + 3 5 + + 3 3+ 3+ 33 pro odběratele platí: + + 3 5 + + 3 3+ 3+ 33 47

Vytvoříme matematický model lineární ormy: z = 4. +5. +. +3. +5. +7. 3+6. 3+3. 3+. 33 A podmínky nezápornosti: a a 3 Vytvoříme v Ecelu výpočetní tabulku a následně pro vlastní optimalizaci použijeme doplněk Řešitel : A B C D E F G ij 3 3 3 4 5 cij.ij 3 6 =C4*C =D4*D =E4*E 7 =C5*C =D5*D =E5*E 8 3 =C6*C3 =D6*D3 =E6*E3 9 =C3 =D3 =E3 Limit Skutečnost =B4 =C =D =E =F4 =SUMA(C:E) =B5 =C =D =E =F5 =SUMA(C:E) 3 =B6 =C3 =D3 =E3 =F6 =SUMA(C3:E3) 4 Limit =C7 =D7 =E7 =SUMA(C6:E8) 5 Skutečnost =SUMA(C:C3) =SUMA(D:D3) =SUMA(E:E3) Nastavení možností řešitele: V možnostech nastavíme Lineární model a Nezáporná čísla. 48

Nastavení řešitele: Nastavit buňku označí se buňka, v které je vzorec pro výpočet nákladů Nastavit min pro úlohu minimalizaci nákladů Měněné buňky označíme buňky, v kterých jsou hodnoty nezávislé proměnných i. Omezující podmínky vytvořit relace mezi buňkami limit a skutečnost. Po stisku tlačítka Řešit dojde k řešení dané úlohy. Výsledkem je tabulka: A B C D E F G ij 3 5 49

3 3 4 5 cij.ij 3 6 4 7 3 8 3 6 9 O O O3 Limit Skutečnost D 5 5 5 D 3 D3 4 Limit 5 5 5 Skutečnost 5 Interpretace výsledku je následující: Budou realizovány tyto transakce: D O: 5 jednotek D O: jednotek D O: jednotek D3 O: jednotek Náklady na všechny transakce činí 5 Kč. Všichni byli uspokojeni dle požadavků. Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) Na závěr kapitoly jsou vyjmenovány pojmy, které byly v tetu rozebrány a které je nutné znát. Dopravní problém, model, typ omezení, typ lineární ormy, řešitel. Otázky k probranému učivu 9. Co znamená dopravní problém? 3. Jak vypadá model dopravního problému? 3. Jak získáme řešení úlohy dopravní problém? 3.5. Řezný plán 5

Čas ke studiu: 3 hodiny Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět deinovat pojem řezný plán popsat problematiku tvorby omezení a lineární ormy pro řezný plán vyřešit úlohu řezného plánu v Ecelu Výklad Řezný plán představuje nejsložitější oblast lineárního programování. Složitost však nespočívá ve složitosti vlastní optimalizace, ale v nutnosti vytvořit generátor množiny řezných plánů. Jeho naprogramování není lehká záležitost a v Ecelu by to znamenalo použití programování v MS Visual Basicu. Rovněž zde pro vysvětlení podstaty a postupu použijeme praktický příklad. Podnik má k dispozici ocelové trubky v délce m. Pro vlastní výrobu však potřebuje trubky T, T a T3 v délkách,6 m,,4 m a,3 m, které si musí sám nařezat. Výroba potřebuje zajistit alespoň l jednotek prvku T a tak postupně až minimálně l3 jednotek prvku T3. Cílem optimalizace je minimalizovat množství odřezků Z až Zn v metrech. Prvním úkolem bude vygenerovat všechny možnosti jak je možno výchozí dvoumetrové trubky nařezat vytváříme tzv. řezné plány P až Pn: V následující tabulce jsou uvedeny obecné hodnoty. P P P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P P Limit T a, a, a,3 a,4 a,5 a,6 a,7 a,8 a,9 a, a,n l T a, a, a,3 a,4 a,5 a,6 a,7 a,8 a,9 a, a,n l T3 a3, a3, a3,3 a3,4 a3,5 a3,6 a3,7 a3,8 a3,9 a3, a3,n l3 zbytek Z Z Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 Z8 Z9 Z Zn odpad Dle tabulky lze vytvořit matematický model, který zahrnuje podmínky nezápornosti, omezení a účelovou unkci. Účelová unkce se nazývá lineární orma a má tvar: 5

z = z. +z. +z 3. 3 + + z n. n hledáme maimum lineární ormy tak, aby byly splněny omezující podmínky: Omezení jsou ve tvaru lineárních nerovností, kdy počet omezení může být i vyšší než rozměr úlohy a mohou mít například tvar: a. +a. +a 3. 3 + +a n. n l a. +a. +a 3. 3 + +a n. n l a 3. +a 3. +a 33. 3 + +a 3n. n l 3. a m. +a m. +a m3. 3 + +a mn. n l m Pro podmínky nezápornosti platí, že pro všechna : a až n Pro řešení je vhodný Duální Simpleův algoritmus, ale pro jednoduchost budou příklady řešeny rovněž v Ecelu. Výsledek vyjde ve tvaru * = [ *, *,, n * ]. Interpretace výsledku je následující budeme realizovat * krát řezný plán P a * krát P až n * krát Pn. Příklad.3. Řešené úlohy Vypočtěte řešení řezného plánu pro následující zadání: P P P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P P P Limit T 3 5 T 3 5 4 3 T3 3 4 5 6 zbytek,,,,,,,, ODPAD Řešení Vytvoříme matematický model omezení: 3. +. +. 3 + 5 5

. +. +. 3 +. +. +. 3 + Vytvoříme matematický model lineární ormy: z =,. +. +,. 3 + +,. A podmínky nezápornosti: a až Vytvoříme v Ecelu výpočetní tabulku a následně pro vlastní optimalizaci použijeme doplněk Řešitel : B C D E F G H I J K L M 3 P P P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P P 4 T 3 5 T 3 5 4 3 6 T3 3 4 5 7 zbytek =- C4*$R4- C5*$R5- C6*$R6 =- D4*$R4- D5*$R5- D6*$R6 =- E4*$R4- E5*$R5- E6*$R6 =- F4*$R4- F5*$R5- F6*$R6 =-G4*$R4- G5*$R5- G6*$R6 =- H4*$R4- H5*$R5- H6*$R6 =- I4*$R4- I5*$R5- I6*$R6 =- J4*$R4- J5*$R5- J6*$R6 =- K4*$R4- K5*$R5- K6*$R6 =- L4*$R4- L5*$R5- L6*$R6 =- M6 8 9 3 4 5 6 7 8 9 =C3 =D3 =E3 3 =B4 =C$*C4 =D$*D4 =E$*E4 =F$*F4 =G$*G4 =H$*H4 =I$*I4 =J$*J4 =K$*K4 =L$*L4 =M 4 =B5 =C$*C5 =D$*D5 =E$*E5 =F$*F5 =G$*G5 =H$*H5 =I$*I5 =J$*J5 =K$*K5 =L$*L5 =M 5 =B6 =C$*C6 =D$*D6 =E$*E6 =F$*F6 =G$*G6 =H$*H6 =I$*I6 =J$*J6 =K$*K6 =L$*L6 =M 6 ZBYTEK =C$*C7 =D$*D7 =E$*E7 =F$*F7 =G$*G7 =H$*H7 =I$*I7 =J$*J7 =K$*K7 =L$*L7 =M Nastavení možností řešitele: V možnostech nastavíme Lineární model a Nezáporná čísla. 53

Nastavení řešitele: Nastavit buňku označí se buňka, v které je vzorec pro výpočet nákladů Nastavit min pro úlohu minimalizaci nákladů Měněné buňky označíme buňky, v kterých jsou hodnoty nezávislé proměnných i. Omezující podmínky vytvořit relace mezi buňkami limit a skutečnost. Po stisku tlačítka Řešit dojde k řešení dané úlohy. Výsledkem je tabulka: 3 4 5 6 7 8 9 5 5 54

P P P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P P P Limit Skutečnost T 5 5 5 T 5 35 T3 zbytek Interpretace výsledku je následující: Budeme realizovat pouze dva řezné plány: P opakujeme 5 krát a P opakujeme 5 krát. Takto nebude žádný odpad, ale jednostranná omezení vedou k tomu, že trubek T budeme mít mnohem více, než jsme potřebovali na výrobu. Zavedením omezení pro limit T = a při použití celočíselného programování dostaneme následující řešení: 3 4 5 6 7 8 9 84 5 P P P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P P P Limit Skutečnost T 5 5 5 T T3 zbytek 6,8 6,8 P opakujeme 84 krát a P opakujeme 5 krát. Takto ovšem obdržíme odpad v množství 84 trubek v délce, m. nadbudou nám však jen dvě 6 cm trubky T. Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) Na závěr kapitoly jsou vyjmenovány pojmy, které byly v tetu rozebrány a které je nutné znát. Řezný plán, model, generátor řezných plánů, typ omezení, typ lineární ormy, řešitel. Otázky k probranému učivu 3. Co znamená řezný plán? 33. Jak se generují jednotlivé řezné plány? 34. Jak vypadá model pro řezný plán? 35. Jak získáme řešení úlohy řezného plánu? 55

4. Dynamická optimalizace 4.. Teorie dynamické optimalizace Čas ke studiu: 5 hodin Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět deinovat pojem dynamická optimalizace popsat problematiku tvorby účelových unkcionálů vyřešit problematiku optimalizace dynamických systémů Výklad Řízená soustava je popsaná stavovou rovnicí dynamiky ve vektorovém tvaru: t t, u t, t přičemž bývají zadány některé z následujících parametrů: (t) počáteční stav t počáteční čas (t) koncový stav t koncový čas Libovolnou dierenciální rovnici systému lze přepsat pomocí stavového popisu na tento typ soustavy dierenciálních rovnic prvního řádu. Má-li dojít k optimálnímu řízení je nutno vytýčit kritérium optimality. To bude mít obecně tvar účelového unkcionálu: J t I t, ut, tdt Ft, t t o Z toho je patrno, že účelový unkcionál může být obecně závislý na stavu systému, na řízení, čase a na unkci koncových parametrů F. Deinice úlohy optimálního řízení Jde o minimalizaci, kterou zapíšeme ve tvaru: t min I t u t U, u, tdt F t, t 56

systém je popsán rovnicemi ve tvaru: t t, u t, t kdy t t (t) (t ) * (t) (t ) t t Obr. 4. Rozšířený stavový prostor Situaci lze znázornit v (n+) rozměrném rozšířeném stavovém prostoru (viz obr. 4.). Ω - množina přípustných trajektorií t. Úlohou optimálního řízení je vybrat z přípustných stavových trajektorií takovou, která minimalizuje účelový unkcionál J. Základní úlohy Z hlediska tvaru účelového unkcionálu budou vystupovat obecně tři vzájemně ekvivalentní úlohy: ) Bolzova úloha: J t u t It, u t, tdt Ft t ) Lagrangeova úloha: J t u t It, u t t 3) Mayerova úloha: u t F J t,t, tdt, t V prai nejvíce používaná je úloha Lagrangeova. Hledisko nejlepších možných vlastností regulačního obvodu můžeme volit z většího počtu účelových unkcionálů, nejčastěji se však vyskytují tyto zde uvedené. 57

Typy účelových unkcionálů ) Podintegrální unkce I, pak: u t t J dt (Lagrangeova úloha) t jejímž řešením obdržíme: J u t t t (Mayerova úloha) Regulační odchylka má být odstraněna v nejkratším čase hovoříme o časově optimální úloze. V prai je tato úloha nejčastější, přičemž při optimalizaci vystupuje výrazně aktor omezení akční veličiny orgánu: u t U t u vyplývající z energetických možností akčního ) Podintegrální unkce I w t t I závisí na rozdílu mezi žádaným stavem a stavem skutečným: Zde chceme, aby stav optimálně sledoval žádaný stav w, což je vyjádřeno čtvercem jejich rozdílů, který by měl být minimální. 3) Podintegrální unkce I u t I závisí na čtverci řízení: Zde chceme, aby zobecněná energie na řízení za přechodu systému z počátečního stavu do koncového byla minimální. 4) Podintegrální unkce závisí na řízení: I u t Zde chceme minimalizovat množství média (např. plynu) vstupujícího do systému. Dalšími kriterií může být např. spolehlivost, účinnost a pod. Metody řešení 58

Nejpoužívanější metody, jimiž se řeší tyto optimalizační úlohy lze rozdělit do tří skupin: ) Variační počet ) Dynamické programování 3) Princip minima (maima) Řešené úlohy Příklad.4. Nakreslete stavovou trajektorii kyvadla. Řešení (t) (t) Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) Na závěr kapitoly jsou vyjmenovány pojmy, které byly v tetu rozebrány a které je nutné znát. stavová trajektorie, trajektorie řízení, stavový popis, účelový unkcionál. Otázky k probranému učivu 36. Co znamená stavová trajektorie? 37. Co nazýváme jako účelový unkcionál? 38. Jak získáme stavový popis systému? 39. Co je cílem dynamické optimalizace? 4. Jaký je rozdíl oproti statické optimalizaci? 4.. Variační počet 59