- není prostorově orientován - ve zvoleném místě prostoru (času) ho lze vyjádřit jednou hodnotou - typické skaláry: teplota, tlak, koncentrace

1 Úvod Nejdřív bude zopakována matematická část týkající se skalárů, vektorů a tenzorů, práce s nimi. Pak skalární součin a k čemu je dobrý, zjednodušený zápis soustav rovnic pomocí gradientu, divergence, nabla operátoru a Laplaceova operátoru. Následně transformace rovnic do bezrozměrné podoby a vysvětlení, proč je prováděna. Bude probráno šíření tepla vedením, pak bude rozšířeno o proudění. Nakonec bude probráno šíření tepla zářením (radiací). 2 Skalární vektorové a tenzorové veličiny 2. řádu Skalár a - není prostorově orientován - ve zvoleném místě prostoru (času) ho lze vyjádřit jednou hodnotou - typické skaláry: teplota, tlak, koncentrace Vektor a x a = a y a z - má směr - ve 3D prostoru ho lze charakterizovat třemi hodnotami - typické vektory: rychlost, gradient tlaku, gradient koncentrace Tenzor 2. řádu a xx a xy a xz a = a yx a yy a yz a zx a zy a zz - má směr - ve 3D prostoru ho lze charakterizovat devíti hodnotami - typický tenzor: tenzor rychlosti deformace v kapalině 2.1 Tenzor Tenzory typicky vyjadřují napětí v kapalném nebo pevném médiu. Tenzorem je tedy například možno popsat, jaké změny některé charakteristické veličiny (rychlosti v kapalinách nebo tvaru v pevných látkách) ve směru kolmém na nějakou plochu vyvolá vložení tečné nebo normálové síly k této ploše. 1

Obrázek 1: Příklad tenzoru. Zdroj: https://en.wikipedia.org/wiki/tensor Obrázek 2: Příklad tenzoru: Cyklon východně od Floridy. Zdroj: http://vis.computer.org/vis2004contest/ohio/ 2

3 Skalární součin y z θ vektor A A cos θ vektor B x Obrázek 3: Skalární součin. Skalární součin dvou vektorů je skalár. a b = a b cos Θ = a x b x + a y b y + a z b z = i a ib i Skalární součin je roven součinu velikosti vektoru b promítnutého do vektoru a a velikosti vektoru a nebo obráceně. Skalární součin je komutativní. a x b x a b = a y b y = i a z b z b x a x a i b i = b y a y = b a b z a z Skalární součin je distributivní. a x b x c x a x b x + c x a (b + c) = a y b y + c y = a y b y + c y = a z b z c z a z b z + c z = a i (b i + c i ) = a i b i + a i c i = (a b) + (a c) i i i Skalární součin vektoru a tenzoru je vektor. a x τ xx τ xy τ xz [ a τ = a y τ yx τ yy τ yz = a i τ ix i a z τ zx τ zy τ zz τ xx τ xy τ xz a x [ τ a = τ yx τ yy τ yz a y = τ xi a i i τ zx τ zy τ zz a z a i τ iy i τ yi a i i ] a i τ iz i ] τ zi a i i 3

Asociativní vlastnost skalárního součinu vektoru a tenzoru. Za úkol: Dokažte, že platí: (a τ ) b = a (τ b) Pouze pro kontrolu je řešení na straně 86. 3.1 Vektorové diferenciální operátory Gradientní operátor = [ x y z ] Gradient skalárního pole je vektor a = grad a = [ a x a y a z Gradient vektorového pole je tenzor a = a x x a x y a x z a y x a y y a y z a z x a z y a z z Divergence vektorového pole je skalár a = ax x + ay y + az z ] = i a i i Laplaceův operátor = divergence operátoru divergence = = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 = i 2 i 2 Divergence tenzorového pole je vektor τ = x y z τ xx τ xy τ xz [ τ yx τ yy τ yz = i τ zx τ zy τ zz i τ ix Za domácí úkol dokažte, že platí následující rovnice: i i τ iy [ a + ( a) t ] = 2 a + ( a) Pouze pro kontrolu je řešení na straně 86. i τ ] i iz 4 Materiálová (substanciální) derivace Pomocí diferenciálu funkce (skalární nebo vektorové) lze sledovat přibližný přírůstek této funkce v okolí zvoleného bodu. Pro výpočet diferenciálu funkce je nutné znát derivace (tečny) této funkce ve zvoleném bodě pro všechny nezávislé proměnné (prostorové souřadnice a čas). da = a a a a dt + dx + dy + t x y z dz 4

Podělením diferenciálu časovým přírůstkem (dt) je získána materiálová derivace funkce, ve které je v vektor rychlosti toku ( di = v dt i). Materiálová derivace Da udává rychlost změny nějaké prostorové proměnné tak, jak Dt ji vnímá pozorovatel pohybující se společně s tekutinou. Da Dt = a t + a x v x + a y v y + a z v z = a t + v a a konvektivní části v a. Konvek- Materiálová derivace se skládá z lokální části a t tivní část je nenulová i v ustáleném stavu. 5 Integrální transformace Vyjadřuje zákony zachování pro transportované veličiny v závislosti na kontrolním objemu V, který je obklopen kontrolní plochou S. Kontrolní objem obsahuje stále stejné množství tekutiny a při toku se deformuje. n je normálový vektor kolmý k ploše ds viz. obrázek 4. Množství veličiny, které přibyde/ubyde (akumuluje se) v kontrolním objemu V je rovno množství veličiny, které do kontrolního objemu vstupuje/vystupuje skrz kontrolní plochu S. Obrázek 4: Kontrolní objem V, plocha S a normálový vektor n. Pro veličiny typu skalár, vektor (tenzor) a dv = V S a dv = n a ds n a ds V S 5

6 Rovnice kontinuity = zákon zachování hmoty S V ṁ = dm dt ρ n v ds = ρ dv t ρ v dv = V V ρ v = ρ t v = 0 ρ t dv Tok hmoty přes hranice kontrolního objemu je roven akumulaci hmoty v kontrolním objemu. Tok hmoty přes hranice systému lze zapsat jako součin hustoty, rychlosti a plochy ohraničující systém. Plošný integrál je možno převést na objemový pomocí integrální transformace. Rovnice kontinuity v diferenciálním tvaru. U tekutin s konstantní hustotou lze rovnici dále zjednodušit. 7 Transformace rovnic do bezrozměrné podoby metoda slouží k redukci počtu parametrů výsledné rovnice lze použít pro libovolný systém fyzikálních jednotek (SI nebo jiné) Postup při transformaci 1. Identifikikace všech závislých i nezávislých proměnných závislé proměnné (teplota, rychlost, tlak,...) nezávislé proměnné (čas, prostorové souřadnice,...) 2. Pro každou proměnnou je zvolena tzv. charakteristickou veličinu, která má stejný rozměr jako tato proměnná. 3. Jsou zavedeny bezrozměrové proměnné podělením rozměrových proměnných charakteristickou veličinou bezrozměrová proměnná x = x x 0 rozměrová proměnná charakteristická veličina 4. Bezrozměrové proměnné jsou dosazeny do rovnice a podělené konstantou před jedním zvoleným členem rovnice. 5. Je získána rovnice v bezrozměrném tvaru. Koeficienty před členy jsou také bezrozměrné = bezrozměrná kritéria. 6

Příklad - Převed te následující rovnici do bezrozměrného tvaru. ( ) vx ρ t + v v x x x + v v x y = p ( ) 2 y x + η v x x + 2 v x 2 y 2 Nezávislé proměnné - t, x, y (čas, souřadnice x, y) Závislé proměnné - v x, v y, p (složky vektoru rychlosti x, y, tlak) Parametry (konstanty) - ρ, η (hustota, dynamická viskozita) Zavedení bezrozměrných proměnných t = t t 0 x = x x 0 ỹ = y y 0 ṽ x = vx v 0 ṽ y = vy v 0 p = p p 0 Bude odvozena závislost rozměrových derivací veličin na derivacích bezrozměrových. v x = vx ṽ x t = v 0 ṽ x t ṽ x t t t0 v x = vx ṽ x x = v 0 x ṽ x x x 2 v x ( = vx x 2 x x x x 2 v x = v y 2 0 2 ṽ x y0 2 ỹ 2 p = p 0 p x x 0 x, jiný způsob t = t t 0 t dt = t 0 d t ṽ x vx x 0, podobně = v 0 ṽ x x y y 0 ỹ ) ) ) = x 1 ( v 0 ṽ x x 0 x ( = v 0 ṽ x x x 0 x 0 x Po dosazení do původní rovnice ( ) v0 ṽ x ρ t 0 t + ṽ v 0 ṽ x xv 0 x 0 x + ṽ v 0 ṽ x yv 0 y 0 ỹ = v 0 2 ṽ x x 2 0 x 2 v x = v 0 ṽ x dv x = v 0 dṽ x = p ( 0 p x 0 x + η v0 2 ṽ x x 2 0 x + v 0 2 y0 2 ) 2 ṽ x ỹ 2 Prozatím byly škálovací faktory označeny obecně, nyní budou alespoň některé z nich zvoleny konkrétně: v 0 = U - průměrná rychlost proudění x 0 = y 0 = d - průměr potrubí t 0 = d - konvektivní čas (dráha/rychlost) U ( ) ρ U 2 ṽx d t + ṽ ṽ x x x + ṽ ṽ x y = p 0 ỹ d Po vydělení faktorem η U d 2 ρ d U η ( ṽx t + ṽ ṽ x x x + ṽ y ) ṽ x ỹ p x + η U d 2 = p 0 d η U ( 2ṽ x x 2 p x + 2 ṽ x x 2 ) + 2 ṽ x ỹ 2 + 2 ṽ x ỹ 2 První člen ρ d U odpovídá bezrozměrnému Reynoldsovo kritériu Re. η Dále bude zvolen charakteristický tlak jako p 0 = η U. d Potom ( ) ṽx Re t + ṽ ṽ x x x + ṽ ṽ x y = p ỹ x + 2 ṽ x x + 2 ṽ x 2 ỹ 2 Výsledná rovnice obsahuje jen jeden parametr (Re) místo původních dvou. 7

8 Škálování Speciální případ zbezrozměrnění - charakteristické veličiny nebo-li škálovací faktory jsou zvoleny tak, aby bezrozměrové proměnné (závislé i nezávislé) nabývaly hodnot v řádu 1 a v tomto řádu se také měnily. Pokud: f 1 f 1 x 1 } x 1 d f. = f 1 Tak platí: 1 d x x 1 d 2 f. d x = f Derivace nabývají také hodnot v řádu 1. 1 1 2 x 2 1 2 V mnoha případech je nalezení škálovacích faktorů obtížné. Pokud je rovnice správně naškálovaná, hodnoty bezrozměrných kritérií určují váhu jednotlivých členů rovnice. Některé členy lze zanedbat. Škálování je důležitá pomůcka při odvození teoretických kriteriálních vztahů pro výpočet Nusseltova nebo Sherwoodova kritéria. Příklad - Naškálujte Fourierovu rovnici vedení tepla. T t = a 2 T x 2 T - teplota [K] t - čas [s] x - prostorová souřadnice [m] a - teplotní vodivost [m 2 s 1 ] tedy: Nejprve je potřeba rovnici zbezrozměrnit: T t = T 0 t 0 Θ t, Θ = T T 0, t = t t 0, x = x x 0 2 T x = T 0 2 Θ 2 x 2 0 x 2 T 0 Θ t 0 t 1 Θ t 0 t = a T 0 2 Θ x 2 0 x 2 2 Θ x 2 = a x 2 0 bezrozměrnou teplotu lze také zavést pomocí Θ = T t = T max T min t 0 Výsledek bude stejný. Θ 2 T, t x = T max T min 2 Θ 2 x 2 0 x 2 T max T min Θ = a (T max T min ) t t 0 x 2 0 T T min T max T min, 2 Θ x 2 8

Nyní je nutno vhodně zvolit škálovací faktory t 0 a x 0. Obvykle je známa velikost systému - tloušt ka stěny, průměr potrubí, délka žebra. Například u potrubí je charakteristickým rozměrem průměr d. Pokud bude zvoleno x 0 = d, pak je zaručeno, že x < 0, 1 >, což je požadováno. 1 Θ = a 2 Θ t 0 t d 2 x 2 t 0 Θ = t 0 a 2 Θ t d 2 x 2 Dále bude předpokládáno Θ 1, Θ 1 - škála T 0 nemusela být volena, ale obvykle jí bývá rozdíl mezi maximální a minimální teplotou v systému. Dále je známo x 1, x 1 a také 2 Θ x 2 Θ ( x) 2 1 1 2 1 Zbývá vhodně zvolit škálu pro čas, aby platilo t 1, t 1 a také Θ t Θ t 1 1 1 Θ }{{} t 2 Θ x 2 }{{} = t 0a x 2 0 1 1 t 0 a x 2 0 1 Je identifikována časová škála t 0 = d2 a 8.1 Difúzní/vodivostní čas t 0 = d2 a Čas, za který se přenese teplo na vzdálenost d vedením tepla. Čas je přímo úměrný čtverci této vzdálenosti. Jedná se spíše o řádový odhad času než o jeho přesnou hodnotu. 9

9 Sdílení tepla vedením - Přenos tepla na molekulární úrovni - přenos pohybové energie molekul. - Uplatňuje se všude, kde jsou přítomny gradienty teploty (prostorové změny teploty). - Více kmitající molekuly předávající energii molekulám méně kmitajícím. - Úroveň pohybové energie (kmitání) je vyjádřena teplotou. - Vedení tepla se uplatňuje v tuhých látkách, kapalinách i plynech, v systémech, které jsou v klidu i pohybu. 9.1 Fourierův zákon vedení tepla q x = λ dt dx Intenzita toku tepla je přímo úměrná gradientu teploty. Konstantou úměrnosti je koeficient tepelné vodivosti λ q x - intenzita toku tepla [W m 2 ] = teplo prošlé za jednotku času danou plochou λ - koeficient tepelné vodivosti [W m 1 K 1 ] T - teplota [K] x - prostorová souřadnice [m] q x A x - plocha Obrázek 5: Intenzita toku tepla q x vedoucí skrz plochu A x. Tok tepla Q x [W] ve směru kolmém na plochu A. Q x = q x A V obecném tvaru - vedení tepla může nastat ve všech prostorových směrech. q x q = q y = λ q z 10 dt dx dt dy dt dz = λ T

λ - součinitel tepelné vodivosti = důležitá materiálová vlastnost kovy λ 10 1 10 2 [W m 1 K 1 ] dobré tepelné vodiče korek, pěnové plasty, vaty λ 10 2 [W m 1 K 1 ] tepelné izolanty cihly λ 1 [W m 1 K 1 ] voda λ 0, 6 [W m 1 K 1 ] vzduch λ 0, 025 [W m 1 K 1 ] špatný vodič tepla vakuum λ = 0 [W m 1 K 1 ] ideální izolant, v termoskách Tok tepla Q = dq dt [W] Z 1. věty termodynamické platí pro izobarický systém [p], ve kterém se koná pouze objemová práce, že změna entalpie systému je rovna množství tepla vyměněného mezi systémem a okolím, tj. dq = dh dq dt = dh dt Změnu entalpie systému lze vyjádřit pomocí měrné entalpie: dh = d(mh) = d(ρv h) h - měrná entalpie [J kg 1 ] V - objem systému [m 3 ] ρ - hustota [kg m 3 ] V případě, že je objem systému i hustota (případně hmotnost) konstantní, pak dh = V ρ dh = V ρ c p dt c p dh dt dh = c p dt c p měrná tepelná kapacita - důležitá materiálová vlastnost [J kg 1 K 1 ]. Kolik tepla je potřeba dodat 1 kg látky, aby se ohřála o 1 K (= o 1 C). 9.2 Neustálené vedení tepla v prostorově 1D - systému, odvození Fourierovy rovnice Příklad: Trubkový reaktor s pístovým tokem. Kontrolní objem V = x A. 11

A = plocha q x (x) kontrolní objem V q zdroj q x (x + x) A = plocha x x Obrázek 6: Trubkový reaktor s pístovým tokem, v jehož části je zdroj tepla q. q - objemový zdroj tepla [W m 3 ] (např. Jouleovo teplo, reakční teplo,... ) Bilance tepelné energie v elementu V VSTUP + ZDROJ = VÝSTUP + AKUMULACE q x (x)a + q V = q x (x + x)a + dh dt pro x 0 q x (x)a + q V = q x (x)a + q x xa + T V ρ c p x t q = q x x + ρ c T p t q ρ c p + q = x ( λ T q = λ 2 T x ) + ρ c p T t x + ρ c 2 p q + λ 2 T x = ρ c T 2 p λ t 2 T ρ c p x = T 2 t q + a 2 T ρ c p x = T 2 t Fourierova rovnice T t = a 2 T x 2 + q ρ c p T t q x(x)a; / V q x = λ T x [λ] T +λ 2 x 2 /ρ c p teplotní vodivost a = λ ρ c p [m 2 s 1 ] 12

10 Odvození Fourierovy rovnice pro obecný objemový element ds ds ds ds ds kontrolní objem V dv dv dv kontrolní plocha S Obrázek 7: Objemový element s kontrolním objemem V a s kontrolní plochou S. Bilance tepelné energie v infinitezimálním elementu VSTUP + ZDROJ = VÝSTUP + AKUMULACE } VSTUP - {{ VÝSTUP } + ZDROJ = AKUMULACE Celkový transport tepla přes hranice systému Celkový transport přes hranice systému d Q = q n ds = n q ds, kde q n je normálová složka intenzity toku tepla přes hranice systému q n = n q n = 1 Akumulace v elementu objemu d(dh) dt = d(ρ dv h) dt Přepoklad: konstantní ρ a c p. Bilance: c p = S = d(ρ dv c p(t T ref )) dt = ρ c p dv T t ( ) T dh h = c p dt = c p (T T ref) dt p T ref n q ds + V q dv = 13 V ρ c p T t dv

q n n ds q q t Obrázek 8: Rozložení toku tepla q na normálovou q n a tečnou q t složku. q je objemový zdroj energie [W m 3 ] Po použití Gaussovy transformace q dv + V V q dv = V ρ c p T t dv Protože bilance musí platit i pro elementární objem dv, pak Teplotní difuzivita (vodivost) a pro vedení tepla q + q T = ρ c p t λ T T ρ c p t = x x λ T y + q y z λ T z ( T 2 ρ c p t = λ T x + 2 T 2 y + 2 T 2 z 2 T t = λ ρ c p λ ρ c p 2 T + q ρ c p ) + q [m 2 s 1 ]. Spojením vznikne Fourierova rovnice T t = a 2 T + q ρ c p 14

11 Typické okrajové podmínky Podmínka 1. druhu - Dirichletova Je definována hodnota teploty na okraji T okraj = T 1 Podmínka 2. druhu - Neumannova (také von Neumannova) Je definována hodnota derivace teploty na okraji okraj x q x q x = 0 λ dt dx = 0 dt dx = 0 Obrázek 9: Neumannova okrajová podmínka: nulový tok tepla přes okraj. T = 0 x dt dx x = 0 x = 0 x Obrázek 10: Použití Neumannovy okrajové podmínky u osy symetrie a u polonekonečných domén. 15

x q x Q materiál I q I x materiál II q II x λ I dt I dx q I x = q II x = λ II dt II dx Obrázek 11: Podmínka spojitosti toku tepla na fázovém rozhraní. Konvektivní okrajová podmínka, podmínka spojitosti toku tepla na fázovém rozhraní (jedna z fází přenáší teplo vedením i konvekcí = přestup tepla) Podmínka 3. druhu - Robinova T I tuhá fáze fázové rozhraní proudící tekutina q I x T W q II x T λ I dt I dx qx I = qx II W = α(t W T ) Obrázek 12: Použití Robinovy okrajové podmínky. α - koeficient přestupu tepla [W m 2 K 1 ] α závisí na: geometrii typu proudění materiálových vlastnostech tekutiny 16

12 Vedení tepla žebrovaným povrchem Praktický význam topidla, topná tělesa chladiče motorů a kompresorů chladiče procesorů v počítačích chladiče výkonových tranzistorů Modelová představa zdroj tepla topná kapalina těleso procesoru 2W L H x z žebro základní těleso y Obrázek 13: Žebrovaný chladič. Předpoklady: H L změny se směru y nejsou podstatné. Materiál žeber je vynikající tepelný vodič změny teploty v základním tělese ve směru osy z jsou zanedbatelné. Žebra jsou od sebe velmi daleko, proto nedochází ke vzájemnému ovlivnění transportu tepla mezi jednotlivými žebry. Systém se nachází v ustáleném stavu a uvnitř žeber není přítomen žádný zdroj tepla. 17

Je možné analyzovat transport tepla pro každé žebro zvlášt. x = W x = 0 x = W x z z = L plocha symetrie z = 0 Obrázek 14: Žebro chladiče. Fourierova rovnice T t = a 2 T + q ρ c p Předpoklad: ustálený stav, proto T t = 0. Předpoklad: v žebrech není zdroj tepla, proto Proto se Fourierova rovnice zjednoduší na: a 2 T = 0 q ρ c p = 0. 2 T x + 2 T = 0 Laplaceova rovnice 2 z2 Čtyři okrajové podmínky (protože jsou 2 rovnice 2 řádu, také 4 okraje) T x = 0, z symetrie x = 0 x = W, z přestup/vedení λ T x = α(t T ) T je teplota daleko od žeber x, z = 0 fixní teplota T = T 0 T 0 je teplota na rozhraní žebra a základního tělesa x, z = L přestup/vedení λ T z = α(t T ) 12.1 Účinnost žeber Ω Ω = tok tepla z povrchu žebra do okolí tok tepla z povrchu žebra do okolí při maximální možné hnací síle Pro maximální hnací sílu platí, že teplota povrchu žebra je všude T 0 a hnací síla je (T 0 T ). Ω = αh L (T T ) dz 0 αhl(t 0 T ) 18

Vyjádření pomocí bezrozměrných veličin η α H (T 0 T )ΘW d z 0 Ω = α HL (T 0 T ) Ω = 1 η Ω = 1 η Ω = 1 η η 0 η {[ 0 C1 Ω = 1 η Bi Ω = 1 η Bi zkrátí se αh(t 0 T ) Θ d z dosadí se charakteristické řešení rovnice za Θ ( C 1 e ) Bi z + C 2 e Bi z d z po integraci ] e η [ ] η } Bi z C2 e Bi z po dosazení mezí Bi 0 Bi 0 {C 1 e } Bi η C 1 C 2 e Bi η + C 2 sečte se a vytkne se [ {C 1 e ] [ ]} Bi η 1 C 2 e Bi η 1 finální vztah Bi je Biotovo číslo, které je definované jako poměr vnitřního tepelného odporu (kondukce) a vnějšího tepelného odporu (konvekce). Odvození a fyzikální význam Biotova čísla je v Příkladu 3, strana 92 až 94. Bi = L/λ 1/α = αl λ, kde α je součinitel přestupu tepla [W m 2 K 1 ] L je charakteristický rozměr, často tloušt ka tělesa [m] λ je tepelná vodivost tělesa [W m 1 K 1 ] Velikost Biotova čísla určuje, jestli, a pokud ano, tak který odpor lze zanedbat. Vztah pro výpočet Biotova čísla je shodný s Nussletovo kritériem. Liší tím, že v Nussletovo kritériu je tepelná vodivost tekutiny. 19

13 Ustálené vedení tepla ve více prostorových dimenzích Fourierova rovnice 0 = a 2 T + q ρ c p V nejjednodušším případě lze uvažovat dlouhé těleso obdélníkového průřezu (nosník, drát,... ), které je umístěno v prostředí o konstantních vlastnostech. y = b y = 0 x = 0 z y x z x = a Obrázek 15: Drát obdélníkového průřezu. pod el osy z se vlastnosti nemˇen ı V tělese může docházet k uvolňování tepla vlivem průchodu elektrického proudu (odporový drát) nebo chemické reakce (typ trubkového reaktoru). Charakter řešení [T (x, y)] závisí na volbě okrajových podmínek. Například na všech okrajích může být uvažována konstantní teplota T 0. Fourierova rovnice + okrajové podmínky [ ] 2 T 0 = a x + 2 T + q ρ c p 2 y 2 ρ c p λ 0 = 2 T x + 2 T 2 y + q 2 λ Na všech okrajích platí T = T 0 y = 0, x T = T 0 x = 0, y T = T 0 y = b, x T = T 0 x = a, y T = T 0 Před vlastím řešením je vhodné rovnici upravit tak, aby okrajová podmínka byla homogenní. Tedy je definováno T = T T 0 O.P. T = 0 Dosazením do rovnice: 0 = 2 ( T + T 0 ) + 2 ( T + T 0 ) + q x 2 y 2 λ 20

0 = 2 T x + 2 T 2 y + q 2 λ Analytické řešení je možné získat metodou FFT (z anglického finite Fourier transform ) nebo jinou metodou. T n (y) = T (x, y) = T n (y)ψ n (x) n=1 2( 1 + ( 1) n ) 1 a α exp( λ ny)( 1 + exp(λ n y))[exp(λ n y) exp(bλ n )] (1 + exp(bλ n ))λ 3 n ψ n (x) = 2 a sin(λ nx) λ n = nπ a FFT metoda nebude probírána v základním kurzu o sdílení tepla a nebude předmětem zkoušky. Stejné řešení vyjde i při použití T = T T 0 T max T 0, pak je výsledný tvar rovnice: 0 = (T max T 0 ) 2 T x 2 + (T max T 0 ) 2 T y 2 + q λ, kam lze dosadit za T max a T 0 bezrozměrné hodnoty získané dosazením T max a T 0 za T do vztahu T = T T 0 T max T 0. Pro T max jsou čitatel i jmenovatel shodné a zlomek je roven 1, pro T 0 je čitatel 0 a jmenovatel větší než nula, proto je zlomek roven 0. Rozdíl je konstantní a roven 1, proto lze rozdíl Tmax T 0 = 1 0 = 1 vynechat a vyjde úplně stejná rovnice: 0 = 2 T x 2 + 2 T y 2 + q λ. 21

14 Neustálené vedení tepla v prostorově distribuovaném systému Uvažujeme prostorově 1D systém bez zdroje tepla. x δ x = 0 x = δ Obrázek 16: Schema 1D systému bez zdroje tepla. Velká plochá deska tloušt ky δ - membrána, rovinná teplosměnná plocha, cihlová zed,.... T t = a 2 T + q ρ c p 1D, q T = 0 t = T a 2 x 2 Pro řešení systému jsou potřeba 2 okrajové podmínky a 1 počáteční podmínka. Uvažujeme, že všude uvnitř desky je na počátku teplota T 0 : t = 0, x T = T 0 V čase t > 0 bude zvýšena teplota na levém okraji na hodnotu T 1. Na pravém okraji bude stále udržována teplota T 0. t > 0, x = 0 T = T 1 t > 0, x = δ T = T 0 Řešením Fourierovy rovnice obdržíme teplotu jako funkci času a souřadnice x. Se současnými znalostmi byste již nyní měli umět zodpovědět: 1) Jaký teplotní profil se v desce ustálí? 2) Řádový odhad doby potřebné k ustálení teplotního profilu. 22

Nyní je potřeba převést modelové rovnice do bezrozměrné podoby. teplota Θ = T T 0 T 1 T 0 délka čas Po dosazení: x = x δ t = t = t a t 0 δ 2 P.P. t = 0, x Θ = 0 O.P. t > 0, x = 0 Θ = 1 t > 0, x = 1 Θ = 0 (T 1 T 0 )a Θ δ 2 t = (T 1 a T 0 ) 2 Θ δ 2 x 2 Θ t = 2 Θ x 2 Exaktní řešení problému lze nalézt například metodou FFT: Θ( x, t) = 2 n=1 1 nπ (1 exp[ n2 π 2 t ]) sin(nπ x) 23

15 Sdílení tepla konvekcí Teplo je přenášeno makroskopickým pohybem hmoty. Předpoklad: Objemový tok látky prochází kolmo plochou A. V A Obrázek 17: Tok tekutiny V plochou A. Každá hmota v sobě nese určitý tepelný obsah Q. Obvykle je tok tepla stejný jako tok entalpie ( Q = Ḣ). Q = ṁh = V ρ c p (T T ref) Q je tepelný tok [W] V je objemový tok [m 3 s 1 ] ṁ je hmotnostní tok [kg s 1 ] ρ je hustota tekutiny [kg m 3 ] h je měrná entalpie [J kg 1 ] c p je měrná tepelná kapacita [J kg 1 K 1 ] ( ) T h c p = h = c p dt =<c p >(T T ref) T <c p > je střední měrná tepelná kapacita [J kg 1 K 1 ] p V našich úlohách bude předpokládána konstantní hodnota c p. T ref Intenzita toku tepla konvekcí plochou A je tedy: q k = Q A = V ρ c p (T T ref ) A v je rychlost konvektivního toku [m s 1 ], v = V /A Intenzita toku tepla je orientována v prostoru: q k x v x = vρ c p (T T ref ) q k = qy k = v y ρ c p (T T ref ) qz k v z q k = vρ c p (T T ref ) 24

Zpravidla probíhá současně sdílení tepla konvekcí a vedením. Celková intenzita toku tepla q je dána součtem intenzit toku tepla vedením q v a prouděním q k. q = q v + q k obecně q = λ T + vρ c p (T T ref ) pro složku x q x = λ dt dx + v xρ c p (T T ref ) 25

16 Neustálené sdílení tepla vedením a konvekcí v prostorově 1D - systému x V = A x A q x (x) q x (x + x) x x = 0 x x + x Obrázek 18: Schema sdílení tepla vedením a konvekcí v 1D systému. Bilance tepelné energie v kontrolním objemu V. VSTUP + ZDROJ = VÝSTUP + AKUMULACE q x (x)a + q A x = q x (x + x)a + dh dt q x (x)a + q A x = q x (x)a + q x A x + (ρ A x c p (T T ref )) x q = q x x + ρ c T p t T = 1 q x t ρ c p x + q ρ c p T t = 1 ρ c p x t ρ, c p jsou konstanty [ λ T x + v xρ c p (T T ref ) ] + q Platí rovnice kontinuity. Pokud je uvažována nestlačitelná tekutina, pak v = 0 v x x + v y y + v z = 0 3D - systém z v x = 0 1D - systém x Z toho plyne, že v x je konstantní v prostorově 1D systému. Pokud by se průřez systému podél osy měnil, měnilo by se také v x, ale to by se již jednalo o 2D systém. Spojením těchto rovnic vznikne Fourier-Kirchhoffova rovnice v 1D - systému. ρ c p T t = T a 2 x v T 2 x x + q ρ c p 26

17 Odvození Fourier-Kirchhoffovy rovnice v obecném tvaru n n ds ds q n α q dv n ds V S Obrázek 19: Tok tepla q z tělesa o objemu V plochou S. Přes hranice systému přechází tepelný tok Q. Tok opouštějící (přicházející) systém je tok kolmo orientovaný k povrchu. Plochou ds přichází tepelný tok: q n ds q n je normálová složka vektoru q. q n = n q = n q cos α n = 1 VSTUP - VÝSTUP + ZDROJ = AKUMULACE n q ds + q dv = dh S V dt n q ds součet toků přes všechny hranice S q dv součet zdrojů přes celý objem systému V dh dt Bilance systému: akumulace tepelné energie v celém systému dh dt = t (H) = t V h ρ dv }{{} = ρ c p (T T ref ) dv t V }{{} hmotnost elementu dv součet akumulací tepla v celém objemu n q ds + q dv = t ρ c p (T T ref ) dv S V V 27

Pokud objem elementu nezávisí na čase, lze přehodit pořadí integrace a derivace v akumulačním členu: n q ds + Bilance platí i pro objem dv S V V q dv = q dv + V V q dv = q + q = ρ c p T t t (ρ c p(t T ref )) dv V ρ c p T t dv Rovnici je vhodné vydělit ρ c p tak, aby se osamostatnil člen s derivací. T t = 1 ρ c p Skalární součin distributivní: T t = T t = 1 q + 1 ρ c p }{{} q ρ c p [ ] λ T }{{} + vρ c p(t T ref ) + q }{{} ρ c p a b c a ( b + c) = a b + a c [ λ ρ c p T v }{{} (T T ref) }{{} a f ] + q ρ c p Rychlost toku v i teplota T závisí na prostorových souřadnicích. Platí, že: (Důkaz provedou studenti za domácí úkol, jen pro ověření je na straně 86.) f - skalární funkce a - vektorová funkce (f a) = f a + f a T t = a 2 T (T T ref ) v + (T T ref ) v + q ρ c p (T T ref ) = T v = 0 t + v = D Dt Důkaz provedou studenti za domácí úkol. - Rovnice kontinuity pro nestlačitelnou tekutinu T t = a 2 T v T + q ρ c p T t + v T = a 2 T + q ρ c p - operátor materiálové derivace 28

DT Dt = a 2 T + q ρ c p Fourierova - Kirchhoffova rovnice Fourierova - Kirchhoffova rovnice rozepsaná v kartézských souřadnicích. ( ) T t + v T x x + v T y y + v T 2 z z = a T x + 2 T 2 y + 2 T + q 2 z 2 ρ c p 17.1 Transformace Fourier-Kirchhoffovy (FK) rovnice do bezrozměrného tvaru = Θ = T T 0 x y z = 1 x 0 x 1 x 0 ỹ 1 x 0 z T t + v T = a 2 T + q ρ c p t = t ṽ = v x = x = x0 t 0 v 0 x 0 = 1 x = konvektivní čas t 0 = x 0 x 0 v 0 ỹ z T 0 Θ t 0 t + v 0T 0 ṽ x Θ = at 0 2 Θ + q 0 x 2 0 ρ c p v 0 T 0 x 0 v 0 x 0 a [ ] Θ t + ṽ Θ = at 0 2 Θ + q x 2 0 ρ c p ( ) Θ t + ṽ Θ = 2 Θ + q x 2 0 ρ c p a T 0 x 2 0 a T 0 Na levé straně před závorkou je Pe - Pécletovo číslo v 0 x 0 a Bezrozměrný objemový zdroj tepla q = q x 2 0, jednotky: W m2 m 3 kg K s ρ c p a T 0 m 3 kg J m 2 K = 1. ( ) Θ Fourier-Kirchhoffova (FK) rovnice Pe t + ṽ Θ = 2 Θ + q Fyzikální význam Pécletova čísla Pe = v 0 x 0 a = v 0 a x 0 rychlost sdílení tepla konvekcí rychlost sdílení tepla vedením Vodivostní čas t 0 = x2 0 a Vodivostní rychlost v c = x 0 t 0 = x 0a x 2 0 = a x 0 29

18 Přestup tepla Kombinovaný transport tepla vedením a konvekcí velmi časté. Typické příklady - transport tepla mezi teplosměnnou plochou a tekutinou v rekupračních výměnících - obtékání těles (sušení částic materiálu) - volná konvekce (ohřev plynu nad topnými tělesy) Q stěna T = T W teplotní profil bez konvekce tekutina T = T teplotní podvrstva přenos tepla konvekcí a vedením jádro tekutiny konvektivní přenos tepla L 0 Obrázek 20: Typické rozložení teploty u povrchu tělesa obtékaného tekutinou. Směrem ke stěně vzrůstá význam vedení tepla, protože rychlost proudění se blíží nule. V nejpřilehlejší vrstvě tekutiny u stěny je nulová rychlost, proto se transport tepla u fázového rozhraní děje pouze vedením! V ustáleném stavu musí být tok tepla v nejpřilehlejší vrstvičce tekutiny roven toku tepla přes celou teplotní podvrstvu, proto: λ dt dx = α(t W T ) = q x stěna }{{} Newtonův ochlazovací zákon λ - tepelná vodivost tekutiny [W m 1 K 1 ] α - koeficient přestupu tepla [W m 2 K 1 ] 30

Rovnice lze zbezrozměrnit Θ = T T 0, x = x L 0 L 0 je nějaký charakteristický rozměr systému, např. průměr potrubí. λt 0 dθ L 0 d x = αt 0 (Θ W Θ ) stěna úpravou dθ d x stěna = αl 0 Θ W Θ λ Nu Nusseltovo kritérium Nu - kolikrát je sdílení přestupem (vedení + konvekce) intenzivnější než v případě nehybné tekutiny (kde probíhá jen sdílení tepla vedením). Pro nehybnou tekutinu platí, že λ dt dx = +λ T W T. stěna L 0 +λ T W T L 0 = α (T W T ) Nu = 1 = αl 0 λ Nussletovo číslo závisí na charakteru toku tekutiny, vlastnostech tekutiny a geometrickém uspořádání. Nu = Nu (Re, Pr, Γ, poloha) charakter toku tekutiny Re = vl 0 ν vlastnosti tekutiny Pr = ν a Γ jsou geometrické simplexy ν kinematická viskozita [m 2 s 1 ] a teplotní vodivost [m 2 s 1 ] V některých případech lze zapsat závislost Nusseltova kritéria ve tvaru: Nu = Nu(Pe, Γ, poloha) Pe = Re Pr = vl 0 a Pro výpočet koeficientu přestupu tepla je nezbytné nalézt vhodnou závislost pro výpočet Nussletova kritéria. 31

Závislosti mohou být získány: řešením Fourier-Kirchhoffovy rovnice a případně dalších transportních rovnic empiricky Hodnota Nussletova kritéria je závislá na poloze. Například při obtékání těles je v každém místě povrchu hodnota Nussletova kritéria jiná - mění se hodnota normálové derivace teploty směrem k povrchu. Těleso s vysokou teplotou směr toku dt dw 1 dt dw 2 tloušt ka teplotní podvrstvy Obrázek 21: Tvar teplotní podvrstvy u obtékaného tělesa. dt dw dt 1 dw Je tedy výhodné definovat průměrnou hodnotu Nussletova čísla na celém povrchu objektu. Nu = 1 S S Nu ds = 1 S 2 S n Θ Θ W Θ ds Skalární součin n Θ vyjadřuje hodnotu derivace teploty ve směru normálového vektoru n, tedy vektoru kolmého k povrchu tělesa. Vztahy pro výpočet Nu lze nalézt ve tvaru: Nu = Nu(Pe, Γ ) Nu = Nu(Re, Pr, Γ ) Kvalitativní chování Nussletova kritéria v omezeném prostoru při laminárním proudění potrubní systémy tok mezi plochými deskami tekoucí kapalné filmy 32

Uvažujeme potrubí s radiální souřadnicí r a axiální z. Dále uvažujeme, že tekutina v potrubí proudí laminárně podle osy z, tekutina má na vstupu teplotu T 0 a stěny mají konstantní teplotu T W. r = R T = T W r Q Q Q R z směr proudění Q Q z = 0 T = T 0 vstupní oblast teplotně vyvinutá oblast Obrázek 22: Laminární tok tekutiny trubkou. Jádro tekutiny (šrafovaná oblast) zůstává do určité vzdálenosti od vstupu neprohřáté - není dosud ovlivněno tokem tepla ze stěn potrubí. Jedná se o tzv. vstupní oblast. Jakmile teplo ze stěn dorazí i do střední části, je celý objem tekutiny ovlivněn teplem (zahřát/ochlazen). Pak jde o tzv. teplotně vyvinutou oblast. 18.1 Kvalitativní charakter teplotního pole z z T W vstupní oblast hodnota dt dr T 0 r = 0 z = 0 r = R Obrázek 23: Tvar teplotního pole v trubce z obrázku 22. podél souřadnice z klesá r=r hodnota T W T 0 zůstává v celé vstupní oblasti konstantní hodnota Nu ve vstupní oblasti klesá podél z 33

log Nu vstupní oblast dθ d r klesá W Θ konstantní Nu klesá teplotně vyvinutá oblast dθ d r klesá W Θ klesá Nu konstantní log z Obrázek 24: Závislost Nu na souřadnici z z obrázku 22. Nu = dθ d r Θ W 18.2 Graetzův problém r = R r r = 0 z z = 0 Obrázek 25: Schema potrubí s proudící tekutinou. Ustálený transport tepla, ustálené laminární proudění, bez zdroje tepla uvnitř. Fourier-Kirchhoffova (FK) rovnice: T t + v T = a 2 T + q [ ρ c p ( ] r 2 v z = 2U 1 řešení Navier-Stokesovy rovnice pro laminární proudění R) nestlačitelné tekutiny v trubce kruhového průřezu tzv. Poiseville flow. U je průměrná rychlost proudění. T v r r + v z T z = a1 r ( r T ) r r + a 2 T z 2 v r = 0, při laminárním proudění se tekutina pohybuje pouze směrem z. a 2 T 0, protože Pe 1 ve směru z, výchozí předpoklad! z 2 ( T v z z = a1 r T ) r r r 34

3 okrajové podmínky: Zbezrozměrnění: r = r R z = 0, r T = T 0 teplota na vstupu do potrubí T z, r = 0 r = 0 symetrie, středem neteče teplo ve směru r z, r = R T = T W teplota stěny potrubí Θ = T T 0 T W T 0 z = z R Pe Pe = 2UR a U je maximální rychlost (tou se pohybuje tekutina v ose = uprostřed potrubí) [ ( r ) ] ( 2 T 2U 1 R z = a1 r T ) r r r 2U [ 1 r 2] T W T 0 Θ R Pe z = a (T ( W T 0 ) 1 r Θ ) R 2 R 2 r r r a 2UR [ ] 1 r 2 Θ a Pe z = 1 r ( r Θ ) 2UR, = 1, viz. definice Pe r r a Pe (1 r 2 ) Θ z = 1 r r ( r Θ r ) Zbezrozmění okrajových podmínek: z = 0, r T = T 0 z = 0 Θ = 0 T Θ r = 0, z = 0 r = 0 r z = 0 r = R, z T = T W z = 1 Θ = 1 Protože je řešení Graetzova problému je dost komplikované, bude nalezeno numericky na cvičeních. Hlavním závěrem Graetzova analytického řešení je zjištění, že je hodnota Nu ve vyvinuté oblasti konstantní. Konkrétně v trubce kruhového průřezu pro z + Nu = 3, 657 (při laminárním proudění). Nyní bude uvedeno asymptitické (přibližné) řešení, které umožňuje nalézt hodnotu Nusseltova kritéria ve vstupní oblasti. ( 1 r 2 ) Θ z = 1 r r ( r Θ r ) = 1 r ( ) 1 r 2 Θ z = 1 r Θ r + 2 Θ r 2 Θ r + 2 Θ r 2 Bude zavedena substituce ε = 1 r tak, aby souřadná osa měla počátek na stěně trubky a byla rovna jedné ve středu potrubí viz. obrázek 26. r = 1 ε r 2 = 1 2ε + ε 2 Θ r = Θ ε ε r = Θ ε 2 Θ r = ( ) Θ = ε 2 r r ε r (1 1 + 2ε ε 2 ) Θ z = 1 1 ε 35 ( Θ ε ) Θ ε + 2 Θ ε 2 = 2 Θ ε 2

(2ε ε 2 ) Θ z = 1 Θ ε 1 ε + 2 Θ ε 2 z = 1 T = T 0 z = 0 r z z T = T 0 T = T 0 T = T 0 neovlivněné jádro tekutiny T W δ T = T 0 T W ε = 0 ε = 1 T = T 0 T = T 0 T = T 0 T = T 0 T = T 0 T W T W T W T W T W T W Obrázek 26: Tvar teplotního profilu v potrubí. Okrajové podmínky: z = 0 Θ = 0 Θ ε = 1 r = 0 ε = 0 Θ = 1 V místě z od vstupu do trubky přestoupilo teplo na vzdálenost δ od stěny. Derivace budou nahrazeny diferencemi a bude proveden odhad velikosti jednotlivých členů rovnice. (2ε ε 2 ) Θ z =(2δ δ2 ) Θ z =2δ 1 z = δ z δ 2 2δ, Θ = 1 jde o řádový odhad, proto bude koeficient 2 zanedbán (2 = 1) 1 Θ ε 1 ε = 1 Θ = Θ = 1 δ 1 δ δ δ δ 1 Θ = 1 2 Θ ε 2 = Θ δ 2 = 1 δ 2 Θ = 1 Nyní budou všechny tři výsledné členy dosazeny do původní rovnice. δ z = 1 δ + 1 δ 2 (δ 2 z) δ 3 = δ z + z Protože je δ malé číslo, je δ z z. δ 3 z 36

Příklad: Vypočtěte Nussletovo kritérium: Nu = dθ dε Θ = Θ δ Θ = 1 δ Nu z 1 3 z = z R Pe ( z 1 Nu R) 3 Pe 1 3 = ( R Pe z ) 1 3 Přesný vztah pro hodnotu Nu pro dané okrajové podmínky a geometrii. Odhad délky vstupní oblasti: L T R ( z 1 3 Nu = 1, 357 Pe R) 1 3 1 + 0, 1 Pe, kde Pe = 2UR a L T - vzdálenost od vstupu do potrubí, kdy Nu dosáhne konstantní hodnoty. 37

19 Transport tepla při obtékání tělesa, laminární proudění tekutina obtékající pevný objekt, je nutno určit koeficient přestupu tepla α přestup tepla mezi stěnou a tekutinou závisí na vzájemné orientaci tělesa a proudu tekutiny rychlostní pole při obtékáni je 2D nebo 3D okolo tělesa se vytváří teplotní okrajová podvrstva, pokud Pe 1, což je v mnoha praktických případech teplotní podvrstva je charakterizována změnou teploty směrem od tělesa; ve větší vzdálenosti od tělesa již teplota zůstává konstantní 19.1 Rychlostní pole při obtékání koule Vhodný je popis ve sférických souřadnicích. r α ϕ Obrázek 27: Tvar rychlostního pole při obtékání koule ve sférických souřadnicích. Rychlostní pole je symetrické vzhledem k otočení ϕ (ϕ určuje úhel otočení v rovině kolmé na směr toku tekutiny), ale závisí na souřadnicích r, α. Vektor rychlosti U má dvě složky U r a U α : Řešením Navier-Stokesovo (NS) rovnic lze získat analytický předpis pro rychlostní pole ve sférických souřadnicích. U R = U cos α U α = U sin α [ [ 1 3 2 1 3 4 38 ( ) R + 1 r 2 ( ) R 1 r 4 ( ) ] 3 R r ( ) ] 3 R r

kde U - průměrná rychlost proudění daleko od koule R - poloměr koule U R U α U α Obrázek 28: Rozložení průměrné rychlosti U u obtékaného tělesa. Problém transportu tepla lze popsat FK rovnicí v ustáleném stavu bez zdroje tepla: U T = a 2 T tuto rovnici lze zapsat ve sférických souřadnicích (pro přepis je použita transformace z tabulky pro cylindrické souřadnice (1) a (4) na straně 85). [ ( T U R r + U 1 T 1 α r α = a r 2 T ) ( 1 + sin α T )] r 2 r r r 2 sin α α α Teplotní okrajové podmínky: r = R, α T = T 0 r +, α T = T Škálovací faktory: Θ = T T T 0 T Úhel α zatím nebude škálován. ξ = r R ṽ = U U Uṽ T 0 T Θ R R ξ + Uṽ 1 T 0 T Θ α R ξ α = [ 1 1 = a (ξ 2 ) (T 0 T ) Θ 1 + (sin α )] (T 0 T ) Θ R R 2 ξ 2 ξ ξ R 2 ξ 2 sin α α α T 0 T Celá rovnice bude vynásobena faktorem R UR, definice Pécletova kritéria Pe = a a. [ ] Θ Pe ṽ R ξ + ṽ 1 Θ α = 1 ( ξ 2 Θ ) ( 1 + sin α Θ ) ξ α ξ 2 ξ ξ ξ 2 sin α α α ξ = 1, α Θ = 1 ξ +, α Θ = 0 39

19.2 Přestup tepla při plíživém toku (Re 0) pro případ velmi malé hodnoty Pe Pokud Pe 1 má konvekce zanedbatelný vliv na transport tepla. Dominantní mechanismus je vedení tepla. FK rovnici lze zjednodušit na tvar 0 = 1 ξ 2 ξ ( ξ 2 Θ ξ ) 1 + ξ 2 sin α α ( sin α Θ ) α Protože je konvekce zanedbatelná, tok tekutiny nedeformuje teplotní pole okolo koule. To musí být symetrické vzhledem k úhlu α. Pe 1 Obrázek 29: Teplotní pole při plíživém toku pro velmi malé hodnoty Pécletova kritéria. Rovnice se dále zjednodušuje 0 = 1 d ξ 2 dξ ( ξ 2 dθ dξ ( ξ 2 dθ dξ ) = 0 ) d dξ ξ = 1 Θ = 1 ξ + Θ = 0 Řešení: ξ 2 dθ dξ dθ dξ = C 1 = C 1 ξ 2 dθ = C 1 ξ 2 dξ Θ = C 1 ξ + C 2 ξ + Θ = 0 C 2 = 0 Θ = C 1 ξ ξ = 1 Θ = 1 C 1 = 1 Θ = 1 ξ 40

Výpočet Nu pro kouli se symetrickým teplotním polem. dθ dξ + 1 ξ=1 ξ ξ=1 2 Nu = = = 1 Θ 1 Pokud je Nu definováno jako Nu αr λ, pak je Nu = 1. Pro užívanější definici s průměrem Nu αd λ, je Nu = 2. 19.3 Přestup tepla při plíživém toku (Re 0) pro případ velmi vysoké hodnoty Pe Pe 1 Re 1 Pe = Re Pr Pr 1 Pr ν a 1, kde a je teplotní vodivost, ν je kinematická viskozita, obě [m2 s 1 ] Jedná se tedy o obtékání tekutinami s velmi vysokou viskozitou (proto se teplotní pole vyvíjí daleko od koule) a velmi malou tepelnou vodivostí (změny teploty lze pozorovat jen v těsné blízkosti koule v tzv. teplotní podvrstvě). Teplotní a tepelná vodivost, jsou na sobě lineárně závislé. rychlostní pole teplotní podvrstva T 0 > T > T Obrázek 30: Tvar rychlostního pole a teplotní podvrstvy u obtékaného tělesa. Vně teplotní podvrstvy se teplota rovná teplotě okolní tekutiny T = T. Uvnitř podvrstvy teplota směrem k povrchu koule roste z teploty T na teplotu T 0. POZOR! Ačkoli je Pe 1, nelze zanedbat transport tepla vedením! Vedení je jediný mechanismus, který převádí teplo z povrchu koule do tekutiny. Na stěně je konvektivní rychlost U = 0, proto zde konvekce k transportu tepla nepřispívá. Teplo je ještě předáváno tepelnou radiací (zářením), ale to bude probíráno později. 41

Řešení problému je nutno provést rozdělením na dvě části. vnitřní řešení (inner solution) vnější řešení (outer solution) Vnější řešení Popisuje rozložení teploty za teplotní podvrstvou. Vnější řešení nemá význam pro výpočet Nussletova kritéria. Vnější řešení lze získat zanedbáním členů vedení tepla a aplikací okrajové podmínky ξ + Θ = 0 tj. Pro ξ + teplota nezávisí na úhlu α. Platí tedy: dθ dξ = 0 Θ = K Θ = 0 VNĚJŠÍ ŘEŠENÍ JE TEDY Θ = 0 Θ ṽ R ξ + ṽ 1 Θ α ξ α = 0 Vnitřní řešení Popisuje rozložení teploty pouze v podvrstvě. Vnitřní řešení je nutné pro výpočet Nussletova kritéria. Problém je nutno přeškálovat tak, aby velikost jednotlivých veličin byla typicky 1. Zejména je nutno škálovat tloušt ku podvrstvy (velikost prostorové domény 1). Pak lze ve FK rovnici analyzovat velikost jednotlivých členů. [ Θ Pe ṽ R ξ + ṽ α 1 ξ ] Θ = 1 ( ξ 2 Θ ) + α ξ 2 ξ ξ 1 ξ 2 sin α α ( sin α Θ ) α V teplotní podvrstvě je důležitý jak transport tepla vedením, tak i konvekcí. ṽ R = U R U = cos α [ 1 3 2 ( ) R + 1 r 2 ṽ R = cos α [1 32 ξ 1 + 12 ] ξ 3 ṽ α = U α U = sin α [ 1 3 4 ( ) R 1 r 4 ṽ α = sin α [1 34 ξ 1 14 ] ξ 3 ( ) ] 3 R r ( ) ] 3 R r 42

Velikost 1 dosahuje teplotu Θ a rychlost ṽ R, ṽ α. Naopak ξ se pohybuje 1; (1 + tloušt ka podvrstvy) a úhel α v rozmezí 0; π. α je ve stupních 0; 180. Nejdřív je potřeba přeškálovat úhel α aby nabýval hodnot 1. η = cos α (lze zvolit i sin α atd) ṽ R = η [1 32 ξ 1 + 12 ] ξ 3 { [ Pe η 1 3 2 ξ 1 + 1 ] Θ 2 ξ 3 [ ξ sin α { [ = Pe η 1 3 2 ξ 1 + 1 ] Θ 2 ξ 3 ξ + ( 1 η 2) 1 ξ η α = sin α 1 3 4 ξ 1 1 4 ξ 3 ] 1 ξ Θ η } η = α } [ 1 3 4 ξ 1 1 4 ξ 3 ] Θ η při úpravě bylo (a bude) použito η α = sin α, sin2 α = 1 cos 2 α = 1 η 2 Výsledek je upravená levá strana FK rovnice, pravá strana FK rovnice vznikne následující úpravou: = 2 ξ 1 ξ 2 ξ ( ξ 2 Θ ) + 1 ξ Θ ξ + 2 Θ ξ + 1 2 sin α = 2 ξ sin α 1 ξ 2 1 ξ 2 ( sin α Θ ) α α ( η η α Θ ξ + 2 Θ ξ + 1 2 ξ 2 η = sin α Θ ) η = η α ] [ (1 η 2 ) Θ η po vydělení Pécletovým kritériem vyjde FK ve tvaru: [ η 1 3 2 ξ 1 + 1 ] Θ 2 ξ 3 ξ + ( 1 η 2) 1 ξ = Pe 1 { 2 ξ Θ ξ + 2 Θ ξ + 1 2 ξ 2 η [ 1 3 4 ξ 1 1 4 ξ 3 ] Θ [ (1 ) ]} η 2 Θ η η = Nyní ještě chybí přeškálovat radiální souřadnice ξ na interval 0, 1 z intervalu 1, 1 + tloušt ka podvrstvy. Bude zavedena nová radiální souřadnice Y Y (ξ 1)Pe b Díky členu (ξ 1) bude souřadnice Y začínat v nule pro ξ = 1 (minimum ξ). Člen Pe b zajistí, aby platilo, že tloušt ka podvrstvy klesá s rostoucím Pe, tj. souřadnice Y musí být nějakým způsobem závislá na Pe. Hodnota mocninné konstanty b zatím není známá. Konstanta b musí být kladná, aby radiální souřadnice byla v požadovaném intervalu 0, 1. 2 Θ ξ 2 = ξ Θ ξ = Θ Y ) = Y ( Θ ξ Y ξ = Θ Y ξ 43 Y Peb ( Pe b Θ ) Y = Pe 2b 2 Θ Y 2

První [ člen FK rovnice: η 1 3 2 ξ 1 + 1 ] Θ 2 ξ 3 ξ Nyní bude prozkoumána velikost členů ξ n ξ n = [1 + (ξ 1)] n, substituce x ξ 1 ξ n = (1 + x) n Binomický rozvoj (1 + x) m = + k=0 ( ) m x k = k ( ) m x 0 + 0 ( ) m x 1 + 1 ( ) m x 2 + = 2 Zde je m = n, tedy = 1 1 + m x + = 1 + m x + m(m 1) x 2 + = 2 m(m 1) x 2 + 2 ξ 1 = 1 x + x 2 + ξ 3 = 1 3x + 6x 2 + [ η 1 3 2 ξ 1 + 1 ] Θ 2 ξ 3 Y Peb = ηpe b Θ [ 1 3 1 Y 2 1 + x + 1 ] 1 = 2 1 + 3x + 3x 2 + x 3 = ηpe b Θ [1 32 Y + 32 x 32 x2 + 12 32 ] x + 3x2 = =ηpe b Θ Y 3 2 x2 = ηpe b Θ 3 Y Byl použit vztah Y = (ξ 1)Pe b = xpe b. První člen má řádovou velikost Pe b. Druhý člen FK rovnice: = ( 1 η 2) Θ η 1 η 2 ξ 1 Y Pe b + 1 2 Y 2 Pe 2b = Pe b η 3 2 Y 2 Θ Y [ 1 3 4 ξ 1 1 4 ξ 3 ] Θ η = }{{} Velikost 1. [1 34 + 34 x 34 x2 14 + 34 x 64 x2 ] protože Pe 1, Y 1 Y Pe b 1 = ( 1 η 2) Θ η [ 3 2 x 9 ] 4 x2 = 1 Y Pe b + 1 1 = ( 1 η 2) Θ 3 η 2 x = ( 1 η 2) Θ 3 η 2 Y }{{} velikost 1 Protože v teplotní podvrstvě je ξ blízké 1 a x = ξ 1 x 0 x 2 x 44 Pe b

Druhý člen má řádovou velikost Pe b. Třetí člen FK rovnice: Pe 1 2 Θ ξ ξ = 2 Θ Pe 1 Y } Pe {{ b + 1 Y Peb = 2 Θ Pe b 1 Y }}{{} 1 velikost řádově 1 Třetí člen má řádovou velikost Pe b 1. Čtvrtý člen FK rovnice: Pe 1 2 Θ ξ 2 = Pe 1 Pe 2b 2 Θ Y 2 }{{} velikost řádově 1 Čtvrtý člen má řádovou velikost Pe 2b 1. Pátý člen FK rovnice: Pe 1 1 [ (1 ) ] [ η 2 Θ = Pe 1 1 (1 ) ] η 2 Θ ξ 2 η η (Y Pe b + 1) 2 η }{{}}{{} 1 1 Pátý člen má řádovou velikost Pe 1. Nyní budou velikosti jednotlivých členů dosazeny do původní FK rovnice. Pe b + Pe b = Pe b 1 + Pe 2b 1 + Pe 1 Pe 1 a b > 0 na obou stranách budou použity jen největší členy. Pe b = Pe 2b 1 porovnáním mocnin b = 2b 1, proto b = 1 3! Y = (ξ 1)Pe 1 3! Nyní je možné určit lokální hodnotu Nussletova kritéria, které závisí na α. Θ Θ ξ Nu(α) = Θ = Y Y } Θ {{} ξ = K Pe 1 3 konstanta velikosti 1 K závisí na tvaru objektu, který je obtékán, a také na poloze. Nu(α) = K(α) Pe 1 3 V praxi je užitečnější znát Nu zprůměrněné přes celý povrch objektu: Nu = 1 A A K Pe 1 3 da = K Pe 1 3 Tato hodnota Nu je využívána při odhadu koeficientu přestupu tepla při obtékání tělesa. Pro kouli lze získat vztah: Nu = 1, 249 Pe 1 3 pro Pe 1 Charakteristickým rozměrem je poloměr koule R. 45

19.4 Transport tepla v laminární podvrstvě pro případ kdy Re 1 a Pe 1 Pokud Re, Pe 1, pak u povrchu tělesa koexistuje jak teplotní podvrstva, tak i rychlostní podvrstva. V principu se tloušt ka obou podvrstev může významně lišit. Pe = Re Pr Pr = ν a Pro Pr 1, pokud platí, že: ν a jsou teplotní a rychlostní podvrstvy podobně velké δ V δ T. stěna Pro Pr 1 platí pro výpočet Nussletova kritéria rychlostní profil δ V vztah Nu = k Pr 1 2 Re 1 2 současně musí být tekutina málo viskózní: ν 0 a dobře tepelně vodivá a. Rychlostní pole bude narušeno do malé vzdálenosti od tělesa, teplotní do velké vzdálenosti. teplotní profil δ T δ V δ T Pro Pr 1 platí pro výpočet Nussletova kritéria teplotní profil δ T stěna vztah Nu = k Pr 1 3 Re 1 2 současně musí být tekutina velmi viskózní: ν, ale špatně tepelně vodivá a 0. Teplotní pole bude narušeno pouze blízko u tělesa, rychlostní pole bude narušeno i ve větší vzdálenosti. rychlostní profil δ T δ V δ V Obrázek 31: Rychlostní a teplotní podvrstvy u stěny obtékaného tělesa. 46

19.5 Nussletovo kritérium v různých situacích při laminárním obtékání těles Závislost má vždy tvar Nu = kre a Pr b a musí platit Pe 1. Re 1 Pr 1 Plíživé obtékání pevného tělesa (malých částic, aerosolů) Re 1 Nu = k Pe 1 3 = k Re 1 3 Pr 1 3 Re 1 Pr 1 Laminární obtékání pevného tělesa Nu = k Re 1 2 Pr 1 3 Re 1 Pr 1 Laminární obtékání pevného tělesa Nu = k Pe 1 2 = k Re 1 2 Pr 1 2 Re, Pr Pe 1 Obtékání jedné tekutiny druhou (bubliny, emulze atd.) }{{} libovolné Nu = k Pe 1 2 = k Re 1 2 Pr 1 2 47

20 Sdílení tepla při volné konvekci Změna teplot tekutiny může způsobit změnu hustoty tekutiny (teplotní roztažnost), což ovlivňuje charakter rychlostního a tlakového pole. Při studiu transportu tepla volnou konvekcí je tedy nutné řešit společně FK rovnici, NS rovnice (2-D,3-D) a rovnici kontinuity. Bilance hybnosti v newtonovské tekutině je dána NS rovnicí: ( ) v ρ + v v = ρ g p + η 2 v t ρ = ρ(t ) - hustota je funkcí teploty, podobně i viskozita. Je zaveden tzv. dynamický tlak, který v sobě zahrnuje gravitační objemovou sílu. P = p ρ 0 g Dynamický tlak je zaveden pro referenční teplotu T 0, při které je hustota ρ 0. Dosazení do NS rovnice: ( ) v ρ + v v = P + g (ρ ρ 0 ) t }{{} +η 2 v hnací síla při volné konvekci Předpoklad: Hustota tekutiny závisí pouze na teplotě, nezávisí na koncentraci složek. NS rovnice se upraví podle tzv. Boussinesquovy aproximace (BA), která má 2 části. 1. část BA - v okolí referenčního stavu při T 0 se hustota mění lineárně v závislosti na teplotě. Lze zapsat Taylorovým rozvojem ρ(t ) = ρ 0 (T 0 ) + ( ) ρ (T T 0 ) T T 0 Definice: β - koeficient teplotní roztažnosti pro danou tekutinu β 1 ( ) ρ ρ T spojením je získána rovnice ρ ρ 0 = β ρ ρ ρ (T T 0), ta bude dosazena do NS rovnice, která bude vydělena hustotou. T 0 v t + v v = 1 ρ P + g 1 ρ (ρ ρ 0) + 1 ρ η 2 v }{{} η = ν kinematická viskozita ρ [m2 s 1 ] v t + v v = 1 ρ P gβ(t T 0) + ν 2 v 48

2. část BA - v okolí referenčního stavu ρ 0 je dostatečně malá změna hustoty ρ(t ) = ρ(t 0 ). Pak platí: v t + v v = 1 ρ 0 P gβ(t T 0 ) + ν 0 2 v Eistují kritéria pro dostatečně malá : β T 1 nebo ρ ρ 1 nebo a 2 L 2 c p T 1 Teplotní objemová roztažnost je pro mnoho tekutin tabelována. Pro ideální plyn je: β = 1 T [K 1 ] pv = nrt = m pm RT ρ = M RT ρ T = pm RT 2 β = 1 ( ) ρ = RT pm ρ T T 0 pm RT = 1 2 T 20.1 Volná konvekce podél nekonečné vertikální stěny konstantní teplota stěny x g y g x = g g y = 0 prohřívání tekutiny pohyb tekutiny směrem nahoru Obrázek 32: Volná konvekce podél nekonečné vertikální stěny. Transport tepla ovlivňuje rychlostní a tlakové pole změnou hustoty tekutiny. Je tedy nutno společně řešit rovnice FK, NS a rovnici kontinuity. Tak bude získáno pole v, P, T. 49

Je uvažován ustálený stav bez zdroje ( tepla: ) T FK v x x + v T 2 T y = a y x + 2 T 2 y 2 v x NS v x x + v v x y = 1 ( P 2 y ρ 0 x + gβ(t T v x 0) + ν x 2 v y v x x + v v y y = 1 ( ) P 2 y ρ 0 y + ν v y x + 2 v y 2 y 2 v x kontinuita x + v y = 0 y ) + 2 v x y 2 Charakteristické veličiny jsou voleny tak, aby velikost jednotlivých proměnných byla v rozsahu 0, 1. Θ = T T 0 T 1 ṽ x = v x, ṽ y = v y U b U b x = x L, ỹ = y L T 0 je referenční teplota, T je maximální teplotní rozdíl v tekutině U b je chrakteristická rychlost volné konvekce (zatím neznámá) L je charakteristický geometrický rozměr. Ten také není často známý, proto nemusí být prostorové proměnné dobře naškálovány. V případě, že se v systému nachází volná konvekce, bývají v NS rovnici stejně velké členy inerciální, tlakové a volné konvekce - platí tedy přibližně, že je viskózní člen zanedbatelný. v x v x 1 p ρ 0 ṽ x U b U b L x x ṽ x 1 P 0 p x ρ 0 L x ṽ x P 0 p ṽ x }{{ x } ρ 0 Ub 2 x }{{}}{{} 1 musí být nastaveno 1 P 0 = ρ 0 Ub 2 L U 2 b P = P ρ 0 U 2 b Nejdřív bude zbezrozměrněna NS rovnice. U 2 b L ( ṽ x ṽ x x + ṽ y ṽ x ṽ x x + ṽ ṽ x y ỹ ) ṽ x = ρ 0 Ub 2 ỹ ρ 0 L P x + gβ T Θ + η U b L 2 P = x + gβl T Θ + Ub 2 ν U b L ( 2ṽ x x 2 ( 2ṽ x x 2 ) + 2 ṽ x L ỹ 2 Ub 2 ) + 2 ṽ x ỹ 2 1 1 1 1 Všechny tyto 4 členy jsou při volné konvekci podobně velké (řádově). Proto: gβl T = 1, odsud je vztah pro charakteristickou rychlost volné konvekce: Ub 2 U b = glβ T 50

Před viskózním členem je komplex ν U b L. Kritérium U bl vlastně odpovídá Re b pro ν volnou konvekci. Místo Re b se používá Grasfofovo kritérium Rovnice přechází na tvar ṽ x ṽ x x + ṽ ṽ x y ỹ ( ) 2 Ub L Gr = = ν gβ T L3 ν 2 = Re 2 b ( P = x + Θ + 1 2ṽ x Gr 2 x 2 ) + 2 ṽ x ỹ 2 Zcela analogicky je získána bezrozměrná rovnice pro ṽ y. Rovnice kontinuity ṽ y ṽ x x + ṽ ṽ y y ỹ U b L ( P = ỹ + 1 2ṽ y Gr 2 x 2 ( ṽx x + ṽ ) y = 0 X ỹ X X X X ṽ x x + ṽ y ỹ = 0 ) + 2 ṽ y ỹ 2 Fourier-Kirchhoffova rovnice U ( ) ( ) b T Θ ṽ x L x + ṽ Θ y = a T 2 Θ ỹ L 2 x + 2 Θ L 2 ỹ 2 U b T ( ) Θ ṽ x x + ṽ Θ a 2 Θ y = ỹ U b L x + 2 Θ 2 ỹ 2 a U b L = 1 Pécletovo číslo pro volnu konvekci Pe b LU b a Θ ṽ x x + ṽ Θ y = LU b ν ỹ = Gr ν a = Gr 1 2 Pr 1 2 Pr 1 ( 2 Θ x + 2 Θ 2 ỹ 2 Občas se při popisu sdílení tepla volnou konvekcí používá Rayleighovo číslo: Ra = Gr Pr = gl3 β T a ν = destabilizující síla (volná konvekce) stabilizující síla (viskózní síly) Při sdílení tepla volnou konvekcí je opět cílem zjistit hodnotu koeficientu přestupu tepla, tedy hodnotu Nussletova kritéria. Tentokrát platí: Nu = Nu(Gr, Pr, geometrické simplexy, poloha) nebo průměrné Nussletovo kritérium Nu = Nu(Gr, Pr, geometrické simplexy) ) 51

21 Volná konvekce podél nekonečné vertikální stěny pro případ, kdy Gr 1 2 1 Gr 1 2 = Reb 1 V tomto případě se tvoří rychlostní podvrstva stěny podobně jako při laminárním obtékání pevných těles. Okrajová vrstva - vnitřní řešení. Uvnitř vrstvy jsou porovnatelné členy viskózní, volné konvekce a inerciální. Jádro - vnější řešení. Uvnitř jádra jsou porovnatelné členy inerciální a volné konvekce. Viskózní člen je zanedbatelný. stěna okrajová vrstva jádro Pro výpočet N u potřebujeme znát vnitřní řešení, protože Θ ỹ y=0 Nu = Θ x y = 0 y Nejprve bude provedeno zjednodušení matematického popisu a snížen počet rovnic. Lze dokázat, že 2. derivace veličin ve směru x jsou u velké vertikální desky blízké nule. 2 Θ x, 2 ṽ x 2 x, 2 ṽ y 2 x 0 2 V podvrstvě také P 0, tlak je pouze y funkcí x, P = P (x) Stejná aproximace platí i pro proudění volnou konvekcí mezi dvěma vertikálními deskami stěna velmi tenká rychlostní podvrstva x y y = 0 Obrázek 33: Volná konvekce podél vertikální stěny. P = P (x) je funkce známá (vložený tlakový rozdíl p), proto ji není potřeba počítat. Stačí tedy 3 rovnice pro ṽ x, ṽ y, Θ, což je rovnice kontinuity, NS, FK. Důkaz výše uvedených tvrzení je poměrně náročný. Obecně lze říct, že při existenci rychlostní podvrstvy lze provést redukci počtu rovnic o jednu. Tlak je uvažován jako funkce tečné souřadnice x. 52

Výsledná soustava rovnic. ṽ x x + ṽ ṽ x y = 0 ỹ ṽ x ṽ x x + ṽ ṽ x y = P ỹ x + Θ + 1 2 ṽ x Gr 2 ỹ 2 1 1 1 1 0 +!!! Θ ṽ x x + ṽ Θ y = Gr 1 2 Pr 1 2 Θ ỹ ỹ 2 1 1 0 +!!! V případě, že se tvoří rychlostní podvrstva, Gr 1 2 1, tj. Gr 1 2 0. Pokud má být velikost členů 2 ṽ x ỹ a 2 Θ blízká jedné ( 1), nemůže být Gr. Souřadnice ỹ a 2 ỹ 2 rychlost ṽ y proto musí být přeškálovány. Y ỹ Gr 1 4 V Y ṽ y Gr 1 4 Gr 1 4 ṽ x x + Gr 1 4 V Y Y = 0 ṽ x ṽ x x + Gr 1 ṽ x 4 VY Gr 1 P 4 = Y x + Θ + Gr 1 2 ṽ x 2 Gr 1 Y 2 2 ṽ x ṽ x x + V ṽ x P Y = Y x + Θ + 2 ṽ x Y 2 Θ ṽ x x + V Y Gr 1 4 Gr 1 Θ 4 Y = Gr 1 2 Pr 1 2 Θ Gr 1 Y 2 2 Θ ṽ x x + V Θ Y Y = 2 Θ Pr 1 Y 2 Nyní mohou být všechny členy rovnice stejné magnitudy (rozsahy). Nyní již je zafixováno Gr 1 2 1. Charakter podvrstvy však ještě závisí na Pr. Pr 1 Pr 1 Pr = ν a tenká rychlostní podvrstva (nízká viskozita) široká teplotní podvrstva (dobrá tepelná vodivost) široká rychlostní podvrstva (velká viskozita) tenká teplotní podvrstva (špatná tepelná vodivost) Je potřeba zjistit, jaká je velikost jednotlivých členů všech rovnic pro extrémní hodnoty Pr, tj. Pr 0 a Pr. Tloušt ka teplotní podvrstvy se mění s hodnotou Pr a cílem je, aby měla rozsah od 0 do 1. Bude zavedena nová souřadnice Ŷ. Ŷ = Y Pr m, kde m je neznámá mocnina V závislosti na tloušt ce podvrstvy se vyskytuje také v různých velikostech rychlost ṽ x, V Y. Tedy i rychlost bude nutno přeškálovat, aby rozsah rychlostí v teplotní podvrstvě byl v intervalu 0, 1. v x = ṽ x Pr n v y = V Y Pr p 53

δ V rychlostní podvrstva Důležité členy: - viskózní - inerciální - volná konvekce vně rychlostní podvrstvy Důležité členy: - inerciální - volná konvekce δ T Pr 1 δ T Pr 1 x Obrázek 34: Rychlostní a teplotní podvrstvy u kolmé stěny. y Nyní budou jednotlivé rovnice přeškálovány ṽ x x + V Y = 0 Y Pr n v x x + v Prm p y Ŷ = 0 1 1 proto n = m p ṽ x ṽ x x + V ṽ x Y Y Pr 2n v x v x x + Pr p n+m v y v x Ŷ P = x + Θ + 2 ṽ x Y 2 = P x + Θ + Pr2m n 2 v y Ŷ 2 Pr 0 Pr 2n Pr p n+m Pr 0 Pr Pr 0 Pr 2m n 54

Θ ṽ x x + V Θ Y Y = 2 Θ Y 2 Pr 1 Pr n v x Θ x + Prm p v y Θ Ŷ = Pr2m 1 2 Θ 2Ŷ 2 Pr 0 Pr n Pr m p Pr 2m 1 Pr Pr n Pr m p Pr 2m 1 Pr 1 neboli Pr Pr 1 neboli Pr 0 V bilanci momentu dominují viskózní síly a člen volné konvekce V bilanci momentu dominují inerciální člen a člen volné konvekce Z NS 2m n = 0 n = 2m Z NS 2n = 0 n = 0 Z FK 2m 1 = n, 2m 1 = 2m p n + m = 0 m = p m = 1 4, n = 1 2 Z rovnice kontinuity nepoužitelné m = p Z rovnice kontinuity n = m p Z FK 2m 1 = n = 0 p = 1 4 + 1 2 p = 3 4 m = 1 2, p = 1 2, n = 0 Ŷ = Y Pr 1 4 Ŷ = Y Pr 1 2 v x = ṽ x P r 1 2 v x = ṽ x v y = V Y Pr 3 4 v y = V Y Pr 1 2 Nyní zbývá určit hodnotu Nussletova kritéria u povrchu desky Θ ỹ y=0 Nu = = Θ Θ ỹ, Θ = 1 y=0 Nu = Θ Ŷ Ŷ Y Y ỹ Nu = 1 A Y = Gr 1 4 ỹ Nu da Nu = Θ Ŷ Pr 1 1 4 Gr 4 Nu = Θ Ŷ Pr 1 1 2 Gr 4 lokální hodnota u povrchu řádově 1 1 Nu = KPr 1 1 4 Gr 4 Nu = KPr 1 1 2 Gr 4 Pro vertikální stěnu Pro vertikální stěnu Nu = 0, 6703 Pr 1 1 4 Gr 4 Nu = 0, 8005 Pr 1 1 2 Gr 4 55

22 Transport tepla při turbulenci v omezeném prostoru Charakter proudění popisuje velikost Reynoldsova čísla. Re = F inerciální F viskózní. Pro Re < Re c - laminární proudění (trubka kruhového průřezu - Re c = 2300) Pro Re > Re c - přechodové proudění (intermitence) - střídá se turbulentní režim s laminárním Pro Re Re c - proudění stále turbulentní 22.1 Turbulentní tok lze charakterizovat - dochází k fluktuacím rychlosti, tepla a dalších veličin - tok je vždy prostorově 3D a časově závislý - víření způsobuje promíchávání tekutin a tím dochází k intenzivnějšímu transportu hmoty a tepla - dochází k nárůstu tlakové ztráty 22.2 Fanningův frikční faktor Popisuje bezrozměrnou tlakovou ztrátu. Navier-Stokesova rovnice: ( ) v ρ + v v = P + η( 2 v) t inerciální člen: ρ( v + v v) t tlakový člen: P dynamický tlak P p ρ g viskózní člen: η( 2 v) Pro turbulenci platí, že inerciální síly jsou mnohem větší než síly viskózní (Re 1). Aby se pravá a levá strana Navier-Stokesovy rovnice rovnaly, musí být inerciální člen zhruba stejně velký jako tlakový. Po zbezrozměrnění/škálování ρ v v P U 0 R L P ρ U0 2 R v v P 0 L P, kde je průměrná rychlost proudění je průměr potrubí je délka potrubí je rozdíl tlaku připadající na délku potrubí L 56

Fanningův frikční koeficient: f p L ρ U 2 0 R = p R L ρ U 2 0 Darcyův frikční koeficient (součinitel tření) viz CHI -1, 2: λ f = 4f Tlakové ztráty v potrubí Laminární oblast: pro kruhový průřez f = 16 nebo λ Re f = 64 Re 2300 Re Turbulentní oblast: empirický vztah 1 Kármána-Nikradzeho f = 4 log 10 (Re f) 0, 4 Re > 3000 Blassiova rovnice f = 0,791 Re 1 4 3000 < Re < 100000-1 laminární oblast (směrnice -1) log 10 (f) -2 Kármán-Nikadze Nárůst tlakové ztráty při turbulenci -3 Blassiova rovnice (směrnice 1 4 ) 3 4 5 6 log 10 (Re) 7 Obrázek 35: Závislost frikčního faktoru (f) na použitém vztahu a hodnotě Reynoldsova kritéria (Re). Fluktuace teploty ve zvoleném místě x, y, z Časově zprůměrněná teplota T se získá jako střední integrální teplota přes časové měřítko t a, pro které platí, že t f < t a < t s. T = 1 t a t a T (t) dt - Reynoldsovo zprůměrnění 0 57

T T časové měřítko, na kterém se mění vlastnosti systému t S T časové měřítko jednotlivé fluktuace t F Obrázek 36: Fluktuace teploty a časová měřítka. t - čas Hodnota teploty v okamžiku t je dána jako součet zprůměrněné teploty T a teplotní fluktuace Θ v tomto čase. Podobně se zprůměruje rychlost T = T + Θ v = v + U, kde v U je rychlost zprůměrněná přes interval t a je vektor rychlostní fluktuace v čase t Vlastnosti časově zprůměrněných veličin T = T + Θ Střední hodnota fluktuací přes interval t a je nulová: Θ = 0 RMS ( root mean square ) flutkuace = kvalitativní měřítko velikosti fluktuací Θ RMS = Θ 2 > 0 Další zprůměrnění již zprůměrněné veličiny nemá na tuto veličinu vliv T = T + Θ = 1 t a t+t a ( T + Θ)dt = 1 t a t+t a T dt + 1 t a t+t a Θdt = t t t = T + Θ = T, protože z definice je Θ = 0 Pořadí zprůměrnění a derivování lze zaměnit 58

v = v 2 T = 2 T T = T t t Příklady T = T Důkaz pro nezávislé proměnné x, y, t, tj. systém závisí jen na souřadnicích x a y. T = 1 t+t a T dt = 1 t+t a T x t a t a T dt = x 1 t+t a T dt = T t a t t t y y }{{} 22.3 Zprůměrnění rovnice kontinuity Další vlastnost v = 0 = T v = v = 0 zprůměrněná rovnice kontinuity v = ( v + U) = v }{{} + U = 0 U = 0 0 divergence vektoru fluktuací = 0 22.4 Zprůměrnění Fourier-Krichhoffovy rovnice bez zdroje T t + v T = a 2 T ρ c p T t + ρ c p v T = λ 2 T Každý člen bude zprůměrněn zvlášt T T T ρ c p = ρ c p = ρ c p t t t λ 2 T = λ 2 T = λ 2 T člen bude rozepsán (pro jednoduchost ve 2D) v T = ρ c p X X X X a = λ ρ c p ( v + U ) ( T + Θ) = ( v x + U x ) ( T + ( v y + U y ) y + Θ ) = y ( T x + Θ ) + x v x T x + v y T + v x Θ y x + v y Θ T + U x y x + U T Θ y + U x y x + U Θ y = y }{{}}{{}}{{}}{{} v T + v Θ + U T + U Θ v T = v T + v Θ + U T + U Θ = 59

= v T + v Θ }{{} + U }{{} T + U Θ = Střední hodnota fluktuací = 0 = 0 = 0 = v T + U Θ FK rovnice nabývá tvaru ρ c p T t + ρ c p v T = λ 2 T ρ c p U Θ λ 2 T = λ T = ( λ T ) = q }{{}}{{} Nyní bude zkoumán součin ( ) UΘ = x y ( Ux = Θ x + U ) y y }{{} Fourierův zákon zprůměrněná intenzita toku tepla vedením [ ] Ux Θ = U x U y Θ x Θ + U Θ x x + U y y Θ + U Θ y y = U = 0 Θ + U x x + U Θ y = U y Θ }{{} U Θ Definice toku tepelné energie turbulencí q : Pak lze psát ρ c p T t q ρ c p ( UΘ ) + ρ c p v T = ( q + q ) 22.5 Konstitutivní rovnice pro intenzitu toku tepla turbulencí q y = ρ c p ε H T y konstitutivní rovnice Z pozorování je zřejmé, že turbulentní víry přenáší teplo z oblasti s vyšší teplotou do oblasti s nižší teplotou. Turbulentní tok tepla je jako zrychlené vedení tepla, proto je tok úměrný zápornému gradientu zprůměrněné teploty. ε H - difuzivita teplotních vírů [m 2 s 1 ] ε H je (skoro) stejná jako difuzivita vírů hybnosti ε M (rychlosti), protože teplo i hybnost přenášejí stejné víry ε H ε M. 60

y - směr q y - teplo je přenášeno víry stěna Obrázek 37: Víry u stěny při přenosu tepla. stěna ε H není konstanta, velikost závisí na vzdálenosti od stěny. Těsně u stěny tekutina nevíří ε H 0. ε H řada autorů uvádí, že ε M = 0, 85 ε H. Určení turbulentní difuzivity vírů Prandtlova metoda ε H = l 2 v z y normálová derivace rychlosti vzhledem k povrchu trubky l je promíchávací vzdálenost l = κ y normálová vzdálenost u povrchu trubky. Řada autorů uvádí, že κ = 0, 4. ε M = κ 2 y 2 v z y 22.6 Nussletovo kritérium při turbulentním proudění v trubce Nu = f 2 Re Pr f = f(re) viz Blassiova rovnice strana 57 (f = 0, 791 Re 1 4 ) Rovnice platí pro Pr 1 a 10 4 < Re < 10 6 Colburnova rovnice Nu = 0, 023 Re 0,8 Pr 1 3 platí pro Pr 1 a 10 4 < Re < 10 6 Rovnice Bhattiho a Shaha (f/2)(re 1000)Pr Nu = 1 + 12, 7(f/2) 1 2 (Pr 2 3 1 ), platí pro 0, 5 Pr < 2000 a 2300 Re 5 10 6, přesnost ±10% 61

23 Sdílení tepla při varu Při varu jde o fázový přechod kapalina pára. Tento děj je spojený s výraznou změnou hustoty, typicky o 3 řády (1000 kg m 3 1 kg m 3 ). Změna hustoty (podobně jako u volné konvekce) vyvolává proudění tekutiny i páry. Vzhledem k velké změně hustot je toto proudění mnohem intenzivnější než u volné konvekce, proto je zde výrazně větší koeficient přestupu tepla. 23.1 Křivka varu Závislost intenzity tepelného toku mezi topnou plochou a kapalinou na přehřátí T e. T e = T s T b, kde T b T s je teplota bodu varu za daných podmínek (tlaku) je teplota topné plochy Fáze varu pro T e > 0 1. Volná konvekce ( T e 0) - tekutina se ohřívá u teplé plochy, ale vlivem volné konvekce dochází k výměně za chladnější tekutinu. Kapalina víří jako při volné konvekci a netvoří se parní fáze. Teplota kapaliny roste. Pro výpočet Nu lze použít korelace pro klasickou volnou konvekci. α 10 3 W m 2 K 1 Křivka varu Na následujících grafech je vynesena závislost tepelného toku vztaženého na jednotkovou plochu jako funkce teploty přehřátí. Pro vodu bylo naměřeno: 62

Tepelný tok (kw m 2 ) teplota přehřátí (K) Obrázek 38: Vliv rozdílu teplot na tepelný tok při varu vody. S. Nukiyama, Maximum and minimum values of heat q transmitted from metal to boiling water under atmospheric pressure. J. Soc. Mech. Eng. Jpn. 37 (1934) 53-54, 367-374. 63

Nukleaˇcn ı var Na n asleduj ıc ıch 3 sn ımc ıch je zaznamen ana tvorba plynu na tepl em rozhran ı. Jsou ˇrazeny vzestupnˇe podle velikosti intenzity tepeln eho toku. Obr azek 39: Vliv intenzity tepeln eho toku na vznikaj ıc ı p aru. G. Nellis, S. Klein, Heat transfer, Cambridge University Press (2009), 781. 64

2. Nukleační var ( T e > 0) Pokud T e dosáhne tzv. teploty počátku nukleace, tak se začnou tvořit bubliny na topné ploše. Bubliny se tvoří na nukleačních místech, kde rostou a posléze se odštěpují a putují směrem vzhůru. Charakter nukleačního varu závisí na velikosti T e. Díky intenzivnímu víření při odtrhávání bublin dochází k rychlé cirkulaci kapaliny a dramatickému nárůstu hodnoty koeficientu přestupu tepla α. S rostoucí hodnotou T e roste hodnota koeficientu přestupu tepla α. T b q T s > T b T s Obrázek 40: Schéma tvorby bublin páry při nukleačním varu. q = α T e = α(t s T b ) α 10 3 10 4 W m 2 K 1 výhodné ve výměnících tepla 3. Přechodový var ( T e 0) Při nukleačním varu se v jistém okamžiku (při tzv. teplotě vyhoření) tvoří tolik bublin, že je bráněno přístupu chladnější kapaliny k teplé ploše. Tepelná vodivost páry je výrazně menší než tepelná vodivost kapaliny, proto se teplo začne hromadit u topné plochy. Dochází k tzv. KRIZI VARU. To je nežádoucí jev při kterém může dojít až k roztavení topné plochy. T e 10 2 K α klesá z hodnoty 10 4 až na 10 2 W m 2 K 1 nevýhodný režim 4. Blánový var ( T e > teplota vyhoření) Dochází k pokrytí celé topné plochy párou a jejímu odtržení. Tím se na rozehřátou plochu v okamžiku dostane chladnější tekutina. Z té se však vytvoří další blána. Koeficient přestupu tepla dosahuje minima v tzv. Leidenfrostově bodě (α 10 2 W m 2 K 1 ). Při dalším zvyšování T e koeficient přestupu tepla narůstá. Blánový var je ve výměnících nežádoucí. 65

23.2 Závislost koeficientu přestupu tepla na přehřátí při varu Tepelný tok (kw m 2 ) Teplota přehřátí (K) Obrázek 41: Schema tvorby bublin páry při nukleačním varu. G. Nellis, S. Klein, Heat transfer, Cambridge University Press (2009), 782. 23.3 Vztah pro výpočet intenzity toku tepla Při nukleačním varu může být použita Rohsenowa korelace: ( ) 3 g(ρl ρ v ) cpl T e q = µ l h S σ C nb h S Pr n [W m 2 ], kde l Následující vlastnosti jsou dosazeny při teplotě bodu varu respektive při teplotě kondenzace pro ρ v. µ l [Pa s] dynamická viskozita kapaliny ρ l [kg m 3 ] hustota kapaliny ρ v [kg m 3 ] hustota páry σ [N m 1 ] povrchové napětí mezi kapalinou a párou c pl [J kg 1 K 1 ] měrná tepelná kapacita kapaliny Pr l Prandtlovo číslo pro kapalinu n exponent - typicky n = 1 až n = 1, 7 g [m s 2 ] gravitační zrychlení h S [J kg 1 ] rozdíl entalpií mezi rovnovážnou parou a kapalinou C nb konstanta závisející na typu povrchu topné plochy a tekutiny 66

Konstanty C nb do Rohsenowa vztahu tekutina povrch C nb voda leštěná měd 0,0127 měkká měd 0,0147 tvrdá měd 0,0068 nerezová ocel 0,0080 nerezová ocel pokrytá teflonem 0,0058 chemicky leptaná nerezová ocel 0,0133 mechanicky leštěná nerezová ocel 0,0132 mosaz 0,0060 nikl 0,0060 platina 0,0130 n-pentan leštěná měd 0,0154 leštěný nikl 0,0127 měkká měd 0,0049 znečištěná měd 0,0074 tetrachlormetan leštěná měd 0,0070 benzen chrom 0,0101 etanol chrom 0,0027 iso-propanol leštěná měd 0,0023 n-butanol leštěná měd 0,0030 Ze vztahu Lienharda a Dhira lze odhadnout při jakém přehřátí dojde k vyhoření, tj. k nežádoucímu blánovému varu. (α T e ) KRIT = q KRIT = Q KRIT A, kde A je velikost topné plochy [ ] 1 σg (ρl ρ v ) 4 q KRIT = C KRIT h S ρ v ρ 2 v Konstanta C KRIT závisí a geometrii systému. Konstanty C KRIT do Lienhardova-Dhirhova vztahu tvar C KRIT charakter. rozměr rozsah L velká plochá deska 0,15 šířka nebo průměr L > 27 malá plochá deska 0,15 12πL char,nb šířka nebo průměr 9 < A < 20 velký vodorovný válec 0,12 poloměr válce L > 1, 2 malý vodorovný válec 0,12 L 0,25 poloměr válce 0, 15 < L < 1, 2 velká koule 0,11 poloměr koule 4, 26 < L malá koule 0,227 L 0,5 poloměr koule 0, 15 < L < 4, 26 velký objekt 0, 12 L σ L = L char,nb = L char,nb g (ρ l ρ v ),kde L L char,nb je charakteristický rozměr topné plochy je charakteristická délka spojená s tvorbou (nukleací) bublin 67

24 Sdílení tepla při kondenzaci Kondenzace je kapková (žádaná, obtížně zajistitelná, na nesmáčivém povrchu) a filmová (nejčastější případ, na smáčivém povrchu). U kapkové kondenzace je vysoká hodnota koeficientu přestupu tepla. 24.1 Filmová kondenzace Při ní se tvoří film kapaliny o tloušt ce δ. Teplo se sdílí přes tento film. q = λ T K T W δ, kde λ [W m 1 K 1 ] je tepelná vodivost kapaliny - filmu T K [K] teplota kondenzace páry T W [K] teplota teplosměnné plochy T W < T K Protože q = α (T K T W ), přibližně platí α = λ, kde α je koeficient přestupu tepla. δ x y g T K film kondenzátu T W stěna δ Obrázek 42: Stékání kondenzátu po kolmé stěně. Je žádoucí, aby δ byla malá. Proto bývá výška stěny krátká, např. horizontálně položené trubky. NS rovnice ve směru x - ustálený stav ( ) v x ρ v x x + v v x y y = p x + ρ l g + η ( 2 v x x 2 ) + 2 v x y 2 Pro y, kde není film se nachází pára s hustotou ρ g. Je předpoklad, že se tato pára nepohybuje a pro ni platí: p x = g ρ g 68

Další předpoklad je, že tlak napříč filmem se nebude příliš měnit, tj. p y lze obě rovnice spojit ( ) ( ) v x ρ v x x + v v x 2 v x y = ρ g g + ρ l g + η y x + 2 v x }{{} 2 y 2 bývá zanedbatelné ( ) 2 v x (ρ g ρ l )g = η x + 2 v x 2 y 2 = 0. Pak Re = Uδρ l η 1, kde δ tloušt ka filmu velmi malé (10 5 m ) U rychlost stékání filmu relativně malé (10 3 m s 1 ) x y g L δ L film kondenzátu δ Obrázek 43: Stékání kondenzátu po kolmé stěně. ṽ x = v x U (ρ g ρ l )g = η U δ 2 x = x L δ2 }{{} L 2 2 ṽ x } x {{ 2 } + 2 ṽ x ỹ 2 }{{} 1 1 1 (ρ g ρ l )g δ 2 δ 2 = 2 ṽ x η U L 2 x + 2 ṽ x 2 ỹ 2 (ρ g ρ l )g δ 2 = 2 ṽ x η U ỹ }{{}}{{ 2 } 1 1 ỹ = y δ 69

Vhodně zvolená charakteristická rychlost stékání: U = (ρ l ρ g )g δ 2 η, proto 2 ṽ x ỹ 2 = 1 Tato rovnice má řešení ṽ x = ỹ2 2 + C 1ỹ + C 2 Konstanty C 1 a C 2 a lze získat z okrajových podmínek. První okrajová podmínka: stěna (y = 0, ỹ = 0) ṽ x = 0 Druhá okrajová podmínka: rozhraní kapalina - pára (y = δ, ỹ = 1), zde se musí rovnat viskózní napětí mezi kapalinou a párou (tok hybnosti na fázovém rozhraní je konstantní): v x η l v x y = η g l y v x y l v x = y g Přibližně platí: v x y Po dosazení do řešení η g η l 0, protože viskozita páry je mnohem nižší, než kapaliny = 0 ṽ x l ỹ = 0 l y = 0 v x = 0 ỹ = 0 ṽ x = 0 dv x y = δ dy = 0 ỹ = 1 dṽ x dỹ = 0 0 = C 2 g dṽ x dỹ = 0 = ỹ + C 1 0 = 1 + C 1 C 1 = 1 ṽ x (ỹ) = ỹ2 2 + ỹ v x (y) U = y2 2δ + y 2 δ ( v x = U 1 y 2 2 δ + y ) 2 δ 70

24.2 Teplotní pole při filmové kondenzaci Předpoklady: bez zdroje tepla + ustálený stav FK rovnice ( ) T v x x + v T 2 y y = a T x + 2 T 2 y 2 Škálování (scaling): Θ = T T W T K T W x = x L ṽ x = v x U ỹ = y δ ṽ y = v y U δ L U [ (T K T W ) δ Θ δ L x + Θ ] ỹ [ Uδ δ Θ a L x + Θ ] ỹ a = λ ρ c p = = a [ ] (T K T W ) δ 2 2 Θ δ 2 L 2 x + 2 Θ δ 2 ỹ 2 a = δ 2 2 Θ + 2 Θ }{{} L 2 }{{} x 2 ỹ }{{} 2 ( 1) ( 1) }{{} }{{} zanedbatelné 1 1 1 zanedbatelné Pe = U δ a 1 10 1 10 3 10 0 = 10 4 m 2 s 1 δ = 10 5 m U = 10 3 m s 1 Pe 10 4 2 Θ ỹ 2 = 0 Řešením FK rovnice je lineární teplotní profil. Θ = C 1 ỹ + C 2 Okrajové podmínky: y = 0 T = T W ỹ = 0 Θ = 0 y = δ T = T K ỹ = 1 Θ = 1 0 = 0 + C 2 C 2 = 0 1 = C 1 Θ = ỹ T T W T K T W = y δ T (y) = y δ (T K T W ) + T W 71

25 Filmová kondenzace - odhad tloušt ky vrstvy filmu y x ṁ l (x) x g ṁ c stěna x + x ṁ l (x + x) W - šířka stěny δ(x) ustálený stav ṁ c - hmotnostní tok kondenzující páry Obrázek 44: Bilance hmoty v elementárním úseku dx. ṁ l (x) + ṁ c = ṁ l (x + x) ṁ l (x) + j c W x = ṁ l (x) + dṁ l dx x dṁ l = j c W dx j c je intenzita toku kondenzující páry [kg m 2 s 1 ] ṁ c = j c xw Hmotnostní tok kapaliny ṁ l je dán integrálem: ṁ l = W ρ l U ṁ l = v x = U δ 0 v x W ρ l dy ( 1 y 2 2 δ + y ) 2 δ δ ( 1 y 2 2 δ + y ) [ dy = W ρ 2 l U 1 ] y 3 δ δ 6 δ + y2 = 2 2δ 0 0 = W ρ l U [ 16 δ + 12 ] δ = 1 3 δ W ρ l U 72

j c = 1 W ṁ l = 1 ρ l W g(ρ l ρ g )δ 3 3 µ l dṁ l dx = 1 dṁ l dδ W dδ dx = 1 ρ l W g(ρ l ρ g )δ 2 dδ W µ l dx j c = ρ lg(ρ l ρ g )δ 2 µ l dδ dx 25.1 Bilance entalpie v elementárním úseku filmu Q C - teplo předané kondenzující párou Q W - teplo odvedené teplosměnnou plochou Ḣ(x) + Q C = Ḣ(x + x) + Q W Ḣ(x) W - šířka stěny T W Q W stěna x Ḣ(x + x) Q C T K Obrázek 45: Tok energií ve filmu kondenzátu. h g je měrná entalpie rovnovážné páry Q C = ṁ C h g = j c x W h g Q W = q x W q je intenzita toku tepla stěnou q = λ dt dy = λt K T W δ Q W = λ T K T W δ x W 73

Ḣ(x) + j c xw h g = λ T K T W δ x W + Ḣ(x) + dḣ(x) dx x j c W h g = λ T K T W W + dḣ(x) δ dx Až dosud nebyl zvolen referenční stav. Bude zvoleno kapalné skupenství a referenční teplota (T ref ) teplota varu. U čisté látky: T ref = T V = T K teplota varu = teplota kondenzace Pak: h g = h v tj. entalpie rovnovážné kondenzující páry j c W h v = λ T K T W δ Nyní jen nutné vyjádřit tok entalpie Ḣ integrálem W + dḣ dx Ḣ = δ W v x ρ l c p l (T T ref )dy, kde 0 V = W v x objemový průtok kapaliny ṁ = W v x ρ l hmotnostní tok c p l střední tepelná kapacita, dále bude psaná bez h = c p l (T T ref ) měrná entalpie T ref = T K T = y δ (T K T W ) + T W T T ref = y [ y ] δ (T K T W ) + T W T K = (T K T W ) δ 1 Ḣ = δ 0 [ y ] [ W ρ l c p l (T K T W )U δ 1 1 y 2 2 δ + y ] dy = 2 δ = W ρ l c p l (T K T W )U [ = W ρ l c p l (T K T W )U 1 y 4 8 δ y2 3 = W ρ l c p l (T K T W )U = [ 18 δ 12 δ + 12 ] δ δ 0 [ 1 y 3 2 δ y 3 δ + 3 ] y 2 dy = 2 δ 2 ] y 3 δ = δ 2 0 2δ + 1 2 = W ρ l c p l (T K T W )U [ 18 ] δ Ḣ = 1 8 W ρ l c p l (T K T W )Uδ = 1 W ρ l c p l (T K T W )(ρ l ρ g )gδ 3 8 η l dḣ dx = dḣ dδ dδ dx = 3 W ρ l c p l (T K T W )(ρ l ρ g )gδ 2 dδ 8 η l dx Nyní lze dosadit do entalpické bilance za veličiny j c a dḣ dx 74

j c W h v = λ T K T W W + dḣ δ dx ρ l g(ρ l ρ g )δ 2 dδ dx W h v = λ T K T W W δ 3 W ρ l c p l (T K T W )(ρ l ρ g )gδ 2 dδ 8 dx η l Další kroky pro výpočet δ(x), α(x) budou kvůli úspoře času uskutečněny v programu MAPLE. Z rovnice plyne δ(x). α(x) = λ α = 1 L α(x)dx δ x L dṁ l dx = j c W ṁ l = 1 ρ l W g(ρ l ρ g )δ 3 (x) 3 η l dṁ l dx = ρ l W g(ρ l ρ g )δ 2 dδ η l dx j c = ρ l g(ρ l ρ g )δ 2 dδ η l dx 0 Ḣ = 1 W ρ l c p l (T K T W )(ρ l ρ g )gδ 3 8 η l W ρ l c p l (T K T W )(ρ l ρ g )gδ 2 dḣ dx = 3 8 η l j c W h v = λ T K T W W + dḣ δ dx j c h v = ρ lg(ρ l ρ g )δ 2 dδ η l dx h v A = ρ lg(ρ l ρ g ) h v η l j c h v = λ T K T W 3 ρ l c p l (T K T W )(ρ l ρ g )gδ 2 dδ δ 8 η l dx B = λ(t K T W ) C = 3 ρ l c p l (T K T W )(ρ l ρ g )g 8 η l Aδ 2 dδ dx = B δ (A C) δ 2 dδ dx = B δ δ 3 dδ = δ 1 0 δ 3 dδ = + Cδ2 dδ dx dδ dx B A C dx D = B A C x 1 D dx 0 δ 4 1 4 = D x 1 δ = (4D x 1 ) 1 4 α = λ δ x 1 4 η l 75

26 Sdílení tepla sáláním přenos elektromagnetickým zářením (funguje i ve vakuu) nezávisí na molekulárních interakcích přenos radiací závisí na teplotě těles a jejich povrchových vlastnostech energetický přenos radiací mezi tělesy probíhá, i když mají stejnou teplotu (ale nedochází ke změně energetického obsahu těles) Elektromagnetické spektrum Vlnová délka světla λ = c c - rychlost světla [m s 1 ] f f - frekvence [s 1 ] Pouze malá část elektromagnetického spektra je generována teplými povrchy těles. Přibližně toto záření má vlnovou délku na intervalu 0, 2 µm 1000 µm Tento interval zahrnuje ultrafialovou (UV), viditelnou a infračervenou (IR) oblasti elektromagnetického spektra. viditelné světlo gamma RTG UV IR radio rostoucí vlnová délka, klesající energie záření Obrázek 46: Elektromagnetické spektrum. 76