.9. Logaritmické rovnice III Předpoklad: 90 Př. : Vřeš rovnici log log. + log + log Podmínk: Vnitřk logaritmů: > 0. Zlomk: + log 0 log 0,00 + log 0 log 0,00 00 Problém: Jednotlivé stran nemůžeme upravit na jeden logaritmus (obsahují podíl), nepomůže ani vnásobení rovnice jmenovateli, protože se nám objeví druhé mocnin logaritmu. Nápad: V rovnice se neznámá vsktuje pouze jako log můžeme použít substituci. log log + log + log Substituce: log / ( + )( + ) + + ( )( + ) ( )( + ) + 0 + 6 9 7 7 log log log0 0, K { 0,} Př. : Vřeš rovnici log ( log ) ( log ). Stejné jako předchozí příklad: Po roznásobení b se opět objevila druhá mocnina, neznámá je pouze ve výrazu log substituce. log log log Podmínka: > 0. Substituce: log 6 6 0, 6 b ± b ac ± ± 7 a 6
+ 7 7 log log log 6 K 6; log log log Př. : Uprav následující logaritm na výraz, které obsahují neznámou pouze ve výrazu log a : a) log 8 b) log9 e) log00 f) c) log d) log log g) log h) log 9 a) log 8 log 8 + log + log b) log9 log9 log9 log9 0, c) log log d) log log log log e) log00 log00 + log + log log log + log + log + 6log f) g) log ( log ) ( log + log ) ( + log ) h) log 9 ( log 9 ) ( log 9 + log ) ( + log ) Pedagogická poznámka: Společnou kontrolu předchozího příkladu provádíme nadvakrát po bodu d) a nakonec. Př. : Vřeš rovnice: a) log 9 + log log + log 7 b) log + log log log + log c) log + log + log log + + log d) ( ) log + log log 8 a) log 9 + log log + log 7 Podmínk: > 0. + log log log + Substituce: log
+ + + + log log log K { } b) log + log log log + log Podmínk: > 0. podobný příklad jako předchozí, jen bude obtížnější práce s rozkladem logaritmů + + + + log log log log log log log log 0, log + + log log log log + log log 0, log + log log 0, log log log log K { } c) log + log + log log + + log Podmínk: > 0. Problém: se vsktuje v logaritmech v různých mocninách musím všude vrobit jen log. log + log + log log + + log log + log + log + log log + + log log + log + log + log log + + log log + log + log log log log / : log log log log log0 log log log log 0 log log K d) ( ) log + log log 8 Podmínk: + > 0, > 0. Problém: První závorku se nám rozložit nepodaří (obsahuje sčítání) tento příklad není podobný ostatním, musíme převést obě stran na jediný logaritmus, jak jsme to dělali v minulé hodině.
( ) log + log log 6 log 8 log + log 6 8 + + 0 b ± b ac ± ±, a + (nevhovuje podmínkám) K { } Pedagogická poznámka: V bodu c) mají studenti problém s tím, že nedokáží Je zajímavé sledovat, jak se studenti postaví k bodu d). Úprava log + log + log samozřejmě ukazuje na to, že dotčný student upravuje zcela automatick a na nějaká pravidla se neohlíží. log log + + log. Př. : Vřeš rovnici: Příklad opět vede k druhé mocnině logaritmů použijeme substituci Problém: neznámá se vsktuje v různých druzích výrazů všechn výraz upravíme tak, ab obsahoval pouze log log log + + log log log + log teď už můžeme použít substituci Substituce: log + + + 0 b ± b ac ± ± 7, a + 7 7 log log log log0 log log0 0 K { 0;0,00} 0, 00 Př. 6: Petáková: strana, cvičení b), d)
strana 6, cvičení b) strana 6, cvičení 6 b), d) Shrnutí: Pokud se v rovnici objevují druhé mocnin logaritmů z neznámé, můžeme použít substituci. Před tím však většinou potřeba upravit logaritm tak, ab měl všechn logaritm s neznámou stejný tvar.