Kulová plocha, koule, množiny bodů 1.Metodou souřadnic vyšetřete množinu všech bodů X roviny, které mají stejnou vzdálenost od dvou rovnoběžek p, q ležících v rovině. Zvolím p...osa x y =, q... y = 4, bod X x; y ( ) [ ] vzdálenost od p: v X; p = y ; vzdálenost od q: v X; q = y 4 y = y 4 y< y ;4 y > y = 4 y y = y+ 4 y = y+ 4 nemá řešení y = nemá řešení. Metodou souřadnic vyšetřete množinu všech bodů X roviny, které mají stejnou vzdálenost od dvou navzájem kolmých přímek p, q ležících v rovině. Zvolíme pq,...osy xa y: X xy ; v X, p = y, v X; q = x [ ] y = x x> y > x> y< x< y > x< y< x = y y = x y = x x= y. Vyšetřete množinu všech bodů X roviny, pro které platí [ ] [ ] [ ] x= y AX BX = AB. A ;, B ;, X x; y ; AX = x+ + y, BX = x + y, AB = 6 x + 6x+ 9+ y x + 6x 9 y = 6 1x = 6 x=...přímka kolmá na AB v bodě B 4. Vyšetřete množinu všech bodů X roviny, pro které platí [ ] [ ] [ ] BX AX = AB. A ;, B ;, X x; y ; AX = x+ + y, BX = x + y, AB = 6 x 6x+ 9+ y x 6x 9 y = 6 1x = 6 x=...přímka kolmá na AB v bodě A
5. Vyšetřete množinu středů všech tětiv kružnice x 1. metoda: A+ Y S = Y a; 9 a a S ( y ) 9 + a + ; ( x) 9 a a + x= a= x y = y = 9 + = 9 4 x / 4y 1y+ 9= 9 4x 4 4 1 x + y y = x y k: S ;, r + = =. metoda: spojnice SO je na tětivu kolmá SA. SO = SA = ( x; y) S x; y SO = x; y [ ] ( ) x + y y = x y S r + = ; = 6. Jsou dány dva různé body A[ ; ]; B[ ; ] množiny všech bodů X, které mají tuto vlastnost: AX ( ) ( ) x + 6x+ 9+ y = x 6x+ 9+ y osa y x+ + y = x + y 1x = x = ( osa úsečky AB) + y = 9, které procházejí bodem [ ; ]. v prostoru. Metodou souřadnic vyšetřete / = BX.
7. Střed úsečky AB označte písmenem C a vyšetřete tyto množiny bodů: AX + CX = BX. [ ] [ ] [ ] [ ] x x y x y x y x A ;, C ;, B ;, X x; y ; AX = x+ + y, BX = x + y, CX = x + y + 6 + 9 + + + = + 1 + 18 18x = 9 x = 1 8. Vyšetřete množinu bodů v rovině, dané vlastnostmi: [ ; ], [ ; ], [ ; ] AX + BX = AB A B X x y. AX = x + + y, BX = x + y, AB = 6 x + 6x+ 9+ y + x 6x+ 9+ y = 6 18 x + y = [ ] + = 9 ;, = = x y S r AB 9. Vyšetřete množinu bodů v rovině, dané vlastnostmi: [ ] [ ] [ ] AX + BX = 4 AB A ;, B ;, X x; y. AX = x + + y, BX = x + y, AB = 6 + + + + + = y x 6x 9 x 6x 9 144 + = x y 16 AB + = 6 [ ;] střed, = 6 = 7 x y S AB r 1. Vyšetřete množinu bodů v rovině, dané vlastnostmi: [ ] [ ] [ ] AX + BX = AB A ;, B ;, X x; y. AX = x + + y, BX = x + y, AB = 6 x + 6x+ 9+ y + x 1x+ 18+ y = 18 AS = BS x + y x= 6 81 + = 7 x y x AB x 1 + y = 8 S 1;, r = 8 = 7 = ( ) [ ] 7
11. Napište analytické vyjádření nejmenší koule, která obsahuje body A1;;, B 1; ;, C 6; ;1 S 1; ;. [ ] [ ] [ ] a má střed [ ] SA = 4+ 9 = 1 SB = 5 + 9 = 4 SC = 5 + 16 = 41 ( x 1) ( y ) ( z ) + + + =41 1. Napište rovnice kulové plochy se středem S [ 1; ; 5] a poloměrem r = 4. Rozhodněte o vzájemné poloze této plochy a rovin xy, yz, zx soustavy souřadnic. a) rovina xy b) rovina yz c) rovina zx ρ: z = ρ: x= ρ: y = 5 1 v( S; ρ) = = 5 v( S; ρ) = = 1 v( S; ρ) = 1 1 ani jeden společný bod společné body = kružnice společné body = kružnice ( ) [ ; 5 ], = 15 [ ; 5 ], = 4 y + z+ 5 = 15 x 1 + z+ 5 = 16 S r S r 1. Je dána kulová plocha K se středem S[ ;;5 ], r = 6 a dvojice bodů [ 4;5;6 ], [ 5;;8 ] Určete průnik K AB. ( ) K : x + y + z 5 = 6 p: x= 4+ t y = 5 t z = 6+ t, t R ( t) ( t) ( t) + + + 1+ = 6 + t+ t + t+ t + + t+ t = 4 4 4 8 4 1 4 4 6 9 7 P 1 4 ;5 ;6 P + + 4 ;5+ ;6 t = t =± A B.
14. Napište rovnici kulové plochy, která má střed na přímce p: x 1 t, y t, z t, t R a prochází body M 1;;1, N ;;6. = = + = [ ] [ ] M K :1 m + n + 1 q = r ( ) N K : m + n + 6 q = r + 4+ 4 + + 4 8 + 4 = t t t t t r 1 + + 4+ 4 + + 9+ 1 + 4 = t t t t t t r 6t 4t+ 8= r 6t + 14t+ 14= r 18t + 6 = 1 t = m= 1 t n= + t q = t, t R 4 5 11 16 5 49 S ; ; r = + + = 1 9 9 9 4 5 11 K : x + y + z = 1
15. Jsou dány čtyři body A[ ; 7;1 ], B[ ;8; 7 ], C[ 8; 1;1 ], D[ 6; 4;9]. Určete a) kulovou plochu, která obsahuje A, B, C, D b) rovnice τ, τττ A B C D c) odchylku průsečnic τ τ, τ τ ( ) ( 7 ) ( 1 ) m + n + q = r ( ) ( 8 ) ( 7 ) m + n + q = r ( 8 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 6 ) ( 4 ) ( 9 ) m= ; n= ; q= 4; r = 7 ( ) K : x + y + z 4 = 7 ( x ) ( y ) ( )( z ) ( x ) ( y ) ( z ) A B C D τ : 6 + 5 + 4 = 7 A 6x+ 5y z 5= 6x 5y+ z+ 5= τ : 5 + 6 + 4 = 7 B m + n + q = r m + n + q = r 5x+ 6y+ z 79= 5x 6y z+ 79 = ( x ) ( y ) ( z ) τ :5 + 6 4 = 7 C D 5x y+ 6z 1 = ( x ) ( y ) ( z ) τ : 6 + 5 4 = 7 x 6y+ 5z 87= τ τ :11x 11y+ 19 = A B 19 95 19 4 X ; ; Y ;; 11 11 19 19 19 u = X Y = ; ; 11 11 u = ( ;; 1) τ τ : 7x 7z+ 11 = C D 176 11 11 97 X ; ; ; ; 11 Y 11 11 11 11 u = X Y = ; ; 11 11 u = ;1; ( ) 9+ cosα = α = 61 44 19
16. Je dána kulová plocha se středem S[ 5;; ], r = 4 a její body [ 1; ; ], [ ; ; 4 ], [ 7; 4; ]. H L M a) Napište rovnice tečných rovin kulové plochy v bodech H, L, M. b) Určete souřadnice společného bodu všech tří tečných rovin. ( ) ( )( ) K : x 5 + y + z = 4 τ :1 5 x 5+ y+ z = 4 H 4x y z+ 4= x y z+ = τ : x y+ 4z+ 14= L M x y+ z+ 7= τ : x+ 4y z 4= x+ y z 17= x y z+ = x y+ z+ 7= x+ y z 17= [ ;7; 1] y 5z 1= /. 1 +. y z 4= + 1z + 1 = z = 1 y = 7 x = P