KMA FAV ZČU Plzeň 1. února 2012
Obsah Aplikace Minkowského suma Minkowského rozdíl Minkowského součin v E 2 Minkowského součin kvaternionů Akce 22. 6. 1864-12. 1. 1909
Úvod Použití Rozmist ování (packing, nesting, containment problem) Plánování pohybu robota mezi překážkami Hledání offsetu (ekvidistantní plochy) Využití v optice Další způsoby popisu křivek a ploch
Rozmist ování Containment problem Packing problem Nesting problem Cutting plan Compaction Pálící programy Pokrývání rovinné oblasti kruhy (sférami)
Robot Motion Planning - řešíme úlohu v E 2 můžeme tuto úlohu rozdělit podle tvaru robota a překážek (konvexní, nekonvexní, aproximace polygonem apod.) podle způsobu pohybu (jestli bude pohyb realizován pouze pomocí posunutí, nebo je možné přidat i otočení) pracovní prostor (angl. work space) počet parametrů, který koresponduje s počtem stupňů volnosti robota v rovině, realizovaný pouze pomocí posunutí, jsou to dva stupně volnosti, pokud přidáme otočení, jsou to tři stupně volnosti Parametrický prostor robota nazýváme konfigurační prostor (angl. configuration space) Část kofiguračního prostoru, kam robot nesmí, se nazývá zakázaný prostor (forbidden space), zbytek kofiguračního prostoru je volný prostor (free space).
Offset Definice Rovnoběžné, neboli Bertrandovy křivky, jsou takové křivky, které mají společné hlavní normály. Je-li c(t) jedna křivka tohoto páru, pak druhá má rovnici c d (t) = c(t) + d n(t), kde d je konstanta a n(t) jednotkový vektor hlavní normály. Necht s(u, v) je plocha v E 3, pak její offset s d (u, v) ve vzdálenosti d definujeme předpisem s d (u, v) = s(u, v) + d n(u, v), kde n(u, v) je jednotkový normálový vektor plochy s(u, v). Offset můžeme také definovat jako obálku soustavy kružnic s poloměrem d, jejichž střed se pohybuje po křivce c(t).
Caustica a anticaustika V rovině bychom anticaustiku mohli popsat jako křivku, která je evolventou caustiky, což je křivka, kterou dostaneme jako obálku odražených paprsků w.
Minkowského suma Definice Necht A a B jsou množiny bodů v E n. Minkowského sumou A B množin A a B rozumíme A B = b B A b, kde množina A b = {a + b a A} = A + b je množina A posunutá o vektor b. Necht A a B jsou množiny bodů v E n. Pak A B = {a + b a A b B}.
Vlastnosti Minkowského sumy A B = B A (A B) C = A (B C) (A B) (C D) = (A C) (A D) (B C) (B D) A s B t = (A B) s+t
Minkowského suma dvou krychlí
Věta Necht A a B jsou dvě množiny v E n a x je libovolný bod. Pak A B x x A ( B), kde B = { b b B}. Důsledek 1 A s B t t s A ( B). 2 A B (mají společný bod), právě když (0, 0) A ( B).
Algoritmy pro výpočet Minkowského sumy Algoritmus prostor výpočetní složitost naivní E 2 O(mn log mn) přímý výpočet E 2 O(m + n) naivní E 3 O(mn log mn) geometricko-grafový E 3 - grafový E 3 - založený na orientovaném grafu E 3 O(e P + e Q + k) Tabulka: Tabulka algoritmů pro výpočet Minkowského sumy
Příklad Minkowského suma C = A B konvexních množin A, B je konvexní množina, jak ale vypadá Minkowského suma množin, které nejsou konvexní?
Příklad Minkowského suma C = A B konvexních množin A, B je konvexní množina, jak ale vypadá Minkowského suma množin, které nejsou konvexní?
Minkowského rozdíl R. Farouki, H. P. Moon a B. Ravani {a b a A b B} Zhenyu Li b B A b
Minkowského rozdíl Definice Necht A a B jsou množiny bodů v E n. Minkowského rozdílem A B množin A a B rozumíme množinu A B = b B A b, kde množina A b = {a b a A} = A b je množina, která vznikne posunutím množiny A o vektor b.
Vlastnosti Minkowského rozdílu A s B t = (A B) s t, A B = (A ( B)), A B = (A ( B)),
Vlastnosti Minkowského rozdílu Věta Necht A a B jsou dvě konvexní, uzavřené a omezené množiny v E n, pak platí (A B) B = A, tedy operace A B je pro konvexní, uzavřené a omezené množiny vratná (zprava inverzní) k operaci A B.
Proč předpokládáme ve větě množiny konvexní, uzavřené a omezené? Uved me si několik příkladů. Konvexní množinu jsme mohli získat jako Minkowského sumu dvou konvexních stejně jako dvou nekonvexních množin, nebo dokonce jedné konvexní a jedné nekonvexní množiny Minkowského rozdílem dvou konvexních množin je ale vždy množina konvexní (je to průnik konvexních množin). Minkowského suma dvou opačných polorovin je celá rovina. Minkowského rozdíl bude ale počítán jako průnik shodných rovin, tedy výsledkem bude celá rovina. Minkowského suma uzavřených a omezených množin je uzavřená množina, ale Minkowského suma dvou otevřených nebo otevřené a uzavřené množiny je množina otevřená. Minkowského rozdíl dvou otevřených množin je množina otevřená, tj. uzavřenou množinu nemůžeme získat.
Příklad Minkowského rozdíl ale může být zprava inverzní operací i v některých případech, kdy předpoklady věty splněny nejsou. Necht množinou A je kruh a množina B = {b 1, b 2 } obsahuje dva body. Minkowského rozdílem C = C B je průnik dvou množin, z nichž každá obsahuje dva kruhy, tj. výsledkem je původní množina A.
Vlastnosti Minkowského rozdílu Věta Necht C a B jsou dvě konvexní, uzavřené a omezené množiny v E n, pak platí (C B) B C. Minkowského rozdíl A = C B
Vlastnosti Minkowského rozdílu Věta Necht C a B jsou dvě konvexní, uzavřené a omezené množiny v E n, pak platí (C B) B C.
Podmínky pro nepřekrývání dvou množin můžeme modifikovat pro problém umístění jedné množiny do jiné to je tzv. containment problem. Definice Množina B leží v množině A, právě když B A. Věta Necht B x A, pak x A B. Minkowského rozdíl tedy určuje všechna posunutí, kterými můžeme přemístit množinu B, tak aby ležela uvnitř množiny A. Pokud je A B prázdná množina, pak B do A pomocí posunutí umístit nelze. Jestliže bod [0, 0] A B, pak B A.
Podmínky pro nepřekrývání dvou množin můžeme modifikovat pro problém umístění jedné množiny do jiné to je tzv. containment problem.
Minkowského součin Definice Necht A a B jsou bodové množiny v E 2. Minkowského součinem A B množin A a B rozumíme A B = {a b a A, b B}, kde a b je součin komplexních čísel. Vlastnosti Minkowského součinu A B = B A, (A B) C = A (B C), (A B) C (A C) (B C).
Násobení bodem Vynásobením množiny B jednobodovou množinou A = {z} provedeme otočení komplexní množiny B okolo počátku o úhel ϕ a stejnolehlost (scaling) se středem v počátku a koeficientem z. Je-li A křivka v E 2, můžeme A B považovat za sjednocení jednoparametrické soustavy množin, které dostaneme rotací a stejnolehlostí množiny B, tj. A B = ab. a A
Násobení dvou přímek Necht A, B jsou přímky v E 2. Pak jestliže žádná z přímek neprochází počátkem, pak A B je vnějšek paraboly, jestliže jedna z přímek prochází počátkem, pak A B je sjednocením počátku a dvou otevřených polorovin oddělených přímkou, která prochází počátkem, jestliže obě přímky prochází počátkem, pak A B je přímka procházející počátkem.
Násobení křivky a přímky Necht A je hladká křivka c v komplexní rovině a B svislá přímka procházející bodem [1, 0]. Pak hranice (A B) množiny A B je podmnožinou inverzní úpatnice křivky c vzhledem k počátku O. Úpatnice a inverzní úpatnice mají speciální význam v optice. Pól P reprezentuje zdroj světla a křivka c představuje zrcadlo.
Násobení kružnice a přímky-přímka prochází počátkem
Násobení kružnice a přímky-přímka neprochází počátkem
Umístění množiny B do množiny A při použití rotace Necht A a B jsou dvě množiny v E 2 a K = {cos t + i sin t t 0, 2π)} je jednotková kružnice se středem v počátku. Pak množinu B můžeme umístit do množiny A, tj. existuje x tak, že B x A, právě když A ({z} B). z K
Minkowského součin množin kvaternionů Definice Necht A a B jsou množiny kvaternionů (A, B H). Minkowského součinem A B množin A a B rozumíme kde ab je součin kvaternionů. A B = {ab a A, b B}, Necht A a B jsou množiny kvaternionů. Pak A B = ab. a A
Zobecnění Minkowského součinu množin kvaternionů Definice Necht A R H 3 a X H. Akcí A X množiny A na množinu X rozumíme A X = {a s a l x a r + a t (a s, a l, a r, a t ) A, x X }. Takto definovaná akce je zobecněním Minkowského součinu množin kvaternionů. Jestliže A H a A = {(1, a, 1, 0) a A}, pak A X = {a x a A, x X }, tj. A X = A X. Pro X A bychom volili A = {(1, 1, a, 0) a A} a A X = {x a a A, x X } = X A.
Geometrická interpretace akce Anuloid A X, kde A = {(a s, cos u 2 + k sin u 2, cos u 2 + k sin u 2, a(i cos u + j sin u)) u 0, 2π)} a X = {i cos v + k sin v v 0, 2π)}. a s = b a s = sin u 2
Geometrická interpretace akce Šroubové plochy Křivka a t je šroubovicí, A = {(a s, cos u 2 + k sin u 2, cos u 2 + k sin u 2, a(i cos u + j sin u) + k v 0u) u 0, 2π)}. X = {i v v 1, 1 } X = {i cos v + k sin v v 0, 2π)}
Literatura de Berg, Mark; van Kreveld, Marc; Overmars, Mark; Schwarzkopf, Otfried: Computational geometry. Algorithms and applications. Berlin: Springer Verlag 1997. Brechner, Eric, L.: General offset Curves and Surfaces. In Geometry Processing for Design and Manufacturing, ed. Barnhill, R.E., SIAM,Philadelphia, pp. 101-121, 1992. Farouki, Rida T.; Moon, H. P.; Ravani, B.: Minkowski geometric algebra of complex sets. Geometriae Dedicata 85: 283-315, 2001. Farouki, Rida T.; Chastang, Jean-Claude A.: Curves and surfaces in Geometrical Optics. Mathematical Methods in Computer Aided Geometric Design II. Academic Press 1992. Pottmann, Helmut: General offset surfaces. Neural, Parallel & Scientific Computations 5, 55-80, 1997. Smukler, Micah: Geometry, Topology and aplications of the Minkowski Product and Action. Harvey Mudd College. Senior thesis, 2003. Tomiczková, Světlana:. ZČU v Plzni, disertační práce, 2006. Wallner, J., Sakkalis, T., Maekawa, T., Pottmann, H., Yu, G.: Self-Intersection of Offset Curves and Surfaces. March 30, 2001. Weiner, Ian; Gu, Weiqing: Minkowski geometric algebra of quaternion sets. International Journal of Pure and Applied Mathematics, Vol. 3, No.4: 385-411, 2002. Zhenyu Li: Compaction Algorithms for Non-Convex Polygons and Their Applications. Massachusetts: Harvard University. PhD. thesis, 1994.
Závěr Děkuji za pozornost