@001 1. Základní pojmy Funkce funkční? Oč jde? Třeba: jak moc se oblečeme, závisí na venkovní teplotě, jak moc se oblečeme, závisí na našem mládí (stáří) jak jsme staří, závisí na čase jak moc zaplatíme na daních, závisí na našich příjmech jak dlouho se budeme dívat na televizi, závisí na tom, jak dlouho nás bude bavit atd. Především jde o závislost něčeho na něčem. Z naučného slovníku se dozvíme, že funkce vyjadřuje vztah mezi dvěma objekty (nebo skupinami objektů), při čemž změna jednoho z nich je provázena změnou druhého. Ten objekt (veličina), který se může svobodně měnit se nazývá nezávislý. Ve výše uvedených příkladech jsou nezávislé veličiny: venkovní teplota, náš věk, čas, příjmy,... Objekt (veličina), která se mění v závislosti na změnách jiného objektu se nazývá závislý. V matematice je pojem funkce velmi důležitý. Pojem funkce do vědy zavedl G. W. Leibniz (1646-1716 německý filozof, matematik a diplomat). O zpřesnění pojmu funkce a prozkoumání jejich obecných vlastností se zasloužili v 18. století J. Bernoulli (1667-1748 švýcarský matematik a fyzik), L. Euler (1707-1783 švýcarský matematik a fyzik) a jiní, v 19. století zejména A. L. Cauchy (1789-1857 francouzský matematik) a pražský rodák B. Bolzano (1781-1848 filosof, matematik a logik - univerzitní profesor v Praze). Důvodem, proč se tolik zabýváme funkcemi a proč pokládáme funkce za jeden z nejdůležitějších pojmů matematiky, je přehlednost a snadná použitelnost funkcí jako modelů reálného světa, který nás obklopuje. Ať ve fyzice či ostatních přírodovědných a společenských oborech se vždy snažíme vztahy mezi veličinami svázat do jednoduchého vzorce - funkce. V tomto kurzu se naučíme postup, jak rychle získat graf studované funkce, protože obrázek řekne víc než nějaký vzorec. A dále si vytvoříme atlas tzv. elementárních funkcí, jehož znalost se nám v budoucnu vyplatí úplně stejně jako například atlas hub či motýlů. K dosažení našeho cíle potřebujeme spoustu pojmů. Ty jsou shromážděny právě v této kapitole. Nezbývá než je se s nimi seznámit a osvojit si příslušnou terminologii.
@004 Funkce může být zadána několika způsoby. Vždycky jde o to, abychom u každého reálného čísla x 0 dokázali určit: - zdali patří do definičního oboru x 0 D - jakou má přiřazenu funkční hodnotu f(x 0 ) H A Funkce může být zadána analyticky, tj. vzorcem : f : y 1 1 x 2 g : y 1 0 1 x x x (0; {0} ( ) ;0) k získání funkčních hodnot stačí do předpisu dosadit a vzorec vyčíslit například f(0) = 1, f(1) = f(-1) = 1/2 g(0) = 0, g(1) = g(10) = 1, g(-2) = -1 B Funkce může být zadaná tabulkou (například naměřené hodnoty) Funkce F x 0 5 6 12 15 20 y 7 9 13-1 0 2 Funkční hodnoty, kdy je hodnota x uvedená v tabulce, se získá jejím odečtením; například F(12)=-1, F(5)=9 Získat funkční hodnoty pro x, které v tabulce nejsou uvedeny, je problém. Lze-li to, provedeme další měření. Nelze-li to, nastupují různé metody (interpolace, regrese) a musíme si být vědomi toho, že jde jen o lepší nebo horší odhad. C Funkce může být zadána grafem (empirické údaje z grafických měřících přístrojů)
Úkol: Jaký je rozdíl mezi funkcí y = f(x) a funkční hodnotou y 0 = f(x 0 )? žádný zásadní jen kosmetický
@007 Určete definiční obor funkce f 2 x : y 2 x x x 1 1 Pouze nula ve jmenovateli nám dělá problémy (nulou nelze dělit). Proto musíme řešit rovnici a kořeny vyloučit. x 2 - x + 1 = 0 Diskriminant kvadratické rovnice je D = 1-4 < 0 Z toho vyplývá, že neexistuje reálný kořen, a proto pro žádné reálné číslo nebude jmenovatel nulový => definičním oborem funkce f je celá množina reálných čísel D f = R Množina reálných čísel (definiční obor funkce) má nekonečně mnoho čísel. Tabulku hodnot nejsme schopni pro všechna čísla uvést (to je výhoda vzorce). Vytvoříme tabulku pro několik hodnot. x -1 0 1 2 f: y 0,33 1 3 2,33 Úkol: Zakreslete do soustavy souřadnic body z tabulky a pokuste se načrtnout, jak asi vypadá graf funkce f. výsledek
@010 Právě ukončený příklad názorně ukazuje, že tabulková metoda moc účinná není. Víme-li, že grafem je přímka, pak stačí dva body (dvě funkční hodnoty) tak průběh funkce nakreslíme snadno. Ale jinak? Když se nad tím zamyslíme, pomohlo by nám, nějak vědět, kdy křivka grafu "jde nahoru", "jde dolů", kde má body "zvratu", jakou hodnotu a kdy určitě nepřekročí, a tak podobně. Půjdeme touto cestou. Musíme se však domluvit na terminologii, a proto následuje několik nutných definic. Bude jich hodně, ale je to potřeba. Dobře si je promyslete a prostudujete doprovodné obrázky.
@013 Definice: Říkáme, že funkce f je na intervalu J rostoucí, právě když pro každá dvě čísla z intervalu J platí, že menší číslo má také menší funkční hodnotu x 1,x 2 J : x 1 < x 2 => f(x 1 ) < f(x 2 ) Pozor! Nelze říct, že je funkce rostoucí na sjednocení intervalů J 1 J 2!!! Poznámka: (Jako pěší zleva doprava bychom řekli, že v úseku J cesta stoupá.) Proboha, neříkejte, že funkce je na intervalu stoupající. To se znemožníte! Správně odborně je to funkce rostoucí.
@016 Definice: Říkáme, že funkce f je na intervalu J nerostoucí, právě když pro každá dvě čísla z intervalu J platí, že menší číslo má větší nebo stejnou funkční hodnotu x 1,x 2 J : x 1 < x 2 => f(x 1 ) f(x 2 ) Poznámka: (Cesta v úseku J klesá nebo jde po rovině.)
@019 Poznámka: Aby funkce f mohla být sudá nebo lichá je nutné, aby byla definována na množině M souměrné kolem počátku souřadnic. Graf funkce sudé je osově souměrný podle osy y. Graf funkce liché je středově souměrný podle počátku souřadnic.
@022 Definice: Říkáme, že funkce f má v bodě a lokální minimum, právě když existuje okolí bodu a takové, že všechny funkční hodnoty pro čísla z tohoto okolí jsou větší nebo rovna funkční hodnotě f(a) >0 x U (a) : f(x) f(a) Poznámka: Mluvíme-li o lokálním minimu a maximu dohromady, bez rozlišení, mluvíme o lokálním (místním) extrému.
@025 Funkce f je zdola omezená. Musí mít již nutně také nějaké minimum? Ovšemže nemusí, ale může. Například ze základní školy známá nepřímá úměra 1 f : y pro x x se pro veliká čísla stále blíží k nule, ale nikdy jí nedosáhne. 0
@002 Co je to funkce v matematice? Lze nalézt několik různých definic. Dávají totéž, jen se opírají o jiné znalosti. Nejjednodušší je tento: Definice: Funkce je předpis, který každému reálnému číslu x z množiny D nejvýše jedno reálné číslo y. Číslo y se také označuje y = f(x). R přiřazuje Funkci stručně zapisujeme y = f(x) x D Je-li D = R (celá množina reálných čísel), ještě stručněji y = f(x) Chceme-li zvláště zdůraznit, že jde o funkci f, pak píšeme f: y = f(x) x D f Poznámka: Přesněji je nutné mluvit o reálné funkci jedné reálné proměnné. Ale protože my nebudeme studovat žádnou jinou, budeme mluvit stručně o funkci. Definice: Množina D těch reálných čísel, kterým je přiřazeno funkcí f právě jedno reálné číslo, se nazývá definiční obor funkce f. Definice: Množina H těch reálných čísel y, ke kterým existuje aspoň jedno reálné číslo x z definičního oboru funkce f tak, že y=f(x) se nazývá obor hodnot funkce f. Poznámka: Máme-li více funkcí f, g, h, v jednom příkladu, používáme pro rozlišení dolní indexy D f, D g, D h H f, H g, H h Úkol: Pokuste se nějak znázornit pomocí Vennových diagramů definiční obor a obor hodnot funkce f. výsledek
@005 Jaký je rozdíl mezi funkcí y = f(x) a funkční hodnotou y 0 = f(x 0 )? Řešení: Zásadní! y = f(x) to je funkce (definiční obor, obor hodnot, přiřazovací předpis) y 0 = f(x 0 ) to je číslo (jedna hodnota y 0 z oboru hodnot) Definice: Dvě funkce f a g se sobě rovnají (zapíšeme f=g) právě když 1) se rovnají definiční obory D f = D g 2) pro každé číslo x 0 z definičního oboru se sobě rovnají jejich funkční hodnoty y 0 = f(x 0 ) = g(x 0 ) Poznámka: Pozor rozlišujte f = g rovnost funkcí (stejné def. obory, stejné funkční hodnoty) f(x 0 ) = g(x 0 ) rovnost čísel (funkčních hodnot pro jedno x 0 ) f(x) = g(x) rovnice (hledáme čísla x 0, pro která bude platit rovnost čísel)
@008 Jak pospojovat izolované body z tabulky? V obrázku jsou tři odhady grafu funkce. Všechny mohou platit, protože křivky procházejí oněmi čtyřmi známými body. Mohli bychom vypočítat další souřadnice grafu rozšířením tabulky a graf tak zpřesnit, ale tento postup bude vždycky zatížen až absurdní chybou. Musíme si osvojit jinou metodu, jak získat graf funkce, která je zadaná předpisem.
@011 Definice: Funkce f se nazývá prostá, právě když pro každá dvě různá čísla definičního oboru dává různé funkční hodnoty x 1,x 2 D f : x 1 x 2 => f(x 1 ) f(x 2 ) Poznámka: Každá přímka rovnoběžná s osou x protíná graf prosté funkce nejvýše v jednom bodě.
@014 Definice: Říkáme, že funkce f je na intervalu J neklesající, právě když pro každá dvě čísla z intervalu J platí, že menší číslo má menší nebo stejnou funkční hodnotu x 1,x 2 J : x 1 < x 2 => f(x 1 ) f(x 2 ) Poznámka: Od předchozí definice se liší přidanou rovností: rostoucí <, neklesající Laicky lze říct, že rostoucí a(nebo) konstantní = neklesající. Poznámka: (Cesta v úseku J stoupá :-x nebo jde po rovině.)
@017 Definice: Říkáme, že funkce f je na intervalu J ryze monotonní právě když je na intervalu J rostoucí nebo klesající. Definice: Říkáme, že funkce f je na intervalu J monotonní právě když je na intervalu J rostoucí nebo nerostoucí nebo neklesající nebo klesající. Úkol: O funkci víme, že je na celém definičním oboru ryze monotonní. Lze tvrdit, že je prostá? ne ano
@020 Okolí bodu Další definice se týkají "malých" intervalů, kterým říkáme okolí. Definice: -okolím bodu a R, kde > 0, rozumíme množinu U (a) = {x R; x - a < } = {x R; a- < x < a+ } Poznámka: Nehledejte v tom nic složitého. Prostě vezmete do kružítka velikost, zapíchnete kružítko do bodu a, opíšete kružnici. -okolím je pak vnitřek opsaného kruhu. Protože se ale pohybujeme pouze po přímce (ose x), -okolím je průnik popsaného kruhu s osou x, tedy úsečka s bodem a uprostřed. -okolí má v matematice smysl pro hodně malá čísla.
@023 Definice: Říkáme, že funkce f je shora omezená, právě když existuje reálné číslo K a platí, že na celém definičním oboru jsou všechny funkční hodnoty menší nebo rovny K K R x D f : f(x) K
@026 Definice: Mějme funkci f, pro kterou je splněno tvrzení (její funkční hodnoty se po čase p znovu stejně opakují a opět, a opět) p>0 x D f : f(x+p) = f(x) Pokud lze ze všech takových čísel p nalézt minimum, tj. nalézt nejmenší kladné číslo p>0 splňující definiční vztah, funkce se nazývá periodická a číslo p se nazývá perioda.
@003
@006 Člověk nejvíce informací vnímá očima. (Druhá věc je, jak je umí vyhodnotit.) Proto i funkce nejraději vnímáme graficky. Definice: Grafem funkce f rozumíme obraz množiny (všech bodů [x; f(x)], kde x D) v rovině opatřené souřadnou soustavou. {[x; y]; x D, y H, y=f(x)} Problém je, jak k dané funkci sestrojit její graf. Na základní škole jste vytvořili tabulku pro několik vybraných hodnot a ty jste pak spojili jednoduchou čarou. Zkusme stejnou metodu pro funkci f 2 x : y 2 x x x 1 1 Úkol: Určete definiční obor, tj. množinu reálných čísel, pro která má předpis smysl (budeme určovat vždy ten největší možný) funkce f. výsledek
@009 Čárkovaná čára je asymptota, kterou graf vlevo i vpravo nemůže překročit.
@012 Definice: Říkáme, že funkce f je na intervalu J konstantní, právě když pro všechna čísla z intervalu J dává stejnou funkční hodnotu x 1,x 2 J : f(x 1 ) = f(x 2 ) J symbolizuje jakýkoli souvislý interval: otevřený, uzavřený, polouzavřený, neomezený. Poznámka: Graf funkce konstantní na intervalu J je na intervalu J rovnoběžný s osou x. (Jako pěší zleva doprava bychom řekli, že jdeme v úseku cesty J po rovině.)
@015 Definice: Říkáme, že funkce f je na intervalu J klesající, právě když pro každá dvě čísla z intervalu J platí, že menší číslo má větší funkční hodnotu x 1,x 2 J : x 1 < x 2 => f(x 1 ) f(x 2 ) Poznámka: (Jako pěší zleva doprava bychom řekli, že v úseku J cesta klesá.)
@018 O funkci víme, že je na celém definičním oboru ryze monotonní. Lze tvrdit, že je prostá? Ano, lze. Ryze monotonní = rostoucí nebo klesající funkce, tedy platí, že dvěma různým číslům přiřazuje dvě různé funkční hodnoty (větší nebo menší), a proto je prostá. Definice: Říkáme, že funkce f definovaná na množině M je sudá právě když x M : f(-x) = f(x) Definice: Říkáme, že funkce f definovaná na množině M je lichá právě když x M : f(-x) = -f(x) Poznámka: Sudá funkce dává stejné hodnoty bez ohledu na znaménko, maže znaménko. Například y = x 2, protože (-x) 2 = x 2 Lichá funkce znaménko vystrkuje například y = x 3, protože (-x) 3 = -x 3
@021 Definice: Říkáme, že funkce f má v bodě a lokální maximum, právě když existuje okolí bodu a takové, že všechny funkční hodnoty pro čísla z tohoto okolí jsou menší nebo rovna funkční hodnotě f(a) >0 x U (a) : f(x) f(a) Poznámka: Prostě funkční hodnota f(a) je v nejbližším okolí (dostatečně malém, třeba miniaturním, hlavně že takové okolí existuje) největší hodnotou.
@024 Definice: Říkáme, že funkce f je zdola omezená, právě když existuje reálné číslo K a platí, že na celém definičním oboru jsou všechny funkční hodnoty větší nebo rovny K K R x D f : f(x) K Definice: Říkáme, že funkce, která je omezená zdola i shora, je omezená. Úkol: Funkce f je zdola omezená. Musí mít již nutně také nějaké minimum? ne ano
@027 Jedním cílem této lekce je dovednost rychlého kreslení grafů funkcí. Abychom nakreslili dobře průběh funkce (její graf) musíme si všímat a) hraničních bodů definičního oboru, často to jsou - a +, b) bodů, kdy je ve jmenovateli 0, případně bodů něčím jiným důležitých c) najít body s lokálními minimy a lokálními maximy d) hledat intervaly, kde je funkce konstantní, rostoucí, klesající e) je-li funkce sudá, lichá nebo periodická To všechno nám dovolí zpřesnit náš náčrtek průběhu studované funkce. Výsledky si budeme zaznamenávat do přehledné tabulky - viz dále. Jak ale zmíněné body nalézt? Jak zjistit, kde je funkce monotónní? Matematika má prostředek, jak to zjistit. My si musíme nejprve tento prostředek osvojit. Seznámíme se s ním v další kapitole. KONEC LEKCE