Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako dvojrozměrný objekt ve třírozměrném eventuelně vícerozměrném prostoru, jehož body je možné popsat dvojicí souřadnic Například každý bod na povrchu koule můžeme popsat jeho zeměpisnou šířkou a zeměpisnou délkou V aplikacích se pojmu plochy používá pro modelování těles, která mají jeden rozměr zanedbatelný vůči rozměrům ostatním Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky složitější objekt Jeho studium vyžaduje komplikovanější matematický aparát V našem výkladu se proto omezíme na jednodušší typy ploch, které vzniknou sjednocením konečně mnoha grafů spojitě diferencovatelných funkcí Tato restrikce není příliš omezující z hlediska inženýrských aplikací, neboť téměř všechny potřebné plochy je možno reprezentovat tímto způsobem Čtenáře, který by se chtěl seznámit s teorií ploch v její plné obecnosti odkazujeme na učebnici [] Základním prototypem plochy pro nás je graf C 1 funkce dvou proměnných tedy množina definovaná rovností z = g(x, y) Jedna z takovýchto ploch je znázorněna např na obrázku 11 alší příklady je možno získat záměnou souřadnic, tedy jako grafy funkcí, jejichž definičním oborem je základní oblast v rovině yz nebo xz Takovéto plochy budeme nazývat elementárními plochami efinice 81 Množina M R 3 se nazývá elementární plochou, jestliže platí alespoň jedna z následujících rovností (i) M = {(x, y, z) z = g 1 (x, y), (x, y) 1 }, kde g(x, y) je funkce spojitá na základní oblasti 1 R a třídy C 1 na vnitřku 1, (ii) M = {(x, y, z) x = g (y, z), (y, z) }, kde g (y, z) je funkce spojitá na základní oblasti R a třídy C 1 na vnitřku, (iii) M = {(x, y, z) y = g 3 (x, z), (x, z) 3 }, kde g 3 (x, z) je funkce spojitá na základní oblasti 3 R a třídy C 1 na vnitřku 3 117

118 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH Krajem K(M) elementární plochy M dané grafem funkce g na oblasti rozumíme množinu K(M) = {(x, y, z) (x, y), z = g(x, y)}, kde je hranice oblasti (viz [1], efinice 13 nebo efinice 111) Připomeňme, že vnitřek množiny R n jsou všechny body z kromě hraničních, tj \ Tři podmínky z efinice 81 zní možná složitě, ale říkají přesně to, že elementární plocha je část grafu funkce dvou proměnných při vhodném natočení Vezměme si například krychli Její horní stěna je elementární plocha, neboť je to část grafu dokonce konstantní funkce Pokud by v efinici 81 byl pouze bod (i), museli bychom vyloučit například boční stěnu této krychle z elementárních ploch Boční stěna, co by plocha, není o nic složitější než horní Vylučovat ji by bylo nelogické Proto jsou do definice přidány body (ii) a (iii), které zahrnují do elementárních ploch ploch i nevhodně natočené grafy funkce g(x, y) Příklad 8 (i) Množina M = {(x, y, z) z = 1 x y, x y 1} je grafem funkce g(x, y) = 1 x y definované na základní oblasti, kterou je kruh se středem v počátku a poloměrem 1 Množina M je tedy elementární plocha (horní polosféra), jejímž krajem je kružnice { } K(M) = (x, y, z) x y = 1, z = (ii) Množina M = { } (x, y, z) y = 1 x, x, z 1 je definována jako graf funkce g(x, z) = 1 x, jejímž definičním oborem je jednotkový čtverec {(x, z) x, z 1} v rovině xz Tato plocha je částí povrchu válce s osou z a poloměrem 1 Krajem této plochy je uzavřená křivka, která vznikne sjednocením dvou rovnoběžných úseček a dvou oblouků kružnice efinice a výpočet obsahu plochy Hlavním cílem této části je definovat základní kvantitativní charakteristiku plochy její obsah alším úkolem bude nalézt integrální vyjádření Tato úloha je analogická problému stanovit délku křivky Vzhledem ke dvourozměrnému charakteru ploch nás její řešení zavede ke dvojnému integrálu Stejně jako v předchozích kapitolách budeme obsah elementární plochy definovat axiomaticky Označme symbolem S(g, ) hledaný obsah elementární plochy dané grafem funkce g na základní oblasti Je jasné, že zobrazení, které dvojici (g, ) přiřadí číslo S(g, ) vyhovuje axiomu aditivity Tedy (A) S(g, ) = S(g, 1 ) S(g, ),

EFINICE A VÝPOČET OBSAHU PLOCHY 119 kde 1, je rozklad na základní oblasti nemající společný vnitřní bod Pokusme se nyní zjistit, jak se velikost obsahu plochy mění v závislosti na charakteru funkce g Podívejme se na následující obrázek obr 81 z z x y x y (a) Obr 81 Máme pocit, že obsah plochy na obrázku (b) je větší než obsah plochy na obrázku (a) Je to způsobeno tím, že jedna z ploch je grafem funkce s větším růstem Intuitivně se tak přikláníme k názoru (exaktně ověřitelném například pro části rovin nebo rotační tělesa), že graf funkce bude mít větší obsah při větším stoupání čí klesání dané funkce Protože mírou rychlosti změny funkce je velikost jejího gradientu, viz ([1]), Kapitola 5, jsme vedeni k pozorování, že (M ) S(g, ) S(h, ), kdykoliv grad g grad h na oblasti Ukážeme, že pro jednoznačné určení obsahu postačí dokonce vyžadovat nerovnost (M ) v případě, kdy grafem funkce h je část roviny Proto se pokusíme nejprve stanovit obsah S(h, ) Předpokládejme tedy, že plocha M je grafem funkce h(x, y) = ax by, jejímž definičním oborem je základní oblast v rovině xy Jedná se o rovinnou plochu, která je součástí roviny ϱ s rovnicí z = ax by Typický příklad takovéto plochy je znázorněn na obr 8 (b) z M ϱ y x Obr 8

1 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH Na plochu M se můžeme dívat jako na oblast v rovině ϱ, která vznikne promítnutím oblasti do roviny ϱ ve smyslu rovnoběžného promítání ve směru osy z V rovině ϱ můžeme zavést kartézský systém souřadnic (libovolným způsobem) a chápat ji tak jako kopii dvourozměrného prostoru R Označme si jako e 1 a e jednotkové a kolmé vektory ležící v ϱ Označme dále symbolem Φ příslušnou projekci, tj zobrazení, jež každému bodu (x, y) základní souřadnicové roviny xy přiřadí bod na rovině ϱ, který je průmětem bodu (x, y) do roviny ϱ při rovnoběžném promítání ve směru osy z, Φ(x, y) = (x, y, ax by) Zobrazení Φ budeme chápat jako zobrazení z R do R, Φ(x, y) = (Φ 1 (x, y), Φ (x, y)), jehož složky jsou dané rovnicí (x, y, ax by) = Φ 1 (x, y) e 1 Φ (x, y) e Z geometrické podstaty je ihned vidět, že Φ zachovává aritmetické operace s vektory, což znamená, že Φ je lineární Linearitu lze také snadno ověřit přímo ze vzorce pro Φ Jakobián Φ je pro lineární zobrazení konstantní funkce, viz 31 le pravidla o substituci v integrálu použité na zobrazení Φ máme (81) S(h, ) = 1 = Φ = Φ obsah(), Φ() Jinými slovy, obsah Φ() je vždy je Φ násobek obsahu, tedy (8) obsah(φ()) = Φ obsah() Tento vztah říká, že poměr obsahů původního a promítnutého obrazce je vždy konstantní a roven jakobiánu Φ Představme si nyní na okamžik, že je jednotkový čtverec, 1, 1 V tomto případě je Φ() rovnoběžníkem, jehož strany jsou dány vektory u = (1,, a) a v = (, 1, b) Z analytické geometrie víme, že obsah tohoto rovnoběžníku je velikost vektorového součinu u v Tedy (83) obsah(φ()) = u v = ( a, b, 1) = 1 a b Vzhledem k tomu, že obsah() = 1 dostáváme tak z (8), že Φ = 1 a b Na základě (8) a předchozí rovnosti máme pro obecnou základní oblast následující vztah (84) S(h, ) = 1 a b obsah()

EFINICE A VÝPOČET OBSAHU PLOCHY 11 Po stanovení obsahu rovinné plochy se můžeme opět vrátit k principu monotonie (M ) Předpokládejme, že existuje bod (x, y ) v oblasti, ve které je velikost gradientu funkce g maximální Tedy nechť Položíme-li nyní funkci h(x, y) grad g(x, y ) = max( grad g(x, y) ) h(x, y) = g (x, y ) x g (x, y ) y, (x, y), pak h(x, y) popisuje rovinu rovnoběžnou s tečnou rovinou ke grafu funkce g sestrojenou v bodě s největší velikostí grad g Geometricky to znamená, že tato rovina je nejstrmější ze všech tečných rovin grafu funkce g Podle předchozích úvah s volbou a = g (x, y ), b = g (x, y ) je (85) S(h, ) = 1 ( ) g ( ) g (x, y ) (x, y ) obsah() Víme rovněž, že grad h(x, y) = grad g(x, y ), a tak grad g grad h Podle (M ) je pak S(g, ) S(h, ) Spojením s (85) máme tak konečně nerovnost S(g, ) max 1 obsah() Zcela analogická úvaha pro minimum funkce grad g pak v závěru implikuje nerovnosti (M) min 1 obsah() S(g, ) max 1 obsah() Nyní se zdá, že už máme vlastnosti (A) a (M), které jsme hledali Je tu však maličkost kazící dojem V průběhu analýzy celé situace jsme v jednom okamžiku řekli: Nechť (x, y ) je bod z, ve kterém je grad g maximální Takový bod ovšem nemusí existovat Příkladem je např horní polosféra daná funkcí g(x, y) = 1 x y, = {(x, y) x y 1} Bezprostředním výpočtem zjistíme, že grad g je na shora neomezená funkce ůvod našich potíží spočívá v tom, že jsme od funkce g požadovali, aby byla třídy C 1 pouze na vnitřku Abychom se vyhnuli této nepříjemnosti, budeme definovat obsah nejprve pro speciálnější elementární plochy a pak ho rozšíříme na všechny elementární plochy V následující definici tak budeme požadovat, aby uvažovaná elementární plocha byla dána funkcí třídy C 1 na (Připomeňme si, že to znamená, že existuje otevřená množina G obsahující, na které je funkce g třídy C 1 ) To zaručí existenci minima i maxima grad g na

1 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH efinice 83 Zobrazení, které každé elementární ploše M dané grafem funkce g třídy C 1 na základní oblasti přiřadí číslo S(g, ), se nazývá obsah plochy M, jestliže splňuje následující axiomy: (A) aditivita S(g, ) = S(g, 1 ) S(g, ), kdykoliv 1, tvoří rozklad oblasti na základní oblasti 1 a bez společného vnitřního bodu; (M) monotonie min 1 obsah() S(g, ) max 1 obsah() Nyní, jak už jsme v axiomatické metodě zvyklí, musíme ukázat, že efinice 83 vůbec něco definuje Věta 84 Zobrazení S(g, ) z efinice 83 existuje a je jediné Platí přitom, že pro každou elementární plochu M danou C 1 funkcí g na základní oblasti je (86) obsah(m) = S(g, ) = 1 ůkaz Existence alespoň jednoho takového zobrazení je snadná V (86) máme takového kandidáta přímo uvedeného Musíme jen ověřit, že splňuje axiomy (A) a (M) Aditivita vyplývá z vlastnosti dvojného integrálu Počítáme-li integrály přes 1 a tvořící rozklad základní oblasti, dostaneme v součtu integrál přes Podobně jednoduchá je verifikace monotonie: 1 ( g ) max 1 = max 1 1 = obsah() Zbývá tak dokázat jednoznačnost takového S(g, ) To se děje pomocí metody horních a dolních součtů Takový postup jsme v předchozím textu prováděli detailně alespoň dvakrát a alespoň jednou ho ještě budeme provádět Proto se nyní omezíme na konstatování, že i zde tato metoda dá jednoznačnost zobrazení S(g, ) Příklad 85 Určete obsah S kulového vrchlíku M = {(x, y, z) R 3 x y z = 1, x y 1/}

EFINICE A VÝPOČET OBSAHU PLOCHY 13 Přitom a tedy Uvedená plocha je grafem funkce Podle Věty 84 máme g(x, y) = 1 x y, kde x y 1 g x (x, y) = 1 1 x y, S = = g y (x, y) = 1 1 x y 1 1 x y Zvolme pro výpočet tohoto integrálu polární souřadnice Pak S = π 1/ ϱ 1 ϱ dϱ dϕ = π [ 1 ϱ ] 1/ 1 x y ( ) 3 = π 1 Před efinicí 83 jsme slíbili, že zjistíme, jak spočítat obsah elementární plochy bez dodatečného omezení o diferencovatelnosti integrované funkce na celé základní oblasti Stejný trik jsme již užili v závěru Kapitoly Mějme základní oblast danou např = {(x, y) R x a 1, a, s 1 (x) y s (x)}, s 1 (x) < s (x) na a 1, a, která je na obrázku 3(a) Nechť g je funkce třídy C 1 na vnitřku Označíme n = {(x, y) R x a 1 1 n, a 1, s 1 (x) 1 n n y s (x) 1 } n Pak n jsou základní oblasti obsažené ve vnitřku, viz obr 83 s (x) 1 n 1 n 1 n n 1 n s 1 (x) a 1 a Obr 83

14 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH ále, n n1 a jejich sjednocení n=1 n dá celý vnitřek základní oblasti Funkce g je tak třídy C 1 na každém n Elementární plochy M n dané funkcí g nad n se postupně zvětšují až vyplní celou plochu M až na její kraj K(M) Obsahy ploch M n se tím blíží k hledanému obsahu plochy M Položíme tedy obsah(m) = lim n obsah(m n) Věta 84 dovoluje spočítat obsahy M n, a tak lim obsah(m n) = lim 1 n n n = 1 Proto prohlásíme, že obsah elementární plochy M dané funkcí g třídy C 1 na vnitřku základní oblasti je (87) obsah(m) = 1 Vidíme, že vzorec je zcela stejný jako v případě elementární plochy dané C 1 funkcí na Rozdíl spočívá v tom, že v předešlém případě vychází obsah vždy konečný, zatímco v případě obecné elementární plochy může být obsah nekonečný Při výpočtu integrálu představujícího obsah plochy se často používají jiné než kartézské souřadnice V Příkladu 85 jsme v průběhu výpočtu přešli k souřadnicím polárním Protože popis plochy v jiných než kartézských souřadnicích je velice užitečný, odvodíme si v dalším výkladu vyjádření obsahu přímo pomocí nově zavedených souřadnic Před přesnou formulací tohoto pravidla se podívejme na geometrický význam výrazu 1 ( g ) ( g ), který se v integrálním vyjádření obsahu vyskytuje Vektor ( g, g, 1) je normálový vektor ke grafu funkce g(x, y) směřující vzhůru Vidíme tak, že výraz 1 není nic jiného než velikost normálového vektoru indukovaného kartézskou parametrizací dané plochy Věta 84 tak vlastně říká, že obsah plochy spočítáme integrací velikosti kanonického normálového vektoru Víme, že normálový vektor ( g, g, 1) vznikl jako vektorový součin následujících dvou tečných vektorů: (1,, g g ) a (, 1, ) Tedy ( (88) 1 = 1,, g ) (, 1, g ) Při popisu kartézskými souřadnicemi je elementární plocha dána jako obraz Φ() základní oblasti R, prostřednictvím zobrazení Φ(x, y) = (x, y, g(x, y)), (x, y)

EFINICE A VÝPOČET OBSAHU PLOCHY 15 Zobrazení Φ se často nazývá kartézská parametrizace dané plochy Pro parciální derivace tohoto zobrazení platí: ( = 1,, g ), ( =, 1, g S tímto novým značením a pomocí (88) můžeme integrální vyjádření obsahu přepsat do tvaru (89) S(f, ) = Vidíme tedy, že obsah plochy můžeme chápat jako integrál z velikosti vektorového součinu parciálních derivací její kartézské parametrizace Nyní se podívejme na alternativní způsob popisu plochy Plocha M může být popsána systémem rovnic x = Φ 1 (s, t), y = Φ (s, t), z = Φ 3 (s, t), (s, t) T Uvedeným rovnicím se říká parametrizace elementární plochy M vzhledem k souřadnicím (parametrům) s, t Hodnoty dvojice parametrů (s, t) jsou brány ze zadané základní oblasti T Často budeme užívat následující stručný zápis: Zavedeme vektor Φ(s, t) = ( Φ 1 (s, t), Φ (s, t), Φ 3 (s, t) ) Pak Φ je vlastně zobrazení Φ: T M, neboť každé dvojici parametrů přiřazuje bod na ploše M Pro elementární plochu danou grafem funkce g na základní oblasti vždy platí (81) Φ 3 = g(φ 1, Φ ), což vznikne dosazením za x, y a z do rovnice z = g(x, y) Speciálně vidíme, že první dvě složky (Φ 1, Φ ) parametrizace Φ představují zobrazení základní oblasti T do : ( ) Φ 1 (s, t), Φ (s, t) pro každé (s, t) T Následující tvrzení říká, že rovnost (89) platí pro parametrický popis daný jakýmkoliv jiným systémem souřadnic Tvrzení 86 Nechť M je elementární plocha daná funkcí z = g(x, y) definované v základní oblasti R Nechť Φ = (Φ 1, Φ, Φ 3 ): T R 3 je spojitá parametrizace plochy M Předpokládejme, že Φ je třídy C 1 na vnitřku T a že zobrazení θ = (Φ 1, Φ ): T je prosté a má nenulový jakobián θ na vnitřku T Pak (811) obsah(m) = T )

16 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH Poznámka 87 Kdyby elementární plocha M byla dána např jako graf funkce typu x = g(y, z), pak zobrazení θ bude vytvořeno ze složek Φ a Φ 3 Obecně bude θ vytvořeno z těch složek parametrizace Φ, které odpovídají nezávisle proměnným u funkce popisující elementární plochu ůkaz ůkaz Tvrzení 86 je založen na použití věty o substituci pro dvojný integrál Víme, že obsah(m) = 1 Zobrazení θ : T představuje přechod od souřadnic s, t ke kartézským souřadnicím x, y θ(s, t) = ( Φ 1 (s, t), Φ (s, t) ) Rozepsáno ve složkách x = Φ 1 (s, t) y = Φ (s, t) První krok důkazu bude spočívat ve vyjádření výrazu v kartézských souřadnicích Rovnice (81) udává vztah mezi složkami parametrizace Φ Proto Nyní můžeme začít počítat Analogicky Φ = ( Φ 1, Φ, g(φ 1, Φ ) ) ( = 1,, g 1 g ( = 1,, g 1 g ) ) Provedeme vektorový součin obou výše uvedených vektorů Když členy, které se navzájem odečítají již nebudeme uvádět, dostaneme = (( 1 = Protože 1 1 ) ( g, 1 1 ( 1 = 1 = det ) g, 1 můžeme poslední rovnost přepsat ve tvaru ( ) ( = det J θ g ) (81), g, 1 1 1 1 = det J θ, ) ( ) 1 = g ), g, 1

EFINICE A VÝPOČET OBSAHU PLOCHY 17 Proto (813) = θ 1 Podle předpokladu θ na vnitřku Můžeme tak psát (814) 1 = 1 θ ále, zobrazení θ je prosté na vnitřku Tím jsou splněny předpoklady Věty 31 o substituci pro θ Jejím použitím spolu s uvážením (814) dostáváme následující rovnosti: ( ) g obsah(m) = 1 = 1 = Tím je důkaz ukončen 1 θ = θ T T θ(t ) Při popisu geometrických útvarů, které intuitivně řadíme k plochám však s elementárními plochami nevystačíme Kulovou plochu není například možné vyjádřit jako graf funkce žádné z dvojic proměnných Lze ji však na druhé straně vyjádřit jako sjednocení elementárních ploch, horní a dolní polosféry Jsme tak vedeni k myšlence definovat plochy jako sjednocení konečně mnoha ploch elementárních Je přirozené přitom požadovat, aby jednotlivé elementární plochy na sebe navazovaly svými kraji Formálním vyjádřením těchto požadavků je následující definice: efinice 88 Souvislá množina M R 3 se nazývá plocha, jestliže existují elementární plochy M 1, M,, M k takové, že (i) M = M 1 M M k ; (ii) Je-li i j, pak M i M j K(M i ) K(M j ), přičemž průnik M i M j je buďto křivka nebo konečná či prázdná množina; Množinu elementárních ploch {M 1, M,, M k } splňujících výše uvedené požadavky nazýváme rozkladem plochy M Rozklad plochy M na elementární plochy M 1, M,, M k není jednoznačný Plochu M lze rozložit mnoha způsoby To je však z našeho hlediska nedůležité, neboť lze dokázat, že jak obsah tak i později integrace přes takovou plochu nezávisí na způsobu rozkladu Příklad 89 (i) Kulová plocha M = {(x, y, z) x y z = r }, o poloměru r >, je uzavřenou plochou Jeden z jejích rozkladů je M 1 = {(x, y, z) R 3 z = 1 x y, x y 1} M = {(x, y, z) R 3 z = 1 x y, x y 1}

18 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH (ii) Povrch krychle se skládá ze šesti stěn, z nichž každá je elementární plochou (iii) Sjednocení čtverců M 1 =, 1, 1 {} a M = {}, 1, 1 je plocha složená ze dvou elementárních ploch Každou plochu danou parametricky můžeme rozložit na elementární plochy dané parametricky Pro tyto elementární plochy platí Tvrzení 86 Protože součet obsahů elementárních ploch je roven obsahu plochy dostáváme z aditivity integrálu vůči integračnímu oboru obecnější tvrzení Věta 81 (Obecná parametrizace) Nechť M R 3 je plocha se spojitou parametrizací Φ: T M třídy C 1 a prostou na vnitřku základní oblasti T R Pak obsah(m) = T Příklad 811 Určete obsah S povrchu koule o poloměru r > aná kulová plocha je popsána rovnicí x y z = r Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že střed je v počátku souřadnicového systému Pro popis této sféry je výhodné použít sférických souřadnic (ϕ, ϑ) Přitom (815) x = r cos ϕ cos ϑ (= Φ 1 (ϕ, ϑ)) y = r sin ϕ cos ϑ (= Φ (ϕ, ϑ)) z = r sin ϑ (= Φ 3 (ϕ, ϑ)), kde (ϕ, θ), π π/, π/ Čtenář si jistě povšiml, že jsme použili jinou variantu sférických souřadnic než v Kapitole 4, (44) Z geometrického významu rovnic (815) je vidět, že parametrizace Φ je prostá na (, π) ( π/, π/): Parametr θ udává zeměpisnou délku a φ zeměpisnou šířku bodu na sféře Pokud nejsme na pólech nebo na nultém poledníku, má bod jednoznačně určené hodnoty (φ, θ) Podle Věty 81 S = ϕ ϑ Vzhledem k tomu, že,π π/,π/ ϕ = ( r sin ϕ cos ϑ, r cos ϕ cos ϑ, ) ϑ = ( r cos ϕ sin ϑ, r sin ϕ sin ϑ, r cos ϑ) ϕ ϑ = r (cos ϑ cos ϕ, cos ϑ sin ϕ, sin ϑ cos ϑ),

3 CVIČENÍ 19 dostáváme (816) ϕ ϑ = r cos ϑ Závěrem je tedy S = π π/ π/ r cos ϑ dϑ dϕ = πr [sin ϑ] π/ π/ = 4πr Poznámka 81 Poznamenejme, že k výpočtu velikosti vektorového součinu se často používá identita (817) u v = u v ( u v) Tato rovnost umožní výpočet velikosti normálového vektoru, aniž tento vektor přímo stanovíme Je to obzvlášť výhodné pro kolmé vektory u a v Pak je u v = a u v = u v 3 Cvičení Úloha Určete obsah S rovinné plochy popsané podmínkami z = ax by, x y 1 (a, b, Řešení Uvedená plocha je elipsa, která je průnikem roviny o rovnici z = ax by a válce zadaného nerovností x y 1 Vzhledem k tomu, že se jedná o graf funkce g(x, y) = ax by definované na kruhu = {(x, y) x y 1}, můžeme bezprostředně využít (84) a dostat tak S = 1 a b obsah() = π 1 a b Úloha Určete obsah části hyperboloidu kde x y 1 z = xy, Řešení Jedná se o elementární plochu, která je grafem funkce g(x, y) = xy,

13 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH jejíž definiční obor je jednotkový kruh = {(x, y) x y 1} Podle Věty 84 je S = 1 x y Pro výpočet tohoto integrálu je vhodné použít polární souřadnice x = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ, kde ϕ, π, ϱ, 1 ostáváme tak 1 x y = π 1 1 1 ϱ ϱ dϱ dϕ = π = 3 π [ (1 ϱ ) 3 ] 1 = 3 π( 1) ϱ 1 ϱ dϱ Úloha Určete obsah S stěny nádoby tvaru rotačního paraboloidu z = 1 (x y ), x y 1 Řešení Přímou aplikací vztahu (86) dostaneme (818) S = 1 x y, kde je jednotkový kruh Úloha vede ke stejnému integrálu jako v předchozím příkladě Proto S = 3 π( 1) Pro srovnání si nyní ukážeme alternativní způsob výpočtu založený na popisu zadané plochy v cylindrických souřadnicích x = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ, z = z; kde ϕ, π, ϱ > V těchto souřadnicích je plocha vymezena podmínkami z = 1 ϱ, ϱ, 1, ϕ, π Pro použití vztahu (811) je třeba stanovit parciální derivace parametrizace Φ(ϱ, ϕ) = Jednoduchým výpočtem dostaneme ( ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ, 1 ϱ) ϱ = (cos ϕ, sin ϕ, ϱ); = ( ϱ sin ϕ, ϱ cos ϕ, ) ϕ

3 CVIČENÍ 131 Při výpočtu vektorového součinu je možno použít vztah (817) ϱ ϕ = (1 ϱ )ϱ = ϱ 1 ϱ Pak konečně S = π 1 ϱ 1 ϱ dϱdϕ Všimněme si, že tento integrál je vyjádřením integrálu (818) v polárních souřadnicích Jeho vyčíslením tedy musíme dospět ke stejnému výsledku Úloha Určete velikost plochy zadané vztahy y z = 4ax, z, y ax, x 4a, a >, Řešení Nejvýhodnější způsob jak uvedený obsah spočítat je reprezentovat zadanou plochu jako graf funkce proměnných y a z, tedy funkce x = h(y, z) = 1 4a (y z ) Jejím definičním oborem je průmět dané plochy do souřadnicové roviny yz Pokusme se tento průmět stanovit na základě zadaných nerovností Z podmínky x 4a máme (819) Z nerovnosti y ax dostaneme Po úpravě (8) 1 4a (y z ) 4a, a tedy y z 16a y a 4a (y z ) = 1 4 (y z ) 3 4 y z 4, tj z 3 y Spojení podmínek (819) a (8) implikuje, že je kruhová výseč omezená kružnicí se středem v počátku o poloměru 4a a dvojicí polopřímek z = 3y, y ; z = 3y, y Z Věty 86 máme S = 1 ( ) h ( ) h = z Přechodem k polárním souřadnicím pak dostáváme S = 1 a π/3 4a π/3 4a ϱ ϱ dϱ dϕ = π 6a 1 4a a y z [ ] 1 4a 3 (4a ϱ ) 3/ = 4 9 πa ( 15 1)

13 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH Úloha Stanovte jakou část zemského povrchu představuje oblast mezi 3 o a 31 o severní šířky a o a 1 o východní délky Řešení Zadaný problém budeme řešit obecně jako otázku obsahu části kulové plochy o poloměru r >, která je ve sférických souřadnicích x = r cos ϕ cos ϑ y = r sin ϕ cos ϑ z = r sin ϑ vymezena intervaly ϕ ϕ 1, ϕ, ϑ ϑ 1, ϑ Využitím (816) a goniometrických identit dostáváme pro hledaný povrch S vztahy S = ϕ ϑ ϕ 1 ϑ 1 r cos ϑ dϑ dϕ = (ϕ ϕ 1 )r [sin ϑ] ϑ ϑ 1 = ( = (ϕ ϕ 1 )r ϑ1 ϑ cos Pro hledaný poměr u tedy platí ( ) ( ) (ϕ ϕ 1 )r cos ϑ1 ϑ sin ϑ ϑ 1 u = 4πr = ) sin ( ϑ ϑ 1 ) ( ) (ϕ ϕ 1 ) cos ϑ1 ϑ π ( ) sin ϑ1 ϑ Pro zadané numerické hodnoty (ϕ 1 = 18 π, ϕ = 1 18 π, ϑ 1 = 3 18 π, ϑ = 31 18π) je u = π 61π 18 cos 36 sin π 36 π =, 855 1 5 Úloha Nalezněte obsah povrchu S anuloidu, jehož průřez má poloměr R, přičemž vzdálenost středu průřezové kružnice od jeho osy je R 1 (R 1 > R ) Řešení K popisu této plochy se hodí souřadnice (ϕ, ψ), kde ϕ je úhel popisující polohu bodu v průřezové kružnici a ψ je úhel určující otočení vzhledem k ose z, viz obr 84 z R ϕ x ψ R 1 y Obr 84

3 CVIČENÍ 133 Tedy x = (R 1 R cos ϕ) cos ψ y = (R 1 R cos ϕ) sin ψ z = R sin ϕ (= Φ 1 (ϕ, ψ)) (= Φ (ϕ, ψ)) (= Φ 3 (ϕ, ψ)), kde (ϕ, ψ), π, π Platí, že ϕ = (R sin ϕ cos ψ, R sin ϕ sin ψ, R cos ϕ) ψ = ( (R 1 R cos ϕ) sin ψ, (R 1 R cos ϕ) cos ψ, ) Vzhledem k tomu, že ϕ = R, ψ = R 1 R cos ϕ, ϕ ψ = máme Konečně, S = ϕ ψ = R (R 1 R cos ϕ) π π Stanovte obsah následujících ploch: R (R 1 R cos ϕ) dϕ dψ = 4π R 1 R 1 průniku roviny o rovnici z = xy s eliptickým válcem daným nerovnicí x 9 y 16 1; grafu funkce f(x, y) = x a, b, c > ; a y b definované na množině dané nerovností x a y b c 3 části kulové plochy o rovnici x y z = r, kterou z ní vytíná válec určený podmínkami x y rx, z ; 4 plochy dané parametrickým vyjádřením x = u cos v, y = u sin v, z = u, (u, v), 4, π ; 5 plochy dané parametrickým vyjádřením x = uv, y = u v, z = v, (u, v), 1 ; 6 helikoidu daného parametrickým vyjádřením x = u cos v, y = u sin v, z = v, (u, v), 1, π ; 7 plochy dané parametrizací x = u cos v, y = u sin v, z = 1 u sin v, (u, v), 1,

134 KAPITOLA 8 PLOCHA A JEJÍ OBSAH 8 Předpokládejme, že f je nezáporná spojitá funkce definovaná na intervalu a, b Pomocí Věty 81 ukažte, že obsah plochy M, která vznikne rotací grafu funkce f kolem osy x je dán vztahem b obsah(m) = π a f(x) 1 f (x) dx 9 Určete obsah rotační plochy, která vznikne rotací grafu funkce f(x) = sin x, x, π kolem osy x 1 Stanovte obsah povrchu elipsoidu s poloosami a, a, c, kde a < c (Obsah povrchu obecného elipsoidu nelze explicitně vyjádřit bez tzv eliptických integrálů) 11 Nechť C je rovinná křivka a f : C R je nezáporná spojitá funkce Ukažte, že je-li M = {(x, y, z) (x, y) C, z f(x, y)}, pak obsah(m) = C f Výsledky 1 1 6π; 3 πab ( (1 c ) 3/ 1 ) ; 3 r (π ); 4 π 6 (65 65 1); 5 3 ln( 3); 6 π ( ln(1 ) ) ; 7 3 ( 8 1); 9 π ( ln(1 ) ) ; 1 πa ( a ε arcsin ε a), kde ε = c a c