Kapitola List v prostoru R 3 a jeho parametrizace

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Kapitola List v prostoru R 3 a jeho parametrizace"

Transkript

1 Kapitola 4 Plošné integrály 4. ist v prostoru R 3 a jeho parametrizace Klíčová slova: přípustná oblast, zanedbatelná množina, list v R 3, parametrizace listu, obor parametrů, kraj listu, tečné vektorové pole listu, normálové vektorové pole listu, orientace listu indukovaná parametrizací, souhlasné a nesouhlasné orientace, parametrizace grafu funkce Tečné a normálové pole listu v prostoru R 3 Jedním ze základních pojmů v kapitole o křivkových integrálech byl pojem oblouku a jeho parametrizace. Víme, že oblouk je obrazem jednorozměrného intervalu, a tedy definičním oborem parametrizace oblouku je interval v R. V této kapitole budeme pracovat s plochami, které chápeme jako obrazy nějakých dvourozměrných útvarů v rovině. Je samozřejmé, že úvahy o plošných integrálech budou do značné míry analogické úvahám o křivkových integrálech. Kdybychom však chtěli postupovat zcela důsledně v této analogii, vnucovala by se nám myšlenka, zvolit za definiční obor parametrizace plochy dvourozměrný interval v rovině R, a tedy obdélník a, b c, d. Brzo bychom však zjistili, že taková volba nás zbytečně silně omezuje. Je totiž velice přirozené považovat za plochy i grafy různých funkcí dvou proměnných a takový graf můžeme chápat jako obraz příslušného definičního oboru funkce. Přitom tyto definiční obory představují nesrovnatelně širší paletu geometrických útvarů než jsou obdélníky. Je proto daleko přirozenější chápat plochu jako obraz jakéhokoli rozumného rovinného geometrického obrazce, jako je např. kruh, trojúhelník, čtverec, lichoběžník apod. Tuto skutečnost jsme respektovali při definici listu, jak byla uvedena a podrobněji rozebrána v kap.. Nyní se budeme zabývat tečným a normálovým vektorovým polem listu v R 3. Nechť R 3 je list v R 3, nechť g(u) (g (u, u ), g (u, u ), g 3 (u, u )), u (u, u ), je jeho parametrizace. Pak pro libovolný bod u vnitřku množiny jsou vektory t (g(u)) ( (u) (u), (u), ) 3 (u), u u u u t (g(u)) ( (u) (u), (u), ) 3 (u) u u u u (4.) 3

2 4 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY dva lineárně nezávislé tečné vektory listu v bodě a g(u), jak je načrtnuto na obr. 4.. Každý z těchto dvou předpisů pro tečné vektory můžeme použít jako předpisy pro tečná vektorová pole t, t na listu, tj. jako zobrazení, které každému bodu a přiřazuje uspořádanou dvojici tečných vektorů (t (a), t (a)) listu v bodě a. V dalších úvahách později budeme potřebovat vektorový součin těchto polí. Vektorový součin tečných vektorů t (g(u)), t (g(u)) je normálový vektor n(g(u)) t (g(u)) t (g(u)) ( (u), (u), ) ( 3 (u) (u), (u), ) (4.) 3 (u) u u u u u u listu v bodě g(u). Tento předpis pro normálový vektor listu v bodě g(u) můžeme použít jako předpis pro normálové vektorové pole n na listu. n(g(u)) t (g(u)) g(u) t (g(u)) æ Obrázek 4.: K ilustraci tečných vektorů listu Je-li část grafu funkce x 3 f(x, x ), pak jej můžeme parametrizovat jako graf funkce s použitím parametrizace tj. g(u, u ) (u, u, f(u, u )), (u, u ) D f, (4.3) x u, x u, x 3 f(u, u ), (u, u ). Pro tečné vektorové pole listu parametrizovaného jako graf funkce potom platí t (g(u)) (u) (,, f(u) ) ), u u t (g(u)) (u) (,, f(u) ) ). u u (4.4) (4.5) Odtud pro normálové vektorové pole listu parametrizovaného jako graf funkce dostáváme ( n(g(u)) t (g(u)) t (g(u)) f(u), f(u) ),. (4.6) u u

3 4.. ST V PROSTORU R 3 A JEHO PARAMETRZACE 5 Orientace listu Nechť je list v R 3. Spojité normálové vektorové pole ν takové, že pro každý bod a je ν(a), nazýváme orientací listu a list s orientací ν nazýváme orientovaným listem. Každý list R 3 má dvě navzájem opačné orientace. Je-li list s orientací ν, pak symbolem označíme tentýž list s orientací ν. Orientaci listu pomocí normálového vektorového pole ν odpovídá i orientace τ jeho kraje. Budeme říkat, že orientace τ kraje listu je koherentní s orientací ν listu právě tehdy, když při pohledu na list ve směru normálového pole je směr tečného pole kraje směrem pohybu hodinových ručiček. Nechť g() je list, g: R 3 jeho parametrizace a nechť a g(u) pro nějaké u (u, u ). Podívejme se poněkud podrobněji na to, jak parametrizace g listu určuje jeho orientaci. Vektory u (u), u (u) (4.7) jsou lineárně nezávislé tečné vektory listu. Zvolíme-li jejich pořadí, pak jejich vektorový součin v tomto pořadí udává jednu z obou možných orientací listu. V bodě a g(u) g(u, u ), (u, u ), je předpisem definován vektor normály v bodě a a předpisem n(a) u (u) u (u) (4.8) n (x) n(x) n(x), x, (4.9) je definováno jednotkové vektorové pole n normál, které dává orientaci listu. O této orientaci říkáme, že je na listě indukovaná parametrizací. Tato orientace může být souhlasná nebo nesouhlasná se zadanou orientací. Orientace listu parametrizovaného jako graf funkce Předpokládejme, že je dána funkce h: R R 3 mající spojité parciální derivace na nějaké otevřené množině A D h a nechť A je přípustná množina. Pak část {(x, y, z) z h(x, y), (x, y) }, (4.) grafu funkce h je listem. Takový list můžeme vždy parametrizovat jako graf funkce pomocí parametrizace x g (u, u ) u, y g (u, u ) u, z g 3 (u, u ) h(u, u ), (u, u ). (4.) Pak pro tečná vektorová pole na listě platí (,, h ), u u (,, h ) u u a jeho orientace indukovaná parametrizací je určena normálovým polem (4.) n(g(u)) (u) ( (u) h (u), h ) (u),. (4.3) u u u u

4 6 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY Vidíme, že projekce vektoru n(g(u)) do osy z má velikost jedna a směr kladné poloosy z. To znamená, že normálový vektor svírá s osou z ostrý úhel. Orientace plochy Nechť P je plocha a nechť,,..., m je její rozklad na listy. Říkáme, že plocha P je orientovaná právě tehdy, když každý z listů i, i,,..., m, je orientován normálovým polem n i, a to tak, že pro každé dva listy i, j mající společný kraj mají vektorová tečná pole τ i, τ j, odpovídající koherentní orientaci krajů, opačné směry. Ne každou plochu lze orientovat. ze-li plochu orientovat, pak ji lze orientovat pomocí právě dvou navzájem opačných orientací daných navzájem opačnými normálovými vektory. Normálové pole n nemusí být definováno na celé ploše P. Někdy jej nelze dodefinovat v bodech krajů listů. To však při výpočtech nevadí, protože jsou to zanedbatelné množiny. Příklady. Budeme se zabývat listem, který je částí rotačního paraboloidu z x y, z. Budeme jej parametrizovat jako graf funkce g(u) (u, u, u u ), u (u, u ) {u R u + u )}. Pro tečná vektorová pole t (g(u)), t (g(u)) dostáváme (viz obr. 4. a) ) t (g(u)) u (u) (,, u ), t (g(u)) u (u) (,, u ). Zvolíme-li např. ũ (, ), pak v bodě a g(ũ) (,, 7 ) dostaneme dva tečné vektory ( t (a) t (g(ũ)) t 4, 4, 7 ) (,, ), 8 ( t (a) t (g(ũ)) t 4, 4, 7 ) 8 (,, ). x t z t a) n y æ x z t t n b) y æ Obrázek 4.: lustrace k. a. příkladu

5 4.. ST V PROSTORU R 3 A JEHO PARAMETRZACE 7 Pro normálové vektorové pole dostáváme n(g(u)) t (g(u)) t (g(u)) (u, u, ). Normálový vektor v bodě a g(ũ) ( 4, 4, 7 8 ) je ( n(a) n(g(ũ)) n 4, 4, 7 ( 8), ),.. Budeme se opět zabývat listem, který je částí rotačního paraboloidu z x y, z, ale nyní použijeme polární souřadnice x ϱ sin ϕ, y ϱ cos ϕ, ϕ (, π), ρ (, ). (4.4) Připomeňme, že touto parametrizací která vlastně parametrizací ve smyslu naší definice není jsme se podrobněji zabývali v diferenciálním počtu funkcí více proměnných při studiu regulárních zobrazení. K téže problematice jsme se vrátili ve druhé kapitole tohoto textu v souvislosti s používáním polárních souřadnic u substituční metody pro dvojný integrál. Tam jsme se zmínili o jistých problémech s prostotou zobrazení definovaného pomocí polárních souřadnic a domluvili jsme se na jistých terminologických konvencích. Pokud si čtenář na tento rozbor již nevzpomíná, doporučujeme, aby si text o polárních souřadnicích ve druhé kapitole znovu prohlédl. Pokračujme nyní v našem příkladě. Dosadíme do rovnic popisujících list v kartézských souřadnicích a dostaneme parametrizaci g danou vztahy x ϱ sin ϕ, y ϱ cos ϕ, z ϱ, ϕ (, π), ρ (, ). (4.5) Pro tečné vektory v bodě a g(ũ) (,, 7 ) nyní platí (viz také obr. 4. b)) t (a) ( ρ (ũ) sin π 4, cos π ) 4, (,, ), t (a) ϕ (ũ) ( 4 cos π 4, 4 sin π ) 4, (,, ). 4 Podobně pro vektor normály v bodě a dostáváme n(a) t (a) t (a) (,, ) (,, ) 8 (,, ). (4.6) 8 3. Budeme se ještě jednou zabývat týmž listem, avšak nyní použijeme polární souřadnice x ϱ cos ϕ, y ϱ sin ϕ, ϕ (, π), ρ (, ). (4.7) Na obr. 4. b) můžeme sledovat, jak se nyní změní příslušné vektory. Dosadíme opět do rovnic popisujících list v kartézských souřadnicích a dostaneme parametrizaci g : x ϱ cos ϕ, y ϱ sin ϕ, z ϱ, ϕ (, π), ρ (, ). (4.8)

6 8 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY Zvolme opět bod ũ (, ). Pak je ϱ cos ϕ, ρ sin ϕ. Z těchto rovností snadno spočteme, že je ϱ, ϕ π. Pro tečné vektory v bodě a g(ũ) ( 4 4,, ) nyní dostáváme t (a) ρ (ũ) ( cos π 4, sin π 4, ) (,, ), t (a) ϕ (ũ) ( 4 sin π 4, 4 cos π ) 4, (,, ). 4 Vektor normály v bodě a g(ũ) ( 4, 4, 7 8 ) je n(a) t (a) t (a) (,, ) (,, ) (,, ). (4.9) 8 8 Porovnáme-li vztahy (4.9) a (4.6) zjistíme, že polární souřadnice (4.7) a (4.4) indikují na vyšetřovaném listu navzájem opačné orientace. To se však dalo očekávat, protože polární souřadnice (4.7) jsme dostali z polárních souřadnic (4.4) výměnou souřadnicových os. 4. Plošný integrál. druhu Klíčová slova: plošný obsah listu, plošný integrál. druhu funkce f po listu, neorientovaný plošný integrál, element plošného obsahu listu, element hmotnosti listu 4.. Plošný integrál. druhu po listu Plošný obsah listu Nechť je list a g: R 3 jeho parametrizace. Pomocí věty o substituci ve dvojném integrálu se dá ukázat, že pro plošný obsah listu platí ω() (u) (u) u u du du, (4.) kde vpravo je dvojný Riemannův integrál. Hodnota veličiny ω() závisí pouze na listu a nezávisí na jeho parametrizaci. Vztah (4.) nás vede k následující definici. Definice plošného integrálu. druhu pro list Nechť je list v R 3, nechť g : R 3 je jeho parametrizace a nechť f: R je daná funkce. Existuje-li Riemannův integrál f(g(u)) (u) (u) u u du du, pak číslo f ds f(g(u)) (u) (u) u u du du (4.)

7 4.. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU 9 nazýváme plošným integrálem. druhu funkce f po listu (také neorientovaným plošným integrálem). Poznámka k výpočtu integrálu Často se setkáváme se situací, že list je část grafu nějaké funkce h(u, u ), tj. pro nějakou přípustnou oblast D h je {(x, x, x 3 ) R 3 x 3 h(x, x ), (x, x ) }. (4.) Je-li g (g, g, g 3 ) parametrizace listu jako grafu funkce, tj. g (u, u ) u, g (u, u ) u, g 3 (u, u ) h(u, u ), (u, u ), (4.3) pak takže (u) ( ) (u) u u h + (g(u)) + x ( ) h f ds f(g(u)) + (g(u)) + x ( ) h (g(u)), (4.4) x ( ) h (g(u)) du du. (4.5) x Nechť g() je list, kde g (g, g, g 3 ) je jeho parametrizace. Potom platí u u det u, u, 3 u 3 u, det 3 u, 3 u, u u, det u, u, u u. Odtud a ze známé identity vektorové algebry a b a b a b plyne kde E u nebo po rozepsání do složek u n u u EG F, (4.6), G u, F u u, (4.7) ( ) ( ) ( ) 3 + +, u u u u ( ) ( ) ( ) 3 + +, u u u (4.8) u u u u u u u u

8 3 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY Veličiny E, G a F se nazývají Gaussovy koeficienty plochy a jsou pro plochu charakteristické. Element plošného obsahu Srovnání vztahu (4.) s definičním vztahem (4.) ukazuje, že vzorec pro výpočet plošného obsahu listu můžeme psát ve tvaru ω() (u) (u) u u du du ds. (4.9) Je tedy přirozené mluvit o ds (u) (u) u u du du (4.3) jako o elementu plošného obsahu listu. Udává-li skalární funkce f(x) hustotu v bodě x a je-li x g(u, u ) pro (u, u ), pak je přirozené mluvit o jako o elementu hmotnosti listu. Příklady f(x) ds f(g(u)) (u) (u) u u du du (4.3). Budeme počítat hodnotu plošného integrálu po listu (x + y ) ds {(x, y, z) R 3 (z x y ) (z )}. a) Nejdříve budeme úlohu řešit tak, že budeme list parametrizovat jako graf funkce g(u, v) (u, v, u v ), {(u, v) R u + v }. Pak je n(g(u, v)) + 4u + 4v, a tedy (x + y ) ds u (u + v ) + 4u + 4v dv du u 4 u ϱ cos ϕ, < ϱ <, v ϱ sin ϕ, < ϕ < π u (u + v ) + 4u + 4v dv du 4 π ϱ 3 + 4ρ dϱ dϕ π ϱ 3 + 4ϱ dϱ

9 4.. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU 3 + 4ϱ t, 8ϱdϱ dt ϱ t ϱ t 5 π 5 4 t 4 t/ dt π 6 (5 5 + ). b) Nyní budeme tutéž úlohu řešit tak, že zvolíme parametrizaci pomocí polárních souřadnic x ϱ cos ϕ, y ϱ sin ϕ. Dosazením do kartézských rovnic listu dostaneme parametrizaci g(ϱ, ϕ) (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ, ϱ ), {(ϱ, ϕ) R ( < ϱ < ) ( < ϕ < π)}. Pro normálové vektorové pole pak platí n(g(ϱ, ϕ)) (cos ϕ, sin ϕ, ρ) ( ϱ sin ϕ, ϱ cos ϕ, ) (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, ϱ) n(g(ϱ, ϕ)) 4ρ 4 cos ϕ + 4ρ 4 sin ϕ + ϱ ϱ + 4ρ. Po dosazení dostáváme π (x + y ) ds ϱ 3 + 4ρ dϱ dϕ π což je týž integrál, jaký jsme počítali v předchozím případě a).. Budeme počítat hodnotu plošného integrálu ( + x + y) ds po listu ρ 3 + 4ρ dϱ, {(x, y, z) R 3 (x + y + z ) (x ) (y ) (z )}. ist je zobrazen na obr. 4.3 a). K výpočtu integrálu potřebujeme zvolit vhodnou parametrizaci listu. Budeme jej parametrizovat jako graf funkce g(u, v) (u, v, u v), {(u, v) R (u + v ) (u ) (v )}. Pak je takže a tedy 3 n(g(u, v)) (,, ) (,, ) (,, ), n(g(u, v)) + + 3, ( + x + y) ds u 3 dv du ( + u + v) ( + ) du [ 3 ln( + u) ] + u u 3(ln ).

10 3 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY z x a) y æ z x b) y æ z x c) y æ Obrázek 4.3: isty z. až 4. příkladu 3. Budeme počítat hodnotu plošného integrálu po listu ( + x + y) ds {(x, y, z) R 3 (x + y ) (x ) (y ) (z )}. ist je zobrazen na obr. 4.3 b). K výpočtu integrálu volíme opět parametrizaci listu jako grafu funkce g(u, v) (u, v, ), {(u, v) R (u + v ) (u ) (v )}. Pak je n(g(u, v)) (,, ) (,, ) (,, ), takže n(g(u, v)), a tedy ( + x + y) ds u ( + u + v) dv du ln, kde poslední integrál byl spočítán v předchozím příkladě. 4. Budeme počítat hodnotu plošného integrálu po listu ( + x + y) ds {(x, y, z) R 3 (x + z ) (x ) (y ) (z )}. ist je zobrazen na obr. 4.3 c). K výpočtu integrálu volíme opět parametrizaci listu jako grafu funkce g(u, v) (u,, v), {(u, v) R (u + v ) (u ) (v )}.

11 4.. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU 33 Pak je n(g(u, v)) (,, ) (,, ) (,, ), takže n(g(u, v)), a tedy ( + x + y) ds u dv du ( + u) u ( + u) du ( + u) du du ln. + u 5. Budeme počítat hodnotu plošného integrálu (x + y ) ds po listu {(x, y, z) R 3 (x + y ) (z )}. ist je průnikem válce s osou v ose z a roviny z, takže je to jednotkový kruh. K výpočtu daného integrálu volíme opět parametrizaci listu jako grafu funkce g(u, v) (u, v, ), {(u, v) R u + v }. Pak je n(g(u, v)) (,, ) (,, ) (,, ), takže n(g(u, v)), a tedy (x + y ) ds u (u + v ) dv du u u ϱ cos ϕ v ϱ sin ϕ π ϱ 3 dϱdϕ π. 6. Budeme počítat hodnotu plošného integrálu (x + y ) ds po listu {(x, y, z) R 3 (x + y z ) (z ) (x + y )}. ist je částí kuželové plochy, která leží ve válci s osou v ose z a v horním poloprostoru ( kornout ) (viz obr. 4.4 a) ). K výpočtu integrálu volíme opět parametrizaci listu jako grafu funkce Pak je g(u, v) (u, v, u + v ), {(u, v) R u + v }. n(g(u, v)) (,, u v ) (,, u + v u + v ) ( u u + v, v u + v, ),

12 34 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY z z r x a) y æ r x b) r y æ Obrázek 4.4: lustrace k 6. a 7. příkladu takže Můžeme tedy počítat n(g(u, v)) + u u + v + v u + v. (x + y ) ds u u (u + v ) dv du π, kde poslední integrál byl počítán v předchozím příkladě. 7. Budeme počítat hodnotu plošného integrálu (r x z ) ds, r >, po listu {(x, y, z) R 3 (x + y + z r ) (x ) (y ) (z )}. ist je osmina sféry o poloměru r (viz obr. 4.4 b) ), kterou můžeme chápat jako graf funkce y r x z. K výpočtu integrálu volíme opět parametrizaci listu jako grafu funkce g(u) (u, r u v, v), {(u, v) R ( v r) ( u v )}. Pak ( ) u (u, v), u r u v,, ( ) v (u, v), v r u v,. Pro normálové vektorové pole pak platí ( n(g(u, v)) u r u v,, v r u v ),

13 4.. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU 35 takže n(g(u, v)) r r u v. Nyní můžeme počítat (r x z ) ds r r v (r u v r ) du dv r u v r r r v r u v du dv u rϱ cos ϕ, < ϱ < v rϱ sin ϕ, < ϕ < π r 3 π ϱ ϱ dϕ dϱ πr3 6. Úlohy Máme najít hodnotu plošného integrálu. z x + y ds po listu {(x, y, z) R 3 (x + y + z r ) ( z )}. [πr 4 /3.]. xyz ds po listu {(x, y, z) R 3 (z x +y ) (z )}. [(5 5 )/4.] 3. (x + y + z) ds po listu {(x, y, z) R 3 (x + y + z r ) (z )}. [πr 3.] 4. z ds po listu {(x, y, z) R 3 (z x + y ) (z )}. [π(5 5 + )/6.] 5. (y z + z x + x y ) ds po listu tvořeném průnikem kuželové plochy o rovnici 6. z k (x + y ) s válcem x + y ax. [πa 6 + k (7 + 8k )/4.] ds r z po listu {(x, y, z) R3 (x + y r ) ( z h r)}. [πr arcsin(h/r).] 7. x y ds po části sféry x + y + z r, r >, ležící v poloprostoru z >. [πr 6 /5.] 8. z ds po listu {(x, y, z) R 3 (z x + y ) ( < z < )}. [4π /3.] 9. ds x + y po listu {(x, y, z) R3 (z xy) (x + y r )}, r >. [π(r r + + ln(r + r + )).]

14 36 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY 4.. Plošný integrál. druhu po ploše Definice plošného integrálu. druhu po ploše Je dána plocha P R 3 a její rozklad na listy,,..., m. Nechť g j : j R 3 je parametrizace listu j, j,,..., m. Nechť f: P R je daná funkce. Existují-li plošné integrály po listech f ds, j,,... m, pak číslo j P f ds m j j f ds (4.3) nazýváme plošným integrálem. druhu funkce f po ploše P (také neorientovaným plošným integrálem). Plošný integrál má analogické vlastnosti jako dvojný integrál (aditivita vzhledem k integrandu a integračnímu oboru apod.). Jeho hodnota nezávisí na orientaci plochy ani na zvolené parametrizaci. Příklady. Máme najít hodnotu plošného integrálu (x + y ) ds po ploše P, kde (viz obr. 4.4 a) ) P {(x, y, z) R 3 x + y z ) (z > ) (x + y < )}, {(x, y, z) R 3 (x + y < ) (z )}. Plošné integrály po listech, jsme počítali v příkladech a Tam jsme dostali (x + y ) ds π, (x + y ) ds π. Nyní stačí sečíst tato dvě čísla (x + y ) ds (x + y ) ds + (x + y ) ds π + π π ( + ). P. Máme najít hodnotu plošného integrálu ( + x + y) ds P přes povrch čtyřstěnu s vrcholy v bodech (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) Plochu P můžeme rozložit na čtyři listy P 3 4, kde {(x, y, z) R 3 (x + y + z ) (x ) (y ) (z )}, {(x, y, z) R 3 (x + y ) (x ) (y ) (z )}, 3 {(x, y, z) R 3 (x + y ) (x ) (y ) (z )}, 4 {(x, y, z) R 3 (x + y ) (x ) (y ) (z )}.

15 4.. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU 37 Plošné integrály po listech,, 3 jsme počítali v příkladech 4... až Tam jsme dostali ( + x + y) ds 3(ln ), ds ln. ( + x + y) 3 ( + x + y) ds ln, Vzhledem k tomu, že listy 3 a 4 mají symetrické podmínky vzhledem k souřadnicím x a y a integrand je rovněž symetrický v těchto proměnných, platí ( + x + y) ds 4 ds ( ln ). ( + x + y) 3 Máme tedy k disposici hodnoty všech čtyř integrálů po listech tvořících zadanou plochu. Hledaný integrál nyní dostaneme jako součet hodnot jednotlivých integrálů přes listy P ( + x + y) ds 3(ln )+(ln )+( ln ) ( 3 ) ln + (3 3). 3. Máme najít hodnotu plošného integrálu r x z ds po kulové ploše x + y + z r r >. P Kulová plocha (sféra) je uzavřená plocha P, kterou můžeme rozložit například na dva listy, a to na polosféry P, kde {(x, y, z) R 3 (y r x z ) (x + z r )}, {(x, y, z) R 3 (y r x z ) (x + z r )}. Budeme nejdříve počítat hodnotu plošného integrálu r x z ds. Pro jeho výpočet zvolíme parametrizaci pomocí sférických souřadnic g(ϑ, ϕ) (r cos ϑ cos ϕ, r cos ϑ sin ϕ, r sin ϑ), < ϑ < π, π < ϕ < π. Odtud pro tečná vektorová pole dostáváme (ϑ, ϕ) ( r sin ϑ cos ϕ, r sin ϑ sin ϕ, r cos ϑ), ϑ

16 38 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY (ϑ, ϕ) ( r cos ϑ sin ϕ, r cos ϑ cos ϕ, ). ϕ Jejich vektorový součin dává vektorové pole normál n(g(ϑ, ϕ)) r cos ϑ(cos ϑ cos ϕ, cos ϑ sin ϕ, sin ϑ). Zřejmě je n(g(ϑ, ϕ)) r cos ϑ. Po dosazení parametrizace do integrandu dostaneme r r cos ϑ cos ϕ r sin ϑ r (cos ϑ + sin ϑ) r cos ϑ cos ϕ r sin ϑ r cos ϑ r cos ϑ cos ϕ r cos ϑ sin ϕ r cos ϑ sin ϕ. Vzhledem k symetrii integrandu i integračního oboru stačí spočítat hodnotu integrálu přes osminu sféry ležící v prvním oktantu, tj. pro ϑ π/, ϕ π/ a výsledek vynásobit čtyřmi. Je tedy r x z ds 4 π/ π/ r 3 cos ϑ sin ϕ dϑ dϕ πr 3. Z uvedené symetrie plyne rovněž, že i pro hodnotu druhého plošného integrálu platí r x z ds πr 3. Odtud vzhledem k definici plošného integrálu platí r x z ds r x z ds + r x z ds πr 3. P Úlohy Vypočtěte hodnotu plošného integrálu. P (x + y + z) ds po hranici jednotkové krychle P (, ) (, ) (, ). [9.]. z ds po plášti čtyřbokého jehlanu P {(x, y, z) R 3 ( x + y +z ) (z )}. P [ 3/3.] 3. x + y ds po sféře P {(x, y, z) R 3 x + y + z r }. P [π r 3.]

17 4.. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU Některé aplikace plošného integrálu Uvedeme některé geometrické a fyzikální aplikace plošného integrálu. Příslušné vzorce uvedeme pro tři různé způsoby zadání listu a pro tři různá zadání rotačních ploch. Funkce σ příslušných proměnných značí ve vzorcích vždy rozložení hmotnosti. a) ist je zadán jako graf funkce z f(x, y), (x, y), kde je nějaká přípustná oblast v R ; b) ist je zadán parametricky x g (u, v), y g (u, v), z g 3 (u, v), (u, v), kde je nějaká přípustná oblast v R. Konstanty E, F a G v těchto vzorcích jsou příslušné Gaussovy koeficienty listu a jsou dány vztahy (4.7); c) ist je zadán pomocí polárních souřadnic jako graf funkce z z(ϱ, ϕ), (ϱ, ϕ), kde {(ϱ, ϕ) (ϕ ϕ ϕ ) (ϱ (ϕ) ϱ ϱ (ϕ)). d) Rotační plocha P vznikla rotací grafu funkce y f(x), x x, x kolem osy x. e) Rotační plocha P vznikla rotací oblouku O zadaného parametricky x g (t), y g (t), t t, t, g (t) ġ (t) > kolem osy x. f) Rotační plocha P vznikla rotací oblouku O zadaného pomocí polárních souřadnic ϱ ϱ(ϕ), ϕ ϕ ϕ π, < ϱ, kolem polární osy x.. Plošný obsah s(), (s(p)). a) s() b) s() ( ) ( ) f(x, y) f(x, y) + + dx dy. x y EG F du dv. c) s() ϕ d) s() π ϱ (ϕ) ϕ ϱ (ϕ) x ϱ + ϱ ( z(ϱ, ϕ) ϱ f(x) + (f (x)) dx π ) ( ) z(ϱ, ϕ) + dϱ dϕ. ϕ x y + y dx. x x t e) s() π t g (t) (ġ (t)) + (ġ (t)) dt π y ẋ + ẏ dt. t t f) s() π ϕ ϕ ϱ(ϕ) sin ϕ (ϱ(ϕ)) + ( ϱ(ϕ)) dϕ.

18 4 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY. Hmotnost m(), (m(p)). ( ) ( ) f(x, y) f(x, y) a) s() σ(x, y) + + dx dy. x y b) s() σ(u, v) EG F du dv. c) s() ϕ ϱ (ϕ) ϕ ϱ (ϕ) d) m() π x ( ) ( ) z(ϱ, ϕ) z(ϱ, ϕ) σ(ϱ, ϕ) ϱ + ϱ + dϱ dϕ. ϱ ϕ f(x)σ(x) + (f (x)) dx π x yσ + y dx. x x t e) m() π t g (t)σ(t) (ġ (t)) + (ġ (t)) dt π yσ ẋ + ẏ dt. t t f) m() π ϕ ϕ σ(ϕ)ϱ(ϕ) sin ϕ (ϱ(ϕ)) + ( ϱ(ϕ)) dϕ. Analogicky se počítá celkový náboj. V tomto případě může hustota σ náboje nabývat i záporných hodnot. 3. Statický moment S xy (), (S xy (P)) vzhledem k rovině xy, S yz (), (S yz (P)) vzhledem k rovině yz, S xz (), (S xz (P)) vzhledem k rovině xz. ( ) ( ) f(x, y) f(x, y) a) S xy () f(x, y)σ(x, y) + + dx dy. x y S yz () ( ) ( ) f(x, y) f(x, y) xσ(x, y) + + dx dy. x y ( ) ( ) f(x, y) f(x, y) S xz () yσ(x, y) + + dx dy. x y b) S xy () S yz () z(u, v)σ(u, v) EG F du dv. x(u, v)σ(u, v) EG F du dv.

19 4.. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU 4 S xz () y(u, v)σ(u, v) EG F du dv. c) S xy () S yz () S xz () ϕ ϱ (ϕ) ϕ ϱ (ϕ) ϕ ϱ (ϕ) ϕ ϱ (ϕ) ϕ ϱ (ϕ) ϕ ϱ (ϕ) d) S xy (P) S xz (P) ; S yz (P) π x ( ) ( ) z(ϱ, ϕ) z(ϱ, ϕ) z(ϱ, ϕ)σ(ϱ, ϕ) ϱ + ϱ + dϱ dϕ. ϱ ϕ ( ) ( ) z(ϱ, ϕ) z(ϱ, ϕ) ϱ cos ϕσ(ϱ, ϕ) ϱ + ϱ + dϱ dϕ. ϱ ϕ ( ) ( ) z(ϱ, ϕ) z(ϱ, ϕ) ϱ sin ϕσ(ϱ, ϕ) ϱ + ϱ + dϱ dϕ. ϱ ϕ xf(x)σ(x) + (f (x)) dx π x xyσ + y dx. x x e) S xy (P) S xz (P) ; t S yz (P) π t g (t)g (t)σ(t) (ġ (t)) + (ġ (t)) dt π xyσ ẋ + ẏ dt. t t f) S xy (P) S xz (P) ; S yz (P) π ϕ ϕ ϱ (ϕ)σ(ϕ) sin ϕ cos ϕ (ϱ(ϕ)) + ( ϱ(ϕ)) dϕ. 4. Souřadnice x t (), y t (), z t () (x t (P), y t (P), z t (P)) těžiště x t () S yz() m(), y t() S xz() m(), z t() S xy() m(). 5. Momenty setrvačnosti x (), ( x (P)) vzhledem k ose x, y () vzhledem k ose y, z () vzhledem k ose z. ( ) ( ) a) x () [y + f f(x, y) f(x, y) (x, y)]σ(x, y) + + dx dy. x y y () ( ) ( ) [x + f f(x, y) f(x, y) (x, y)]σ(x, y) + + dx dy. x y

20 4 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY z () ( ) ( ) (x + y f(x, y) f(x, y) )σ(x, y) + + dx dy. x y b) x () [y (u, v) + z (u, v)]σ(u, v) EG F du dv. y () [x (u, v) + z (u, v)]σ(u, v) EG F du dv. z () [x (u, v) + y (u, v)]σ(u, v) EG F du dv. c) x () ϕ ϱ (ϕ) ϕ ϱ (ϕ) ( ) ( ) [ϱ sin ϕ + z z(ϱ, ϕ) z(ϱ, ϕ) (ϱ, ϕ)]σ(ϱ, ϕ) ϱ + ϱ + dϱ dϕ. ϱ ϕ y () ϕ ϱ (ϕ) ϕ ϱ (ϕ) ( ) ( ) [ϱ cos ϕ + z z(ϱ, ϕ) z(ϱ, ϕ) (ϱ, ϕ)]σ(ϱ, ϕ) ϱ + ϱ + dϱ dϕ. ϱ ϕ z () ϕ ϱ (ϕ) ϕ ϱ (ϕ) ( ) ( ) ϱ z(ϱ, ϕ) z(ϱ, ϕ) σ(ϱ, ϕ) ϱ + ϱ + dϱ dϕ. ϱ ϕ x d) x (P) π (f(x)) 3 σ(x) + (f (x)) dx π x x x y 3 σ + y dx. t t e) x (P) π (g (t)) 3 σ(t) (ġ (t)) + (ġ (t)) dt π y 3 σ ẋ + ẏ dt. t ϕ f) x (P) π (ϱ(ϕ)) 3 σ(ϕ) sin 3 ϕ (ϱ(ϕ)) + ( ϱ(ϕ)) dϕ. ϕ t

21 4.3. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU Plošný integrál. druhu Klíčová slova: orientace listu, orientovaný list, koherentní orientace kraje listu, orientace listu indukovaná parametrizací, plošný integrál. druhu funkce f po listě, orientovaný plošný integrál, elementu toku vektorového pole listem 4.3. Plošný integrál. druhu po listě Element toku vektorového pole listem Při definici plošného integrálu. druhu jsme vycházeli z geometrické interpretace a zavedli jsme pojem elementu plošného obsahu listu. nyní budeme postupovat analogicky, jenomže místo geometrické interpretace využijeme fyzikální interpretaci a budeme se zabývat tokem vektorového pole f listem. Je-li g(u) parametrizace listu, pak n (g(u)) n(g(u)) n(g(u)) (u) (u) u u (u) (u) u u (4.33) je jednotkové normálové pole listu a skalární součin f(g(u)) n (g(u)) představuje tok vektorového pole f jednotkovou plochou ve směru normálového vektoru listu v bodě x g(u). Je tedy přirozené nazývat součin f(x) n (x) ds (4.34) elementem toku vektorového pole f. Tato úvaha nás vede k následující definici orientovaného plošného integrálu. Definice plošného integrálu. druhu po listě Nechť R 3 je list orientovaný normálovým vektorovým polem ν. Nechť g: R 3 je jeho parametrizace indukující na něm orientaci n souhlasnou se zadanou orientací ν a nechť f: R 3 je dané vektorové pole. Existuje-li neorientovaný plošný integrál (f n ) ds, (4.35) kde integrand je skalární součin zadané vektorové funkce f a jednotkového normálového vektorového pole n, pak pro toto číslo používáme označení f ds (f n ) ds (4.36) a nazýváme je plošným integrálem. druhu vektorového pole f po listě (také orientovaným plošným integrálem). Poznámky. Místo právě použité symboliky se používá i zápis f ds.

22 44 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY. Orientace listu určené vektory n a n jsou navzájem opačné. Odtud plyne, že i hodnota orientovaného integrálu téhož pole po témže listu závisí na orientaci. Pro navzájem opačné orientace se tyto hodnoty integrálů liší znaménkem. 3. Zapišme integrál (4.35) ve tvaru, v němž se nejčastěji používá pro výpočet. Uvědomme si nejdříve, že neorientovaný integrál na pravé straně definiční rovnosti (4.36) orientovaného integrálu můžeme vyjádřit pomocí parametrizace g: R 3 ve tvaru Platí tedy fds f n ds f n n ds f(g(u)) n(g(u)) n(g(u)) n(g(u)) du du ( (u) f(g(u)) u fds f(g(u)) (u) ) du du. u ( (u) ) (u) du du. (4.37) u u Použijeme-li na integrand pravidla pro smíšený součin, dostáváme f n f ( ) u u det f, f, f 3 u, u, u, u, 3 u 3 u ( 3 f ) ( f ) ( 3 + f 3 ). u u u u u u u u u u u u Dostali jsme tak hledané vyjádření integrálu (4.36) pomocí parametrizace ( ( 3 fds f ) 3 u u u u ( 3 + f ) 3 + u u u u ( + f 3 )) du du. u u u u (4.38) 4. Ve speciálním případě, kdy list je graf funkce z z(x, y) a je parametrizován jako graf funkce parametrizací g(x, y) (x, y, z(x, y)), (x, y), je, jak víme, x (x, y) y (x, y) ( z x (x, y), z (x, y), ), y

23 4.3. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU 45 a tedy vztah (4.37) můžeme psát ve tvaru fds ( f (x, y, z(x, y)) z x (x, y), f (x, y, z(x, y)) z ) y (x, y), f 3(x, y, z(x, y)) dx dy. (4.39) 5. Podobně jako u křivkového integrálu i u plošného integrálu se používá pro orientovaný integrál zápis fds f dx dx 3 + f dx 3 dx + f 3 dx dx. (4.4) Ukažme nyní jeho oprávněnost. Pro je x g (u, u ), x g (u, u ), x 3 g 3 (u, u ) (4.4) dx u du + u du, dx u du + u du, (4.4) dx 3 3 du + 3 du. u u Definujeme-li součin diferenciálů du i a du j tak, že požadujeme, aby platila rovnost pak nutně platí takže dostáváme dx dx 3 du i du j du j du i, i, j,, (4.43) du i du i, i,, (4.44) ( du + ) ( 3 du du + ) 3 du u u u u dx 3 dx dx dx ( 3 ) 3 du du, u u u u ( 3 du + ) ( 3 du du + ) du u u u u ( 3 ) 3 du du, u u u u ( du + ) ( du du + ) du u u u u ( ) du du, u u u u (4.45)

24 46 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY Dosadíme-li nyní do (4.4), dostaneme (4.38). 6. Uvědomme si, že z rovností (4.4) a (4.39) pro vektorovou funkci f (,, f 3 ) a list parametrizovaný jako graf funkce z z(x, y) plyne f 3 dx dy f 3 (x, y, z(x, y)) dx dy. (4.46) Příklady. Máme počítat tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, z ) částí jednotkové sféry ležící v poloprostoru z, orientované ven. Máme počítat plošný integrál. druhu po listu {(x, y, z) R 3 (x + y + z ) (z )} orientovaném například normálovým vektorem ν(,, ) (,, ). Zvolíme parametrizaci g(u, v) (u, v, u v ), (u, v) {(u, v) R u + v }. Pak n(g(u)) f(g(u)) (u, v, u v ), ( ) u u v, v u v,. Jelikož je n (,, ) (,, ) ν(,, ), indukuje zvolená parametrizace orientaci souhlasnou se zadanou orientací. Budeme integrovat funkci f(g(u)) n(g(u)) (u, v, u v ) ( ) u u v, v u v, u + v u v + (u + v ). Odtud f ds x dy dz + y dz dx + z dx dy (f n) ds u +v ( u + v u v + (u + v ) ) du dv π ϱ ( + ϱ ϱ )ϱ dϕdϱ π ϱ ( + ϱ ϱ )ϱ dϱ π 6.

25 4.3. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU 47. Máme počítat celkový tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, z) částí paraboloidu z x + y orientovaného dovnitř (viz obr. 4.5 a) ). Máme najít hodnotu plošného integrálu. druhu vektorové funkce f(x, y, z) (x, y, z) po orientovaném listu {(x, y, z) R 3 z x + y } s orientací ν(o) (,, ). ist budeme parametrizovat jako graf funkce g(u, v) (u, v, u + v ), (u, v) {(u, v) R u + v }. Pro výpočet integrandu potřebujeme f(g(u)) (u, v, u + v ), n(g(u)) ( u, v, ), n (o) (,, ) ν(o). Vidíme, že orientace indukovaná parametrizací je souhlasná se zadanou orientací. Můžeme spočítat integrand f(g(u)) n(g(u)) (u, v, u + v ) ( u, v, ) u v + u + v, takže f ds. z z x a) y æ x æ b) y Obrázek 4.5: lustrace k 3. a 4. příkladu Zadané vektorové pole f je tečné vektorové pole listu, takže listem nic neprotéká. 3. Máme počítat tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, z) částí paraboloidu z x + y orientovaného dovnitř (viz obr. 4.5 a) ). Máme najít hodnotu plošného integrálu. druhu vektorové funkce f(x, y, z) (x, y, z) po orientovaném listu {(x, y, z) R 3 z x + y }

26 48 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY s orientací ν(o) (,, ). Tato úloha se od předchozí liší jen v zadaném vektorovém poli. Můžeme tedy použít mezivýsledky z předchozího příkladu. Pro f(g(u)) (u, v, u + v ) dostáváme f(g(u)) n(g(u)) (u, v, u +v ) ( u, v, ) u v +u +v u v, takže f ds u +v ( u v ) du dv π ϱ 3 dϕ dϱ π. 4. Máme počítat tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, z) částí roviny x + y + z ležící v prvním oktantu, orientované směrem k počátku (viz obr. 4.5 b) ). Máme najít hodnotu plošného integrálu. druhu vektorové funkce f(x, y, z) (x, y, z) po orientovaném listu {(x, y, z) R 3 (z x y) (x ) (y ) (z )} s orientací ν(x) 3(,, ). Zvolíme parametrizaci 3 g(u, v) (u, v, u v), Pak f(g(u, v)) (u, v, u v), (u, v) {(u, v) R ( u ) ( v u)}. n(g(u, v)) (,, ) (,, ) ν(g(u, v)). Zvolená parametrizace indukuje opačnou orientaci. Dále je takže f(g(u)) n(g(u)) (u, v, u v) (,, ), f ds u dv du ( u) du Máme počítat tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, z) plochou kruhu x + y, z, orientovaného proti orientaci osy z. Máme najít hodnotu plošného integrálu. druhu vektorové funkce f(x, y, z) (x, y, z) po orientovaném listu {(x, y, z) R 3 (x + y ) (z )} s orientací ν(,, ) (,, ). Zvolíme parametrizaci g(u, v) (u, v, ), (u, v) {(u, v) R u + v }. Zřejmě je n (,, ) (,, ) (,, ) ν(,, ), a tedy indukovaná orientace je opačná než zadaná. Dále je takže f(g(u, v)) (u, v, ), f(g(u, v)) n(g(u, v)) (u, v, ) (,, ), f ds du dv π. u +v

27 4.3. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU Máme počítat tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, z) plochou z + xy, (x, y) <, > <, > orientovanou tak, aby normálový vektor svíral s vektorem e 3 ostrý úhel (viz obr. 4.6 ). z x y æ Obrázek 4.6: K ilustraci plochy z 6. příkladu Máme najít hodnotu plošného integrálu. druhu vektorové funkce f(x, y, z) (x, y, z) po orientovaném listu {(x, y, z) R 3 (z + xy) ( x ) ( y )} s orientací ν(,, ) (,, ). Zvolíme parametrizaci jako graf funkce g(u, v) (u, v, + uv), (u, v) {(u, v) R ( u ) ( v )}. Potom je n(g(u, v)) ( v, u, ), a tedy n (,, ) (,, ) ν(,, ). ndukovaná orientace je stejná jako zadaná. Dále je takže f(g(u, v)) n(g(u, v)) (u, v, + uv) ( v, u, ) uv, f ds f n ds ( uv) du dv Máme počítat plošný integrál x dy dz+z dx dy po části kuželové plochy x +y z, z, orientované ven (tj. orientace ν svírá s vektorem e 3 tupý úhel). Máme najít hodnotu plošného integrálu. druhu vektorové funkce f(x, y, z) (x,, z ) po orientovaném listu {(x, y, z) R 3 (z x + y ) ( z )} s orientací ν(,, ) (,, ). Zvolíme parametrizaci pomocí polárních souřadnic g(ϱ, ϕ) (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ, ϱ), {(ϱ, ϕ) R ( < ϱ < ) ( < ϕ < π)}.

28 5 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY Pak ν (,, ) ν(g(, π)) (,, ). Pro vektorové tečné pole dostáváme t (g(u, v)) (cos ϕ, sin ϕ, ), t (g(u, v)) ( ϱ sin ϕ, ϱ cos ϕ, ) a odtud dostaneme vektorové pole normál n(g(u, v)) t (g(u, v)) t (g(u, v)) ( ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ, ϱ). Vidíme, že n (g(, π)) (,, ) ν(g(, π )), a tedy indukovaná orientace je opačná než zadaná. Dále je f(g(ϱ, ϕ)) n(g(ϱ, ϕ)) (ϱ cos ϕ,, ϱ ) ( ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ, ϱ) ϱ 3 ( cos 3 ϕ) takže ϱ 3 ϱ 3 ( sin ϕ) cos ϕ ϱ 3 ϱ 3 cos ϕ + ϱ 3 sin ϕ cos ϕ, f ds f n ds π (ϱ 3 ϱ 3 cos ϕ + ϱ 3 sin ϕ cos ϕ) dϕ dϱ π. Úlohy. Vypočtěte integrál x dy dz + y dz dx + z dx dy, kde list je zadán parametrizací x u cos v, y u sin v, z cv, (u, v) a, b, π, c >, < a < b. [π c(b a ).]. Vypočtěte integrál (y z) dy dz + (z x) dz dx + (x y) dx dy po průniku kulové plochy x +y +z r a válce x +y ax, < a < r, z, orientovaném tak, že normálový vektor svírá s osou z tupý úhel. [.] 3. Vypočtěte integrál x dy dz + y dz dx + z dx dy po části kulové plochy x + y + z ležící v prvním oktantu, orientovaném tak, že normálový vektor svírá s osou z ostrý úhel. [3π/8.] 4. Vypočtěte integrál (z r ) dx dy po části kulové plochy x +y +z rz ležící v pásu < r z r orientované tak, že normálový vektor svírá s osou z ostrý úhel. [πr 4 /.]

29 4.3. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU 5 5. Vypočtěte integrál x dy dz + z dx dy po části kužele x + y z ležící v pásu z orientované tak, že normálový vektor svírá s osou z tupý úhel. [ π/.] 6. Vypočtěte integrál y dy dz + x dz dx + z dx dy po části roviny x + y + z ležící v prvním oktantu orientované tak, že normálový vektor svírá s osou z ostrý úhel. [ /6.] 7. Vypočtěte integrál xz dy dz + xy dz dx + yz dx dy po části válcové plochy x + y r, z a, a >, ležící v prvním oktantu a orientované vnější normálou. [r a(r/3 + πa/8).] 8. Vypočtěte tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, z) pláštěm rotačního válce x + y r, z h, orientovaným vnější normálou. [πr h.] 9. Vypočtěte tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, z) pláštěm kužele x + y z, z, orientovaným vnější normálou. [.]. Vypočtěte tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, z) podstavou kužele x + y z, z, orientovanou vnější normálou. [π.] 4.3. Plošný integrál. druhu po ploše Definice plošného integrálu. druhu po ploše Je dána orientovaná plocha P R 3, její rozklad na orientované listy,,..., m a parametrizace g j : j R 3 listu j, j,,..., m, indukující na listech souhlasnou orientaci se zadanou orientací plochy. Nechť f: P R 3 je daná vektorová funkce. Existujíli integrály f ds, j,,... m, j pak číslo P f ds m f ds j j nazýváme plošným integrálem. druhu funkce f po ploše P (také orientovaným plošným integrálem. Poznámka Je-li P orientovaná plocha, pak číslo f ds udává celkový tok vektorového P pole plochou P. Příklady

30 5 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY. Počítejme tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, xyz) jednotlivými stěnami jednotkové krychle orientovanými ven z krychle (viz obr. 4.7 ). z 6 x y æ Obrázek 4.7: K ilustraci plochy z. příkladu Krychle je uzavřená plocha P, kterou můžeme rozložit na šest listů, představujících stěny krychle. Označme P... 6, kde {(x, y, z) R 3 (x, ) (y, ) (z )}, {(x, y, z) R 3 (x, ) (y, ) (z )}, 3 {(x, y, z) R 3 (x ) (y, ) (z, )}, 4 {(x, y, z) R 3 (x ) (y, ) (z, )}, 5 {(x, y, z) R 3 (x, ) (y ) (z, )}, 6 {(x, y, z) R 3 (x, ) (y ) (z, )}. Počítejme integrály po jednotlivých listech. isty parametrizujeme jako grafy konstantních funkcí definovaných na intervalu,, nabývajících tam hodnoty nebo. Přitom musíme parametrizace volit tak, aby vektor normály příslušné stěny směřoval ven z krychle. Postupně dostaneme tyto výsledky. : z, g(u, v) (u, v, ), f(g(u)) (u, v, uv), n(g(u)) (,, ), f(g(u)) n(g(u)) uv, f ds (f n) ds uv du dv 4. : z, g(u, v) (u, v, ), f(g(u)) (u, v, ), n(g(u)) (,, ), f(g(u)) n(g(u)),

31 4.3. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU 53 takže takže takže 3 : x, f ds. g(u, v) (, u, v), f(g(u)) (, u, uv), n(g(u)) (,, ), f(g(u)) n(g(u)), f ds f n ds : x, du dv. g(u, v) (, u, v), f(g(u)) (, u, uv), n(g(u)) (,, ), f(g(u)) n(g(u)) (, u, uv)(,, ), 4 f ds. 5 : y, výpočet analogicky jako po 3, 6 : y, výpočet analogicky jako po 4. Nyní sečteme jednotlivé výsledky přes listy a dostaneme P 6 f ds f ds j j. Máme počítat tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, z) kulovou plochou x + y + z a orientovanou ven. Kulová plocha (sféra) je uzavřená plocha P, kterou můžeme rozložit na dva listy, představující horní a dolní polosféru. Označme P, kde {(x, y, z) R 3 (z a x y ) (x + y a )}, {(x, y, z) R 3 (z a x y ) (x + y a )}. Vektorové pole f i plocha P jsou symetrické vzhledem k počátku, takže stačí vypočítat tok horní polosférou a celkový tok sférou bude pak jeho dvojnásobek. Budeme tedy počítat hodnotu orientovaného plošného integrálu P f ds f ds x dy dz + y dz dx + z dx dy (f n) ds po orientovaném listu s orientací ν(/, /, /) (/, /, /). Zvolíme parametrizaci pomocí sférických souřadnic g(ϕ, ϑ) (a cos ϕ cos ϑ, a sin ϕ cos ϑ, a sin ϑ), < ϕ < π, ϑ < π.

32 54 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY Odtud pro tečná vektorová pole dostáváme (ϕ, ϑ) ( a sin ϕ cos ϑ, a cos ϕ cos ϑ, ), ϕ (ϕ, ϑ) ( a cos ϕ sin ϑ, a sin ϕ sin ϑ, a cos ϑ). ϑ Jejich vektorový součin dává vektorové pole normál n(g(ϕ, ϑ)) a cos ϑ(cos ϕ cos ϑ, sin ϕ cos ϑ, sin ϑ). Zřejmě je n (g(π/4, π/4)) (/, /, /) ν(/, /, /)). Parametrizace indukuje souhlasnou orientaci. Dále je Je tedy f(g(ϕ, ϑ)) n(g(ϕ, ϑ)) a 3 cos ϑ(cos ϕ cos ϑ, sin ϕ cos ϑ, sin ϑ) (cos ϕ cos ϑ, sin ϕ cos ϑ, sin ϑ) a 3 cos ϑ(cos ϕ cos ϑ + sin ϕ cos ϑ + sin ϑ) a 3 cos ϑ. x dy dz + y dz dx + z dx dy (f n) ds π π/ a 3 cos ϑ dϑ dϕ πa 3. f ds x dy dz + y dz dx + z dx dy 4πa 3. Dostali jsme tak f ds P Úlohy æ. Vypočtěte tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, z) povrchem kužele x + y z, z, orientovaným vnějším normálovým vektorem. [π.]. Vypočtěte tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, z) sférou x + y + z r orientovanou vnějším normálovým vektorem. [6πr 3 /3.] 3. Vypočtěte integrál P xz dy dz + yz dz dx + x dx dy po jednotkové sféře x + y + z orientované vnějším normálovým vektorem. 4. Vypočtěte integrál P x dy dz + y dz dx + dx dy z po elipsoidu x /a +y /b +z /c orientovaném vnějším normálovým vektorem. [.] [4π(a b + a c + b c )/abc.]

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v . a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou

Více

13. cvičení z Matematické analýzy 2

13. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013

Více

12 Trojný integrál - Transformace integrálů

12 Trojný integrál - Transformace integrálů Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec.

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

10. cvičení z Matematické analýzy 2

10. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

VEKTOROVÁ POLE Otázky

VEKTOROVÁ POLE Otázky VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se

Více

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

Plošný integrál funkce

Plošný integrál funkce Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho

Více

14. cvičení z Matematické analýzy 2

14. cvičení z Matematické analýzy 2 4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál

Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál Plošný integrál tudijní text, 16. května 2011 Plošný integrál Jednoduchý integrál jsme rozšířili zavedením křivkového integrálu. Rozlišovali jsme dva druhy integrálu, přičemž křivkový integrál 2. druhu

Více

Matematika pro chemické inženýry

Matematika pro chemické inženýry Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Plošný integrál Přednášky Z 216-217 ponzorováno grantem VŠCHT Praha, PIGA 413-17-6642, 216 Povinná látka. Bude v písemkách a bude se zkoušet při ústní

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály . Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )

Více

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE

VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) jako vektor s

Více

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí 202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26 Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2 4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy 2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

PLOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule).

PLOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule). LOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule). uzavřená hladká kraj LOCHY lochy v prostoru, které byly zatím

Více

4. Napjatost v bodě tělesa

4. Napjatost v bodě tělesa p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.

Více

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce. KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový

Více

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) 2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL

2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL . VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin

Více

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g. . Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2. Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE LEKE34-KIN auchyova obecná auchyova auchyův vzorec vičení KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Na konci kapitoly o derivaci je uvedena souvislost existence derivace s potenciálním polem. Existuje

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ). III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

svou hloubku, eleganci i široké spektrum aplikací bývají tyto věty považovány za jedny

svou hloubku, eleganci i široké spektrum aplikací bývají tyto věty považovány za jedny Kapitola Integrální věty V této kapitole se seznámíme s hlubšími větami integrálního počtu, které vyjadřují souvislost mezi typy integrálů, s nimiž jsme se setkali během předchozího výkladu. Jedná se Gaussovu

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n. SBÍRKA PŘÍKLAŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY III J. ANĚČEK, M. ZAHRANÍKOVÁ Symbolem jsou označeny obtížnější příklady. Posloupnosti Určete limitu posloupnosti n n + lim n n + 5n + lim n n n n4 + n lim n lim n

Více

Parametrické rovnice křivky

Parametrické rovnice křivky Křivkový integrál Robert Mařík jaro 2014 Tento text je tištěnou verzí prezentací dostupných z http://user.mendelu.cz/marik/am. Křivkový integrál Jedná se o rozšíření Riemannova integrálu, kdy množinou

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 3. Implicitní funkce Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 V této kapitole se seznámíme s dalším možným zadáním funkce jejím implicitním vyjádřením. Doplní tak nám již známé explicitní a parametrické

Více

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z: PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y

Více

2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n.

2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n. Písemka matematika 3 s řešením 1. Vypočtěte lim n( 1 + n 2 n), n lim n (( 1 + 1 n e ) n ) n. 1/2, 1/ e 2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: a n = sin nπ ( 2, b n = n

Více

14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta

14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta 14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2010/11 14.1 Úvod Definice (zobecněná plocha) Řekneme, že S R n (n 2) je zobecněná (n

Více

7 Gaussova věta 7 GAUSSOVA VĚTA. Použitím Gaussovy věty odvod te velikost vektorů elektrické indukce a elektrické intenzity pro

7 Gaussova věta 7 GAUSSOVA VĚTA. Použitím Gaussovy věty odvod te velikost vektorů elektrické indukce a elektrické intenzity pro 7 Gaussova věta Zadání Použitím Gaussovy věty odvod te velikost vektorů elektrické indukce a elektrické intenzity pro následující nabitá tělesa:. rovnoměrně nabitou kouli s objemovou hustotou nábojeρ,

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Skalární a vektorový popis silového pole

Skalární a vektorový popis silového pole Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma

Více

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017 z AM-DI Petr Hasil, Ph.D. hasil@mendelu.cz Verze: 1. března 017 Poznámka. Příklady označené na cvičení dělat nebudeme, protože jsou moc dlouhé, popř. složité (jako takové, nebo pro psaní na tabuli). V

Více

1.13 Klasifikace kvadrik

1.13 Klasifikace kvadrik 5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11

Více

Derivace funkcí více proměnných

Derivace funkcí více proměnných Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,

Více

Kapitola 1. Reálné funkce více reálných proměnných. 1.1 Euklidovský n-rozměrný prostor R n Algebraické vlastnosti prostoru R n

Kapitola 1. Reálné funkce více reálných proměnných. 1.1 Euklidovský n-rozměrný prostor R n Algebraické vlastnosti prostoru R n Obsah 1 Reálné funkce více reálných proměnných 5 1.1 Euklidovský n-rozměrný prostor R n...................... 5 1.1.1 Algebraické vlastnosti prostoru R n.................. 5 1.1.2 Metrické vlastnosti prostoru

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce

ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce 1) Šroubový pohyb ŠROUBOVICE Šroubový pohyb vznikne složením dvou pohybů : otočení kolem dané osy o a posunutí ve směru této osy. Velikost posunutí je přitom přímo úměrná otočení. Konstantou této přímé

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

4. Diferenciál a Taylorova věta

4. Diferenciál a Taylorova věta 4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce

Více

14. přednáška. Přímka

14. přednáška. Přímka 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1

Více

5. cvičení z Matematiky 2

5. cvičení z Matematiky 2 5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Křivkový integrál vektorového pole

Křivkový integrál vektorového pole Kapitola 7 Křivkový integrál vektorového pole 1 Základní pojmy Křivkový integrál vektorového pole je modifikací křivkového integrálu skalární funkce, která vznikla z potřeb aplikací ve fyzice, chemii a

Více

V. Riemannův(dvojný) integrál

V. Riemannův(dvojný) integrál V. Riemannův(dvojný) integrál Obsah 1 Základní pojmy a definice 2 2 Podmínky existence dvojného integrálu 4 3 Vlastnosti dvojného integrálu 4 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více