4.6 Složené soustavy

4.6 Složené soustavy vznikají spojením jednotlivých konstrukčních prvků (tuhých těles, tuhých desek a/nebo bodů) deska deska G G 1

vazby: vnitřní - spojují jednotlivé prvky vnější - připojují soustavu k podkladu (základům, další konstrukci a.p.) vnitřní vazby G G vnější vazby 2

rovinná soustava - zatížení: rovinná soustava sil a - rovinné uspořádání vazeb G G 3

prostorová soustava - zatížení: prostorová soustava sil a/nebo - prostorové uspořádání vazeb 4

stupně volnosti soustavy m = součet počtů stupňů volnosti jednotlivých prvků bez vlivu vazeb r = součet počtů stupňů volnosti odebraných všemi vazbami s n = r - m stupeň statické neurčitosti soustavy posouzení vnějšího podepření rovinná složená soustava má minimálně 3 stupně volnosti (min. 1 deska... m = 3) prostorová složená soustava má minimálně 6 stupňů volnosti (min. 1 těleso... m = 6) aby vnější vazby zamezily přemístění konstrukce, musí odebírat nejméně: 3 stupně volnosti rovinné soustavě (r ext 3) 6 stupňů volnosti prostorové soustavě (r ext 6) 5

statická/kinematická určitost soustavy Stupně volnosti *) rovina [prostor] Podepření staticky Podepření kinematicky Pozn. s n = 0 (m = r) a rext 3[6] *) a není výjimkový případ s n > 0 (m < r) a rext 3[6] *) a není výjimkový případ s n < 0 (m > r) a/nebo rext < 3[6] *) a/nebo výjimkový případ určité neurčité přeurčité určité přeurčité neurčité kce. vč. všech jejích částí pevně podepřena kce. vč. všech jejích částí pevně podepřena kce. nebo její část může samovolně změnit polohu výjimkový případ podepření: přestože počet vazeb je dostatečný k odebrání všech stupňů volnosti konstrukce (r m, r ext 3 nebo r ext 6), jejich nevhodné uspořádání nezabraňuje skutečným či nekonečně malým posunům/pootočením konstrukce nebo její části 6

Příklady: r c = 2 I. m c II. I = 3 m II = 3 a d b r r a = 2 d = 1 r b = 1 r c = 2 I. m c II. I = 3 m II = 3 a b r a = 2 r b = 2 m = 2 3 = 6 r = (2+1)+(2+1) = 6 vnější vnitřní s n = r m = 0 staticky i kinematicky určitá kce. vnější podepření: r ext = (2+1) = 3 3 m = 2 3 = 6 r = (2+2) + 2 = 6 vnější vnitřní s n = r m = 0 staticky i kinematicky určitá kce. vnější podepření: r ext = (2+2) = 4 3 r c = 2 I. m c II. I = 3 m II = 3 a d b r r a = 2 d = 1 r b = 2 m = 2 3 = 6 r = (2+2)+(2+1) = 7 vnější vnitřní s n = r m = 1 1x staticky neurčitá / 1x kinematicky přeurčitá kce. vnější podepření: r ext = (2+2) = 4 3 7

I. m I = 3 r c = 2 c d r d = 1 II. m II = 3 a e r e = 1 b r a = 2 r b = 1 m = 2 3 = 6 r = (2+1)+(2+1+1) = 7 vnější vnitřní s n = r m = 1 1x staticky neurčitá / 1x kinematicky přeurčitá kce. vnější podepření: r ext = (2+1) = 3 3 Všimněme si: tuhý celek - deska I. c II. d a e b r a = 2 r b = 1 Vnější vazby odebírají tuhé desce 3 stupně volnosti... konstrukce je vně staticky určitá. 8

m = 2 3 = 6 r c = 2 I. m c II. vnější vnitřní I = 3 m II = 3 a b r a = 2 r b = 1 r = (2+1) + (2) = 5 s n = r m = 1 1x staticky přeurčitá / 1x kinematicky neurčitá kce. (přestože vnější podepření: r ext = (2+1) = 3 3) I. m I = 3 r c = 2 c d r d = 1 II. m II = 3 a e r e = 1 r a = 2 m = 2 3 = 6 r = (2) + (2+1+1) = 6 vnější vnitřní s n = r m = 0 ALE vnější podepření: r ext = 2 3... kce. vně staticky přeurčitá, není zamezeno pootočení 9

r c = 1 c m I = 3 m II = 3 I. r d = 1 d II. a b r a = 2 r b = 2 m = 2 3 = 6 r = (2+2) + (1+1) = 6 vnější vnitřní s n = r m = 0 vnější podepření: r ext = (2+2) = 4 3 ALE nevhodné uspořádání vazeb nezamezuje přemístění kce.... výjimkový případ podepření 10

* další příklady výjimkových případů podepření rovinných složených soustav 11

Př. 1: Načrtněte statické schéma zobrazené konstrukce a určete její stupeň statické neurčitosti. a) 2D b) 3D (Letiště Marca Pola, Benátky) 12

metoda výpočtu reakcí: 1) konstrukci rozdělíme na jednotlivé prvky 2) účinky vazeb nahradíme neznámými reakcemi vnější vazby a b A h B h A v B v Povšimněme si: každá vnější reakce se vyskytuje právě 1x. 13

vnitřní vazby: každá vnitřní vazba musí být v rovnováze, např. c C Ih C Iv C IIh C IIv CIIh C Iv C Ih C IIv -C Ih + C IIh =0 -C Iv + C IIv =0 C h C h C v C v Povšimněme si: každá vnitřní reakce se vyskytuje právě 2x, a to vždy s opačnou orientací. 14

3) vypočítáme reakce tak, aby každá část konstrukce byla v rovnováze soustava je v rovnováze jako celek podmínky rovnováhy pro každý prvek zahrneme pouze zatížení a reakce působící na prvek podmínky rovnováhy pro soustavu jako celek (vnější podmínky rovnováhy) zahrneme všechna zatížení kce. a vnější reakce nadbytečné podmínky (můžeme použít pro výpočet nebo pro kontrolu) 15

4.6.1 Rovinné složené soustavy vícenásobný kloub 16

vícenásobný kloub pro výpočet reakcí působících na připojené pruty někdy zjednodušujeme Pozor: nepřípustné pro detailní výpočet vazby (spoj. plechu, čepu ap.). 17

* odebrané st. volnosti: r = 2 (n-1) (n připojených desek) III II r II = 2 I r I = 2 r = r I + r II = 4 18

* reakce II A IIh nebo III A IIv A Ih A Iv A IIh A Iv A IIv II A Ih A Iv I A IIh A Ih III A IIh A IIv A Iv I A IIv A Ih Výsledné celkové reakce působící na připojené desky vyjdou v obou případech stejně. Avšak pro detailní výpočet sil působících na vazby (spoj. plech, čep ap.) je nutno zavést reakce podle skutečného působení vazby! 19

* pozor, rozdíl dvojnásobný kloub II A IIv A Iv A Ih A IIh A IIh II A IIv A Iv III I III A Ih I jednoduchý kloub II II A v A v I A h A h I 20

dvě či více vazeb v jednom místě, např.: 21

dvě či více vazeb v jednom místě, např.: II b a I = II b a I nebo II b I a II B v A v B h A h B v B h I nebo Výsledné celkové reakce působící na připojené desky i ve vnější vazbě vyjdou v obou případech stejně. Avšak pro detailní výpočet sil působících na vazby (spoj. plech, čep ap.) je nutno zavést reakce podle skutečného působení vazby! II B v B h B v B h A v I A h 22

zatížená vazba, např.: II F I vnější sílu F můžeme přiřadit desce I nebo II II A v A h F A h A v I nebo II F A v A h A h A v I pozn.: podobně pro moment Výsledné celkové síly působící na připojené desky vyjdou v obou případech stejně. Avšak pro detailní výpočet sil působících na vazby (spoj. plech, čep ap.) je nutno zavést reakce podle skutečného působení vazby! 23

Př. 2: Vypočtěte vnitřní a vnější reakce rovinné konstrukce M 1 = 7 knm F 1 = 10 kn F 2 = 5 kn 2 F 3 = 3 kn 3 4 4 (m) 24

Posouzení statické určitosti m = 3 r = 4 m = 3 m = 3 r = 1 r = 2 r = 1 r = 1 nebo m = 3 r = 4 m = 3 m = 3 r = 2 r = 2 r = 2 r = 1 m = 3 r = 1 m = 3 3 = 9 r = 3 1+2+4 = 9 m = r m = 4 3 = 12 r = 2 1+3 2+4 = 12 m = r 25

Rozdělení na prvky a zavedení reakcí M 1 = 7 knm F 1 = 10 kn E Ih E Iv E IIh E IIv II. F 2 = 5 kn I. E Iv E Ih E IIh F 3 = 3 kn E IIv A v A h III. D D C B I. e III. II. a b d c 26

Podmínky rovnováhy M 1 = 7 knm F 1 = 10 kn E Ih E Iv E IIh E IIv II. F 2 = 5 kn I. A h E Iv E Ih F 3 = 3 kn D I: A C v II: x : Ah + EIh = 0 (1) B x : F2 EIIh D = 0 (4) z : F1 + Av + EIv = 0 (2) z : C E IIv = 0 (5) e : M1 + 4Av + 5Ah = 0 (3) e : 5D 4C = 0 (6) III: x : E + E + D + F = 0 (7) Ih IIh E IIv III. 3 E IIh z : EIv + EIIv + B = 0 (8) e : 2F3 + 5D = 0 (9) D 27

Podmínky rovnováhy I: x : A + E = 0 (1) h Ih z : Av + EIv = 10 (2) z : C E IIv = 0 (5) e : 4Av + 5Ah = 7 (3) e : 5D 4C = 0 (6) III: x : E + E + D = 3 (7) Ih IIh z : EIv + EIIv + B = 0 (8) e : 5D = 2 3 (9) II: x : E D = 5 (4) IIh 28

Řešení soustavy pomocí programu wxmaxima (wxmaxima.sourceforge.net, maxima.sourceforge.net)

Podmínky rovnováhy M 1 = 7 knm F 1 = 10 kn F 2 = 5 kn 2 F 3 = 3 kn 3 A h 4 4 A v B C Vnější: x : A + F + F = 0 (10) h 2 3 z : Av + B + C + F1 = 0 (11) a : M 4F 5F 3F 4B 8C = 0 (12) 1 1 2 3 30

Vnější podmínky rovnováhy můžeme použít pro kontrolu výsledku:

Výsledek: M 1 = 7 knm F 1 = 10 kn 8 18.25 6.2 1.5 II. F 2 = 5 kn I. 18.25 8 F 3 = 3 kn 1.5 6.2 8 8.25 1.2 1.2 1.5 19.75 (kn) 32

Praktická doporučení pro řešení složených soustav Výpočet reakcí staticky určité složené soustavy vede nařešení soustavy lineárních rovnic, jejichž počet odpovídá počtu stupňů volnosti konstrukce. Soustavu rovnic můžeme výrazně zjednodušit při dodržení následujících doporučení: V konstrukci se snažíme identifikovat nesené a nosné části. Při sestavování a výpočtu podmínek rovnováhy postupujeme od nesené části k nosné. Při sestavování podmínek rovnováhy pro jednotlivé desky použijeme takové nezávislé podmínky (silové a/nebo momentové), ve kterých se vyskytne co nejméně neznámých reakcí. Toho je možno docílit zejména vhodnou volbou bodů pro podmínky momentové. V některých případech může být výhodné využít pro řešení některých reakcí vnější podmínky rovnováhy, nebo podmínky rovnováhy pro část soustavy sestávající z dvou nebo více desek. Viz příklady. 33

34

35

(kn) 36

Nesená část 37

Nosná část (trojkloubový rám) 38

(kn) 39

Poděkování - Acknowledgment: Všechny použité fotografie pocházejí z Godden Structural Engineering Slide Library, National Information Service for Earthquake Engineering, University of California, Berkeley. All photographs belong to Godden Structural Engineering Slide Library and appear courtesy of National Information Service for Earthquake Engineering, University of California, Berkeley. 40

Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám z předmětu Stavební mechanika 1 pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby. Datum poslední revize: 3.12.13 20:50 41