Funkce více proměnných

Euklidův prostor Body, souřadnice, vzdálenost bodů Množina bodů, které mají od bodu A stejnou vzdálenost Uzavřený interval, otevřený interval Okolí bodu Hromadný bod, uzavřená množina vnitřní bod, vnitro hraniční bod, hranice, ohraničená množina lomená čára, oblast, uzavřená oblast

Příklad (Definiční obor) Daná je funkce f (x, y) = x + y, určte její def. obor. Zřejmě x + y 0, potom y x. Proto def. oborem je {[x, y] R 2 ; y x}.

Příklad (Definiční obor) Daná je funkce f (x, y) = 1 x 2 y 2, určte její def. obor. Zřejmě 1 x 2 y 2 0, potom 1 x 2 + y 2. Proto def. oborem je {[x, y] R 2 ; 1 x 2 + y 2 }, jedná se o kruh se středem v bodě S = (0, 0) a poloměrem r = 1.

Příklad (Definiční obor) Daná je funkce f (x, y) = x 2 + 4y 2 2x + 16y 11, určte její def. obor. Zřejmě x 2 + 4y 2 2x + 16y 11 0, potom 1 (x 1)2 28 + (y+2)2 7. Proto def. oborem je {[x, y] R 2 ; 1 (x 1)2 28 + (y+2)2 7 }, resp. R 2 {[x, y] R 2 ; 1 (x 1)2 28 + (y+2)2 7 }. Jedná se o elipsu a její "okolí".

Limita funkce Nechť funkce f (X), X = [x 1, x 2,, x n ] je definována na nějakém okolí bodu A = [a 1, a 2,, a n ]. Funkce f (X) má v bodě A limitu číslo L, ak pro každou posloupnost bodů {X i } i=1, X i A z def. oboru funkce f (X), která konverguje k bodu A, má posloupnost funkčních hodnot {f (X i )} i=1 za limitu číslo L. Řekneme, že funkce f je v bodě A spojitá, jestliže lim f (X) = f (A). X A Řekneme, že funkce f je spojitá na množine M, je-li spojitá v každém bode této množiny.

Příklad (Limita) Určete limitu funkce lim x 1 y 0 z 1 x + y z + 1 x 2 + y 2 + z 2 = 1 + 0 1 + 1 1 2 + 0 2 + 1 2 = 1 2

Příklad (Limita) Určete limitu funkce lim x 0 y 0 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 1 = = lim x 0 y 0 x 2 + y 2 x x 2 + y 2 + 1 1 2 + y 2 + 1 + 1 x 2 + y 2 + 1 + 1 = = lim x 0 x 2 + y 2 + 1 + 1 = 2 y 0

Příklad (Limita) Určete limitu funkce lim x 0 y 0 1 x 2 + y 2 Nechť {X n } n=1 je libovolná posl. bodů, kde X i = (x i, y i ) (0, 0). Potom lim x i = 0, lim y i = 0. x x Potom lim x x2 i + yi 2 = 0, proto lim x lim x 0 y 0 1 x 2 i +y2 i 1 x 2 + y 2 =. =, teda

Příklad (Limita) Určete limitu funkce lim x 0,y 0 xy 2 x 2 + y 4 Nechť {x n } n=1 je konvergentní posloupnost, která má limitu 0. Všimněte si posl. bodů {X n } n=1, kde X i = (x i, 0) (0, 0). Zřejmě f (X i ) 0 Všimněte si posl. bodů {X n } n=1, kde X i = (x 2 i, x i ) (0, 0). Zřejmě f (X i ) 1 2. Závěr: máme dvě různé posloupnosti bodů konvergující k bodu (0, 0) a jejich limity jsou různé, proto limita funkce v uvedeném bodu neexistuje.

Spojitá funkce na ohraničené uzavřené množine Jestliže je funkce f spojitá na ohraničené uzavřené množine M, potom je na množine M ohraničená, má na množine M maximum a minimum.

Parciální derivace

Příklad (Parciální derivace) Daná je funkce f (x, y) = x 2 + xy + 2y 2, určte její parc. derivace podle x a podle y. f x = 2x + y f y = x + 4y

Příklad (Parciální derivace) Daná je funkce f (x, y) = (2x 2 + y 2 ) 2x+3y, určte její parc. derivace podle x. Zřejmě f (x, y) = e ln(2x2 +y 2 ) 2x+3y = e (2x+3y) ln(2x2 +y 2 ) Potom f x = e (2x+3y) ln(2x2 +y 2) [2 ln(2x 2 + y 2 ) + (2x + 3y) 1 2x 2 +y 2 4x] f x = (2x 2 + y 2 ) 2x+3y [2 ln(2x 2 + y 2 ) + (2x + 3y) 1 2x 2 +y 2 4x]

Derivace podle vektoru-směrová derivace f (X 0 +h. u) = g(h) f u (X f (X 0 + h. u) f (X 0 ) g(h) g(0) 0) = lim = lim = g (0) h 0 h h 0 h

Příklad (Derivace podle vektoru) Daná je funkce f (x, y, z) = x 2 3xy 4y 2 5x 4z 2 a vektor u = ( 1, 1, 2). Určte derivaci funkce f (x, y, z) podle vektoru u v obecném bodě X = (x, y, z). Sestavíme funkci g(h) = f (X + h.u), víme, že g (0) = f u(x, y, z). X + hu = x + ( 1) h, y + h 1, z + h 2 = (x h, y + h, z + 2h) Potom g(h) = (x h) 2 3(x h)(y+h) 4(y+h) 2 5(x h) 4(z+2h) 2 g (h) = 2(x h) 3( y h+x h) 8(y+h)+5 16(z +2h). Po dosazení (h = 0) a úpravě je g (0) = 5x 5y + 5 16z = f u(x, y, z).

Gradient Vektor gradf (X 0 ) = (f x 1 (X 0 ),, f x n (X 0 )) se nazývá gradient funkce f v bodě X 0. Je-li f funkce hladká na oblasti A, platí pro každý vektor u X A f u (X) = u gradf (X). Gradient gradf (X) udává (v definičním oboru!) směr, ve kterém, vycházíme-li z bodu X, funkce nejrychleji roste (v případě funkce dvou promenných je to směr kolmý na vrstevnici, v prípadě funkce tří proměnných směr kolmý na hladinu funkce).

Příklad (Derivace podle vektoru, použití gradientu) Daná je funkce f (x, y, z) = x 2 3xy 4y 2 5x 4z 2 a vektor u = ( 1, 1, 2). Určte derivaci funkce f (x, y, z) podle vektoru u v obecném bodě X = (x, y, z). Určíme gradient funkce f (x, y, z) : gradf (X) = (2x 3y 5, 3x 8y, 8z) Vynásobíme skalárně vektor a gradient u gradf (X) = 5x 5y + 5 16z = f u(x, y, z).

Diferenciál Nechť funkce f je hladká na oblasti A, bod X 0 A a h je vektor. Potom zobrazení df (X 0, h) = gradf (X 0 ) h = f h (X 0 ) nazýváme diferenciálem funkce f v bodě X 0. Je-li f funkce dvou promenných, f = f (x, y), X 0 = [x 0, y 0 ], h = (dx, dy), potom df (X 0, h) = f x(x 0, y 0 )dx + f y(x 0, y 0 )dy. Tečná rovina z f (x 0, y 0 ) = f x(x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y(x 0, y 0 )(y y 0 ).

Příklad (Tečná rovina) Daná je funkce f (x, y) = x 2 + 1 4 y2, její bod P = (1, 3, 13 4 ). Najděte rovnici tečné roviny v bodě P a určete rovnici její normály. Zřejmě rovnice tečné roviny je z f (x 0, y 0 ) = f x(x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y(x 0, y 0 )(y y 0 ). f (x 0, y 0 ) = f (1, 3) = 13 4, f x(x 0, y 0 ) = 2x 0, f y(x 0, y 0 ) = 1 2 y 0. f x(x 0, y 0 ) = f x(1, 3) = 2, f y(x 0, y 0 ) = f y(1, 3) = 3 2. Po dosazení z 13 4 = 2(x 1) + 3 (y 3), 2 a po úpravě 2x + 3 2 y z = 13 4.

Příklad (Tečná rovina, pokr.) Norm. vektor je (2, 3 2, 1), rovnice normály (máme přímku v prostore!!!) x = 1 + 2t y = 3 + 3 2 t z = 13 4 t.

Příklad (Tečná rovina, diferenciál) Nechť z = f (x, y) je rovnice plochy v prostoru. Na této ploše leží bod A = [3, 5, 7]. Dále platí z x(3, 5) = 2, z y(3, 5) = 3. Řešení. Najděte rovnici tečné roviny a normálový vektor n k dané ploše v daném bodě. Odhadněte f (3.02, 4.99). Rovnice tečné roviny je Zřejmě z f (x 0, y 0 ) = f x(x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y(x 0, y 0 )(y y 0 ). x 0 = 3, y 0 = 5, f (x 0, y 0 ) = 7, f x(x 0, y 0 ) = 2, f y(x 0, y 0 ) = 3.

Příklad (Tečná rovina, diferenciál, pokr.) Proto z 7 = 2(x 3) + 3(y 5), po úpravě 2x + 3y z 14 = 0, norm. vektor je (2, 3, 1). pro určení přibl. hodnoty využijeme, že z = f (x 0, y 0 ) + f x(x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y(x 0, y 0 )(y y 0 ). Potom z = f (3, 5) + f x(3, 5)(3.02 3) + f y(3, 5)(4.99 5), po úpravě z = 7.01.