SMA 4.ročník. (Ne)rovnice s parametrem Petr Harbich, rel. 006009 Řešte V R s neznámou x a parametrem a c R :. Rovnice a nerovnice s parametrem x+a. a = ax ; D : a = 0..ns; a =!..K = π; a! 0&a!!..K ={ a a }. ax x+ = ax+ x ; 3. a a = x ; D : a =..K = R {!}; a!..k = π D : a = 0..ns; a =..K = π; a! 0&a!...K ={a+ a } 4. a x 4 ax = a ; [D : a = 0..ns; a =...K = R {0}; a =..K = π; a! 0&a!!..K ={a + }] 5. + a x = a; [D : a =..K = R {0}; a =..K = π; a!!...k ={a + }] 6. a (x ) ax = ; [D : a = 0..K = π; a =..K = R {}; a! 0&a!..K ={ a+ a }] 7. ax a = a (4x + ); D : a = 0..ns; a =..K = π; a =..K = R; a! 0&a!!..K ={ a(a ) } a(x 3) + 3 x 5 a(x+)(x 3) ; 8. (a )(x+) = D : a = 0ora =...ns; a = ora = 4...K = π; a! all..k ={a+7 4a } 9. VIP Obvod předního kola vozu je a metrů, zadního b metrů (b>a formule ). Na jak velké vzdálenosti udělá přední kolo o otáčku víc než zadní? ba b a metru 0. VIP Při které hodnotě parametru a je součet druhých mocnin kořenů rovnice x (a )x a = 0 nejmenší? [a = ]. VIP Při které hodnotě parametru a je součet druhých mocnin kořenů rovnice x + (a + )x + a + = 0 nejmenší? [a = ]. ax (a )x = 0; D : a = 0..K ={}; a!..k ={ p! p+ p =...} 3. x x + a = 0 ; [D : vcetne_complex_reseni...] Viettovy vzorce: prakticky nax 4x 6 = 0; x + x = 4 ; x.x = 6 4. Sestavte kvadratickou rovnici jejíž kořeny jsou rovny druhým mocninám kořenů 3x 5x + =0 aniž ji řešíte. [9x 3x + 4 = 0] 5. Sestavte kvadratickou rovnici, která má kořeny převrácené hodnoty kořenů 6x 3x + 6 = 0, aniž ji řešíte. [6x 3x + 6 = 0].. the same 6. V rovnici ax 8a + 4 = 0 určete a tak, aby jedním kořenem byl 3 ; [a = 3; x = ]. (Ne)rovnice s parametrem Strana z 3 Celkem z 83
SMA 4.ročník. (Ne)rovnice s parametrem Petr Harbich, rel. 006009 7. SUPER VIP Vodní nádrž se naplní jedním přívodem o 4, druhým o 9 hodin později než oběma najednou. Za jak dlouho se naplní každým zvlášť? 4 = ; t t + 9 = t t t + t [0, 5h] 8. Dva traktory zorají pole za 4 hodiny. Kdyby první traktor zoral pole a druhý práci dokončil, trvalo by to 9 hodin. Za jak dlouho zorá pole každý zvlášť? [, 6h] t 4 = = t + t 9. ax x + = 0; t 9 D : a = 0..K ={ }; a =..K ={}; a < &a! 0..K ={! 4 4a!i 4 4a a }; a >..K ={ a } 0. x ax + = 0; [D : a =..K =; a =...K =; a c ( ; )or(; )...K =; a c ( ; )...K =]. x x p + = 0; [D : p = 0..K =..; p > 0...K =...; p < 0...K =...]. (a + 0)x + 6x a = 0; D : p ={ 9; }..K = { 3 a+0 }; p c ( 9; )..K = π; p c ( ; 9) 4 ( ; )..K ={ 6! D (a+0) } 3. x px x + p + 0 = 0 D : p c ( ; 3)..K ={ p+! 4p 36 }; p c { 3; 3}..K ={p + }; p c ( 3; 3)..K ={&} & = p+!i 4p 36 4. Je dána rovnice px(3x + 4) = x +. V závislosti na parametru p c R určete počet řešení dané rovnice v R. p = 3 linearni; p c ( ; ) 4 ( 4 ; ) 4 ( 3 ; )..koreny; p c { ; 4 }...dvojnas; ; [p c ( ; ) 4...zadne_reseni] 5. Je dána rovnice (a + )x (a + 3)x + a 7a + 3 = 0. Určete všechny hodnoty parametru a c R, pro která má rovnice jeden kořen roven 0. Potom určete druhý kořenx = 0dosadit d a =..x = 4 3 ; a = 3...x = 3 6. Je dána rovnice t(x + ) 3 = x(x t). Určete všechny hodnoty reálného parametru t, pro která má rovnice:. Dva různé reálné kořeny [D > 0& b a > 0& a c > 0 d ( 3 4 ;)]. Dva různé reálné záporné kořeny [D > 0; b a < 0& a c > 0 d (3; )] 3. Dva různé reálné kořeny opačných znamének [D > 0& a c < 0 d (; )] 7. Je dána rovnice x (m + 3)x + m 3 = 0. Určete všechny hodnoty reálného parametru m tak, aby rovnice měla kořeny dvě vzájemně opačná Čísla. [ b a = 0..m = 3] 8. Je dána rovnice x (m + 3)x + m 3 = 0. Určete všechny hodnoty reálného parametru m tak, aby daná rovnice měla kořeny dvě navzájem převrácená Čísla. [ a c = d m = 4]. (Ne)rovnice s parametrem Strana z 3 Celkem z 83
SMA 4.ročník. (Ne)rovnice s parametrem Petr Harbich, rel. 006009 9. Řešte v R: (a 3)ax > 3 a 30. Řešte v R: p 3 x p [ x 3 + 4 p ; [ ] p 4 x p m p + x 4 ; p = 0..ns; p > 0...K = ( ; p +8 p+4 }; p c ( ; 4) 4 ( 4; 0)..K =< p +8 p+4 ; ) [p = 4...K = π] 3. Řešte pro parametr p a proměnnou x: x 6x p m 0; p < 9..K = R; p m 9..K =( ;3 p + 9 > 4 4 < 3 + p + 9 ; ). (Ne)rovnice s parametrem Strana 3 z 3 Celkem 3 z 83
SMA 4.ročník. Iracionální (ne)rovnice Petr Harbich, rel. 006009. Iracionální (ne)rovnice ROVNICE = podmínky nedělám, protože dělám zkoušku, kvůli neekvivalentnosti některých úprav (umocněním přibývají kořeny), pozor na dělení výrazem s neznámou, buď mám ošetřeno, kdy je nenulový nebo je to superprůšvih!!! SUBSTITUCE - u rovnic, když se někde v rovnici výraz s proměnnou podezřele opakuje (nebo si je dost podobný ), položíme a = výraz kouknu a pak teprve umocňuji, záleží na zkušenostech a šikovnosti (kam šoupnu odmocniny, aby se mně lépe a elegantněji řešilo) NEROVNICE = musím určit podmínky nezápornosti pod odmocninou (definiční obor) a otázka řešení pro kladné/záporné druhé strany bez odmocnin vzhledem k dané nerovnosti - vytvořím INTERVAL MOŽNÝCH ŘEŠENÍ (zlatý), ten potom pronikám s výsledkem upravovaných nerovností Pozor na násobení, dělení výrazem s proměnnou!!!!!!!!! Musím mít ošetřeno nejenom nenulovost u dělení, ale hlavně kladnost, zápornost výrazu, kterým násobím - kvůli případnému otáčení znaménka nerovnosti!!!!! Řešte v R:. x = x ; [3]. + 5x = x; [0] 3. 4 x + 6 = x + ; [9] 4. 6x 3 x + 6 = 0; 4 9 ; 9 4 5. x + 6 x + = ; [ ; 5] 6. x + 5 = 8 x ; [0] 7. 4 x + 5 + x = 3; [ 5; 4] 8. 3x 7 x + = ; 8 + 4 9. x + x + 3 = ; [] 0.4 8 x 6x + 50 = 0; [ ]. x + 3 + x + 4 = 5 ; [ ] 5. 7 x = 8 3 x ; [] 3. x + + 4x + 3 = 3x + ; [ ] 4. x + x 3 = 3(x ) ; [4]. Iracionální rovnice Strana z 3 Celkem 4 z 83
SMA 4.ročník. Iracionální (ne)rovnice Petr Harbich, rel. 006009 5. x + 5 + x 7 = x ; [4] 6. x + + x + = 4x + 5 ; [ ] 7. x = x + 4 5 x ; ;5 8. 4 + x x = x ; [3] 9. 6 4x x = x + 4; [ ] 0. 5 x = x ; []. x x = ; [6] Substituce. x 4x + 6 = x 8x + ; [] 3. x + x + x + 8 = x; [ 4; ] 4. x + x 4x + = 4x + 8;! 3 5. 3x + 5x + x + 5x + = ; [ 5; 0] 6. 9 x + 5 x = ; [!5; y = 5 x ] 7. x + x + x 4x + 4 = 3; [< ; + )] 8. x+3 + x+3 4 = 7; [] 9. + x + x = 4 ; +x 3 30. x x+ x+ x+ = 5 ; [8] 3. x x = x ; [0] 3. x = 3x+ ; [6] x 0 3x 4 33. x + x = x ;! 3 34. x x x + x x = 0; [0; ; 4] (super extra VIP x + + x x = 0; 0;! 5 ) 35. Řešte v R:. x + 6 < x + 5; [(3; )]. x + 8 < x; [< 8; )]. Iracionální rovnice Strana z 3 Celkem 5 z 83
SMA 4.ročník. Iracionální (ne)rovnice Petr Harbich, rel. 006009 3. x < x; [< ; ) 4 (; )] 36. Řešte v R:. x + < x + 4 ; [< 4; )]. x < 7 x ; [( ;3)] 3. 9x 0 > x; [(4; 5)] 4. 5x > x ; [( ;)] 5. x + > x; [< ; )] 37. Řešte v R:. x + 3x + 3 < x + ; [( 3 ; )]. x + 4 > 4 x ; [< ; 8 5 ) 4 (0; >] 3. 3x x < 4 x; [< 0; 3 >] 4. 3 x > 3 x ; [< ; 0) 4 ( 3 5 ;>] 38. Řešte v R:. x + > x ; [R]. x < x x ; [< ; )] 3. 8 + x x > 6 3x; [(; 4 >] 4. x + 6x 5 > 8 x; [(3; 5 >] 5. (x ) x x m 0; [< ; + )] 39. Řešte v R: x. x > ; ( ;> 3x. x > ; [( 3 4 ; )] x 3 3. x > 0; [< 0; ) 4 (9; )] x 4. 3x+40 < 0; [(6; 8 >] 9x x 78 x+0 5. x < 0; [( 0; )] 40. Řešte v R:. 3x 0 > 6 x ; [(4; 6 >]. 3 x x + 3 > ; [(; )] 3. 3 x 5x + 5 > ; [(4; )] 4. x + 3 + x + 5 < 6; [< 3; )] 5. x + 3 + x + x + 4 > 0; [< ; )] 6. minivip x + 4a > 5 ax ; a...parametr; [< 0; a) 4 (6a; )] 4. Zpátky k rovnicím. Řešte v R: 4 x + x = ; [8]. Iracionální rovnice Strana 3 z 3 Celkem 6 z 83
SMA 4.ročník 3. Absolutní hodnoty (rovnice, nerovnice) Petr Harbich, rel. 00609 3. Absolutní hodnoty a = a pro a m 0 a = -a pro a<0... vždy vrací nezáporné číslo geometricky - vzdálenost od bodu vedle znaménka - uvnitř absolutní hodnoty Jedna abs. hodnota = rychlé řešení +, - a zkouškou ověřím, dvě a více = Intervaly, intervaly a zase intervaly :-( Úprava znamének uvnitř absolutní hodnoty (lehčí práce); pozor na výraz s proměnnou ve jmenovateli Otázka úprav nerovnic v podílovém tvaru Grafické řešení: lineární = klikatice přes osu x, kvadratické = parabola překlopená o osu x = načrtnout Grafické řešení nerovnic = plocha pod nebo nad grafem, intervaly (přesné body stejně musíme spočítat) Řešte v R:. x + 4 =. x + 4 = ; ehm :-) 3. x + + x = 3; [< ; >] 4. x x = ; [< ; + )] 5. x + x = x + ; [] 6. x + + x = 3;! 3 4 7. x + 9 = x ; [ 4] 8. x 3 = x; [π] 9. x + 3 = x 7; [0] 0. x + x + 3 x 3 = 0; 7 6. x + 5 x = x x + 7; [< ; + )]. VIP 3 x = x ; 3. x 3x + 3 = ; 3! 5 4. x x + 3 = ;! ;! 6 5. (x + ) x + + = 0; [ ; 0] 6. x + x 3 x + + 3 = 0; [ 3; ] 3. Absolutní hodnoty Strana z 3 Celkem 7 z 83
SMA 4.ročník 3. Absolutní hodnoty (rovnice, nerovnice) Petr Harbich, rel. 00609 7. x + 3x 4 = 0; [ 4; ] 8. x + 5 x 7 = 0; [ ; ] 9. x 9 + x = 5; 3; ; + 65 0. x 9 + x 4 = 5; [< 3; > 4 < ; 3 >]. x + x x = x x ; + 5. x+ x+3 = 3; 3 8 ; 9 6 3. x+3 x 3 = x + 7; 3! 05 4. x +3 x 3 = 3; [ 6; 6] 5. 4x 8 x = x; [!4] 6. x + x 3 = 0; [ ; 0] 7. x 6x + 9 + x + x + = 6 x; [ 4; ] Nerovnice 8. x < 3; ( ; 4 3 ) 9. 5x 7 > 0x 3; ( ; 5 6 ) 30. 3 x + 3x + < 0; ( ; 5 6 > 3. x [ x + 3 ; ( ; 3 > 3. x + x < x; π 33. 3x + x + > 0; ( ; ) 4 (0; + ) 34. x + x + 4 [ 3x ; R 35. x < x x + ; ( ;0) 36. x+ x 3 + < ; ( ; 5 4 ) 37. 5x 3 4x+7 [ 3; ( ; 5 3 ) 4< 8 7 ; + ) 7x 38. x 7 < ; π 39. 5x+ x 3 m ; ( ; 5 3 ) 4< 7 ; 3 ) 4 ( 3 ; ) 3. Absolutní hodnoty Strana z 3 Celkem 8 z 83
SMA 4.ročník 3. Absolutní hodnoty (rovnice, nerovnice) Petr Harbich, rel. 00609 40. x 5 x + 6 < 0; ( 3; ) 4 (; 3) 4. x 4x < 5; ( ; 5) 4. x x < x; (; 3) 43. x x 3 < 3x 3; (; 5) 44. x 6 > x 5x + 9; (; 3) 45. x 6 < x 5x + 9; R < ; 3 > 46. x x > 0; (; ) 47. x 4 > ; (; 4) 4 (4; 6) 48. x x > ; ( 3 4 ; ) 4 (; ) 49. x 5x+6 x +7 < 0; (; 3) 50. x +6x 7 x+4 < 0; ( 7; 4) 4 ( 4; ) 5. x 7 x +0 x 6x+9 < 0; ( 5; ) 4 (; 3) 4 (3; 5) 5. x 3 x 5x+6 m ; < 3 ;) 53. x 5x+4 x 4 [ ; < 0; 8 5 > 4 < 5 ; ) 54. x 8x + x > 6; (; 8) ; 55. x + 6 x + < x + ; π? 56. Řešte v R: 3 + x [ x; [< ; )] ; 57. x 4x + 3 [ ; [ ] 58. Řešte graficky x 3 x + = ; [4; x; 4; [0]] x 3 x + [ ; [< 0; )] x 3 x + < ; [(0,...; )] x 3 x + > ; [( ;,...)] 59. Řešte graficky x + x + = 3; [< ; )?] x + x + [ 3; x + x + > 3; x + x + > 0; 3. Absolutní hodnoty Strana 3 z 3 Celkem 9 z 83
SMA 4.ročník 4. Pravoúhlý, Pythag., Eukl. věty, konstr. alg. výrazů; zobrazení PH, rel. 00609 4. Alg. výrazy, zobrazení, pravoúhlý troj. (ev, pv) sin, cos, tan, cot = a c... v pravoúhlém trojúhelníku ABC E.v. o přeponě (výšce) v = c a.c b ; c a je ta část přepony, která přiléhá ke straně a Pythagorovka včetně ukázky důkazu, nad c a oběma odvěsnami vztyčím čtverce, doplním obdélníky ABCD a CXY., zakreslím všude, kde jsou a pomocí vět o souhlasných a střídavých úhlech u rovnoběžek to mám dokázané. Obsah velkého čtverce = obsahu menšího + čtyř stejných pravoúhlých trojúhelníků. (a + b) = c + 4 ab Euklidovka o výšce - dokážu pomocí podobnosti trojúhelníků APC, CPB: = ca v c ; v c = c a.c b v c c b Eukl. o odvěsně a, vyjdu z podobnosti trojúhelníků CPB a ACB c a a = a c ; a = c.c a Eukl. o odvěsně b, vyjdu z podobností APC a ACB = b c ; b = c.c b c b b Dám dohromady obě platné věty o odvěsnách a sečtu dané rovnice (ekvivalentní úprava) c.c a = a c.c b = b ---------- c.(c a + c b ) = a + b a mám další důkaz Pythagorovky, tentokrát algebraicky. :-). Dopočítejte a, b, c a, c b v pravoúhlém trojúhelníku, c = 3, v c = 6; [...]. Dopočítejte a, b, c a, c b v pravoúhlém trojúhelníku, v c = 5; c = 4 3. Dopočítejte b, c, c a, v c v pravoúhlém trojúhelníku, a = 5; c b = 4 4. Dopočítejte a, c, c b, v c v pravoúhlém trojúhelníku; b = 4; c a = 5 5. Dopočítejte b, c, c a, v c v pravoúhlém trojúhelníku a = 6; c b = 3 6. Dopočítejte a, c, c a, c b, v c v pravoúhlém trojúhelníku b = 5; c a = 4 7. Pomocí Pythagorovovy věty nejprve početně a potom i gaficky vyjádřete ; 3; 5; 6; 7; 8(Pravoúhlý rovnoramenný o odvěsnách délky a pak přepony) 8. Užitím Thaletovy a Eukl. věty o výšce vyjádtřete a znázorněte 9. Užitím Thaletovy a Eukl. věty o výšce vyjádtřete a znázorněte 5 0. Užitím Thaletovy a Eukl. věty o výšce vyjádtřete a znázorněte 0. Užitím Thaletovy a Eukl. věty o výšce vyjádtřete a znázorněte 6. Vyjádřete a graficky znázorněte 9. Užitím Thaletovky pro 8 a potom Pythagorovky o druhé odvěsně délky to mám :-). 4. Pravoúhlý, PV, EV, zobrazení Strana z 4 Celkem 0 z 83
SMA 4.ročník 4. Pravoúhlý, Pythag., Eukl. věty, konstr. alg. výrazů; zobrazení PH, rel. 00609 3. Vyjádřete a graficky znázorněte 9. To už se může člověk v pohodě vdávat :-) Užitím Thaletovky pro 8 a potom Pythagorovky o druhé odvěsně délky to mám :-). 4. Zlatý řez úsečky a x = a x x 0 = x a+ 5 x + a+ 5 5. Vyznačte na m dlouhé tyčce bod zlatého řezu, kde poměr delšího úseku ku kratšímu je stejný jako poměr celé délky tyčky ku jejímu většímu úseku. Kolik je tento poměr? + 5 l, 36 6. Vyznačte na,8m dlouhé tyčce bod zlatého řezu, kde poměr delšího úseku ku kratšímu je stejný jako poměr celé délky tyčky ku jejímu většímu úseku. Kolik je tento poměr? 7. Vyznačte na 3m dlouhé tyčce bod zlatého řezu, kde poměr delšího úseku ku kratšímu je stejný jako poměr celé délky tyčky ku jejímu většímu úseku. Kolik je tento poměr? 8. Vyznačte na m dlouhé tyčce bod zlatého řezu, kde poměr delšího úseku ku kratšímu je stejný jako poměr celé délky tyčky ku jejímu většímu úseku. Kolik je tento poměr? 9. Jsou dány úsečky a, b a > b. Sestrojte úsečku x, pro kterou platí:. x = a + b ; Pythagorovka. x = a b ; Pythagorovka 3. x = a. ; úhlopříčka čtverce a, Pythagorovka 4. x = a. 3dvojnásobná výška rovnostranného trojúhelníku o straně, Pythagorovka - nejdřív a a pak ještě jedna odvěsna a 5. x = ab ; Euklidovka 6. ab x = ; Euklidovka 7. x = a b b ; podobnost a = a x POZOR TOHLE jim pořádně nakresli!!!!!!!!!! 8. x = ab x ; podobnost POZOR TOHLE jim pořádně nakresli!!!!!!!!!! a+b a = a+b Shodná zobrazení Klasifikace, ukázat, jak to vypadá středová souměrnost posunutí ve směru otočení (pozor, bývají dva směry) 0. Jsou dány dvě různoběžky p, q a bod M, který neleží ani na jedné z nich. Sestrojte úsečku XY tak, aby platilo a bod M je střed úsečky XY. [Středová soum. podle M] X c p; Y c q. Jsou dány dvě různoběžky p, q a kružnice k. Sestrojte úsečku XY tak, aby platilo X c k, Y c p, úsečka XY je kolmá na přímku q a střed úsečky XY leží na přímce q. Zvolte vzájemnou polohu přímkek a kružnice, aby úloha měla, a 0 řešení. [Osová souměrnost podle přímky q]. Jsou dány dvě různoběžky p, q a bod M, který neleží ani na jedné z nich. Sestrojte úsečku XY tak, aby platilo X c p, Y c q; ŒXMY = 60 o, MX = MY. Zvolte vzájemnou polohu 4. Pravoúhlý, PV, EV, zobrazení Strana z 4 Celkem z 83
SMA 4.ročník 4. Pravoúhlý, Pythag., Eukl. věty, konstr. alg. výrazů; zobrazení PH, rel. 00609 přímek přímek, aby úloha měla,, 0 řešení. Má úloha nekonečně mnoho řešení? [otočení!60 o v bodě M] 3. Je dána kružnice k a přímka p, které nemají společný bod. Dále je dána úsečka AB. Sestrojte úsečku XY tak, aby platilo X c k; Y c p úsečka XY je rovnoběžná s AB a je taky stejně dlouhá jako AB. Zvolte vzájemnou polohu k a p, aby úloha měla 4, 3,,, 0 řešení. [posunutí ve směru AB nebo BA] 4. Je dán čtverec KLMN, KL = 6. Vně čtverce zvolte bod A, aby platilo AL =4, AM =3. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC, aby vrcholy B, C ležely na obvodu čtverce KLMN. [otočení!60 o v bodě A] 5. Kružnice k (O ;5); k (O ;3), O O = 4 se protínají ve dvou bodech. Označte C jeden z těchto průsečíků. Sestrojte všechny rovnoramenné trojúhelníky ABC se základnou AB tak, aby platilo A c k ^B c k ^ ŒACB = 0 o. [otočení C!0 o ] 6. Kružnice k (O ;4); k (O ;,5), O O = 3 se protínají ve dvou bodech. Označte T jeden z těch průsečíků. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC, aby platilo A c k ; B c k a bod t byl těžištěm trojúhelníku ABC. [otočení!0 o se středem T] 7. VIP Je dána kružnice k(o,4) a bod A. Sestrojte všechny tětivy kružnice k, které mají délku 6 a pro které platí, že přímka XY prochází daným bodem A. OA =3 OA =5 UKÁZAT!!!!!!!!!!!!!!!!!! [sestrojím libovolnou tětivu KL o délce 6, její průsečík s ch(o,3) mám bod A a v otočení A OA dostanu i XY jako obraz KL] Stejnolehlost (podobná zobrazení), ukázat na koeficientu, co když k=-? :-) Babka a diskotéka!!!!!!! :-) 8. Je dán trojúhelník ABC (a=4,b=3,c=5). Vně trojúhelníku ABC sestrojte bod S tak, aby platilo AS 3, CS =4. Narýsujte obraz trojúhelníku ABC ve stejnolehlosti se středem S a koeficientem k = 3 k = 3 k = k = 9. Je dán čtverec ABCD o straně a=4. S je střed čtverce. Nakreslete obraz čtverce ve stejnolehlosti se středem S a koeficienty: k = k = k = 3 4 k = 30. Narýsujte středy stejnolehlostí dvou kružnic, je-li dáno:. k (O,3); k (O,); O O = 6. k (O,3); k (O,); O O = 3, 5 4. Pravoúhlý, PV, EV, zobrazení Strana 3 z 4 Celkem z 83
SMA 4.ročník 4. Pravoúhlý, Pythag., Eukl. věty, konstr. alg. výrazů; zobrazení PH, rel. 00609 3. k (O,3); k (O,); O O = 4. k (O,3); k (O,3); O O = 6 [najdu střed stejnolehlosti dvou libovolných rovnoběžných průměrů kružnic] 3. Dány dvě kružnice k (O,4); k (O,); O O = 7. Narýsujte středy stejnolehlosti daných kružnic. Označte S vnější střed stejnolehlosti, S vnitřní. Určete koeficienty stejnolehlosti: střed stejnolehlosti je S a stejnolehlost zobrazuje k na k střed stejnolehlosti je S a stejnolehlost zobrazuje k na k střed stejnolehlosti je S a stejnolehlost zobrazuje k na k střed stejnolehlosti je S a stejnolehlost zobrazuje k na k ; 4 ;4; 4 ; 4 3. Narýsujte společné tečny daných dvou kružnic:. k (O,3,5); k (O,,5); O O = 6, 5. k (O,3,5); k (O,,5); O O = 5 33. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, znáte-li:. a : b = 4:5; = 60 o ; v c = 3. b : c = 7:6; = 45 o ; v c = 3 3. a : b : c = 7:3:5;v c = 4 [pomocný A B C jeho výška a koeficient k=... :-)] 34. Ještě jeden na otočení: Máte dvě soustředné kružnice k (S;3); k (S;5) a bod C, SC = 3, 8 sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky s vrcholy C, A c k ; B c k v c 4. Pravoúhlý, PV, EV, zobrazení Strana 4 z 4 Celkem 3 z 83
SMA 4.ročník 5. Obecný trojúhelník, početně a graficky Petr Harbich, rel. 00609 a 5. Obecný trojúhelník, poèetnì a graficky b c sin SINOVKA sin = sin = KOSINOVKA c = a + b ab cos co je kosinovka, když je = 90? Obsahy trojúhelníku S = a.va S = ab sin a jeho cyklická záměna S = s.(s a)(s b)(s c) ; s = a+b+c Herónův kružnice opsaná = OSY STRAN, kružnice vepsaná = osy úhlů Určete zbývající strany a úhly v trojúhelníku ABC:. = 48 50 ; = 07 6 ; c = 35, 3; [3 54 ; 5, 4; 38, 9]. = 50 ; =00 ;c = 00 3. a = 34, 5; b =, ; = 54 ;[3, 8; 73 3 ; 5 5 ] 4. a = 6, 5; b =, 5; c = 7, 35; [9 30 ; 5 0 ; 35 0 ] 5. a = 746, 4; b = 854; = 45 07 ; [3 9 ; 34 ; 9] 6. a = 3, 6; b =, 5; = 38 ; [37 35 ; 0 47 ; 3, 7] 7. b = 6, 5; c = 3, 5; = 55 ;[π] 8. Určete zbývající strany a úhly v trojúhelníku ABC. S = 3m ; c = 3, 7; = 37 35 ;[3, 6;, 5; 38 ; 0 47 ]. S = 6000; a = 50; b = 30; [37; 48 ; 08 ; 4 ] 4 [558; 0, 5 ; 3, 5 ; 56 ] 9. Obsah rovnoběžníku ABCD? AB = 57; AC = 66; ÕABC = 57 40 ;[3640] 0. Urči velikosti zbývajících stran a úhlů v trojúhelníku ABC: c = 5; a = 3; s = 60 Obvodový a středový úhel (jednod. konstrukce), Thaletovka - speciální případ středového a obvodového úhlu. Sestrojte troj. ABC, je-li dáno c = 7; t c = 4; = 0 ; počty řešení?. Sestrojte troj. ABC, je-li dáno: c = 8; v c = 6; = 65 ; 3. Sestrojte a výpočtem strany c ověřte trojúhelník ABC, a = 6; b = 5; = 70. 4. Sestrojte trojúhelník ABC = 30 ;a = 5; v c = 3. 5. Sestrojte troj. ABC, a =; v c = 4; = 80. 6. Sestrojte trojúhelník ABC a = 5; b = 4; = 0 ; vepište mu kružnici. 5. Obecný trojúhelník Strana z Celkem 4 z 83
SMA 4.ročník 5. Obecný trojúhelník, početně a graficky Petr Harbich, rel. 00609 7. Sestrojte trojúhelník ABC, a = 3; c = 6; = 40 ; opište mu kružnici. 8. Sestrojte trojúhelník ABC, t a = 9; t b =, t c = 6. 9. Ještě jeden; t a = 7; t b = 8; t c = 9. Možná nevyjde :-) 0. Sestrojte trojúhelník ABC, c = 7; v c = 4; = 0 ; vepište a opište mu kružnici.. Určte velikosti zbývajících stran a úhlů v trojúhelníku ABC, je-li c = 5; a = 3; S = 60.. Sestroj troj. ABC, je-li c = 4, v c = 3; = 70. 3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno c = 0; = 60 ; v c =. 4. Sestrojte troj. ABC, je-li dáno c = 0; = 70 ; t c = 6. 5. Sestrojte všechny trojúhelníkyabc, znáte-li. b = 8; t b =, 5; = 30 0 ; [přes AC]. c = 5; t a = 6; t b = 3; [těžiště] 3. t c = 4; t a = 6; v c = 3, 5; [pata výšky z C, těžiště] 4. c = 8; v c =, 5; = 0 o ; [obvodový] 5. v c = 4, = 60 0 ; = 45 0 ; [ obvodový] 6. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC. Kružnice opsaná k(s, r) trojúhelníku ABC.. r = 4; v c = ; c = 7, 5; [4 řešení]. r = 4; v a = 3; c = 7; [Thaletovka nad AB, řešení] 3. r = 4; v a = 5; = 45 o ; [pomocný troj nebo obvoďák?] 7. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC. Kružnice vepsaná k(s, ) trojúhelníku ABC.. =, 5; c = 8; = 45 o ; [AB, úhel, S ve vzd,5 nebo půlka, Thal. nad BS]. =, 5; v c = 4; = 60 o ; [úhel beta, rovnoběžka vzd=4 a Thaletovka CS nebo pomocný a potom Thaletovka CS?] 5. Obecný trojúhelník Strana z Celkem 5 z 83
SMA 4.ročník 6A, 7A. Exponenc. a logaritm. funkce Petr Harbich, rel. 00605 Exponenciální a logaritmická funkce Funkce předpis, který všem x z D(f) přiřadí nejvýše jedno reálné y (kuchařsky = jedno x, jedno y... to je funkce) rostoucí, neklesající funkce klesající, nerostoucí funkce ryze monotonní, monotonní funkce shora, zdola omezená funkce, omezená funkce; supremum, infimum, max, min. OBRÁZKY, OBRÁZKY, OBRÁZKY :-) definice prosté funkce; x! x ; f(x )! f(x ). Příklad. Monotonní, ryze, rostoucí, klesající funkce je prostá právě tehdy, je-li ryze monotonní pouze k prosté funkci (na daném intervalu) existuje funkce inverzní Exponenciální funkce Exponenciála f(x) = a x ; a > 0; a! pročpak by a =? Protože x není prostá a selhalo by hledání inverzní (logaritmu) - neexistoval by grafy a x pro a c (0; ) resp. a c (; + ). D(f), H(f), monotonie? A co funkce inverzní?. Pomocí grafu 0 x sestrojte. 0 x. 0 x+ 3. 0 x 3 4. 0 x 5. 0 x. Kolik je 0 ; 0 ;0 0? 3. Co lze říci o m, n?. ( 3 4 )m < ( 3 4 )n., 5 m <, 5 n 3. 0, 7 m > 0, 7 n 4. Který ze vztahů 0 < a < ; a > platí?. a 3 5 4 < a 5 ;. a 7 5 > a 7 3. a 7 8 9 > a 8 5. Určete funkci inverzní k f :0 x+ ; D(f ); H(f ); její předpis a vypočítejte f(0); f (0); [log x ; D(f ) = (0; ); H(f ) = R; f(0) = 0; f (0) = 0] 6. Určte funkci inverzní k f(x) = 0 x ; cha cha 7. Určete funkci inverzní k f(x) = e x ; e =, 7... = lim xd ( + x ) x a ještě a hlavně y = a x!!! LEPŠÍ ZAČÍT 0 x!!! Exponenciální a logaritmické funkce Strana z 3 Celkem 6 z 83
SMA 4.ročník 6A, 7A. Exponenc. a logaritm. funkce Petr Harbich, rel. 00605 Logaritmus fce inverzní k exponenciále o stejném základu log a r = v w a v = r; a c (0; ) 4 (; ) co je a v exponenciále? r, v? D(f), H(f) a problémy graf y = log a r; pro a c (0; ) resp. a c (; ). co kdyby a=?... bylo by hrozně moc stejných v pro různá r a to znamená, že byl log a r nebyl funkce! proto log r nemá smysl f(x) = ln x = log e x 8. Načrtněte grafy funkcí pomocí grafu log x a log x log x + a ještě pro log x... log (x ) log x log (x ) log x + Grafy, urèování definièních oborù (u logaritmických funkcí) 9. Určete D(f); y = log (x + 4x 5) 0. Určete D(f); y = log (x )(x+) x = log x x x!!!. Určete D(f); y = log(0 x). Určete D(f); y = log(x x 6) log(0 x) 3. Najděte předpis, D(f ), H(f ) funkce inverzní k f : y = log x + ; určete f(0); f (); [y = 0 x ;...] 4. Najděte předpis D(f ), H(f ) funkce inverzní k f : y = log(x ) + ; určete f(); f (); 5. Najděte předpis D(f ), H(f ) funkce inverzní k f : y = log(x + ) ; určete f(9); f (0); 6. Načrtněte graf y = 0 x ;logx 7. Načrtněte graf y = ( )x ;log x 8. Určete definiční obor y = log x x 4 log x ; x > 0 3 x x 4 m 0 3 x x 4 > 0 9. Načrtněte grafy funkcí (určet D(f), H(f); průsečíky se souřadnicovými osami):. y = x 4;. y = x+ 4; 3. y = ( x+ 4); 4. y = x+ 4 ; Exponenciální a logaritmické funkce Strana z 3 Celkem 7 z 83
SMA 4.ročník 6A, 7A. Exponenc. a logaritm. funkce Petr Harbich, rel. 00605 5. y = x+ 4; 6. y = x + 4; 0. Načrtněte grafy funkcí (určet D(f), H(f); průsečíky se souřadnicovými osami):. y = ( )x 3 ;. y = ( )x+ + 4; 3. y = ( )x+ + 4;. Načrtněte grafy funkcí:. y = x ;. y = x+ ; 3. y = 3. x ; 4. y = x + ( )x ; [sudá] 5. y = e x ; 6. y = 0 x ;. Určete definiční obory funkcí:. y = log 3 (x + 6); [( 6; )]. y = log(x 4); [( ; ) 4 (; + )] 3. y = log(x + 3) ; [< ; )] 4. y = log x ; [(0; ) {0}] 5. y = log x x ; [( ;0) 4 ( ; )] 6. y = log (x+7) ; [( 7; ) { 5}] 3. Načrtněte grafy funkcí (určet D(f), H(f); průsečíky se souřadnicovými osami):. y = log (x + 4). y = log (x + 4) 3. y = log (x + 4) 4. y = log (x + 4) 5. y = log x + 4 6. y = log ( x + 4) 4. Načrtněte grafy funkcí:. y = log x +. y = 3log x + 3. y = 3log (x + ) 4. y = ln x 5. y = log x 6. y = log x + log x; kladná poloosa x bez 0 7. y = log x log x; agresivní log o a > 5. Najděte reálná x, pro která platí:. log,5 x < log,5 5; [(0; 5)]. log 0,7 (x + ) [ log 0,7 3 ; < 3 ; ) použijte graf vhodné logaritmické funkce. Exponenciální a logaritmické funkce Strana 3 z 3 Celkem 8 z 83
SMA 4.ročník 6B,7B. Exp. a logaritmické (ne)rovnice Petr Harbich, rel. 00603 Pravidla počítání s logaritmy, dokázat aspoň nějaké? log ab = log a + log b log r s = s log r log n r = n log r log r s = log r log s a především log a r = log r log a Řešte v R:. 3 x+ + 3 x 3 x = 05. 3 x (9 3 x ) = 90 3. log (x + x) + 3 m 0 4. log(54 x 3 ) = 3logx; [3] 5..log x + log x 3 + log x 4 + log x 5 = 6; [, 687] 6. log x log x + log x = ; [4] 7. log x log x + log x = log log x 3 + ; [...] 8. log(x 9) + log x = ; [5] 9. log x 5 + log x 3 + = log 30; [6] 0. log x + + log (x 3) = + log 0, 3; [4]. 3+log x log x = 4; [0]. log(x +7) log(x+7) = ; [ 3] 3. log(x 5) log(x 8) = ; 3 ;3 4. log x + log y = ; [0] 5. 4 log x = 3 logx ; [0] 6. log log log x = 0; [0 0 ] 7. log 5 (x + 9) + log 5 (4 3x) = + log 5 (x + 4); [ ] 8. log (x + 4) log (x 3) = log 7; [5] 9. log (x + 0) + log (7 x) = 4; [ 5; ] 3 3 7. Exponeniální a logaritmické (ne)rovnice Strana z 4 Celkem 9 z 83
SMA 4.ročník 6B,7B. Exp. a logaritmické (ne)rovnice Petr Harbich, rel. 00603 0. log 6 x + log 6 ( x ) = ; [4]. log 3 + log 4 (x 3) = ; [, 5]. log 3 (4.3 x ) = x + ; [ ; 0] 3. log (9 x ) 3 x = ; [0] 4. log (4.3 x 6) log (9 x 6) = ; [] 5. log 4 (.4 x ) + 4 = x; [] 6. x log x = 000; 0 ; 000 7. x log x 0 = 0 x ; [0] 8. x 3 8 log3 x 3 4 log x = 000; [0, 0; 00] 9.x 3+logx = 00x +log x ; [0, 0; 0] 30. 5 log x 3 logx = 3 log x+ 5 logx ; [00] 3. log 4 log 3 log x = ; [5] 3. log 6 x + log 4 x + log x = 7; [6] 33. log 5 x + log 5 x = log 5 3 ; 3 3 34. log 3 x log 3 x = 6; [9] 35. log x 3 = ; + 3 36. log 5 x (x x + 65) = ; [ 5] 37. log x log 4 x + 7 6 = 0; 3 ;8 38. log x 4 + log x 64 = 5; [] Exponenciálky 39. 3 x+ + 9 x = 08; [] 40. x = 4 x ; [0] 4. 3 x+ + 9 x+ 80 = 0; [] 4. 7.3 x+ 5 x+ = 3 x+4 5 x+3 ; [ ] 7. Exponeniální a logaritmické (ne)rovnice Strana z 4 Celkem 0 z 83
SMA 4.ročník 6B,7B. Exp. a logaritmické (ne)rovnice Petr Harbich, rel. 00603 43. 4 x 3 x = 3 x+ x ; [, 5] 44. 3x.7 x 5 x+ = 3 x+4 5 x+3 ; [ ] 45. 3x = 3 x ; [ 5, 3] 46. x.3 3x = 4 x ; [ 0, 5364] 47. 3 x + = 3 x+ ; [, 69] Nerovnice 48. 3 x+4 < 3 x ; [( ; 3 )] 49. ( 7 )3x < ; (0; + ) 50. ( 3 )x > 3 x ; ( ;0 ) 5. log (x + ) > 3; (6; + ) 5. log (x 0) > log ; ( ; ) 4 ( ; ) 53. log(3x+) log x > 0; ( ; ) 54. log(x 4) + log(x ) > ; (3 + ; ) 55. log(35 x3 ) log(5 x) > 3; (; 3) 56. log (x 8x) + m 0; < ; 6) 4 (8; 9 > 3 57. log 4 x < 8; (0; ) 4 ; 58. log x 3 x > ; (; 3) 59. log x x+5 0, 3 > 0; (; ) 60. log x 3 (x ) < ; (3; 4) 4 (5; ) Obě větévky x > 4 resp x c (3; 4) 6. log (x ) < 3 6. log (x 4x) m 3 63. log 3 x+ x+3 < log 3 64. 6 x+ + 6 x = 3; x+ x ; [(0; )?] 65. 3 x 5 x+ + 3 x+ = 5 x+ 3 x+ ; 7. Exponeniální a logaritmické (ne)rovnice Strana 3 z 4 Celkem z 83
SMA 4.ročník 6B,7B. Exp. a logaritmické (ne)rovnice Petr Harbich, rel. 00603 66. log(x + 9) logx + log(x 4) = log 50; [36?] 67. x log x + 0x log x = ; [0, ; ; 0] 7. Exponeniální a logaritmické (ne)rovnice Strana 4 z 4 Celkem z 83
SMA 4.ročník 8. Goniometrické funkce Petr Harbich, rel. 00603 8. Goniometrické funkce stupňová a oblouková míra; převodní vztah. Co je rad = cca 57. Orientovaný úhel orientovaný úhel, základní velikost úhlu jednotková kružnice, její rozbalení ven; cosx, sinx; kvadranty, perioda, tan x,cotx, D(f); H(f) Tabulka vlastností goniometrických funkcí: definiční obor, obor hodnot, sudost, perioda, omezenost, maximum, minimum, kde roste, kde klesá, nulové body Tabulka důležitých hodnot goniometrických funkcí odvození sin x + cos x = ; tan x;cotx; vzorce: sin x + cos x = ; tan x.cotx = ; x! k sin(x! y) = sin x cos y! cos x sin y cos(x! y) = cos x sin y + sin x cos y sin x = sinx cos x cos x = cos x sin x sin + sin = sin + cos sin sin = cos + sin cos + cos = cos + cos cos cos = sin + sin pozor na podmínky u tan x,cotg; propak? kvůli definici. Načrtněte graf funkce y = sin (x 4 ) + ; v < ; >. Načrtněte graf funkce y = cos(x + 4 ) ; v < ; > 3. Načrtněte graf funkce y = tan(x ) 3 ; okolo počátku 4. Načrtněte graf funkce y = tan(x + ) 4 ; okolo počátku 5. Načrtněte graf funkce y = cot(x ) 3 ; okolo počátku 6. Načrtněte graf funkce y = cot(x + ) 3 ; okolo počátku 7. Načrtněte graf funkce y = sin x; v < ; > 8. Načrtněte graf funkce y = cosx ; v < ; > Zjednodušte, případně stanovte podmínky (kde je třeba): 9. sin x + cos x + tg x; + tg x = cos x ; x! + k 0. sin x + cot x.sin x; [cos x; x! k ] 8. Goniometrické funkce Strana z 3 Celkem 3 z 83
SMA 4.ročník 8. Goniometrické funkce Petr Harbich, rel. 00603.. +sin x + sin x ; cos x ; x! + k +tan x + +cot x ; ; x! k 3. tan x.cos x cos x ; [cot x; x! k ] Finty ala Harbich cos 0 0 = cos(x ) = cos( x) = sin x Vzorce pro součet/rozdíl goniom.funkcí (kde je najdu) 4. cos( 6 x) cos( 6 + x); [sin x] 5. cos x + sin x.tanx; ; x! + k 6. VIP cos x+sin x +cos x+sin x ; tan x; x! + k ; x! 3 4 + k Zjednodušte 7. sin x.cosx + cos 3 x; [cos x] 8. sin 4 x + cos 4 x + cos x; [sin x] 9. ( + sin x)( sin x); [cos x] 0. cos x ; tan x; x! + k. sin x cos x ; [cot x; x!...]. sin x + cos x.tanx; [sinx; x!...] 3. Chytáček (sin x + cos x) + (sin x cos x) ; [] pozor na správné umocnění 4. cos x sin x ; tan x; x! 4 + k Rozložte na součin 5. + cos x = cos 0 0 + cos x = cos x 6. cos x; sin x 7.!!! sin x + cos x; co je sinus?; cos(x 4 ) 8. + sin x cos x; [4sin( x + ) cos( x )] 9. cos x + cos x + cos 3x; [4cos x cos( x + 6 ) cos( x 6 )] 30. tan x +tan x ; [tan( 4 x )] 8. Goniometrické funkce Strana z 3 Celkem 4 z 83
SMA 4.ročník 8. Goniometrické funkce Petr Harbich, rel. 00603 Určete podmínky a upravte 3. VIP 3cos x 4sinx cos x sin x ; sin(x + 4 ) 3. +sin x ; [] (sin x+cos x) 33. tan x+sin x cos ; [tan x] x 34. sin 3x+sin 5x+sin 7x cos 3x+cos 5x+cos 7x ; [maso nebo. a 3. sectu; tan 5x] 35. cos x sin x + sin x +cos x ; [tanx] 36. sin x+sin x +cos x+cos x : cos 3x cos x sin 3x+sin x ; [ ] 37. Vypočti sin x, je li tan x = &x c ( ; ); [ 4 5 ] 38. Sestroj graf funkce f : y = cos(x 4 ) ; D(f) =< ; > 39. Urči podmínky daného výrazu, výraz uprav: cos x sin x + sin x +cos x ; tanx; x! k 40. Dokažte sin3 x+sin 3x cos 3x cos 3 x = cot x; [cos 3x = cos 3 x 3cosx sin x;...] 4. Zjednodušte sin x sin 3x+sin 5x cos x cos 3x+cos 5x ;.+3.secti; tan 3x; x! 6 + k 3 8. Goniometrické funkce Strana 3 z 3 Celkem 5 z 83
SMA 4.ročník 9. Goniometrické rovnice, nerovnice Petr Harbich, rel. 006097 vzorce, hodnoty s periodami 9. Goniometrické (ne) rovnice Řešte v R:. cot x = 0; + k. sin x = ; 5 + k ; + k 3. sin x = ; 7 + k ; + k 4. tan 3x = ; 4 + k 3 5. sin(x + 3 ) = 3 ; 3 + k ; + k 6. cos(x 4 ) = ; 3 8 + k 7. cot( x 3 ) = 3 ; 3 + k 8. tan ( x 3 + ) 4 = 3 3 ; [ + k ] 9. sin x + sinx 3 = 0; 0. sin x + 5sinx + 4 = 0; + k 3 + k. cos x(cosx + ) = ; ; 3 ; 4 3 + k. cos x(cosx + ) =?; 3 ; ; 5 3 + k 3. 3 tan x + tanx 3 = 0; 6 ; 3 + k 4. 6 sin x 7cosx = 0;! 3 + k 5. 3 sin x = cos x;! 6 + k 6. sin x + cos x + = 0; [ + k ] 7. 3cos x 4cosx sin x = 0; 3 ; 4 3 + k 8. cos x + sin x = 0; ; 7 6 ; 6 + k 9.!!!!!!!! sin x = cos x; 4 + k 0. sin x + 3 cos x = 0; 3 + k. sin x + cos x = 0; k ; + k. sin x + cos x + = 0; ; 3 + k 9. Goniometrické rovnice, nerovnice Strana z 3 Celkem 6 z 83
SMA 4.ročník 9. Goniometrické rovnice, nerovnice Petr Harbich, rel. 006097 3. 3 sin x + cos x = 3 ; 4. cos x + cot x = + sin x; 6 ; + k 4 + k ; 3 + k 5. sin x cos x = cos x; 6 + k 3 ; + k 6. sin 3x = sin(x + x) = sinx; k ;! 6 + k 7. tan x sin x + cos x = ; k ; 4 + k 8. sin x + cos x = sin x cos x + ; k ; 4 + k 9. sin x cos x + sin x = 0; 30. sin x = 3 sin x cos x; 3. tan x + cot x = 3; 3,5. sin 3x = sinx; 3. sin 5x + 3 cos 5x = ; [sin 5x + cos 5x = ; subst...] 33. sin x sin 3x = ; 4 + k ; 3 4 + k ; 6 + k ; 5 6 + k 34. + cos x + sin x + sin3x + sin 4x = 0; [3. + 5.vytkn.; 70 0 ; 0 0 + k.0 0 ] 35. cos x + cos 4x + cos 6x + cos 8x = cos 3 ; 36. V intervalu < 0; > řešte 8 sinx + 9 +cos x = 30; 6 ; 3 ; 3 ; 5 6 37. V intervalu < 0; > řešte 4sinx + (+cos x) 0 = 0; 6 ; 3 ; 3 ; 5 6 Nerovnice, pozor na obracení znaménka!!!!!! 38. cos x m ; {k } 39. sin x < ; kcz 4 ( 5 4 + k ; 7 4 + k ) 40. 3 tan x < 0; ( + k ; 6 + k ) 4. cos(x 6 ) m ; < 6 + k ; + k > 4. tan(x + 3 ) m ; < + k ; 6 + k )!!!!! 43. cot(x 4 ) m ; ( 4 + k ; + k > 44. sinx > ; ( 6 + k ; 5 6 + k ) 9. Goniometrické rovnice, nerovnice Strana z 3 Celkem 7 z 83
SMA 4.ročník 9. Goniometrické rovnice, nerovnice Petr Harbich, rel. 006097 45. cosx < ; ( 3 + k ; 3 + k ) 46. Řešte v < 0; > 3 tan x < 0; < 0; 6 ) 4 ( ; 7 6 ) 4 ( 3 ; ) 47. Urči D(f); y = log sin x; (k ; + k ) 48. Urči D(f); y = log(6 x ) ; ( 4; ) 4 (0; ) sin x 49. sin x > cos x; ( 4 + k ; 5 4 + k ) 50. sin x > sin x ; ( + k ; + k ) { 3 + k } 5. V < 0; > řešte sin x + cos x [ sin x ; (0; 4 > 4 < ; ) 5. V < 0; > řešte cos x+cos x cos x > ; ( 4 ; 3 ) 4 ( ; 3 4 ) 53. sin x + 7cosx 5 [ 0; < 3 + k ; 5 3 + k > 9. Goniometrické rovnice, nerovnice Strana 3 z 3 Celkem 8 z 83
SMA 4.ročník 0. Vektory Petr Harbich, rel. 0070 Vektory orientovaná úsečka operace s vektory; opačný vektor, násobek vektoru; nulový vektor; jednotkový vektor d normalizace vektoru; u = (; 3); norm = 3 0 0 ; velikost vektoru skalární součin DVOU vektorů = JE ČÍSLO úhel dvou vektorů cos = d d u. v d u. d v vektorový součin DVOU vektorů je VEKTOR, a pouze v 3dim - PROSTORU (pravidlo pravé ruky) kolineární; komplanární, lineárně nezávislý vektor lineární kombinace; smíšený součin d. Ukažte, že vektor w = (; 3) je lineární kombinací d u = (; ); d v = (; ). Dány body A[ ; ]; B[3; 3]; C[6; ]. Určete D tak, aby tyto 4 body byly vrcholy rovnoběžníku. D[; ]; D[; 0]; D[ 5; 6]. 3. Na souřadnicové ose y určete A tak, aby měl od B[ 6; 5] vzdálenost 0; [0; 3]; [0; 3] 4. Na souřadnicové ose x určete A tak, aby měl od B[ ; ; 3] vzdálenost 4 ; [0; 0; 0]; [ ; 0; 0] 5. Zjistěte, zda je vektor u lineární kombinací a, b:. u = ( 8; 4; 3); a = ( ; ; 3); b = (; 0; ); ano. u = (6; 3; ); a = (0; ; ); b = (3; ; ); ne 6. Jsou lineárně závislé nebo ne? a = (; 3; 6); b = (; 5; ); c = (; 0; 3); nezávislé 7. Skalární součin vektorů, kdypak jsou vzájemně kolmé?. u = (; ); v = (; 3). u = (; ); v = (3; 6) 3. u = (3; ); v = ( 6; ) 4. u = ( ; ; ); v = (4; ; ) 5. u = (; ; 4); v = (; 3; ) 6. u = (; ; 4); v = (4; ; 8) 8. Určete u.v. u = ; v = 3; = 30 0. u = ; v = 5; = 0 0 9. VIP a dobrý na hlavu!!! Určete, a, b :. a = ; b = 3; a.b = 3 3. a = ; b = 5 ; a.b = 0. Určete chybějící souřadnici u tak, aby byl kolmý k v:. u = (; u ); v = (; ); [ ]. u = (; u ; ); v = (; 5; 3); [] 0. Vektory Strana z 3 Celkem 9 z 83
SMA 4.ročník 0. Vektory Petr Harbich, rel. 0070. Určete u tak, aby měl velikost 0 a byl kolmý k v = ( ; ); [!4 5;! 5 ]. Dány vrcholy trojúhelníka ABC. Spočítejte úhly a obsah:. A[; 0]; B[; 0]; C ; 3 ; 60 0 ;90 0 ;30 0 ; 3. A[ ; ]; B[ ; 3]; C[4; 0]; [60 0 5,,...;l 4] 3. A[; ; 3]; B[; ; ]; C[0; 0; 5]; [90 0 ;...;4,5] 4. A[; ; 3]; B[; 0; ; ]; C[ 3; ; 5]; [98 0 57, ;...;l 6, 34] 3. Vypočtěte vektorový součin u % v :. u = (; ; 3); v = (3; ; ); [ 4; 3; 7]. u = ( 4; 6; 0); v = (; 7; 0); [0; 0; 40] 3. u = (; ; 3); v = ( ; 4; 6); [0; 0; 0] copak tohle asi znamená? :-) 4. Dány body A[ 3; ]; B[; 4]. Určete C, D tak, aby ABCD byl čtverec. [[ 6; 5]; [ ; 5] 4 [0; ]; [4; 0]]. 5. Dány body A, B. Určete bod M na ose x, aby úsečky AM a BM byly kolmé.. A[0; ]; B[5; 6]; [[; 0]; [3; 0]]. A[0; ; 3]; B[ 5; 3; 3]; [[ 6; 0; 0]; [; 0; 0]] 6. Objem kvádru, jehož body jsou A[; 0; 0]; B[0; 3; 0]; D[0; 0; 0]; H[0; 0; 4]; smíšený vektorový součin 7. Vypočtěte obsah trojúhelníku ABC A[; ]; B[3; 5]; C[6; 4]. 8. Vypočtěte obsah trojúhelníku KLM; K[ ; ; ]; L[6; 5; 0]; M[; 6; ] a jeho největší úhel. 9. Určete vektor u tak, aby byl kolmý na v určený body U[; 9]; V[9; 3]; a aby jeho velikost u = 5; [( 3; 4) 4 (3; 4)] 0. Na ose y najděte bod C, aby trojúhelník ABC byl rovnoramenný o základně AB; A[; ]; B[5; 4] ;[0; 6]. Určete nejmenší vnitřní úhel trojúhelníka ABC; A[3; ]; B[ ; ]; C[; 4]; [8 o 34, ]. Je dán vektor, určete parametr p, aby druhý byl k němu kolmý. u = (4; 9); v = (p;); [ 4, 5]. u = ( ; ; 3); v = (7; p;3); [4] 3. Jsou dány body A[ ; 4]; C[8; 5]. Určete souřadnice bodů B, D, aby čtyřúhelník ABCD byl čtverec. C[, 5; 9, 5]; B[3, 5; 0, 5]. 4. Jsou dány body K[; 5]; L[6; ]. Určete souřadnice bodů M, N tak, aby KLMN byl obdélník a platilo KL = 3 LM.M 7; 0 3 ; N 3; 9 3 ; M 5; 3 ; N ; 3 5. Jsou dány body K[ ; ]; L[6; 8]. Na ose x určete bod X tak, aby trojúhelník KLX byl pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu X. ; X[; 0] 0. Vektory Strana z 3 Celkem 30 z 83
SMA 4.ročník 0. Vektory Petr Harbich, rel. 0070 6. Body E[; ; ]; F[0; ; 4]; G[; 5] tvoří trojúhelník EFG. Dokažete, že je rovnoramenný a pravoúhlý. U kterého vrcholu je pravý úhel? [FG = EF = 3; F] 7. Vypočítejte obvod, vnitřní úhly a obsah trojúhelníku R[4; ; 0]; S[4; ; 3]; T[; ; 0]. 9 ;60 o ; 9 3 8. Na ose y určete bod Y tak, aby obsah trojúhelníku XYZ byl 0. Body X[; ; 0]; Z[; ; 3] ;Y, 0! 0;0 9. Na ose x určete bod X tak, aby obsah trojúhelníku PQX byl 3. P[4; 0]; Q[; 4].; X [, 5; 0]; X [5, 5; 0]. 30. Vypočítejte objem čtyřbokého jehlanu ABCDV; A[; 3; 4]; B[ ; 4; ]; D[0; ; 5]; V[3; ; ]; [5]. 3. Vypočítejte objem trojbokého hranolu OPQO P Q o vrcholech O[; 0; 0]; P[0; 0; 0]; Q[0; ; 0]; O [; 0; 4]; [8]. 0. Vektory Strana 3 z 3 Celkem 3 z 83
SMA 4.ročník. Analytická geometrie lineárních útvarů v rovině PH, rel. 00603 Analytická geometrie lineárních útvarù v rovinì vyjádření přímky: parametricky, obecně, směrnicová rovnice (upravená obecná), úsekový tvar průsečíky, odchylky, vzdálenost bodu od přímky směrový, normálový vektor. Napište parametrické vyjádření přímky:. A[3; 7]; a = (; ); [p : x = 3 + t; y = 7 t]. A[4; 0]; a = (0; 5); [p : x = 4; y = 5t]. Parametricky vyjádřete přímky a úsečky AB, BA, ús AB. ús BA a P?, aby AP = 3 AB. A[; 7]; B[ 3; ]; [x = 5t; y = 7 + 8t; P[ 3; 7]; t = 3]. A[3; ]; B[ ; ]; [x = 3 5t; y = ; < 0; ); < 0; >; ( ;>] 3. Obecná rovnice přímky:. A[ 3; ]; n = (; ); [x + y + 4 = 0]. A[3; ]; u = (3; ); [x + 3y 7 = 0] 3. A[; ]; B[ ; 4]; [3x + 4y 0 = 0] 4. x = t; y = 3 + t; t c R; [x + y = 0] 5. směrnic. y = 5x + 3; [5x + y 3 = 0] 4. Směrnicový a obecný tvar rovnice přímky?. k = ; A[0; 3]; [y = x + 3; x + y 3 = 0]. k = 3; A[; 5]; [y = 3x ; 3x y = 0] 3. A[; 3]; B[3; 5]; [y = x ; x y = 0] 4. A[3; ]; B[3; 3]; [smernic.nejde; x 3 = 0] 5. A[3; ]; uhel 35 0 s kladnou poloosou; [y = x + ; x + y = 0] 5. Dány body A[; ]; B[4; 3]; C[ ; 3]. Jsou vrcholy trojúhelníku ABC? Napište obecné rovnice přímek obsahující. v a ; [5x 6y 4 = 0]. osu strany AB ;[x y 5 = 0] 6. Dán trojúhelník ABC, A[6; ]; B[ ; 4]; C[ ; 0]. Napište obecné rovnice přímek, které obsahují:. stranu AB;[x + 4y 4 = 0]. stranu BC; [x + = 0] 3. t a ; [y = 0] 4. t b ; [3x + 4y 0 = 0] 7. Dána přímka p: x = + t; y = t. Dány body A[; 6]; B[0; 4]; C[3; c ].. leží A, B na přímce p? [A ano, B ne]. určete c, aby C c D; [c = 8] 3. průsečíky přímky p s osami x, y; [X[ ; 0]; Y[0; ]] 8. Dána obecná rovnice přímky p :x y + 3 = 0; aa[5; ]; B[ 3; ]; C[0; 3]; D[; ].. Urči, kdo leží na p; [C c p]. u zbývajících urči, leží-li v polorovině p a [0; 0]; [A, D]. Analytika v rovině Strana z 3 Celkem 3 z 83
SMA 4.ročník. Analytická geometrie lineárních útvarů v rovině PH, rel. 00609 3. E[e ;9]; aby E c p; [e = 3] 4. průsečíky p s osami x, y; X 3 ;0 ; Y [0; 3] 9. k dané přímce p a bodu A napište obecnou rovnici přímky r, která je rovnoběžná s p a prochází bodem A.. p :3x y + = 0; A[3; ]; [r :3x y 0 = 0]. p : y = x + 3; A[; ]; [r :x y 4 = 0] 3. p : x = + t; y = t; A[3; 4]; [x + y = 0] 4. p = MN; M[ 3; ]; N[4; ]; A[; 5]; [r :x + 7y 37 = 0] 5. přímka k, která prochází bodem A je k dané přímce p kolmá x + 3y = 0; x + y + 3 = 0; x y = 0; 7x y + 3 = 0 0. Urči vzájemnou polohu přímek a, b. Jsou-li různoběžné, urči souřadnice jejich průsečíku a urči jejich odchylku.. x y + 3 = 0; x + y 6 = 0; [O; P[; 5]]. x 3y = 0; x + 6y + 5 = 0; [ ] 3. x + y = 0; x + y 4 =; [a = b] 4. 3x y + = 0; x = t, y = 4 + t; [O, P[; ]] 5. x = 3t, y = t;x 6y + 5 = 0; [ ] 6. x + y 5 = 0; x = t, y = + t; [a = b] 7. x = t, y = + t; x = s, y = 4 + s; [a = b] 8. x = t, y = 3; x = 3 x, y = + s; [O; P[; 3]] 9. x = t, y = 3 + t; x = 3 x, y = s; [ ] a odchylky si, děťátka, spočítají sama :-)!!!!. Dáno p :x + 5y 0; M[0; 4]; N[5; 3]. Průnik. p a přímky MN; P[0; ]. p a úsečky MN; π. Napište obecnou rovnici přímky m, procházející body A[; 3] a průsečíkem B přímek a, b, kde: a :x + 7y 8 = 0; b : x + y = 0. [x + y + = 0] 3. Určete souřadnice paty kolmice vedené bodem M[; 5] k přímce p : x 7y + 3 = 0; [P[; ]]. 4. Určete souřadnice středu kružnice opsané trojúhelníku ABC, A[0; ]; B[4; 3]; C[6; 5]; [S[ 3; ] prusecik os stran] 5. Dány body A[0; ]; B[; 0]; C[7; 5]. Určete D tak, aby DA byla kolmá k AB a CD rovnoběžná s AB. [D[ ; 3];4x + y + = 0; x 4y + 3 = 0] 6. HLAVOLAM, dobrej!!!! Dány body A[ ; ]; B[; ]; V[ ; ]. Určete C tak, aby bod V byl průsečík výšek v trojúhelníku ABC. [C[ 4; 5];4x 3y + = 0; x y 6 = 0] 7. Určete odchylku přímek p, q:. p :x y + = 0; q :3x + y + = 0; [45 0 ]. p : x y + = 0; q : y = 3 x + ; [ 0 9, ] 3. p :8x 5y + 0 = 0; q :splyva s osou x; [8 0 04, ] 4. p :3x y + 6 = 0; q : x = + t, y = t; [63 0 6, ] 5. p : x y + 3 = 0; q : AB : A[0; ]; B[4; ]; [0 0 ] Petr Harbich, rev 006.09.03 Strana z 3 Celkem 33 z 83
SMA 4.ročník. Analytická geometrie lineárních útvarů v rovině PH, rel. 00603 6. p : x = 3t, y = + t; q : x = 3 s, y = 3s; [90 0 ] 8. Určete vzdálenost M od přímky p:. M[; ]; p :3x + 4y = 0; []. M[ 4; 3]; p : AB : A[; ]; B[; 3]; [ 6 5 5 ] 3. M[; 4]; p : x = 6 + 3t, y = 8 4t; [4] 9. V trojúhelníku ABC, kde A[6; ]; B[ ; 4]; C[ ; 0] určete v a a pak ji využijte k výpočtu obsahu trojúhelníka. Pak ještě pomocí vektoráku, jo? [v a = 8; S = 6] 0. Mezi všemi přímkami 5x + y + c = 0; najděte tu, jejíž vzdálenost od bodu P[0; 0] je d = 3. [5x + y! 39 = 0]. Na přímce p :4x y = 0; najděte body, které mají od přímky q :5x + y + 5 = 0 vzdálenost d = 3; 4; 7 6 4 4 3 ; 3 8.. Bodem A[3; 5] veďte přímku, která má od p : y x + = 0 odchylku 45. y = 3 x + 4; y = 3x + 4. 3. Na přímce p :3x y 6 = 0 najděte bod A[x a, y a ], který má od přímky q :3x 4y + 3 = 0vzdálenost d = 3 4. Je dán trojúhelník ABC: A[ 4; ]; B[; 3]; C[ 3; 0]. Napište rovnice os strany AB, t a, v c. Určete obsah trojúhelníku. 3x + y + = 0; 5 x + 7 y 3 = 0; 3x + y + 9 = 0; S =... 5. Urči směrový úhel přímky a=kl. K 3 3; ; L 3;5 ; [ = 0 0 ] 6. Bodem A[; 3] veďte přímky s odchylkou 45 k přímce p :4y 7 = 0; [y = x + 4; y = x + ] 7. Bodem A[5; 3] veďte kolmici k přímce p : UV : U[; ]; V[; 5]; [y 3 = 0] 8. Je dán bod A[3; ]; p :x + y 3 = 0. napiš rovnici přímky, která prochází bodem A a svírá s přímkou p úhel 90 (45 ). y = x 5 ;... 9. Napište rovnici přímky, která prochází bodem Q[; ] a má od bodu S[5; 0] vzdálenost d = 3.. Analytika v rovině Strana 3 z 3 Celkem 34 z 83
SMA 4.ročník. Kružnice, elipsa Petr Harbich, rel. 006097 Kružnice, elipsa Středový tvar tečny v bodě, se směrem, z bodu (x x + y y = r ; x, + yy, = 0) přímka kružnice, elipsa; D >; =; < 0 odvození středové rovnice elipsy; e = a b ; EL + FL = a; x a + y b =. Trojúhelníku ABC; A[5; ]; B[0; 6]; C[4; ] opište kružnici.. Napište rovnice tečny k : x + y = 5 v bodě T[3; 4] ;[vyjádřit přímku, dopočítat q; dosadit zpět a dopočítat]. rovnice tečny v bodě x 0 = 3; y 0 = 4:x.x 0 + y.y 0 = 5; 3x 4y = 5. normálový vektor přímky je ST a dopočítat koeficienty přes T[3; 4] 3. implicitní funkce 4. dosazení (masakr, ale zaručeně spolehlivá metoda) 3. Napište analytické vyjádření útvarů:. kružnice S[ ; 3]; r = 3; (x + ) + (y 3) = 9. vnitřek kružnice S[; 0]; r = 3 ; (x ) + y < 3. vnějšek kružnice S[ 5; ]; r = 3 ; (x + 5) + (y + ) > 8 4. kruh S[0; 5]; r = ; x + (y 5) [ 4 4. Rovnici kružnice, S[6; 7]. procházející A[0; 9]; (x 6) + (y 7) = 40. dotýká se p :5x y 4 = 0; (x 6) + (y 7) = 36, najdu T a dosadim.. 3. dotýká se souřadnicové osy y: (x 6) + (y 7) = 36 5. Rovnici kružnice, která. má S c p : x y 5 = 0; proch.a[; ]; B[ 3; 3] ; (x 6) + (y 4) = 5. má S c p :3x 4y 3 = 0; a prochází body A[5; 3]; B[6; ]; (x + ) + (y ) = 5 6. Napište rovnice kružnice opsané trojúhelníku ABC:. A[; ]; B[; 4]; C[6; 9];.... A[ ; 3]; B[0; ]; C[ ; ];... 7. Napište rovnici kružnice, která:. prochází bodem M[9; ] a dotýká se obou souřadnicových os. r = 5; prochází bodem Q[3; 5] a její střed leží na p :x + 3y 4 = 0 8. Bodem Q[3; 5] veďte tečnu ke k : x + y = 9; [y = kx + q, q =...; dosadim a D = 0...] 9. Urči S, r x + y 8x + y + = 0. Urči rovnice tečen s p : x y + 5 = 0; [S[4; ]; r = 5 ; t :...] Elipsa 0. Načrtněte elipsu: 9x + 5y 54x 00y 44 = 0; (x 3) 5 + (y ) 9 = ;.... Kružnice, elipsa Strana z 3 Celkem 35 z 73
SMA 4.ročník. Kružnice, elipsa Petr Harbich, rel. 006097. Načrtněte elipsu: 3x + y + 6x 5 = 0; (x+) 8 3 + y 4 = ; S [ ; 0]; a = ; b = 8 3 = 3 6. Napište rovnici elipsy, jejíž hlavní osa je s osou x: x. S[0; 0]; a = 5; b = 3; 5 + y 9 = ; [!5; 0]; [0;!3]. S[; ]; a = ; b = ; 3. S[ ; 0]; a = 5; e = 3; (x ) 9 + (y+) (x+) 5 + (y) 4 = ; [, 5; 0]; [;, 3] 6 = ; [ 7, 3; 0]; [ ;!4] (x+) 5 + (y 3) 4. S[ ; 3]; b = 3; jeden bod X[; 4, 8]; 9 = ; + vrcholy a náčrt, jo? (x 7) 6 + (y ) 5. hlavní vrchol A[3; ], vedlejší vrchol C[7; 3]; 4 = ; + zbytek... 3. Napište rovnici elipsy, je-li dáno: x. S[0; 3]; A[3; 3]; B[0; ]; 9 + (y 3) 5 = (x 3). F[5; 5]; A[8; 5]; B[ ; 5]; 5 + (y 5) = 3. vedlejší vrcholy C[3; 5]; D[3; ]; e = 4; (x 3) 5 + (y ) 9 = 4. Určete S, směr hlavní osy, délky poloos, e, vrcholy, ohniska: (x ). 69 + (y+3) 5 = ; [a = 3; b = 5; e = ; F[ ; 3; ]; G[3; 3];...]. 5(x + ) + 9y = 5; [a = 5; b = 3; e = 4; F[ ; 4]; G[ ; 4]; osa y] 3. 6x + 5y 64x + 50y = 0; [a = 5; b = 4; e = 3; F[ ; 3]; G[5; 3]; osa x] 5. Je to elipsa? Jestliže ano, tak určete S, směr hlavní osy, a, b:. 9x + 6y 54x + 64y + = 0; [a = 4; b = 3;...]. 5x + 4y y 9 = 0; [o y; a = 5; b = ;...] 3. x + y 4y 6y + 36 = 0; [ne] 4. x + 4y + 4x 6y + 36 = 0; [ne] 5. 6x + 5y 3x 84 = 0; o x; a = 5 ; b = ;... 6.Odvození středové rovnice elipsy z metrických vlastností: EL + FL = a EL = (x + e) + y ; FL = (x e) + y ; (x + e) + y = a (x e) + y... x a + y b = x 7. Určete rovnice tečny elipsy 5 + y 9 = ve jejím bodě T [4; 9 ] 5 ; [4x 5y 5 = 0] 8. Rovnice tečen elipsy, která má rovnici (x ) + (y+) 4 = v jejích průsečících s přímkou p : y = x; x y 4 =!. 9. Určete parametr k tak, aby přímka y = kx + byla vnější přímkou elipsy: x + y + 4x y + = 0; [ je to elipsa?;d < 0...] Mix 0. Napište rovnici kružnice, která se dotýká přímky p :3x + 4y 5 = 0; jwjí atřed leží na přímce q : x + y + 6 = 0 a poloměr r=5. (x ) + (y + 4) = 5; (x 5) + (y + 9) = 5.. Kružnice, elipsa Strana z 3 Celkem 36 z 73
SMA 4.ročník. Kružnice, elipsa Petr Harbich, rel. 006097. Napište rovnici kružnice, která má střed S[ 5; 4] a na přímce p : y = x + 4 vytíná tětivu délky 8. (x + 5) + (y 4) = 36.. Napište rovnici kružnice, která prochází body E[3; ]; F[; 4] a dotýká se osy x. (x 9) + (y 0) = 00; (x ) + (y ) = 4 3. Napište rovnici kružnice, která se dotýká osy x i y. Střed kružnice leží na přímce p : x + 3y 4 = 0; (x ) + (y ) = ; (x + ) + (y ) = 4 4. Napište rovnici kružnice, která se dotýká osy x i y. Střed kružnice leží na přímce p : x y + 3 = 0; (x +, 5) + (y, 5) = 9 4 5. Napište rovnici kružnice, která se dotýká přímek p : x = ; q : y = a prochází bodem M[; 5]; (x 3) + (y + 4) = 5; (x ) + (y + ) = 9 6. Napište rovnici kružnice, která se dotýká přímek p :3x 4y + = 0; q :3x 4y + 5 = 0. Její střed leží na přímce r :3x + y = 0; (x + ) + (y 0, 5) = 4 5 7. Napište rovnici kružnice, která prochází bodem M[; ] a dotýká se daných přímek p : x + y 6 = 0; q : x + y + = 0; (x 3) + (y + ) = 8; (x + ) + (y 3) = 8 8. Napište rovnici kružnice, která prochází bodem M[; ] a dotýká se daných přímek p : x y 3 = 0; q :7x + y + 3 = 0; (x, 5) + (y 4, 5) = 5 ; (x ) + y =. 9. Napište rovnici elipsy, znáte-li jedno ohnisko E[3; ] a vedlejší vrcholy (x 6) C[6; ]; D[6; 6]; 5 + (y+) 6 =. 30. Napište rovnici elipsy, která se dotýká osy x v bodě X[ 4; 0] a osy y v bodě (x+4) Y[0; 3]; 6 + (y+3) 9 =. 3. Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu totožnou s osou y, střed S[0; 0], hlavní x poloosa = 4 ; a elipsa prochází bodem M ;4. 6 + y 3 = 3. Napište rovnici elipsy, která má osy shodné s osami soustavy souřadnic a prochází body x M[ 6; 7 ]; N 3 ;4 ; 50 + y 5 = 33. Napište rovnici elipsy, která má osy rovnoběžné s osami souřadnic, střed S[ 3; ] a (x+3) prochází body K[9; 9]; L[3; 5]; 400 + (y ) 00 =.. Kružnice, elipsa Strana 3 z 3 Celkem 37 z 73
SMA 4.ročník 3. Parabola Petr Harbich, rel. 006097 Parabola vzdálenost bodu od přímky odvození rovnice paraboly, pro F 0; p ; X [x; y]; D x; p... V v počátku soustavy souřadnic d x = py; p parametr paraboly; x =!py; 43 y =!px; r` přímka a parabola D >, =, < 0 vnitřek paraboly < 0 vnějšek paraboly > 0 POZOR na tečnu paraboly a přímku (sečnu) mající společný bod (rovnoběžná s osou paraboly). Bodem H[ 3; ] veďte přímky, které mají s parabolou x + x y 3 = 0 společný bod. bod leží?...vně > 0. sečna, přímka s osou y, protože parabola je typu U... p : x = 3 3. tečny (): y = kx + q; q = 3k ; d x + x kx 3k + 3 = 0; [k = ; q = 7; ]; [k = 6; q = 9]. Napište rovnici paraboly a načrtněme ji. Body paraboly jsou: K[; 7]; L[ ; 3]; M[0; 4]; osa y; [x + Ax + By + C = 0; + A + 7B + C = 0,...] 3. Parabola je dána x + x y 3 = 0; napište rovnici ve vrcholovém tvaru, v, P, f, D: (x + ) = y + 4; V[ ; 4]; p = ; F [ ; 3, 75]; d : y = 4, 5 4. Pro která m bude přímka p :3x y + m = 0 tečna, sečna či vnější přímka paraboly y 6x + 6y + 3 = 0? [m =...t; m < vnejsi primka;m > secna]. 5. Bodem A[ 7; 0] veďte tečny k parabole y 6x 4y = 0; q = 7k; lepe dosadit x = y k 7; y = x + 7; y = 3 x 4 3. 6. Dány body A[; 4]; B[ ; 7]; C[; 3]; osa y. Určete vrcholovou rovnici, V, d, F paraboly. x + Ax + By + C = 0...(x ) = y 3; V[; 3]; F[; 3, 5]; d : y = 4. 7. Určete parametr t tak, aby přímka x + 4y + t = 0 byla sečnou paraboly y + 3x + 4y 8 = 0. [x = t 4y adosadim...y + 3( 4 y t) + 4y 8 = 0; D > 0...t > 8] 8. Napište rovnici paraboly s vrcholem V[0; 0] a:. F[; 0]; [y = 8x]. F 3 ;0 ; [y = 6x] 3. F[0; ]; [x = 4y] 4. F[0; 3]; [x = y] 9. Napište rovnici paraboly s V[0; 0] procházející bodem A[; 4], jejíž osa:. splývá se souřadnicovou osou x; [y = 8x; F[; 0]; d : x = ]. splývá se souřadnicovou osou y; x = y; F 0; 4 ; d : y = 4 3. určete souřadnice ohniska a rovnici řídící přímky 3. Parabola Strana z 3 Celkem 38 z 83