Předmět: Ročík: Vytvořl: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mg Tomáš MAŇÁK 5 pe 03 Název zpacovaého celku: STATISTIKA ZÁKLADNÍ POJMY STATISTIKA ZÁKLADNÍ POJMY Stattka e věda o metodách běu (pozoováí, měřeí, vážeí, ), zpacováí a vyhodocováí tattckých údaů Stattcký oubo oubo obektů, kteý pověřueme (apř kupa tudetů) Stattcká edotka pvek tattckého oubou (apř ede tudet) Shodé vlatot tattckých edotek umožňuí vytvářet tattcké ouboy Stattcké edotky vyšetřueme z hledka zvoleého zaku ebo ěkolka zvoleých zaků Rozah tattckého oubou počet všech pvků tattckého oubou (počet všech tattckých edotek) Stattcký zak polečá vlatot (pvků tattckého oubou), kteou pověřueme (apř zámky) a) kvattatví daí e vyádřt čílem (apř zámky, výška, hmotot, počet, ) b) kvaltatví elze e vyádřt čílem (apř muž žea, povoláí, tva výobku, ) Př tattckém šetřeí vyšetřueme řadu zaků, kteé á zaímaí ak každý zvlášť, tak ve vzáemém vztahu Omezíme e a tuace, kdy á zaímá edý zak Výledkem e ezam edotek udáím hodoty zaku u každé z ch Jedotky v ezamu ou očílováy: Hodoty zaku ozačueme:,,3,,, U větších ouboů může doít k opakovaému výkytu teých hodot tattckého zaku a tím zak abývá e učtého počtu ůzých hodot:,,, Abolutí četot hodoty zaku ; =,,,, t počet výkytů daé hodoty v oubou počet všech edotek oubou oučet četotí všech možých hodot zaku počet výkytů tattckých edotek e teou hodotou = ozah oubou Relatví četot p hodoty zaku abolutí četot hodoty zaku děleá počtem všech edotek v oubou (ozahem oubou) Začí, aká čát oubou má hodotu zaku
p, = ; ; ; čato e udává v % abolutí četot hodoty zaku k p p p p k ozah oubou p 00 Tabulku azýváme ozděleí četotí zaku Přřazue hodotám zak ech četot četot Rozděleí četotí zázoňueme: a) pocovým dagamem (polygo četotí) poeí bodů, echž pví ouřadce e hodota kvattatvího zaku a duhá ouřadce e odpovídaící četot b) loupkovým dagamem (htogam) používá e v případech, kdy hodoty zaku ou dužey v tevalech Itevaly tvoří základy loupků, četot udávaí výšky loupků Kdyby tevaly ebyly teě dlouhé, muela by být četotem ova kol výška, ale plošý obah loupků c) kuhovým dagamem ůzým hodotám zaku odpovídaí kuhové výeče, echž plošé obahy ou úměé četotem Řešeý příklad : Sezam 43 čleů dužtva úda o počtu odých přílušíků Ze ezamu lze zíkat áleduící ozděleí četotí počet odých 3 4 5 6 7 8 přílušíků četot 7 9 36 4 4 3 četot 45 40 35 30 5 0 5 0 5 0 3 4 5 6 7 8 počet odých přílušíků pocový dagam (polygo četotí) zázoňuící ozděleí četotí
Řešeý příklad : Potupuí-l hodoty kvattatvího zaku po přílš malých kocích, dužueme e v tevaly Hodoty z téhož tevalu zaokouhlueme a třed tevalu Tabulku ozděleí četotí pak můžeme zapat edím ze dvou způobů: 58 6 63 67 68 7 73 77 78 8 83 87 88 9 9 0 36 8 35 4 4 = 00 (ozah oubou) 60 65 70 75 80 85 90 9 0 36 8 35 4 4 = 00 četot 90 80 70 60 50 40 30 0 0 0 60 65 70 75 80 85 90 výška potavy v cm loupkový dagam (htogam) zázoňuící ozděleí četotí Řešeý příklad 3: Stattckým ouboem e 30 žáků školy; zakem e voltelý azyk: aglčta, ěmča, ušta Rozděleí četotí e áleduící: azyk ANJ NEJ RUJ četot 76 05 39 Rozděleí četotí v pocetech azyk ANJ NEJ RUJ elatví četot v % 55,0 3,8, aglčta ěmča ušta kuhový dagam zázoňuící ozděleí četotí výbě voltelého azyka 3
Pacoví lt A ) V tabulce e uvedeo ozděleí 00 křeel v PS ČR po volbách v oce 998 Zázoěte tuac kuhovým dagamem a učete tředové úhly edotlvých výečí ČSSD ODS KSČM KDU ČSL US 74 63 4 0 9 ) Stattckým zakem e počet opeací, kteým muí výobek poít Ve ledovaém podku e v daém období vyábí celkem = 0 podobých výobků U každého z ch me ztl počet výobích opeací :, 3, 3,,, 4, 5, 4, 3, 3 Upořádete tyto údae do tabulky ozděleí četotí Ověřte, že oučet četotí dává ozah oubou Vypočtěte elatví četot a elatví četot v % 3) Př zšťováí počtu ezletlých dětí v dvacet domácotech me ztl tyto výledky: 0,0,,,,,,,,0,0,0,3,,,,,3,, Upořádete údae do tabulky ozděleí četotí, vypočtěte elatví četot a elatví četot v % 4) Ve třídě e 0 žáků popěchem od do,5, 5žáků popěchem od,5 do, žáků popěchem od do,5 a 5 žáků popěchem od,5 do 3 Setavte tabulku tevalového ozděleí četotí popěchu žáků, četot tevalů popěchu vyádřete abolutě, elatvě a v % 4
STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY: a) chaaktetky polohy číla, kteá chaaktezuí půměou hodotu ledovaého kvattatvího zaku: a atmetcký půmě b vážeý atmetcký půmě V c hamocký půmě H d geometcký půmě G e modu Mod() f medá Med() Atmetcký půmě oučet hodot zaku zštěý u všech edotek oubou, děleý počtem všech edotek oubou Chaaktezue oubo, ehož hodoty zaku e avzáem etémě elší Neí vhodý v tuacích, kdy hodoty zaku eou ovoměě ozložeé kolem atmetckého půměu a v případech, kdy v oubou ou etémě ízké ebo vyoké hodoty Využíváme-l tabulky ozděleí četotí, muíme každou hodotu áobt eí četotí t Řešeý příklad 4: Podle údaů řešeého příkladu učete půměou výšku potavy Řešeí: 609 65 0 7036 758 8035 854 90 4 34860 74, 3cm 00 00 Duhý vzoec u atmetckého půměu předtavue vážeý atmetcký půmě Mluvíme o ě tehdy, maí-l hodoty četot V p e elatví četot hodot p 5
Řešeý příklad 5: Automobl ede hody ychlotí 70 km/h a 3 hody ychlotí 90 km/h Jaká e eho půměá ychlot? Řešeí: Jede-l automobl hody ychlotí 70 km/h a 3 hody ychlotí 90 km/h, pak eho půměá ychlot eí atmetckým půměem, ale vážeým atmetckým půměem těchto ychlotí: 390 70 V 8km/ h 3 Rozdělíme-l oubo do kup, pak půmě celého oubou e vážeým atmetckým půměem kupových půměů, přčemž ako četot vytupuí počty hodot v edotlvých kupách V L L L počet kup pořadové čílo kupy půmě -té kupy četot -té kupy Řešeý příklad 6: Ve škole ou čtyř 6 třídy ozačeé A, B, C, D Počty žáků a půměé zámky z matematky ou uvedey v tabulce Učete půměou zámku z matematky ve všech 6 třídách dohomady třída A B C D půměá zámka z matematky,,8,33, počet žáků 8 4 3 30 Řešeí: V, 8,8 4,33 3, 30 4 43,4,4 4 6
Hamocký půmě kladých číel,,, e používá př výpočtu půměu z poměých číel Rozumí e ím převáceá hodota atmetckého půměu převáceých hodot H Řešeý příklad 7: Dva pacovíc pováděí teou výobí opeac Pvímu pacovíkov tvá opeace muty, zatímco duhému 6 mut Jak dlouho tvá půměě opeace? Řešeí: pacovík povede za hodu 30 opeací (60 : = 30) pacovík povede za hodu 0 opeací (60 : 6 = 0) Celkem povedou oba dohomady za hodu 40 opeací půměě a každého z ch za hodu přpadá 0 opeací každému pacovíku tvá v půměu eda opeace 3 muty (60 : 0 = 3) T H 6 6 3m V ěkteých áodohopodářkých oblatech čato zšťueme půměé tempo ůtu výoby za edo období Tím e míí půmě podílů hodot za dvě po obě áleduící období, tedy podílů z, z,, z Za půmě e pak bee tzv geometcký půmě z kladých hodot 0 z z,,, z kvattatvího zaku G z z z 0 Je-l tempo ůtu ve všech obdobích tálé, ové a, pak e počátečí hodota změí za období pávě G Hodoty ůtu z e obvykle udávaí v % Jou-l apř v pět po obě doucích letech ovy: 0,3; 08,5; 00,6; 04,; 0, Pak půměé očí tempo ůtu e G 5 0,308,500,604,0, 03,3 7
Modu Mod() e hodota evětší četotí (t ečatě e vykytuící hodota mez ) Řešeý příklad 8: Učete modu z řešeého příkladu a (vz výše) počet odých 3 4 5 6 7 8 přílušíků četot 7 9 36 4 4 3 60 65 70 75 80 85 90 9 0 36 8 35 4 4 Řešeí: Mod() = 4 příklad Mod() = 75 příklad Medá Med() = Med() = e-l lché t potředí čle) e-l udé (t potředí hodoty ou dvě; medá učíme ako ech atmetcký půmě) kde (), (),, () ou hodoty,, upořádaé podle velkot Medá e užívá ako chaaktetka polohy v ouboech, kde hodoty zaku u ěkteých edotek etémě vybočuí z řady otatích hodot Medá e potředí čle mez hodotam, ou-l upořádáy podle velkot Řešeý příklad 9: Učete medá z řešeého příkladu a (tabulky ozděleí četotí alezete v předchozím řešeém příkladu 8) Řešeí: Příklad ozah oubou = 43 e lché Med() = Med() = 43 44 8
3 7 Příklad ozah oubou =00 e udé Med() = (00) (0) 75 75 75 Med() = POZOR!!! Jedotlvé hodoty zaku muí být podle velkot upořádáy vzetupě! 9
Pacoví lt B ) V oce 980 byla potřeba zboží vyšší ež potřeba v oce 979 V oce 98 byla potřeba teého duhu zboží 6 vyšší ež v oce 980 Kolkát půměě očě toupla potřeba tohoto duhu zboží? ) Stattckým ouboem e 0 čleů dužtva, zakem ech očí příem (v t Kč), ozděleím četotí uvedeým v tabulce Učete půměý očí příem, modu a medá očí příem 80 90 00 0 0 890 četot 6 6 5 3) Ze 44 žáků e žáků ve věku 7 let, 30 žáků ve věku 8 let, žác ve věku 9 let Jaký e půměý věk žáků? 4) Z 0 dělíků ch 0 povádí pác za muty, 5 za 5 mut a 5 za 0 mut Kolk mut přpadá a pác půměě a edoho dělíka? 5) Za pět let má vzůt obem výoby o 50 % O kolk pocet muí půměě očě ůt? 0
b) chaaktetky vaablty (pomělvot) ukazuí, ak e hodoty zaků lší od zvoleé chaaktetky polohy, ep od ebe avzáem Každou chaaktetku polohy chápeme ako čílo, kolem ěhož edotlvé hodoty zaku kolíaí Velkot tohoto kolíáí vyadřuí chaaktetky vaablty zaku Patří mez ě: a měodatá odchylka b ozptyl c vážeá foma ozptylu d vaačí koefcet e vaačí ozpětí Směodatá odchylka e duhá odmoca z ozptylu Chaaktezue vaabltu zaku ve teých edotkách měřeí, v akých ou uvedey hodoty zaku, kdežto ozptyl e vyádře v duhých mocách těchto edotek ) ( Rozptyl e půmě duhých moc odchylek od atmetckého půměu Je to také měodatá odchylka umocěá a duhou ) ( ; po úpavě vztah vhoděší po výpočet ep ) ( ) ( tzv vážeá foma ozptylu (počítáme-l ozptyl z tabulky ozděleí četotí) po úpavě: vztah vhoděší po výpočet Vaačí koefcet v používáme, chceme-l chaaktezovat vaabltu zaku bezozměým čílem Udává elatví míu vaablty a louží ke ováí vaablty dvou ebo více ouboů v ůzých měřících edotkách Je to podíl měodaté odchylky a atmetckého půměu Vyadřue e v % 00,,,, 0, tz má myl e tehdy, abývá-l zak e ezápoých hodot Vaačí ozpětí R = ma - m
Koelace popue dvoce zaků a ech závlot (apř očí potřeba alkoholu v edotlvých tátech EU, očí úmtot a chózu ate) Zaímá á tattcká závlot evů Míu závlot obou zaků učue koefcet koelace y Zak a eho hodoty,,, Zak y a eho hodoty y,y,,y y y cha polohy cha vaab y ( )( y y) ; y, y y y y Čím blíž e hodota y čílu, tím e závlot mez zaky a y větší
Pacoví lt C ) Po řadu číel, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8 vypočtěte vaačí ozpětí, ozptyl, měodatou odchylku, modu a medá ) Vypočtěte modu a medá údaů v tabulce hodota zaku četot 80 3 4 4 8 5 6 3) Výledky bodového hodoceí tetu v té třídě ou uvedey ve fomě tabulky ozděleí četotí Zázoěte tyto výledky gafcky pomocí: a) polygou četotí b) htogamu bodové hodoceí tetu četot elatví četot 0 0 4 3 8 4 0 5 0 6 5 7 8 0 3
4) Jtý auto opakoval 4096kát hod kotkam V každém hodu zazameal počet šetek Rozděleí četotí tohoto zaku udává tabulka Učete atmetcký půmě, modu, medá, měodatou odchylku počet šetek 0 3 4 5 6 7 a více četot 447 45 8 796 380 5 4 8 5) V okee ou tř zemědělká dužtva a oukomě hopodařící olíc V tabulce ou hektaové výoy pšece v t/ha a eí klzňové plochy v ha u všech čtyř ubektů Jaký byl půměý hektaový výo pšece v okee? ZD ZD ZD3 oukomíc výo 4,9 5, 4,8 5,4 plocha 640 560 00 400 6) Stezkou, kteá vede a vchol hoy, vytupue tuta ychlotí,5 km/h, etupue ychlotí 5 km/h Jakou půměou ychlotí de? 7) Tabulka ozděleí četotí popue oubo 64 837 žvě aozeých děvčat v ČR v oce 988 podle poodí délky (v cm) Vypočtěte atmetcký půmě a modu poodí délka četot poodí délka četot do 36 49 47 48 90 37 38 04 49 50 7 58 39 40 6 5 5 6 58 4 4 376 53 54 3 5 43 44 93 55 a více 36 45 46 3 03 4
8) Kotoloř aal v tetýž de a tutéž cetu potupě 8 vozů talužby Zaplatl tyto čátky v Kč: 70, 60, 65, 80, 70, 60, 90, 65 Vypočtěte atmetcký půmě, modu, medá a měodatou odchylku 9) V tabulce e uvedea hutota obyvatel a km a celková ozloha v km pět tředoevopkých tátů Jaká e půměá hutota obyvatel v této čát Evopy? Polko ČR Sloveko Rakouko Maďako hutota 4 3 0 97 0 ozloha 3 700 78 900 49 000 84 900 93 000 0) Podk vykázal v letech 000 až 004 áleduící čtý zk (v mlkč) Jaké bylo půměé očí tempo ůtu? 000 00 00 003 004,0,5 4,4 9, 8,0 5
Použtá lteatua: Výukové mateály a úlohy a cvčeí ou autoky vytvořey po učebí mateál O Petáek, E Calda, P Hebák: Matematka po tředí odboé školy a tudí oboy tředích odboých učlšť 4 čát, Pometheu 008 M Hudcová, L Kubčíková: Sbíka úloh z matematky po SOŠ, SOU a átavbové tudum, Pometheu 004 E Calda, V Dupač: Matematka po gymáza Kombatoka, pavděpodobot, tattka, Pometheu 006 I Dušek: Řešeé matutí úlohy z matematky, SPN 988 P Čemák, P Čevková: Odmatuu z matematky, Ddakt 00 6