Měření a charakteristiky variability

Transkript

1 Lece Měřeí a charatert varablt Po úrov je druhou vlatotí datového ouboru promělvot varablta Tato vlatot je ložtější o čemž vpovídají ja růzé ocepce chápáí promělvot dat ta začý počet dpoblích charatert varablt Na výběr jou tetorát charatert rozměré bezrozměré otruovaé a báz dferecí č odchle Vedoucí potaveí mez charatertam varablt ve tattce vůbec má průměrá čtvercová odchla olem artmetcého průměru rozptl Varablta ale taé ouví chbam zjšťováí proto e rozlšuje přrozeá a chbová varablta M předpoládáme že chb jou zaedbatelé a hovoříme ted pouze o měřeí přrozeé varablt dferece; ovarace; medáová abolutí odchla od medáu; odchl; protá forma; průměrá abolutí odchla od medáu; rozpětí vartlů; rozptl; měrodatá odchla; polečý rozptl; varablta; varačí oefcet; varačí rozpětí; vážeá forma Varablta a její měřeí V úvodí aptole jme př charaterzováí tatt použl formulac že e zabývá promělvým varablím vlatotm hromadých jevů O varabltě e hovoří v růzých ouvlotech: Ve vztahu růzým jedotám téhož tattcého ouboru Ve vztahu jedé jedotce a íž je určtá hodota ledováa v růzých čaových oamžcích ebo tervalech Ve vztahu jedé jedotce a íž je opaovaě odčítáa tatáž otatí hodota V tomto případě tojí za varabltou aměřeých hodot áhodé chb měřeí Zdrojem ežádoucí varablt mohou být taé růzé defet v datech Obr Dva oubor lšící e v úrov a ve varabltě Soubor A Soubor B rozpětí ouboru A r o z p ě t í o u b o r u B Dva tříděé datové oubor a obrázu e záměrě lší v úrov to pro zvýšeí přehledot a ve varabltě Data ouboru B měřeo rozpětím a oe hodot zau vazují podtatě všší promělvot varabltu ež data ouboru A Stattcé údaje ted mohou v prcpu obahovat přrozeou varabltu jejímž zdrojem je růzot podmíe v protoru a čae a dále chbovou varabltu terá je do dat veea áhodým 4

2 případě hrubým chbam měřeí a edooalotí ve vmezeí tattcých ouborů a v defováí zoumaých zaů V rozahu tohoto tetu e budeme zabývat pouze měřeím přrozeé varablt a budeme mlč předpoládat epřítomot chbové varablt Měřeím chbové varablt e zabývá amotatá dcplía teore chb Od tutvího chápáí varablt vz obr je třeba přejít objetvím charatertám umožňujícím eatí měřeí této vlatot a rováváí varablt dvou ebo více datových ouborů O tom že varablta je poěud ložtější vlatot ež v mulé aptole probraá úroveň vědčí mj to že etuje řada ocepcí jejího měřeí vedoucí celému tému charatert varablt Nejprmtvějším pojetím varablt je její chápáí jao rozpětí hodot ouboru V této ouvlot e používá měřeí varablt varačího rozpětí R ma m ebo rozpětí vartlů Q V obou případech jde o epřílš důležté charatert založeé a výzamých hodotách Podobě jao v případě měřeí úrově dáváme předot píše charatertám teré jou fucem všech hodot a mají proto větší vpovídací chopot Dalším z možých pojetí varablt je její chápáí ve mlu vzájemé rozdílot hodot ve dvojcích Prcp výpočtu této up charatert počívá ve vtvořeí všech možých dvojc údajů taoveí dferecí rozdílů hodot ve dvojcích a výpočtu průměré dferece terá vzhledem tomu že oučet všech možých dferecí je vžd rove ule e vjadřuje jao artmetcý průměr abolutích hodot dferecí tato charaterta e azývá tředí dferece ebo artmetcý průměr jejch čtverců tředí vadratcá dferece Výpočet dferecí je vzhledem e začému počtu všech možých dvojc poměrě pracý a tto charatert emají tera mmořádý výzam Proto e problematce dferecí ebudeme dále věovat Největší výzam a pratcé použtí mají charatert založeé a chápáí varablt jao rozdílot hodot ouboru od ějaé otat zpravdla charatert úrově orétě artmetcého průměru ebo medáu Tto rozdíl abchom je zřetelě odlšl od dferecí azýváme odchl Ovšem podobě jao u dferecí je třeba př výpočtu průměré odchl vcházet z abolutích hodot ebo čtverců těchto odchle Charatert varablt a báz průměré abolutí ebo průměré čtvercové odchl jou atol výzamé že jm v dalším tetu věujeme po amotatém odtavc Předchozí tř up charatert varablt mají polečé to že jde o rozměré mír varablt Tto charatert eumožňují rovávat varabltu zaů udaých v růzých epřevodtelých měrých jedotách co má větší varabltu: urz ací v Kč ebo deí teplot ve C? a mohou vét růzým edorozuměím měíčí mzd udaé v Kč vazují podtatě všší varabltu ež ttéž hodot udaé v t Kč Statta dává předot použít všude tam de je to možé bezrozměré charatert Bezrozměré charatert varablt jou otruová jao podíl rozměré charatert a vhodé ve tejých jedotách uvedeé charatert úrově a ozačujeme je jao charatert varablt v relatvím vjádřeí Rozptl a odvozeé charatert Rozptl je defová jao průměrá čtvercová odchla olem artmetcého průměru Je zároveň ejmeší průměrou čtvercovou odchlou vz vlatot artmetcého průměru Rozptl má mez všem charatertam varablt zcela výjmečé potaveí má řadu uátích vlatotí a je v celé řadě tattcých úvah epotradatelý a eahradtelý žádou jou charatertou Rozptl taé varace zrata var tattcého zau X je v proté a vážeé formě defová jao Tam de je to vhodé používáme pro ozačeí rozptlu mbol var var atd 5

3 6 de v prvím případě je rozah ouboru a ve druhém je počet tervalů Jedou z pozoruhodých vlatotí rozptlu je to že měří varabltu oučaě ja ve mlu odchle ta oučaě ve mlu dferecí Podobě jao u artmetcého průměru uvedeme í řadu vlatotí rozptlu: Rozptl je vžd ezáporý Nule je rove rozptl otat Zavedeme-l podobě jao u artmetcého průměru 0 c X Y bude rozptl c c rozptl je ted a rozdíl od artmetcého průměru varatí vůč adtví otatě zato e měí e čtvercem multplatví otat Rozptl oučtu ebo rozdílu Y X W [ ] [ ] w w w Rozptl oučtu ebo rozdílu dvou zaů X Y je rove oučtu d e rozdílu! rozptlů zvětšeému ebo zmešeému o dvojáobe výrazu ozačovaého jao ovarace 3 zaů X a Y Je dáo dílčích ouborů o rozazích dílčím artmetcým průměr a dílčím rozptl Společý artmetcý průměr jme taovl jao vážeý artmetcý průměr průměrů dílčích ouborů Společý rozptl je defová jao oučet dvou lože: průměrého rozptlu uvtř dílčích ouborů a rozptlu dílčích průměrů olem celového průměru Zatímco prví loža měří velot varablt uvtř dílčích ouborů druhá loža měří velot varablt mez dílčím oubor Př zalot terýchol dvou čleů rovce můžeme třetí ložu dopočítat Vztah můžeme chápat dvojím způobem: celový rozptl lze rozložt a lož ale zároveň taé ze lože a pravé traě lze ložt celový rozptl Říáme že rozptl jao jedá z charatert varablt má tavebcový charater Tato uátí vlatot rozptlu předurčuje vužtí této charatert v moha oblatech tatt Přílad Demotrujeme í ejdůležtější z uvedeých vlatotí rozptlu Mějme dva datové oubor pro : : 3 Míto podobě jao u rozptlu e alteratvě vužívá ozačeí cov

4 Je zřejmé že mez hodotam obou ouborů je vztah 3 Rozptl var var 4 8 var tejě jao rozptl aždé pětce po obě jdoucích číel mez mž jou jedotové rozdíl o čemž e můžete ado převědčt Hodot w : a jejch rozptl je rove 8 převědčte e o tom! Rozptl var w 8 8 cov z čehož cov 4 Uveďme í hodot v verzím pořadí tj : Hodot w : a jejch rozptl var w 8 cov z čehož cov 4 Vdíme že hodota ovarace záví a způobu upořádáí hodot ve dvojcích Vtvořme í polečý datový oubor z : Jeho rozptl je var z 69 Průměrý rozptl uvtř dílčích ouborů je Rozdíl je 0 rozptl mez dílčím oubor Demotrujte aalogc vlatot artmetcého průměru Použjte data z příladu Měl bte dopět závěru že vlatot průměru jou daleo méě omplovaé Nevýhodou rozptlu je jeho rozměr Proto e čato ahrazuje druhou odmocou měrodatou odchlou Směrodatá odchla má tejý rozměr jao za ze terého je vpočtea Varabltu je rověž možo měřt bezrozměrou rep v % vjádřeou charatertou varačím oefcetem v ebo v % Jaým způobem přeformulujeme poledí tř vlatot rozptlu pro měrodatou odchlu a varačí oefcet? Rozptl ve vážeé formě je urče pro data terá bla předem zpracováa pomocí bodového ebo tervalového tříděí Výzam hodot jme objal v ouvlot vážeým artmetcým průměrem Teto rozptl je ted Přílad po úpravě V tab vpočteme vážeý rozptl pro počet dětí v domácot z úloh a bodové tříděí a pro počet obvatel obce z úloh a tervalové tříděí Uážeme př tom použtí abolutích relatvích četotí obou varat vzorce rozptlu Vužjeme vpočteé vážeé průměr z příladu Tab Pracoví tabula pro výpočet rozptlu ve vážeé formě Počet dětí v domácot Počet obvatel obce p p

5 V prvím případě určíme což je rozptl počtu dětí v domácot 5 Ve druhém případě což je rozptl počtu obvatel Mez oběma výled je ovšem tejý rozdíl jao u průměrů Zatímco rozptl počtu dětí je urče přeě rozptl počtu obvatel je pouze odhadem utečé hodot terou bchom taovl z původích etříděých dat důlede zavedeí tředů tervalů jao hodot reprezetujících celý terval Navíc v obou případech chbí ázorá předtava o velot varablt vzhledem eázoré měré jedotce výledu dět obvatelé? Vážeá forma rozptlu má tejé vlatot jao forma protá a lze z í podobě určt měrodatou odchlu a varačí oefcet Který z obou datových ouborů v příladu vazuje větší varabltu? Lze to vůbec vzhledem růzým měrým jedotám určt? Druhou odmocu rozptlu azýváme měrodatou odchlou Směrodatá odchla je vadratcým průměrem odchle Zatímco rozptl je udá ve čtverc měré jedot zau jehož varabltu měříme rozptl mezd v Kč rozptl dob obluh v m rozptl produce výrobů v apod měrodatá odchla je vjádřea přímo v těchto jedotách Bezrozměrou charatertou varablt je měrodatá odchla v relatvím vjádřeí v pro 0 azývaá varačí oefcet Chceme-l vjádřt varabltu zau v procetech pracujeme charatertou 00 v Varačí oefcet je vhodější používat jou-l hodot > 0 Varačí oefcet můžeme použít e rováváí varablt datových ouborů jejchž za jou vjádře v růzých vzájemě epřevodtelých měrých jedotách ebo ouborů velm rozdílou úroví u chž elze provét rováí pomocí rozptlu ebo měrodaté odchl Ke měrodaté odchlce a varačímu oefcetu ještě uvedeme že vůč adtví otatě je varatí pouze měrodatá odchla zatímco varačí oefcet reaguje a adtví otatu c 0 změou hodot terou elze předem taovt měí e pouze jmeovatel zlomu zatímco měrodatá odchla reaguje a multplatví otatu je vůč í varatí čtatel jmeovatel zlomu e áobí tejým čílem varačí oefcet pro měrodatou odchlu a varačí oefcet elze z vpočteých dílčích charatert vpočítat hodotu pro oučet ebo rozdíl dvou zaů a vpočítat polečou charatertu z charatert dílčích ouborů 3 Průměré a medáové abolutí odchl Tto charatert jou otruová jao artmetcý průměr abolutích hodot odchle hodot zau od ějaé charatert úrově ejčatěj medáu Použtí medáu je zdůvoděo platotí vztahu ~ c pro c ~ Průměrá abolutí odchla otruovaá od medáu v proté a vážeé formě 8

6 MAAD ~ MAAD ~ emůže ted být d větší ež průměrá abolutí odchla otruovaá od jé charatert úrově obecě od jé otat ež medáu Průměrá abolutí odchla od medáu má řadu vlatotí z chž uvedeme: Průměrá abolutí odchla od medáu je varatí vůč adtví otatě V případě multplatví otat reaguje tejě jao měrodatá odchla tj MAAD MAAD Nelze určt průměrou abolutí odchlu od medáu pro oučet ebo rozdíl dvou zaů př zalot průměrých abolutích odchle obou zaů tejě ta jao elze určt polečou průměrou abolutí odchlu z odpovídajících charatert dílčích ouborů Průměrá abolutí odchla od medáu je vžd meší ež měrodatá odchla tejého zau Průměrou abolutí odchlu od medáu v relatvím vjádřeí zíáme vděleím této charatert artmetcým průměrem ol medáem Výzam této charatert je obdobý jao u varačího oefcetu Robutí charatertou varablt je medáová protředí abolutí odchla od medáu MAD terou taovíme jao protředí čle podle velot upořádaé řad odchle hodot datového ouboru od medáu Přílad 35 Pro datové oubor :34 5 : vpočteme rozpětí vartlů rozptl měrodatou odchlu varačí oefcet průměrou a protředí abolutí odchlu od medáu Pro prví datový oubor: 3; Q ; ; 4; 00v 47%; MAAD 0; MAD 0 50 Pro druhý datový oubor: 083; 35; Q 3; 30847; 756; 00v 6 %; MAAD 883; MAD 0 50 Porováím charatert úrově a varablt pro oba datové oubor vdíme že ejmeší rozdíl zazameáváme u robutích charatert medáu rozpětí vartlů a protředí abolutí odchl od medáu teré ejou ta dalece ovlvě přítomotí/epřítomotí hodot 50 Všech zde uvedeé výled zotrolujte! 5 Σ Varablta je jedím z atrbutů aždých tattcých dat V datech alézáme přrozeou a chbovou varabltu 3 Etují růzé ocept varablt a tím ouví začé možtví ejrůzějších charatert varablt 4 Nejvýzamější charatertou varablt a polečě artmetcým průměrem tatt vůbec je rozptl 5 Rozptl má řadu jedečých vlatotí teré e vužívají v dalších čátech tatt apř př měřeí závlotí hodoceí epermetů 9

7 apod 6 Nejpozoruhodější vlatotí rozptlu je jeho chopot být rozládá ve lož a z jeho jedotlvých lože určovat rozptl celový Tato vlatot rozptlu emá aalog 7 Vlatotem rozptlu tejě jao vlatotem artmetcého průměru je třeba věovat př tudu patřčou pozorot Charaterzujte varabltu datového ouboru ze cvčeí z lece o tříděí Charaterzujte varabltu datového ouboru ze cvčeí z lece o tříděí 3 Klafujte pojetí varablt a e aždému pojetí přřaďte odpovídající charatert varablt vtvořte chéma 4 Ozačte rozměré bezrozměré a robutí charatert varablt v aždé upě uveďte apoň dvě 5 Pro přílad určete rozptl rozdílu w a dále poračujte výpočtem ovarace podle vzoru příladu z příladu veete jao bod 6 Vhotovte áre de dvojce hodot v rově Ja ouví upořádáí bodů ve dvojcích jejch upořádáím v grafu? 7 Propočtěte zovu přílad zaměňte metodu výpočtu obou úloh vzorec e závorou/bez závor četot abolutí/relatví 8 Je dá a průměrý rozptl uvtř dílčích ouborů jao 0 ; 0; 00 a b polečý rozptl jao 0 ; 50 Které ombace hodot jou možé a čemu vedou ázev výlede 30 9 Blo vpočteo var 73 var 43 Určete c ve vztahu Y X c 0