Průběh funkce. Robert Mařík. 27. června 2006

Průběh funkce Robert Mařík 27. června 26 c Robert Mařík, 26

Obsah y = x 1 x 2.... 3 y = 3x 1 x 3.... 49 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2.... 11 y = x3 3 x 2.... 149 y = x2 1 x 2 1.... 191 c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = x 1 x 2 = x = x ± x 1x 2 = 1 x ± x = 1 ± = y = 1(1 x2 ) x( 2x) (1 x 2 ) Omezení na definiční obor 2 = 1 vyplývá ze jmenovatele zlomku. x2 2x 2 Výraz x 2 1nesmíbýtnulový. (1 x 2 ) 2 To je však zajištěno pro = všechna 1 x2 reálná čísla. (1 x 2 ) 2 c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = x 1 x 2 = x = x ± x 1x 2 = 1 x ± x = 1 ± = y = 1(1 x2 ) x( 2x) (1 x 2 ) 2 = 1 x2 2x 2 Čitatel, x,jelicháfunkce,jmenovatel, (1 x 2 ) 2 (1 x 2 ),jefunkcesudá. Jako celek je tedy zlomek = 1 lichá x2 funkce. (1 x 2 ) 2 c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = x 1 x 2 = x = x ± x 1x 2 = 1 x ± x = 1 ± = y = 1(1 x2 ) x( 2x) (1 x 2 ) 2 = 1 x2 2x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x2 Určíme průsečík s osou x a znaménko (1 x 2 ) 2 funkce na jednotlivých intervalech. c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = x 1 x 2 = x = x ± x 1x 2 = 1 x ± x = 1 ± = y = 1(1 x2 ) x( 2x) (1 x 2 ) 2 = 1 x2 2x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x2 Zlomek je roven nule právě tehdy, (1 xkdyž 2 ) 2 čitatel je nulový. c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = x 1 x 2 = x = x ± x 1x 2 = 1 x ± x = 1 ± = y = 1(1 x2 ) x( 2x) (1 x 2 ) 2 = 1 x2 2x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x2 Zakreslíme průsečík x = na (1 osu x. x 2 Funkce ) 2 nemá žádný bod nespojitosti. c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = x 1 x 2 = x = x ± x 1x 2 = 1 x ± x = 1 ± = y = 1(1 x2 ) x( 2x) Jmenovatel (1 x 2 )jestálekladný. (1 x 2 ) 2 = 1 x2 2x 2 Čitatel zlomku má proto stejné znaménko jako celý zlomek (1 x 2 ) 2 Funkce je kladná, je-li = x kladné 1 x2 a naopak. (1 x 2 ) 2 x 1 x 2. c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = x 1 x 2 = x = x ± x 1x 2 = 1 x ± x = 1 ± = y = 1(1 x2 ) x( 2x) (1 x 2 ) 2 = 1 x2 2x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x2 Určíme ity v nekonečnu. (1 x 2 ) 2 c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = x 1 x 2 = x = x ± x 1x 2 = 1 x ± x = 1 ± = Víme,žeovýsledkurozhodujíjenomvedoucíčlenyvčitateliave y = 1(1 x2 ) x( 2x) jmenovateli. (1 x 2 ) 2 Zelenou část lze vynechat. = 1 x2 2x 2 (1 x 2 ) x 2 Zbytekzkrátíme: x 2 = = 1 x 1. x2 (1 x 2 ) 2 c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = x 1 x 2 = x = x ± x 1x 2 = 1 x ± x = 1 ± = Dosadíme. y = 1(1 x2 ) x( 2x) (1 x 2 ) 2 = 1 x2 2x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x2 (1 x 2 ) 2 c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = x 1 x 2 = x = x ± x 1x 2 = 1 x ± x = 1 ± = y = 1(1 x2 ) x( 2x) (1 x 2 ) 2 = 1 x2 2x Oběhodnoty 1 2 i 1 jsounulové. (1 x 2 ) 2 Funkcemávodorovnouasymptotu = 1 x2 y = pro xjdoucík±. (1 x 2 ) 2 c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1(1 x2 ) x( 2x) (1 x 2 ) 2 = 1 x2 2x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x2 (1 x 2 ) 2 y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 Vypočtemederivaci. y = Derivujeme podíl podle vzorce 1 xpro 2 (1 x 2 ) 2 = derivaci podílu. c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1(1 x2 ) x( 2x) (1 x 2 ) 2 = 1 x2 2x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x2 (1 x 2 ) 2 y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 y = 1 x 2 Upravíme. (1 x 2 ) 2 = c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 y = 1 x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x 2 = x 2 = 1 x 1 = 1 x 2 = 1 Hledámeřešenírovnice ց y =. min ր MAX ց c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 y = 1 x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x 2 = x 2 = 1 x 1 = 1 x 2 = 1 Dosadíme za derivaci. ց min ր MAX ց c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 y = 1 x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x 2 = x 2 = 1 x 1 = 1 x 2 = 1 Zlomek je nulový, ցmá-li nulový min čitatel. ր MAX ց c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 y = 1 x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x 2 = x 2 = 1 x 1 = 1 x 2 = 1 Vyjádříme x 2. ց min ր MAX ց c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 y = 1 x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x 2 = x 2 = 1 x 1 = 1 x 2 = 1 Vypočítáme x. Dostáváme ց min dvě řešení. ր MAX ց c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 ց min ր MAX ց 1 1 ( 1 x y 2 = (1 x 2 ) 2 ) = 2x(1 x2 ) 2 (1 x 2 )2(1 x 2 )( 2x) (1 x 2 ) 4 = 2x(1 x2 )[(1 x 2 ) (1 x 2 )2] Nakreslíme osu x a stacionární (1 body. x 2 ) 4 Nejsou žádné body = 2x[3 nespojitosti. x2 ] (1 x 2 ) 3 2 c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 ց min ր MAX ց 1 1 ( 1 x y 2 = (1 x 2 ) 2 = 2x(1 x2 ) 2 (1 x 2 )2(1 x 2 )( 2x) (1 x 2 ) 4 Testujeme x = 2. Dostáváme = 2x(1 x2 )[(1 x 2 ) (1 x 2 )2] (1 x 2 ) 4 = 2x[3 y 1 4 (2) = x2 ] kladnáhodnota <. (1 x 2 ) 3 ) 2 c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 ց min ր MAX ց 1 1 ( 1 x y 2 = (1 x 2 ) 2 ) = 2x(1 x2 ) 2 (1 x 2 )2(1 x 2 )( 2x) (1 x 2 ) 4 = 2x(1 x2 )[(1 x 2 ) (1 x 2 )2] Testujeme x =. (1 x 2 ) 4 = 2x[3 x2 y ]() = 1 1 > (1 x 2 ) 3 2 c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 ց min ր MAX ց 1 1 ( 1 x y 2 = (1 x 2 ) 2 ) = 2x(1 x2 ) 2 (1 x 2 )2(1 x 2 )( 2x) (1 x 2 ) 4 Funkcemálokálníminimumvbodě = 2x(1 x2 )[(1 x x = 2 ) 1.Funkčníhodnotaje (1 x 2 )2] (1 1 x 2 ) 4 = 2x[3 y(1) = x2 ] 1 (1) 2 = 1 2. (1 x 2 ) 3 2 c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 ց min ր MAX ց 1 1 ( 1 x y 2 = (1 x 2 ) 2 = 2x(1 x2 ) 2 (1 x 2 )2(1 x 2 )( 2x) (1 x 2 ) 4 Testujeme x = 2. Platí = 2x(1 x2 )[(1 x 2 ) (1 x 2 )2] (1 x 2 ) = 2x[3 y 1 4 (2) = x2 kladnáhodnota ] <. (1 x 2 ) 3 ) 2 c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 ց min ր MAX ց 1 1 ( 1 x y 2 = (1 x 2 ) 2 ) Funkcemálokálnímaximumvbodě = 2x(1 x2 ) 2 (1x = x1.funkčníhodnotaje 2 )2(1 x 2 )( 2x) x 2 ) 4 = 2x(1 y(1) x2 = )[(1 y(1) x 2 ) = (1 1 x 2 )2] (1 x 2 ) 4 2, kdejsmevyužilitoho,žefunkcejelicháahodnota = 2x[3 x2 ] y(1)jižbyla vypočítána. (1 x 2 ) 3 2 c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 ( 1 x y 2 = (1 x 2 ) 2 ) = 2x(1 x2 ) 2 (1 x 2 )2(1 x 2 )( 2x) (1 x 2 ) 4 = 2x(1 x2 )[(1 x 2 ) (1 x 2 )2] (1 x 2 ) 4 = 2x[3 x2 ] (1 x 2 ) 3 = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 Vypočteme druhou derivaci. c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 ( 1 x y 2 = (1 x 2 ) 2 ) = 2x(1 x2 ) 2 (1 x 2 )2(1 x 2 )( 2x) (1 x 2 ) 4 = 2x(1 x2 )[(1 x 2 ) (1 x 2 )2] (1 x 2 ) 4 = 2x[3 x2 ] Derivuje podíl podle (1 vzorce x 2 ) 3 pro derivaci podílu. = 2 x(x2 3) Jmenovatel derivujeme (1 x 2 jako ) 3 složenou funkci. Tím se nezbavíme možnosti vytknout v čitateli a zkrátit zlomek. c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 Vytkneme ( 1 x y 2 = (1 x 2 ) 2 ) = 2x(1 x2 ) 2 (1 x 2 )2(1 x 2 )( 2x) (1 x 2 ) 4 = 2x(1 x2 )[(1 x 2 ) (1 x 2 )2] (1 x 2 ) 4 = 2x[3 x2 ] (1 x 2 ) 3 = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 ( 1 x y 2 = (1 x 2 ) 2 ) = 2x(1 x2 ) 2 (1 x 2 )2(1 x 2 )( 2x) (1 x 2 ) 4 = 2x(1 x2 )[(1 x 2 ) (1 x 2 )2] (1 x 2 ) 4 = 2x[3 x2 ] (1 x 2 ) 3 = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 Zelené části se zkrátí. Zjednodušíme výraz v hranaté závorce. c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 ( 1 x y 2 = (1 x 2 ) 2 ) = 2x(1 x2 ) 2 (1 x 2 )2(1 x 2 )( 2x) (1 x 2 ) 4 = 2x(1 x2 )[(1 x 2 ) (1 x 2 )2] (1 x 2 ) 4 = 2x[3 x2 ] (1 x 2 ) 3 = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 y = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 = x(x2 3) = x 3 =, x 4 = 3, x 5 = 3 in. 3 in. 3 Vyřešíme y =. c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 y = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 = x(x2 3) = x 3 =, x 4 = 3, x 5 = 3 in. 3 in. 3 Zlomek je nulový, je-li nulový jeho čitatel. c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 y = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 = x(x2 3) = x 3 =, x 4 = 3, x 5 = 3 in. 3 in. 3 Jsoudvěmožnosti:buď x =,nebo x 2 3 =.Druházmožnostívedena rovnici x 2 = 3 x = ± 3. c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 y = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 = x(x2 3) = x 3 =, x 4 = 3, x 5 = 3 in. 3 in. 3 Vyznačíme body na osu x. Nejsou zde žádné body nespojitosti. c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x ց 1,2 = ±1 minր MAX ց 1 1 y = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 = x(x2 3) = x 3 =, x 4 = 3, x 5 = 3 in. 3 in. 3 Testujeme x = 2. y 2(4 3) (2) = 2 kladnáhodnota <. c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x ց 1,2 = ±1 minր MAX ց 1 1 y = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 = x(x2 3) = x 3 =, x 4 = 3, x 5 = 3 in. 3 in. 3 Testujeme x = 1.Funkcejevtomtoboděkonvexní,protožejezde lokální minimum. c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x ց 1,2 = ±1 minր MAX ց 1 1 y = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 = x(x2 3) = x 3 =, x 4 = 3, x 5 = 3 in. 3 in. 3 Vbodě x = 3jeinflexe.Funkčníhodnotaje y( 3) = 3 1 3.43. c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x ց 1,2 = ±1 minր MAX ց 1 1 y = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 = x(x2 3) = x 3 =, x 4 = 3, x 5 = 3 in. 3 in. 3 Testujeme x = 1.Funkcejevtomtoboděkonkávní,protožejezdelokální maximum. c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x ց 1,2 = ±1 minր MAX ց 1 1 y = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 = x(x2 3) = x 3 =, x 4 = 3, x 5 = 3 in. 3 in. 3 Testujeme x = 2. Dostáváme y 2(4 3) (2) = 2 něcokladného >. c Robert Mařík, 26

y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x ց 1,2 = ±1 minր MAX ց 1 1 y = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 = x(x2 3) = x 3 =, x 4 = 3, x 5 = 3 in. 3 in. 3 Inflexevbodě x = 3.Funkčníhodnotaje y( 3 3) = 1 3.43. c Robert Mařík, 26

ց minր MAX ց 1 1 in. 3 in. 3 f () = f (± ) = f (±1) = ± 1 2 f (± 3) ±.433 Vypíšeme si nejdůležitější výsledky. c Robert Mařík, 26

ց minր MAX ց 1 1 in. 3 in. 3 f () = f (± ) = f (±1) = ± 1 2 y f (± 3) ±.433 3 1 1 3 x Zakreslíme souřadný systém. c Robert Mařík, 26

ց minր MAX ց 1 1 in. 3 in. 3 f () = f (± ) = f (±1) = ± 1 2 y f (± 3) ±.433 3 1 1 3 x Vbodě x = jeprůsečíksosou x.funkčníhodnotysevtomtoboděmění z kladných na záporné. c Robert Mařík, 26

ց minր MAX ց 1 1 in. 3 in. 3 f () = f (± ) = f (±1) = ± 1 2 y f (± 3) ±.433 3 1 1 3 x Zachytíme informaci o vodorovné tečně v ±. Dáváme si pozor na znaménko funkce, musíme graf správně nakreslit nad nebo pod asymptotu. c Robert Mařík, 26

ց minր MAX ց 1 1 in. 3 in. 3 f () = f (± ) = f (±1) = ± 1 2 y f (± 3) ±.433 3 1 1 3 x c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y = 3x 1 x 3 = 3x 1 = x = 1 3 1 3 x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = x 3 c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y = 3x 1 x 3 = 3x 1 = x = 1 3 1 3 3x 1 x x 3 = 1 = Určíme definiční obor. 3x 1 x x 3 = 1 = Ve jmenovateli nesmí 3x být 1nula. 3 x ± x 3 = x ± x 2 = 3 = c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y = 3x 1 x 3 = 3x 1 = x = 1 3 1 3 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 3 Určímeprůsečíksosou xjakořešenírovnice x ± x 3 = x ± x 2 y = 3. = c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y = 3x 1 x 3 = 3x 1 = x = 1 3 1 3 x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = x 3 c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y = 3x 1 x 3 = 3x 1 = x = 1 3 1 3 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 x x 3 = 1 = Funkcemásosou xjedinýprůsečík 3x 1 3 x ± x 3 = x = 1 x ± x3 2 = 3 = c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 1 3 x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 Určíme znaménka funkce. x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = Rozdělíme osu x pomocí průsečíků a bodů nespojitosti) na podintervaly, kde se znaménko y = 3x3 zachovává. (3x 1)3x 2 3x (x 2 (3x 1) (x 3 ) 2 = x 6 c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 1 3 x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = Uvažujme interval zcela vlevo. Zvolme x = 1 a vypočteme ) y(1) = 3 1 = y = 3x3 (3x 1)3x 2 3x (x 2 >. 1 (3x 1) (x 3 ) 2 = x 6 c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = Uvažujmeprostředníinterval,zvolme x = 1 4 avypočteme 1 3 1 4 1 64 y( 1 y = 3x3 4 ) = 3 4 1 (3x 1 = 64 1)3x 2 (x 3 ) 2 = 3x (x 2 = 16 <. ) (3x 1) c Robert Mařík, 26 x 6

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 1 3 x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = V posledním intervalu zvolme x = 1 a vypočteme ) y(1) = 3 1 y = 3x3 (3x 1)3x 2 = 3x 4 (x 2 >. 1 (3x 1) (x 3 ) 2 = x 6 c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = 1 3 ) y = 3x3 (3x 1)3x 2 3x (x 2 (3x 1) Najdeme jednostranné ity (x 3 v ) 2 bodech = nespojitosti. x 6 c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = 1 3 ) y = 3x3 (3x 1)3x 2 3x (x 2 (3x 1) Dosazení x = vedekvýrazutypu nenulovývýraz (x 3 ) 2 =. nula x 6 c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 1 3 x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = Z přednášky víme, že jednostranné ity jsou nevlastní. Schéma se znaménkem funkce umožňuje odhalit, zda) se funkce blíží k plus nebo y minus = 3x3 nekonečnu. (3x 1)3x 2 3x (x 2 (3x 1) (x 3 ) 2 = x 6 c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = 1 3 y = 3x3 (3x 1)3x 2 Určíme ity v nevlastních (x bodech. 3 ) 2 = ) 3x (x 2 (3x 1) c Robert Mařík, 26 x 6

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = 1 3 ) Víme, že pouze vedoucí y = 3x3 členy (3x jsou 1)3x podstatné 2 3x (x 2 v itě (3x tohoto 1) typu a ostatní členy můžeme vynechat. (x 3 ) 2 = x 6 c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = 1 3 Zkrátíme x. y = 3x3 (3x 1)3x 2 (x 3 ) 2 = ) 3x (x 2 (3x 1) c Robert Mařík, 26 x 6

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = 1 3 Dosadíme. y = 3x3 (3x 1)3x 2 (x 3 ) 2 = ) 3x (x 2 (3x 1) c Robert Mařík, 26 x 6

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = 1 3 ) Limita je vypočtena. y = 3x3 (3x 1)3x 2 3x (x 2 (3x 1) Funkcemávodorovnouasymptotu (x 3 ) 2 y = = v±. x 6 c Robert Mařík, 26

( 2x 1 ) 2x 4 (2x 1)4x 3 c Robert Mařík, 26 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 y = 3x3 (3x 1)3x 2 (x 3 ) 2 = y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = 1 2 ) 3x (x 2 (3x 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 x 6 ր MAX ց 1 2 ց ր MAX ց 1 2 ց

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 y = 3x3 (3x 1)3x 2 (x 3 ) 2 = y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = 1 2 ) 3x (x 2 (3x 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 x 6 ր MAX ց 1 2 ց Derivujeme ր MAX ցpodíl. ց 1 2 ( u v ) = u v uv v 2 ( 2x 1 ) 2x 4 (2x 1)4x 3 c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 y = 3x3 (3x 1)3x 2 (x 3 ) 2 = y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = 1 2 ) 3x (x 2 (3x 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 x 6 ր MAX ց 1 2 ց ր MAX ց ց 1 2 Vytknutím rozložíme na součin. ( ) 2x 1 2x 4 (2x 1)4x 3 c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 y = 3x3 (3x 1)3x 2 (x 3 ) 2 = y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = 1 2 ) 3x (x 2 (3x 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 x 6 ր ր Zkrátíme. MAX ց ց Roznásobímezávorku. 1 2 MAX ց 1 2 ց ( 2x 1 ) 2x 4 (2x 1)4x 3 c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 y = 3x3 (3x 1)3x 2 (x 3 ) 2 = y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = 1 2 ) 3x (x 2 (3x 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 x 6 ր MAX ց 1 2 ց ր MAX ց ց 1 2 Zjednodušíme. ( 2x 1 ) 2x 4 (2x 1)4x 3 c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 y = 3x3 (3x 1)3x 2 (x 3 ) 2 = y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = 1 2 ) 3x (x 2 (3x 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 x 6 ր MAX ց 1 2 ց ր MAX ց ց 1 2 Máme derivaci. ( 2x 1 ) 2x 4 (2x 1)4x 3 c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = 1 2 1 3 ր MAX ց 1 2 ց ր MAX ց 1 2 ց Máme derivaci. ( ) 2x 1 y = 3 x 4 = 3 2x4 (2x 1)4x 3 (x 4 ) 2 = 3 2x4 8x 4 4x 3 x 8 = 3 6x4 4x 3 x 8 = 6 3x4 2x 3 (3x 2)x3 x 8 = 6 x 8 c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = 1 2 1 3 ր MAX ց 1 2 ց ր MAX ց 1 2 ց ( ) 2x 1 y = 3 x 4 = 3 2x4 (2x 1)4x 3 (x 4 ) 2 = 3 2x4 8x 4 4x 3 x 8 = 3 6x4 4x 3 x 8 = 6 3x4 2x 3 (3x 2)x3 Rovnice y = jeekvivalentnírovnici x 8 = 6 2x x 8 1 =. c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = 1 2 1 3 ր MAX ց 1 2 ց ր MAX ց 1 2 ց ( ) 2x 1 y = 3 x 4 = 3 2x4 (2x 1)4x 3 (x 4 ) 2 = 3 2x4 8x 4 4x 3 x 8 = 3 6x4 4x 3 x 8 = 6 3x4 2x 3 (3x 2)x3 Vyznačíme stacionární bod x 8 a bod= nespojitosti 6 x 8 na osu x. c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = 1 2 1 3 ր MAX ց 1 2 ց ր MAX ց 1 2 ց ( ) 2x 1 y = 3 x 4 = 3 2x4 (2x 1)4x 3 (x 4 ) 2 = 3 2x4 8x 4 4x 3 x 8 = 3 6x4 4x 3 x 8 y (1) = 3 2 1 = 6 = 3x4 3 > 2x 3 (3x 2)x3 1 x 8 = 6 x 8 c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = 1 2 1 3 ր MAX ց 1 2 ց ր MAX ց 1 2 ց ( ) 2x 1 y = 3 x 4 = 3 2x4 (2x 1)4x 3 (x 4 ) 2 = 3 2x4 8x 4 4x 3 x 8 = 3 6x4 4x 3 x 8 y ( 1 = 6 3x4 2x 3 (3x 2)x3 3 ) <,protožefunkceměníznaménkozkladnéhonazáporné. x 8 = 6 x 8 c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = 1 2 1 3 ր MAX ց 1 2 ց ր MAX ց 1 2 ց ( ) 2x 1 y = 3 x 4 = 3 2x4 (2x 1)4x 3 (x 4 ) 2 Funkcemálokálníminimumvbodě = 3 2x4 8x 4 x 4x= 3 1 x 8 = 3 6x4 4x 3 2.Funkčníhodnotaje x 8 y( 1 = 6 3x4 2x 3 (3x 2)x3 2 ) = 3 2 1 1 = 1 2 8 1 = 4. 8 x 8 = 6 x 8 c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = 1 2 1 3 ր MAX ց 1 2 ց ր MAX ց 1 2 ց ( ) 2x 1 y = 3 x 4 = 3 2x4 (2x 1)4x 3 (x 4 ) 2 = 3 2x4 8x 4 4x 3 x 8 = 3 6x4 4x 3 x 8 y (1) = 3 3 = 6 3x4 2x 3 (3x 2)x3 1 = 9 < x 8 = 6 x 8 c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; 1 2 1 3 ր MAX ց ց ( ) 2x 1 y = 3 x 4 = 3 2x4 (2x 1)4x 3 (x 4 ) 2 = 3 2x4 8x 4 4x 3 x 8 = 3 6x4 4x 3 x 8 = 6 3x4 2x 3 x 8 = 6 = 6 3x 2 x 5 y = 6 3x 2 x 5 ; x 2 = 2 3 (3x 2)x3 x 8 in. c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; y = 6 3x 2 x 5 ; x 2 = 2 3 1 2 1 3 ր MAX ց ց in. 2 3 c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; y = 6 3x 2 x 5 ; x 2 = 2 3 1 2 1 3 ր MAX ց ց in. 2 3 y = pro 3x 2 =,t.j. x = 2 3. c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; y = 6 3x 2 x 5 ; x 2 = 2 3 1 2 1 3 ր MAX ց ց in. 2 3 c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; y = 6 3x 2 x 5 ; x 2 = 2 3 1 2 1 3 ր MAX ց ց in. 2 3 y (1) = 6 1 1 = 6 > c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; y = 6 3x 2 x 5 ; x 2 = 2 3 1 2 1 3 ր MAX ց ց in. 2 3 y ( 1 3 ) = 61 2 1 3 5 < c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; y = 6 3x 2 x 5 ; x 2 = 2 3 1 2 1 3 ր MAX ց ց in. 2 3 Inflexníbod x = 2 3. y(2 3 ) = 2 1 25 3 5 3.375 c Robert Mařík, 26

y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; y = 6 3x 2 x 5 ; x 2 = 2 3 1 2 1 3 ր MAX ց ց in. 2 3 y (1) = 6 5 1 = 3 > c Robert Mařík, 26

1 3 ր MAX ց 1 2 ց in. 2 3 f ( 1 3 ) = f ( 2 3 ) 3.4 f () =, f () = f ( 1 2 ) = 4 f (± ) =, Shrneme dosažené výsledky. c Robert Mařík, 26

1 3 ր MAX ց 1 2 ց in. 2 3 f ( 1 3 ) = f ( 2 3 ) 3.4 f () =, f () = f ( 1 2 ) = 4 f (± ) =, y 2 3 1 2 1 3 x c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y() = 2( 1) ( 1) 2 = 2 2(x 2 x 1) (x 1) 2 = x 2 x 1 = 1 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y() = 2( 1) ( 1) 2 = 2 2(x 2 x 1) (x 1) 2 = x 2 x 1 = Určíme definiční obor z podmínky 1 Platí 2(x 2 x 1) x 1 x 1 (x 1) 2 = 2. = 2(x 2 x 1) x x 1 (x 1) 2 = 2 1. = c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y() = 2( 1) ( 1) 2 = 2 2(x 2 x 1) (x 1) 2 = x 2 x 1 = 1 2(x 2 x 1) Určíme průsečík s osou y. x 1 (x 1) 2 = 2 = Dosadíme x = 2(x ahledáme 2 x 1) y(). x 1 (x 1) 2 = 2 = c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x 2(x 2 x 1) (x 1) 2 = x 2 x 1 = 1 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = Určíme průsečík 2(xs 2 osou x x. 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = Dosadíme y = ařešímerovnici 2(x 2 x 1) 2x 2 x ± (x 1) 2 = x ± x 2 = 2 1 = 2 x ± c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x 2(x 2 x 1) (x 1) 2 = x 2 x 1 = 1 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = Čitatel musí být nula. 2(x 2 x 1) x ± (x 1) 2 = x ± x 2 x ± c Robert Mařík, 26 2x 2 = 2 1 = 2

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x 2(x 2 x 1) (x 1) 2 = x 2 x 1 = Tato kvadratická rovnice nemá řešení, 1protože ze vzorce 2(x 2 x 1) x x 1 (x 1) 2 = 2 1,2 = b ± b 2 4ac 2a = Obdržíme záporný diskriminant. 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = D = b 2 4ac = 1 4.1.1 = 3 < 2(x 2 x 1) 2x 2 2 x ± (x 1) 2 = x ± x 2 = x ± 1 = 2 c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x 1 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) 2x 2 x ± (x 1) 2 = x ± x 2 2 = x ± 1 = 2 ( x y 2 ) x 1 = 2 (x 1) Nakreslímeosu xabodnespojitosti 2 x = 1. (2x 1)(x 1) 2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x 1 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) 2x 2 x ± (x 1) 2 = x ± x 2 2 = x ± 1 = 2 ( x y 2 ) x 1 = 2 (x 1) Víme,že y() = 2 >.Funkcejekladnána 2 (, 1). (2x 1)(x 1) 2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x 1 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) 2x 2 x ± (x 1) 2 = x ± x 2 2 = x ± 1 = 2 ( x y 2 ) x 1 = 2 2(4 2 1) Vypočteme y(2) = (x 1) (2 1) 2 2 >.Funkcejekladnána (1, ). (2x 1)(x 1) 2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x 1 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) 2x 2 x ± (x 1) 2 = x ± x 2 2 = x ± 1 = 2 ( x y 2 ) x 1 = 2 (x 1) Určíme jednostranné ity v 2 bodě nespojitosti (2x 1)(x 1) 2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x 1 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) 2x 2 x ± (x 1) 2 = x ± x 2 2 = x ± 1 = 2 ( x y 2 ) x 1 = 2 (x 1) 2 Dosadíme x = 1. (2x 1)(x 1) 2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x 1 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) 2x 2 x ± (x 1) 2 = x ± x 2 2 = x ± 1 = 2 ( x y 2 ) x 1 = 2 (x 1) Odvodíme výsledek. 2 (2x 1)(x 1) 2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x 1 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) 2x 2 x ± (x 1) 2 = x ± x 2 2 = x ± 1 = 2 ( x y 2 ) x 1 = 2 (x 1) Určíme ity v ±. 2 (2x 1)(x 1) 2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x 1 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) 2x 2 x ± (x 1) 2 = x ± x 2 2 = x ± 1 = 2 ( x y 2 ) x 1 = 2 (x 1) Uvažujeme jenom vedoucí členy. 2 (2x 1)(x 1) 2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x 1 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) 2x 2 x ± (x 1) 2 = x ± x 2 2 = x ± 1 = 2 ( x y 2 ) x 1 Funkcemákladnouituv±.Vodorovnápřímka = 2 (x 1) 2 y = 2jeasymptotou kegrafuvbodech ±. (2x 1)(x 1) 2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x ( x y 2 x 1 = 2 (x 1) 2 ) = 2 (2x 1)(x 1)2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) ((x 1) 2 ) 2 = 2(x 1) (2x 1)(x 1) (x2 x 1)2 (x 1) 4 = 2 2x2 2x x 1 (2x 2 2x 2) (x 1) 3 = 2 x 1 (x 1) 3 = 2 x 1 (x 1) 3 y Vypočteme = 2 x derivaci 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x ( x y 2 x 1 = 2 (x 1) 2 ) = 2 (2x 1)(x 1)2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) ((x 1) 2 ) 2 = 2(x 1) (2x 1)(x 1) (x2 x 1)2 (x 1) 4 Užijeme= vzorec 2 2x2 pro 2x derivaci x 1 podílu. (2x 2 2x 2) (x 1) 3 = 2 x 1 ( u (x 1) 3 = 2 x ) 1 u v uv = v (x 1) 3 v 2. Užijeme vzorec pro derivaci složené funkce při derivování výrazu (x y = 2 x 1) 2 1. (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x ( x y 2 x 1 = 2 (x 1) 2 ) = 2 (2x 1)(x 1)2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) ((x 1) 2 ) 2 = 2(x 1) (2x 1)(x 1) (x2 x 1)2 (x 1) 4 = 2 2x2 2x x 1 (2x 2 2x 2) (x 1) 3 = 2 x 1 (x 1) 3 = 2 x 1 (x 1) 3 y Vytkneme = 2 x (x 1 (x 1) 3; 1). x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x ( x y 2 x 1 = 2 (x 1) 2 ) = 2 (2x 1)(x 1)2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) ((x 1) 2 ) 2 = 2(x 1) (2x 1)(x 1) (x2 x 1)2 (x 1) 4 = 2 2x2 2x x 1 (2x 2 2x 2) (x 1) 3 = 2 x 1 (x 1) 3 = 2 x 1 (x 1) 3 y Roznásobíme = 2 x 1 závorky (x 1) 3; x 1 = a1...lok.minimum, zkrátíme (x 1). y(1) = 3 2 c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x ( x y 2 x 1 = 2 (x 1) 2 ) = 2 (2x 1)(x 1)2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) ((x 1) 2 ) 2 = 2(x 1) (2x 1)(x 1) (x2 x 1)2 (x 1) 4 = 2 2x2 2x x 1 (2x 2 2x 2) (x 1) 3 = 2 x 1 (x 1) 3 = 2 x 1 (x 1) 3 y Upravíme = 2 x čitatel. 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x ( x y 2 x 1 = 2 (x 1) 2 ) = 2 (2x 1)(x 1)2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) ((x 1) 2 ) 2 = 2(x 1) (2x 1)(x 1) (x2 x 1)2 (x 1) 4 = 2 2x2 2x x 1 (2x 2 2x 2) (x 1) 3 = 2 x 1 (x 1) 3 = 2 x 1 (x 1) 3 y Derivace = 2 x je nalezena. 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 2 x 1 (x 1) 3 = x 1 = x = 1 ց min 1 ր 1 ց ( x 1 y = 2 (x 1) Řešímerovnici y =. 3 = 2 1(x 1)3 (x 1)3(x 1) 2 (1 ) ) c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 2 x 1 (x 1) 3 = x 1 = x = 1 ց min 1 ր 1 ց ( x 1 y = 2 (x 1) Čitatel musí být nula. Stacionárním 3 = 2 1(x bodem je tedy x = 1. 1)3 (x 1)3(x 1) 2 (1 ) ) c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 ց min 1 ( ) x 1 y = 2 (x 1) 3 ր 1 = 2 1(x 1)3 (x 1)3(x 1) 2 (1 ) ((x 1) 3 ) 2 2 (x 1) (x 1)3 = 2(x 1) (x 1) 6 = 2 2x 4 (x 1) 4 = 4 x 2 (x 1) 4 Zakreslíme stacionární bod a bod nespojitosti na reálnou osu. x 2 c Robert Mařík, 26 ց

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 ց min 1 ( ) x 1 y = 2 (x 1) 3 ր 1 = 2 1(x 1)3 (x 1)3(x 1) 2 (1 ) ((x 1) 3 ) 2 Určíme y (2). 2 (x 1) (x 1)3 = 2(x 1) (x 1) 6 y (2) = = 2 2 2x2 4 1 (x 1) 4 = 4 x 2 (2 1) 3 = (x 2záp.hodnota 1) záp.hodnota < 4 x 2 c Robert Mařík, 26 ց

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 Určíme y (). x 2 ց min 1 ( ) x 1 y = 2 (x 1) 3 ր 1 = 2 1(x 1)3 (x 1)3(x 1) 2 (1 ) ((x 1) 3 ) 2 ց 2 (x 1) (x 1)3 = 2(x 1) (x 1) 6 y () = 2 2x 1 4 (x 4 4 x 2 ( 1) 3 = 2kladnáhodnota (xzápornáhodnota 1) > 4 c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 ց min 1 ( ) x 1 y = 2 (x 1) 3 ր 1 = 2 1(x 1)3 (x 1)3(x 1) 2 (1 ) ((x 1) 3 ) 2 Lokálníminimumjevbodě 2 (x 1) (x 1)3 = 2(x x 1) = 1.Funkčníhodnotaje (x 1) 6 y(1) = 2 = 2x 2((1)2 4 (x 1) 4 = (1) 4 x 2 1) (1 1) (x 2 = 2.3 1) 4 4 = 3 2. x 2 c Robert Mařík, 26 ց

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 x 2 ց min 1 ( ) x 1 y = 2 (x 1) 3 ր 1 = 2 1(x 1)3 (x 1)3(x 1) 2 (1 ) ((x 1) 3 ) 2 2 (x 1) (x 1)3 = 2(x 1) (x 1) 6 = 2 y (2) 2x = 2 4 2 (x 1) 4 = 4 1x 2 (2 1) (x 3 = 1) 23 4 1 < c Robert Mařík, 26 ց

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 y = 4 x 2 (x 1) 4; x 2 = 2 ( ) x 1 y = 2 (x 1) 3 Vypočteme druhou derivaci. = 2 1(x 1)3 (x 1)3(x 1) 2 (1 ) ((x 1) 3 ) 2 2 (x 1) (x 1)3 = 2(x 1) (x 1) 6 = 2 2x 4 (x 1) 4 = 4 x 2 (x 1) 4 4 x 2 4 = c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 ( ) x 1 y = 2 (x 1) 3 = 2 1(x 1)3 (x 1)3(x 1) 2 (1 ) ((x 1) 3 ) 2 2 (x 1) (x 1)3 = 2(x 1) (x 1) 6 = 2 2x 4 (x 1) 4 = 4 x 2 (x 1) 4 y Použijeme = 4 x 2 (x 1) 4; x pravidlo pro derivaci podílu. 2 = 2 Jmenovatel budeme derivovat jako složenou funkci. 4 x 2 4 = c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 y = 4 x 2 (x 1) 4; x 2 = 2 ( ) x 1 y = 2 (x 1) 3 Vytkneme (x 1) 2 včitateli. = 2 1(x 1)3 (x 1)3(x 1) 2 (1 ) ((x 1) 3 ) 2 2 (x 1) (x 1)3 = 2(x 1) (x 1) 6 = 2 2x 4 (x 1) 4 = 4 x 2 (x 1) 4 4 x 2 4 = c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 y = 4 x 2 (x 1) 4; x 2 = 2 Upravíme. ( ) x 1 y = 2 (x 1) 3 = 2 1(x 1)3 (x 1)3(x 1) 2 (1 ) ((x 1) 3 ) 2 2 (x 1) (x 1)3 = 2(x 1) (x 1) 6 = 2 2x 4 (x 1) 4 = 4 x 2 (x 1) 4 4 x 2 4 = c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 y = 4 x 2 (x 1) 4; x 2 = 2 ( ) x 1 y = 2 (x 1) 3 = 2 1(x 1)3 (x 1)3(x 1) 2 (1 ) ((x 1) 3 ) 2 2 (x 1) (x 1)3 = 2(x 1) (x 1) 6 = 2 2x 4 (x 1) 4 = 4 x 2 (x 1) 4 4 x 2 4 = Obdrželi jsme druhou derivaci. c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 y = 4 x 2 (x 1) 4; x 2 = 2 4 x 2 (x 1) 4 = x 2 = x = 2 in. 2 1 Řešíme y =. c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 y = 4 x 2 (x 1) 4; x 2 = 2 4 x 2 (x 1) 4 = x 2 = x = 2 in. 2 1 Jedinéřešeníje x = 2. c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 y = 4 x 2 (x 1) 4; x 2 = 2 in. 2 1 Budeme určovat intervaly konvexnosti a konkavity. Zakreslíme bod, kde je druhá derivace nulová a bod nespojitosti na reálnou osu. c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 y = 4 x 2 (x 1) 4; x 2 = 2 in. 2 1 y 3 2 (3) = 4 kladnáhodnota < c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 y = 4 x 2 (x 1) 4; x 2 = 2 in. 2 1 y 2 () = 4 kladnáhodnota > c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 y = 4 x 2 (x 1) 4; x 2 = 2 in. 2 1 Inflexníbodjevbodě x = 2.Funkčníhodnotaje (Vypočtěte si sami.) y(2) = 14 9. c Robert Mařík, 26

y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 y = 4 x 2 (x 1) 4; x 2 = 2 in. 2 1 y 2 1 (2) = 4 kladnáhodnota > c Robert Mařík, 26

ց minր ց 1 1 1 in. 1 2 f () = 2 f (± ) = 2 f (1±) = f (1) = 3 2 f (2) = 14 9 Shrneme dosavadní znalosti. c Robert Mařík, 26

ց minր ց 1 1 1 in. 1 2 f () = 2 f (± ) = 2 f (1±) = f (1) = 3 2 y f (2) = 14 9 2 2 1 1 x Nakreslíme souřadnou soustavu. c Robert Mařík, 26

ց minր ց 1 1 1 in. 1 2 f () = 2 f (± ) = 2 f (1±) = f (1) = 3 2 y f (2) = 14 9 2 2 1 1 x Vyznačíme průsečík s osou y. Funkce v tomto bodě roste. c Robert Mařík, 26

ց minր ց 1 1 1 in. 1 2 f () = 2 f (± ) = 2 f (1±) = f (1) = 3 2 y f (2) = 14 9 2 2 1 1 x Nakreslíme asymptoty. c Robert Mařík, 26

ց minր ց 1 1 1 in. 1 2 f () = 2 f (± ) = 2 f (1±) = f (1) = 3 2 y f (2) = 14 9 2 2 1 1 x Nakreslíme funkci v okolí svislé asymptoty. c Robert Mařík, 26

ց minր ց 1 1 1 in. 1 2 f () = 2 f (± ) = 2 f (1±) = f (1) = 3 2 y f (2) = 14 9 2 2 1 1 x Nakreslíme funkci v okolí vodorovné asymptoty. c Robert Mařík, 26

ց minր ց 1 1 1 in. 1 2 f () = 2 f (± ) = 2 f (1±) = f (1) = 3 2 y f (2) = 14 9 2 2 1 1 x Nakreslíme lokální minimum funkce. c Robert Mařík, 26

ց minր ց 1 1 1 in. 1 2 f () = 2 f (± ) = 2 f (1±) = f (1) = 3 2 y f (2) = 14 9 2 2 1 1 x Hotovo! c Robert Mařík, 26

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x ± x 3 3 x 2 = x ± x 3 x 2 = x = x ± y = 3x2 (3 x 2 ) x 3 ( 2x) (3 x 2 ) ( 2 ) x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 c Robert Mařík, 26

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x ± x 3 3 x 2 = x ± x 3 x 2 = x = x ± Definičníoborurčímezpodmínky y = 3x2 (3 3 x 2 ) x 3 ( 2x) (3 x 2 x 2 ).Dostávámedvabody nespojitosti ± 3. ( 2 ) x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 c Robert Mařík, 26

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 x ± 3 x 2 = x ± x 2 = Průsečík s osou y má druhou souřadnici x 3 x ± y = 3x2 y() (3= x 2 ) x 3 ( 2x) 3 (3 =. x 2 ) ( 2 ) x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 x = c Robert Mařík, 26

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x ± x 3 3 x 2 = x ± x 3 x 2 = x = x ± x 3 Řešením rovnice y = 3x2 získávámejedinýprůsečíksosou (3 x 2 ) x 3 ( 2x) x,bod 3 x2 (3 x 2 ) ( 2 x =. ) x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 c Robert Mařík, 26

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x ± x 3 3 x 2 = x ± x 3 x 2 = x = x ± y = 3x2 (3 x 2 ) x 3 ( 2x) (3 x 2 ) Nulový bod a body nespojitosti ( vyneseme na 2 ) reálnou osu. x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 c Robert Mařík, 26

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x ± x 3 3 x 2 = x ± x 3 x 2 = x = x ± Platí y(2) = 8 y = 3x2 (3 3 x 2 ) 4 = x 38 > ( 2x) agraffunkcejenadosou xnaintervalu (3 x 2 ) ( (, 2 ) 3). x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 c Robert Mařík, 26

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x ± x 3 3 x 2 = x ± x 3 x 2 = x = x ± Platí y(1) = 1 y = 3x2 (33 x 2 1 ) = x 1 3 2 ( < 2x) agraffunkcejepodosou xnaintervalu (3 x 2 ) ( ( 2 ) 3, ). x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 c Robert Mařík, 26

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x ± x 3 3 x 2 = x ± x 3 x 2 = x = x ± Platí y(1) = 1 y = 3x2 (33 x 2 1 ) = 1 x2 3 > ( 2x) agraffunkcejenadosou xnaintervalu (3 x 2 ) ( (, 2 ) 3). x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 c Robert Mařík, 26

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x ± x 3 3 x 2 = x ± x 3 x 2 = x = x ± Platí y(2) = 8 y = 3x2 (33 x4 2 ) = 8 x 3 < ( 2x) agraffunkcejepodosou xnaintervalu (3 x 2 ) ( ( 3, 2 ) ). x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 c Robert Mařík, 26

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x ± x 3 3 x 2 = x ± x 3 x 2 = x = x ± y = 3x2 (3 x 2 ) x 3 ( 2x) (3 x 2 ) Budeme zkoumat jednostranné ( ity v bodech 2 ) nespojitosti. x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 c Robert Mařík, 26

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x ± x 3 3 x 2 = x ± x 3 x 2 = x = x ± Všechnyityjsoutypu y = nenulovývýraz 3x2 (3 x 2 ) a x jednostranné 3 ( 2x) ity jsou (3 x 2 ) nevlastní. Správné znaménko( snadno zjistíme 2 ) ze schematu uvedeného výše. x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 c Robert Mařík, 26

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x ± x 3 3 x 2 = x ± x 3 x 2 = x = x ± y = 3x2 (3 x 2 ) x 3 ( 2x) (3 x 2 ) Vypočteme ity v nevlastních ( bodech. 2 ) x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 c Robert Mařík, 26

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x ± x 3 3 x 2 = x ± x 3 x 2 = x = x ± y = 3x2 (3 x 2 ) x 3 Jedná se o podíl polynomů. V nevlastních ( 2x) (3 x 2 bodech ) ( 2 je podstatná pouze závislost na vedoucích členech polynomů v čitateli ) a ve jmenovateli. x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 c Robert Mařík, 26

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 y = 3x2 (3 x 2 ) x 3 ( 2x) (3 x 2 ) ( 2 ) x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 = (3 x 2 ) ( ) 2 x 2 9 x 2 = (3 x 2 ) 2 Budeme hledat derivaci funkce. Derivujeme podíl y = x 2 ( 9 x 2 ) (3 x 2 ) 2 ; x 3 3 x 2 podlevzorce ( u ) u v u v ց min ր = v ր ր ր MAX ց 3 v 2. 3 3 3 c Robert Mařík, 26

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 y = 3x2 (3 x 2 ) x 3 ( 2x) (3 x 2 ) ( 2 ) x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 = (3 x 2 ) ( ) 2 x 2 9 x 2 = (3 x 2 ) 2 ( ) x 2 9 x 2 y = (3 ) 2 ; Vytkneme x 2. ց min ր ր 3 3 ր ր MAX ց 3 c Robert Mařík, 26 3

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 y = 3x2 (3 x 2 ) x 3 ( 2x) (3 x 2 ) ( 2 ) x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 = (3 x 2 ) ( ) 2 x 2 9 x 2 = (3 x 2 ) 2 ( ) x 2 9 x 2 y = (3 x 2 ) 2 ; Upravíme závorku. ց min ր ր 3 3 ր ր MAX ց 3 c Robert Mařík, 26 3

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = y = x 2 ( 9 x 2 ) (3 x 2 ) 2 ; ց 3 3 min ր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = (3 x 2 ) 4 ] 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 = Řešenímrovnice x 2 (9 x 2 ) = (3jsoubody x 2 ) ] 3 x = ax= ±3.Tyto stacionární body vyneseme 2x [273x 2 spolu s body nespojitosti na reálnou osu. c Robert Mařík, 26 3

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = y = x 2 ( 9 x 2 ) (3 x 2 ) 2 ; ց 3 3 min ր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = Červeně označené výrazy v derivaci (3jsou x 2 kladné ) 4 a neovlivní ] výsledné znaménkoderivace.stačítedyzjišťovatznaménkovýrazu 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 (9 x 2 ).Pro x = 4platí= 9 (3 x 2 ) ] x 3 2x [273x 2 = 9 (4) 2 <. 2 c Robert Mařík, 26 3

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = y = x 2 ( 9 x 2 ) (3 x 2 ) 2 ; ց 3 3 min ր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = (3 x 2 ) 4 ] 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 Pro x = 2platí = 9 (3 x 2 ) ] x 3 2x [273x 2 = 9 (2) 2 >. 2 c Robert Mařík, 26 3

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = y = x 2 ( 9 x 2 ) (3 x 2 ) 2 ; ց 3 3 min ր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = Vbodě x = 3jelokálníminimum.Funkčníhodnotaje (3 x 2 ) 4 ] 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 = y(3) = 27 (3 3 x 2 ) 9 ] 3 = 27 6 = 9 2 2x [273x 2 c Robert Mařík, 26 3

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = y = x 2 ( 9 x 2 ) (3 x 2 ) 2 ; ց 3 3 min ր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = (3 x 2 ) 4 ] 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 Pro x = 1platí = 9 (3 x 2 ) ] x 3 2x [273x 2 = 9 (1) 2 >. 2 c Robert Mařík, 26 3

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = y = x 2 ( 9 x 2 ) (3 x 2 ) 2 ; ց 3 3 min ր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = (3 x 2 ) 4 ] 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 Pro x = 1platí = 9 (3 x 2 ) ] x 3 2x [273x 2 = 9 1 2 >. 2 c Robert Mařík, 26 3

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = y = x 2 ( 9 x 2 ) (3 x 2 ) 2 ; ց 3 3 min ր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = (3 x 2 ) 4 ] 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 Pro x = 2platí = 9 (3 x 2 ) ] x 3 2x [273x 2 = 9 2 2 >. 2 c Robert Mařík, 26 3

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = y = x 2 ( 9 x 2 ) (3 x 2 ) 2 ; ց 3 3 min ր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = (3 x 2 ) 4 ] 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 Pro x = 4platí = 9 (3 x 2 ) ] x 3 2x [273x 2 = 9 4 2 <. 2 c Robert Mařík, 26 3

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = y = x 2 ( 9 x 2 ) (3 x 2 ) 2 ; ց 3 3 min ր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = Vbodě x = 3jelokálnímaximum.Funkčníhodnotaje (3 x 2 ) 4 ] 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 = y(3) = 27 (3 3 x 2 9 ) ] 3= 27 6 = 9 2 2x [273x 2 c Robert Mařík, 26 3

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = (3 x 2 ) 4 ] 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 = (3 x 2 ) 3 Derivujeme funkci ] 2x [273x x 2 (9 x 2 ) = (3 x 2 ) 3 (3 x 2 ) 2 = 9x2 x 4 (3 x 2 ) 2 podle vzorce ] 2x [27 3x 2 ( u ) u v u v y = (3 x 2 ) 3 ; x = = v v 2. 3 3 c Robert Mařík, 26

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = (3 x 2 ) 4 ] 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 = (3 x 2 ) ] 3 2x [273x 2 = Protože jsme (3ve jmenovateli x 2 ) 3 neroznásobovali, ale derivovali jako složenou funkci, nezbavili ] jsme se možnosti vytknout. 2x [27 3x 2 y = Nyní tedy vytkneme (3 x 2 ) 3 ; x = členy, které se v čitateli opakují. 3 3 c Robert Mařík, 26

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = (3 x 2 ) 4 ] 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 = (3 x 2 ) ] 3 2x [273x 2 = (3 x 2 ) 3 ] 2x [27 3x 2 y = (3 x 2 ) 3 ; x = Zkrátíme a roznásobíme závorky. 3 3 c Robert Mařík, 26

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = (3 x 2 ) 4 ] 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 = (3 x 2 ) ] 3 2x [273x 2 = (3 x 2 ) 3 ] 2x [27 3x 2 y = (3 x 2 ) 3 ; x = Výrazy v hranaté závorce se sečtou resp. odečtou. 3 3 c Robert Mařík, 26

x3 y = 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = ] 2x [27 3x 2 y = (3 x 2 ) 3 ; x = 3 Dělením se zbytkem zjistíme, že platí 3 x 3 3x = x 3 x2 3 x 2 Prvníčástjepřímka,druháčástseblížíknulepro xblížícísedoplusnebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y = x. Druháderivacejevypočtena.Nyníhledámeřešenírovnice y =.Protože výraz (27 3x 2 )jestálekladný,jejedinýmřešenímtétorovnicebod x =. c Robert Mařík, 26

x3 y = 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = ] 2x [27 3x 2 y = (3 x 2 ) 3 ; x = 3 Dělením se zbytkem zjistíme, že platí 3 x 3 3x = x 3 x2 3 x 2 Prvníčástjepřímka,druháčástseblížíknulepro xblížícísedoplusnebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y = x. Nareálnouosuvynesemebod x = (y () = )abody,kdejedruhá derivace nespojitá. c Robert Mařík, 26

x3 y = 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = ] 2x [27 3x 2 y = (3 x 2 ) 3 ; x = 3 Dělením se zbytkem zjistíme, že platí 3 x 3 3x = x 3 x2 3 x 2 Prvníčástjepřímka,druháčástseblížíknulepro xblížícísedoplusnebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y = x. Platí y 2 (2) [kladnývýraz] (2) = (3 (2) 2 ) 3 = zápornývýraz zápornývýraz > a funkce je konvexní na intervalu obsahujícím číslo 2. c Robert Mařík, 26

x3 y = 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = ] 2x [27 3x 2 y = (3 x 2 ) 3 ; x = 3 Dělením se zbytkem zjistíme, že platí 3 x 3 3x = x 3 x2 3 x 2 Prvníčástjepřímka,druháčástseblížíknulepro xblížícísedoplusnebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y = x. Platí y 2 (1) [kladnývýraz] (1) = (3 (1) 2 ) 3 = zápornývýraz kladnývýraz < a funkce je konkávní na intervalu obsahujícím číslo 1. c Robert Mařík, 26

x3 y = 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = ] 2x [27 3x 2 y = (3 x 2 ) 3 ; x = 3 Dělením se zbytkem zjistíme, že platí 3 x 3 3x = x 3 x2 3 x 2 Prvníčástjepřímka,druháčástseblížíknulepro xblížícísedoplusnebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y = x. Platí y (1) = 2 1 [kladnývýraz] (3 1 2 ) 3 = kladnývýraz kladnývýraz > a funkce je konvexní na intervalu obsahujícím číslo 1. c Robert Mařík, 26

x3 y = 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = ] 2x [27 3x 2 y = (3 x 2 ) 3 ; x = 3 Dělením se zbytkem zjistíme, že platí 3 x 3 3x = x 3 x2 3 x 2 Prvníčástjepřímka,druháčástseblížíknulepro xblížícísedoplusnebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y = x. Platí y (2) = 2 2 [kladnývýraz] (3 2 2 ) 3 = kladnývýraz zápornývýraz < a funkce je konkávní na intervalu obsahujícím číslo 1. c Robert Mařík, 26

y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = Dělením se zbytkem zjistíme, že platí x 3 3x = x 3 x2 3 x 2 Prvníčástjepřímka,druháčástseblížíknulepro xblížícísedoplusnebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y = x. c Robert Mařík, 26

3 3 ցminր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց 3 3 3 f () = ; f (±3) = 9 2 f (± ) = ; f ( 3±) = ; f ( 3±) = Shrneme nejdůležitější výsledky. c Robert Mařík, 26

3 3 ցminր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց 3 3 3 f () = ; f (±3) = 9 2 f (± ) = ; f ( 3±) = ; f ( 3±) = y 3 3 3 3 x Zakreslíme svislé asymptoty a funkci v okolí těchto asymptot. c Robert Mařík, 26

3 3 ցminր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց 3 3 3 f () = ; f (±3) = 9 2 f (± ) = ; f ( 3±) = ; f ( 3±) = y 3 3 3 3 x Podobně zakreslíme šikmou asymptotu a funkci v okolí této asymptoty. Dáváme pozor na konkavitu/konvexitu. c Robert Mařík, 26

3 3 ցminր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց 3 3 3 f () = ; f (±3) = 9 2 f (± ) = ; f ( 3±) = ; f ( 3±) = y 3 3 3 3 x Zakreslíme funkci v okolí stacionárního bodu, který není lokálním extrémem. c Robert Mařík, 26

3 3 ցminր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց 3 3 3 f () = ; f (±3) = 9 2 f (± ) = ; f ( 3±) = ; f ( 3±) = y 3 3 3 3 x Zakreslíme lokální extrémy. c Robert Mařík, 26

3 3 ցminր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց 3 3 3 f () = ; f (±3) = 9 2 f (± ) = ; f ( 3±) = ; f ( 3±) = y 3 3 3 3 x Dokreslíme celý graf. c Robert Mařík, 26

y = x2 1 x 2 1 neníprůsečíksosou x D(f ) = R \ {1, 1};průsečíksosou y: [, 1]; 1 1 x 2 1 x 1 x 2 1 = 2 = x 2 1 x 1 x 2 1 = 2 = x 2 1 x x 2 1 = x 2 x x 2 = 1 x 2 1 x 1 x 2 1 = 2 = x 2 1 x 1 x 2 1 = 2 = y = (x2 1) (x 2 1) (x 2 1) (x 2 1) (x 2 1) 2 = 2x (x2 1) (x 2 1) 2x (x 2 1) 2 c Robert Mařík, 26

y = x2 1 x 2 1 neníprůsečíksosou x D(f ) = R \ {1, 1};průsečíksosou y: [, 1]; 1 1 x 2 1 x 1 x 2 1 = 2 = x 2 1 x 1 x 2 1 = 2 = x 2 1 x 1 x 2 1 = 2 = x 2 1 x 1 x 2 1 = 2 = x 2 1 x x 2 1 = x x 2 = 1 Určíme definiční obor ve jmenovateli nesmí být nula. Řešením rovnice y = (x2 1) (xx 2 1) 1 = (x 2 1) (x 2 1) (x 2 1) je x = ±1.Tytobodyjenutnovyloučitzdefiničníhooboruajednáse 2 o body nespojitosti. = 2x (x2 1) (x 2 1) 2x (x 2 1) 2 c Robert Mařík, 26 x 2

y = x2 1 x 2 1 neníprůsečíksosou x D(f ) = R \ {1, 1};průsečíksosou y: [, 1]; 1 1 x 2 1 x 1 x 2 1 = 2 = x 2 1 x 1 x 2 1 = 2 = x 2 1 x x 2 1 = x 2 x x 2 = 1 x 2 1 x 1 x 2 1 = 2 = x 2 1 x 1 x 2 1 = 2 = y = (x2 1) (x 2 1) (x 2 1) (x 2 1) (x 2 1) 2 Dosazením x = určíme = 2x (x2 y() = 1) (x 1 2 = 1) 1,cožjeprůsečíksosou 2x y. 1 (x 2 1) 2 c Robert Mařík, 26