1.7.. Tluené kiy 1. Uě vysvěli podsau lueného kiavého pohybu.. Vysvěli význa luící síly. 3. Zná rovnici okažié výchylky lueného kiavého pohybu. 4. Uě popsa apliudu luených kiů. 5. Zná konsany charakerizující luený kiavý pohyb koeficien odporu prosředí, součiniel úluu, úlu, logariický dekreen úluu. 6. Vědě, jaký je vzah ezi periodou a frekvencí nelueného a lueného kiavého pohybu. 7. Uě vysvěli energii lueného kiavého pohybu. Dosud jse uvažovali kiavé pohyby, při kerých se poenciální energie pružnosi ění na energii kineickou a celková energie, jež je rovna jejich souču, je konsanní. Apliuda akových kiů je neěnná. Ve skuečnosi se čás energie u všech echanických pohybů přeěňuje vlive ření a odporu prosředí na eplo,a není edy využia. V o případě se velikosi po sobě jdoucích apliud zenšují a kiající sousava koná luené kiy. Obr. 1.7.-1 Při enších rychlosech působí proi pohybu síla luící síla (síla odporu prosředí). Je úěrná rychlosi, kde koeficiene úěrnosi je koeficien odporu prosředí R. Tao síla působí proi pohybu, proo ji zapisujee ve varu F = R v. 1.7.-31 V neodporující prosředí kiá ěleso s frekvencí f a periodou T. Po vložení do odporujícího prosředí se pohyb zpoalí, perioda T se prodlouží a frekvence f se zkráí. Těleso bude kia s periodou T a frekvencí f luených kiů. 1.7..1. Rovnice lueného kiavého pohybu Při kiavé pohybu v odporující prosředí působí na honý bod dvě síly: 1. síla pružnosi F = k y, kde k je uhos pružiny a y je okažiá výchylka, p. luící síla F = R v, kde R je koeficien odporu prosředí a v rychlos. Jednokou konsany k je kg.s -, jednokou konsany R je kg.s -1. 177
Výsledná síla, kerá honéu bodu uděluje zrychlení je rovna jejich vekorovéu souču F F + F =. 1.7.-3 p Ve skryé exu najdee podrobnější odvození pohybové rovnice luených kiů Podle Newonova zákona ůžee psá a = k y R v. 1.7.-33 Po úpravách a poocí subsiucí k R ω =, b = 1.7.-34 je pohybová rovnice lueného kiavého pohybu ve varu d y d y + b + ω y =. 1.7.-35 d d Řešení pohybové rovnice je rovnice, kerá popisuje okažiou výchylku honého bodu z rovnovážné polohy lueného kiavého pohybu. y = Asin( ω + ϕ ). 1.7.-36 V oo případě ovše apliuda A neá konsanní hodnou, ale zenšuje se podle exponenciální funkce b A = A e, 1.7.-37 kde A je počáeční apliuda a b je součiniel úluu. Rovnice okažié výchylky je pak b y = A e sin ( ω + ϕ ) Úhlová frekvence ω je úhlová frekvence luených kiů a je určena vzahe. = ω b ω. Odud pak ůžee sanovi periodu T a frekvenci f luených kiů podle vzahů Obr. 1.7.-13 178 π π ω =, ω =, T T
ω = π f, ω = π f. T, f jsou perioda a frekvence kiavého pohybu, jesliže odsraníe luení. Kroě koeficienu odporu prosředí R a součiniele úluu b zavádíe další konsany, keré charakerizují luený kiavý pohyb. Jsou o úlu λ a logariický dekreen úluu δ. Úlu λ je podíl dvou po sobě jdoucích apliud sejného sěru.tyo apliudy jsou od sebe časově vzdáleny o jednu periodu T. Obr. 1.7.-14 Pak b A A e b b e e 1 λ = = = = =. A b( + T ) b bt b bt bt A e e 1 e e e bt = e λ 1.7.-41 Úlu λ je bezrozěrné číslo. Logariický dekreen úluu δ je přirozený logarius úluu λ 179
bt δ = ln λ = ln e = bt ln e = bt. δ = bt 1.7.-4 Rovněž i δ je bezrozěrná veličina. Aperiodický pohyb Teno pohyb vzniká ehdy, když je ření příliš veliké a periodický pohyb vůbec nevznikne. Časo je úyslně vyvářen u ěřících přísrojů vhodně volený luení. TO 1.7.-15. Těleso honosi je zavěšeno na pružině uhosi k a koná luený haronický pohyb. Odpor prosředí je F = R v. Diferenciální rovnici ěcho luených kiů ůžee psá ve varu d y d y + b + ω y =. Určee, keré vzahy charakerizují součiniel úluu d d a úhlovou frekvenci neluených kiů (vlasní frekvenci). a) R b = a ω = k b) b = aω = R k R k c) b = a ω = R k d) b = aω = TO 1.7.-16. Těleso honosi je zavěšeno na pružině uhosi k a koná luený haronický pohyb. Síla odporu prosředí je F = R v. Diferenciální rovnici ěcho d y d y luených kiů ůžee psá ve varu + b + ω y =. Řešení éo d d rovnice je a) y = Asin( ω + ϕ ) b) y = Asin( ω + ϕ ) c) y = Asin( ω + ϕ ), kde, kde, kde b A = A e b A = A e b A = A e 18
d) y = Asin( ω + ϕ ), kde b A = A e TO 1.7.-17. Součiniel úluu je b = s -1, logariický dekreen úluu δ = 8. Určee periodu lueného kiavého pohybu a) 16 s b) 4 s c) 4 1 s d) 64 s T. Při luené kiavé pohybu bylo zjišěno, že podíl dvou za sebou jdoucích výchylkách se apliuda zenšila o 1 6 a doba kiu T =,5 s. Určee a) součiniel úluu, b) frekvenci kiů, odsraníe-li luení. a) Proože logariický dekreen úluu je δ = ln λ = bt a pro apliudy plaí 4 4 A ln 4 = ln λ A A = = λ, pak b = = 1 = 1, 83 s -1. 1 1 A 1 T,5 1 Součiniel úluu je 1,83 s -1. c) Z rovnice ω = ω b po dosazení dosanee 4π f = 4π f + b. Vydělení 4π f + b f =. 4π Po dosazení je frekvence po odsranění luení f = 1,4 s -1. Určee vzah pro rychlos a zrychlení lueného kiavého pohybu. d y Rychlos je v =, derivujee edy vzah pro okažiou výchylku lueného d kiavého pohybu. Proěnná veličina čas se vyskyuje v exponenu apliudy a ve fázi kiavého pohybu. Derivujee proo jako součin dvou funkcí. 181
Pak vzah pro rychlos je b b v = b Ae sin ω + ϕ + Ae ω cos ω + ϕ ( ) ( ) d v Podobně je zrychlení a =. d Posupně derivujee rychlos podle času. Pak zrychlení je b b a = b ω Ae sin ω + ϕ b Ae ω cos ω + ϕ ( ) ( ) ( ).. KO 1.7.-9. Co způsobuje luený kiavý pohyb? KO 1.7.-3 Zapiše vzah pro sílu odporu prosředí při alých rychlosech. KO 1.7.-31. Určee jednoku koeficienu odporu R prosředí. KO 1.7.-3. Určee jednoku součiniele úluu b. KO 1.7.-33. Popiše, jak se zění perioda a frekvence luených kiů. 1.7... Energie lueného kiavého pohybu 1 Kiová energie neluených kiů je konsanní a je popsána výraze E = k A. U luených kiů apliuda exponenciálně klesá vlive ření, a proo klesá zároveň celková energie. Proože b A = A e, 1.7.-43 kde E A je počáeční apliuda, pak b ( A e ) = 1 k. 1.7.-44 Po úpravě je 1 b E = k A e. 1.7.-45 Výraz 1 k A předsavuje počáeční kiovou energii E. V konečné varu je vzah pro energii luených kiů E b = E e, 1.7.-46 18
TO 1.7.-18. Určee výraz pro energii luených kiů. a) E = 1 k A e b c) b) 1 E = ω E = A e 1 b k A e b d) 1 b A e E = ω TO 1.7.-19. Apliuda luených kiů se ění podle funkce a) logariicky rose b) hyperbolicky klesá c) exponenciálně klesá d) exponenciálně rose TO 1.7.-. Energie luených kiů se ění podle funkce a) b) c) d) E = E Ae E = E Ae E = E e E = E Ae b b b Součiniel úluu je 3 s -1. Určee dobu, za kerou klesne energie luených kiů na %. 1 Pro energii kiů plaí vzah E = k A. Apliuda luených kiů klesá b podle funkce A = A e. Pak 1 b ( ) E = k A e. b b Po úpravě E 1 = k A e E = E e. b,e = E e, = e b 183
ln, = b ln e ln, b = ln, =,3 =,7s. Energie klesne na % za,7 s. KO 1.7.-34. Zakreslee graf pro celkovou energii luených kiů. KO 1.7.-35. Vysvělee zěnu celkové energie luených kiů. KO 1.7.-36. Kerá funkce popisuje zěnu celkové energie luených kiů. KO 1.7.-37. Definuje apliudu luených kiů. KO 1.7.-38. Zapiše rovnici pro okažiou výchylku luených kiů. KO 1.7.-39. Charakerizuje součiniel úluu b. KO 1.7.-4. Zapiše vzah ezi součiniele úluu b a koeficiene odporu prosředí R. KO 1.7.-41. Definuje úlu. KO 1.7.-4. Určee vzah ezi úlue λ a logariický dekreene úluu δ. KO 1.7.-43. Určee jednoku součiniele úluu b, úluu λ a logariického dekreenu úluu δ. KO 1.7.-44. Zapiše vzah ezi luenou úhlovou frekvencí ω a neluenou úhlovou frekvencí ω. 184