. Řešená konstrukce.... Statické řešení.... Výpočet průhybové čáry... 5. Dynamika.... Vlastní netlumené kmitání..... Jacobiho metoda rovinné rotace... 4.. Popis algoritmu... 4. Vynucené kmitání... 5 4. Řešení úlohy vlastního kmitání Kolouškovou deformační metodou... 8 5. Porovnání výsledků vlastních frekvencí jednotlivých metod... 5 6. Použitá literatura... 5 Stránka
. Řešená konstrukce Řešenou konstrukcí je prizmatický prut zatížený osamělým břemenem v polovině rozpětí s nedokonalým vetknutím na levé straně a pružnou podporou na straně pravé viz obr. Obr. Řešená konstrukce pro statickou úlohu. Statické řešení Neznámými deformacemi jsou: natočení levého konce prutu ϕ a (závislé na tuhosti rotační pružiny k [ knm / rad ]) a svislý posun pravého konce w b (závislý na tuhosti pružiny k [ / ] kn m ). V těchto pružinách vznikají tzv. direkční síly, které jsou přímo úměrné deformaci dané pružiny s konstantou úměrnosti k respektive k. Výpočet neznámých deformací je proveden Zjednodušenou deformační metodou (ZDM) Vektor neznámých deformací: { r} = { ϕ, w } a b T Stránka
Styčníkové podmínky rovnováhy: Obr. Konvence vnitřních sil a reakcí na styčníky resp. na prut Ve styčnících se sestaví podmínky rovnováhy (momentová a silová ve svislém směru) R Z M ba + M = 0 ab z + R = 0 b kϕ + M = 0 Z ba a + kw = 0 ab b Z tabulek pro ZDM vyplývá: Mab = FL 5 Zba = F 6 6 M ab EI wb = FL + ϕ a + 6 4 L L Z ba 5 EI wb = F+ ϕa + 6 4 L L Dosazením těchto výrazů zpět do soustavy obdržíme: EI EI kϕa + FL + ϕa + w 0 b = 6 L L 5 EI EI F+ ϕ a + w b + kw b = 0 6 L L Stránka
EI EI k + ϕa + w b = FL L L 6 EI EI 5 ϕ a + k + w b = F L L 6 Maticový zápis soustavy rovnic: EI EI + k FL L L ϕa 6 = EI EI wb 5 + k F L L 6 ze vztahu: [ K] { r} = { f } Matice tuhosti [ K] je pozitivně definitní a čtvercová a je tedy možné vypočítat vektor { f} { r} = [ K] { f } ( + EI) 5EIFL FL k L ϕ 6( ) a k k L EIk L EIk λ + + = λ wb 9EIFL 5FL ( EI + Lk ) + λ λ Pro případ, kdy k 0 k statické schéma konstrukce odpovídá prostému nosníku. lim k 0 k ( + EI) 5EIFL FL k L FL = = ϕa λ λ 6EI ( + ) 9EIFL 5FL EI Lk lim + = 0 = wb k 0 λ λ k Stránka 4
Pro případ, kdy k k 0 statické schéma konstrukce odpovídá konzole upnuté na levém konci. k 0 k ( + EI) 5EIFL FL k L lim = 0 = ϕa λ λ k 0 k ( + ) 9EIFL 5FL EI Lk 5FL lim + = = w λ λ 48EI b. Výpočet průhybové čáry 0; L L ; L Q Q = R F ( ) = R x az ( x) az L M( x) = Razx RM M( x) = Razx RM Fx dw( x) / az EI = R dx dx dw( x) / az EI = R + F dx dx dw( x) / az M EI = R x + R dx dx dw( x) L = / az + M + EI R x R F x dx dx dw( x) EI = Razx + RM x + C / dx dx dw L x = + + + ( x) EI Razx RM x F C / dx dx EIw( ) R x R x C x C x 6 = az + M + + ( x) L x EIw = Razx + RMx + F + C x + C 6 6 4 Aditivní konstanty C, C, C, C4 se určí z okrajových podmínek v každém intervalu, případně z podmínek spojitosti funkce popisující průhyb nosníku. Stránka 5
dw w( 0) = 0 = ( x) ϕa dx x= 0 C = 0 C = EIϕ a w dw I II I II ( x) ( x) = w = L L dx dx x= L x= L C = C C = C 4 dw w( ) = x Razx + RM x + EIϕ ax EI 6 L x w( x) = Razx RM x F + + + EIϕ ax EI 6 6 nosníku. Numerické řešení bylo provedeno pro následující hodnoty popisující materiál a příčný řez L= 5m, EI = 57.7kNm, F = 50kN Výsledky pro k 0 k 0 0 Prubeh posouvajici sily a ohyboveho momentu Posouvajici sila Q Ohybovy moment M V= [kn] / M= [knm] 0 0-0 -0-0 -40-50 -60-70 0 4 5 x [m] Obr. Průběh posouvající síly a ohybového momentu na prostém nosníku Stránka 6
0 Prubeh ohybove cary -0.005-0.0 w= [m] -0.05-0.0-0.05 0 4 5 x [m] Obr. 4 Průběh ohybové čáry na prostém nosníku Stránka 7
Výsledky pro k k 0 40 0 Prubeh posouvajici sily a ohyboveho momentu Posouvajici sila Q Ohybovy moment M 00 V= [kn] / M= [knm] 80 60 40 0 0-0 0 4 5 x [m] Obr. 5 Průběh posouvající síly a ohybového momentu na konzole Stránka 8
0 Prubeh ohybove cary -0.0-0.04 w= [m] -0.06-0.08-0. -0. -0.4 0 4 5 x [m] Obr. 6 Průběh ohybové čáry na konzole Stránka 9
Výsledky pro k k 50 40 Prubeh posouvajici sily a ohyboveho momentu Posouvajici sila Q Ohybovy moment M 0 V= [kn] / M= [knm] 0 0 0-0 -0-0 -40 0 4 5 x [m] Obr. 7 Průběh posouvající síly a ohybového momentu na nosníku s dokonalým vetknutím a dokonalým kloubem Stránka 0
0 Prubeh ohybove cary -0.00-0.004 w= [m] -0.006-0.008-0.0-0.0 0 4 5 x [m] Obr. 8 Průběh ohybové čáry na nosníku s dokonalým vetknutím a dokonalým kloubem Stránka
Výsledky pro k = 0000 knm / rad k = 000 kn / m 50 40 Prubeh posouvajici sily a ohyboveho momentu Posouvajici sila Q Ohybovy moment M V= [kn] / M= [knm] 0 0 0 0-0 -0-0 -40-50 0 4 5 x [m] Obr. 9 Průběh posouvající síly a ohybového momentu na nosníku s nedokonalým vetknutím a nedokonalým kloubem Stránka
0 Prubeh ohybove cary -0.005-0.0 w= [m] -0.05-0.0-0.05 0 4 5 x [m] Obr. 0 Průběh ohybové čáry na nosníku s nedokonalým vetknutím a nedokonalým kloubem. Dynamika Dynamický výpočet je nutné provést v případě, kdy není možné zanedbat vliv setrvačných sil tzn. nepředpokládá se, že by se zatížení měnilo nekonečně pomalu jako v případě statického výpočtu.. Vlastní netlumené kmitání Obr. Konvence vnitřních sil a reakcí na styčníky resp. na prut Stránka
[ M]{ w } + [ K]{ w} = { 0}.. Jacobiho metoda rovinné rotace Tato metoda slouží k výpočtu všech N vlastních čísel matice [N x N]. Postupně dochází k diagonalizaci matice tuhosti a hmotnosti. Na konci iteračního cyklu tedy mimodiagonální prvky konvergují k nule a diagonální prvky konvergují k vlastním číslům daných matic. A = k+ SAS T k 0 0 0 0 cosα sinα 0 S = 0 sinα cosα 0 0 0 0.. Popis algoritmu Nejprve je vyhledán prvek mimo diagonálu s maximální absolutní hodnotou (v celé matici) a mn. Prvky transformační matice sin α se umístí na pozice S(m,n) S(n,m) a cos α na pozice S(n,n) S(m,m). Dále se vypočte neznámá k amm a k = cotg( α ) = a mn nn a parametr t Obr. Carl Gustav Jacob Jacobi kořen t + Kt * pro K 0 t = pro K = 0 vztahy pro cosinus respektive sinus v transformační matici: s = t + t c = + t Stránka 4
Prvky matice A k+ jsou dány výrazy: a = a = c a s a i m, n k + k + k k mi im mi ni a = a = c a + s a i m, n k + k + k k ni in ni mi a = a = a + t a i = n k+ k+ k k mi im nn mn a = a = a t a i = m k + k + k k mi im mm mn Numerické výsledky: Výpočet proveden pomocí skriptu v programovém prostředí MATLAB,96 Hz f = 0,65 Hz Výsledky z programu SCIA ENGINEER 008 Tab. Tabulka vlastních frekvencí vypočtené programem SCIA ENGINEER 008. Vynucené kmitání Nyní uvažujme, že na konstrukci uprostřed rozpětí působí harmonicky proměnná síla daná výrazem: F F t ( ) = sin t ( ω ) Stránka 5
Obr. Řešená konstrukce pro úlohu vynuceného kmitní Pohybová rovnice bude mít potom tvar: { } [ M]{ w } + [ C]{ w } + [ K]{ w} = F( t) r = { ϕ, w, ϕ, w } a b b c T 4EI 6EI EI + k 0 L L L 6EI EI EI 6EI EI EI + L L L L L L K = EI 6EI EI 4EI EI EI + L L L L L L EI EI EI 0 + k L L L 4µ L µ L µ L 0 40 40 40 µ L 56µ L 56µ L µ L µ L 54µ L + 40 40 40 40 40 40 M = µ L µ L µ L 4µ L 4µ L µ L + 40 40 40 40 40 40 54µ L µ L 56µ L 0 40 40 40 Stránka 6
[ C] = α[ M] + β[ K] Za předpokladu, že nejméně je tlumen první vlastní tvar platí: ξ α = ξω β = ω Řešení úlohy vynuceného kmitání bylo provedeno Newmarkovou metodou, což je metoda numerické integrace diferenciálních rovnic. Při vhodné volbě parametrů je tato metoda nepodmíněně stabilní. w = w + tw + δ t w + δw t w = w + tw + γ tw n+ n n n n+ ( γ ) n+ n n n+ w n+ = M + γ tc + δ t K fn+ C w n+ ( γ ) tw n K wn+ tw n+ δ t w n Výpočet proveden pro tyto hodnoty: L= 5m, EI = 57.7kNm, F 50sin( 50 ) = t kn µ = 0.5 t k 0 k ξ = 0.005 m Zatížení působí po dobu 0 s uprostřed rozpětí nosníku. Stránka 7
0.04 Vynucene kmitani Newmark 0.0 0.0 vychylka w [m] 0.0 0-0.0-0.0-0.0-0.04 0 5 0 5 0 cas t [s] Obr. 4 Kmitání středu nosníku 4. Řešení úlohy vlastního kmitání Kolouškovou deformační metodou Kolouškova deformační metoda je použitelné pro konstrukce s harmonicky proměnným zatížením. Její princip spočívá v tom, že koncové síly na prutech jsou vyjádřeny kombinací frekvenčních funkcí. Tyto funkce jsou závislé na způsobu podepření prutu a na tzv. nosníkovém parametru λ: λ = L 4 µω EI Obr. 5 Prof. Ing. Vladimír Koloušek, DrSc Stránka 8
Obr. 6 Řešená konstrukce Hodnoty uvažované pro numerický výpočet: µ = = = 0,5 t / m; EI 57,7 knm ; L 5 m; k 0 k Pro každý prut je nutné spočítat prutovou konstantu λ. Díky tomu, že se jedná o prizmatický prut a pruty jsou stejně dlouhé, platí, že λ =λ. λ = λ = λ = L 4 µω EI Z tohoto výrazu vyjádříme ω. EI λ ω = µ L Nyní stanovíme styčníkové podmínky rovnováhy ve styčníku b pro neznámý posun a natočení: Obr. 7 Síly resp. momenty působící ve styčníku b Stránka 9
M Z ba ba + M = 0 bc + Z = 0 bc Tyto síly respektive momenty se vyjádří v závislosti na frekvenčních funkcích uvedených v []. Podmínky rovnováhy potom přejdou na tvar: EI EI EI EI F ϕ+ F w + F ϕ F wb = 0 L L L L 7( λ) 9( λ) b 7( λ) 9( λ) EI EI EI EI F ϕ+ F w F ϕ+ F wb = 0 L L L L 9( λ) ( λ) b 9( λ) ( λ) sinh( ) sin( ) ( λ) ( λ) ( λ) ( λ) λ λ F7( λ ) = λ cosh sin sinh cos cosh( ) cos( ) ( λ) ( λ) ( λ) ( λ) λ λ F( λ ) = λ cosh sin sinh cos Maticový zápis soustavy rovnic: EI EI + F7( λ ) 0 L L ϕ 0 = EI EI w b 0 0 + F ( λ ) L L dyn K Tato soustava má netriviální řešení pokud determinant matice dynamické tuhosti (K dyn ) je roven nule. dyn ( K ) det = 0 dyn EI EI EI EI det( K ) = + + F 7( λ) F( λ) = 0 L L L L Je nutné zjistit nulové body této funkce, například odečtením z grafu. Stránka 0
x 0 8.5.5 0.5 0-0.5 - -.5-0 0.5.5 Obr. 8 Průběh det(k dyn ) na intervalu <0;> První tři odečtené hodnoty λ: ( ) ( ) ( ) λ =,57; λ =,4; λ = 4,7 Pro tyto hodnoty je možné zpětně dopočítat vlastní kruhové frekvence ω ( ) ( ) ( ) f = ω =,89 Hz; f = ω = 5,57 Hz; f = ω = 6,0 Hz π π π Tvary vlastního kmitání Průhyb v místě x je dán vztahem: λx λx λx λx w( ) = Ccosh Csinh Ccos C4sin x + + + L L L L Kde C C 4 jsou integrační konstanty, které je možné získat v [] a L je délka jednotlivých prutů Stránka
Nejprve je nutné spočítat pro každý odečtený parameter λ dynamickou matici tuhosti K dyn. Pro λ =,57 K 4,56 0 0 dyn = 0 4,6 Poměr neznámých ϕ a w se získá jako poměr subdeterminantů k a k. Tyto subdeterminanty vzniknou vyloučením prvního řádku a prvního sloupce respektive druhého řádku a prvního sloupce. ϕ 4 4 : w = k : k = 4,6:,56 0 =,4 0 : Integrační konstanty pak mají tvar: C LF F = + w λ + λ 7( λ) 9( λ) ϕ F9 ( ) + λ F λ ( λ) C = L w ϕ + λ λ ( ) ( ϕ ) ( w) = + C C C L C C C λ ( ϕ ) ( w) 4 = průhybem w. Podíl ϕ je zanedbatelný a proto budeme uvažovat pouze integrační konstanty související s Pro levou část konstrukce (první prut) platí, že: w ( ) = w L x ( x) Viz číslování průřezů zprava. Stránka
Obr. 9. tvar kmitání na prvním prutu Pro pravou pravou část konstrukce (druhý prut) platí, že: w = w ( x) ( x) Obr. 0. tvar kmitání na druhém prutu Obr. První tvar kmitání Stránka
Stejným postupem dostaneme další vlastní tvary kmitání nosníku Obr. Druhý tvar kmitání Obr. Třetí tvar kmitání Stránka 4
5. Porovnání výsledků vlastních frekvencí jednotlivých metod [Hz] Jacobiho rotace SCIA ENGINEER 008 Kolouškova metoda f,96,07,89 f 0,65 4,9 5,57 f - 97,40 6,0 Tab. Porovnání výsledků 6. Použitá literatura [] Baťa, Plachý, Trávníček: Dynamika stavebních konstrukcí [] Koloušek Vladimír: Dynamika II Obecná část [] Bittnar, Řeřicha: Metoda konečných prvků v dynamice, Technická knižnice inženýra Vypracoval Vladimír Šána v rámci řešení projektu FRVŠ 8A: Nová výuková pomůcka pro předmět Dynamika stavebních konstrukcí. Stránka 5