Deskriptivní geometrie I Prezentace a podklady k pr edna s ka m

Geometrická zobrazení v rovině Shodná zobrazení v rovině: identita, posunutí, rotace, středová souměrnost osová souměrnost posunutá souměrnost Podobná zobrazení v rovině: stejnolehlost

Mozaika z Efesu

ORNAMENT Různá dělení: Motivy, původ, struktura 1.Rozety (mandaly) 2.Frýzy (vlysy) 3.Tapety (rovinné mozaiky)

Hledání symetrie

Z hlediska struktury různé vzory, které vznikly ze stejného základu

Arabský ornament typ p6 S

Dělení tapetových vzorů dle struktury 17 tapetových vzorů Krystalograf E. Fedorov poprvé v roce 1891 publikoval důkaz, že rovinných krystalografických grup je právě 17 Teprve později se danou problematikou zabývají matematici např. Pólya (1924)

Nejmenší úhel rotace žádný 180 o 120 o 90 o 60 o rovnoběžník obdélník šestiúhelník čtverec šestiúhelník

Arabský ornament typ p6m

Parkety ze zámku Valtice typ p4m

Nejmenší úhel rotace žádný rovnoběžník osová souměrnost ano posunutá souměrnost s jinou osou než byla osa souměrnosti ano ne cm pm ne posunutá souměrnost ano ne pg p1

Nejmenší úhel rotace 180 o obdélník osová souměrnost ano druhá osa souměrnosti ne posunutá souměrnost ano ne ano ne středy rotace leží jen na ose souměrnosti pmg pgg p2 ano cmm ne pmm

Který je navíc?

Nejmenší úhel rotace 120 o šestiúhelník osová souměrnost ano ne středy rotace leží jen na ose souměrnosti p3 ano p3m1 ne p31m

Nejmenší úhel rotace 90 o čtverec osová souměrnost ano ne osa souměrnosti ve 4 směrech p4 ano p4m ne p4g

Nejmenší úhel rotace 60 o šestiúhelník osová souměrnost ano ne p6m p6

OSOVÁ AFINITA V ROVINĚ

Osová afinita v rovině je geometrické zobrazení v E 2, pro které platí, že je jednoznačně určeno osou o a dvojicí odpovídajících si vlastních bodů A, A (neležících na ose o) a platí: Spojnice odpovídajících si bodů jsou vzájemně rovnoběžné (určen směr afinity) Všechny body osy jsou samodružné

Osová souměrnost je specielní případ osové afinity.

Vlastnosti afinity: Samodružné body, samodružné přímky Charakteristika afinity Vlastnosti incidence Zachování rovnoběžnosti (zobrazení nevlastního bodu) Zachování dělicího poměru Obraz rovinných útvarů

Kuželosečky Kuželosečky jsou křivky, ve kterých rovina protíná kuželovou plochu Z této definice plyne, že kuželosečky jsou rovinné křivky. Podle polohy roviny vzhledem ke kuželové ploše vznikají různé druhy kuželoseček. Rozlišujeme: kuželosečky regulární elipsa (kružnice), hyperbola, parabola Kuželosečky singulární bod, přímka, dvě přímky

Singulární kuželosečky Rovina řezu prochází vrcholem kuželové plochy

Regulární kuželosečky

http://mdg.vsb.cz/jdolezal/studopory/uvod.html

ELIPSA Elipsa je množina všech bodů roviny, které mají od dvou pevných, navzájem různých bodů E, F této roviny, konstantní součet vzdáleností, větší než je vzdálenost daných dvou bodů. Body E, F nazýváme ohniska elipsy.

Elipsa C M a N b A E S e F B A,B hlavní vrcholy elipsy C,D vedlejší vrcholy elipsy D /EM/+/MF/ = 2a EM,MF jsou průvodiče bodu a = /AS/ =/SB/ AB je hlavní osa elipsy b = /CS/ =/SD/ CD je vedlejší osa elipsy e = /ES/ =/SF/ excentricita

Ohniskové vlastnosti elipsy V1: Tečna elipsy půlí vnější úhel průvodičů dotykového bodu. V2: Normála elipsy půlí vnitřní úhel průvodičů bodu elipsy. Vrcholová kružnice elipsy V3: Množinou všech pat kolmic spuštěných z ohniska elipsy k jejím tečnám je kružnice se středem S a poloměrem a. Řídící kružnice elipsy V4: Množinou všech bodů souměrně sdružených s jedním ohniskem elipsy podle jejich tečen je kružnice se středem v druhém ohnisku a poloměrem 2a. Sdružené průměry V5: Tečny elipsy sestrojené v krajních bodech jednoho průměru jsou rovnoběžné s průměrem sdruženým.

Rys z reálného gymnázia v Praze (kuželosečky mají společná ohniska)

HYPERBOLA Hyperbola je množina všech bodů roviny, které mají od dvou pevných, navzájem různých bodů E, F této roviny, konstantní rozdíl vzdáleností, menší než je vzdálenost daných dvou bodů. Body E, F nazýváme ohniska hyperboly.

a1 a2 Hyperbola M Q e b a E A S B F A,B hlavní vrcholy hyperboly a asymptoty hyperboly /EM/-/MF/ = 2a EM,MF jsou průvodiče bodu a = /AS/ =/SB/ AB je hlavní osa hyperboly b je vedlejší osa hyperboly e = /ES/ =/SF/ excentricita

Ohniskové vlastnosti hyperboly V1: Tečna hyperboly půlí vnější úhel průvodičů dotykového bodu. V2: Normála hyperboly půlí vnitřní úhel průvodičů. Vrcholová kružnice hyperboly V3: Množinou všech pat kolmic spuštěných z ohniska hyperboly k jejím tečnám je kružnice se středem S a poloměrem a. Řídící kružnice hyperboly V4: Množinou všech bodů souměrně sdružených s jedním ohniskem hyperboly podle jejich tečen je kružnice se středem v druhém ohnisku a poloměrem 2a.

Cathedral of Brasilia, Oscar Niemeyer, 1958

Karel Hubáček, Ještěd, 1973

Ch. Taylor, Canada Place, Londýn, 2002

PARABOLA Parabola je množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu F a od dané přímky d této roviny stejné vzdálenosti, bod F neleží na přímce d. Bod F nazýváme ohniskem paraboly a přímku d řídící přímkou paraboly. Vzdálenost ohniska od řídící přímky se nazývá parametr paraboly.

Parabola d v Q M V F o QM,FM jsou průvodiče bodu V je vrchol paraboly o = VF je osa paraboly

Ohniskové vlastnosti paraboly V1: Tečna paraboly půlí vnější úhel průvodičů dotykového bodu. V2: Normála paraboly půlí vnitřní úhel průvodičů. Vrcholová tečna paraboly V3: Množinou všech pat kolmic spuštěných z ohniska paraboly k jejím tečnám je vrcholová tečna. Řídící přímka paraboly V4: Množinou všech bodů souměrně sdružených s ohniskem paraboly podle jejich tečen je řídící přímka. Subtangenta V5: Subtangenta paraboly je půlena vrcholem.

Barcelona

Strauss, Golden Gate Bridge, San Francisco

Sarinen, Gateway Arch, St. Louise, 1987

http://15122.fa.cvut.cz/?page=cz,nekterezakladni-konstrukce-a-navody

Deskriptivní geometrie Promítací metody

Definice promítání Promítání je zobrazení prostoru na rovinu, popřípadně na jinou plochu (například válcovou nebo kulovou)

Promítání na rovinu Je dán bod S, který se nazývá střed promítání a rovina ρ, která se nazývá průmětna. Bod S neleží v průmětně. Zobrazení, které každému bodu v prostoru různému od bodu S přiřadí průsečík přímky AS s průmětnou, se nazývá promítání.

Nevlastní bod Nevlastní přímka Nevlastní rovina

Je-li střed promítání S vlastní bod, nazýváme promítání středové. Je-li střed promítání S nevlastní bod, nazýváme promítání rovnoběžné. (tj. bod S posuneme do nekonečna )

Promítání Rovnoběžné promítání Rozlišujeme pravoúhlé a kosoúhlé Středové promítání specielní případ je lineární perspektiva

Rovnoběžná promítání Pravoúhlá promítání: Kótované promítání Mongeovo promítání Pravoúhlá axonometrie Kosoúhlá promítání Kosoúhlé promítání, specielní případ Vojenská perspektiva

Vlastnosti rovnoběžného promítání Rovnoběžným průmětem bodu je bod. Rovnoběžným průmětem přímky rovnoběžné se směrem promítání je bod, rovnoběžným průmětem přímky, která nemá směr promítání je přímka. Rovnoběžným průmětem roviny, která je rovnoběžná se směrem promítání je přímka, rovnoběžným průmětem roviny, která nemá směr promítání je celá průmětna. Rovnoběžné promítání zachovává incidenci. Rovnoběžné promítání zachovává rovnoběžnost. Rovnoběžné promítání zachovává dělicí poměr.

Metrické vlastnosti Průmět úsečky Průmět pravého úhlu Průmět mnohoúhelníku, kružnice

Kótované promítání

Mongeovo promítání

Pravoúhlá axonometrie

Č. 5 SCHODIŠTĚ VOJTĚCH DVOŘÁK 2000/01 FA ČVUT

Kosoúhlé promítání

Vojenská perspektiva

Lineární perspektiva

Pravoúhlá axonometrie - trimetrie z Z O x X Y y

z Z z Z S O O x X Y y x X S 1 Y y S=S 1

Kosoúhlé promítání 120 q= 2 3 nadhled z O y x

Parabola v názorném promítání z V O R y x Q

ŘEZY TĚLES

Kaplička v Bílce

Valencie, oceánografické muzeum

Singulární kuželosečky Rovina řezu prochází vrcholem kuželové plochy

Regulární kuželosečky

Ch. Taylor, Canada Place, Londýn, 2002

DG I, 13. přednáška ZRCADLENÍ ZRCADLENÍ ZRCADLENÍ ZRCADLENÍ

ZRCADLENÍ DG I, 13. přednáška

ZRCADLENÍ DG I, 13. přednáška Bod, ve kterém se světelný paprsek odráží od zrcadla lze najít podle principu úhel odrazu = úhel dopadu. A S A S ³

ZRCADLENÍ DG I, 13. přednáška Místo konstrukce bodu odrazu světelného paprsku zobrazujeme bod souměrný s daným bodem podle roviny zrcadla. Bodem vedeme kolmici k rovině zrcadla. Sestrojíme průsečík kolmice s rovinou zrcadla. Naneseme vzdálenost bodu od roviny zrcadla na kolmici za průsečík. Obraz přímky rovnoběžné s rovinou zrcadla je rovnoběžný s rovinou zrcadla. Průsečík přímky různoběžné s rovinou zrcadla a jejího obrazu leží v rovině zrcadla. S A A S z A ³

Deskriptivní geometrie I, FA ČVUT, ZS 2012/13 13. přednáška str. 1 Zrcadlení S oko A osvětlenýbod A S A z ζ rovinazrcadla 1 MP Jedánaúsečka AB(A[0 ;6;7], B[ 3 ;6;6])arovinazrcadla ζ(4 ;3;5). Zobrazte zrcadlení úsečky AB, tj. sestrojte obraz úsečky v rovinné souměrnosti podle roviny ζ. n ζ 2 A 2 B 2 x 12 O 12 A 1 B 1 p ζ 1

Deskriptivní geometrie I, FA ČVUT, ZS 2012/13 13. přednáška str. 2 n α x L D I A C K J B z 2 V PA je zobrazena krychle ABCDIJKL, jejíž stěna ABCD leží ve vodorovné rovině α. Zobrazené části nárysné a bokorysné stopy roviny α ohraničují roh bazénu. Břehjevrovině α,hladinaležívpůdorysně π(x,y). Sestrojte zrcadlový obraz krychle a břehu. m α y

Deskriptivní geometrie I, FA ČVUT, ZS 2012/13 13. přednáška str. 3 x=ζ1 x o z 3 VPAjezobrazenažidlesečtvercovým půdorysem ABCD, která stojí na půdorysně π(x,y). Rovina zrcadla je nárysna ν(x,z). Sestrojte zrcadlový obraz židle. Z O X Y y A y o C B

Deskriptivní geometrie I, FA ČVUT, ZS 2012/13 13. přednáška str. 4 4 A4 na výšku Pozn.: Zadání příkladu je předtištěno na str. 5. LP: H[9 ;18], v h =12, d=26 Zobrazte krychli ABCDIJKL, v jejíž stěně BCJK je vepsána kružnice. Dále zobrazte zrcadlení krychle, rovina zrcadla ζ je kolmá k základní rovině π.(stačí viditelné čáry.) R 1 R π Q π ZR =20 ABCD π Q 1 ζ 1 D 1 = L 1 C 1 = K 1 10 16 z 1 = σ 1 10 B A 1 = I 1 = J 1 1 3 8 2 Z 1 = H 1 8 5 A4 na šířku Pozn.: Zadání je předtištěno na str. 6. LP: H[16 ;14], v h =7, d=26 Je dána krychle ABCDIJKL(drátěný model); stěna ABCD leží v rovině α, která je rovnoběžná se základnírovinou πaje3cmnad π.vrovině αjeokrajbazénu,přímka b;stěnabazénujesvislá.rovina vodníhladinyje2cmnad π. Zobrazte krychli, okraj bazénu, čáru vodní hladiny ve svislé stěně bazénu a zrcadlové obrazy. C 1 = K 1 D 1 = L 1 b 1 10 B 1 = J 1 4 7 6 Z 1 = H 1 A 1 = I 1 10 30 z1= σ1 1

Deskriptivní geometrie I, FA ČVUT, ZS 2012/13 13. přednáška str. 5 R o Q o ζ o 1 Do C o H h I L K J R Q A o D C B o ζ 1 A B Z z d D/2

Deskriptivní geometrie I, FA ČVUT, ZS 2012/13 13. přednáška str. 6 I L K U H V D C A Z A o 1 z d D/2 J B h

Deskriptivní geometrie I, FA ČVUT, ZS 2012/13 13. přednáška str. 7 I L K U H V b D A D z C C z A z Z z K z L z d D/2 J B B z J z h

Deskriptivní geometrie I, FA ČVUT, ZS 2012/13 13. přednáška str. 8 6 A3našířku LP: H[16 ;18], v h =8, d=26 Je dána místnost tvaru krychle ABCDIJKL o straně 40, čtvercové podlaze je vepsána kružnice k(r,20). Vestěně CDLKjezrcadlo.Pozorovatelstojívedveřích,šířkadveříje10,výškaje15. Zobrazte část místnosti a kružnice. Dále zobrazte zrcadlové obrazy objektů. D 1 = L 1 40 C 1 = K 1 14 k 1 Z 1 = H 1 z 1 = σ 1 R 1 26 A 1 = I 1 10 5 5 20 B 1 = J 1 Pozn.:Předtiskynastranách9a10jsouzmenšenyprotisknaformátA4. S 1

Deskriptivní geometrie I, FA ČVUT, ZS 2012/13 13. přednáška str. 9 D o k o H h Z z d D/2 R o C o

Deskriptivní geometrie I, FA ČVUT, ZS 2012/13 13. přednáška str. 10 D o D T o k o H h T k C Z z R d D/2 R o C o