1. Opakování, značení - filtrace. X : (Ω, A) (E, E), pak symbolem

1. Opakování, značení - filtrace Bud (Ω, A) měřitelný prostor. Označme L(A) = {X : (Ω, A) (R, B)} množinu všech reálných A-měřitelných náhodných veličin, kde B = B(R) značí borelovskou σ-algebru na reálné přímce R. Je-li X : (Ω, A) (E, E), pak symbolem σ(x) = σ E (X) = {[X B]; B E} označujeme σ-algebru generovanou náhodnou veličinou X. Dále zkráceně píšeme L(σ(X)) = L(X). Je-li Y L(X), pak existuje h L(E) taková, že Y = h(x) a zápis Y L(X) pak čteme: reálná náhodná veličina Y je měřitelnou funkcí náhodné veličiny X. Je-li A σ-algebra, pak je generovaná kanonickou náhodnou veličinou σ-algebry A ve tvaru 1 A = (1 A, A A) : (Ω, A) (R, B) A, 1 která je reálným náhodným procesem indexovaným množinou A říkající, který z jevů A A nastal a který ne. Speciálně, je-li Y L(A) = L(1 A, A A), pak existuje h L(B A ) taková, že Y = h(1 A, A A). Je-li (Ω, A) měřitelný prostor a X(ω) = ω, ω Ω, pak X : (Ω, A) (Ω, A) je měřitelná náhodná veličina, které říkáme kanonické náhodná veličina na měřitelném prostoru (Ω, A). Je-li navíc, Ω R T, kde T R, pak X nazveme také kanonickým náhodným procesem. Proces X = (X t, t T ) je pak sestaven z projekcí X t (ω) = ω t, t T. Je-li ω R T, pak ω t = (ω s, s T t ) značí zúžení funcke ω : T R na indexovou množinu T t = {s T ; s t} všech (časových) indexů do času t. Funci ω t budeme také říkat funkce ω useknutá v čase t T. Bud (Ω, A) měřitelný prostor, neklesající systém (F t, t T ) pod σ-algeber A nazveme filtrací indexovanou indexovou množinou T R, formálně: s t, s, t T F s F t A. Přirozenou (kanonickou) filtrací náhodného procesu X = (X t, t T ) s indexovou množinou = T R a stavovým prostorem (E, E) rozumíme filtraci F X t = σ(x s, s T t ) = σ(x t ) = σ E T t (X t ) = {[X t B], B E Tt }. Je-li X t L(F t ), t T, pak říkáme, že proces X t je F t -adaptovaný a píšeme zkráceně X t A(F t ). Zřejmě pro reálný proces X platí: X t A(F t ) Ft X F t, t T. Pokud Y t A(F t ), pak pro každé t T platí Y t L(Ft X ) = L(X t ), existuje tedy h t L(E Tt ) taková, že Y t = h t (X t ). Poznámka: Je-li (F t, t T ) systém σ-algeber, pak F = t T F t je opět σ-algebra největší taková, že F F t, t T, formálně F = inf{f t ; t T } vzhledem ke svazovému uspořádání σ-algeber. Naopak A = t T F t je algebra, ale ne obecně σ-algebra. Symbolem F = t T F t = σ( t T F t ) = σ(a) označíme nejmenší σ-algebru obsahující F t, t T jako podmnožiny. Z hlediska svazového uspořádání můžeme psát F = t T F t = sup{f t ; t T }, tedy je to nejmenší horní mez. (1) Je-li C F t, t T, pak zřejmě také C A a protože A je algebra (a tedy uzavřená na konečné průniky), platí C σ(a) = F. (2) Podobně: jsou-li P, Q dvě pravděpodobnosti rovnající se na F t, t T, pak P = Q na A, a opět protože A je algebra (uzavřená na konečné průniky), platí P = Q na σ(a) = F. Bud (F t, t T ) filtrace na (Ω, A), označíme F = s T F s, F = σ( s T F s ) = s T F s. Dále T t = {s T : s < t}. Řekneme, že (reálný) stochastický proces X = (X t, t T ) je (zleva, zprava) spojitý, pokud jeho trajektorie X(ω) : t T X t (ω) je (zleva, zprava) spojitá funkce. 1 Zde a dále vypouštíme symbol, který používáme pro součin σ-algeber, měr a měřitelných a pravděpodobnostních prostorů běžně také používaný při označení příslušných mocninných σ-algeber a měřitelných prostorů. Zkráceně tedy budeme dále např. psát (Ω, A, P) 2 = (Ω, A, P) 2 = (Ω, A, P) (Ω, A, P) = (Ω 2, A 2, P 2 ) = (Ω 2, A 2, P 2 ) = (Ω Ω, A A, P P). 1

2 Cvičení Bud te X k, k N nezávislé kladné veličiny s hustotou f λ (x) = λe λx 1 [x>0]. Položme n (1) S n = X K, and N t = 1 [Sk t]. k=1 Ukažte, že N = (N t, t 0) je zprava spojitý proces startující z N 0 = 0 s neklesajícími trajektoriemi nabývající hodnot z N 0 s nezávislými přírůstky N t N s Po(λ t s ). Proces N = (N t, t 0) nazveme Poissonovým processem s intenzitou λ > 0. 2. Definice - martingaly [(spravdelivě) oceňující, ohodnocující proces ] Bud (F t, t T ) filtrace na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P). Řekneme, že integrovatelný proces X t A(F t ) je F t -martingal, pokud X s = E[X t F s ], F t -submartingal, pokud X s E[X t F s ] a F t - supermatingal, pokud X s E[X t F s ] - kdykoli s t pro s, t T. Interpretace Pro F t -martingal a s t z T požadujeme X s = E[X t F s ], což interpretujeme tak, že X s je (spravedlivým) věrným F s -odhadem veličiny X t. Hodnota procesu X s tak poskytuje stochasticky vyvážený F s -měřitelný odhad budoucích hodnot procesu X. Proces X t jako F t -martingal se pak používá k modelování (spravedlivého) věrného ocenění (ohodnocení) očekávaných finačních toků. Tato interpretace plně podpovídá případu, kdy existuje veličina X L(F ) taková, že X t = E[X F t ], t T. V této souvislosti je také užitečná představa procesu X jako (věrně, nestranně) střílejícího procesu a veličiny X jako odpovídajícího cíle. Obecně si lze martingal předstvovat jako stochasticky vyvážený hledající proces. Ve výše uvedeném případě pak lze řící, že cíl X L(F ) je nalezen. Pokud taková veličina neexistuje, pak lze opět interpretovat martingal jako hledající proces, přičemž odpovídající cíl neexistuje. To souvisí s explozivním charakterem martingalu v takovém případě vycházející z postupného rozčilení, že to, co hledá neexistuje. Následkem takového rozčilení martingalu může být to, že v limitě (po explozi) ztratí svou úroveň EX s = EX t, kterou si ze své podstaty v konečných deterministických časech zachovává. Po F t -submartingalu pro s t z T požadujeme X s E[X t F s ], což znamená, že veličina X s je dolním F s - měřitelným odhadem budoucích hodnot procesu X t. Bereme-li proces X jako odhad budoucích hodnot, pak tento proces budoucí hodnoty (sub=pod) podhodnocuje (podceňuje) popř. podstřeluje. Opět jako speciální případ můžeme uvažovat situaci, kdy existuje veličina X L(F ) taková, že X t E[X F t ], t T. V takovém případě proces X t svůj cíl opět zasáhne. V tomto případě si můžeme představovat, že je to proces, který svůj cíl nadhání spíše zespoda a očekává, že jej nalezne spíše nahoře. V případě, že uvedená cílová veličina neexistuje, interpretujeme to tak, že cíl, který proces hledal, neexistuje, což se opět může projevit poklesem úrovně procesu X t, t T po explozi (v nekonečnu), přestože je jeho úroveň EX t, t T neklesá. Analogicky po F t -supermartingalu pro s t z T požadujeme X s E[X t F s ], což znamená, že veličina X s je horním F s -měřitelným odhadem budoucích hodnot procesu X t. Bereme-li opět proces X jako odhad budoucích hodnot, pak tento proces budoucí hodnoty naopak (super=nad) nadhodnocuje (přeceňuje) popř. přestřeluje. Zde ponechvám čtenáři k analogickému doplnění případy, kdy existuje cíl, který proces z principu přestřeluje a kdy hledaný cíl neexistuje, a proto proces po explozi svou nerostoucí úroveň může EX t, t T povznést. Za poznámku už jen stojí poznamenat, že slovo,,super zde neznamená: že proces nejspíše půjde nahoru, ale naopak. Super zde znamená (bezmezný) optimismus, který je budoucím vývojem krocen, což se projevuje v možném poklesu jeho úrovně. Naopak submartingal jako podhodnocující proces se vymezuje opatrností proti pádu a tím získává potenciál k růstu, což se projevuje v jeho neklesající úrovni. O martingalu pak lze řící, že je to proces, který kráčí (zlatým) středem. Lemma 1 Necht T R je lokálně konečná množina 2 a X t A(F t ) je integrovatelný proces indexovaný T. Pak X t je F t -martingal (super/sub) právě tehdy, když (2) s, t T s < t (s, t) T = X s = E[X t F s ] (, ). Pokud (s, t) T =, říkáme, že body s, t T jsou sousedé. Důkaz: Je-li proces X t F t -martingal (super/sub), pak (2) platí z definice (, ). Platí-li naopak (2), pak platí V (0), kde V (n) : s, t T s < t card(s, t) T = n X s = E[X t F s ] (, ). 2 Tj. (a, b) T je konečná množina pro každé a < b. k=1

3 Necht nyní n N. Indukcí ukážeme, že platí V (n) za přepodkladu, že platí V (k) pro k < n. Necht card(s, t) T = n N. Existuje tedy r (s, t) T, pak n 1 = card(s, r) T < n a n 2 = card(r, t) T < n. Z indukčního předpokladu platnosti V (n 1 ), V (n 2 ) pak dostáváme (ne)rovnost X s = E[X r F s ] = E[E(X t F r ) F s ] = E[X t F s ] (, ). Poznámka: Martingal má konstantní střední hodnotu, submartingal neklesající a supermartingal nerostoucí. Lemma 2 Necht X t je F t -super/sub-martingal. Je-li EX t konstantní, pak X t je F t -martingal. Důkaz: Pro submartingal. Bud te s, t T a s < t, pak Y = E[X t F s ] X s 0 a EY = EX t EX s = 0. Pak nutně Y = 0, tj. X s = E[X t F s ]. Lemma 3 Necht proces X = (X t, t T ) je F t -martingal (super, sub). Je-li filtrace (G t, t T ) sevřená mezi Ft X G t F t, pak proces X je také G t -martingal (super, sub). Důkaz: Z předpokladů plyne, že X t L 1 (Ft X ) L 1 (G t ), t T. Jinak bud te s, t T takové, že s < t. Pak protože G s F s a X s L 1 (G s ), platí E[X t G s ] = E[E(X t F s ) G s ] = E[X s G s ] = X s (, ). Řekneme, že proces X = (X t, t T ) je martingal (supermartingal, submartingal), je-li F X t - martingal (super/sub). Ekvivalentně je proces martingal (super/sub), je-li vzhledem k nějaké filtraci, přičemž vždy lze uvažovat kanonickou. Bud te X k, k N nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny. O procesu S n = n k=1 X k pak řekneme, že je to náhodná procházka s krokem X n = S n S n 1. Bud navíc (F k, k N 0 ) filtrace. Pak řekneme, že proces S n je F n -náhodná procházka, pokud S n A(F n ) a pokud její krok X n+1 = S n+1 S n je nezávislý s F n pro n N 0. Příklady Bud S n F n -náhodná procházka s krokem X n = S n S n 1. (1) Je-li X 1 L 1, pak S n = S n ES n = S n n EX 1 je F n -martingal. (2) Je-li X 1 L 2, pak V n = S 2 n ES2 n = S2 n nσ2 je F n -martingal, kde σ 2 = var(x 1 ). (3) Je-li α R a β = ln E exp{αx 1 } R, pak E n = exp{αs n nβ} je F n -martingal. (1*) Bud N t Poissonův proces s intenzitou λ > 0. Pak proces M t = N t EN t = N t λt je martingal. (2*) Proces V t = M 2 t EM 2 t = M t λt je F N t -martingal, kde F N t = F M t F V t. 3 (3*) E t = exp{αn t βt} je martingal právě tehdy, když EE t = 1, t 0. Proces W = (W t, t 0) se nazývá Wienerův, pokud (a) W 0 = 0 a jeho trajektorie W (ω) = (W t (ω), t 0) jsou spojité (b) W t W t W s N(0, t s) pro 0 s t. Ekvivalentně je proces W Wienerův, pokud splňuje (a) a pokud (b ) je centrovaný Gausovský proces s autokovariancí cov(w s, W t ) = s t pro s, t 0. (1 ) Wienerův proces W t je martingal. (2 ) V t = Wt 2 t je Ft W -martingal. (3 ) E t = exp{λw t 1 2 λ2 t} je martingal. V bodech (3),(3*),(3 ) lze také uvažovat α, β, λ C komplexní. Příklad Necht Y L 1 (Ω, A, P) a (F t, t T ) je filtrace na (Ω, A). Pak proces Y t = E[Y F t ], t T je F t -martingal. Tvrzení 1 Necht (F t, t T ) a (G t, t T ) jsou nezávislé filtrace, tj. F a G jsou nezávislé σ-algebry. Je-li X t F t -martingal (super/sub), pak je také F t G t -martingal (super/sub). 3 Zde platí F M t = F M t = F M 2 t = F V t,

4 Důkaz: Bud te (s, t) T (2), F F s, G G s. Pak z nezávislosti G G F σ(1 F, E[X t F s ], X t ) dostaneme, že 4 F G E[X t F s ] dp = E[1 G 1 F E[X t F s ]] = P (G) F E[X F] dp = P (G) F X t dp = P (G) E[X t 1 F ] = E[1 G X t 1 F ] = F G X t dp. Ověřili jsme tedy stabilitu (3) H X t dp = H E[X t F t ] dp pro množiny H H = {F G : F F s, G G s } Ω tvořící systém uzavřený na konečné průniky. Protože množina všech H F s G s vyhovující (3) tvoří Dynkinův systém, platí rovnost (3) pro každé H σ(h) = F s G s. Protože E[X t F s ] L 1 (F s ) L(F s G s ), platí E[X t F s ] = E[X t F s G s ] = X s. Tvrzení 2 Necht X t, t T je F t -martingal nábývajících skoro jistě hodnot v množině D R. Je-li g : D R konvexní funkce taková, že g(x t ) L 1, tj. je-li g(x t ) integrovatelný proces, pak g(x t ) je F t -submartingal. Důkaz: Použitím Jensenovy nerovnosti pro podmíněnou střední hodnotu dostaneme, že E[g(X t ) F s ] g(e[x t F s ]) = g(x s ), (s, t) T (2). Poznámka: Jensenova nerovnost pro podmíněnou střední hodnotu platí pro konvexní funkci na konvexní podmnožině v R k. Stačí uvažovat podmíněnou střední hodnotu jako střední hodnotu vůči podmíněnému rozdělení na R k, které vždy exisuje, nebot R k je separabilní metrický prostor. Tvrzení 3 Necht X t, t T je F t -submartingal s hodnotami skoro jistě v konvexní množině D R a g : D R neklesající konvexní. Je-li proces g(x t ) integrovatelný, pak je to F t -submartingal. Důkaz: Použitím Jensenovy nerovnosti pro podmíněnou střední hodnotu dostaneme, že E[g(X t ) F s ] g(e[x t F s ]) g(x s ), (s, t) T (2). 4 Od nyní budeme používat následující značení T (k) = {t T k ; t 1 < < t k } pro množinu všech rostoucích posloupností délky k N nabývajících hodnot v množine T. Pro snadnější přietí tohoto značení zde uvedeme i odpovídající odůvodnění. Symbolem A B = {f : B A} v teorii množin označujeme množinu všech zobrazení z B do A. Výhodou tohoto značení je umožňění formálního přípstupu k výpočtu její kardinality A B = A B. Dále připomenenme, že v teorii množin definujeme 0 = = {} což je prototyp 0-prvkové množiny (a také jediná taková množina), dále 1 = {0} = { } = {{}}, což je prototyp 1-prvkové množiny a nakonec 2 = {0, 1} = {, { }} = {{}, {{}}} jako prototyp dvouprvkové množiny. Pak tedy A 2 = A {0,1} je množina všech zobrazení z dvouprvkové množiny 2 = {0, 1} do A a tuto množinu ztotožňujeme s kartézským součinem A A = A 2 = {(a, b); A, b A}, což vnímáme jako množinu všech uspořádaných dvojic (a, b) = {a, {a, b}} množiny A. Podobně A k ztotožňujeme s k-násobným kartézským součinem A... A, pro k N. Dále připomeneme, že množinou všech k-prvkových podmnožin množiny A značíme ( ) A k. Pomocí kombinací lze ověřit, že počet prvků odpovídá čistě formálními zápisu ( ) ( A A ) k = k. Podobně jako kombinace můžeme modelovat pomocí k-prvkových podmnožin, můžeme variace množiny A modelovat pomocí prostých posloupností. Symbolem A [B] = {f A B : f je prostá } pak definujeme množinu všech prostých zobrazení z množiny B do množiny A. Je-li B = k N, pak A B = A [ B ], kde využíváme označení x [k] pro k-tou (sestupnou) faktoriální mocninu k 1 x [k] = (x j) = x (x 1)... (x k + 1). j=0 Zajímáme-li se o uspořádané prosté posloupnosti ve smyslu rostoucí či klesající, pak se nabízí nabízené značení A (B) = {f : B A; f rostoucí }, které má zejména tu výhodu, že počet prvků opět můžeme spočíst čistě formálně A (k) = ( ) ( A A ) k = k = A [k] k!, kdy se množina A jakoby vyhoupne do závorek () nad číslo k.

5 3. Kompenzátory Bud (F t, t T ) filtrace. Pro t T označme T t = {s T ; s < t} a dále F t = F t = F, pokud t = min T F t = F s = σ(f s ; s T t ), s T t pokud t > inf T. Pak (F t, t T ) je filtrace a my jí budeme říkat prediktabilní filtrace k filtraci F t (či prediktabilní filtrace filtrace F t ). Proces H t A(F t ) adaptovaný na prediktabilní filtraci budeme nazývat F t -predikovatelný (prediktabilní) proces. Příklady: a) T = N 0, pak F 0 = F 0 a pro n N platí F n = F n 1. Proces H je pak F n -predikovatelný právě tehdy, když je předvídatelný o krok dopředu, tj. H 0 L(F 0 ), H n L(F n 1 ), n N. Predikabilní proces si můžeme představit jako proces, kterým modelujeme naši investiční strategii. Pomocí adaptovaných procesů které nemusí být predikovatelné naopak modelujeme vnější vlivy, které nás bezprostředně ovlivňují. Bud F n L(F n ) cena futures kontraktu v čase n N 0, tj. proces F n A(F n ) je F n -pozorovatelný a H n L(F n 1 ) pro n N bude představovat množství uzavřených futures kontraktů pro časový interval (n 1, n). Na tomto intervalu se cena futures změní o hodnotu F n = F n F n 1 a my si pak na svůj účet můžeme připsat hodnotu H n (F n F n 1 ) = H n F n, což se dá interpretovat tak, že jsme na hru o výplatě F n = F n F n 1 sadilli sázku o velikosti H n, kterou jsme ovšem museli stanovit před započetím hry již v čase n 1 pro n N. 5 Celková naše výhra v čase m N pak bude činit m m V m = H n F n = H n (F n F n 1 ), n=1 což je diskrétní analogie stochastického integrálu zaváděného v přednášce stochstická analýza. Na závěr jen opět připomeňme, že inegrované procesy H t A(F t ) představují (intervenční) investiční (predikovatelné) strategie a procesy F t A(F t ), podle kterých se integruje, naopak představyjí často cenu akcie (zboží), měnový kurs či cenu futures a ty reprezentují (více či méně nepředvídatelné) vnější vlivy. b) Je-li X = (X t, t 0) zleva spojitý proces, je také F X t -predikovatelný. Zřejmě X 0 L(F X 0 ) = L(F X 0 ), X t = n=1 lim X s L(X s, s < t) = L(Ft X ), t > 0. Q s t Zleva spojité procesy jsou tedy vhodnými kandidáty proto, aby se daly stochasticky integrovat. c) Je-li N t = k=1 1 [S k t] Poissonův proces, pak N t není F t -predikovatelný proces. Ukážeme, že existuje t > 0 takové, že N t L(N s, s < t) = L(Ft N ). Bud ω 1 Ω libovolné a položme t = S 1 (ω) > 0. Pak P (N t = 0) > 0, a tedy existuje ω 2 [N t = 0]. Pak N s (ω 1 ) = 0 = N 2 (ω 2 ) platí pro s < t, ale N t (ω 1 ) = 1 0 = N 1 (ω 2 ). Tedy N t L(N s, s < t) a dokonce N t není žádnou (ani neměřitelnou) funkcí (N s, s < t). Poissonův proces se používá k modelování vnějších značně nepředvídatelných událostí jako jsou pojistné události S n, n N či doby poruchy přístroje způsobené obtížně předvídatelnou poruchou jednoduché součástky jako je např. žárovka s exponenciální dobou dožití. Tento proces se zjevně nedá použít pro modelování naší strategie. Dovedeno do absurdna bychom pak pojistnou smlouvu uzavřeli až v čase, kdy pojistná událost nastane s ohledem na velikost pojistné škody, což popírá základní principy pojistění. Bud X t A(F t ). Řekneme, že proces F t-predikovatelný proces K t A(F t ) je F t -kompenzátorem procesu X, pokud proces M t = X t K t je F t -martingal. Poznámka: Bud W = (W t, t 0) Wienerův proces. To je zřejmě martingal a také zleva spojitý proces, tedy predikovatelný vzhledem ke kanonické filtraci. Pak jeho kompenzátorem je opět jakýkoli F W t - martingal a pojem kompenzátoru vzhledem k takovéto filtraci nemá valný význam. Naopak, je-li T = N 0, pak takový netriviální příklad predikovatelného martingalu neexistuje a to stojí v pozadí následujícího tvrzení, které ukazuje, jak takový kompenzátor vypadá. 5 Hodnota H 0 je v tomto přípdadě naprosto nepodstatná.

6 Tvrzení 4 Bud X = (X n, n N 0 ) F n -adaptovaný integrovatelný proces. Pak F n -predikovatelný proces K n je F n -kompenzátorem procesu X právě tehdy, když n (4) K n = K 0 + E[X k X k 1 F k 1 ], kde K 0 L 1 (F 0 ). k=1 Důkaz: Necht K n je F n -kompenzátor procesu X n. Pak M n = X n K n je F n -martingal. Platí tedy 0 = E[M n M n 1 F n 1 ] = E[X n X n 1 (K n K n 1 ) F n 1 ] = E[X n X n 1 F n 1 ] (K n K n 1 ), nebot K n, K n 1 F n = F n 1 platí pro každé n N. Dále X 0 M 0 = K 0 L(F 0 ) musí být integrovatelná veličina, nebot X 0, M 0 L 1. Nasčítáním pak dostaneme n n K n = K 0 + (K k K k 1 ) = K 0 + E[X k X k 1 F k 1 ]. k=1 Naopak proces K n definovaný rovností (4 - všude) je F n -predikovatelný, což lze ověřit indukcí s pomocí Pak M n = X n K n L 1 (F n ) pro n N a K k = K k K k 1 = E[X k X k 1 F k 1 ] L 1 (F k ), k N. Tedy proces M n = X n K n je F n -martingal. k=1 E[M n M n 1 F n 1 ] = E[X n X n 1 F n 1 ] K n = 0. Příklady a) Necht S n je integrovatelná náhodná procházka s krokem X n = S n = S n S n 1 L 1. Pak její kompenzátor pro T = N 0 je tvaru K 0 + nex 1, kde K 0 L 1 (F S 0 ) = L({, Ω}) R. b) Je-li S n = S n ES n centrovaná náhodná procházka s krokem X n = S n = S n S n 1 L 2, pak S 2 n je F n -submartingal s F S n-kompenzátorem ve tvaru K 0 + nσ 2, kde K 0 R a σ 2 = var(x 1 ) = EX 2 1. c) Je-li N t Poissonův proces s intenzitou λ > 0, pak má např. kompenzátor K t = K 0 + λt, kde K 0 R. Poznámka: Integrovatelný F n -adaptovaný proces (X n, n N 0 ) je F n -martingal (super/sub) právě tehdy, když jeho F n -kompenzátor je skoro jistě konstatní (nerostoucí, neklesající), tj. 0 = E[X n X n 1 F n 1 ] = K n (, ), n N. 4. Markovský čas (průběžně pozorovatelná událost) Necht (F t, t T ) je filtrace. Řekneme, že τ : Ω T { } je F t-markovský čas, ozn. τ MČ(F t ), pokud [τ t] F t platí pro každé t T. Ekvivalentně τ MČ(F t) 1 [τ t] A(F t ), což znamená, že čas τ je markovský právě tehdy, když jeho (jednobodový) čítací proces 1 [τ t] je průběžně pozorovatelný na základě filtrace F t. Lemma 5 (i) Je-li τ : Ω T { } F t -markovský čas, pak [τ = t] F t, t T. (ii) Je-li τ : Ω S { }, kde S T je spočetná, pak τ MČ(F t) [τ = s] F s, s S. Důkaz: (i) Zřejmě [τ < t] = s St [τ s] F t, kde S t T t je spočetná hustá zprava. Potom také [τ = t] = [τ t]\[τ < t] F t, t T. (ii) Ukážeme pouze zpětnou implikaci, přímá plyne z bodu (i). Bud t T, pak [τ t] = s St [τ = s] F t, nebot [τ = s] F s pro s S t = {s S; s t}. Příklad Bud X > 0 kladná reálná náhodná veličina a N t = 1 [X t] její čítací a I t = 1 [X=t] její indikátorový proces. Pak,,obecně X MČ(F t N)\MČ(F t I ), nebot F I t = σ([x = s], s t) = {[X S], [X S]; S [0, t] spočetná } obecně neobsahuje množinu typu [X t].

7 Tvrzení 6 Necht X = (X t, t T ) je F t -adaptovaný integrovatelný proces. Pak X t je F t -martingal právě tehdy, když (5) MČ(F t) τ : Ω {s, r} T EX s = EX r = EX τ, což se dá interpretovat, že F t -martingal je proces, který kromě toho, že si zachovává svou úroveň EX t v deterministických časech t T si také zachovává svou úroveň v F t -markovských časech τ nabývajících dvou hodnot z T. Důkaz: Platí-li (5), (s, r) T (2) a A F s, pak τ = s 1 A + r 1 Ω\A : Ω {s, r} T je F t -markovský čas, nebot [τ = s] = A, [τ = r] = Ω\A F s a dle předpokladu tak platí 0 = EX r EX τ = E(X r X τ ) = E[(X r X s )1 A ]. Je-li naopak proces X t F t -martingal a MČ(F t) τ : Ω {s, r} T, pak pro s t máme A = [τ = s] F s, a tedy 0 = E[(X r X s )1 A ] = E[(X r X τ )1 A ] = E(X r X τ ) = EX r EX τ. Tedy proces X si zachovává úroveň v čase τ. Příklady (i) Necht S n je F n -adaptovaný proces a B B(R), pak τ = inf{n N 0, S n B} MČ(F n), nebot [τ n] = k n [S k B] F n. (ii) Bud N t = k=1 1 [S k t] Poissonův proces. Pak S k jsou F N t -markovské časy, nebot [S k t] = [N t k] F N t, t 0. Tvrzení 8 Necht T R je uzavřená množina a τ n MČ(F t), n N. Pak τ = sup{τ n ; n N} MČ(F t) Důkaz: Protože je T uzavřená množina, platí τ : Ω T { }. Dále [τ t] = n N [τ n t] F t, t T. Poznámka Je-li S R lokálně konečná množina a x R, pak symbolem x S = sup{s S; s x} S { } značíme zaokruhlení x dolů vzhledem k S a symbolem x S = inf{s S; s x} S { } zaokruhlení nahoru vzhledem k S. Je-li τ MČ(F t, t T ) a S T lokálně konečná, pak τ S MČ(F t, t T ) MČ(F s, s S), nebot [ τ S t] = [ τ S t S ] = [τ t S ] F t S F t, t T. Bud (X t, t T ) reálný náhodný proces, B B(R) a τ : Ω T { }. Pak předpisem ρ B,τ = inf{t T ; t τ, X t B} definujeme čas (okamžik) prvního výstupu procesu X z množiny B po čase τ. Tvrzení 9 Necht X t A(F t, t T ), τ MČ(F t) a B B(R). Je-li S T lokálně konečná, pak ρ = inf{s S, s τ, X s B} MČ(F t, t T ). Důkaz: Bud t T, pak [ρ t] = [τ s] [X s B] F t, s S t kde S t = {s S; s t} S je spočetná. Tvrzení 10 Bud T R uzavřený (nedegenerovaný) interval, X t A(F t, t T ), τ MČ(F t). Je-li X t spojitý, G R otevřená, pak ρ G,τ MČ(F t). Důkaz: Protože je množina G otevřená, platí ρ B,τ = min{t T ; t τ, X t B},

8 přičemž min = inf =. Je-li totiž t n T t posloupnost taková, že X tn F = R\G, pak t T, nebot T je podle předpokladu uzavřená množina a také X t = lim X tn F = R\G, nebot proces X je spojitý (zprava) a F je uzavřená množina. Nyní se pousíme čas ρ G,τ výstupu z otevřené množiny předvídat výstupem z vepsaných uzavřených množin F ε = {x G; dist(x, F ) ε}. Protože dist(x, F ) je infimem 1-lipschitzovských funkcí a je také 1-lipschitzovská, a tedy spojitá. Pak odpovídající vzor F ε uzavřené množiny [ε, ) je uzavřená množina. Bud nyní t T pevné. Pak s využitím toho, že v definici ρ G,τ se infima nabývá, můžeme psát Bud S T hustá spočetná podmnožina. Zřejmě A = s S [ρ G,τ t] = [ρ G,τ < t] [X t G]. Q ε>0 přičemž platí 6 [ρ G,τ < t] A [ρ G,τ t]. Pak tedy [X s F ε ] F t [ρ G,τ t] = [ρ G,τ < t] [X t G] = A [X t G] F t. Poznámka: Je-li τ MČ(F t) a r T, pak τ r MČ(F t), nebot [τ r t] = [τ t] F t pro t < r T a [τ r t] = Ω F t pro t r T. Věta (Optional Stopping Theorem) Bud (X n, n N 0 ) F n -martingal (super, sub) a τ MČ(F n). Pak X τ n je F n -martingal (super, sub). Důkaz: Protože MČ(F k) τ n n, pro k n platí [τ n = k] F k F n a m X τ n = X k 1 [τ n=k] L 1 (F n ), Zřejmě X τ n X τ (n 1) = (X n X n 1 ) 1 [τ>n 1], kde [τ > n 1] F n 1. Platí tedy k=0 E[X τ n X τ (n 1) F n 1 ] = 1 [τ>n 1] E[X n X n 1 F n 1 ] = 0 (, ). Dále budeme využívat symbol E[X; A] = E[X 1 A ], který bude značit střední hodnotu reálné náhodné velčiny X na množině A. Je-li X = (X t, t T ) (zobecněný) reálný náhodný proces, pak symbolem X t = sup X s = sup X t, t T { } s T t značíme průběžné (historické) maximum procesu X do času t. Dále pak symbolem X t = X t = sup s T t X s, t T { } značíme průběžné (historické) maximum absolutní hodnoty tohoto procesu. Věta (Submartingalová maximální nerovnost) Necht (X k ) n k=0 je submartingal, pak pro ε > 0 platí P (X n ε) 1 ε E[X n; X n ε] 1 ε EX+ n. Důkaz: Protože τ = inf{k = 0,..., n : X k ε} MČ(F X k ), platí [τ = k] F k pro k n. Dále 6 Jde lze vložit odůvodnění [X n ε] = [X τ ε] = [τ n].

9 Z předpokladu, že X n je F n -submartingal a z definice podmíněné střední hodnoty, pak dostáme, že n n EX n + E[X n + ; τ n] E[X n ; τ n] = E[X n ; τ = k] = E[X k ; τ = k] k=0 = E[X τ ; X τ ε] ε P (X τ ε) = ε P (X n ε). Věta (momentová maximální nerovnost pro martingal) Bud (X k ) n k=0 martingal a r > 1, pak E( X n) r ( r r 1 )r E X n r. k=0 Důkaz: Zřejmě můžeme předpokládat, že 0 = X n L r v opačném případě je levá strana vzhledem k předpokladu X k = E[X n Fk X] nulová nebo pravá. Pak z nerovnosti7 E X k r E X n r dostaneme n 0 < E X n r E( X n) r E X k r (n + 1) E X n <. Ze vzorce pro výpočet střední hondoty z doplňkové distribuční funkce pro nezáporné veličiny E Y r = 0 P ( Y r x) dx = r 0 P ( Y y) y r 1 dy a s využitím maximální nerovnosti pro submartingal X n a Fubiniho věty dostaneme k=0 E( X n) r = r 0 P ( X n x) x r 1 dx r 0 E[ X n ; X n x] x r 2 dx = r r 1 E[ X n ( X n) r 1 ]. Dále použijeme Hölderovu nerovnost s koeficienty p = r a q = (1 1 r ) 1 = E[ X n ( X n) r 1 ] (E X n r ) 1 r [(E X n ) r ] r r 1. r, přičemž dostaneme r 1 Poskládáním obou nerovností a pokrácením dostaneme nerovnost pro normu v L r ve tvaru [E( X n) r ] 1/r což je ekvivalentní zápis požadované nerovnosti. r [E( X r 1 n ) r ] 1/r, 5. Zprava spojité martingaly L 2 -martingaly. Věta (momentová maximální nerovnosti pro zprava spojité martingaly) Bud (X t ) [0,n] zprava spojitý F t -martingal, kde n N. Pak pro každé r > 1 platí (6) E( X n) r ( r r 1 )r E X n r. Důkaz: Bud T m = {k 2 m, k S m }, kde S m = {0,..., n 2 m }. Pak (X k2 m) n2m k=0 je F k2 m-martingal a dle momentové maximální nerovnosti pro diskrétní martingaly platí E sup t T n X t r = E sup k S n X k2 m r ( r r 1 )r E X n r. Nerovnost (6) pak plyne limtním přechodem s pomocí Léviho věty o monotonní konvergenci. Poznámka: Je-li (X t, t 0) F t -martingal L 2 -integrovatelný (jinak L 2 -martingal vzhledem k F t ), pak z momentové maximální nerovnosti pro diskrétní martingaly dostaneme odhad E( X t ) 2 4E X t 2 <. Speciálně je tedy proces X t L 2 -integrovatelná majoranta pro proces X t. Této majoranty budeme v této části využívat v limitních přechodech při aproximaci markovských časů zprava pomocí odpovídajících zaokrohlení ze shora. Pro jistotu připomeňme, že zaokrouhlení markovského času ze shora vhledem k lokálně konečné množině je opět markovský čas vzhledem k filtraci indexované touto lokálně konečnou podmnožinou. Formálně pro τ MČ(F t, t 0) a T [0, ) lokálně konečnou platí τ T MČ(F t, t 0) MČ(F t) T. Je-li T n [0, ) rostoucí posloupnost lokálně konečných podmnožin postupně zahušt ující [0, ), pak (7) MČ(F t) T MČ(F t) Tn τ n = τ Tn τ a platí X τn X τ, 7 Jde o Jensenovu nerovnost pro podmíněnou střední hodnotu, která říká, že X r k E[ X n r F X k ], kde X k = E[X n F X k ]. Tady využíváme toho, že funkce x x r je konvexní pro r 1.

10 kde T = n T n, pokud proces (X t, t 0) je zprava spojitý. Tvrzení 8 Necht (X t, t 0) je zprava spojitý F t -martingal a τ MČ(F t). Bud te T n rostoucí posloupnost lokálně konečných podmnožin [0, ) tuto množinu postupně zahušt ujících, pak pro τ n = τ Tn platí X t τn L 1 X t τ, t 0. Poznámka Pokud je proces X t navíc L 2 -integrovatelný, pak okamžitě máme dokonce silnější tvrzení X t τn L 2 X t τ, t 0, nebot máme k dispozici L 2 -integrovatelnou majorantu X t L 2 pro posloupnost X t τn, n N. Důkaz: Protože, jak víme, platí τ n τ, platí také t τ n t τ pro n. Z předpokladu spojitosti zprava tak dostáváme X t τn X t τ. Zbývá tedy ukázat stejnoměrnou integrovatelnost posloupnosti X t τn. Protože (X s ) Tn {t} je F s -martingal, a tedy X s je F s -submartingal, platí pro k 0, že E[ X t τn ; X t τn k] = E[ X s ; X s k, t τ n = s] s T n {t} s T n {t} E[ X t ; X s k, t τ n = s] = E[ X t ; X t τn k], nebot [ X s k, t τ n = s] F s. Speciálně pro k = 0 dostanem, že E X t τn E X t. Dále P ( X t τn k) 1 k E X t τ n 1 k E X t = δ k 0, k. Platí tedy sup n N E[ X t τn ; X t τn k] sup{e[ X t ; A]; A F t, P (A) < δ k } 0 pro k. Poznámka: Pro potřeby důkazu věty optional stopping theorem pro zprava spojité procesy připomeneme odpovídající diskrétní verzi ovšem v trochu pozměněném tvaru, který je snadným důsledkem původní věty. Bud T [0, ) lokálně konečná množina a (X t ) T F t -martingal a τ MČ(F t). Pak X t τ je F t -martingal. Věta (Optional Stopping Theorem) Bud (X t, t 0) zprava spojitý F t -martingal a τ MČ(F t). Pak X τ t je opět zprava spojitý F t -martingal. Důkaz: Bud te 0 u < v < pevné a {u, v} T n [0, ) rostoucí posloupnost lokálně konečných podmnožin postupně zahušt ujících [0, ). Pak pro každé n N platí τ n = τ Tn MČ(F t) Tn. Protože (X t ) Tn je diskrétní F t -martingal, máme dle v poznámce zmíněné prafrázované diskrétní verze Optional Stopping Theorem, že (X t τn ) Tn je F t -martingal, kdykoli n N. Protože (u, v) T n (2), platí E[X v τn F u ] = X u τn. Protože 9 X t τn L 1 X t τ pro t {u, v}, dostaneme limitním přechodem pro n rovnost E[X v τ F u ] = X u τ. O zprava spojitém F t -adaptovaném procesu (X t, t 0) řekeneme, že je to lokání F t -martingal, pokud existuje posloupnost,,varovných časů MČ(F t) τ n takových, že zastavený přírůstkový proces X t τn X 0 je F t -martingal. Poznámka: Je-li X t zprava spojitý F t -martingal, pak je také lokálním F t -martingalem. Stačí volit posloupnost varovných časů τ n =. Poznámka: Bud (X t, t 0) spojitý F t -martingal. Podle tvrzení 10 je τ n = inf{t 0 : X t X 0 n} MČ(F t). Zřejmě Y t = X t X 0 je také spojitý F t -martingal, přičemž zastavený proces Y t τn je omezený v absolutní hodnotě hodnotou n N. Podle bodu (ii) předcházející poznámky tak je takto zastavený proces F t - martingal. Každý spojitý F t -martingal se tedy dá takto zastavit do omezeného F t -martingalu. 8 Tvrzení i s důkazem lze vynechat, pokud nám stačí Optional Stopping Theorem pouze pro zprava spojité L 2 -martingaly. 9 V L 2 -případě bychom využili integrovatelné majoranty X v L 2 a konvergence X t τn L 2 X t τ, n.

11 Tvrzení Nezáporný lokální F t -martingal X t startující z X 0 L 1 je F t -supermartingal. Důkaz: Bud τ n MČ(F t) posloupnost varovných časů takových, že X t τn X 0 je F t -martingal. Pak také X t τn je F t -martingal a platí X t = lim X t τn Z Fautova lemmatu pro podmíněnou a nepodmíněnou střední hodnotu a s [0, t] tak dostaneme EX t lim inf EX t τ n = EX 0 <, tj. X t L 1 E[X t F s ] lim inf E[X t τ n F s ] = lim X s τ n = X s, nebot X t τn je F n -martingal. Podmíněné Fatouovo lemma Bud te 0 X n L 1 (Ω, A, P ), n N a F A σ-algebra. Pak X = lim inf X n L 1 0 E[X F] lim inf E[X n F n ]. Důkaz: Použijeme Léviho větu o monotónní konvergenci pro podmíněnou střední hodnotu. Zřejmě platí 0 inf k n X k X L 1. Pak tedy 0 E[X F] = lim E[inf F] lim inf E[X k F] = k n k n lim inf E[X n F]. Poznámka: (i) Poznamenejme, že každý supermartingal, který si zachovává svou střední hodnotu (úroveň) je martingalem. Pokud si tedy nezáporný lokální martingal zachovává svou střední hodnotu (která může u supermatingalu maximálně klesat), je to martingal. (ii) Je-li X t zdola omezený lokální martingal, je zcela podobně supermartingalem a naprosto analogicky shora omezený lokální martingal je submartingalem. Dohromady tak dostáváme, že omezený lokální martingal je martingalem. 6. Wienerův proces a princip invariance Bud te X n R{ 1, 1}, n N 0 nezávislé náhodné veličiny s rovnoměrným rozdělením na dvouprvkové množině { 1, 1}. Označme odpovídající náhodnou procházku n S n = X k, kterou budeme nazývat symetrickou náhodnou procházkou. Cvičení (i) Na základě principu zrcadlení pro symetrickou náhodnou procházku ukažte, že platí P (S n k) = 2P (S n k) kdykoli n + k je liché číslo pro k, n N. (ii) Na základě CLV (a stejnoměrné konvergence distribučních funkcí) ukažte, že P (S n k) 1 pro n. 2 (iii) Ukažte, že τ k = inf{n N 0, S n = k} MČ(F n X ) splňuje τ k <. (iv) Ukažte, že Sn S n. k=1 Poznámka: Bud (X, ρ) separabilní metrický prostor s borelovskou σ-algebrou B(X). Necht (X n ) n=0 je posloupnost náhodných veličin s hodnotami v (X, B(X)) ne nutně definovaných na stejném pravděpodobnostním prostoru. Pokud X n X 0 v distribuci, pak existuje náhodná posloupnost (X n, n N 0 ) taková, že X n X n a že X n X 0, n. Princip invariance Zájemnce o důkaz necht navštěvuje přednášku Principy invariance. Ve svěle předchozí poznámky lze princip invariance přepsat v následujícím tvaru. Existuje spojitý proces W = (W t, t 0) a posloupnosti symetrických náhodných procházek S (m) takových, že ( ) P m 1/2 S (m) mt W t lokálně stejnoměrně na [0, ) = 1.

12 Speciálně tedy pro každé t 0 platí Z trojúhelníkové nerovnosti pak ihned dostaneme sup m 1/2 S (m) ms W s 0, m. s [0,t] m 1/2 sup S (m) ms s [0,t] W t, m Speciálně pro t = 1 pak platí m 1/2 sup S (m) j W1, m j m Dle principu zrcadlení pro symetrickou náhodnou procházku pak platí Tedy W 1 W 1. W 1 = lim m m 1/2 sup S (m) j j m lim m m 1/2 S (m) m = W 1. Cvičení (i) Ukažte, že výše uvedený proces W splňuje axiomy kladené na Wienerův proces. (ii) Ukažte, že ( 1 W a (a2 t), t 0) je opět Wienerův proces pro a 0. (iii) Ukažte, že Wt W t platí pro každé t 0. (iv) Ukažte, že τ h = inf{t 0, W t = h} MČ(F t W ) splňuje τ h < a spočtěte hustotu času τ h, h 0. (v) Ukažte, že Y t = W t τh je martingal, ale že Z t = ( Y t 1 t 1 [t<1] + h 1 [t 1] ) 1[τh < ] je lokální martingal, který není martingalem pro h 0. Bud X : (Ω, A) (S, S) náhodná veličina. O veličině Y L(X) n řekneme, že je postačující statistikou náhodné veličiny X vzhledem k systému rozdělení P P(Ω, A), pokud P X Y existuje a nezávisí na výběru P P. Symbolem P(Ω, A) zde rozumíme množinu všech pravděpodobnostních měr na měřitelném prostoru (Ω, A). Lemma Bud Y L n (X) postačující statistika náhodné veličiny X : (Ω, A) (S, S) vzhledem k systému P P(Ω, A). Pak pro P, Q P platí Q Y << Q P Q X << P X & dq X dp X = dq Y dp Y (h), kde h L(S) n je taková, že Y = h(x). Speciálně pak při pozorování veličiny X nebo Y máme věrohodnostní poměr mezi Q a P ve tvaru L = dq X dp X (X) = dq Y dp Y (Y ). Důkaz: Necht Q Y << P Y a dq Y = g dp Y. Ukážeme, že dq X = g h dp X. Bud F S, pak (8) g h dp F X = E P [g(h(x)); X F ] = E P [g(y ); X F ] = E P [g(y ) P (X F Y )] Protože Y je postačující statistika pro X vzhledem k {P, Q}, tj. P X Y = Q X Y, platí Q(X F Y ) = P (X F Y ) kdykoli 10 F S. S využitím této vlastnosti dostaneme, že (8) je rovno E P [g(y ) Q(X F Y )] = dq Y dp Y Q(X F Y = y) dp Y (y) = E Q [Q(X F Y )] = Q(X F ) = Q X (F ). Speciálně tak P X << Q X a platí dq X dp X = g h = dq Y dp Y h. Cvičení Bud N t Poissonův proces s (neznámou) intenzitou λ > 0. Ukažte, že N t je postačující statistika pro veličinu N t. Spočtěte věrohodnostní poměr mezi H 1 : λ = λ 1 a H 0 : λ = λ 0 a ukažte, že je to martingal za platnosti hypotézy H 0. 10 Toto je obecnější definice postačující statistiky v případě, že podmíněné rozdělení X za podmínky Y nemusí existovat.

13 Je-li W t Wienerův proces, µ R, pak předpisem B t = W t +µt definujeme Wienerův proces s driftem µ. Poznámka: Je-li B t = W t + µt Wienerův proces s dritem, pak proces nazýváme Brownovým mostem. B 0 t = B t tb 1 = W t tw 1, t [0, 1] Cvičení Bud B t = W t + µt Wienerův proces s neznámým driftem µ. Ukažte, že Bt 0 má všechny konečně rozměrná rozdělení normální s nulovou střední hodnotou. Spočtěte jeho autokovarianční funkci cov(bs, 0 Bt 0 ) = st s t. Ukažte, že proces B 0 je nezávislý s veličinou W 1. Ukažte, že B t je postačující statistikou pro B t, kdykoli t 0. Spočtete věrohodnostní poměr mezi H 1 : µ = µ 1 a H 0 : µ = µ 0 založené na pozorování B t a ukažte, že takto získaný proces je martingalem za platnosti hypotézy H 0. Poznámka: Z předchozího lemmatu plyne, že odpovídající věrohodnostní poměr mezi H 1 : µ = µ 1 a H 0 : µ = µ 0 je za platnosti hypotézy H 0 tvaru L t = f H 1 (B t) f H0 (B t) = exp{λw t 1 2 λ2 t}, λ = µ 1 µ 0. Pokud bychom čistě hypoteticky zajímali o maximálně věrohodný odhad paramteru µ resp. λ = µ µ 0, pak stačí argument exponenciely derivovat dle λ, čímž dostaneme maximálně věrohodný odhad ve tvaru ˆλ t = 1 t W t, tj. ˆµ t = µ 0 + 1 t W t = 1 t B t. Poznámka: Tento maximálně věrohodný odhad je zřejmě L 2 -konzistení ve smyslu 1 t W t L 2 0, t, nebot E( 1 t W t) 2 = t 1 0, pro t. Velmi snadno jsme schopni získat i konvergenci skoro jistě tj. silnou konzistenci tohoto odhadu, což není nic jiného než silmý zákon velkých čísel pro Wienerův proces. Tvrzení (Silný zákon velkých čísel pro Wienerův proces) Bud W t Wienerův, pak platí Důkaz: Protože E( W t ) 2 4EW 2 t 1 W t t 0, t, či svérázněji W t = o(t), t. = 4t, platí E n ( 1 n 2 W n 2 ) 2 4 n n 2 <. Odtud ihned plyne, že W n 2 = o(n 2 ). Označme T = {n 2, n N}, pak také W t W t W t T = o( t T ) = o(t), t, nebot pro (n + 1) 2 = t T platí, že 1 t T t (n+1)2 n 2 1 pro n. Poznámka: Chceme-li mít skutečně hmatatelnou představu o limitním chování trajektorií Wienerova procesu, nezbývá než uvést zákon iterovaného logaritmu. Bud W t Wienerův proces a a t = t ln ln t, pak lim sup t 1 a t W t = 2 a symetricky lim inf t 1 a t W t = 2. 7. Elementární stochastická integrace a elementární Per Partés Bud (F t, t 0) filtrace. Proces H t nazveme jednoduchým F t -predikovatelným procesem, je-li tvaru (9) H t = k N Ĥ tk 1 1 [tk 1 <t t k ], t [0, ) (N), N N, kde t 0 = 0 dle definice a kde Ĥs L(F s ) pro s T = {0 = t 0 < t 1 <... < t k ; k N}. Proces H t je jednoduchým F t -predikovatelným procesem právě tehdy, když je F t -predikovatelný proces a jednoduchý v tom smyslu, že existuje lokálně konečná T [0, ) taková, že H t je roven zleva spojité verzi procesu H t T. Jednodychý F t -predikovatelný proces může představovat jednoduchou strategii investování do nějakého zboží (akcie), kdy hodnota H t představuje počet akcií, které investor drží v čase t 0. Stejně tak může

14 představovat počet kontraktů futures uzavřených v čase t 0. Je-li proces X t cena akcie či futures, pak se proces investorova bohatství Y t dá vyjádřit ve tvaru Y t = Y 0 + Ĥ tk 1 (X t tk X t tk 1 ) = Y 0 + t (10) H 0 s dx s, k N přičemž druhou rovnost vnímáme jako definiční pro poslední člen pravé strany, který nazýváme jednoduchým (stochastickým) integrálem procesu H dle procesu X. Z definice elementárního integrálu lze přímo ověřit, že tento elementární integrál je definován korektně ve smyslu nezávislosti výsledku na volbě lokálně konečné dělící množiny T [0, ). Speciálně je tak tento integrál stabilní vůči případnému zjemnění množiny T. Dále si můžeme představit, že hodnota procesu Y t je tržní cena nějakého podílového fondu a my spekulujeme na budoucí vývoj této tržní ceny. Uvažujme strategii danou F t -redikabilním procesem K t, pak analogicky jako v případě výpočtu hodnoty procesu Y t dospějeme k závěru, že naše bohatství můžeme vyjádřit ve tvaru Z t = Z 0 + t (11) K 0 s dy s. Vzhledem ke stabilitě elementárního stochastického integrálu vzhledem ke zjemnění základní dělící množiny, můžeme předpokládat, že množina T = {t k : k N}, n N je společnou základnou pro definici obou elementárních stochastických integrálů (10) a (11). V opačném případě přecházíme ke společnému zjemnění obou základen. I bez výše zavedeného předpokladu snadno dojdeme k závěru, že proces K t H t je opět jednoduchý F t -predikabilní se základnou, která je ednocením základen procesů K t a H t. Právě představa společné základny obou procesů nám umožňuje snadněji ověřit platnost následujícího vztahu t K 0 s dy s = ˆK k tk 1 (Y t tk Y t tk 1 ) = ˆK k tk 1 Ĥ tk 1 (X t tk X t tk 1 ) = t K 0 sh s dx s. Tato vlastnost elementárního integrálu nás tak vede ke snaze ve značení vynechávat znaménko integrálu. Místo rovnosti (10) tak budeme psát dy t = H t dx t, přičemž na obou stranách mluvíme jako o elementárním stochastickém diferenciálu. Pro takto zavedené symbolické značení platí dz t = K t dy t = K t (H t dx t ) = K t H t dx t, což není nic jiného než diferenciální zápis následujícího integrálního zápisu, který dává dohromady strategii H t na primárním trhu a strategii K t na trhu sekundárním Z t = Z 0 + t K dy = Z 0 0 + t K d( H dx) = Z 0 0 + t KH dx, 0 přičemž pro přehlednost operativně vynecháváme vázanou integrační proměnnou. Z čistě symbolickointuitivního přístupu tak dochází ke krácení diferenciálu a integrálu ve smyslu d H dx = H dx. Z čistě symbolického hlediska, znaménko pro diferenciál d se vyruší se znaménkem pro integrál a z elementárního integračního znaménka tak pouze zbyde elementární znaménko, které se nyní spojí s novým diferenciálem a hraje pak integrační roli mezi primární strategií H a cenou X na primárním trhu. 7.1. Elementární kvadratická variace a elemtentární stochastické Per Partés. Bud nyní T = {0 = t 0 < t 1 <... < t k ; k N} daná lokálně konečná množina T [0, ), kde N N. Naším cílem je vyjádřit druhou mocninu Xt 2 ceny X t na primárním trhu pomocí elementární stochastické integrace. Začneme rozpisem této hodnoty pomocí dělících bodů množiny T a to ve tvaru Xt 2 X0 2 = Xt t 2 k Xt t 2 k 1 = 2 X tk 1 (X t tk X t tk 1 ) + t tk X t tk 1 ) k N k N k N(X 2. Pomocí elementárního stochastického integrálu tak můžeme psát X 2 t = X 2 0 + 2 t 0 X s T dx s + t 0 ( dx s) 2 T, kde X t T A(F t ) označuje zleva spojitou (predikabilní) verzi procesu X t T A(F t ) a kde [ X ] T t = t ( dx 0 s) 2 = T k N (X t t k X t tk 1 ) 2 značí elementární kvadratickou variaci procesu X vzhledem k dělení T. Pro elementární kvadratickou variaci [ Y ] T t ceny Y t na sekundárním trhu vzhledem k dělění T máme [ Y ] T t = k N (Y t t k Y t tk 1 ) 2 = k N Ĥ2 t k 1 (X t tk X t tk 1 ) 2 = t 0 H2 s d[ X ] T s = t 0 H2 s ( dx s) 2, T

15 přičemž poslední rovnost bereme jako definiční v souladu se substitučním pravidlem d[ X ] T t = ( dx t ) 2 T, které říká, že dle diferenciálu ( dx t ) 2 T integrujeme tak, jako by na jeho místě stál diferenciál d[ X ]T t. Předchozí odsazenou formuli tak můžeme symbolicky zapisovat ve tvaru elementárního kvadratického diferenciálu ( dy t ) 2 T = (H t dx t ) 2 T = H2 t ( dx t ) 2 T. Závěrem uvedeme diferenciální analogii integrální rovnosti pro druhou mocninu X 2 t (12) dx 2 t = 2X t T dx t + ( dx t ) 2 T. Pro úplnost uvedeme i odpovídající formuli pro druhou mocninu Y 2 t ve tvaru ceny na sekundárním trhu dy 2 t = 2Y t T dy t + ( dy t ) 2 T = 2Y t T H t dx t + H 2 t ( dx t ) 2 T. Na závěr je třeba připomenout předpoklad, že body nespojitosti jednoduchého F t -predikabilního procesu jsou podmnožinou naší pevně dané lokálně konečné množiny T [0, ). Vzhledem ke kvadratickému charakteru elementární kvadratické variace, můžeme pomocí následující polarizační formule zadefinovat odpovídající bilineární ekvivalent. Pro U t, V t reálné procesy na [0, ) a 0 T = {0 = t 0 < t 1 <... t k ; k N} [0, ) lokálně konečnou množinu předpisem [U, V ] T t = [U+V ]T t [U V ]T t 4 = k N(U t tk U t tk 1 )(V t tk V t tk 1 ) definujeme elementární kovariaci procesů U, V vzhledem k dělení T. Pro elementární diferenciál právě zavedeného procesu budeme také používat intuitivní označení ( du t ) T ( dv t ) T = d[u, V ] T t = d[u+v ]T t d[u V ]T t 4 = d(u+v )2 T d(u V )2 T 4. Připomínáme, že elementární diferenciál vnímáme jako symbol sloužící k jednoduchému intuitivnímu zápisu integrální rovnice. Z takové elementární diferenciální rovnice (12) pak okamžitě dostaneme rovnost U t V t = U 0 V 0 + t 0 U s T dv s + t 0 V s T du s + [U, V ] T t, kterou budeme symbolicky zkracovat ve formě elementární stochastické diferenciální rovnosti du t V t = U t T dv t + V t T du t + ( du t ) T ( dv t ) T. Tuto rovnost nazýváme elementární stochastickou rovností Per Partés vzhledem k T. 8. L 2 -stochastická integrace Bud (X t, t 0) zprava spojitý L 2 F t -martingal. Pak kompenzátor K t procesu X 2 t nazveme kvadratickým F t -kompenzátorem procesu X t. Lze-li navíc najít F t -kompenzátor K t ve tvaru σ 2 t, řekneme, že X t je F t -martingal s lineárně kvadratickým kompenzátorem s konstantou (linearity) σ 2. Pokud výše uvažovaný proces X t staruje z X 0 = 0, platí Příklady takových procesů jsou var(x t ) = EX 2 t = σ 2 t. Wienerův proces W t s σ 2 = 1 (popř. W σ 2 t nebo σw t ) centrovaný (nebo také kompenzovaný) Poissonův proces N t EN t = N t λt s intenzitou λ = σ 2. Poznámka F t -Wienerův proces je jediný 11 spojitý F t -martingal s kvadratickým kompenzátorem t. Naopak kompenzovaný Poissonův proces M t = N t EN t s jednotkovou intenzitou je příkladem nespojitého martingalu se stejným kompenzátorem. Lemma Bud X, Y nezáporné integrovatelné veličiny, pokud E[X Y ] L (Y ), pak XY L 1. 11 Tomuto tvrzení se říká Lévyho věta o charakterizaci Wienerova procesu, která říká, že každý spojitý lokální F t -martingal W t, který startuje z W 0 = 0, takový, že Wt 2 t je opět lokální F t martingal, je F t -Wienerův proces. Obecně ke každému spojitému lokálnímu F t martingalu X t startujícímu z X 0 = 0 existuje neklesající spojitý F t σ(n )-adaptovaný proces X t takový, že Xt 2 X t je lokální F t σ(n )-martingal, kde N = {N F : P (N) = 0}. Tomuto procesu X se říká kvadratická variace a skutečně v určitém smyslu hraje roli druhé (kvadratické) variace odpovídajícího procesu. Další (DDS) věta říká, že více-méně každý lokální martingal si lze představovat ve tvaru X t = W ( X t ), kde W je nějaký Wienerův proces.

16 Důkaz: Necht 0 E[X Y ] m N, pak EXY = lim E[XY ; Y n] = lim E[Y E(X Y ); Y n] m EY <. Důsledek: Bud X t F t -martingal s lineárně kovadratickým kompenzátorem a H t jednoduchý F t -predikovatelný L 2 -integrovatelný proces s lokálně konečnou dělící množinou T = {0 = t 0 < t 1 <... < t k ; k N}, N N. Pak Y t = t 0 H dx = k N H tk 1 (X t tk X t tk 1 ) L 2 [Y ] T t = t 0 ( dy )2 T = k N(Y t tk Y t tk 1 ) 2 L 1. Speciálně pro elementární kvadratickou variaci Z t = [Y ] T t Z t = [ H dx] T t procesu Y vzhledem k dělící množině T platí = t 0 (H dx)2 T = t 0 H2 ( dx) 2 T = k N H 2 t k 1 (X t tk X t tk 1 ) 2 L 1. Důkaz: Veličina Y t = t 0 H s dx s jakožto konečná suma součinu L 2 -integrovatelných veličin je integrovatelná. Dále z předchozí části textu víme, že Y 2 t = Z t + 2 t 0 Y s T H s dx s, kde Y t T A(F t ) označuje zleva spojitou (predikabilní) verzi procesu Y t T A(F t ). Ze Schwarzovy nerovnosti dále dostaneme, že a z předchozího lemmatu, že pak E (X t tk X t tk 1 )(X t tj X t tj 1 ) σ 2 H tk 1 H tj 1 (X t tk X t tk 1 )(X t tj X t tj 1 ) L 1, což v konečném důsledku znamená, že také po lokálně konečném nasčítání dostaneme = H tk 1 H tj 1 (X t tk X t tk 1 )(X t tj X t tj 1 ) L 1, Y 2 t j,k N tj. Y t L 2 pro t 0. Pak [Y ] T t L 1 pak plyne přímo z definice, nebot opět lokálně konečná suma integrovatelných procesů je integrovatelný proces. 12 Tvrzení Bud X t F t -martingal s kvadratickým kompenzátorem σ 2 t a H t jednoduchý F t -predikovatelný proces. Označme K t = σ 2 t 0 H2 s ds. Pokud je K t integrovatelný proces, pak Y t = t H 0 s dx s je L 2 F t - martingal. Speciálně pak platí E t H 0 s dx s = 0 Důkaz: Protože pro každé t 0 je Y t konečnou sumou součinů L 2 -integrovatelých veličin, platí Y t L 1. Je-li t k 1 s < t t k, pak E[Y t Y s F s ] = E[H tk 1 (X t X s ) F s ] = H tk 1 E[X t X s F s ] = 0. Speciálně volbou s = t k 1 < t k = t dostaneme Pro s = t n 1 < t = t m, pak nasčítáním dostaneme E[H tk 1 (X t tk X t tk 1 ) F tk 1 ] = 0. E[Y t Y s F s ] = E[ m k=n H t k 1 (X t tk X t tk 1 ) F s ] = 0. S využitím první odsazené formule postupným podmiňováním pro s T = t n t m = t T dostaneme E[Y t F s ] = E[E(E(Y t F tm ) F tn ) F s ] = E[E(Y tm F tn ) F s ] = E[Y tn F s ] = Y s. Tvrzení Bud X t F t -martingal s kvadratickým kompenzátorem σ 2 t a H t jednoduchý F t -predikovatelný proces s dělící lokálně konečnou množinou T. Označme Y t = t 0 H s dx s a K t = σ 2 t 0 H2 s ds 12 Tady nepoužíváme nic jiného než tvrzení, že konečná suma integrovatelných veličin je integrovatelná veličina. Kolik sčítanců v sumě závisí na hodnotě t, proto říkáme: lokálně konečná suma

17 Pokud je K t integrovatelný proces, pak Y 2 t, Z t = [Y ] T t var( t 0 H s dx s ) = σ 2 E t 0 H2 s ds. mají společný F t -kompenzátor K t. Speciálně pak Důkaz: Z předchozího textu již víme, že procesy Y 2 t, Z t jsou integrovatelné. Označme V t = Z t K t = k N H2 t k 1 [(X t tk X t tk 1 ) 2 σ 2 (t t k t t k 1 )] Podobně jako v předchozím důkazu pro t k 1 s < t t k dostaneme E[V t V s F s ] = H 2 t k 1 E[(X t X tk 1 ) 2 (X s X tk 1 ) 2 σ 2 (t s) F s ] = H 2 t k 1 {E[X 2 t X 2 s σ 2 (t s) F s ] + 2X tk 1 E[X t X s F s ]} = 0. Pro s = t n 1 < t = t m, pak nasčítáním opět dostaneme E[V t V s F s ] = 0. S využitím druhé odsazené formule postupným podmiňováním pro s T = t n t m = t T opět dostaneme E[V t F s ] = E[E(E(V t F tm ) F tn ) F s ] = E[E(V tm F tn ) F s ] = E[V tn F s ] = V s. Naprosto analogicky bychom ukázali, že je F t -martingal i následující proces U t = k N Y t k 1 H tk 1 (X t tk X t tk 1 ). Platí tedy, že následující procesy jsou F t -martingaly: V t = Z t K t, Y 2 t K t = Z t K t + 2U t. Shrnutí: Bud X t F t -martingal s kvadratickým kompenzátorem σ 2 t a H t jednoduchý F t -predikovatelný proces s lokálně konečnou dělící množinou T. Pak proces Y t = t H dx je F 0 t-martingal s kvadratickým kompenzátorem K t = σ 2 t 0 H2 s ds ovšem za předpokladu, že tento,,kompenzátor je integrovatelný proces. Při splnění zmíněných předpokladů pak platí rovnosti E t 0 H s dx s = 0, var( t 0 H s dx s ) = σ 2 E t 0 H2 s ds = EK t = E t 0 H2 s ( dx s ) 2 T. Symbolem R(0, t) budeme rozumět rovnoměrné rozdělení ina intervalu (0, t) a symbolem P t = R(0, t) P odpovídající součinovou míru, přčemž předpokládáme, že pracujeme na základním pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P ). Dále symbolem H 2 označíme L 2 -normu v prostoru L 2 (P t ) a analogicky H 1 odpovídající L 1 -normu v L 1 (P t ). Lemma Bud te H, K jednoduché F t -predikabilní procesy, a, b R a X bud F t -martingal s kvadratickým kompenzátorem σ 2 t, pak a t H 0 s dx s + b t K 0 s dx s = t a H 0 s dx s + t b K 0 s dx s, t 0. E sup s H 0 u dx u 2 = E( H s dx s t ) 2 4σ 2 E t 0 H2 s ds, t 0. s t Důkaz: První rovnost je zřejmá z definice. Bud dále t 0 a necht t 0 H2 s ds L 1. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že proces t 0 H2 s ds integrovatelný, jinak bychom přešli k jednoduchému predikabilnímu proces H s = H s 1 [s t] nebo bychom řekli, že dokazovaná nerovnost platí triviálně. Protože je již proces Hs 2 ds integrovatelný, je proces H s dx s je centrovaný L 2 -martingal s rozptylem σ 2 E Hs 2 ds. Z momentové maximální nerovnosti pro L 2 -martingal pak dostáváme, že E( H s dx s t ) 2 4E( t 0 H s dx s ) 2 = 4σ 2 E t 0 H2 s ds. Abychom mohli definovat integrál t 0 H s ds byl vhodně měřitelnou veličinou, potřebujeme dle např. Fubiniovy věty součinovou měřitelnost. O procesu H t A(F t ) řekneme, že je F t -progresivně (postupně) měřitelný, pokud postupně pro každé t 0 máme následující měřitelnost H t : B[0, t] F t B(R), t 0, kde pro jednoduchost a přehlednost zápisu místo měřitelných prostorů píšeme pouze σ-algebry. Tvrzení Je-li (X t, t 0) zleva či zprava spojitý F t -adaptovaný proces, pak je F t -progresivní. Důkaz: Bud t 0 pevné a {0, t} T n [0, t] rostoucí posloupnost lokálně konečných podmnožin postupně zahušt ující interval [0, t]. Pro zprava resp. zleva spojitý F t -adaptovaný proces X t postupně dostaneme X t = lim (X s Tn, s [0, t]) L(B[0, t] F t ) X t = lim (X s Tn, s [0, t]) L(B[0, t] F t ),

18 nebot pro lokálně konečnou {0, t} T [0, t] při použití zástupného symbolu [ s ] T místo s T, s T platí {(s, ω) [0, t] Ω : X([ s ] T, ω) < c} = r T {s [0, t] : [ s ] T = r} [X r < c] B[0, t] F X t B[0, t] F t. Lemma Necht X t je F t -martingal s kvadratickým kompenzátorem σ 2 t. Bud H (n) posloupnost jednoduchých F t -predikovatelných procesů takových, že pro každé t 0 je posloupnost H (n) t cauchyovská v L 2 (P t ). Pak pro každé t 0 je posloupnost t 0 H(n) s ds cauchyovská v L 2 (P ). Je-li navíc pro každé t 0 (13) n=1 H(n) t L2 (P t) <, kde H (n) = H (n) H (n 1), pak předpis (14) H = lim H (n) definuje F t -predikovatelný proces takový, že H (n) t H t v L 2 (P t ) i P t -. kdykoli t 0 a předpisem t H t (15) 0 s dx s = lim 0 H(n) s dx s definujeme F t -adaptovaný proces, takový, že až na P -nulovou množinu platí (16) t 0 H(n) s Důkaz: První část tvrzení plyne okamžitě z rovnosti E t 0 H(n) s dx s t 0 H(m) s dx s t 0 H s ds lokálně stejnoměrně na [0, ). dx s 2 = var( t 0 [H(n) s H (m) s ] dx s ) = σ 2 E t 0 [H(n) s H (m) s ] 2 ds. Bud t 0 pevné, dle předpokladu a na základě vztahu mezi L p -normami na pravděpodobnostním prostoru dostaneme E t n H(n) t = n E t H (n) t = n H(n) t L1 (P t) n H(n) t L2 (P t) <. Pro P t -sv. (s, ω) [0, t] Ω je tak suma n H(n) t absolutně konvergentní. Z definice plyne, že H jakožto limitní součet predikovatelných procesů tam, kde odpovídající řada (neabsolutně) konverguje, je opět predikovatelný proces. Dále n t 0 H(n) s dx s L2 (P ) = σ 2 n [E t 0 (H(n) s ) 2 ds] 1/2 = σ 2 n H(n) t L2 (P t) <. A z momentové maximální nerovnosti pro zprava spojité L 2 -martingaly pro t 0 dostaneme E n 0 H(n) s dx s t n 0 H(n) s dx s t L2 (P ) 2 n t 0 H(n) s dx s L2 (P ) <. Opět tak dostaneme, že předpis (15) korektně definuje F t -adaptovaný proces splňující (16). Tvzrzení Je-li H t F t -progresivní proces takový, že t 0 H 2 s ds je integrovatelný proces, pak existuje posloupnost F t -predikovatelných procesů H (n) splňující (13) tak, že pro F t -predikovatelný a F t -progresivní proces H t z (14) platí H t = H t v prostoru L 2 (P t ). Proces H t z předchozího lemmatu nazveme F t -predikabilním ekvivalentem F t -progresivního procesu H. Důkaz: Je založen na následujícím lemmatu. Pro n N najdeme posloupnost H (n) jednoduchých F t - predikovatelných procesů splňujících H (n) s H H (n) L2 (P n) 2 n. Pak zřejmě v L 2 (P t ) kdykoli t 0 a to dostanečně rychle ve smyslu n H (n) L2 (P t) <, kde H(n) = H (n) (n 1) H = H (n) s 1 [s n] je posloupnost jednoduchých F s -predikovatelných procesů konvergujích k H Volba H z (14) dle odpovídajícího lemmatu dává hledaný proces splňující deklarované vlastnosti. Lemma Bud Ht F t -progresivní proces takový, že t 0 H 2 s ds je integrovatelný proces. Je-li r 0 a ε > 0, pak existuje jednoduchý F t -predikovatelný proces H takový, že Důkaz: Prozatím odkládám. H H L2 (P r) < ε.

19 Korektnost definice: Jsou-li H (n), H [n] dvě posloupnosti jednoduchých F t -predikovatelných procesů splňujících (13), pak platí t ( lim 0 H(n) s dx s, t 0) = t ( lim 0 H[n] s dx s, t 0), což znamená, že předpis (15) korektně definuje proces I = ( t H 0 s dx s, t 0), který je až na množinu míry nula určen jednoznačně, a tento proces je skoro jistě opět zprava spojitý, jakožto.-limita zprava spojitých procesů v lokálně stejnoměrné konvergenci. Protože je to F t -adaptovaný proces, který je L 2 -limitou F t -martingalů, je to opět L 2 F t -martingal. Nadále budeme výše zavedeným označením rozumět naopak zprava spojitý G t -adaptovaný proces, který je skoro jistě roven původnímu procesu, kde G t = F t σ(n ), N = {F F : P (F ) = 0}. Protože je σ(n ) F, je F t nezávislým rozšířením filtrace F t, je proces I t také L 2 G t -martingalem. A totéž platí i pro nově posunutý význam procesu, který značíme symbolem t H dx = ( H dx, t 0) = ( t H 0 0 s dx s, t 0). Na závěr je přeci jen vhodné připomenout souvislost procesů H (n) s procesem H. Procesy H (n) jsou voleny tak, aby H (n) t H t v L 2 (P t ) konvergovaly dostatečně rychle pro každé t 0. Důkaz korektnosti: Jsou-li H (n), H [n] dvě alternativní posloupnosti konvergující v L 2 (P t ) dostatečně rychle ve smyslu (13) k F t -progresvnímu predikabilnímu procesu H pro každé t 0, pak H {n} = H (n) H [n] konverguje dostatečně rychle k nule, jak ukážeme. Označme H {n} = H {n} H {n 1}, H (n) = H (n) H (n 1), H [n] = H [n] H [n 1]. Pak H {n} = H (n) H [n] a platí n H{n} L2 (P t) n H(n) L2 (P t) + n H[n] L2 (P t) <. Dle lemmatu procesy H {n} dx = H (n) dx H [n] dx konvergují lokálně stejnoměrně skoro jistě. Protože E t 0 H{n} dx 2 = σ 2 E t 0 (H{n} s ) 2 ds 0, n, je takovou limitou například identická nula. Cvičení: (i) Bud te Y k, k N nezávisle stejně rozdělené náhodné veličiny a N Poissonův proces s intenzitou λ > 0 nezávislý s F Y. Ukažte (pomocí charakteristických funckí), že pak proces (17) N t S t = k=1 má nezávislé přírůstky a spočtěte jeho střední hodnotu, pokud Y 1 L 1 a rozptyl, pokud Y 1 L 2. (ii) Ukažte, že, je-li proces S t centrovaný s konečným rozptylem, je to F t -martingal s lineárně kvadratickým kompenzátorem. Proces S t z (17) se nazývá složený Poissonův proces s intenzitou skoků λ > 0 a s velikostmi skoků s rozdělením P Y1. Poznámka: Kompenzovaný Poissonův proces a stejně tak složený Poissonův proces jsou příklady procesů s lokálně konečnou variací a pro tyto procesy není třeba zavádět speciální stochastický integrál. Výše zavedený integrál v těchto případech souhlasí s integrálem definovaným po trajektoriích skoro jistě. V limitním případě ze složeného Poisssonova procesu jsme však schopni obdržet jakýkoli proces s nezávislými homogenními přírůtky splňující níže uvedené kvalitativní vlastnosti, které zahrnují i případ Wienerova procesu. O procesu L t startujícím z L 0 = 0 se zprava spojitými trajektoriemi řekneme, že je to Lévyho proces, pokud má nezávislé přírůstky a homogení ve smyslu L t+h L t L h kdykoli h, t 0. Cvičení Ukažte, že centrovaný Léviho proces s konečným rozptylem σ 2 = var(l 1 ) je jednoduchý F t - martingal normovaný na hodnotu σ 2. Poznámka: Lévyho proces je obecně ve tvaru, který se dá vyjádřit jako součet tří nezávislých složek. První složkou je lineární trend, druhý je až na multiplikativní konstatnu Wienerův proces a třetí je čistě skokový proces, který je limitou složených Poissonových procesů a právě tato třetí část je příkladem Y k

20 skokového procesu, který nemusí mít konečnou variaci, a pro který tak má smysl zavádět stochastický integrál ne po trajektoriích, ale lze to udělat na základě L 2 -izometrie, je-li tento proces L 2 -integrovatelný. Je zřejmé, že nekonečné variace může skokový proces dosáhnout pouze za cenu nekonečného počtu skoků na konečném intervalu. Aproximující složené Poissonovy procesy tak musí mít čím dál tím větší intenzitu. 9. Itôovy procesy, Itôova formule (1) rozšíření definice stochastického integrálu pomocí zastavování (2) kvadratické variace Wienerova procesu (3) kvadratická variace Itoova lokálního martingalu, indetifikace L 2 -martingalu (4) Stochastické Per Partés, Itoova formule (stačí v jednorozměrném případě pro C 2 -funkce) (5) Ornstein Uhlembeckův proces, Geometrický Brownův pohyb, Brownův most (6) stochastické diferenciální rovnice (jednoznačnost stochastické exponenciály a OU procesu) (7) Black Scholes fromule a odpovídající δ-hedging pro Evropskou call opci