7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností se rozumí, že pro X platí nebo ekvivalentně {ω Ω : X(ω) B} A, B B n, () {ω Ω : X(ω) x} A, x R n () VII Věta Zobrazení X = (X,, X n ) : Ω R n je náhodným vektorem právě tehdy, jsou-li X,, X n náhodné veličiny VII3 Věta Je-li ϕ : R n R m B n -měřitelné zobrazení a je-li X n- rozměrný náhodný vektor, potom Y = ϕ(x) je m-rozměrný náhodný vektor Pravděpodobnostní chování náhodného vektoru se popisuje (obdobně jako u náhodné veličiny) pomocí distribuční funkce a pomocí rozdělení pravděpodobností Definice 74 Nechť X = (X,, X n ) je náhodný vektor definovaný na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P) Distribuční funkce náhodného vektoru X je reálná funkce F X definovaná na R n vztahem F X (x,, x n ) = P(X x,, X n x n ) = P(X x), x = (x,, x n ) R n VII5 Věta [o vlastnostech distribuční funkce] Distribuční funkce F X (x,, x n ) n-rozměrného náhodného vektoru X má tyto vlastnosti: lim F X(x,, x n ) =, lim F X(x,, x n ) = 0 i x i i x i F X (x,, x n ) je zprava spojitá v každé proměnné (při pevných hodnotách ostatních n proměnných) 3 Pro všechna a i, b i, < a i b i <, i =,, n, platí P(a < X b,, a n < X n b n ) = ( ) ε j F X (c,, c n ) 0, kde ε j = 0 nebo ε j =, (j =,, n), c j = a j ε j + b j ( ε j ), 59
4 F X (x,, x n ) je neklesající funkcí každé své proměnné (při pevně daných hodnotách ostatních n proměnných) VII6 Věta [o postačujících podmínkách pro distribuční funkci F X ] Nechť funkce G : R n R má vlastnosti,, 3 uvedené v předchozí větě Potom existuje pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) a na něm definovaný náhodný vektor X tak, že G(x,, x n ) je jeho distribuční funkcí Definice 77 Nechť X = (X,, X n ) je náhodný vektor definovaný na (Ω, A, P) Množinovou funkci P X definovanou na borelovské σ-algebře B n vztahem P X (B) = P(X B), B B n, nazýváme rozdělení pravděpodobností náhodného vektoru X Definice 78 Distribuční funkce F X (x,, x n ) náhodného vektoru X se nazývá diskrétní, existuje-li konečná nebo nekonečná prostá posloupnost {x m }, x m R n, a odpovídající posloupnost kladných čísel {p m }, p m =, takové, že F X (x,, x n ) = p m, x = (x,, x n ) R n (3) m:x m x Má-li náhodný vektor X diskrétní distribuční funkci, říkáme, že X je diskrétního typu (krátce: diskrétní) a jeho rozdělení pravděpodobností se také nazývá diskrétní Poznámka Funkce splňující vztah (??) vyhovuje předpokladům věty o postačujících podmínkách pro distribuční funkci a je proto distribuční funkcí nějakého náhodného vektoru Náhodný vektor X nabývá právě hodnot x m = (x m,, x m n ) s pravděpodobnostmi p m = P(X = x m ) Množina M = {x m } tvoří obor hodnot diskrétního náhodného vektoru X Funkci p m definované na M se říká pravděpodobnostní funkce diskrétního náhodného vektoru X = (X,, X n ) je diskrétní právě tehdy, jsou-li diskrétní náhodné veličiny X j pro každé j =,, n Označíme-li M j R obor hodnot náhodné veličiny X j, j =,, n, je M = M M n Uvažujme osudí, ve kterém jsou kuličky n různých barev a nechť pravděpodobnost, že vybereme kuličku j-té barvy je rovna číslu p j, j =,, n Z osudí vybereme r-krát po jedné kuličce, po každém výběru kuličku vrátíme zpět do osudí Označme X j náhodnou veličinu, která je rovna počtu vybraných kuliček j-té barvy, j =,, n, v těchto r tazích Určete pravděpodobnostní funkci náhodného vektoru X = (X,, X n ) VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 60
Hodnoty x m = (x m,, x nm ) náhodného vektoru X jsou ty body prostoru R n, pro jejichž souřadnice platí x jm {0,,, r}, n x jm = r, j =,, n (4) j= ( r = pravděpodobnostní funkce X je rovna x m p(x m ) = P(X = x m ) = P(X = x m,, X n = x nm ) = )( ) ( ) r xm r xm x n,m (p ) x m (p ) x m (p n ) xnm = x m = x nm r! x m!x m! x nm! (p ) x m (p n ) xnm, (5) kde kombinační číslo ( ) r x m udává počet možností pro výběr xm kuliček barvy, ( r x m ) x m je počet možností, jak lze ve zbývajících r x m tazích vybrat x m kuliček barvy atd Tyto výběry lze vzájemně kombinovat, součin kombinačních čísel udává počet těchto kombinací Každá kombinace (posloupnost r tahů, v nichž barva byla tažena právě x m -krát, druhá barva právě x m - krát,, n-tá barva právě x nm -krát) má pravděpodobnost (p ) x m (p n ) xnm, protože obsah osudí se nemění, výsledky jednotlivých tahů jsou nezávislé Náhodný vektor X, který má pravděpodobnostní funkci p(x m ) danou vzorcem (??) a obor hodnot M = {x m }, kde souřadnice splňují (??), má tzv multinomické rozdělení pravděpodobností s parametry r, p,, p n Zvláštní případy: Pro n = se jedná o binomické rozdělení (dva možné výsledky pokusu), pro n = 3 se jedná o tzv trinomické rozdělení (tři možné výsledky pokusu) Obdobně jako pro diskrétní náhodnou veličinu X platí i pro diskrétní náhodný vektor X = (X,, X n ) následující vztahy: P(X B) = p m, B B n, x m B Je-li ϕ(x,, x n ) : R n R borelovská funkce, potom pro náhodnou veličinu Y = ϕ(x) platí P(Y y) = p m, y R {m:ϕ(x m) y} E(Y ) = E[ϕ(X)] = m ϕ(x m )p m VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 6
Definice 79 Distribuční funkce F X (x,, x n ) se nazývá absolutně spojitá, existuje-li nezáporná borelovsky měřitelná funkce f(x,, x n ) : R n R taková, že x xn F X (x,, x n ) = f(t,, t n ) dt dt n, x = (x,, x n ) R n Funkce f(x,, x n ) se nazývá hustota (rozdělení pravděpodobností) náhodného vektoru X Má-li náhodný vektor X absolutně spojitou distribuční funkci, říkáme, že je absolutně spojitého typu (krátce: absolutně spojitý) a jeho rozdělení pravděpodobností se nazývá absolutně spojité Poznámka Obdobně jako u absolutně spojité náhodné veličiny platí: n f(x,, x n ) = F X (x,, x n ), skoro všude vzhledem k n-rozměrné Lebesgueově míře x x n Je-li f(x,, x n ) 0 borelovsky měřitelná funkce taková, že f(x,, x n ) dx dx n =, pak je hustotou nějakého absolutně spojitého náhodného vektoru 3 Pro absolutně spojitý náhodný vektor X platí P(X B) = f(x,, x n ) dx dx n, B B n B 4 Je-li ϕ(x,, x n ) : R n R borelovsky měřitelná funkce, platí pro náhodnou veličinu Y = ϕ(x) P(Y y) = E[ϕ(X)] = {x:ϕ(x) y} f(x,, x n ) dx dx n, y R, ϕ(x,, x n )f(x,, x n ) dx dx n Příklad 70 Dvourozměrné rovnoměrné rozdělení v obdélníku a, b a, b, a < b, a < b, má náhodný vektor X = (X, X ), který má hustotu { f(x, x ) =, pro < a (b a )(b a ) i x i b i <, i =,, 0, jinde, tj X nabývá hodnot v daném obdélníku VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 6
Příklad 7 Dvourozměrné normální rozdělení náhodného vektoru X = (X, X ) je charakterizováno hustotou f(x, x ) = { [ (x µ ) exp ( ϱ ) σ πσ σ ϱ ϱ (x µ )(x µ ) + (x µ ) ]}, σ σ σ (x, x ) R Značíme X N (µ, µ, σ, σ, ϱ), kde µ i R, σ i > 0, i =,, ϱ < jsou parametry Příklad 7 Regulární n-rozměrné normální rozdělení má náhodný vektor X, který má hustotu f(x,, x n ) = exp { } (π) (x µ)v (x µ) T, n detv x = (x,, x n ) R n, kde µ = (µ,, µ n ) R n a V = (v ij ) n i,j= je pozitivně definitní reálná matice Označujeme X N n (µ, V ), kde µ j, v ij, i, j =,, n jsou parametry tohoto rozdělení Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) a na něm n náhodných veličin X,, X n Dokázali jsme, že X = (X,, X n ) je náhodný vektor a naopak, že všechny složky náhodného vektoru jsou náhodné veličiny Odpovíme na dvě otázky: a) Známe-li rozdělení pravděpodobností náhodného vektoru X, můžeme jednoznačně určit rozdělení pravděpodobností libovolného podvektoru (X i,, X ik ), k =,, n, i < < i k n, tedy také rozdělení pravděpodobností libovolné náhodné veličiny X i, i =,, n? b) Známe-li rozdělení pravděpodobností všech složek X,, X n, lze obecně určit rozdělení pravděpodobností náhodného vektoru X? Definice 73 Náhodný vektor (X i,, X ik ) se nazývá marginální náhodný vektor příslušný k náhodnému vektoru X, jeho distribuční funkci F Xi,,X ik (x i,, x ik ) nazýváme marginální distribuční funkcí k distribuční funkci F X (x,, x n ) a obdobně rozdělení pravděpodobností marginálního náhodného vektoru se nazývá marginální rozdělení pravděpodobností příslušné k rozdělení P X VII4 Věta [o marginálním rozdělení] Nechť X = (X,, X n ), n, je náhodný vektor, potom lim x n F X(x,, x n ) = F X,,X n (x,, x n ), x j R, j =,, n VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 63
VII5 Věta Nechť X = (X,, X n ) je náhodný vektor, F X (x,, x n ) jeho distribuční funkce Pro distribuční funkci náhodného vektoru (X i,, X ik ), k =,, n, i < < i k n platí F Xi,,X ik (x i,, x ik ) = lim F X (x,, x n ) x j, j i,,i k Důsledek Rozdělení pravděpodobností náhodného vektoru X jednoznačně určuje rozdělení pravděpodobností jeho libovolného podvektoru (X i,, X ik ) VII6 Věta Nechť X = (X,, X n ) je diskrétní náhodný vektor, p(x), x M = M M n, jeho pravděpodobnostní funkce Pro pravděpodobnostní funkci p j (x j ), x j M j, j =,, n, náhodné veličiny X j platí p j (x j ) = p(x,, x n ), x j M j, j =,, n x M x j+ M j+ x n M n x j M j Poznámka Tvrzení lze zřejmě zobecnit pro marginální pravděpodobnostní funkci náhodného vektoru (X i,, X ik ), k =,, n, i < < i k n Sčítání hodnot pravděpodobnostní funkce p(x) náhodného vektoru X bychom provedli pro všechna x j M j, j i r, r =,, k Má-li X = (X, X ) konečný počet hodnot, lze pravděpodobnostní funkci zapsat do tabulky Označme pro zjednodušení zápisů p ij = P(X = x i, X = x j ), kde x i označuje i-tou hodnotu náhodné veličiny X a x j označuje j-tou hodnotu náhodné veličiny X X X x x j x s x p p j p s P(X = x ) x i p i p ij p is P(X = x i ) x r p r p rj p rs P(X = x r ) P(X = x ) P(X = x j ) P (X = x s ) Hodnoty marginálních pravděpodobnostních funkcí jsou v posledním řádku event sloupci, tedy na okrajích tabulky Odtud pravděpodobně vznikl název marginální rozdělení Pro n = je jednodušší zapisovat náhodný vektor symbolem (X, Y ), M = M M, M = {x,, x r }, M = {y,, y s } Do tabulky zapisujeme čísla p ij = P(X = x i, Y = y j ) VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 64
Příklad 77 V osudí je losů, z nich vyhrávají cenu, 4 vyhrávají cenu a 6 losů nevyhrává Vybereme náhodně losy Označme X počet tažených losů, které vyhrávají cenu, Y počet tažených losů, které vyhrávají cenu Určete pravděpodobnostní funkci náhodného vektoru (X, Y ), marginální rozdělení pravděpodobností a distribuční funkci tohoto náhodného vektoru Obor hodnot náhodného vektoru (X, Y ) je množina M = {(x i, y j ) : 0 x i, 0 y j, 0 x i + y j } ( )( 4 )( ) 6 x p ij = P(X = x i, Y = y j ) = i y j x i y ( j ), (x i, y j ) M Hodnoty p ij uspořádáme do tabulky x y j i 0 0 5 8 4 45 4 0 0 33 0 0 3 P(Y = 0) P(Y = ) P(Y = ) 6 = P(X = 0) = P(X = ) = P(X = ) Do následující tabulky zapíšeme hodnoty distribuční funkce F (x, y) = P(X x, Y y) = p ij, (x, y) R, {i,j:x i x,y j y)} x y (, 0) 0, ), ), ) (, 0) 0 0 0 0 5 3 5 0, ) 0 9, ) 0 8, ) 0 59 65 60 VII8 Věta Nechť X = (X,, X n ) je absolutně spojitý s hustotou f(x,, x n ) Potom je náhodná veličina X j, j =,, n, absolutně spojitá s hustotou f j (x j ) = f(x,, x n ) dx dx j dx j+ dx n, x j R R n Poznámka V bodech, kde nelze f (x ) určit, protože v nich neexistuje derivace F, lze hustotu f libovolně dodefinovat, obvykle v těchto bodech pokládáme hustotu za nulovou VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 65
Tvrzení předchozí věty můžeme přirozeně zobecnit na libovolný podvektor (X i,, X ik ) náhodného vektoru X, pouze zápis je složitější Např pro n = 3, X = (X, X, X 3 ) je f 3 (x, x 3 ) = f(x, x, x 3 ) dx, f 3 (x 3 ) = f(x, x, x 3 ) dx dx Příklad 79 Určete simultánní hustotu f(x, x ) a marginální hustoty f (x) a f (x), má-li náhodný vektor X = (X, X ) rovnoměrné rozdělení ve čtverci C s vrcholy (0, ), (, 0), (, 0), (0, ) Rovnoměrné rozdělení ve čtverci C znamená, že hustota je nad C konstantní a mimo C nulová Protože musí platit f(x, x ) dx dx =, je třeba zvolit { f(x, x ) =, pro (x, x ) C, 0, jinde 0, pro x, f (x ) = x + x x + x dx = x +, pro < x 0, = x, pro 0 < x <, Odpověď na druhou otázku z úvodu této sekce *) je záporná: Marginálními distribučními funkcemi (pravděpodobnostními funkcemi event hustotami) není jednoznačně určena (simultánní) distribuční funkce náhodného vektoru, jak ukazuje následující příklad Příklad 70 Nechť X = (X, X ), Y = (Y, Y ) jsou diskrétní náhodné vektory se stejným oborem hodnot M = {0, } {0, } a s pravděpodobnostními funkcemi zadanými v tabulkách 0 X X 0 = 4 4 P(X = 0) = 4 4 P(X = ) P(X = 0) P(X = ) Y Y 0 3 0 = 8 8 P(Y = 0) 3 = 8 8 P(Y = ) P(Y = 0) P(Y = ) Jednorozměrná rozdělení náhodných veličin X, Y a X, Y jsou shodná, ale náhodné vektory X, Y mají odlišné pravděpodobnostní funkce a tedy také distribuční funkce *) Známe-li rozdělení pravděpodobností všech složek X,, X n, lze obecně určit rozdělení pravděpodobností náhodného vektoru X? VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin
Již jsme ukázali, že k určení distribuční funkce F X (x,, x n ) náhodného vektoru X = (X,, X n ) nestačí znalost marginálních distribučních funkcí F Xj (x), j =,, n, jednotlivých složek tohoto vektoru Distribuční funkce F X je ovlivněna ještě dalším faktorem: závislostí náhodných veličin X,, X n V aplikacích se užívají zejména nezávislé náhodné veličiny, jejichž definice je odvozena od nezávislosti určitých náhodných jevů Nezávislost náhodných veličin je pojem, který je specifický pro teorii pravděpodobnosti Definice 7 Nechť X = {X,, X n } resp X = {X, X, } je systém náhodných veličin Řekneme, že náhodné veličiny tohoto systému jsou nezávislé, jestliže pro libovolná reálná x,, x n resp libovolná reálná x, x, jsou nezávislé náhodné jevy (X x ),, (X n x n ) resp (X x ), (X x ),, tj platí-li k a každou k-tici náhodných veličin (X i,, X ik ) vybranou ze systému X k F (Xi,,X ik )(x,, x k ) = F Xij (x j ), (x,, x k ) R k, (6) j= kde F (Xi,,X ik )(x,, x k ) je distribuční funkce náhodného vektoru (X i,, X ik ) a F Xij (x) je distribuční funkce náhodné veličiny X ij, j =,, k Poznámka Z definice nezávislosti je zřejmé, že platí tvrzení: Jsou-li náhodné veličiny v systému X nezávislé, jsou nezávislé také náhodné veličiny v libovolném podsystému X X VII Věta Nechť F (X,,X n)(x,, x n ) je (simultánní) distribuční funkce náhodného vektoru X = (X,, X n ) a F Xj (x), j =,, n, marginální distribuční funkce náhodné veličiny X j, j =,, n Náhodné veličiny X,, X n jsou nezávislé právě tehdy, když F (X,,X n)(x,, x n ) = F X (x ) F Xn (x n ), x = (x,, x n ) R n (7) VII3 Věta Nechť X,, X n jsou nezávislé náhodné veličiny a nechť ϕ j (x) : R R, j =,, n, jsou borelovsky měřitelné funkce Potom jsou náhodné veličiny Y = ϕ (X ),, Y n = ϕ n (X n ) také nezávislé VII4 Věta Diskrétní náhodné veličiny X,, X n jsou nezávislé právě tehdy, když pro pravděpodobnostní funkci p X náhodného vektoru X = (X,, X n ) a marginální pravděpodobnostní funkce p j náhodných veličin X j, j =,, n, platí p X (x,, x n ) = p (x ) p n (x n ), (x,, x n ) M M n = M, (8) kde M j je obor hodnot náhodné veličiny X j, j =,, n VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 67
Příklad 75 Diskrétní náhodný vektor (X, Y ) má pravděpodobnostní funkci danou tabulkou X Y 4 5 6 0 0 0 04 = P(X = ) 0 0 0 03 = P(X = ) 3 0 0 0 03 = P(X = 3) 04 = P(Y = 4) 03 = P(Y = 5) 03 = P(Y = 6) Jsou náhodné veličiny X, Y nezávislé? Podle předchozí věty jsou tyto veličiny nezávislé právě tehdy, když pro každé políčko tabulky platí, že simultánní pravděpodobnost v něm uvedená je součinem příslušných marginálních pravděpodobností Protože např P(X =, Y = 4) = 0 P(X = ) P(Y = 4) = 04 04 = 06 je zřejmé, že náhodné veličiny X, Y nejsou nezávislé VII6 Věta Spojité náhodné veličiny X,, X n jsou nezávislé právě když pro hustotu f X (x,, x n ) náhodného vektoru X = (X,, X n ) a marginální hustoty f j (x) náhodných veličin X j, j =,, n, platí f X (x,, x n ) = f (x ) f n (x n ) pro skoro všechna (x,, x n ) R n (9) Příklad 77 Náhodný vektor (X, X ) má hustotu { x + x f(x, x ) =, je-li (x, x ) (0, ) (0, ), 0, jinde Rozhodněte, zda jsou X, X nezávislé Řešení: Určíme nejprve marginální hustoty { f i (x i ) = (x 0 + x ) dx j = x i +, x i (0, ), 0, x i (0, ), i, j =, Rovnost f(x, x ) = x +x = f (x ) f (x ) = x x + (x +x )+ je ve 4 čtverci (0, ) (0, ) splněna pouze pro body úsečky {(x, x ) : x = }, tedy na množině míry nula Náhodné veličiny X, X nejsou proto nezávislé VII8 Věta Konstanta a libovolná náhodná veličina X jsou nezávislé Důkaz Konstanta c je taková náhodná veličina Y, pro kterou platí P(Y = c) = Je-li y < c, je P(X x, Y y) = P((X x) ) = P( ) = 0 = P(X x)p(y y), x R Je-li y c, je P(X x, Y y) = P((X x) Ω) = P(X x) = P(X x) = = P(X x)p(y y), x R, VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 68
a podle věty?? jsou X, Y nezávislé VII9 Věta Nechť jsou X, X nezávislé spojité náhodné veličiny, f (x), f (x) jejich hustoty Nechť ϕ : R R je borelovsky měřitelná, Y = ϕ(x, X ) a nechť G je distribuční funkce náhodné veličiny Y Platí [ ] a) EY = ϕ(x, x ) f (x )dx f (x )dx = = pokud EY existuje [ b) G(y) = = [ [ ] ϕ(x, x ) f (x )dx f (x )dx, (0) ] f (x )dx f (x )dx = {x :ϕ(x,x ) y} ] f (x )dx f (x )dx, y R () {x :ϕ(x,x ) y} VII30 Věta Jsou-li X, X nezávislé, spojité náhodné veličiny s hustotami f, f, je Y = X + X spojitá náhodná veličina a pro její hustotu g(y) platí g(y) = f (y t)f (t) dt Příklad 73 Nechť X, X jsou nezávislé a nechť X N(µ, σ), X N(µ, σ) Dokažte, že Y = X + X má normální rozdělení N(µ + µ, σ + σ) Řešení: Užijeme tvrzení předchozí věty o hustotě součtu g(y) dvou nezávislých, náhodných veličin V našem případě f i (x) = exp { (x µ i) }, i =, σ i π σi Tedy = πσ σ g(y) = { exp f (y x)f (x) dx = [ (y x µ ) σ + (x µ ]} ) dx σ Užijeme-li rovnost y x µ = [y (µ + µ )] (x µ ), lze výraz v hranaté závorce v exponentu zapsat ve tvaru V = [y (µ + µ )] (x µ )(y [µ + µ ]) + (x µ ) (σ + σ) = σ σ σ σ ( ) σ = + σ (x µ ) σ (y (µ + µ )) + (y (µ + µ )) σ σ σ σ + σ σ + σ VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 69
Označme výraz v první závorce symbolem C(x), potom { g(y) = exp } [y (µ + µ )] πσ σ σ + σ σ +σ σ σ e C (x) dx, odtud substitucí z = C(x), dz = dx dostaneme { g(y) = π exp } [y (µ + µ )] e σ + σ σ + σ z dz = = exp { [y (µ } + µ )], π σ + σ (σ + σ) což je hustota rozdělení N(µ + µ, σ + σ) VII3 Věta Nechť X, X jsou nezávislé náhodné veličiny s hustotami f, f a nechť f (x) = 0 pro x 0 Potom má náhodná veličina Y = X X hustotu g(y) = 0 xf (yx)f (x) dx, y R VII33 Věta Nechť jsou X, Y nezávislé náhodné veličiny, které mají střední hodnoty E(X), E(Y ) a nechť existuje E(X Y ) Potom platí E(X Y ) = E(X) E(Y ) VII34 Věta Jsou-li X,, X n nezávislé náhodné veličiny s konečnými druhými momenty (X j L (Ω, A, P), j =,, n), potom platí ( n ) n var X j = var(x j ) j= j= VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 70