Od Pythagora ke geometrickému modelování. Miroslav Lávička 1

Od Pythagora ke geometrickému modelování Miroslav Lávička 1 Email: lavicka@kma.zcu.cz 1 Katedra matematiky Fakulty aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Brána matematikou otevřená Seminář pro učitele středních a vysokých škol Plzeň, 29. března 2012 Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 1 / 34

Osnova 1 Úvod 2 Od Pythagora... Pythagorejská škola Pythagorejské trojice Euklidova formule, racionální parametrizace kružnice 3... ke geometrické modelování Vznik geometrického modelování Teorie racionálních ofsetů Křivky s pythagorejským hodografem 4 Závěr Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 2 / 34

Úvod Osnova 1 Úvod 2 Od Pythagora... Pythagorejská škola Pythagorejské trojice Euklidova formule, racionální parametrizace kružnice 3... ke geometrické modelování Vznik geometrického modelování Teorie racionálních ofsetů Křivky s pythagorejským hodografem 4 Závěr Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 3 / 34

Úvod Antická civilizace zrod matematiky jako vědy 1 Archaická doba (800-500 př. n. l.) 1.1 Rozmach poleis 1.2 Velká kolonizace rozšíření řecké kultury 1.3 Proměna státního zřízení řeckých obcí 1.4 Nejsilnější řecké obce: Vzestup Sparty a Athén 1.4.1 Sparta nejmocnější stát Řecka 1.4.2 Athény na cestě k demokracii 2 Klasická doba (500-336 př. n. l.) 2.1 Řecko-perské války 2.2 Dominance Athén 2.3 Peloponéská válka 2.4 Boj o hegemonii: Soupeření Sparty a Théb 2.5 Nástup Makedonie konec nezávislosti řeckých poleis 2.6 Kultura a společnost klasického věku 3 Helénistická doba (336-146 př. n. l.) 3.1 Alexandrovy výboje 3.2 Helénistický svět 3.3 Antigonovci: převaha Makedonie 3.4 Římské zásahy 3.5 Konec řecké svobody 4 Římská nadvláda (146 př. n. l. - 395) 4.1 Mithridatés a římské občanské války 4.2 Římská provincie 4.3 Doba pozdní antiky Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 4 / 34

Úvod Antická civilizace zrod matematiky jako vědy 1 Archaická doba (800-500 př. n. l.) 1.1 Rozmach poleis 1.2 Velká kolonizace rozšíření řecké kultury 1.3 Proměna státního zřízení řeckých obcí 1.4 Nejsilnější řecké obce: Vzestup Sparty a Athén 1.4.1 Sparta nejmocnější stát Řecka 1.4.2 Athény na cestě k demokracii 2 Klasická doba (500-336 př. n. l.) 2.1 Řecko-perské války Antická civilizace dala světu 2.2 Dominance Athén 2.3 Peloponéská válka matematiku jako vědu 2.4 Boj o hegemonii: Soupeření Sparty a Théb 2.5 Nástup Makedonie konec nezávislosti řeckých poleis 2.6 Kultura a společnost Co? klasického Jak? věku Proč? 3 Helénistická doba (336-146 př. n. l.) 3.1 Alexandrovy výboje 3.2 Helénistický svět 3.3 Antigonovci: převaha Makedonie 3.4 Římské zásahy 3.5 Konec řecké svobody 4 Římská nadvláda (146 př. n. l. - 395) 4.1 Mithridatés a římské občanské války 4.2 Římská provincie 4.3 Doba pozdní antiky Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 4 / 34

Úvod Odkaz řecké matematiky Dědictví řecké matematiky... Thalés Thaletova věta, Thaletova kružnice Pythagoras Pythagorova věta, pythagorejské trojice Platón platónská tělesa Eukleides Eukleidovy prostory, eukleidovské konstrukce, ne-eukleidovské geometrie Archimédés Archimédův zákon, Archimédův šroub, Archimédova spirála, Archimédova serpentina, archimédovská tělesa Apollónios Apolloniovy úlohy, Apolloniova kružnice Diofantos diofantovské rovnice... a řada dalších Eratostenes, Aristarchos, Nikomachos, Pappos, Meneachmos, Menelaos, Herón, Ptolemaios,... Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 5 / 34

Od Pythagora... Osnova 1 Úvod 2 Od Pythagora... Pythagorejská škola Pythagorejské trojice Euklidova formule, racionální parametrizace kružnice 3... ke geometrické modelování Vznik geometrického modelování Teorie racionálních ofsetů Křivky s pythagorejským hodografem 4 Závěr Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 6 / 34

Od Pythagora... Pythagoras ze Samu. Pythagorejská škola řecký matematik, astronom a filozof pythagorejská škola ( tajné náboženské společenství) při hledání zákonů vesmírů studovali pythagorejci tzv. kvadrivium (geometrie, aritmetika, astronomie, muzika) matematika (zvl. aritmetika) se stala základem kosmologické filozofie pythagorejců ("Všechno je číslo") objev Pythagorovy věty připisovali pythagorejci svému mistrovi věta už byla dříve známa Babylóňanům a Egypťanům, ale pythagorejci zřejmě jako první provedli důkaz největší dosah pro řeckou matematiku měl důkaz iracionality 2 (úhlopříčka a strana jednotkového čtverce jsou nesouměřitelné) (okolo 582 p.n.l. okolo 496 p.n.l.) nabourání souladu mezi aritmetikou a geometrií (1. krize matematiky) Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 7 / 34

Od Pythagora... Figurální čísla tzv. figurální čísla (trojúhelníková, čtvercová, obdélníková, pětiúhelníková, atd.) byla pro pythagorejce nástrojem jak znázorňovat úvahy o číslech přeskupování kaménků do různých tvarů bylo pomůckou k objevům a k provádění důkazů, např. 1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n 2 Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 8 / 34

Od Pythagora... Pythagorova věta C b b a A c b c a B a c c Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 9 / 34

Od Pythagora... Objev nesouměřitelnosti. První krize matematiky objev spadá do posledních desetiletí 5. st. p.n.l. poměr úhlopříčky a strany čtverce nelze vyjádřit číslem (celým nebo zlomkem) Všechno je číslo 1. krize matematiky krize řecké matematiky byla vyřešena odstraněním pythagorejské aritmetiky a důslednou geometrizací matematiky reálné číslo... úsečka (resp. její délka) druhá mocnina... čtverec (resp. jeho obsah) součin dvou čísel... obdélník (resp. jeho obsah) třetí mocnina... krychle (resp. její objem) atd. 1 2 + 1 2 = 2 = ( 2) 2 u : a = 2 Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 10 / 34

Od Pythagora... Objev nesouměřitelnosti. První krize matematiky objev spadá do posledních desetiletí 5. st. p.n.l. poměr úhlopříčky a strany čtverce nelze vyjádřit číslem (celým nebo zlomkem) Všechno je číslo 1. krize matematiky Princip homogenity krize řecké matematiky byla vyřešena odstraněním A + B C nelze sečíst (úsečka a obdélník) pythagorejské aritmetiky a důslednou geometrizací A E + B C, kde E je jednotková úsečka 1 2 + 1 2 = 2 = ( 2) 2 matematiky u : a = 2 reálné číslo... úsečka (resp. její délka) druhá mocnina... čtverec (resp. jeho obsah) součin dvou čísel... obdélník (resp. jeho obsah) třetí mocnina... krychle (resp. její objem) atd. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 10 / 34

Od Pythagora... Pythagorejské trojice a jejich generátory Pythagorejská trojice je trojice přirozených čísel a, b, c takových, že a 2 + b 2 = c 2. Nejznámější příklad pythagorejské trojice jsou čísla 3, 4, 5. Libovolný násobek pythagorejské trojice je také pythagorejská trojice. Generátor pythagorejských čísel je trojice matematických funkcí takových, že dosazením proměnné nebo proměnných do těchto funkcí se vygenerují jednotlivé hodnoty pythagorejských čísel a, b, c. Nejznámější generátor (tzv. Euklidova formule): a, b, c = f(m, n), kde m, n N a m > n a a = 2mn, b = m 2 n 2, c = m 2 + n 2 Pro n = 1 se také hovoří o Platonově formuli. Jiné generátory (s vazbami, např. c b = 1, c b = 2): a = 2n + 1, b = 2n 2 + 2n, c = 2n 2 + 2n + 1, a = 4n, b = 4n 2 1, c = 4n 2 + 1 Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 11 / 34

Od Pythagora... Euklidova formule Trojice generovaná Euklidovou formulí se nazývá primitivní, jestliže a, b, c jsou po dvou nesoudělná čísla. Splnění pythagorejské podmínky se snadno ověří a 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 n 2 ) 2 = m 4 + 2m 2 n 2 + m 4 = (m 2 + n 2 ) 2 = c 2 Euklidova formule generuje VŠECHNY primitivní pythagorejské trojice, ale NE VŠECHNY pythagorejské trojice. Je nutné provést úpravu na tvar, který již generuje (byť nejednoznačně) všechny trojice a = k (2mn), b = k (m 2 n 2 ), c = k (m 2 + n 2 ) Např. všechny primitivní pythagorejské trojice, kdy délka přepony c < 100 (3, 4, 5) (5, 12, 13) (7, 24, 25) (8, 15, 17) (9, 40, 41) (11, 60, 61) (12, 35, 37) (13, 84, 85) (16, 63, 65) (20, 21, 29) (28, 45, 53) (33, 56, 65) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (48, 55, 73) (65, 72, 97) Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 12 / 34

Od Pythagora... Geometrie Euklidovy formule Platí ( ) a 2 + b 2 = c 2 a 2 ( ) b 2 = + = 1 c c Geometricky vzato bod o kartézských souřadnicích x = a c, y = b c, kde D(a, b, c) = 1, leží na jednotkové kružnici x 2 + y 2 = 1. Existuje tedy vzájemně jednoznačná korespondence mezi body na jednotkové kružnici, které mají racionální souřadnice, a primitivními pythagorejskými trojicemi Euklidova formule může být snadno odvozena pomocí stereografické projekce Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 13 / 34

Od Pythagora... Racionální parametrizace kružnice Uvažujme na ose x pohyblivý bod P = [t, 0], t R Užitím inverzní stereografické projekce se středem v severním pólu N získáme na kružnici bod [ ] 2t P = t 2 + 1, t2 1 t 2 + 1 Parametrizace jednotkové kružnice ve tvaru [ ] 2t x(t) = t 2 + 1, t2 1 t 2 + 1 je racionální alternativou k více známé goniometrické parametrizaci x(ϕ) = [cos ϕ, sin ϕ] Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 14 / 34

Od Pythagora...... to už nemůže být náhoda ;-) Uvažujme komplexní číslo z = x + yi, x, y R, i 2 = 1 Potom z 2 = (x + yi) 2 = x 2 y 2 + 2xyi, Neboli Re(z 2 ) = x 2 y 2, Im(z 2 ) = 2xy, z 2 = x 2 + y 2 tvoří pythagorejskou trojici Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 15 / 34

Od Pythagora... Kam dál? Pythagorejské čtveřice a, b, c, d a 2 + b 2 + c 2 = d 2 Např. (2, 3, 6, 7), obecně a = m 2 +n 2 p 2 q 2, b = 2mq+2np, c = 2nq 2mp, d = m 2 +n 2 +p 2 +q 2 Pythagorejské n-tice x 1, x 2,..., x n, kde n > 3 Velká Fermatova věta: Neexistují přirozená čísla x, y, z a n, pro která x n + y n = z n, kde n > 2 a x, y, z 0 Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 16 / 34

... ke geometrické modelování Osnova 1 Úvod 2 Od Pythagora... Pythagorejská škola Pythagorejské trojice Euklidova formule, racionální parametrizace kružnice 3... ke geometrické modelování Vznik geometrického modelování Teorie racionálních ofsetů Křivky s pythagorejským hodografem 4 Závěr Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 17 / 34

... ke geometrické modelování Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 18 / 34

... ke geometrické modelování Krátký výlet do nedávné historie Geometrické modelování nebo také Computer Aided Geometric Design (CAGD) je moderní geometrická disciplína, která se zabývá studiem reprezentací křivek, ploch a těles volného tvaru a jejich užitím v následných aplikacích. U zrodu CAGD stáli inženýři Pierre Bézier (1910 1999), Paul de Casteljau ( 1930) a Steven A. Coons (? 1979). CAGD se stalo suverénním vědním oborem cca kolem roku 1974, kdy se na University of Utah konala první tematická konference. První kompendium věnované CAGD bylo publikováno v roce 1988. Pokud se zabýváme historií CAGD zjistíme, že vývoj CAGD je úzce spjat s problematikou racionálních technik a racionálních reprezentací geometrických objektů Dnes nachází geometrické modelování uplatnění ve strojírenství, stavebnictví, architektuře, biologii, geografii, počítačových animacích, lékařství atd. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 19 / 34

... ke geometrické modelování Racionální křivky a plochy Volba vhodné reprezentace geometrického objektu (explicitní, parametrická, nebo implicitní) hraje základní roli při vývoji algoritmů pro následné aplikace; např. CAD využívá výhradně parametrický popis Mezi všemi parametrizacemi mají největší praktický význam parametrizace popsané výhradně pomocí polynomiálních a racionálních funkcí, neboť tyto reprezentace lze přímo implementovat do standardních CAD systémů Uvažujme např. jednotkovou sféru S : x 2 + y 2 + z 2 1 = 0, kterou lze popsat parametrizací Bohužel, ne pro všechny algebraické křivky a plochy existuje racionální popis. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 20 / 34

... ke geometrické modelování Racionální křivky a plochy Volba vhodné reprezentace geometrického objektu (explicitní, parametrická, nebo implicitní) hraje základní roli při vývoji algoritmů pro následné aplikace; např. CAD využívá výhradně parametrický popis Mezi všemi parametrizacemi mají největší praktický význam parametrizace popsané výhradně pomocí polynomiálních a racionálních funkcí, neboť tyto reprezentace lze přímo implementovat do standardních CAD systémů Uvažujme např. jednotkovou sféru S : x 2 + y 2 + z 2 1 = 0, kterou lze popsat goniometrickou parametrizací x(φ, ψ) = (cos φ cos ψ, sin φ cos ψ, sin ψ). Bohužel, ne pro všechny algebraické křivky a plochy existuje racionální popis. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 20 / 34

... ke geometrické modelování Racionální křivky a plochy Volba vhodné reprezentace geometrického objektu (explicitní, parametrická, nebo implicitní) hraje základní roli při vývoji algoritmů pro následné aplikace; např. CAD využívá výhradně parametrický popis Mezi všemi parametrizacemi mají největší praktický význam parametrizace popsané výhradně pomocí polynomiálních a racionálních funkcí, neboť tyto reprezentace lze přímo implementovat do standardních CAD systémů Uvažujme např. jednotkovou sféru S : x 2 + y 2 + z 2 1 = 0, kterou lze popsat racionální parametrizací ( x(s, t) = 2s s 2 + t 2 + 1, ) 2t s 2 + t 2 + 1, s2 + t 2 1, s 2 + t 2 + 1 jež se získá (jako v případě kružnice) stereografickou projekcí. Bohužel, ne pro všechny algebraické křivky a plochy existuje racionální popis. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 20 / 34

... ke geometrické modelování Racionální křivky a plochy Volba vhodné reprezentace geometrického objektu (explicitní, parametrická, nebo implicitní) hraje základní roli při vývoji algoritmů pro následné aplikace; např. CAD využívá výhradně parametrický popis Mezi všemi parametrizacemi mají největší praktický význam parametrizace popsané výhradně pomocí polynomiálních a racionálních funkcí, neboť tyto reprezentace lze přímo implementovat do standardních CAD systémů Uvažujme např. jednotkovou sféru S : x 2 + y 2 + z 2 1 = 0, kterou lze popsat parametrizací ( x(s, t) = 2s s 2 + t 2 + 1, ) 2t s 2 + t 2 + 1, s2 + t 2 1, s 2 + t 2 + 1 jež se získá (jako v případě kružnice) stereografickou projekcí. Bohužel, ne pro všechny algebraické křivky a plochy existuje racionální popis. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 20 / 34

... ke geometrické modelování Racionální křivky a plochy Volba vhodné reprezentace geometrického objektu (explicitní, parametrická, nebo implicitní) hraje základní roli při vývoji algoritmů pro následné aplikace; např. CAD využívá výhradně parametrický popis Hlavní problémy CAGD Mezi všemi parametrizacemi mají největší praktický význam parametrizace popsané výhradně Zabýváme pomocí polynomiálních se reálnými objekty. a racionálních funkcí, neboť tyto reprezentace lze přímo implementovat Využíváme aparát do standardních algebraickécad geometrie systémů operující nad tělesem Uvažujmekomplexních např. jednotkovou čísel. sféru S : x 2 + y 2 + z 2 1 = 0, kterou lze popsat parametrizací Zajímají nás objekty popsané racionálně. ( ) Většina operací používaných 2s v CAGD x(s, t) = s 2 + t 2 + 1, 2t obecně nezachovává s 2 + t 2 + 1, s2 + t 2 1 racionalitu odvozených objektů., s 2 + t 2 + 1 jež se získá (jako v případě kružnice) stereografickou projekcí. Bohužel, ne pro všechny algebraické křivky a plochy existuje racionální popis. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 20 / 34

... ke geometrické modelování Motivace: 3-osé a 5-osé obrábění Motivaci k zavedení ofsetů je možné hledat v obrábění. 3-osé obrábění je obrábění frézou, která může vykonávat pouze translační pohyb ve směru všech os souřadného systému, nemůže se natáčet. Fréza se neustále dotýká obráběné plochy. 5-osé obrábění je obrábění frézou, která může vykonávat jak translační pohyb ve směru všech os souřadného systému, tak rotační pohyb. Frézu je tedy možné vždy nastavit tak, aby osa frézy byla rovnoběžná s normálou plochy v bodě, který chceme obrábět. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 21 / 34

... ke geometrické modelování Klasický ofset v rovině Nechť C je křivka daná parametrizací c(t). Jednostranný ofset C d křivky C ve vzdálenosti d je potom dán parametrizací c d (t) = c(t) + d n(t), kde n(t) je jednotková normála křivky c(t). Oboustranný ofset křivky můžeme získat jako obálku jednoparametrického systému kružnic S(t) : (x c(t)) (x c(t)) = d 2, se středy kružnic na křivce C. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 23 / 34

... ke geometrické modelování Konstrukce ofsetu c(t) = (x(t), y(t)) Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 24 / 34

... ke geometrické modelování Konstrukce ofsetu Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 24 / 34

... ke geometrické modelování Konstrukce ofsetu T(t 0, λ) = (x(t 0), y(t 0)) + λ(x (t 0), y (t 0)) Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 24 / 34

... ke geometrické modelování Konstrukce ofsetu n(t 0) = ( y (t 0), x (t 0)) Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 24 / 34

... ke geometrické modelování Konstrukce ofsetu N(t 0) = n(t0) n(t 0) = ( y (t 0), x (t 0)) (x (t 0)) 2 + (y (t 0)) 2 Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 24 / 34

... ke geometrické modelování Konstrukce ofsetu c d (t 0) = c(t 0) + d N(t 0) Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 24 / 34

... ke geometrické modelování Konstrukce ofsetu c d (t) = c(t) + d ( y (t), x (t)) (x (t)) 2 + (y (t)) 2 Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 24 / 34

... ke geometrické modelování Polynomiální křivky s Pythagorejským hodografem Nechť C je křivka daná polynomiální parametrizací c(t). Hodograf křivky c(t) je dán parametrizací c (t). Křivka c(t) je křivkou s pythagorejským hodografem (zkráceně PH křivka), pokud složky jejího hodografu c (t) splňují pythagorejskou podmínku, tj. x 2 (t) + y 2 (t) = σ 2 (t). Splnění této podmínky je ekvivalentní s požadavkem, že hodograf lze vyjádřit ve tvaru x (t) = (u 2 (t) v 2 (t))w(t) y (t) = 2u(t)v(t)w(t) pro jisté polynomy u(t), v(t), w(t). Potom σ(t) = (u 2 (t) + v 2 (t))w(t). Vezmeme-li w(t) = 1 a u(t), v(t) takové, že D(u(t), v(t)) = 1, dostáváme regulární PH křivky lichého stupně. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 25 / 34

... ke geometrické modelování Rovinné polynomiální PH křivky Přímým důsledkem zavedení PH křivek je, že jsou to křivky s polynomiální délkou oblouku, jelikož s(t) = t 0 t x 2 (u) + y 2 (u)du = σ(u) du. PH křivky jsou křivky s racionálním ofsetem jelikož platí ( ) ( ) y (t) n(t) = x 2 (u) + y 2 (u), x (t) y (t) = x 2 (u) + y 2 (u) σ(t), x (t) σ(t) je c d (t) = c(t) + dn(t) racionální. Nejjednoduššími PH křivkami jsou přímky u(t), v(t), w(t) volíme konstantní. Prvními netriviálními regulárními PH křivkami jsou kubiky u(t), v(t) volíme lineární w(t) = 1 Lze ukázat, že existuje právě jedna PH kubika, tzv. Tschirnhausenova kubika a(t) = ( 3a(3 t 2 ), at(3 t 2 ) ) 0 Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 26 / 34

... ke geometrické modelování Polynomiální PH křivky v prostoru Analogicky můžeme zavést polynomiální prostorové PH křivky nechť c(t) = (x(t), y(t), z(t)) je prostorová křivka. Potom c(t) je prostorovou PH křivkou, pokud existuje polynom σ(t) splňující x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t) = σ 2 (t). Podobně jako v rovině, splnění této podmínky je ekvivalentní s požadavkem, že hodograf musí být možné vyjádřit ve tvaru x (t) = u 2 (t) + v 2 (t) p 2 (t) q 2 (t), y (t) = 2u(t)p(t) + 2v(t)q(t), z (t) = 2u(t)q(t) 2v(t)p(t) pro polynomy u(t), v(t), p(t), q(t). Potom σ(t) = u 2 (t) + v 2 (t) + p 2 (t) + q 2 (t). Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 28 / 34

... ke geometrické modelování Co dál? PH křivky v Minkowského prostoru R 2,1 Uvažujme prostorovou křivku y(t) = (y 1(t), y 2(t), y 3(t)), ke které vypočteme obálku kružnice se středem (y 1(t), y 2(t)) a poloměrem y 3(t) ( ) [ ( ) y1 y 3 x ±(t) = y y ( ) ] 1 y 2 y 12 + y 2 2 3 y 2 ± y 12 + y 22 y 3 2 y 2 y 1 Studium racionality obálek vedlo k zavedení Minkowského křivek s pythagorejským hodografem (MPH křivky), které splňují podmínku y 12 (t) + y 22 (t) y 32 (t) = ϱ 2 (t), PH podmínka je nyní splněna vzhledem k Minkowského skalárnímu součinu u, v = u 1v 1 + u 2v 2 u 3v 3. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 29 / 34

... ke geometrické modelování Polynomiální MPH křivky Nutnou a postačující podmínkou pro to, aby křivka byla prostorovou polynomiální MPH křivkou je y 1 = U 2 V 2 + P 2 Q 2, y 2 = 2UV 2P Q, y 3 = 2UP 2V Q, ϱ = U 2 + V 2 P 2 Q 2, U, V, P, Q R[t] zobecněné pythagorejské čtveřice (jiný než euklidovský skalární součin) Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 30 / 34

Závěr Osnova 1 Úvod 2 Od Pythagora... Pythagorejská škola Pythagorejské trojice Euklidova formule, racionální parametrizace kružnice 3... ke geometrické modelování Vznik geometrického modelování Teorie racionálních ofsetů Křivky s pythagorejským hodografem 4 Závěr Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 31 / 34

Závěr Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 32 / 34

Závěr Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 33 / 34

Závěr DĚKUJI ZA POZORNOST! Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března 2012 34 / 34