Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010 Matematika 1 1 / 29

AMOS - přihlašování na zkoušky předtermín se nekoná strany skript 49-61 11. přednáška (15.12.2010 Matematika 1 2 / 29

1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010 Matematika 1 3 / 29

Opakování Operace s maticemi... Součet matic ( a b c d + skalární násobek matice (ev. vytýkání ( a b 15 c d ( 1 1 0 3 ( a + 1 b 1 = c d + 3 ( 15 a 15 b = 15 c 15 d,, transpozice matice Součin matic (nekomutativní!!! ( a b c d ( a b c d T ( a c = b d ( 1 1 0 3. = Nulová matice a jednotková matice ( 0 0 0 0 0 0, ( 1 0 0 1. 11. přednáška (15.12.2010 Matematika 1 4 / 29

Opakování Operace s maticemi... Součet matic ( a b c d + skalární násobek matice (ev. vytýkání ( a b 15 c d ( 1 1 0 3 ( a + 1 b 1 = c d + 3 ( 15 a 15 b = 15 c 15 d,, transpozice matice ( a b c d T ( a c = b d. Součin matic (nekomutativní!!! ( a b c d ( 1 1 0 3 ( a a + 3b = c c + 3d. Nulová matice a jednotková matice ( 0 0 0 0 0 0, ( 1 0 0 1. 11. přednáška (15.12.2010 Matematika 1 4 / 29

Opakování Inverzní matice. (A E (E A 1, ( 1 2 1 0 3 2 0 1 ( 1 2 1 0 0 4 3 1 ( 1 0 1 1 2 2 3 1 0 1 4 4 AX = E. ( 1 2 1 0 3 1 0 1 4 4. Maticové rovnice. XA + 7X = B XB XA + 7X + XB = B X(A + 7E + B = B a buď a řešit soustavu X(A + 7E + B = B (neboli (A + 7E + B T X T = B T, nebo b vypočítat X = B(A + 7E + B 1, jestliže je matice A + 7E + B regulární. 11. přednáška (15.12.2010 Matematika 1 5 / 29

Permutace uspořádané n-tice prvků 1, 2, 3,..., n. Inverze je dvojice čísel v permutaci, pro kterou platí, že hodnoty jsou v opačné relaci než pozice. Počet inverzí v permutaci (s 1, s 2,..., s n označíme P(s 1, s 2,..., s n. Např. (1, 3, 2, 4 má jen jednu inverzi (3, 2, tedy P(1, 3, 2, 4 = 1. Např. P(2, 3, 1, 4, 5, 6, 7 = 2. Znamení permutace je ( 1 P(s 1,s 2,...,s n. Např. ( 1 P(2,1,3 = 1, ( 1 P(1,2,3 = 1,.... Definice Je-li A čtvercová matice typu n n, je její determinant det A = ( 1 P(s 1,s 2...,s n a 1,s1 a 2,s2... a n,sn, (s 1,s 2...,s n kde sčítáme přes všechny permutace (s 1, s 2..., s n čísel (1, 2..., n (počet sčítanců ve vzorci je tedy n!. Číslo P(s 1, s 2..., s n je počet inverzí v permutaci (s 1, s 2..., s n. 11. přednáška (15.12.2010 Matematika 1 7 / 29

Determinant matice typu 1 1 je hodnota jediného prvku matice. Determinant matice typu 2 2 je Determinant matice typu 3 3 je det A = a 11 a 22 a 12 a 21. det A = a 11 a 22 a 33 + a 13 a 21 a 32 + a 12 a 23 a 31 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32. Pro snadné zapamatování dvou posledních vzorců, můžeme použít následující schemata ( (.. det A =,.. det A =............ +............ +............. 11. přednáška (15.12.2010 Matematika 1 8 / 29

(. det A =. (.., det A =............ +............ +............. Například pro je ( 7 2 A = 3 1, B = 7 3 2 1 1 0 1 3 5 det A = 7 1 ( 3 2 = 13, det B = 7 1 5 + 2 0 1 + ( 3 3 ( 1 1 1 ( 1 2 ( 3 5 7 3 0 = 75. 11. přednáška (15.12.2010 Matematika 1 9 / 29

Věta Absolutní hodnota determinantu matice typu 2 2 je rovna obsahu rovnoběžníka určeného vektory, které jsou řádky (nebo sloupce matice. Absolutní hodnota determinantu matice typu 3 3 je rovna objemu rovnoběžnostěnu určeného vektory, které jsou řádky (nebo sloupce matice. ( 1 3 det 5 1, det 1 5 3 1 7 1 2 8 2 5 4 3 2 1 0 [1,3] [5,1] 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 [0,0,0] [5, 1,1] [1,3,7] [ 2,8,2] 1 0 1 2 3 4 5 11. přednáška (15.12.2010 Matematika 1 10 / 29

Věta Pro determinanty matic platí následující a det AB = det A det B; b det A = det A T ; c je-li A regulární, je det A 1 = 1 det A ; d A je regulární, právě když det A 0; e jestliže B vznikne z A prohozením dvou různých řádků nebo sloupců, je det B = det A; f jestliže B vznikne z A vynásobením řádku nebo sloupce číslem s, je det B = s det A; g jestliže B vznikne z A přičtením libovolného násobku řádku (sloupce k jinému řádku (sloupci, je det B = det A. Např. ( 1 1 det 0 3 ( 0 3 = det 1 1,... 3 = ( 3, ( 1 1 det 0 3 ( 1 1 = det 5 8,... 3 = 3. Jak pomocí výpočtu detereminantu poznáme, že sada 2 resp. 3 vektorů z R 2 resp. R 3 je bazí? 11. přednáška (15.12.2010 Matematika 1 11 / 29

Budeme používat následující označení. A ki je matice (submatice matice A, která vznikne z A vynecháním k-tého řádku a i-tého sloupce. Matice A ki je také čtvercová (ale menší než A, a tedy můžeme počítat její determinant. Např. pro je A = ( 0 2 det A 12 = det 1 7 0 3 2 1 1 0 1 0 7 = 0 7 ( 1 2 = 2, ( 1 1 det A 33 = det 0 3 = 1 3 0 1 = 3 Platí det A = a 11 det A 11 a 12 det A 12 + a 13 det A 13. 11. přednáška (15.12.2010 Matematika 1 12 / 29

Pro výpočet determinantu matice A můžeme použít následující pravidlo. Věta Nechť A je matice typu n n a 1 k n. Potom n det A = ( 1 k+i a ki det A ki. i=1 Uvedený vzorec pro výpočet determinantu se nazývá rozvoj determinantu podle k-tého řádku. Obdobně lze toto pravidlo formulovat pro sloupce (rozvoj determinantu podle k-tého sloupce. Např. spočtěme úsporně determinant matice A, A = 3 0 0. 7 2 1 1 3 5 Ve druhém řádku je hodně nulových prvků, použijeme tedy rozvoj determinantu podle druhého řádku, det A = ( 1 2+1 ( 3 det A 21 = 3 (2 5 3 ( 1 = 39. 11. přednáška (15.12.2010 Matematika 1 13 / 29

Označme Adj A matici složenou z determinantů výše uvedených submatic A ij Adj A = čili na pozici (i, j je číslo det A 11 det A 21... ( 1 n+1 det A n1 det A 12 det A 22... ( 1 n+2 det A n2............ ( 1 1+n det A 1n ( 1 2+n det A 2n... det A nn ( 1 i+j det A ji. Matici Adj A nazýváme maticí adjungovanou k matici A. Například pro matice jsou matice adjungované ( 7 2 A = 5 1 ( 1 2 Adj A = 5 7, B = 7 3 2 1 1 0 1 3 5, Adj B = 5 13 1 15 36 3 10 19 13., 11. přednáška (15.12.2010 Matematika 1 15 / 29

Věta Pro čtvercovou matici A platí A AdjA = AdjA A = det A E. Důkaz. Pro součin B = A Adj A platí, že b ii = det A a b ij pro i j je roven determinantu matice, která má dva stejné řádky, tedy nule. Věta Je-li A regulární, platí A 1 = 1 Adj A. det A Tedy například ( 7 2 3 1 1 = 1 ( 1 2 13 3 7. 11. přednáška (15.12.2010 Matematika 1 16 / 29

Adjungované matice lze využít také k vyjádření řešení soustavy lineárních rovnic. Věta (Cramerovo pravidlo Mějme soustavu rovnic s regulární maticí A. Potom Ax = b x i = 1 det A det B i, kde B i je matice A, ve které byl i-tý sloupec vyměněn za vektor pravé strany b. Důkaz. Jestliže Ax = b, potom speciálně i-tá složka řešení je x = A 1 b = 1 (AdjA b, det A x i = 1 det A ((AdjA i1b 1 + (AdjA i2 b 2 + + (AdjA in b n = = 1 det A (( 1i+1 b 1 deta 1i + ( 1 i+2 b 2 deta 2i + + ( 1 i+n b ndeta ni = 1 det A det B i, kde B i je matice A, ve které byl i-tý sloupec vyměněn za vektor pravé strany b. Použili jsme rozvoj determinantu podle i-tého sloupce. 11. přednáška (15.12.2010 Matematika 1 18 / 29

Příklad. Pomocí Cramerova pravidla určeme například poslední složku řešení v rovnici 1 0 1 0 2 1 x 1 x 2 = 4 1. 1 1 1 x 3 3 Determinant matice soustavy je det A = 2 + 0 + 0 2 0 1 = 1. Determinant matice soustavy, kde je poslední sloupec vyměněn za vektor pravé strany 1 0 0 2 4 1 1 1 3 je det B 3 = 6 + 0 + 0 8 1 = 3. Řešení x 3 je tedy x 3 = det B 3 det A = 3 1 = 3. 11. přednáška (15.12.2010 Matematika 1 19 / 29

Výpočet inverzní matice pomocí matice adjungované i řešení soustavy rovnic pomocí Cramerova pravidla jsou pro rozsáhlejší úlohy nepoužitelné! 11. přednáška (15.12.2010 Matematika 1 20 / 29

V mnoha inženýrských výpočtech se objevuje potřeba počítat ještě další charakteristiky matic nízkých i vysokých řádů. Definice Nechť A je čtvercová matice. Číslo λ, pro které má rovnice Ax = λx aspoň jedno nenulové řešení x (tedy x (0, 0,..., 0, se nazývá vlastní číslo matice A. Vektor x, který je tím nenulovým řešením je vlastní vektor matice A. Např. ( 2 3 0 7 ( 3 5 ( 3 = 7 5. Hledání vlastních čísel a vlastních vektorů...... určování hlavních směrů napětí, vlastních frekvencí nebo mezních zatížení systémů. Rozložení vlastních čísel matic má vliv na rychlost řešení a přesnost výsledku při řešení velkých soustav lineárních rovnic na počítači. 11. přednáška (15.12.2010 Matematika 1 22 / 29

Odvodíme praktický výpočet vlastního čísla matice A typu n n. Věta Číslo λ je vlastním číslem matice A, právě když je λ kořenem polynomu det(a λe. Důkaz. Platí Ax = λx, neboli (A λex = 0 a přitom x (0, 0,..., 0 T, právě když matice A λe je singulární, a tedy det(a λe = 0. Číslo λ tedy spočteme tak, že vyřešíme rovnici det(a λe = 0 vzhledem k λ. Rovnice se nazývá charakteristická rovnice matice A. Výraz p(λ = det(a λe je polynomem n-tého stupně v proměnné λ a nazývá se chrakteristický polynom matice A. Má nejvýše n různých kořenů, a tedy je nejvýše n vlastních čísel, obecně komplexních. 11. přednáška (15.12.2010 Matematika 1 23 / 29

Vypočtěme vlastní čísla a příslušné vlastní vektory matice ( 2 3 A =. 1 0 Charakteristický polynom matice A je determinant matice ( 2 λ 3 A λe = 1 λ p(λ = det(a λe = (2 λ( λ 3 = λ 2 2λ 3 = (λ 3(λ + 1, tedy vlastní čísla matice A jsou λ 1 = 1, λ 2 = 3. Určíme také vlastní vektory. Dosadíme λ 1 = 1 do matice A λi a řešíme ( ( ( 3 3 v1 0 (A λ 1 E = =. 1 1 v 2 0 Dostaneme v = (1, 1 T (a všechny jeho nenulové násobky. Podobně pro λ 2 = 3 zjistíme řešení ( ( ( 1 3 u1 0 (A λ 2 Eu = =. 1 3 u 2 0 Zjistíme, že u = (3, 1 T (a všechny jeho nenulové násobky., 11. přednáška (15.12.2010 Matematika 1 24 / 29

Pro vlastní čísla matic platí mnoho zajímavých tvrzení. Věta Determinant matice je součinem jejích vlastních čísel. (Tedy jestliže je jedno z nich nula, je nulový i determinant. Věta Cayleyova-Hamiltonova věta. Dosadíme-li do charakterisktického polynomu matice A matici A za proměnnou λ, dostaneme nulovou matici. Věta Součet diagonálních prvků matice (tzv. stopa matice je roven součtu vlastních čísel matice. 11. přednáška (15.12.2010 Matematika 1 25 / 29

Příklady. 1. Jaký determinant má jednotková matice? 2. Jaký je determinant diagonální matice? 3. Jaký je determinant horní trojúhelníkové matice? 4. Jaká je obecně inverzní matice k regulární matici ( a b A = c d? 5. Jaká vlastní čísla má matice ( 7 31 A = 0 5? 11. přednáška (15.12.2010 Matematika 1 26 / 29

Zkouška: 120 minut, sešité papíry,... Odpovědi na otázky - větami. Následující den: náhledy, zkoušení na A, zápis známky do indexu. Výběrová Matematika 2... web Katedry matematiky Vyčichlova soutěž v matematice, aplikované matematice a geometrii, květen Rektorysova soutěž v aplikované matematice, listopad Kapitoly ze současné matematiky XKSM, seminář... web Katedry matematiky 11. přednáška (15.12.2010 Matematika 1 28 / 29

Katedra matematiky předmět YZAI (Základy informatiky MATLAB SCILAB - volně 11. přednáška (15.12.2010 Matematika 1 29 / 29