Hladna akustckého tlaku buzení harmonckou slou [db] Statstcká energetcká analýza (SA) V současné době exstue řada způsobů, ak řešt vbroakustcké problémy. odobně ako v ných odvětvích nženýrství, také ve vbroakustce e žádoucí zvolt nevhodněší metodu řešení problému, a to tak, aby bylo vynaloženo co nemenší úslí př mnmálních nákladech. Vedle klasckých determnstckých metod, využívaících dferencální rovnce druhého řádu, vyvíeí se od polovny. století též statstcké metody, které sou založeny na energetckém základu. Zatímco první skupna metod e charakterstcká velkým počtem rovnc, které e nutné vyřešt pro získání požadovaných velčn (síly, posunutí), druhá skupna vyžadue řádově mnohem menší počet rovnc založených čstě na energích. odstatný e rozdíl typů rovnc, používaných v obou metodách. Jak už bylo řečeno, determnstcké metody pracuí s dferencálním rovncem, zatímco statstcké metody pracuí s lneárním algebrackým rovncem, které sou ednoduše řeštelné s použtím běžných metod matcové algebry. odstatné e neen to, že energetcké velčny se daí určt ednoduše, ale také to, že vztah mez výkonem a energí není tak ctlvý na změnu parametrů, ako e tomu u velčn využívaných v determnstckých metodách. Z toho e zřemé, že na rozdíl od energetckých metod nesou klascké přístupy dobře použtelné pro problémy, u nchž dochází k vyzařování akustcké energe př vyšších frekvencích. a Obr. e uvedena lustratvní ukázka ctlvost hladny akustckého tlaku př různé frekvenc buzení harmonckou slou na vstupní parametry (kombnace vlastních tvarů, teplota apod.) př použtí determnstckých metod. Frekvence [Hz] Obr. Ukázka ctlvost MK výpočtu př vzrůstaící frekvenc buzení [] a Obr. e schematcky naznačen postup řešení typcké vbroakustcké úlohy, t. určení hladny akustckého tlaku v kavtě pro dané buzení a pohltvost. Je zřemé, že energetcké řešení e elegantněší, rychleší a poskytue pouze nformac, kterou opravdu požadueme. Výsledkem však v tomto případě není determnstcky přesná hodnota, ale spíše akás očekávaná č předpokládaná hodnota založená na statstckých prncpech.
Determnstcké řešení nergetcké řešení. Sestavení vlnové rovnce. Spočítání vstupního výkonu (pokud už není dán). Určení okraových podmínek. L p,m =L W -log(a/a ). Vyřešení rovnc (analytcky nebo numercky). Výsledná očekávaná hodnota. Výsledné rozložení akustckého tlaku 5. Určení střední hladny akustckého tlaku L p,m Obr. Rozdíly v základních algortmech determnstckého a energetckého řešení vbroakustckých problémů V současnost nerozšířeněší energetckou metodou e statstcká energetcká analýza (SA). Jeí počátek sahá do raných 6. let. století, kdy vznkla potřeba řešt specfcké vbroakustcké problémy aerospace průmyslu. řívlastek statstcký odkazue na to, že proměnné sou součástí statstckých souborů a všechny výsledky sou očekávané nebo předpokládané hodnoty, t. hodnoty s určtou mírou pravděpodobnost. nergetcký v názvu metody zdůrazňue, že metoda pracue s energetckým velčnam. subsystém subsystém subsystém a) a) b) Obr. Subsystém SA: a) ednoduchý subsystém, b) spoení dvou subsystémů Základní myšlenkou SA e rozdělení soustavy na skupnu spoených podsystémů ( subsystémů ), Základní myšlenkou SA e rozdělení soustavy na skupnu spoených subsystémů ( podsystémů ), přčemž e analyzována energetcká výměna mez ednotlvým subsystémy. Celý postup e založen na výpočtu toku výkonů a uložení dynamckých energí. Tuto myšlenku a základní prncp s ukažme na ednoduchém příkladě edného subsystému (Obr. a). Buzení tohoto subsystému e charakterzováno vstupním výkonem (power nput). Jakmle e do subsystému přveden tento vstupní výkon, uvntř subsystému se uloží dynamcká energe. V prax se
však část energe ztratí (např. vlvem dspace). Tato energetcká ztráta se dá vyádřt vztahem pro dspatvní výkon (power loss): f () Je zřemé, že velkost dspatvního výkonu závsí na energ uložené v subsystému a na faktoru tlumení (dampng loss factor). okud budeme uvažovat ustálený stav, pak vstupní výkon musí být roven dspatvnímu výkonu: () Rozšřme problém o druhý subsystém, který e s prvním vzáemně energetcky propoen (vz Obr. b). Je zřemé, že výkonová blance vyádřená rovncí () platí vzáemně mez oběma subsystémy. Důsledkem e, že oba subsystémy sdíleí dynamckou energ, výkon teče ze subsystému do subsystému. Z hledska subsystému de o ztrátu, t. výkon e výkonem dspatvním. Stený tok exstue opačným směrem. K určení těchto vzáemných toků e třeba zavést další velčnu, tzv. faktor ztráty vazeb mez subsystémy (couplng loss factor). Výkon přenášený mez subsystémy (power flow) e pak dán vztahem: f () kde a e počet modů ve frekvenčním pásmu f a podíly v závorce vyadřuí střední modální energ (modal energy) každého subsystému ve frekvenčním rozsahu f. Tok výkonu e tedy úměrný rozdílu modálních energí. / / / / Obr. říklad struktury se čtyřm subsystémy
a Obr. e zobrazena složtěší struktura čtyř subsystémů. Tentokrát uvažume vstupní výkon pouze u subsystému. a základě výkonové blance musí platt rovnost vstupního výkonu a součtu dspatvních výkonů. Obecně tedy platí:, Konkrétně pro subsystém můžeme psát: Záporné znaménko u výkonů a e zřemé, neboť de o výkony, které se přenáší ze subsystémů a a pro subsystém v podstatě tvoří výkonový zsk. odobně můžeme psát výkonovou blanc pro další subsystémy: uly na levých stranách rovnce (6) znamenaí, že těmto subsystémům není přváděn žádný vstupní výkon. Dosadíme-l za vstupní výkon a výkonový tok, pak obdržíme soustavu lneárního rovnc v následuícím tvaru:, f arametry ( ) na mmodagonálních pozcích matce sou faktory ztráty vazeb mez subsystémy. arametry v závorkách na dagonále matce sou celkové faktory tlumení, t. obecně: Z uvedené matce e dále patrný recproční vztah mez a : nerge subsystémů ve vektoru na pravé straně rovnce (7) lze určt následovně: V případě mechanckého subsystému o hmotnost m [kg]: () (5) (6) (7) (8) (9)
m v () V případě akustckého subsystému s akustckou mpedancí c : v p c () V obou případech maí velčny v ostrých závorkách střední efektvní hodnotu průměrovanou přes prostor subsystému, t. v prvém případě de o střední efektvní rychlost a ve druhém případě o střední efektvní akustcký tlak. V předchozích odstavcích byl představen základní prncp sestavení soustavy rovnc pro řešení problémů pomocí SA, avšak poem subsystém nebyl dosud více rozveden. Subsystémem lze chápat část analyzované struktury, přčemž tato část musí být schopna vbrovat zcela nezávsle na ostatních částech dané struktury. Jným slovy, subsystémy sou skupny stených modů ve fyzkálních složkách systému. Těmto fyzkálním složkam mohou být nosníky, desky, akustcké prostory, potrubí apod., tedy snadno dentfkovatelné prvky. Skupny stených modů v každé fyzkální složce sou ty, které maí rezonanční frekvence v daném frekvenčním pásmu a maí podobné tvary kmtů (t. podélné, ohybové, torzní), takže maí také stené hodnoty tlumení, buzení a parametry vazby. arametry pro každou skupnu modů sou vyhodnoceny ako průměrné přes dané frekvenční pásmo. říklad vytvoření subsystémů e uveden Obr. 5. Lomený nosník lze rozdělt na dva přímé nosníky a. U obou těchto nosníků lze dentfkovat tř typy modů: Ohybové (B), torzní (T) a podélné (L). U daného nosníku tedy lze zvolt celkem osm subsystémů (avšak lze vybrat menší počet). Každá skupna modů nebo subsystém e edním prvkem modelu SA, tzn. každý subsystém má eden stupeň volnost (průměrnou energ skupny modů). Každý subsystém e defnován několka parametry: středním frekvenčním odstupem mez modálním rezonancem střední modální čntel tlumení celkový vstupní výkon do modů z vněších buzení střední faktor ztrát vazeb mez subsystémy B z T L B x B y B z x y z T L Obr. 5 říklad subsystémů u lomeného nosníku
a Obr. 6 e další ukázka vytvoření subsystémů. Jde o dvě místnost oddělené příčkou, přčemž analýza se týká bočního přenosu zvuku. a tomto obrázku e naznačen model tvořený max. 5 subsystémy (dva pro dvě místnost a tř pro ednotlvé stěny místností). Avšak problém lze modelovat nak. V následuícím přehledu sou naznačeny tř možné úrovně modelování tohoto problému lšící se počtem defnovaných subsystémů: subsystémy; subsystémem e celá místnost, t. uvažován pouze nerezonanční přenos subsystémy; subsystémy sou místnost a ohybové vlny v příčce, t. uvažován rezonanční nerezonanční přenos 5 subsystémů; rezonanční, nerezonanční a boční přenos zvuku strop zadní s. strop zadní s. levá s. přední s. podlaha příčka přední s. podlaha pravá s. Obr. 6 říklad subsystémů u spoených místností oužtí SA předpokládá provedení několka nezbytných kroků. V prvé řadě musí být vytvořen model. Model e vytvořen rozdělením struktury na subsystémy metodam popsaným výše. Vytvoření subsystémů e poměrně obtížný úkol, protože musí být splněna řada předpokladů a musí být vzato do úvahy množství dalších okolností konkrétního řešeného problému. Kromě toho často exstue více možností, ak danou strukturu rozdělt, t. může být vytvořeno více kvaltatvně rozdílných modelů, tzn. neednoznačnost modelování e další obtíží, se kterou se v SA setkáváme. Jakmle e model vytvořen, dalším krokem e dentfkování frekvenčního rozsahu a šířka frekvenčního pásma, které nás zaímá. Tento postup e společný pro expermentální predkční SA. Hlavním posláním expermentální SA e určení všech faktorů tlumení a faktorů ztráty vazeb, a to (ak už název metody napovídá) expermentální cestou. odstata této metody e taková, že se postupně přvede určtý výkon na ednotlvé subsystémy (například úderem kladva, reproduktorem nebo ným budčem kmtů) a poté se měří energe v každém subsystému (akcelerometry č mkrofony) vz Obr. 7. Jakmle e sére těchto úkonů provedena, obdržíme pro každý subsystém sadu energí, které označíme, t. energe subsystému př buzení subsystému. Hledaný faktor ztráty vazeb pro subsystém pak lze ze získaných energí vypočítat ze vztahu:
f Matce e obvykle dobře podmíněná protože hodnoty na dagonále bývaí velké ( e větší než ). Mohou se však vyskytnout případy, kdy vydou záporné hodnoty faktoru ztráty vazeb. Za určtých okolností lze tento vztah nahradt mnohem ednodušším vztahem, aby nemusela být prováděna nverze matce: f Abychom mohl použít tento vztah, musí být splněny tyto předpoklady: modální energe / přímo buzeného subsystému musí být větší než subsystému, se kterým e spoen, t. vztah neplatí v případě vazby / /. vztah počítá faktor ztráty vazby mez dvěma subsystémy z měření pouze těchto subsystémů (dalším předpokladem e, že většna výkonu proudí přímo mez těmto dvěma subsystémy, ne přes třetí). Tento předpoklad znamená, že uvedená rovnce nemůže být použta pro stanovení nepřímých faktorů ztráty vazby (t. faktorů ztráty vazeb mez subsystémy, které nesou fyzkálně přímo spoeny), dokud domnuí nepřímá propoení. Měření č. Měření č. Měření č. Obr. 7 ostup př expermentální SA () ()
Faktor tlumení všech subsystémů lze ze získaných energí vypočítat ze vztahu: f () Hlavní myšlenkou predktvní SA e vyhodnocení faktorů ztráty vazeb na teoretckém základě. Díky tomu e možné predkovat chování struktury v počátečních fázích návrhu, kdy eště není možné provádět měření a expermenty. ostup této metody e následuící. eprve e odhadnut faktor tlumení, a to z různých emprckých tabulek, z výpočtu č en čstě ze zkušenost. ak pomocí výpočtu č expermentu e určen vstupní výkon. Faktor ztráty vazeb může být spočítán nebo vyhodnocen různým způsoby v závslost na daném případu: z účnnost přenosu (nebo radace) tzv. vlnový přístup použtím modálních přístupů použtím numerckých metod (MK) využtím recprocty ( =λ / ) Jakmle sou známy všechny nutné vstupní parametry, rovnce SA mohou být vyřešeny a odezva struktury predkována. oužtá lteratura. Mšun, V, Vbrace a hluk (VUTIUM, VŠ skrptum). Sarrad,., nergy-based Vbroacoustcs: SA and Beyond. Cmerman, B., Bhar. T., Borello, G., Overvew of the xpermental Approach to Statstcal nergy Analyss. Fscher, M., The Statstcal nergy Analyss (oweront presentaton)