Příklady ke zkoušce z Aplikované matematiky Robert Mařík 2. února 205 Odpovědi nechápejte prosím jako vzorové odpovědi na jedničku. Často nejsou úplné, neodpovídají na všechny části otázky a slouží spíše k nasměrování, kde odpověď hledat v učebních materiálech. Diferenciální počet. Definujte parciální derivaci funkce f(x, y) podle x a podle y a napište její praktický (geometrický) význam. f x = lim f(x + x, y) f(, y), jedná se o směrnici tečny, x 0 x která leží v rovině kolmé na osu patřící k proměnné, podle níž se nederivuje nebo o poměr rychlosti růstu veličiny podle které se derivuje a funkčních hodnot, za předpokladu konstantnosti veličiny, podle které se nederivuje. 2. Vysvětlete geometrický význam parciální derivace. o můžeme říct o funkci, která splňuje f(2, ) = 3 a f x(2, ) = 6? Vysvětlete pomocí vhodné charakteristiky vhodné přímky. Přímka, která je rovnoběžná s rovinou xz a je v bodě 2, tečná ke grafu funkce z = f(x, y) má směrnici 6. 3. Vysvětlete význam parciální derivace jako míry rychlosti s jakou se mění funkční hodnoty. o můžeme říct o funkci, která splňuje f(2, ) = 3 a f x(2, ) = 6? 8. Definujte gradient (totální diferenciál) funkce tří proměnných a vypočtěte gradient (totální diferenciál) funkce x 2 + y 2 z 2. 9. Definujte divergenci (rotaci) vektorové funkce a vypočtěte divergenci (rotaci) funkce F = y x x 2 + y 2 i + x 2 + y 2 k., ) 2xy i + (x 2 y 2 ) j + (x 2 y 2 ) k 2xy (x 2 + y 2 ) 2, ( (x 2 + y 2 ) 2 rot F = div F = 0. Vypočtěte (divergenci) rotaci vektorového pole F = (2xy 2 z + xy) i + (2x 2 yz + ax 2 ay 2 ) j + x 2 y 2 k a zjistěte, zda může být pro nějakou hodnotu reálného parametru a nulová. (Pozn: myšleno jako identicky nulová funkce, tj. rovna nula v celém prostoru.) rot F = 0 i + 0 j + (2a )x k, rotace je nulová pro a = 2 div F = 2y 2 z + 2x 2 z + y 2ay, divergence není nulová pro žádnou hodnotu reálného parametru a, Je-li x = 2 a y =, y zůstává konstantní a x se mění v čase, potom se veličina z mění šestkrát rychleji než veličina x. Pro malé h platí f(2 + h, ) 3 + 6h. 4. Pro funkci dvou proměnných z = xye y vypočtěte všechny parciální derivace. viz MAW nebo WolframAlpha 5. Pro funkci tří proměnných u = x 2 + y 2 z 2 vypočtěte všechny parciální derivace. 6. Pro funkci z(x, y) = xy 2 ln(ax + y 2 ) s reálným parametrem a vypočtěte všechny parciální derivace. z x = ln(ax + y 2 ) + ax ax + y 2, z y = 2xy ln(ax + ) + 2xy3 ax + y 2 7. Definujte gradient (totální diferenciál) funkce dvou proměnných a vypočtěte gradient (totální diferenciál) funkce z = xy a e y, kde a R \ {0} je reálný parametr. f dx + y dy, df = f x ) ( f x, f y f(x, y) =. Napište vzorec pro tečnou rovinu ke grafu funkce dvou proměnných f(x, y) v bodě (x 0, y 0 ) a použijte tento vzorec pro nalezení tečné roviny ke grafu funkce z = x 2 + xye y v bodě 2, 0. z = f(x0, y0) + f(x0, y0)(x x0, y y0) 2. Napište vzorec pro lineární aproximaci funkce tří proměnných f(x, y, z) v okolí bodu (x 0, y 0, z 0 ) a použijte tento vzorec pro lineární aproximaci funkce u = x 2 + y 2 z 2 v okolí bodu,,. f(x, y, z) f(x0, y0, z0)+ f(x0, y0, z0)(x x0, y y0, z z0), f(x, y, z) x + y z 3. Zformulujte Schwarzovu větu a ukažte její platnost na funkci z = x 5 + x 2 y 3 + x 3 y 2 +. 2 z xy = 2 z yx 4. Najděte vektor, který je v bodě (2, ) kolmý k vrstevnici funkce z = x 2 y xy 3. = (3, 2) x=2 y= = (2xy y 3, x 2 3xy 2 ) x=2 y= (x 2 y xy 3 )
5. Najděte tečnu ke grafu funkce dané v okolí bodu (2, ) implicitně rovnicí x 2 y xy 3 2 = 0. (použijte aparát parciálních derivací) (x 2, y ) = 0 = 3x 2y 4 = 0 x=2 y= (x 2 y xy 3 2) 6. Ověřte, zda je výraz x 2 ydx+ (y + 3 ) x3 dy totálním diferenciálem. Pokud ano, nalezněte jeho kmenovou funkci.. Kmenová funkce = x 2 = ( y + 3 x3) x je 3 x3 y + 2. Ano, protože (x2 y) y 7. Zformulujte nutnou a postačující podmínku, která udává, kdy je možno funkci dvou proměnných ϕ(x, y) zapsat ve tvaru ϕ(x, y) = f(x)g(y), kde f a g jsou vhodné funkce jedné proměnné. Naznačte hlavní myšlenku odvození této podmínky a její použití na funkci ϕ(x, y) = x 2 y 2 ϕ 2 x y ln(ϕ) = ϕ 0 = x Je-li ϕ(x, y) nenulová množině, platí, že funkci ϕ(x, y) je ve y) = f(x)g(y) právě tehdy y ϕ = 0. Pokud ϕ = f(x)g(y), potom ln ϕ = ln f(x) + ln g(y) a y ϕ ϕ na konvexní možno zapsat tvaru ϕ(x, ϕ x ϕ když 2 xy ϕ ϕ x x 2 Integrální počet. Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu x x 2 + y 2 ds po křivce = {(x, y) : x = cos(t), y = sin(t), t 0, π}. 5. Kdy integrál druhého druhu nezávisí na integrační cestě? Vysvětlete, co pojem nezávislost na integrační cestě znamená a napište, které znáte podmínky ekvivalentní tomu, že integrál F d r nezávisí na integrační cestě pro libovolnou křivku ležící v oblasti Ω. Integrál nezávisí na integrační cestě pokud je jeho hodnota stejná podél všech křivek, které mají stejný počáteční i koncový bod. To nastane právě tehdy když integrál po každé uzavřené křivce je roven nule, právě tehdy když k vektorovému poli F existuje kmenová funkce, právě tehdy když je rotace pole F nulová. 6. Rozhodněte, zda křivkový integrál (2x + y)dx + (x + 2y)dy závisí či nezávisí na integrační cestě v R 2. Nezávisí, protože pro P = 2x + y a Q = x + 2y máme P y = Q x, resp. rotace vektoru (2x + y) i + (x + 2y) j je nulová. 7. Rozhodněte, zda křivkový integrál y 2 z 3 dx + 2xyz 2 dy + 3xy 2 z 2 dz závisí či nezávisí na integrační cestě v R 3. 8. Vysvětlete rozdíl mezi křivkovým integrálem prvního a druhého druhu a napište alespoň jednu fyzikální aplikaci každého z těchto integrálů. U křivkového integrálu prvního druhu nezáleží na orientaci křivky a pracujeme se skalární funkcí, u křivkového integrálu druhého druhu záleží na orientaci křivky a pracujeme s vektorovou funkcí. 9. Vysvětlete rozdíl mezi křivkovým integrálem a dvojným integrálem a napište alespoň jednu fyzikální aplikaci každého z těchto integrálů. 2. Vypočtěte křivkový integrál druhého druhu F d r funkce F = x 2 i + y 2 j po křivce = {(x, y) : x = cos(t), y = sin(t), t 0, π}. 3. Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu 2 3 y 2 ds po křivce, která je obvodem obdélníku s vrcholy (0, 0), (2, 0), (2, ), (0, ). 4. Vypočtěte křivkový integrál druhého druhu xdx + ydy po křivce, která je obvodem obdélníku s vrcholy (0, 0), (2, 0), (2, ), (0, ). Integračním oborem je jednou křivka a jednou množina v rovině. Jeden integrál je tedy vhodný na popis problémů týkajících se dějů podél křivek a jeden na popis dějů v nějaké podoblasti ve 2D. 0. Napište alespoň dvě (tři) fyzikální aplikace křivkového integrálu prvního druhu (křivkového integrálu druhého druhu, dvojného integrálu). Vždy napište, jakou funkci je nutno integrovat a jakou veličinu obdržíme jako výsledek. Viz přednášky. První druh: obsah válcové plochy, hmotnost křivky, lineární moment křivky, moment setrvačnosti křivky. Druhý druh: práce, tok křivkou, obsah množiny ve 2D. Dvojný integrál: obsah množiny, hmotnost množiny, lineární a kvadratický moment množiny ve 2D. Přesné rozepsání příslušných integrálů a vysvětlení veličin které tu figurují je v učebním textu. Dvojný integrál... zapište jako dvojnásobný v polárních souřadnicích. Příklady na výpočet dvojného integrálu je možno brát z písemek http://user.mendelu.cz/marik/inzmat/pisemky-im.zip 2
2. Dvojný integrál... zapište jako dvojnásobný pro obě možná pořadí integrace. 3. Vypočtěte dvojný integrál... 4. Vypočtěte střední hodnotu funkce f(x, y) = x 2 + y 2 na jednotkovém čtverci s vrcholy (0, 0), (0, ), (, 0), (, ). 5. Vypočtěte střední hodnotu funkce f(x, y) = y na jednotkovém půlkruhu zadaném nerovnicemi y 0 a x 2 + y 2. 2 3 4 3π 6. Zformulujte Greenovu větu pro převod cirkulace vektorového pole P (x, y) i + Q(x, y) j po uzavřené křivce, tj. napište, jak je možno převést integrál P (x, y)dx + Q(x, y)dy po vhodné uzavřené křivce na dvojný integrál. Napište i jak jsou svázány obory integrace v obou integrálech (křivka u křivkového integrálu a množina v R 2 u dvojného integrálu) a připojte jednoduchý příklad pro ilustraci. viz přednáška 7. Zformulujte Greenovu větu pro převod toku vektorového pole P (x, y) i + Q(x, y) j uzavřenou křivkou, tj. napište, jak je možno převést integrál Q(x, y)dx + P (x, y)dy po vhodné uzavřené křivce na dvojný integrál. Napište i jak jsou svázány obory integrace v obou integrálech (křivka u křivkového integrálu a množina v R 2 u dvojného integrálu) a připojte jednoduchý příklad pro ilustraci. 3. Definujte, jaké diferenciální rovnici říkáme lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Napište příklad diferenciální rovnice druhého řádu, která je a příklad rovnice, která není lineární. y + p(x)y + q(x)y = f(x), lineární je například y + ln(x)y = 0 a není například y y 3 = 8. 4. Napište obecný tvar lineárního diferenciálního operátoru prvního řádu a dokažte, že zachovává lineární kombinaci funkcí. Lu = u + a(x)u, Ly + 2 = = Ly + 2L (viz přednášky) 5. Napište obecný tvar lineárního diferenciálního operátoru prvního řádu Ly. Dokažte, že metoda variace konstanty vede k cíli, tj. ukažte, jak se tento operátor chová vzhledem k součinu dvou funkcí uv, kde u je řešení homogenní rovnice Lu = 0. Dále odvoďte vztah, který musí splňovat funkce v tak, aby součin uv byl řešením rovnice Ly = b(x). b/vdx u v = b, tj. u = b/v a u = Lin. dif. operátor prvního řádu má obecný tvar Lu = u + a(x)u. Je-li Lu = 0, potom Luv = (uv) + auv = u v + uv + auv = v(u + au) + u v = vlu + u v = u v. Má-li platit Luv = b, musí tedy být 6. Napište, jak hledáme řešení diferenciální rovnice y = f(x)g(y). dy/dx = f(x)g(y) a separací: g(y) dy = f(x)dx. K tomu ještě konstantní řešení rovnice g(y) = 0 7. Napište, jak hledáme řešení diferenciální rovnice y + py + qy = 0. 8. Pomocí Greenovy věty vypočtěte ( y 3 + ln(x + 2))dx + (x 3 + y 2 )dy viz přednáška po kladně orientované křivce, která je hranicí množiny {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 6, x 0, y 0}. 3 Diferenciální rovnice. Definujte, jaké diferenciální rovnici říkáme rovnice se separovanými proměnnými. Napište příklad diferenciální rovnice, která je a příklad rovnice, která není rovnicí se separovanými proměnnými. Rovnice typu y = f(x)g(y). Například y = xy 6 je a y = sin(xy) není rovnicí se separovanými proměnnými. 2. Definujte, jaké diferenciální rovnici říkáme lineární diferenciální rovnice prvního řádu. Napište příklad diferenciální rovnice, která je a příklad rovnice, která není lineární diferenciální rovnicí prvního řádu. Rovnice typu y + a(x)y = b(x), Rovnice y + y = 2 je a rovnice y + x sin(y) = 0 není lineární. Řešíme charakteristickou rovnici λ 2 + pλ + q = 0, rozlišujeme následující tři kvalitativně odlišné případy: (rozepište, viz přednáška) 8. Napište obecné řešení diferenciální rovnice y = a(x)y. y = e a(x)dx 9. Napište stručně, jak hledáme metodou variace konstanty obecné řešení diferenciální rovnice y + a(x)y = b(x). Nalezneme řešení rovnice Lu = 0 a partikulární řešení rovnice Ly = b hledáme ve tvaru y = uv, kde v je vhodná funkce. Funkci y dosadíme do rovnice a zjistíme, co musí funkce v splňovat, aby y bylo opravdu řešením. Tak nalezneme jedno řešení rovnice Ly = b(x). Je-li y jedno řešení rovnice Ly = b a jedno nenulové řešení rovnice Ly = 0, má obecné řešení rovnice Ly = b(x) tvar y = y +. 0. Napište stručně, jak hledáme metodou integračního faktoru obecné řešení diferenciální rovnice y + a(x)y = b(x). zintegrováním odstraníme derivaci a osamostatníme y. Rovnici vynásobíte výrazem e a(x)dx. Potom je možno ( ) rovnici zapsat ve tvaru ye a(x)dx = b(x)e a(x)dx,. Nalezněte všecha řešení diferenciální rovnice y + x 2 y 2 = 0. 3
2. Nalezněte všecha řešení diferenciální rovnice y + xy = e x. 3. Nalezněte všecha řešení diferenciální rovnice y + 2y + 2y = 0. 4. Nalezněte všecha řešení diferenciální rovnice y + 2y + y = x 3 + 2. 5. Dokažte, že dvě funkce jsou lineárně závislé (tj. jedna je násobkem druhé) právě tehdy, když je jejich wronskián roven nule. Návod: derivujte vhodný podíl pomocí vzorečku pro derivaci podílu. Jsou-li závislé je jejich podíl roven konstantě a derivace ( ) podílu je nula: = y 2 y yy 2 y 2 = W y,. Poslední zlomek je nula právě tehdy, když je nulový čitatel, tj. wronskián. 6. Horké těleso o teplotě y se v místnosti o konstantní teplotě T ochlazuje podle diferenciální rovnice y = k(y T ) (Newtonův zákon ochlazování říká, že rychlost změny teploty je úměrná teplotnímu rozdílu). Najděte obecné řešení této rovnice. Návod: řešte jako lineární rovnici, jedno řešení uhodněte z fyzikální podstaty problému, každý krok řešení pečlivě zdůvodněte. Jedno řešení je konstantní y = T (těleso o stejné teplotě jako místnost ani nechaldne ani se neohřívá). Řešení asociované homogenní rovnice y = ky je y0 = e kx, celkové obecné řešení je tedy y = e kx + T. 4 Rovnice matematické fyziky. Napište bilanční rovnici pro rychlost změny množství stavové veličiny v množině M, víme-li, že hustota veličiny je u, tok přes hranici je popsán funkcí Φ a vnitřní zdroje v množině M nejsou. 2. Napište rovnici kontinuity v integrálním tvaru a pro každý člen zvlášť vysvětlete jeho fyzikální význam. 3. Napište rovnici kontinuity v diferenciálním tvaru a pro každý člen zvlášť vysvětlete jeho fyzikální význam a za jakým podmínek je tento člen nulový. Napište, z čeho je rovince kontinuity odvozena. 4. Z čeho je odvozena difuzní rovnice? Napište toto odvození a vysvětlete všechny kroky. 5. Popište hlavní myšlenku řešení parciální diferenciální rovnice separací a ukažte tento postup na vlnové rovnici 2 u t 2 = 2 u u (na difuzní rovnici x2 t = 2 u x 2 ). Obyčejné diferenciální rovnice, ke kterým se dostanete, již řešit nemusíte. 6. V čem se liší okrajová a počáteční úloha pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu? Napište i příklad počáteční úlohy a okrajové úlohy. Uveďte příklad reálné situace, kdy formulujeme počáteční a kdy okrajové úlohy. 5 Dodatek květen 204. Uvažujme lineární diferenciální rovnici druhého řádu a její lineárně nezávislá řešení y a y 2 taková, že y a y 2 jsou nenulové. Ukažte, že pokud je jejich wronskián roven nule, potom je jedna z funkcí násobkem druhé. a protože v čitateli je wronskián, který je podle předpokladů roven nule, je (y/) = 0 a jedna funkce y, se liší jenom konstantním násobkem. = y y 2 yy 2 2 Stačí ukázat, že podíl funkcí je konstantní, k tomu stačí ukázat, že derivace podílu y/ je rovna nule. Platí ( ) y 2. Uvažujme lineární diferenciální rovnici druhého řádu a její lineárně nezávislá řešení y a y 2 taková, že y a y 2 jsou nenulové. Ukažte, že pokud je jedna z funkcí násobkem druhé, např. y 2 = ky pro k R, je wronskián funkcí y,2 roven nule, Přímým výpočtem podle definice wronskiánu W y, = yy 2 y y 2 = y(ky) y (ky ) = yky y ky = 0. 3. Kapka vody kulovitého tvaru v atmosféře roste tak, že rychlost, s jakou se zvětšuje její objem je přímo úměrná velikosti povrchu. Sestavte diferenciální rovnici popisující změnu objemu kapky v čase. aplikovana_matematika_204_04_24.pdf 4. Kruhová ropná skvrna na hladině se rozšiřuje tak, že poloměr roste rychlostí, která je nepřímo úměrná druhé mocnině poloměru. Sestavte diferenciální rovnici popisující tento proces a vyřešte ji. Jaká funkce popisuje proces zvětšování poloměru olejové skvrny v čase? aplikovana_matematika_204_04_24.pdf 5. Při volném pádu v prostředí s odporem vzduchu je rychlost tělesa ovlivněna dvěma faktory: roste konstantní rychlostí vlivem tíhové síly a klesá přímo úměrně druhé mocnině rychlosti vlivem odporové síly vzduchu. Výsledná změna rychlosti je součtem obou faktorů (resp. rozdílem velikostí obou faktorů, které působí proti sobě). Sestavte diferenciální rovnici pro rychlost takového volného pádu. aplikovana_matematika_204_04_24.pdf 6. Mnoho živočichů roste tak, že mohou dorůstat jisté maximální délky a rychlost jejich růstu je úměrná délce, která jim do této maximální délky chybí (tj. kolik ještě musí do této maximální délky dorůst). Sestavte diferenciální rovnici popisující takovýto růst. aplikovana_matematika_204_04_24.pdf 4
7. Rychlost učení (tj. časová změna objemu osvojené látky) je úměrná objemu dosud nenaučené látky. Sestavte diferenciální rovnici modelující proces učení probíhající podle těchto pravidel. aplikovana_matematika_204_04_24.pdf 8. o rozumíme pod pojmem okrajová úloha a vlastní čísla okrajové úlohy? Jak se liší Dirichletova a Neumannova okrajová úloha 9. Určete vlastní čísla okrajové úlohy y + λ 2 y = 0, y(0) = 0 = y(). Návod: rovnice y + λ 2 y = 0 má obecné řešení y = cos(λx) + 2 sin(λx). Pro x = 0 a y = 0 dostáváme dosazením do obecného řešení 0 =. Dosazením = 0 do obecného řešení dostáváme y = 2 sin(λx). Dosazením x = a y = 0 do předchozího vztahu dostáváme 0 = 2 sin(λ). Pokud nepovolíme 2 = 0 (zajímají nás nenulová řešení), musí platit sin(λ) = 0 a tedy λ = kπ pro k Z. V okrajové úloze nezadáváme počáteční podmínky (funkční hodnotu a derivaci ve stejném bodě) ale dvě podmínky ve dvou různých bodech, například funkční hodnotu ve dvou bodech (Dirichletova úloha), nebo derivaci ve dvou různých bodech (Neumannova úloha). Diferenciální rovnice při řešení okrajové úlohy zpravidla obsahuje nějaký parametr. Hodnoty parametru, pro které existuje netriviální řešení počáteční úlohy se nazývají vlastní čísla. 5