Mechanika II.A První domácí úkol (Zadání je ze sbírky: Lederer P., Stejskal S., Březina J., Prokýšek R.: Sbírka příkladů z kinematiky. Skripta, vydavatelství ČVUT, 3.) Vážené studentky a vážení studenti, byli bychom rádi, kdybyste k domácím úkolům z Mechaniky II.A přistoupili jako k možnosti, zkusit si vypočítat tři zadané příklady a navíc se dozvědět, zda jste je řešili správně. Každému, kdo se o to pokusí, se budeme rádi věnovat. Na druhou stranu jsou naše zkušenosti například z minulého semestru s domácími úkoly z Mechaniky I takové, že dostaneme od studentů z různých kroužků zcela totožná a bohužel ne vždy správná řešení. Věnujeme tedy spoustu našeho času na opravování Vašich referátů, které jste však nevypracovali, ale pouze okopírovali i se všemi chybami původního autora. Abychom šetřili náš čas, přicházíme s následujícím řešením: ) Řešení všech referátů musí být napsáno čitelně rukou. Zadání mohou být samozřejmě okopírována nebo vytištěna na počítači, řešení však nikoli! (Věřte, že i pouhé opsání nejlépe správného řešení Vám následně usnadní složení zkoušky). ) Všechna zadání jsou doplněna číselnými výsledky, zaokrouhlenými na určitý počet platných číslic (zpravidla na dvě desetinná místa, ale u některých výsledků to není vhodné). Každý výsledek Vašeho řešení uvádějte, prosím, vždy zpřesněný o další dvě desetinná místa. Pokud se mají tato další dvě desetinná místa shodovat s našimi přesnějšími výsledky, nesmíte při řešení mezivýsledky zaokrouhlovat. Nejjednodušší pro Vás je řešit vše v MATLABu. Ten Vám také usnadní nakreslení požadovaných grafů (inspirujte se řešeními příkladů ze cvičení na adrese http://moodle.fs.cvut.cz, která jsou umístěna ve složce Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky, Courses, Mechanika II.A). 3) Poskytnuté výsledky Vám umožní vlastní kontrolu, zda jste referát vypočítali správně. Kdo si přesto přeje kontrolu svého referátu učitelem, nechť na titulní list napíše PROSÍM OPRAVIT. Ostatní referáty učitel opravovat nebude, ale samozřejmě má právo špatně vyřešené referáty vrátit k přepracování. Věříme, že tento soubor šedesáti řešených příkladů Vám pomůže i při přípravě na zkoušku. I přes veškerou snahu nemusejí být všechny výsledky správné. Prosím, pokud jste přesvědčeni, že je některý výsledek nesprávný, zašlete Vaše řešení (pokud možno včetně souboru m-file) a Váš výsledek na email vaclav.bauma@fs.cvut.cz. Pokud budete mít pravdu, opravíme výsledek v tomto souboru vystaveném na našem webu. Děkuji Vám za spolupráci. Za kolektiv učitelů Mechaniky II.A Doc. Ing. Václav Bauma, CSc. Zadání č. Doplnění zadání a zaokrouhlené výsledky Str., Příklad.6 Dodatek k zadání podle skript: Rozhodněte, zda uvedený výsledek s 4 je dráha, kterou bod urazil za 4 sekundy nebo jeho odlehlost. Označte a vypočtěte druhou z veličin. Určete čas t n, ve kterém se bod navrátí do výchozí polohy. Kromě závislosti rychlosti a dráhy bodu na čase nakreslete i graf jeho odlehlosti. Všechny grafy nakreslete pro čas z intervalu < ; t n >. t z = 3,67 s, v 4 = -5, ms -, s 4 = 44, m, s z = 44,8 m, druhá z veličin = 45,6 m, t n = 5,87 s
9 45 8 4 7 35 6 3 - ] rychlost [ms - - draha [m] 5 4 odlehlost [m] 5 3 5-3 -4 5-5 4 6 4 6 4 6 Str., Příklad.7 Dodatek k zadání podle skript: Výsledky vyčíslete pro k =,, m = 7 ms -, n = 75 s, v = 5 ms -. Nakreslete grafy závislosti dráhy a rychlosti rakety na čase. t = 53,4 s, s = 3,3 km 4 5 45 4 35 8 - ] 3 draha [m] 6 rychlost [ms 5 4 5 5 3 4 5 6 3 4 5 6 3 Str., Příklad.8 Dodatek k zadání podle skript: Vyjádřete závislost v B = v B (s B ), nakreslete její graf a vypočtěte z ní rychlost bodu B v místě, kde urazil vzdálenost s B = 54 m. φ = 66,3 stupňů, v as, v B54 = 8,6 ms - B B
5 rychlost v B [ms - ] 5 5 3 4 5 6 7 8 draha s [m] B 4 Str., Příklad.9 Dodatek k zadání podle skript: Výsledky vyčíslete pro hodnoty r =,8 m, r =, m, v A =,5 ms - a v B =,7 ms - a nakreslete grafy drah s A a s B v závislosti na čase od do T. a Bt =,537 ms -, T =,5 s, a A =,3 ms -, a B = 3,86 ms - 3.5 s A s B 3.5 draha [m].5.5.5.5.5 3 5 Str., Příklad. Dodatek k zadání podle skript: Výsledky vyčíslete pro hodnoty r =, m, l =,3 m, c =,5 ms - a nakreslete grafy drah s A a s B v závislosti na čase. v B =,66 ms -, a Bt =,37 ms -
5 4.5 s A 4 s B 3.5 3 draha [m].5.5.5..4.6.8..4 6 Str. 3, Příklad. Dodatek k zadání podle skript: Nakreslete graf rychlosti závodníka v závislosti na čase od startu do konce druhé zatáčky. t = 938 s ( 5 minut a 38 s), v prům = 39 km/h 8 6 4 - ] rychlost [kmh 8 6 4 3 4 5 6 7 Str. 3, Příklad. Dodatek k zadání podle skript: Dále vypočtěte dráhu středu S válce a čas t, za který se válec otočí o úhel rad. Dráhy obou bodů vyčíslete v čase t pro hodnoty c =, ms -, r =,8 m, e =,5 m, l =,8 m a nakreslete grafy dráhy obou bodů v závislosti na čase od do t. t = 4,9 s, s S = 5,3 m, s D = 5,3 m
6 s D s S 5 4 draha [m] 3.5.5.5 3 3.5 4 4.5 8 Str. 3, Příklad.3 Dodatek k zadání podle skript: Dále vypočtěte dráhu středu S válce, sestavte rovnice pohybu válce, vyřešte pohyb tělíska T, úhlovou rychlost, úhlové zrychlení válce a čas t, za který se válec otočí o úhel rad. Dráhy bodu S a tělíska T a úhlovou rychlost a úhlové zrychlení válce vyčíslete v čase t pro hodnoty l =,8 m, r =, m, c =,45 ms - a nakreslete grafy dráhy bodu a tělíska v závislosti na čase od do t. t =,79 s, s S =,6 m, s T =,45 m, ω v =,5 s -, α v =, s -.5 s T s S.5 draha [m].5.5.5.5 3 9 Str. 3, Příklad.4 Dodatek k zadání podle skript: Řešte pouze v nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému s počátkem v bodě D. Souřadnice x L a y L bodu L vyčíslete pro hodnoty l =,6 m, r =, m, c =, ms - v čase t =,9 s a nakreslete grafy souřadnic v závislosti na čase od do času, kdy bod A bude totožný s bodem D. Dále vypočtěte, v jakém čase bude bod L v nejvyšší poloze a jaká bude jeho y-ová souřadnice? x L =,6 m, y L =,63 m, t ylmax =,99 s, y Lmax =,64 m
3 x L y L.5 souradnice [m].5.5 -.5..4.6.8..4.6.8 Str. 3, Příklad.5 Dodatek k zadání podle skript: Řešení proveďte v nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému s počátkem ve středu válce. Souřadnice x M, y M, složky rychlosti v Mx, v My a složky zrychlení a Mx, a My bodu M vyčíslete pro hodnoty r =,3 m, l = r, φ(t)= ωt rad, ω = 5 s - v čase t =, s a nakreslete grafy složek rychlosti v závislosti na čase od do času, kdy se bod M dotkne válce. x M =,64 m, y M = -,6 m, v Mx = 7,5 ms -, v My =,7 ms -, a Mx = -76, ms -, a My =,3 ms - 5 v Mx v My 5 rychlosti [ms - ] 5-5...3.4.5.6.7 Str. 4, Příklad.6 Dodatek k zadání podle skript: Souřadnice x M a y M bodu M vyčíslete pro hodnoty d =,4 m, r =,65 m, b =,35 m, c =, ms - v čase t =,7 s a nakreslete grafy souřadnic v závislosti na čase od do času, kdy bod A bude v nejnižším místě své trajektorie. x M =,4 m, y M =,4 m
.7 x M y M.6.5 souradnice [m].4.3.. 3 4 5 6 Str. 4, Příklad.7 Dodatek k zadání podle skript: Souřadnice x D a y D bodu D vyčíslete pro hodnoty l =,5 m, d =,95 m, h =,35 m, β = 6 stupňů, s(t) = v A t m, v A =,5 ms - v čase t =,7 s a nakreslete grafy souřadnic v závislosti na čase od do času, kdy bod B bude v počátku souřadnicového systému O. x D =, m, y D =,79 m. x D y D.8 souradnice [m].6.4. -..5.5.5 3 3 Str. 5, Příklad.8 Dodatek k zadání podle skript: Řešte pouze pohyb bodu K. Velikost rychlosti a velikost zrychlení ověřte v nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému s počátkem ve středu válcové plochy. Rychlost, normálovou a tečnou složku zrychlení, zrychlení, souřadnice x K, y K, složky rychlosti v Kx, v Ky a složky zrychlení a Kx, a Ky bodu K vyčíslete pro hodnoty r =,7 m, l = ½ r, ω =, s - v čase t =, s a nakreslete grafy složek rychlosti v závislosti na čase od do času, kdy se bod K dotkne válcové plochy. v =,7 ms -, a Kt = 3,6 ms -, a Kn =,45 ms -, a K = 4,8 ms -, x K = -,6 m, y K =, m, v Kx =,65 ms -, v Ky = -,64 ms -, a Kx =,58 ms -, a Ky = 3,5 ms -
.5 v Kx v Ky.5 - ] -.5 rychlosti [ms - -.5 - -.5-3 -3.5..4.6.8..4 4 Str. 5, Příklad.9 Dodatek k zadání podle skript: Souřadnice stínu x L a y L vypočtěte v nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému s počátkem v bodě S, vyčíslete je pro hodnoty r = 9 mm, = 5 o, v =,85 ms -, a A =,6 ms - v čase t =,3 s, dále vyčíslete rychlost stínu v nejnižším bodě kružnice a nakreslete grafy souřadnic stínu v závislosti na čase od do t. x L = -,57 m, y L = -,69 m, v L =,69 ms - x L.8 y L.6.4. souradnice [m] -. -.4 -.6 -.8 -..4.6.8..4 5 Str. 5, Příklad.3 Dodatek k zadání podle skript: Souřadnice stínu x S a y S vypočtěte v zadaném nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému, vyčíslete je pro hodnoty h = 6 mm, = o, c = 4, ms -, x A = 4 mm, y A = 5 mm, z A = 5 mm v čase t =,5 s a nakreslete grafy souřadnic stínu v závislosti na čase od do t. x S =,43 m, y S = -,6 m
.6 x S y S.5.4 souradnice [m].3.. -...4.6.8..4 6 Str. 5, Příklad.3 Dodatek k zadání podle skript: Souřadnice x L, y L a z L bodu L vypočtěte v zadaném nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému, vyčíslete je pro hodnoty OD h = 6 mm, OE p = 8 mm, OF q = 6 mm, EL l = 6 mm a c =,8 ms - v čase t =, s a nakreslete grafy souřadnic bodu L v závislosti na čase od do času, ve kterém bude bod E totožný s bodem F. x L =,39 m, y L =,36 m, z L =,3 m.5 x L y L z L.5 souradnice [m].5.5.5.5 3 3.5 7 Str. 6, Příklad.3 Dodatek k zadání podle skript: Souřadnice x D, y D a z D bodu D vypočtěte v zadaném nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému, vyčíslete je pro hodnoty r = 5 mm, γ = π/ rad, AB l,5πrtgγ, BD d = 45 mm a c =,3 ms - v čase t =, s a nakreslete grafy souřadnic bodu D v závislosti na čase od do času, ve kterém se bod B dotkne válcové plochy. x D =,6 m, y D =,88 m, z D =,4 m
. x D y D z D.8.6 souradnice [m].4. -. -.4 4 6 8 4 8 Str. 6, Příklad.33 Dodatek k zadání podle skript: Souřadnice x L a y L, složky rychlosti v Lx, v Ly a složky zrychlení a Lx, a Ly bodu L vypočtěte v nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému s počátkem v bodě O, vyčíslete je pro hodnoty φ(t)= ωt rad, ω = s -, OS l 3 mm, r = mm, Ω = s -, γ = π/3 rad v čase t =, s a nakreslete grafy složek rychlosti v závislosti na čase od do času, kdy se přímka otočí o úhel rad. x L =,37 m, y L =,6 m, v Lx = -,9 ms -, v Ly =,75 ms -, a Lx = -,87 ms -, a Ly = -,69 ms -.8 v Lx.6 v Ly.4. rychlosti [ms - ] -. -.4 -.6 -.8.5.5.5 3 3.5 9 Str. 7, Příklad.38 Dodatek k zadání podle skript: Vypočtěte rychlost a zrychlení bodu v čase t a nakreslete grafy výchylky, rychlosti a zrychlení bodu v závislosti na čase od do doby periody T. T =,99 s, x =, m, v = -,54 ms -, a = -, ms -
.5 Prubeh pohybu bodu vychylka x [m] rychlost v [ms - ] zrychleni a [ms - ].5 -.5 - -.5 - -.5..4.6.8..4.6.8 Str., Příklad.7 Dodatek k zadání podle skript: Kromě úhlové rychlosti ω, určete i úhel pootočení φ a úhlové zrychlení α setrvačníku v okamžiku, kdy držák proběhl dráhu l a nakreslete grafy úhlu pootočení a úhlové rychlosti setrvačníku v závislosti na čase během celého pohybu držáku po dráze l. φ = 4,5 rad, ω = 69,7 s -, α = 56 s - 5 7 4.5 6 4 3.5 - ] 5 3.5.5 4 3.5.5..5..5..5. Str., Příklad.8 Dodatek k zadání podle skript: Kromě úhlové rychlosti ω, určete i úhel pootočení φ a úhlové zrychlení α bubnu v okamžiku, kdy páka je pootočena o úhel ψ = ψ a nakreslete grafy závislosti úhlu pootočení a úhlové rychlosti bubnu na čase během pootočení páky od ψ = rad do ψ = π/ rad. φ =,5 rad, ω =,34 s -, α = -,39 s -
.4..9.8 - ].7.8.6.4.6.5.4.3....5.5.5 3.5.5.5 3 Str., Příklad.9 Dodatek k zadání podle skript: Úhel pootočení, úhlovou rychlost a úhlové zrychlení tyče vyčíslete v čase t =,8 s a nakreslete grafy závislosti úhlu pootočení a úhlové rychlosti tyče na čase v intervalu < ;,8 > s. φ = -,7 rad, ω = -,5 s -, α =,36 s -.8 -.5.6 -.55.4 - ]. -. -.6 -.65 -.4 -.7 -.6 -.8.5.5.5 3 -.75.5.5.5 3 3 Str., Příklad. Dodatek k zadání podle skript: Kromě úhlu φ a úhlové rychlosti ω určete i úhlové zrychlení α poklopu v čase T a nakreslete grafy úhlu pootočení a úhlové rychlosti poklopu v závislosti na čase v intervalu < ; T > s. φ =,99 rad, ω =,7 s -, α =,59 s -
.8.9.75.8.7.7 - ].65.6.5.4.3.6.55.5..45..4 3 4.35 3 4 4 Str. 3, Příklad. Dodatek k zadání podle skript: Nakreslete graf závislosti celkového zrychlení koncového bodu ramene mostu v závislosti na čase během celého pohybu. k =,9 s -, ω II =,3 s -.6.4. zrychleni [ms - ]..8.6.4 3 4 5 6 5 Str. 4, Příklad.4 Dodatek k zadání podle skript: Vyčíslete uhlové zrychlení ramene v prvním úseku, uhlovou rychlost ramene ve druhém úseku a uhlové zrychlení ramene ve třetím úseku. α = 49,8 s -, ω =,46 s -, α = 4,64 s -
.5 5 4.8 3 - ].5 - ] uhel [rad].6.4 uhlova rychlost [s uhlove zrychleni [s -..5 -...3.4.5...3.4.5-3...3.4.5 6 Str. 7, Příklad.8 Dodatek k zadání podle skript: V počáteční poloze (v čase t = s) byl bod L v nejnižší poloze. Řešení proveďte v nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému s počátkem v bodě L. Pro zadané hodnoty r = 45 mm, e = 4 mm a c = 3 ms - vyčíslete souřadnice, rychlost a zrychlení bodu L a úhlovou rychlost kol v čase t =,6 s a nakreslete graf závislosti složek rychlosti bodu L na čase během jednoho otočení kola o 36 stupňů. x L = 7,7 m, y L =,67 m, v L = 5,8 ms -, a L = 778 ms -, ω = 66,7 s - 6 v Lx 5 v Ly 4 3 - ] rychlosti [ms - - -3...3.4.5.6.7.8.9. 7 Str. 35, Příklad 3. Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A tělesa ve tvaru trojúhelníku se z nakreslené počáteční polohy, ve které měl počáteční rychlost v A, pohybuje po vodorovné přímce s konstantním zpomalením a A. Bod B je přitom veden po kružnici. Sestavte rovnice pohybu tělesa. Vypočtěte pohyb bodu C a úhlovou rychlost tělesa. Pro zadané hodnoty v A =,5 ms -, a A =, ms -, počáteční vzdálenost d bodů A a S: d = 55 mm, AB m = 5 mm, BC k = 5 mm, AC l = 5 mm a r = 45 mm vyčíslete polohu tělesa, polohu bodu C a úhlovou rychlost tělesa v čase t =,6 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tělesa na čase od do t. x A =,9 m, y A =, m, φ =,35 rad, x C =,7 m, y C =,88 m, ω =,5 s -
.4..35.9 - ].8.3.5.7.6.5.4..3....3.4.5.6....3.4.5.6 8 Str. 35, Příklad 3. Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A tyče AB se z počáteční polohy A pohybuje konstantní rychlostí v A. Bod B se smýká po nakloněné rovině. Sestavte rovnice pohybu tyče. Vyřešte pohyb bodu D, který leží na tyči ve vzdálenosti h od bodu A a úhlovou rychlost tyče. Vypočtěte polohu tyče, polohu bodu D a úhlovou rychlost tyče v čase t a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od do t. Dáno: AB l = 7 mm, AD h = 4 mm, d = 9 mm, = 4 o, v A =,6 ms -, t =,5 s. x A =, m, y A =,3 m, φ = -,49 rad, x D =,4 m, y D =,65 m, ω = -3, s -.4 -..3 -.4. -.6. -. -. - ] -.8 - -. -.4 -.6 -.3 -.8 -.4-3 -.5...3.4.5-3....3.4.5 9 Str. 36, Příklad 3.3 Dodatek k zadání podle skript: Sestavte rovnice pohybu tělesa. Vyřešte polohu tělesa a polohu bodu B v čase t =,5 s pohyb bodu B a úhlovou rychlost tělesa a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tělesa na čase od do t. AC min =,3 m, t vp =,33 s, x A =, m, y A = -,34 m, φ =,6 rad, x B =,7 m, y B =,76 m, ω =,53 s -
..5 - ].5.9.8 -.5 -.7 -.5.6.5.5 -.5.5 3 Str. 36, Příklad 3.4 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Zalomená tyč s koncovými body A a M se pohybuje z nakreslené počáteční polohy tak, že její bod A je veden s konstantním zpomalením a A po svislé přímce. Počáteční rychlost bodu A je v A. Sestavte rovnice pohybu tyče. Vyřešte pohyb bodu M a úhlovou rychlost tyče. Vypočtěte polohu tyče, polohu bodu M a úhlovou rychlost tyče v čase t a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od do t. Dáno: r = 45 mm, b = 4 mm, m = 85 mm, p = 5 mm, v A =,55 ms -, a A = -,3 ms -, t =, s. x A =, m, y A =,8 m, φ =,3 rad, x M =,8 m, y M =,6 m, ω =,6 s -.35.4.3.35.5..5. - ].3.5.5...4.6.8..4..4.6.8..4 3 Str. 36, Příklad 3.5 Dodatek k zadání podle skript: Vypočtěte úhlovou rychlost kmenu. Pro zadané hodnoty v A =, ms -, AB l = 55 mm, h = 3 mm, r = 6 mm a b = 5 mm vyčíslete polohu kmenu, polohu bodu B a úhlovou rychlost kmenu v čase t =,55 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti kmenu na čase od do t =, s. x A =,5 m, y A =,9 m, φ =, rad, x B = -4, m, y B = -,3 m, ω = -,3 s -
.7 -..6 -.4.5 - ] -.6.4.3. -.8 - -. -.4 -.6. -.8.5.5 -.5.5 3 Str. 37, Příklad 3.6 Dodatek k zadání podle skript: Vypočtěte úhlovou rychlost tělesa. Pro zadané hodnoty v =,5 ms -, a =,5 ms -, AB l = 85 mm, AC d = 6 mm, CD h = mm a A O b = 8 mm vyčíslete polohu tělesa, polohu bodu D a úhlovou rychlost tělesa v čase t =,3 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tělesa na čase od do t. x A =,4 m, y A =, m, φ =,9 rad, x D =,5 m, y D =,6 m, ω =,63 s -..64.6.9 - ].6.8.7.6.58.56.5.54.4..4.6.8..4.5..4.6.8..4 33 Str. 37, Příklad 3.7 Dodatek k zadání podle skript: Vypočtěte úhlovou rychlost tyče. Uvažujte s = s +s *sin( t+ ). Pro zadané hodnoty b = 5 mm, d = 4 mm, = /6 rad, KL l = 4 mm, s = 8 mm, = 4 s - a = - / rad vyčíslete polohu tyče, polohu bodu L, složky rychlosti bodu L a úhlovou rychlost tyče v čase t =, s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od do t. x K = -,44 m, y K =,5 m, φ =,6 rad, x L =,9 m, y L = -, m, v Lx =,3 ms -, v Ly = -,5 ms -, ω = -,8 s -
.35.5.4.3.3.5. - ]...5 -. -....4.6.8..4 -.3..4.6.8..4 34 Str. 37, Příklad 3.8 Dodatek k zadání podle skript: Sestavte rovnice pohybu tyče a vypočtěte úhlovou rychlost tyče. Pro zadané hodnoty r = 4 mm, b = 4 mm, MN l = 8 mm a c =,8 ms - vyčíslete polohu tyče, polohu bodu N, složky rychlosti bodu N a úhlovou rychlost tyče v čase t =,6 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od do t. x M =, m, y M =,45 m, φ = -,34 rad, x N =,8 m, y N =,39 m, v Nx = -, ms -, v Ny = -,76 ms -, ω = -, s -.3 -.96.5 -.97 -.98. - ] -.99.5. -. -. -..5 -.3 -.4 -.5.5.5 -.5.5.5 35 Str. 37, Příklad 3.9 Dodatek k zadání podle skript: Vyřešte úhlovou rychlost válce. Pro zadané hodnoty r = 5 mm, b = mm a c =,5 ms - vyčíslete polohu válce a velikost jeho úhlové rychlosti v čase t =,7 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti válce na čase od do t. x S =,94 m, y S =, m, φ = 3,77 rad, ω =,84 s -
4.9 3.5.8 3.7 - ].6.5.5.5.4.3..5..5.5.5.5 36 Str. 38, Příklad 3. Dodatek k zadání podle skript: Vyřešte úhlovou rychlost tělesa. Pro zadané hodnoty a A =, ms -, d = mm, r = 4 mm, AB l = 85 mm a BC h = 3 mm vyčíslete polohu tělesa, polohu bodu T a úhlovou rychlost tělesa v čase t =,3 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tělesa na čase od do t. x A =,53 m, y A =, m, φ =,48 rad, x T =,84 m, y T =,33 m, ω = -,5 s -.5..45.5.4. - ].35.3.5.5 -.5. -..5.5.5 -.5.5.5.5 37 Str. 38, Příklad 3.3 Dodatek k zadání podle skript: Vyřešte úhlovou rychlost půlválce. Pro zadané hodnoty a A =, ms -, r = 6 mm a m = 5 mm, vyčíslete polohu půlválce, polohu bodu M a úhlovou rychlost půlválce v čase t =, s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti půlválce na čase od do t. x A =, m, y A =,6 m, φ =,83 rad, x M =,58 m, y M =,78 m, ω =,3 s -
.9.8.7.8.6 - ].5.4.3.6.4....5.5.5.5.5.5 38 Str. 38, Příklad 3.5 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A tělesa tvořeného dvěma úsečkami se pohybuje v drážce b harmonickým pohybem s = s +s *sin( t+ ). Sestavte rovnice pohybu tělesa. Vyřešte pohyb bodu L a úhlovou rychlost tělesa. Pro zadané hodnoty d = 3 mm, s = mm, = 3 s -, = - / rad, AJ m = 5 mm a JL n = mm vyčíslete polohu tyče, polohu bodu L a úhlovou rychlost tyče v čase t =, s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od do t. x A =, m, y A =,38 m, φ =,9 rad, x L =,5 m, y L =,56 m, ω = -,34 s -.6.9.4.8..7 - ].6.5.4.3.8.6.4... -...4.6.8..4 -.4..4.6.8..4 39 Str., Příklad.8 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A se pohybuje z počáteční klidové polohy A po přímce p s konstantním zrychlením a A. Ve stejném okamžiku jako bod A vyrazí z bodu B po přímé dráze bod B rovnoměrně zrychleným pohybem. Pod jakým úhlem se musí pohybovat, aby se s bodem A setkal? Vyjádřete závislost v B = v B (s B ), nakreslete její graf a vypočtěte z ní rychlost bodu B v místě, kde urazil vzdálenost s B = 33 m. Dáno: h = 45 m, v A = ms -, a A =,8 ms -, v B = ms -, a = 3,3 ms -. φ = 58, stupňů, v as, v B33 = 4,8 ms - B B
5 rychlost v B [ms - ] 5 5 3 4 5 6 7 8 9 draha s B [m] 4 Str., Příklad.9 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Po kružnicích o poloměrech r a r se pohybují body A a B z výchozích poloh A a B. Bod A se pohybuje rovnoměrně (v A = const.), bod B má počáteční rychlost v B a pohybuje se s konstantním tečným zrychlením a Bt. Jak veliké musí být zrychlení a Bt, aby se oba body setkaly v místě C, při druhém průchodu bodu A tímto místem. Vypočítejte také čas t s, za který se oba body setkají a výsledná zrychlení obou bodů v okamžiku setkání. Výsledky vyčíslete pro hodnoty r =,95 m, r =,3 m, v A =,7 ms - a v B =, ms - a nakreslete grafy drah s A a s B v závislosti na čase. a Bt =,53 ms -, T =,7 s, a A =,5 ms -, a B =,35 ms - 8 s A 7 s B 6 5 draha [m] 4 3 4 6 8 4 Str., Příklad. Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A se pohybuje z klidové polohy A po přímce p rovnoměrně zrychleným pohybem. Ve stejném okamžiku se začne z polohy B pohybovat bod B po kružnici k. V počáteční poloze má bod B rychlost v B a pohybuje se s konstantním tečným zrychlením a Bt. Jaké musí být hodnoty v B a a Bt, mají-li se body A a B postupně setkat v průsečících H a K? Výsledky vyčíslete pro hodnoty r =, m, l =,3 m, v A = ms - a a A =,5 ms - a nakreslete grafy drah s A a s B v závislosti na čase. v B = -,4 ms -, a Bt =,45 ms -
s A s B s D 5 4 3 draha [m] - 3 4 5 6 4 Str. 3, Příklad. Ze skript použijte pouze obrázek!!! Z počáteční klidové polohy nakreslené v obrázku se válec odvaluje rovnoměrně zrychleným pohybem vlevo. V bodě A je k němu kloubem připojena tyč AD. Sestavte rovnice pohybu tyče. Vyřešte pohyb bodu D a úhlovou rychlost tyče. Dále vypočtěte dráhu středu S válce a čas t, za který se válec otočí o úhel rad. Dráhy obou bodů vyčíslete v čase t pro hodnoty v S = ms -, a =,4 ms -, r = mm, e = 4 mm, AD l = 8 mm a nakreslete grafy dráhy obou bodů v závislosti na čase od do t. t =,5 s, s S =,6 m, s D =,6 m.4. s S draha [m].8.6.4..5.5.5 3 43 Str. 3, Příklad.3 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Struna připojená k tělísku T je provlečena úzkou štěrbinou a druhým koncem připevněna na obvodu válce o poloměr r. Válec se z počáteční klidové polohy nakreslené v obrázku odvaluje rovnoměrně zrychleným pohybem vpravo. Sestavte rovnice pohybu válce. Vyřešte pohyb tělíska T a úhlovou rychlost a úhlové zrychlení válce. Dále vypočtěte dráhu středu S válce a čas t, za který se válec otočí o úhel rad. Dráhy bodu S a tělíska T a úhlovou rychlost a úhlové zrychlení válce vyčíslete v čase t pro hodnoty l =,8 m, r =, m, v S = ms - a a =,4 ms - a nakreslete grafy dráhy bodu a tělíska v závislosti na čase od do t. t =,5 s, s S =,6 m, s T =,45 m, ω v = 5, s -, α v =, s -
x D y D s T s S.5.5 draha [m].5.5.5.5 3 44 Str. 4, Příklad.7 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A tělesa se pohybuje harmonickým pohybem s = s +s *sin( t+ ) po přímce x. Sestavte rovnice pohybu tělesa. Vyřešte pohyb bodu D a úhlovou rychlost tělesa. Rovnice pohybu tělesa, souřadnice x D a y D bodu D a úhlovou rychlost tělesa vyčíslete pro hodnoty AB l = 5 mm, AC d = 95 mm, CD h = 35 mm, = /3 rad, s = 58 mm, =,5 s -, = - / rad v čase t =, s a nakreslete grafy souřadnic x D a y D v závislosti na čase od do t. x A =,8 m, y A =, m, φ =,88 rad, x D = -,5 m, y D =,96 m, ω =,73 s -..8 souradnice [m].6.4. -..5.5.5 45 Str. 5, Příklad.3 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Po přímce p v rovině yz se z počáteční klidové polohy Z pohybuje konstantním zrychlením a bodový světelný zdroj. Vyjádřete, jak se pohybuje stín, který vrhá bod A na rovinu xy. Souřadnice stínu x S a y S vypočtěte v zadaném nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému, vyčíslete je pro hodnoty h = 6 mm, = o, a =,6 ms -, x A = 4 mm, y A = 5 mm, z A = 5 mm v čase t =,8 s a nakreslete grafy souřadnic stínu v závislosti na čase od do t. x S =,48 m, y S =, m
.6 x S.55 y S.5.45.4 souradnice [m].35.3.5..5...4.6.8..4.6.8 46 Str. 5, Příklad.3 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Úsečka DE je vedena koncovými body po přímkách d a e. Pohyb začíná v klidové poloze nakreslené na obrázku. Bod D se pohybuje rovnoměrně zrychleným pohybem se zrychlením a. Vyjádřete, jak se pohybuje bod L a vypočtěte jeho polohu v čase t. Souřadnice x L, y L a z L bodu L vypočtěte v zadaném nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému, vyčíslete je pro hodnoty OD h = 6 mm, OE p = 8 mm, OF q = 6 mm, EL l = 6 mm, v D = ms - a a =,6 ms - v čase t =,8 s a nakreslete grafy souřadnic bodu L v závislosti na čase od do času, ve kterém bude bod E totožný s bodem F. x L =,75 m, y L =,36 m, z L =,3 m.5 x L y L z L.5 souradnice [m].5.5.5.5 3 47 Str. 4, Příklad.4 Ze skript použijte pouze obrázek.4a!!! Rameno délky OL R =,4 m se má co nejrychleji otočit o úhel φ c = 4 stupňů z jedné klidové polohy do druhé klidové polohy. Rameno se rozbíhá konstantním úhlovým zrychlením α = 3 s - a zastavuje se konstantním úhlovým zpožděním α = -9 s -. Bod L se může pohybovat maximální rychlostí v max = 5 ms -. Vypočtěte dobu t c pohybu ramene a maximální rychlost v Lmax bodu L. Dále odvoďte závislost rychlosti bodu L na proběhnuté dráze a nakreslete její graf.
t c =,43 s, v Lmax = 4,6 ms -,. úsek vl RsL,. úsek v L R( sl smax ) vl max, kde s max je dráha bodu L v prvním úseku 5 4.5 4 3.5 - ] rychlost bodu L [ms 3.5.5.5...3.4.5.6.7.8.9 draha bodu L [m] 48 Str. 7, Příklad.8 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Lokomotiva zvyšuje svojí rychlost konstantním zrychlením a z počáteční rychlosti v. Její kola se odvalují po kolejnicích. V počáteční poloze (v čase t = s) byl bod L v nejnižší poloze. Sestavte rovnice pohybu lokomotivní spojnice s. Vyřešte pohyb, rychlost a zrychlení bodu L a úhlovou rychlost kol. Řešení proveďte v nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému s počátkem v bodě L. Pro zadané hodnoty r = 45 mm, e = 4 mm, v = ms - a a = 4 ms - vyčíslete souřadnice, rychlost a zrychlení bodu L a úhlovou rychlost kol v čase t = 3, s a nakreslete graf závislosti složek rychlosti bodu L na čase během jednoho otočení kola o 36 stupňů. x L = 5,6 m, y L =,77 m, v L = 4,3 ms -, a L = 5 ms -, ω = 5,7 s - v Lx v Ly 5 - ] rychlosti [ms 5-5 -.5..5..5.3
49 Str. 35, Příklad 3. Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A tělesa ve tvaru trojúhelníku se z nakreslené počáteční polohy pohybuje konstantní rychlostí v A po vodorovné přímce směrem k bodu S. Bod B je přitom veden po kružnici. Sestavte rovnice pohybu tělesa. Vypočtěte pohyb bodu C a úhlovou rychlost tělesa. Pro zadané hodnoty v A =,8 ms -, počáteční vzdálenost d bodů A a S: d = 55 mm, AB m = 5 mm, BC k = 5 mm, AC l = 5 mm a r = 45 mm vyčíslete polohu tělesa, polohu bodu C a úhlovou rychlost tělesa v čase t =,3 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tělesa na čase od do t. x A =,3 m, y A =, m, φ =,34 rad, x C =,87 m, y C =,87 m, ω =,36 s -.3.34..3..3.8 - ].6.4..9.8.7.6..5.8.4.6.5..5..5.3.5..5..5.3 5 Str. 35, Příklad 3. Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A tyče AB se z počáteční polohy A, ve které měl počáteční rychlost v A, pohybuje konstantním zrychlením a A. Bod B se smýká po nakloněné rovině. Sestavte rovnice pohybu tyče. Vyřešte pohyb bodu D, který leží na tyči ve vzdálenosti h od bodu A a úhlovou rychlost tyče. Pro zadané hodnoty: AB l = 7 mm, AD h = 4 mm, d = 9 mm, = 4 o, v A =,3 ms - a a A =,35 ms - vyčíslete polohu tyče, polohu bodu D a úhlovou rychlost tyče v čase t =, s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od do t. x A =, m, y A =,3 m, φ = -,49 rad, x D =,4 m, y D =,65 m, ω = -,9 s -
.4.3 -.. -.4. - ] -. -. -.6 -.8 - -.3 -.4 -. -.5.5.5 -.4.5.5 5 Str. 36, Příklad 3.3 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Těleso AB se pohybuje z nakreslené počáteční polohy tak, že jeho bod A je veden konstantní rychlostí v A po kružnici směrem k bodu C. Sestavte rovnice pohybu tělesa. Vyřešte pohyb bodu B a úhlovou rychlost tělesa. Pro zadanou rychlost v A =, ms - vyčíslete polohu tělesa, polohu bodu B a úhlovou rychlost tělesa v čase, kdy bod A urazí polovinu své dráhy směrem k bodu C a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tělesa na čase od do času, kdy bod A bude totožný s bodem C. x A = -,8 m, y A = -,8 m, φ =,6 rad, x B =,69 m, y B =,4 m, ω = -,3 s - -.95.9 -.8.7.6.5 - ] -.5 -. -.5.4 -....3.4.5.6.7 -.5...3.4.5.6.7 5 Str. 36, Příklad 3.4 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A se pohybuje harmonickým pohybem se středem v nakreslené počáteční poloze. V pravoúhlém souřadnicovém systému s počátkem v bodě B je jeho souřadnice y A popsána vztahem y A = r + p + s *sin( t+ ). Sestavte rovnice pohybu tyče. Vyřešte pohyb bodu M a úhlovou rychlost tyče. Pro zadané hodnoty: r = 45 mm, b = 4 mm, m = 85 mm, p = 5 mm, =,5 s - a = rad vyčíslete polohu tyče, polohu bodu M a úhlovou rychlost tyče v čase t = 3, s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od do t.
x A =, m, y A =,9 m, φ = -,37 rad, x M =,67 m, y M =,38 m, ω =, s -.5.4.8.3.6.. -. - ].4. -. -.4 -. -.6 -.3 -.8 -.4.5.5.5 3 3.5 -.5.5.5 3 3.5 53 Str. 36, Příklad 3.5 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Traktor pohybující se rovnoměrně zrychleným pohybem s počáteční rychlostí v A a konstantním zrychlením a A vytahuje kmen AB z polohy A B na vodorovnou plošinu. Sestavte rovnice pohybu kmenu, vypočtěte trajektorii koncového bodu B a úhlovou rychlost kmenu. Pro zadané hodnoty v A =,3 ms -, a A =,5 ms -, AB l = 55 mm, h = 3 mm, r = 6 mm a b = 5 mm vyčíslete polohu kmenu, polohu bodu B a úhlovou rychlost kmenu v čase t =,65 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti kmenu na čase od do t. x A =,33 m, y A =,9 m, φ =, rad, x B = -4,5 m, y B = -,6 m, ω = -,6 s -.7 -.5.65.6 -..55 - ].5.45.4.35 -.5 -.3.3 -.35.5..5.5 -.4.5.5
54 Str. 37, Příklad 3.6 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A se pohybuje harmonickým pohybem se středem v bodě A. V pravoúhlém souřadnicovém systému s počátkem v bodě A je jeho souřadnice x A popsána vztahem x A = s *sin( t+ ). Sestavte rovnice pohybu tělesa. Vyřešte pohyb bodu D a úhlovou rychlost tělesa. Pro zadané hodnoty AB l = 85 mm, AC d = 6 mm, CD h = mm, A O b = 7 mm, s = mm, = 3 s - a = rad vyčíslete polohu tělesa, polohu bodu D a úhlovou rychlost tělesa v čase t =,7 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tělesa na čase od do t. x A =,97 m, y A =, m, φ =,78 rad, x D =,38 m, y D =,56 m, ω = -, s -.8.8.75.6.7.4.65.6.55.5.45 - ]. -. -.4.4.35 -.6.5.5.5 3 -.8.5.5.5 3 55 Str. 37, Příklad 3.7 Dodatek k zadání podle skript: Vypočtěte úhlovou rychlost tyče. Uvažujte s = v t+½at. Pro zadané hodnoty b = 5 mm, d = 4 mm, = /6 rad, KL l = 4 mm, v =,3 ms - a a =,5 ms - vyčíslete polohu tyče, polohu bodu L, složky rychlosti bodu L a úhlovou rychlost tyče v čase t =, s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od do t. x K = -,67 m, y K =,39 m, φ =,3 rad, x L =,66 m, y L = -,53 m, v Lx = -,8 ms -, v Ly =,4 ms -, ω =,4 s -.35.3..3. - ]..5..9.8.7.5.6.5...4.6.8..4..4.6.8..4
56 Str. 37, Příklad 3.8 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Tyč MN se smýká po kružnici k a její bod M se z počáteční klidové polohy pohybuje konstantním zrychlením a po přímce p. Sestavte rovnice pohybu tyče. Vyřešte pohyb bodu N a úhlovou rychlost tyče. Pro zadané hodnoty r = 4 mm, b = 4 mm, MN l = 8 mm a a =,35 ms - vyčíslete polohu tyče, polohu bodu N, složky rychlosti bodu N a úhlovou rychlost tyče v čase t =,6 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od do t. x M =, m, y M =,45 m, φ = -,34 rad, x N =,8 m, y N =,39 m, v Nx = -,4 ms -, v Ny = -,5 ms -, ω = -,4 s -.3.5 -.5. -. - ].5..5 -.5 -. -.5 -.3 -.35 -.5.5.5 -.4.5.5 57 Str. 37, Příklad 3.9 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Z počáteční klidové polohy podle obrázku se pohybuje závaží Z konstantním zrychlením a dolů a lano uvádí do valivého pohybu válec. Sestavte rovnice pohybu válce a vyřešte jeho úhlovou rychlost. Pro zadané hodnoty r = 5 mm, b = mm a a =,6 ms - vyčíslete polohu válce a velikost jeho úhlové rychlosti v čase t =,7 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti válce na čase od do t. x S =,94 m, y S =, m, φ = 3,77 rad, ω = 5,69 s -
4 6 3.5 5 3.5.5 - ] 4 3.5.5.5.5.5 58 Str. 38, Příklad 3. Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A tělesa ve tvaru obdélníku se z počáteční polohy A, ve které měl počáteční rychlost v A orientovanou směrem doprava, pohybuje po přímce p s konstantním zrychlením a A. Bod B je přitom veden po kružnici k. Sestavte rovnice pohybu tělesa. Vyřešte pohyb střediska obdélníku T a úhlovou rychlost tělesa. Pro zadané hodnoty v A =,5 ms -, a A =, ms -, d = mm, r = 4 mm, AB l = 85 mm a BC h = 3 mm vyčíslete polohu tělesa, polohu bodu T a úhlovou rychlost tělesa v čase t =,9 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tělesa na čase od do t. x A =, m, y A =, m, φ =,4 rad, x T =,54 m, y T =,3 m, ω =, s -.5.3.45.9.8.4 - ].7.35.3.5.6.5.4.3.....4.6.8...4.6.8 59 Str. 38, Příklad 3.3 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Společný kloub A půlválce a tyče se pohybuje z počáteční polohy A, ve které měl počáteční rychlost v A orientovanou směrem dolů, s konstantním zrychlením a A. Sestavte rovnice pohybu půlválce. Vyřešte pohyb bodu M a úhlovou rychlost půlválce. Pro zadané hodnoty v A =,3 ms -, a A =, ms -, r = 6 mm a m = 5 mm, vyčíslete polohu půlválce, polohu bodu M a úhlovou rychlost půlválce v čase t =, s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti půlválce na čase od do t.
x A =, m, y A =,5 m, φ =,85 rad, x M =,56 m, y M =,79 m, ω =,3 s -.9.4.8.3.7..6 - ]..5.4.3.9.8..7..6..4.6.8..4.5..4.6.8..4 6 Str. 38, Příklad 3.5 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A tělesa tvořeného dvěma úsečkami se pohybuje v drážce b rovnoměrně zrychleným pohybem vzhůru. Počáteční poloha spojnice bodů A a J byla vodorovná, počáteční rychlost bodu A byla v A a jeho konstantním zrychlení je a A. Sestavte rovnice pohybu tělesa. Vyřešte pohyb bodu L a úhlovou rychlost tělesa. Pro zadané hodnoty v A =,5 ms -, a A =,4 ms -, d = 4 mm, AJ m = 5 mm a JL n = 5 mm vyčíslete polohu tyče, polohu bodu L a úhlovou rychlost tyče v čase t =,7 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od do t. x A =, m, y A =,5 m, φ =,4 rad, x L = -,59 m, y L =,43 m, ω =,48 s -.4 4. 3.5 3 - ].8.6.4.5.5..5...3.4.5.6.7...3.4.5.6.7