Seriál: Zpracováí dat fyzikálích měřeí V miulém díle seriálu jsme se sezámili s tím, co je to áhodá veličia, hustota pravděpodobosti a jak se dá v ěkterých případech odhadout typ rozděleí áhodé veličiy z aměřeých dat pomocí histogramu. V tomto díle se zaměříme a odhadovaí středí hodoty a rozptylu z aměřeých dat. Proč je dobré z aměřeých dat odhadovat středí hodotu, případě rozptyl áhodé veličiy, ze které aměřeá data pocházejí? Odpověď je jedoduchá: protože to je přesě to, o co fyzikovi při experimetu především jde. Toto potřebuje trochu hlubší vysvětleí. Fyzikálí iterpretace V tomto odstavci uvedeme základí matematický model, který se při fyzikálích měřeích používá. Představme si, že měříme ějakou fyzikálí veličiu apř. dobu kyvu kyvadla a pro růzá měřeí dostaeme růzé hodoty měřeé fyzikálí veličiy v ašem příkladě růzé hodoty aměřeého času. Jak toto iterpretovat? Je to aprosto jedoduché, v základím modelu uvažujeme, že oa fyzikálí veličia, kterou měříme, je po celou dobu eměá a při použití dokoalých měřících přístrojů a dokoalého postupu měřeí bychom vždy aměřili právě tuto jedu eměou hodotu. Vlivem růzých epřesostí edokoalý měřící přístroj, edokoalá měřící aparatura, vější vlivy prostředí, lidský faktor atd., ale tohoto ejsme schopi dosáhout a při každém měřeí aměříme trochu odlišou hodotu. V základím modelu můžeme považovat výsledek měřeí za áhodou veličiu protože dopředu evíme, jakou hodotu aměříme, podobě jako u hodu kostkou. Při ásledém statistickém zpracováí aměřeých dat se potom sažíme pomocí aměřeých dat tedy vlastě realizací áhodé veličiy zjistit co ejvíce iformací o skutečé hodotě měřeé fyzikálí veličiy. Uděláme další důležitý předpoklad o tom, jaké mohou být ty vlivy, které způsobují, že ejsme schopi měřeou fyzikálí veličiu měřit přesě. V ašem základím modelu budeme uvažovat, že eexistuje žádý systematický posu aměřeých hodot oproti skutečé hodotě. Jiými slovy měříme sice epřesé hodoty, ale tyto hodoty ejsou systematicky větší ebo meší ež skutečá hodota, kterou chceme měřit. V ašem příkladu při měřeí doby kyvu kyvadla může uvažovat poryvy okolího vzduchu, které způsobí epřesosti měřeí, ale budeme předpokládat, že efouká vítr jedím směrem ale všemi směry přibližě stejě. Podobě pro ostatí zdroje epřesostí. Je potom odpovědostí experimetátora, aby zajistil platost tohoto předpokladu při samotém měřeí pokud toho experimetátor eí schope dosáhout, což se ěkdy stává, je potřeba tyto epřesosti řešit zvlášť, o tom více a koci tohoto dílu seriálu. Díky tomuto předpokladu můžeme tvrdit, že hodota fyzikálí veličiy, kterou chceme aměřit, se rová středí hodotě áhodé veličiy představující výsledek jedoho měřeí. Jediý problém je, že tuto středí hodotu ezáme, budeme ji tedy muset odhadovat z aměřeých dat. Už dopředu se musíme připravit a to, že z aměřeých dat ikdy ebudeme schopi přesě zjistit hodotu měřeé fyzikálí veličiy. 1
Pokud si vzpomeeme, jaký výzam má rozptyl áhodé veličiy míra rozptýleosti okolo středí hodoty, uvědomíme si, že rozptyl áhodé veličiy představující výsledek jedoho měřeí vlastě vypovídá o přesosti ašeho měřeí o tom jak moc jsou aměřeé hodoty rozptýley kolem skutečé hodoty měřeé fyzikálí veličiy. Další předpoklad, který si zavedeme je, že jedotlivá měřeí jsou a sobě ezávislá. Ituitiví představa, co to zameá, je, že výsledek jedoho měřeí ijak eovliví výsledky ostatích měřeí. Experimetátor opět musí zajistit, že teto předpoklad bude splě. Odhadováí parametrů ormálího rozděleí z aměřeých dat V tomto díle seriálu se budeme zabývat pouze případem, kdy áhodá veličia představující výsledek jedoho měřeí má ormálí rozděleí. Teto předpoklad je téměř vždy splě, ormálí rozděleí se vyskytuje opravdu téměř všude. Jak postupovat v případě, že je teto předpoklad poruše, si rozebereme v příštím díle seriálu. Na tomto místě je v rychlosti připomeeme, že ormálí rozděleí, které začíme Nµ, σ, je spojité rozděleí určeé dvěma parametry µ, σ, jehož hustota má tvar fx = 1 x µ e σ. πσ Dále platí, že středí hodota tohoto rozděleí je rova µ a rozptyl tohoto rozděleí je rove σ. Často se avíc defiuje ještě tzv. směrodatá odchylka jako odmocia z rozptylu, tedy v případě ormálího rozděleí platí, že směrodatá odchylka je rova σ. Naším cílem bude z aměřeých dat odhadovat skutečé hodoty středí hodoty, rozptylu a směrodaté odchylky. Jak už bylo uvedeo dříve, musíme se smířit s faktem, že ikdy emůžeme tyto hodoty z aměřeých dat odhadout přesě o tom více později. Ve zbytku seriálu budeme skutečé při měřeí ezámé hodoty začit řeckými písmey µ, σ, σ a z aměřeých dat odhaduté hodoty budeme začit stejými písmey se stříškou a dolím idexem uvádějícím z kolika měřeí jsme tuto hodotu odhadli tedy µ, σ, σ. Odhaduté hodoty budeme azývat jako výběrová středí hodota, výběrová směrodatá odchylka a výběrový rozptyl. Odhad středí hodoty Uvažujme, že máme k dispozici výsledky ašeho měřeí x 1,..., x, o kterých budeme předpokládat, že jsou vzájemě ezávislé a že pocházejí z ormálího rozděleí Nµ, σ s ezámými parametry. Odhadem středí hodoty bude výběrová středí hodota defiovaá jako µ = 1 x i, kde výraz a pravé straě často zkráceě zapisujeme je jako x. Nyí se zaměříme a aalýzu vlastostí výběrového průměru. Musíme si uvědomit, že jedotlivá měřeí jsou áhodé veličiy eí dopředu záme, jakým výsledkem dopadou jakou hodotu aměříme a v důsledku toho je i výběrová středí hodota áhodá veličia také eí dopředu zámé, jaké číslo ám vyjde. Při aalýze vlastostí výběrové středí hodoty i=1
ás bude zajímat zejméa její rozděleí. Na výběrovou středí hodotu se můžeme dívat jako a součet ezávislých áhodých veliči vyděleých číslem. Nyí si musíme odvodit, jaké bude rozděleí součtu dvou ezávislých áhodých veliči. Pozameejme, že zde je velice důležité, že áhodé veličiy jsou opravdu ezávislé, jiak by ásledující odvozeí ebylo správé. Nechť máme áhodou veličiu X se zámým rozděleím a druhou áhodou veličiu Y se zámým rozděleím a tyto dvě áhodé veličiy jsou ezávislé. Nyí ás zajímá, jaké bude rozděleí áhodé veličiy Z = X + Y. Uvažujme ejprve jedodušší případ, kdy mají obě áhodé veličiy diskrétí rozděleí. Například X představuje výsledek hodu kostkou a Y představuje výsledek hodu jiou kostkou a ás zajímá, jaké má rozděleí součet hodů a obou kostkách, tedy áhodá veličia Z = X + Y. V tomto jedoduchém případě stačí rozepsat si pravděpodobosti, že astaou všechy možé dvojice výsledků a sečíst pravděpodobosti těch dvojic, které vedou a stejý součet, a toto bude pravděpodobost, že áhodá veličia X + Y abyde právě této hodoty. Matematicky zapsáo PZ = k = = PX =, Y = k = = PX = PY = k, kde v prostředím výrazu PX =, Y = k začí pravděpodobost, že astaou oba případy zároveň tedy že bude platit X = a zároveň Y = k. Teto výraz lze rozepsat a souči dvou dílčích pravděpodobostí díky ezávislosti áhodých veliči X a Y. Výraz a pravé straě si potom lze představovat jako součet pravděpodobostí těch případů, kdy je součet áhodých veliči X a Y rove k to astae právě tehdy, když bude pro ějaké bude platit X = a zároveň Y = k. Ač teto vzorec vypadá složitě, je dobré si uvědomit, že je vlastě triviálí. V ašem příkladě se součtem hodů a dvou kostkách je dosazeí do tohoto vzorce velmi jedoduché, eboť pro eležící v možiě {1,, 3, 4, 5, 6} platí PX = = 0 a také víme, že za k má smysl dosazovat je čísla z možiy {,..., 1}, eboť jiých hodot emůže áhodá veličia Z abývat. Když si dosadíme opravdu vyjde správý výsledek. Pro případ, že X a Y jsou spojité áhodé veličiy s hustotami f a g, platí obdoba předchozího vzorce, je je potřeba ahradit sumy pomocí itegrálů 1. Bude tedy platit hz = fxgz xdx, kde h bude hustota áhodé veličiy Z. Této operaci se říká kovoluce fukcí f a g a začí se f g. Je důležité vědět, že součet dvou ezávislých áhodých veliči s ormálím rozděleím řekěme X s rozděleím Nµ 1, σ 1 a Y s rozděleím Nµ, σ má opět ormálí rozděleí s parametry, které se rovají součtu původích parametrů tedy Z = X + Y má rozděleí Nµ 1 + µ, σ 1 + σ. Teto fakt plye z pouhého dosazeí do vzorce a kovoluci. Zdatější čteáři si mohou platost tohoto faktu sami ověřit výpočtem, méě zdatí čteáři mohou pro ověřeí tohoto faktu využít ějaký matematický software ebo tomu prostě věřit. 1 Pokud evíte, co je to itegrál, ezoufejte. Stačí pouze přijmout ěkolik zde uvedeých faktů, pro pochopeí vykládaé látky eí uté zát dokoale itegrálí počet. 3
Další důležitá věc je uvědomit si, co se stae s rozděleím áhodé veličiy, pokud tuto veličiu vyásobíme kostatou. Ze vzorců a středí hodotu a rozptyl viz miulý díl seriálu ihed plyou ásledující vztahy zdatější čteáři si opět mohou teto fakto ověřit výpočtem EaX = aex, varax = a varx. Jako posledí si musíme rozmyslet, že pokud áhodou veličiu s ormálím rozděleím vyásobíme kostatou, její rozděleí bude opět ormálí samozřejmě s jiými paramatry. Toto eí úplě jedoduché. Ituitiví představa může být taková, že po vyásobeí áhodé veličiy s ormálím rozděleím kostatou se pouze atáhe ebo smrske fukce hustoty, ale zůstae zachová typ rozděleí. Potom, co jsme si uvedli těchto pár tvrzeí, můžeme jejich jedoduchým zkombiováím dostat důsledek, že za předpokladu, že aše aměřeá data pocházejí z ormálího rozděleí Nµ, σ, má výběrová středí hodota ormálí rozděleí Nµ, σ /. Nyí si musíme uvědomit, co to vlastě zameá. S větším počtem aměřeých dat tedy s větším se výběrové středí hodotě sižuje rozptyl, ale středí hodota zůstává pořád stejá a to sice ta, kterou mají také jedotlivé áhodé veličiy tedy vlastě hodota měřeé fyzikálí veličiy. To zameá, že pro velký počet měřeí bude výběrová středí hodota s ejvětší pravděpodobostí čím dál blíže ke středí hodotě, kterou chceme odhadovat důsledek toho, že rozptyl výběrové středí hodoty bude čím dál meší, tedy výběrová středí hodota bude čím dál méě rozptýlea okolo své středí hodoty µ. Na závěr tohoto odstavce je uveďme, že výběrová středí hodota se ěkdy také ozačuje jako výběrový průměr, ale v tomto seriálu se budeme držet ozačeí výběrová středí hodota. Odhad rozptylu Podobě jako výběrová středí hodota odhaduje středí hodotu budeme odhadovat rozptyl pomocí výběrového rozptylu. Výběrový rozptyl je defiovaý jako S = 1 1 x i x. Ve fyzice se také často potkáme s výběrovou směrodatou odchylkou = 1 x i x 1, i=1 která odhaduje směrodatou odchylku. Je důležité si uvědomit, že výběrový průměr i výběrová směrodatá odchylka jsou opět áhodé veličiy dopředu ezáme jejich hodotu. Podobě jako u výběrové středí hodoty by se dalo ukázat, že výběrový rozptyl resp. výběrová směrodatá odchylka má takové rozděleí, že pro velký počet měřeí je jeho hodota s ejvětší pravděpodobostí čím dál bližší Na prví pohled se může zdát trochu divé, proč dělíme číslem 1 a ikoliv číslem. Je to z toho důvodu, aby teto odhad byl estraý tz. aby středí hodota výběrového rozptylu opět připomíáme, že výběrový rozptyl je áhodá veličia byla rova skutečému rozptylu. Pokud bychom dělili pouze číslem, teto odhad by ebyl estraý. i=1 4
skutečému rozptylu resp. skutečé směrodaté odchylce. Ukázat tuto vlastost už je ovšem v tomto případě o dost složitější, proto to a tomto místě dělat ebudeme, pouze to uvedeme jako fakt. Iterval spolehlivosti Nyí jsme si popsali, jak z aměřeých dat odhadovat středí hodotu o tu ám ve fyzikálí aplikaci jde především a rozptyl áhodé veličiy, ze které aměřeá data pocházejí. Odvodili jsme si, že aše odhady výběrová středí hodota, výběrová směrodatá odchylka a výběrový rozptyl mají tu vlastost, že pro velký počet měřeí jsou čím dál přesější tj. jsou s ejvětší pravděpodobostí čím dál blíže skutečým hodotám středí hodoty, resp. směrodaté odchylky, resp. rozptylu. Je sice hezké, že víme, že pro velký počet měřeí bude áš odhad velmi přesý, ale v praxi obvykle emáme moc měřeí velký počet může zameat třeba 1 000 měřeí ebo i více. Pokud chceme odhadovat středí hodotu z relativě malého počtu měřeí tato situace astae prakticky u každého fyzikálího experimetu budeme postupovat tak, že zkostruujeme iterval spolehlivosti, který ám bude říkat, v jakém itervalu se s ejvětší pravděpodobostí achází skutečá hodota středí hodoty. Vyjdeme z toho, že si určíme, jaké rozděleí má ásledující trasformace ašich aměřeých dat opět si uvědomme, že se jedá o áhodou veličiu, eboť dopředu ezáme její hodotu x µ, kde µ je skutečá ale pro ás ezámá hodota středí hodoty rozděleí, ze kterého pochází aměřeá data připomíáme předpoklad, že se jedá o ormálí rozděleí a je počet aměřeých dat. Bez důkazu a tomto místě uvedeme, že rozděleí takovéto áhodé veličiy je tzv. Studetovo rozděleí o 1 stupích volosti začíme t 1. Studetovo rozděleí má poměrě složitou hustotu, jejíž přesý předpis je zde zbytečé uvádět zájemci si mohou tuto hustotu vykreslit v matematickém softwaru. Je dobré si povšimout, že pro velké je studetovo rozděleí o stupích volosti čím dál více podobé rozděleí N0, 1 tohoto faktu budeme později využívat. Další důležitou vlastostí hustoty studetova rozděleí je, že je symetrické okolo uly. Když yí víme, že aše trasformovaá data mají Studetovo rozděleí o 1 stupích volosti, můžeme si pro toto rozděleí určit tzv. kvatily. Pokud si zvolíme číslo α z itervalu 0, 1, potom α-kvatilem Studetova rozděleí o stupích volosti začíme ho t,α bude takové číslo, které splňuje podmíku, že pravděpodobost, že aše áhodá veličia řídící se rozděleím t bude meší ež t,α, bude rova α. Matematicky zapsáo PX < t,α = α. Dobře je výzam toho, co zameá kvatil, vidět z obrázku 1. Na tomto místě pozameejme, že přesé hodoty kvatilů Studetova rozděleí pro růzé kombiace parametrů a α lze ajít v každých lepších matematických tabulkách ebo a iteretu. Celý postup kostrukce itervalového odhadu pro středí hodotu bude ásledují. Nejprve si zvolíme tzv. hladiu spolehlivosti, která musí ležet v itervalu 0, 1. Následě určíme takové 5
P X < t,α1 = α 1 P X < t,α = α t,α1 0 t,α Obr. 1: Grafický výzam kvatilů spojité áhodé veličiy. číslo α 0, 1, aby aše hladia spolehlivosti byla rova 1 α. Naším cílem bude zkostruovat iterval s vlastostí, že pravděpodobost pokrytí skutečé středí hodoty itervalem spolehlivosti bude právě 1 α. Tedy α lze iterpretovat jako pravděpodobost omylu. Samotý iterval spolehlivosti budeme kostruovat ásledujícím způsobem. Díky zalosti rozděleí ašich trasformovaých dat a vlastostí kvatilů Studetova t 1 rozděleí musí platit P t 1, α < x µ < t 1,1 α S = 1 α. Nyí už jeom ekvivaletími úpravami upravujeme erovosti uvitř pravděpodobosti. 3 3 Uvědomme si, že takto opravdu lze postupovat, eboť pokud eměíme možiu řešeí dvojice erovostí uvitř pravděpodobosti což ekvivaletími úpravami eměíme, eměí se ai hodota samoté pravděpodobosti. 6
1 α = P t 1, α < x µ < t 1,1 α S = P = P t 1, α t 1, α = P x t 1, α = P x + t 1,1 α = P < x µ < t 1,1 α = = x < µ < t 1,1 α x = x t 1,1 α > µ > x t 1,1 α > µ > x t 1,1 α < µ < x + t 1,1 α = =. Všechy úpravy byly víceméě triviálí, úprava mezi 4. a 5. řádkem spočívala v ahrazeí kvatilu t 1, α pomocí kvatilu t 1,1 α, což lze udělat díky symetrii hustoty Studetova rozděleí rozmyslete si sami. Nyí si musíme uvědomit, co jsme vlastě dostali. 1 α = P x t 1,1 α < µ < x + t 1,1 α. Teto výraz vlastě říká, že pravděpodobost, že iterval x t,1 α, x + t,1 α pokrývá skutečou středí hodotu áhodé veličiy, ze které pocházejí aměřeá data tedy vlastě měřeou fyzikálí veličiu, je přesě 1 α. Toto je iterval spolehlivosti ěkdy se také říká itervalový odhad pro měřeou fyzikálí veličiu. Teto iterval se ěkdy zkráceě zapisuje jako x ± t 1,1 α. Protože fyzikové mají rádi co ejkratší zápisy a i teto zápis jim přijde moc dlouhý, většiou píšou je x ±, tedy vyechají v itervalovém odhadu hodotu kvatilu t 1,1 α, takže to už eí zápis itervalového odhadu v obecém tvaru, ale velice sadým způsobem je doplěím příslušého kvatilu Studetova rozděleí ho lze zpětě zrekostruovat. Hodota se často ozačuje pouze s a říká se jí výběrová směrodatá odchylka průměru protože odhaduje směrodatou odchylku výběrového průměru. Toto je to, co se u fyzikálího 7
experimetu vyžaduje, tedy spočítat hodotu výběrové středí hodoty x a hodotu výběrové směrodaté odchylky průměru s. Výsledek se zapíše ve tvaru x ± s a jedoduchým doplěím hodoty příslušého kvatilu se z tohoto zápisu echá vyrobit itervalový odhad pro měřeou fyzikálí veličiu. Výběrová směrodatá odchylka průměru se používá jako měřítko toho, jak přesě jsme fyzikálí veličiu změřili, eboť udává, jak široké budou příslušé itervaly spolehlivosti. Při fyzikálích experimetech se vždy požaduje, aby byla hodota výběrové směrodaté odchylky průměru co možá ejmeší. Někdy se také o výběrové směrodaté odchylce průměru mluví jako o ejistotě měřeí typu A. Názvosloví a typy ejistot Nyí už máme zcela popsaý základí model statistického zpracováí aměřeých dat a akoec si ho zasadíme do širšího kotextu. Obecě se defiují typy ejistot měřeí a sice ejistota typu A a ejistota typu B. Nejistota typu A je ejistota určeí měřeé fyzikálí veličiy, která prameí z áhodosti aměřeých dat. Tuto ejistotu získáme statistickým zpracováím dat, o tom se psalo a předchozích 7 8 strákách a umíme se s tím vypořádat. Nejistota typu B je ejistota určeí měřeé fyzikálí veličiy, která prameí z jiých důvodů ež ejistota typu A. Zejméa se jedá o ějaký systematický posu měřeých hodot vůči skutečé hodotě o tomto se psalo a začátku tohoto dílu seriálu v odstavci Fyzikálí iterpretace. ejistotou typu B se vypořádáme tak, že ji buď připočteme k ejistotě typu A to se dělá hlavě v případě ejistoty vyplývající z epřesosti měřidla 4 ebo ji pouze zmííme v diskuzi to se dělá ve většiě ostatích případů. Pro připočítáí ejistoty typu B k ejistotě typu A se používá vzorce s K = s A + s B, kde s A je ejistota typu A a s B je ejistota typu B. Dále se pracuje s kombiovaou ejistotou s K stejě jako jsme předtím pracovali s ejistotou typu A. Ve všech itervalových odhadech i ve fiálím zápisu aměřeých hodot tedy musíme místo hodoty s uvádět hodotu s K, čímž tyto itervalové odhady rozšíříme, abychom vzali v úvahu také ostatí zdroje epřesostí. Kombiovaá ejistota měřeí tedy vyjadřuje, jak přesě jsme fyzikálí veličiu určili. Ve fyzikálích experimetech je cílem dosáhout co možá ejmeší kombiovaé ejistoty měřeí tj. určit měřeou fyzikálí veličiu co možá ejpřesěji. Na závěr tohoto odstavce uvedeme, že jsme v textu seriálu záměrě používali pouze slovo ejistota a vyhýbali jsme se použití slova chyba. Na tomto místě objasíme proč. Chyba měřeí je defiováa jako absolutí hodota rozdílu odhaduté hodoty a skutečé hodoty měřeé fyzikálí veličiy, tedy jako e = x µ. 4 Nepřesost měřidla bývá často uvedeá a použitém měřidlu a její výzam je takový, že měřidlo může způsobovat systematický posu zobrazovaých hodot vůči skutečým hodotám až do uvedeé míry. Pokud eí a měřidle ic uvedeo, uvažuje se za epřesost měřidla obvykle polovia ejmešího dílku a stuici, a které měřidlo zobrazuje hodoty. 8
Chyba měřeí vyjadřuje o kolik se ámi odhadutá hodota měřeé fyzikálí veličiy tedy x liší od její skutečé hodoty tedy µ. Je ale aprosto uté si uvědomit, že chybu měřeí v praxi ikdy zát ebudeme k tomu bychom totiž potřebovali zát skutečou hodotu měřeé fyzikálí veličiy. Naeštěstí se ale často můžeme potkat s tím, že se výzam slov ejistota a chyba zaměňuje ebo se považují za ekvivaletí ozačeí. V tomto textu seriálu se ale budeme držet správého začeí a stejě to dělejte i vy při řešeí úloh. Důležité pozámky a závěr Na závěr tohoto dílu seriálu uvedeme ěkolik důležitých pozámek k odhadům měřeé fyzikálí veličiy za předpokladu ormálího rozděleí áhodé veličiy popisující výsledek jedoho měřeí. 1. V tomto dílu seriálu se vyskytlo začé možství ových pojmů, z ichž ěkteré mají velmi podobá ozačeí. Pro správé pochopeí této problematiky je ale uté mezi těmito pojmy důsledě rozlišovat apř. chyba vs. ejistota, středí hodota vs. výběrová středí hodota atd.. Proto bychom a tomto místě chtěli upozorit, abyste v řešeí seriálové úlohy a ve všech budoucích zpracováích experimetů věovali zvláští pozorost jazykovým formulacím, které mohou způsobovat zbytečá edorozuměí.. Je aprosto uté pochopit účel itervalu spolehlivosti a jeho vztah k odhadům parametrů µ a σ. Účelem odhadů parametrů je odhadout z aměřeých dat skutečou hodotu středí hodoty případě rozptylu ebo směrodaté odchylky a je proto sám áhodou veličiou. Tato áhodá veličia má tu vlastost, že při velkém počtu pozorováí bude její hodota s velkou pravděpodobostí velmi blízká skutečé hodotě středí hodoty resp. rozptylu ebo směrodaté odchylky. Pro opravdu velký počet měřeí je takovýto odhad dostačující. V praxi ovšem skoro ikdy emáme velký počet měřeí, proto kostruujeme itervalové odhady. Itervalový odhad je vlastě možia iterval, kde bude s určitou předem libovolě zvoleou pravděpodobostí s pravděpodobostí 1 α skutečá hodota středí hodoty ležet. 3. Fyzikové s oblibou říkávají ásledující: Pravděpodobost, že skutečá hodota měřeé veličiy leží v itervalu x ± t,1 α s K, je 1 α. Toto je v podstatě pravdivé tvrzeí, ale je poěkud ešťastě a zmatečě formulovaé. Je uté si uvědomit, že skutečá hodota měřeé fyzikálí veličiy je determiistická eí áhodá, jeom ji většiou ezáme. To, co je áhodé, jsou meze itervalu spolehlivosti vzpomeňte si, že x a s jsou áhodé veličiy. Lepší formulace je proto ásledující: Pravděpodobost, že iterval spolehlivosti pokrývá skutečou hodotu měřeé fyzikálí veličiy, je 1 α. V tomto seriálu se budeme držet této přesější formulace, stejě to dělejte i vy v řešeí úloh. 4. Všiměme si, co ovlivňuje podobu zejméa šířku itervalu spolehlivosti. Výběrový průměr x odhaduje středí hodotu a výběrový rozptyl odhaduje rozptyl. Obě tyto áhodé veličiy budou při velkém počtu pozorováí velice pravděpodobě abývat pouze hodot blízkých skutečým hodotám středí hodoty, resp. rozptylu. Jedié, co potom bude ovlivňovat šířku ašeho itervalu spolehlivosti tedy vlastě přesost, se kterou jsme požadovaou fyzikálí veličiu aměřili, bude čle ve jmeovateli zlomku. Tedy pokud chceme mít aměřeou fyzikálí veličiu co ejpřesěji, můžeme postupovat dvěma 9
způsoby. Buď co ejvíce sížit rozptyl měřeých dat tedy sížit čle, čehož dosáheme lepším postupem měřeí přesější přístroje, omezeí vějších vlivu prostředí atd., ebo můžeme provést více měřeí tedy zvětšíme. 5. Speciálí volbou parametru α dostaeme poměrě jedoduše zajímavé výsledky. Pokud zvolíme α = 0,3 tedy budeme mít itervalový odhad o spolehlivosti 0,68 a budeme mít dostatečě velké více ež 30, potom budou kvatily t 1,1 α vycházet velmi blízko 1 ověřte si v tabulkách. Můžeme tedy říci, že pro dostatečě velký počet měřeí více ež 30 je iterval x ± s K itervalem spolehlivosti o spolehlivosti přibližě 0,68. Podobě pro volbu α = 0,05, tedy pro spolehlivost 0,95 budou kvatily t 1,1 α pro dostatečě velké více ež 30 vycházet blízko ověřte si v tabulkách. Můžeme tedy říci, že pro dostatečě velký počet pozorováí více ež 30 je iterval x ± s K itervalem spolehlivosti o spolehlivosti přibližě 0,95. Podobě pro volbu α = 0,003, tedy pro spolehlivost 0,997 budou kvatily t 1,1 α pro dostatečě velké více ež 30 vycházet blízko 3 ověřte si v tabulkách. Můžeme tedy říci, že pro dostatečě velký počet pozorováí více ež 30 je iterval x ± 3s K itervalem spolehlivosti o spolehlivosti přibližě 0,997. Fyzikálí korespodečí semiář je orgaizová studety MFF UK. Je zastřeše Odděleím pro vější vztahy a propagaci MFF UK a podporová Ústavem teoretické fyziky MFF UK, jeho zaměstaci a Jedotou českých matematiků a fyziků. Toto dílo je šířeo pod licecí Creative Commos Attributio-Share Alike 3.0 Uported. Pro zobrazeí kopie této licece avštivte http://creativecommos.org/liceses/by-sa/3.0/. 10