7 h Inernaional Scienific - echnical Conference - POCESS CONOL 006 June 3 6, 006, Kouy nad Desnou, Czech eublic PAAEICKÁ EODA VÝPOČU FEKVENČNÍCH SPEKE SIGNÁLŮ ŮA JIŘÍ Fakula srojní, VŠB echnická univerzia Osrava; 7. lisoadu 5; 708 33 Osrava; el.: +40 59 699 348, fax: +40 59 699 348; e-mail: jiri.uma@vsb.cz Absrac: he aer deals wih mehods for frequency secrum esimaion by auoregressive modeling. Esimae of he auoregressive model arameers is he firs se in his way of secral analysis. he mehod, emloyed o erform i, is based on solving he sysem of normal equaions, resuling from he leas-squares mehod, or on solving he Yule-Walker equaion and on Burg s mehod. he leas square mehod uses he Gram-Schmid orogonalisaion and is modificaion. he Yule-Walker equaions are solved using Cholesky s facorizaion and Levinson s ieraive mehod. he A model arameers deermine he ransfer funcion of a linear sysem wih whie noise as an inu signal. he frequency ransfer funcion and he model error variance deermine he frequency secrum. Klíčová slova: aramerická meoda, frekvenční sekra, auoregresní model, meoda nejmenších čverců, Yule-Walkerovy rovnice, Burgova meoda ÚVOD K výoču frekvenčních seker signálů jsou obecně k disozici (Orfanidis, 988): nearamerické meody aramerické meody zv. subsace mehods. Nearamerické meody frekvenční analýzy jsou založeny na ásmových filrech ro zaznamenaný signál. ezi yo meody aří aké Fourierova ransformace. eno zůsob výoču frekvenčního sekra signálu je velmi rozšířen a mezi echniky je ovědomí, že nic jiného k výoču sekra neexisuje. Paramerické meody jsou naroi omu založeny na výoču auoregresního modelu časové řady vzorků, keré jsou ovažovány za výsu lineárního dynamického sysému se vsuním signálem yu bílého šumu. Sekrum výsuního signálu je ak dáno frekvenční řenosovou funkcí éo sousavy a fakorem zesílení, kerý je dán součinem rozylu vsuního bílého šumu a dvojnásobku vzorkovací eriody. K výoču auoregresního modelu lze ouží několik meod, z nichž meoda nejmenších čverců a řešení sousavy Youle-Walkerových rovnic jsou osány blíže v omo referáu solu se dvěma zůsoby řešení sousavy Youle-Walkerových rovnic omocí Choleskyho rozkladu nebo Levinsonova rekurzivního algorimu. Pro meody, anglicky ojmenované subsace mehods, je charakerisické vysoké rozlišení frekvenční sunice aké ro velmi malé očy vzorků, kdy výoče užiím Fourierovy ransformace obsahuje velmi málo složek a udíž sekrum je s malým rozlišením. Princi ěcho meod sočívá na rozkladu korelační maice signálu na vlasní vekory. Příkladem akovéo meody je naříklad USIC (ulile Signal Clasificaion). Pois ohoo osuu výoču není ředměem referáu. AUOEGESNÍ ODEL Jak již bylo uvedeno, aramerické meody se oírají o výoče aramerů auoregresního modelu signálu. Auoregresní model oisuje závislos akuálního vzorku y signálu na ředchozích hodnoách vzorků y, y,, y, j. 000 -
7 h Inernaional Scienific - echnical Conference - POCESS CONOL 006 June 3 6, 006, Kouy nad Desnou, Czech eublic y + = a y + a y + + a y e, () kde ředsavuje diskréní čas (0,,, ), je řád modelu, a, e je náhodná chyba yu nekorelovaného šumu { } = σ > 0 E, E{ e e + } = 0, k 0 e, a, a ( a 0 ) jsou aramery a k. () Vzorky nebo veličiny y mohou bý ovažovány za výsuní oslounos lineární dynamické sousavy se vsuní oslounosí e yu bílého šumu. Z varu diferenční rovnice je zřejmé, že akuální velikos výsuní veličiny je součem váženého růměru minulých hodno o oču, kerý je roven řádu sousavy, a náhodné složky s vlasnosmi bílého šumu. Diferenční rovnice má var regresní rovnice s jednou náhodnou chybou. egresní rovnice oisuje závislos akuální velikosi výsuní veličiny na jejich minulých hodnoách. eno y modelu se nazývá auoregresní, zkrakou A (Auoegressive) model. Ve seciální odborné lierauře o náhodných rocesech se k záisu diferenčních rovnic oužívá oeráor osunuí q. Zoždění o jeden časový krok (jednoku času, j. z času na ) lze k edy zasa jako y = q y, res. zoždění o k vzorků y k = q y. Symbolický záis diferenční rovnice se ak změní oužiím ohoo oeráoru na var ( a q a q a q ) y = e, (3) res. A ( q ) y = e. Formální odíl výsuního vzorku již zmíněné sousavy a vsuního vzorku chyby ředsavuje oeráor, kerý lze označi za oeráorový řenos sousavy res. G ey ( q ) ( q ) y = = e ( a q a q a q ), (4) y Gey = =. (5) e A( q ) Odsraněním záorných mocnin oeráoru osunuí lze získa řenosovou funkci ve varu G ey ( q) y = = e z ( q a q a q a q a ) Podmínkou sabiliy řenosové funkce je umísění kořenů olynomu v roměnné q ve jmenovaeli řenosové funkce uvniř jednokové kružnice. Oeráor osunuí odovídá zoždění o eriodu vzorkování. Frekvenční řenosová funkce doravního zoždění formálně souvisí s oeráorem osunuí odle vzorce q = ex ( jω ), (7) kde úhlová frekvence ω v rad/s a frekvence v Hz lze řeočía odle vzorce ω = π f. Subsiucí roměnné q odle vzorce (7) v oeráorové řenosové funkci (4) lineárního číslicového filru lze dosa frekvenční řenosovou funkci, kerá odovídá frekvenční řenosové funkci sojiého sysému. Auoregresní model oisuje řenos lineární sousavy na obrázku se vsuním signálem yu bílého šumu a výsuem ředsavujícím analyzovaný signál. Časový růběh vsuního signálu lze ro dané hodnoy aramerů modelu vyočía. (6) 000 -
7 h Inernaional Scienific - echnical Conference - POCESS CONOL 006 June 3 6, 006, Kouy nad Desnou, Czech eublic Obrázek Lineární sousava s výsuem, kerým je analyzovaný signál Výkonová sekrální husoa vsuního bílého šumu je konsanní ve frekvenčním ásmu od nuly do Nyquisovy frekvence. Celkový výkon signálu bílého šumu je σ, j. shodný s rozylem chyby modelu (). Výkonová sekrální husoa bílého šumu je edy dána výrazem σ. Výkonovou sekrální husou na výsuu sousavy z obrázku lze vyočía jako součin výkonové sekrální husoy signálu na vsuu sousavy a druhé mocniny absoluní hodnoy frekvenční řenosové funkce. Výkonová sekrální husoa signálu na výsuu sousavy je shodná až na konsanní fakor s druhou mocninou frekvenčního řenosu. éo vlasnosi je využio v aramerických meodách výoču frekvenčního sekra signálů. Výkonová sekrální husoa signálu je edy dána vzorcem σ P ω =. (8) ( ) m= a m ex e ( ) jmω A ( q ) Prvým krokem výoču je edy určení aramerů auoregresního modelu. V omo exu budou osány jen někeré meody výoču, avšak v demonsračním říkladu budou oužiy meody ři. První ředsavuje meodu nejmenších čverců, druhá o Yule-Walkrovy rovnice a řeí Burgovu meodu. y 3 EODA NEJENŠÍCH ČVECŮ Cílem výoču je urči aramery modelu ak, aby rozyl chyby modelu nabýval minima. Neznámé aramery jsou řešením řeurčené (více rovnic než neznámých) sousavy rovnic A a = b, (9) kde A je obecně obdélníková maice sousavy, jejíž slouce obsahují vzorky signálu osuně osunué o jeden vzorek y0 0 0 y y0 0 A = (0) yn yn 3 yn a je vekor neznámých aramerů a b je vekor ravých sran. Pro ransonované vekory laí ( a a a ), b = ( y y y ) a = N. () Řešení éo je dáno sousavou normálních rovnic, jejíž řešení je následující ( A.A) A b a =. () Lze zdůrazni, že se inveruje čvercová maice míso obdélníkové maice A. Pro meodu nejmenších čverců se s výhodou oužívá Q rozklad maice A = Q (3) kde Q je orogonální maice (součin s ransonovanou maicí má za výsledek jednokovou maici) a je horní rojúhelníková maice. Výoče neznámého vekoru a odle () se ak zjednoduší na vzorec 000-3
7 h Inernaional Scienific - echnical Conference - POCESS CONOL 006 June 3 6, 006, Kouy nad Desnou, Czech eublic a = Q b. (4) Ke Q rozkladu obecně obdélníkové maice lze ouží Gram-Schmidův algorimus nebo jeho modifikovanou verzi a nebo Householderovou maici (Saad, 000). 4 ŘEŠENÍ YULE-WALKEOVÝCH OVNIC Auokorelační funkce obecného A modelu se získá ze sřední hodnoy levé a ravé srany rovnice modelu vynásobené vzorkem, kerý je osunu ve směru řírůsků času o τ vzorků y y. (5) + τ a y y + τ a y y + τ a y y + τ = ye + τ Na ravé sraně rovnice je součin náhodné chyby a vzorku signálu, kerý ao chyba nemůže ovlivni. Sřední hodnoa ohoo součinu je z důvodu nezávislosi chyby v čase + τ a chyb, keré určily vzorek signálu v čase. Na levé sraně rovnice jsou součiny vzájemně osunuých vzorků signálu. Sřední hodnoa { y y } a E{ y y } a E{ y y } a E{ y y } E{ y e } E (6) + τ + τ + τ + τ = + τ ředsavuje následující odmínku, kerou slňuje o sobě jdoucích hodno auokorelační funkce ( ) a ( τ ) a ( τ ) a ( τ ) 0 τ. (7) = Vzhledem k omu, že hodnoy auokorelační funkce ro vzájemně oačná osunuí jsou shodné, výsledkem rozisu éo rovnice ro velikosi osunuí od do je sousava Yule- Walkerových rovnic, jejichž řešením jsou neznámé aramery auoregresního modelu () a ( 0) a() a ( ) ( ) a ( ) a ( 0) a ( ) = 0 = 0 ( ) a ( ) a( 3) a ( ) ( ) a ( ) a ( 3) a ( 0) = 0. uo sousavu rovnic lze zasa ve varu A a = b, (9) kde A je maice sousavy, kerá je složena z hodno korelační funkce, a b je vekor ravých sran ( 0) ( ) ( ) ( ) () ( 0) ( ) ( ) A =, b =. (0) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = 0 aice sousavy je význačná ím, že rvky na jejich diagonálách jsou shodné ( j i) Ai, j =. () eno y maic se označuje jako oelizův. aice sousavy rovnic je symerická, a roo k řešení éo sousavy lze s výhodou ouží Choleskyho rozkladu na rojúhelníkové maice, keré lze snadno inverova ( U L ) A = L U =, () (8) 000-4
7 h Inernaional Scienific - echnical Conference - POCESS CONOL 006 June 3 6, 006, Kouy nad Desnou, Czech eublic kde L je dolní rojúhelníková U je horní rojúhelníková maice. Po subsiuci neznámých aramerů a dán vzorci U a = c je vekor c = L b a = U c. (3) Řešení sousavy rovnic s maici sousavy v oelizově varu omocí Choleskyho rozkladu vyžaduje věší množsví oerací než výhodnější rekurzivní meoda odle Levinsona (Orfanidis, 988). Pro ois algorimu rekurzivního výoču je zavedena funkce ředsavující levé srany zv. Yule- Walkerových rovnic (7) ve varu, ve kerém jsou ravé srany nulové g ( k) = ( k) a ( k ) a ( k ) a ( k ). (4) ozyl chyby modelu řádu + je určen rekurzivním vzorcem kde E ( 0 ) = g ( 0) + g ( + ) = ( γ + ) g ( 0) = ( + ) E + g + = γ γ, (5) ( ) ( 0) g + = γ, (6) g Počáeční volba odhadu koeficienu a rozylu ( ) E( e ) 0, E0 = 0 E ro = 0 je následující a = =. (7) Vzorec (5) ovrzuje, že sřední hodnoa čverce chyby modelu s rosoucím řádem osuně klesá. ekurzivní výoče aramerů modelu je dán vzahy a a, m, = a m = γ γ. a, m, m (8) 5 NÁSOJE PO VÝPOČE AUOEGESNÍHO ODELU A SPEKA SIGNÁLU Programový sysém ALAB obsahuje jako součás idenifikačního oolboxu funkci A, kerá oužívá meody fb zv. meoda forward-backward je řednasavená volba, kerá oužívá meodu nejmenších čverců ro doředný a zěný auoregresní model ls zv. meoda nejmenších čverců chyb doředného modelu yw - řešení Yule-Walkerových rovnic burg Burgova meoda gl odobný algorimus Burgově meodě Ke sudiu a orovnání vlasnosí jednolivých algorimů byly někeré meody imlemenovány do výukového rogramu SIGNAL ANALYSE. Výoče aramerů auoregresního modelu zajišťuje viruální řísroj A odel. Výsledkem výoču jsou koeficieny modelu do řádu několika sovek a kořeny říslušného olynomu. Poloha kořenu v komlexní rovině určuje sabiliu řenosu sousavy (4). eody výoču koeficienů jsou následující meoda nejmenších čverců využívající Q rozklad s Gram-Schmidovým algorimem nebo s jeho modifikovanou verzí a nebo s Householderovou maicí řešení Yule-Walkerových rovnic s využiím Choleskyho rozkladu nebo Levinsonova rekurzivního rozkladu Burgova meoda. 000-5
7 h Inernaional Scienific - echnical Conference - POCESS CONOL 006 June 3 6, 006, Kouy nad Desnou, Czech eublic Nejrychlejší výoče je s ouřiím Levinsonova algorimu a Burgovy meody. Výoče sekra odle vzorce (8) zajišťuje viruální řísroj A Secrum. Poče bodů sekra je volielný. Sunice sekra je S (efekivní hodnoy), PW (výkon) a PSD (výkonová sekrální husoa). Součásí rogramu je aké viruální řísroj ro výoče růměrovaného auosekra s využiím rychlé Fourierovy ransformace. Obrázek Přísrojový organizáor rogramu SIGNAL ANALYSE 6 PŘÍKLAD VÝPOČU SPEKA SIGNÁLU Pro demonsraci výoču seker je ouži esovací signál z měření imulsní odezvy, kerá obsahuje výrazné harmonické složky s adiivním náhodným šumem. Vzorkovací frekvence je 50 khz a doba záznamu asi 0,4 s. Časový růběh ohoo signálu je znázorněn na obrázku 3. Výkonová sekrální husoa je znázorněna na obrázku 4. Sekrum bylo vyočeno ro 80 složek růměrovaného sekra s řekryím záznamů /3. V 0,6 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0,6 ime Hisory : Signal -0,8 0,00 0,05 0,0 0,5 0,0 0,5 0,30 0,35 0,40 ime [s] Obrázek 3 esovací signál 0500 vzorků, 50 khz vzorkovací frekvence E-5 Auosecrum : Signal PSD V ^/Hz E-6 E-7 E-8 0 000 4000 6000 8000 0000 000 4000 Obrázek 4 Výkonová sekrální husoa signálu, kerá byla vyočena s užiím FF 000-6
7 h Inernaional Scienific - echnical Conference - POCESS CONOL 006 June 3 6, 006, Kouy nad Desnou, Czech eublic Auoregresní model řádu 00 (A 00) a řádu 400 (A 400) byl vyočen meodou nejmenších čverců (Les-Squares) ve varianě s Gram-Schmidovou meodou (LS:GS) a s modifikovanou Gram-Schmidovou meodou (LS:GS) orogonalizace a omocí Yule-Walkerových rovnic ve varianě s Choleskyho rozkladem (YW:ChF) a s Levinsonovým rekurzivním algorimem (YW:Lev). Poslední esovanou meodou je Burgův algorimus (Burg s ehod). Výsledky výoču jsou znázorněny v obrázcích 5 a 6. E-5 A Secrum : Signal PSD V E-6 E-7 E-8 0 000 4000 6000 8000 0000 000 4000 A odel (Signal, 00, LS:GS, FPE=,83E-04) A odel (Signal, 00, LS:GS, FPE=,77E-04) A odel (Signal, 00, YW:ChF, FPE=,77E-04) A odel (Signal, 00, YW:Lev, FPE=,77E-04) A odel (Signal, 00, Burg, FPE=,76E-04) Obrázek 5 Výkonové sekrální husoy, keré byly vyočeny s užiím A 00 E-5 A Secrum E-6 PSD V E-7 E-8 0 000 4000 6000 8000 0000 000 4000 A odel (Signal, 400, LS:GS, FPE=,538E-04) A odel (Signal, 400, LS:GS, FPE=,644E-04) A odel (Signal, 400, YW:ChF, FPE=,644E-04) A odel (Signal, 400, YW:Lev, FPE=,644E-04) A odel (Signal, 400, Burg, FPE=,644E-04) Obrázek 6 Výkonové sekrální husoy, keré byly vyočeny s užiím A 400 Součásí legendy grafu na obrázku 5 a dalších obrázků je údaj o chybě modelu. Jedná se o krierium FPE (Final Pedicion Error), keré navrhl Akaike a keré zohledňuje řád modelu a oče vzorků N. Skuečný rozyl chyby V modelu je korigován odle následujícího vzorce 000-7
7 h Inernaional Scienific - echnical Conference - POCESS CONOL 006 June 3 6, 006, Kouy nad Desnou, Czech eublic + FPE = N V N (9) Krierium FPE ukazuje, že až na meodu výoču odle nejmenších čverců s Gram- Schmidovou orogonalizační meodou jsou osaní meody rovnocenné. Obrázek 6 ukazuje éměř shodu s osuem výoču s využiím FF. Problémem je volba řádu modelu. Je řeba uvés, že je o síše oázka umění než řesného analyického řešení. Z ohoo hlediska je důležié, aby ro volbu řádu nebylo odsaného omezení. E-5 A Secrum PSD V E-6 E-7 E-8 0 000 4000 6000 8000 0000 000 4000 FF A odel (Signal, 400, LS:GS, FPE=,644E-04) A odel (Signal, 400, YW:ChF, FPE=,644E-04) A odel (Signal, 400, YW:Lev, FPE=,644E-04) A odel (Signal, 400, Burg, FPE=,644E-04) Obrázek 7 Porovnání výsledků výoču výkonové sekrální husoy s užiím FF a A modelu řádu 400 Doba výoču aramerů A modelu z 0000 vzorků záznamu signálu z obrázku 3 je uvedena v abulce. K výočům byl ouži noebook HP Comaq nc60, s rocesorem,86 GHz a s aměí 5 B. Nejkraší výoče je dosažen s oužiím Yule-Walkerových rovnic a rekurzivním algorimem, kerý navrhl Levinson (Orfanidis, 988). abulka Doby výoču auoregresního modelu Doba výoču eoda Řád A modelu 00 Řád A modelu 400 Leas Square, Gram-Schmid 8,9 s 88 s Leas Square, odified Gram-Schmid 4,95 s 387 s Yule-Walker, Cholesky Facorizaion 0,44 s,9 s Yule-Walker, Levinson 0,7 s 0,6 s Burg s ehod,05 s 7,7 s Na obrázku 8 je frekvenční sekrum signálu složeného z harmonické složky s adiivním růžovým šumem. Amliuda harmonické složky je jednoková a její frekvence je 00 Hz. Náhodný šum má efekivní hodnou 0,. Náhodná složka ředsavuje ozadí frekvenčního sekra. V orovnání s výočem sekra užiím FF je sekrum šumu shodné. ozdíl je však v amliudě harmonické složky a v šířce ohoo vrcholu. Srávná výška vrcholu je 0,7. Pro řád modelu je však vrchol nižší a ro řád modelu 0 až 400 naoak vyšší, ro řád modelu 400 dokonce několikanásobně.. 000-8
7 h Inernaional Scienific - echnical Conference - POCESS CONOL 006 June 3 6, 006, Kouy nad Desnou, Czech eublic 0,000 A Secrum : A odel (Sine+Noise),000 S 0,00 0,00 0,00 50 60 70 80 90 00 0 0 30 40 50 A odel (400, YW:Lev, loss=,449e-03) A odel (0, YW:Lev, loss=,70e-03) A odel (00, YW:Lev, loss=,465e-03) A odel (, YW:Lev, loss= 4,769E-03) Obrázek 8 Sekrum v efekivních hodnoách ro harmonický signál s amliudou a s adiivním šumem s efekivní hodnoou 0, ro model řádu, 0, 00 a 400 6 ZÁVĚ Výhoda A modelu ři výoču frekvenčních seker sočívá v om, že sekrum lze sanovi ro libovolný oče vzorků a na rozdíl od FF výoče není limiován na záznam o určié délce. Z esovaných meod výoču aramerů modelu byla nejrychlejší meoda na rinciu řešení Yule- Walkerových rovnic rekurzivním algorimem, kerý navrhl Levinson. Souhrnně lze uvés, že aramerická meoda sekrální analýzy je vhodná nejen ro náhodné signály, keré oisují modely nízkého řádu, ale aké ro signály obsahující harmonické složky s adiivním šumem. Kromě uvedeného říkladu lze očekáva, že aramerická meoda najde hlavně ulanění ro záznamy s malým očem vzorků (sovky). Lieraura OFANIDIS, S. J. Oimum signal rocessing: An Inroducion. acmillan Publishing Comany, London 988. SAAD,Y. Ieraive ehods for Sarse Linear Sysems. Second ediion wih correcions 000. PESS, W.H., EUKOLSKY, S.A., VEELING, W.. & FLANNEY B.P. Numerical ecies in FOAN 77: he ar of scienific comuing (ISBN 0-5-43064-X), Cambridge Universiy Press, 986-99. Výzkumné ráce v oboru zracování měření hluku a vibrací jsou odorovány Granovou agenurou České reubliky jako rojek č. 0/04/530. 000-9