Funkce více proměnných April 29, 2016
Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy + 4y 3 x 3 f xx = 2y + 12y 3 x 2 f xy = 2x + 12y 2 x 3 f y = x 2 + 3y 2 x 4 f yy = 6yx 4 f yx = 2x + 12y 2 x 3
Derivace vyšších řádů Jsou-li všechny parciální derivace druhého řádu funkce f spojité, potom matice sestavěná z parciálních derivací druhého řádu f x 1 x 1 f x 1 x 2 f x 1 x n f x 2 x 1 f x 2 x 2 f x 2 x n... f x nx 1 f x nx 2 f x nx n se nazývá druhá derivace funkce f a značí symbolem f. Schwarzova věta. Nechť funkce f : A R, A R n má v nějakém okolí bodu X 0 A parciální derivace f x i, f x j, f x i x j, f x j x i, které jsou spojité v bodě X 0. Potom platí f x i x j (X 0 ) = f x j x i (X 0 ).
Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y, z) = x 3 e 4x sin y + y 2. sin xy + 4xyz, určte její parc. derivaci f xyz. Na přednášce bylo vysvětleno proč f xyz = f zxy, proto: f z = 4xy f zx = 4y f zxy = 4
Extrémy funkce více proměnných
Extrémy funkce více proměnných Řekneme, že funkce f : A R, A R n má v bodě X 0 A lokální maximum (resp. minimum), jestliže existuje okolí U (X 0 ) tak, že platí X U (X 0 ) : f (X) f (X 0 )(resp.f (X) f (X 0 )). V případě, že platí ostré nerovnosti, říkáme, že lokální maximum resp. minimum je ostré. Lokální maximum a minimum se nazývá společným pojmem lokální extrém.
Nutná podmínka pro extrém Fermatova věta. Nechť f : A R je hladká na nějakém okolí U (X 0 ) bodu X 0 a nechť má funkce f v bodě X 0 lokální extrém. Pak platí: gradf (X 0 ) = f (X 0 ) = 0. Platí-li v bodě X 0 vztah gradf (X 0 ) = 0, říkáme, že X 0 je stacionární bod funkce f. Stacionární bod, ve kterém extrém nenastane, se nazývá sedlový bod.
Diferenciál k-tého řádu, f (x, y) Je-li f : A R třídy C m, pak pro libovolné X 0 A a k m funkci, která každému vektoru h = (h 1,..., h n) přiradí k-tou derivaci funkce f podle vektoru h, tedy funkci D k (f (X 0, h)) = f k h k (X 0) nazýváme diferenciálem k-tého řádu funkce f v bodě X 0. df (X 0 ) = f x (X 0).dx + f y (X 0).dy. d 2 f (X 0 ) = f xx (X 0).dx 2 + f yy (X 0).dy 2 + 2f xy (X 0)dx.dy. d 3 f (X 0 ) = f (3) xxx (X 0 ).dx 3 + f (3) yyy(x 0 ).dy 3 + 3f (3) xxy (X 0 )dx 2.dy + 3f (3) yyx (X 0 )dx.dy 2.
Diferenciál k-tého řádu, f (x, y, z) df (X 0 ) = f x (X 0).dx + f y (X 0).dy + f z (X 0).dz. d 2 f (X 0 ) = f xx (X 0).dx 2 + f yy (X 0).dy 2 + f zz (X 0).dz 2 + +2f xy(x 0 )dx.dy + 2f xz(x 0 )dx.dz + 2f yz(x 0 )dy.dz. d 3 f (X 0 ) = f (3) xxx (X 0 ).dx 3 + f (3) yyy(x 0 ).dy 3 + f (3) zzz (X 0 ).dz 3 + 3f (3) xxy (X 0 )dx 2.dy+ +3f (3) xxz (X 0 )dx 2.dz + 3f (3) yyx (X 0 )dx.dy y + 3f (3) yyz (X 0 )dy 2.dz+ +3f (3) zzx (X 0 )dz 2.dx + 3f (3) zzy (X 0 )dz 2.dy + 6f (3) xyz (X 0 )dx.dy.dz
Taylorův polynom Má-li funkce f spojité parciální derivace až do řádu k na okolí U(X 0 ) bodu X 0, potom Taylorovým polynomem funkce f v bodě X 0 nazýváme polynom T k (X) = f (X 0 )+ 1 1! df (X 0, X X 0 )+ 1 2! d2 f (X 0, X X 0 )+ + 1 k! dk f (X 0, X X 0 ). Například pro funkci dvou proměnných f (x, y), obecný přírustkový vektor h = X X0 = (x x 0, y y 0 ) má Taylorův polynom druhého stupně následující tvar: T k (x, y) = f (x 0, y 0 ) + 1 1! f x (x 0, y 0 ).(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 ).(y y 0 )+ + 1 ( f xx 2! (x 0, y 0 ).(x x 0 ) 2 + 2f xy (x 0, y 0 ).(x x 0 )(y y 0 ) + f yy (x 0, y 0 ).(y y 0 ) 2). Taylorova věta. Má-li funkce f spojité parciální derivace až do řádu k + 1 na okolí U(X 0 ) bodu X 0, potom pro X = X 0 + h U(X 0 ) platí f (X) = T k (X) + R k+1 (X), tj. f (X 0 +h) = f (X 0 )+ 1 1! df (X 0, h)+ 1 2! d2 f (X 0, h)+ + 1 k! dk f (X 0, h)+r k+1 (X), kde R k+1 = a ε je jisté číslo z intervalu (0, 1). 1 (k + 1)! d(k+1) f (X 0 + ε. h, h)
Postačující podmínka pro extrém Nechť X 0 je stacionárním bodem funkce f : A R. Pak platí-li pro každý nenulový přírustkový vektor h d 2 f (X 0, h) > 0, je v bodě X 0 lokální minimum, d 2 f (X 0, h) < 0, je v bodě X 0 lokální maximum, d 2 f (X 0, h) 0, extrém v bodě X 0 může a nemusí nastat, d 2 f (X 0, h) 0, extrém v bodě X 0 může a nemusí nastat. Jestliže pro některé h je d 2 f (X 0, h) > 0 a pro jiné h je d 2 f (X 0, h) < 0, extrém nenastane.
Sylvestrovo kriterium Nechť A je stacionární bod funkce f n promenných. Jsou-li v bodě A subdeterminanty D 1, D 2,, D n matice f všechny kladné, má funkce f v bodě A lokální minimum. Jsou-li v bodě A subdeterminanty D 1, D 3, záporné a subdeterminanty D 2, D 4, kladné (tedy jsou střídavě záporné a kladné s D 1 záporným), má funkce f v bodě A lokální maximum. Je-li některý subdeterminant se sudým indexem v bodě A záporný, potom v bodě A extrém nenastane. Je-li některý subdeterminant s lichým indexem kladný a jiný záporný, extrém nenastane. Je-li některý subdeterminant v bodě A roven nule a předchozí dve podmínky extrém nevyloučily, nelze pomocí tohoto kriteria o existenci extrému rozhodnout.
Příklad (Extrémy) Daná je funkce f (x, y) = x 2 + y 2, určte její lok. extrémy. Najdeme stac. body, tedy f x = 0 a f y = 0. Zřejmě f x = 2x, f y = 2y. Stac. bod je A = (0, 0, 0). Zjistíme druhé derivace f xx = 2, f yy = 2, f xy = f yx = 0. ) f xx f yy (f 2 xy = 4 > 0 a f xx > 0, proto se jedná o lok. minimum a z předpisu funkce je zřejmé, že je to i glob. minimum.
Příklad (Extrémy) Daná je funkce f (x, y) = xy, určte její lok. extrémy. Najdeme stac. body, tedy f x = 0 a f y = 0. Zřejmě f x = y, f y = x. Stac. bod je A = (0, 0, 0). Zjistíme druhé derivace f xx = 0, f yy = 0, f xy = f yx = 1. f xx f yy (f xy) 2 = 1 < 0, proto se nejedná o lok. extrém, ale sedlový bod.
Příklad (Extrémy) Daná je funkce f (x, y) = 2x 3 + xy 2 + 5x 2 + y 2, určte její lok. extrémy. Najdeme stac. body, tedy f x = 0 a f y = 0. Zřejmě f x = 6x 2 + y 2 + 10x, f y = 2xy + 2y. Hledáme x, y, aby 6x 2 + y 2 + 10x = 0, 2xy + 2y = 0. Ze druhé rovnice je y = 0 nebo x = 1. dosazením y = 0 do první rovnice, dostaneme x = 0 nebo x = 5 3. dosazením x = 1 do první rovnice, dostaneme y = 2 nebo y = 2.
Příklad (Extrémy, pokr.) Stac. body jsou B 1 = (0, 0), B 2 = ( 5 3, 0), B 3 = ( 1, 2), B 4 = ( 1, 2). Zjistíme druhé derivace f xx = 12x + 10, f yy = 2x + 2, f xy = f yx = 2y. Po dosazení souradnic jednotlivých bodů a výpočtech determinantů a subdeterminantů, zjistíme, že D B1 = 20, D 1B1 = 10, B 1 je lok. minimum D B2 = 40 3, D 1 B2 = 10, B 2 je lok. maximum D B3 = 16, B 3 není extrém, D B4 = 16, B 4 není extrém Poznamenajme, že ) D(B) = f xx(b) f yy(b) (f xy(b) 2, D1 = f xx(b),
Příklad (Extrémy) Daná je funkce f (x, y) = 2x 2 + y 2 + 2z xy xz, určte její lok. extrémy. Najdeme stac. body, tedy Zřejmě Hledáme x, y, z, aby f x = 0, f y = 0 a f z = 0. f x = 4x y z, f y = 2y x, f z = 2 x 4x y z = 0, 2y x = 0, 2 x = 0. Z posl. rovnice je x = 2, dosazením do druhé rovnice, dostaneme y = 1, dosazením do první rovnice, dostaneme z = 7.
Příklad (Extrémy, pokr.) Stac. bodem je A = (2, 1, 7). Zjistíme druhé derivace pro stac. bod: f xx = 4, f yy = 2, f zz = 0, f xy = 1, f xz = 1, f yz = 0. Výpočtem se přesvěčte (pro D 3 si zopakujte Sarrusovo pravidlo!), že D 1 = 4, D 2 = 7, D 3 = 2 Vzhledem k tomu, že D 1 > 0, D 3 < 0, nejedná se o extrém.
Příklad (Extrémy) Daná je funkce f (x, y) = x 2 + y 2, a bod A = (0, 0, 1). Najděte na ploše dané f (x, y) = x 2 + y 2 bod, který má od bodu A nejkratší vzdálennost. Bod X, který leží na dané ploše má souradnice (x, y, z), a pro z platí z = x 2 + y 2, proto X = (x, y, x 2 + y 2 ). Pro vzdálennost bodu A od bodu X platí d = (x 0) 2 + (y 0) 2 + (x 2 + y 2 ( 1)) 2. Podle zadání by jsme měli hledat minimum funkce d, na přednášce bylo vysvětleno proč stačí zkoumat funkci d 2. Pro zjednodušení označíme d 2 = q. Najdeme stac. body, proto zjistíme parc. derivace: q x = 2x(2x 2 + 2y 2 + 3), q y = 2y(2x 2 + 2y 2 + 3). Hledáme x, y tak, aby q x = 0 a q y = 0.
Příklad (Extrémy, pokr.) To nastane jenom když x = y = 0. Uvědomte si, že (2x 2 + 2y 2 + 3) nebude nikdy 0. Stac. bodem je X = (0, 0). Zjistíme druhé derivace pro stac. bod (ověřte si to!): Výpočtem zjistíme, že q xx = 6, q yy = 6, q xy = 0. D 1 = 6 > 0, D 2 = 36 > 0, proto se jedná o minimum, co asi nikoho nepřekvapilo.
Příklad (Extrémy) Daná je funkce f (x, y) = x 2 + y 2, a bod A = (0, 0, 1). Najděte na ploše dané f (x, y) = x 2 + y 2 bod, který má od bodu A nejkratší vzdálennost. Bod X, který leží na dané ploše má souradnice (x, y, z), a pro z platí z = x 2 + y 2, proto X = (x, y, x 2 + y 2 ). Pro vzdálennost bodu A od bodu X platí d = (x 0) 2 + (y 0) 2 + (x 2 + y 2 1) 2. Podle zadání by jsme měli hledat minimum funkce d, na přednášce bylo vysvětleno proč stačí zkoumat funkci d 2. Pro zjednodušení označíme d 2 = q. Najdeme stac. body, proto zjistíme parc. derivace: q x = 2x(2x 2 + 2y 2 1), q y = 2y(2x 2 + 2y 2 1). Hledáme x, y tak, aby q x = 0 a q y = 0.
Příklad (Extrémy, pokr.) To nastane v těchto případech: x = 0, 2x 2 + 2y 2 1 = 0 x = 0, y = 0 y = 0, 2x 2 + 2y 2 1 = 0 2x 2 + 2y 2 1 = 0 Stac. bodem je X = (0, 0) a kružnice x 2 + y 2 = 1 2 (kružnice leží ve výšce 1 2, z ová souřadnice jejich bodů je 1 2 ). Uvědomte si, že první a třetí případ jsou body kružnice (tedy podmnožina čtvrtého případu). Zjistíme druhé derivace pro stac. bod X 1 = (0, 0) (ověřte si to!): q xx = 2, q yy = 2, q xy = 0. Výpočtem zjistíme, že D 1 = 2 < 0, D 2 = 4 > 0,
Příklad (Extrémy, pokr.) proto se jedná o lok. maximum. Pro lepší pochopení situace, je vhodné spočítat úlohu o min. vzdál. pro funkci jedné proměnné f (x) = x 2 a bod A = (0, 1), tak jak to bolo na přednášce. Zřejmě všechny body z "naší" kružnice mají stejnou vzdálennost od bodu A, proto stačí ak o jedném bodu kružnice zjistíme, že je v něm minimum a potom budeme vědet, že v bodech kružnice máme lok. minimum, ale neostré! Přesvěčte se např. o tom, že v bodě X = (0, 2 2 ) (zřejmě leží na "naši" kružnici) je lok. minimum funkce q. Návod na to najdete v předchozích úlohách.
Příklad (Vázané extrémy) Součet dvou čísel je 10. Jaký může být největší a nejmenší jejich součin? Úlohu přeformulujeme: Určete extrémy funkce f (x, y) = x.y, ak x + y = 10. Z x + y = 10 je y = 10 x. Dosadíme do f (x, y) a f (x, y) = x (10 x) = 10x x 2. Dostali jsme funkci jedné prom., najdeme stac. body. f (x) = 10 2x, f (x) = 2.
Příklad (Vázané extrémy, pokr.) Funkce má jediný stac. bod x = 5. Ze druhé derivace vidíme, že se jedná o maximum. Největší součin dostaneme, když x = y = 5. Na množine všech reál. čísel funkce nemá minimum. Když se omezíme na nezáporné čísla, maximum bude stejné, ale funkce bude mít i minimum (jeho hodnota je 0) v krajních bodech (10 + 0 = 0 + 10 = 10, 10.0 = 0.10 = 0).
Příklad (Vázané extrémy) Součet tří čísel je 10. Jaký může být největší a nejmenší jejich součin? Budeme postupovat stejně jako předch. úloze. Úlohu přeformulujeme: Určete extrémy funkce f (x, y, z) = x.y.z, ak x + y + z = 10. Z x + y + z = 10 je z = 10 x y. Dosadíme do f (x, y, z) a f (x, y, z) = xy (10 x y) = 10xy x 2 y xy 2. Dostali jsme funkci dvou prom., najdeme stac. body. f x(x, y) = 10y 2xy y 2 = y(10 2x y), f y(x, y) = 10x 2xy x 2 = x(10 2y x).
Příklad (Vázané extrémy, pokr.) Stac. body jsou A = (0, 0), B = (0, 10), C = (10, 0), D = ( 10 3, 10 3 ). Funkce má maximum v stac. bodě D, v bodech A, B, C není extrém. Nejv. součin dostaneme, když x = y = z = 10 3. Když se omezíme na nezáporné čísla, maximum bude stejné, ale funkce bude mít i minimum (jeho hodnota je 0) v krajních bodech (to znamená, že alespoň jedno z čísel bude 0.)