52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší. Njděte všechn původní čísl, která se rovnjí bsolutní hodnotě rozdílu druhé mocniny krtšího čísl druhé mocniny odtržené číslice. 2. N strně čtverce je zvolen bod tk, že úhel má velikost 0. od je ptou kolmice vedené bodem n přímku, bod ptou kolmice vedené bodem n přímku. Rozhodněte, zd je obsh lichoběžníku menší než třetin obshu čtverce.. Z pěti jedniček, pěti dvojek, pěti trojek, pěti čtyřek pěti pětek sestvíme pět pěti místných čísel, která se čtou zepředu stejně jko zezdu (npř. 2 22), pk tto čísl sečteme. Jkou nejmenší jkou největší hodnotu může mít výsledný součet? Školní kluzurní část I. kol ktegorie se koná v úterý 28. ledn 200 tk, by zčl dopoledne by soutěžící měli n řešení úloh 4 hodiny čistého čsu. Z kždou úlohu může soutěžící získt 6 bodů, úspěšným řešitelem je ten žák, který získá 10 bodů nebo více. Tyto údje se žákům sdělí před zhájením soutěže.
52. ročník mtemtické olympiády Řešení úloh školní části I. kol ktegorie 1. Oznčme hledné číslo 10 + b, kde, b jsou celá čísl, 1, 0 b 9. odle zdání má pltit 10 + b = 2 b 2. ředpokládejme nejprve, že b. V tom přípdě jednoduchými úprvmi dostáváme 10 + b = 2 b 2, 2 10 +25=b 2 + b +25, ( 5) 2 = b 2 + b +25. o poslední rovnosti pk postupně doszujeme b =0,b =1,..., b = 9 zjišťujeme, zd výrz b 2 + b + 25 je druhou mocninou nějkého nezáporného celého čísl. Rovnici vyhovují dvojice b =0, =0;b =0, = 10; b =7, = 14. V přípdě, kdy <b, obdobnými úprvmi dostneme 10 + b = b 2 2, 2 +10 +25=b 2 b +25, ( +5) 2 = b 2 b +25 podobně jko v prvním přípdě získáme dvojice b =0, =0;b =1, =0;b =8, =4. Závěr: S přihlédnutím k podmínkám zdání jsou řešením úlohy tři čísl 48, 100, 147. Z úplné řešení udělte 6 bodů, 1 bod z náhodné nlezení jednoho nebo dvou čísel, 2 body z náhodné nlezení všech tří čísel. Z neúplnou diskusi strhněte 2 ž 4 body. 2. Oznčme délku strny čtverce. Trojúhelníky, jsou podobné podle věty uu, přičemž trojúhelníky jsou dokonce shodné (obr. 1). Trojúhelník je polovinou rovnostrnného trojúhelníku o strně. Oznčíme-li = x, je =2x. x 60 0 2x 0 60 0 60 Obr. 1
V prvoúhlém trojúhelníku pltí = = 2 2 = 4x 2 x 2 = = x, odkud x =. (Velikost x můžeme tké spočítt užitím goniometrického vzorce x : = : =tg0 =.) Trojúhelníky jsou polovinmi rovnostrnného trojúhelníku o strně. Rovnostrnný trojúhelník o strně délky má výšku 2 jehoobshje 4 2. Součet obshů trojúhelníků, je tudíž 1 2 + 4 2 = 5 12 2. Jelikož obsh čtverce je 2, je poměr obshů lichoběžníku čtverce roven 2 5 12 2 = 12 5, 2 12 cožječíslomenšínež0,29. Závěr: Obsh lichoběžníku je menší než třetin obshu čtverce. ro zjímvost uvedeme ještě jedno řešení, ve kterém ukážeme, že zkoumný obsh lze odhdnout pomocí úvh o vzájemné poloze vhodných bodů (bez výpočtu délek obshu). Jiné řešení. rotože nás zjímjí jen poměry obshů, můžeme předpokládt, že je čtverec o strně 1. Ve středové souměrnosti podle středu O čtverce přejdou body, v body, které oznčíme G, R S (obr. 2). Z prvoúhlého trojúhelníku s úhlem 60 při vrcholu plyne = 1 2 > 1 2 = 1 2, tkže pro obsh rovnoběžníku G pltí nerovnost S(G) < 1 2. Zároveň se zdá, že shodné lichoběžníky RS G mjí větší obsh než čtverec RS. okud tomu tk oprvdu je, musí být S(RS) > 1 S(G), tkže nutně pltí S()=S(G) S(G )=S(G) S(RS) < < 2 S(G) < 2 1 2 = 1. Tím bude úloh vyřešen. X S O R U Y S Z R G Obr. 2 X G Obr.
Strn SR čtverce RS je součsně výškou lichoběžníku RS. roto bude ne rovnost S(RS) <S(RS) dokázán, když ověříme, že strn čtverce je krtší než střední příčk lichoběžníku. Tou je úsečk XZ, kde Z oznčuje střed úsečky SR, což je zároveň pt výšky rovnostrnného trojúhelníku XY (obr. ). Oznčme U průsečík úhlo příčky dného čtverce s úsečkou. Tímto bodem prochází i přímk Y,kteráje souměrně sdružená s přímkou právě podle osy, neboť Y = =0. To ovšem znmená, že bod Y, který je průsečíkem U XZ, leží vně čtverce RS!roto je oprvdu XZ = ZY > R. Obsh lichoběžníku je tudíž menší než třetin obshu čtverce. Z úplné řešení je 6 bodů, z toho 5 bodů buďz správné určení obshu lichoběžníku,neboz vhodný odhd, který postčí k rozhodnutí, která nerovnost je správná.. Oznčme zpišme v desítkové soustvě pět pětimístných čísel, která se čtou zepředu stejně jko zezdu jsou sestven z dných číslic: 1 b 1 c 1 b 1 1 = 1 10 4 + b 1 10 + c 1 10 2 + b 1 10 + 1, 2 b 2 c 2 b 2 2 = 2 10 4 + b 2 10 + c 2 10 2 + b 2 10 + 2, b c b = 10 4 + b 10 + c 10 2 + b 10 +, 4 b 4 c 4 b 4 4 = 4 10 4 + b 4 10 + c 4 10 2 + b 4 10 + 4, 5 b 5 c 5 b 5 5 = 5 10 4 + b 5 10 + c 5 10 2 + b 5 10 + 5. Mezi číslicemi c 1, c 2, c, c 4, c 5 je právě jedn jedničk, právě jedn dvojk, právě jedn trojk, právě jedn čtyřk právě jedn pětk. Kdyby totiž n místě stovek uvžovných pěti čísel chyběl npř. jedničk, musel by se n místech osttních řádů vyskytovt v li chém počtu (pětkrát), což vzhledem k symetrii uvžovných čísel není možné. ro součet S uvžovných čísel tedy pltí S = 1 b 1 c 1 b 1 1 + 2 b 2 c 2 b 2 2 + b c b + 4 b 4 c 4 b 4 4 + 5 b 5 c 5 b 5 5 = =( 1 + 2 + + 4 + 5 ) (10 4 +1)+(b 1 + b 2 + b + b 4 + b 5 ) (10 + 10) + +(c 1 + c 2 + c + c 4 + c 5 ) 10 2 = = 10 001 ( 1 + 2 + + 4 + 5 ) + 1 010 (b 1 + b 2 + b + b 4 + b 5 )+ + 100 (1+2++4+5)= = 10 001 ( 1 + 2 + + 4 + 5 ) + 1 010 (b 1 + b 2 + b + b 4 + b 5 ) + 1 500. S ohledem n číslice, jež máme k dispozici, bude součet S nejmenší, jestliže bude 1 + 2 + + 4 + 5 =1+1+2+2+=9, b 1 + b 2 + b + b 4 + b 5 =5+5+4+4+=21. Nejmenší možný součet má tudíž hodnotu vznikne npř. jko součet S min = 10 001 9 + 1 010 21 + 1 500 = 112 719 S min = 1 11 + 14 241 + 24 42 + 25 452 + 5 55.
odobně bude součet S největší, pokud bude 1 + 2 + + 4 + 5 =5+5+4+4+=21, b 1 + b 2 + b + b 4 + b 5 =1+1+2+2+=9. Největší možný součet má tudíž hodnotu S mx = 10 001 21 + 1 010 9 + 1 500 = 220 611 vznikne npř. jko součet S mx = 5 55 + 52 425 + 42 24 + 41 214 + 1 11. Z úplné řešení je 6 bodů, z toho 2 body z stnovení nejmenší možné hodnoty, 1 bod z sestvení konkrétních čísel, 2 body z stnovení největší možné hodnoty, 1 bod z sestvení konkrétních čísel. okud řešitel seství ob správné příkldy, všk nevysvětlí spoň stručným komentářem, proč větší nebo menší součet nelze získt, udělte 4 body.