Nerovnosti a nerovnice

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Nerovnosti a nerovnice"

Transkript

1 Nerovnosti nerovnice Doc. RNDr. Leo Boček, CSc. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávcích příležitostí pro ndné žáky studenty v přírodních vědách mtemtice s využitím online prostředí, Operční progrm Prh Adptbilit, registrční číslo CZ..17/3.1.00/31165.

2 Nerovnosti nerovnice 1 Zákldní nerovnosti Vedle práce s různými rovnostmi řešením rovnic hrjí v mtemtice význmnou roli i nerovnosti různé odhdy chyb při přibližných řešeních úloh. K tomu je někdy třeb řešit různé nerovnice. Reálná čísl jsou uspořádná, o dvou různých reálných číslech vždy pltí, že právě jedno z nich je menší než druhé, npř. říkáme, že číslo je menší než číslo b, což zpisujeme < b nebo tké b > (číslo b je větší než číslo ). Čísl větší než nul (0) se nzývjí kldná, čísl menší než 0 jsou čísl záporná (číslem budeme vždy rozumět číslo reálné). Čísl kldná nul tvoří dohromdy čísl nezáporná. Přidáme-li k záporným číslům nulu, dostneme čísl nekldná. Reálná čísl si znázorňujeme Obrázek 1: n tzv. číselné ose. Druhá mocnin nenulového čísl je vždy číslo kldné, druhá mocnin nuly je nul, tkže druhá mocnin kždého reálného čísl je číslo nezáporné. Pro kždé číslo tedy pltí: 0 (1) což je tková první nerovnost, která pltí pro všechn reálná čísl. Z ní pk můžeme odvodit složitější nerovnosti n zákldě prvidel pro počítání s nerovnostmi nebo nerovnicemi. Mezi ně ptří především tto: Pro všechn, b, c, d,... pltí: < b + c < b + c, < b, c > 0 c < bc, < b, c < d + c < b + d. Pro záporné číslo d je číslo d kldné, proto z < b plyne ( d) < b( d), tedy d < bd, odkud bd < d neboli d > bd. Násobíme-li tedy obě strny správné nerovnosti < b záporným číslem d, dostneme správnou nerovnost d > bd pokud součsně obrátíme znk nerovnosti. To je ztím vše, co budeme pro počítání s nerovnostmi nerovnicemi potřebovt. Pro kždá dvě čísl, b pltí podle (1) ( b) 0, tedy +b b, přičemž rovnost pltí právě když = b. To je nerovnost, kterou čsto použijeme. V přípdě kldných čísel, b dostneme vynásobením číslem 1 b nerovnost b + b 1

3 kterou můžeme formulovt tké tkto: Součet c + 1 c libovolného kldného čísl c jeho převrácené hodnoty je vždy větší nebo roven, rovnost pltí pouze v přípdě c = 1. Pro kždá dvě kldná čísl, b pltí podle (1) ( b) 0, kterou můžeme podle uvedených prvidel uprvit n tvr + b b, rovnost pltí pouze pro = b. Číslo +b znáte; víte, že je to tzv. ritmetický průměr čísel, b; výrz b se nzývá geometrický průměr čísel, b. Dokázli jsme, že geometrický průměr kždých dvou kldných čísel se nejvýše rovná jejich ritmetickému průměru ob průměry se sobě rovnjí právě tehdy, když se čísl sobě rovnjí. Příkld 1 Kldná čísl, b splňují podmínku + b = 1. Dokžte, že jejich součin b není větší než 36. Řešení: Podle odvozené nerovnosti mezi ritmetickým geometrickým průměrem (tzv. AGnerovnosti) je b +b = 6, tkže b 36. Přitom b = 36 pouze v přípdě = b = 6. Bez použití AG-nerovnosti můžeme úlohu řešit tkto: b = 1, b = (1 ) = + 1 = ( 1) = ( 6) + 36, tkže b 36, rovnost pltí pouze v přípdě ( 6) = 0, tj. = 6, b = 6. Konečně bychom mohli tké říci, že z + b = 1 plyne = 6 + x, b = 6 x pro nějkou hodnotu x ( 6, 6) je tedy b = 36 x 36. Rovnost pltí pouze pro x = 0, = b = 6. Úlohu můžeme interpretovt geometricky: Obdélník o strnách, b s obvodem 4m = ( + b)m nemůže mít obsh větší než 36m má obsh 36m právě tehdy, když je to čtverec o strně 6m (čtverec povžujeme z zvláštní přípd obdélníku). Příkld Součin dvou kldných čísel, b je 16. Existuje dolní horní odhd pro součet + b? Řešení: Dolní odhd jistě existuje, npříkld určitě pltí + b > 0, protože obě čísl jsou kldná. Není to všk nejlepší odhd. Použijeme-li AG-nerovnost, dostneme +b b = 4, tkže + b 8. Bez užití AG-nerovnosti můžeme postupovt tkto: Z b = 16 plyne b = 16 tedy + b = + 16 = ( 4 ) + 8, proto je + b 8. Nebo můžeme z b = 16 odvodit, že = 4c, b = 4 c pro vhodné c > 0 tedy + b = 4 ( ) c + 1 c 8, neboť c + 1 c pro kldné c. Odhd + b 8 se už nedá zlepšit, jk ukzuje příkld = b = 4. Horní hrnice pro + b při podmínce b = 16 neexistuje. Zvolíme-li totiž jkékoliv kldné číslo k položíme-li = k, b = 16 k je b = 16, + b > k. Ukážeme si ještě dlší průměry, ztím jen dvou kldných čísel. Hrmonický průměr kldných čísel, b se definuje jko převrácená hodnot ritmetického průměru převrácených hodnot čísel, b, tedy jko číslo: b = b b + Sndno dokážemne, že se hrmonický průměr dvou kldných čísel nejvýše rovná jejich geometrickému průměru. Chceme dokázt, že b +b b. Opět vyjdeme z nerovnosti ( b) 0, uprvíme n tvr + b b, poslední nerovnost vynásobíme kldným číslem b +b, dostneme b b +b. Rovnost pltí právě tehdy, když je = b.

4 Příkld 3 Pojedete-li z měst A do s km vzdáleného měst B průměrnou rychlostí kmh 1 zpět průměrnou rychlostí b kmh 1, jkou průměrnou rychlostí jste jeli z A do B zpět do A? Řešení: Celkem ujedete vzdálenost s km z ( s + s b ) hodin, průměrná rychlost je tedy tedy hrmonický průměr hodnot, b. s s + s kmh 1, b Uvedeme ještě jeden průměr, průměr kvdrtický. Pro kldná čísl, b definujeme kvdrtický průměr jko + b Víme, že + b b, tedy + b ( + b). Dělením čtyřmi odmocněním dostneme výsledek: Kvdrtický průměr čtyř kldných čísel je vždy větší nebo roven jejich ritmetickému průměru rovnjí se právě tehdy, když jsou čísl stejná. Odvozené výsledky můžeme shrnout: Pro kždá dvě kldná čísl, b pltí b + b b + b + b, přičemž pro různá čísl, b pltí všude ostrá nerovnost (<), v přípdě b = se všechny čtyři průměry rovnjí číslu. Všechny čtyři průměty si můžeme znázornit geometricky. Předpokládejme b <. N polopřímku s počátečním bodem O nneseme úsečku OB délky b úsečku OA délky. Sestrojíme polokružnici k s průměrem BA, její střed oznčíme S. Je pk OS = +b. Dále oznčíme T bod dotyku tečny vedené bodem O. Z Pythgorovy věty plyne OT = b. Oznčíme-li P ptu kolmice vedené bodem T n přímku OA, pltí podle Euklidovy věty o odvěsně v prvoúhlém trojúhelníku OT S vzth OP = b +b.. Obrázek : Veďme ještě bodem S kolmici k AB, která protne polokružnici k v bodě K. Je pk OK = +b. Zřejmě pltí OB < OP < OT < OS < OK < OA, tj. b < b + b < b < + b + b < <. 3

5 Příkld 4 Kldné rcionální číslo p se nemůže rovnt, protože je číslo ircionální (nedá se npst jko poměr dvou celých čísel). Je tedy buď p < nebo p >. Dokžte v kždém přípdě, že leží mezi čísly p p+ p+1, tj. pltí p < < p+ p+ p+1 nebo p+1 < < p. Řešení: Předpokládejme nejdříve p <. Chceme dokázt, že < p+ p+1 nebo ekvivlentní nerovnost p( 1) < < ( 1). To je všk nerovnost p < vynásobená kldným číslem 1. Zcel obdobně postupujeme i v přípdě p >. Jiný postup: Uprvíme součin ( ( p + p) p + 1 ) = ( p)( 1)(p ) p + 1 = ( p) p + p p + 1 = ( 1)( p) p + 1 Vidíme, že výsledek je vždy záporný. Proto mjí vždy čísl p, p+ p+1 opčná znménk (jedno je kldné, druhé záporné), což jsme vlstně měli dokázt. = Příkld 5 Jestliže pro reálná čísl, b, c pltí součsně bc > 0, b + bc + c > 0, + b + c > 0, jsou čísl, b, c kldná. Řešení: Protože bc > 0, jsou buď čísl, b, c kldná není co dokzovt, nebo je jedno kldné zbývjící dvě záporná. Můžeme bez újmy n obecnosti předpokládt > 0, b < 0, c < 0. Je pk bc > ( b c) tké > ( b c) odkud ( b c) > ( b c) tedy bc > (b + c). Po úprvě 0 > b + bc + c = ( b + 1 c) c, což je všk spor. Druhý přípd tedy nemůže nstt. Příkld 6 Dokžte, že pro kldná čísl, b, c vždy pltí nerovnost b + c + b c + + c + b 3. Řešení: Vynásobením kldným součinem všech čtyř jmenovtelů dostneme ekvivlentní nerovnost ( 3 + b 3 + c 3 ) (b + c) + b ( + c) + c ( + b), kterou máme dokázt. Už z dné nerovnosti je vidět, že v přípdě = b = c pltí rovnost. Proto zkusíme, zd dokzovnou nerovnost můžeme dostt jko součet kldných násobků nerovností ( b) 0, (b c) 0, (c ) 0. Pk už sndno zjistíme, že dokzovnou nerovnost můžeme npst ve tvru ( + b)( b) + (b + c)(b c) + (c + )(c ) 0, která evidentně pltí pro všechn kldná čísl, b, c. Rovnost pltí pouze v přípdě = b = c. Jiný důkz dostneme zvedením nových proměnných u = b + c, v = c +, w = + b. Je pk = 1 (v + w u), b = 1 (w + u v), c = 1 (u + v w) máme dokázt nerovnost v + w u u + w + u v v + u + v w w po úprvě 1 ( v u + u ) + 1 ( w v u + u ) + 1 ( w w v + v ) 3. w Pltnost této nerovnosti plyne okmžitě z toho, že součet kldného čísl jeho převrácené hodnoty je větší nebo roven dvěm. 3, 4

6 Úloh 1 Je-li > 0, b > 0 b =, pk ( + 1)(b + ) 8. Dokžte. Úloh Dokžte, že pro kždé reálné. Úloh 3 Dokžte, že pro libovolná kldná čísl, b, c, d pltí (b + cd)( 1 c + 1 bd ). Úloh 4 Rozhodněte, zd nerovnost (b + 1) + b(c + 1) + c(d + 1) + d( + 1) 1 ( + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) pltí pro libovolná čísl, b, c, d vyhovující podmínce ) b = cd = 1, b) c = bd = 1. Úloh 5 Je dáno přirozené číslo n (n ) reálná čísl x 1, x,..., x n, pro která pltí x 1 x = x x 3 =... = x n 1 x n = x n x 1 = 1. Dokžte, že pltí x 1 + x x n n n. Úloh 6 Dokžte,že pro dvojici čísel x, y pltí x + y r, jestliže x + y r. Dokžte, že obrácená implikce nepltí. Pltí všk trochu slbší implikce: Je-li x + y r, je x + y r, tedy x + y r. Průměry čísel Výsledky uvedené v úvodu, tj. příkldy průměrů dvou čísel, můžeme zobecnit n více čísel. Aritmetickým průměrem čísel 1,,..., n rozumíme číslo A( 1,,..., n ) = n, n geometrickým průměrem kldných čísel 1,,..., n je číslo G( 1,,..., n ) = n 1... n, tedy n-tá odmocnin ze součinu čísel 1... n. I zde pltí, že se geometrický průměr nejvýše rovná ritmetickému rovnost obou průměrů pltí právě tehdy, když jsou čísl 1,,..., n stejná, což si nyní dokážeme. V přípdě n = jsme už tvrzení dokázli. Dokážeme nerovnost pro n = 4. Pltí = =

7 Tím jsme dokázli nerovnost mezi G A pro n = 4, použili jsme při tom třikrát nerovnost pro n =. Použijeme-li nerovnost mezi G A pro čtyři čísl 1,, 3, , dostneme po úprvě nerovnost mezi G A pro čísl 1,, 3. Podobně postupujeme dále, z nerovnosti pro 4 čísl dokážeme nerovnost pro 8 čísel, pk pro 16 čísel, 3 čísel td. Pro šest čísel to plyne z nerovnosti pro 8 čísel 1,,..., 5, 6, , Podobně postupujeme v přípdě třeb 13 čísel. Vyjdeme z pltnosti nerovnosti pro 16 čísel, z která zvolíme dných třináct čísel doplníme třemi čísly, která se všechn rovnjí ritmetickému průměru těch 13 čísel. 1 Npíšeme-li nerovnost mezi geometrickým pritmetickým průměrem kldných čísel 1, 1,..., 1 přejdeme-li k převráceným hodnotám těchto průměrů, dostneme ihned, že hrmonický průměr H( 1,,..., n ) = ( 1 ) n n je mneší nebo roven geometrickému průměru G( 1,,..., n ). Využili jsme implikci která pltí pro kldná čísl, b. < b 1 > 1 b, n Příkld 7 Pro strny, b, c trojúhelníku, pro jejich výšky u, v, w příslušející po řdě strnám, b, c, pro jeho obsh S poloměr ρ vepsné kružnice pltí známé vzthy u = bv = cw = S = ( + b + c)ρ, tkže S = ( S u + S v + ) S w ρ, odkud plyne 1 u + 1 v + 1 w = 1 ρ. N zákldě této rovnosti dokžte, že 9ρ u + v + w. Řešení: Rovnost 1 u + 1 v + 1 w = 1 ρ dělíme třemi přejdeme k převráceným hodnotám. Dostneme tk rovnost H(u, v, w) = 3ρ, kde H znčí hrmonický průměr hodnot u, v, w. Jejich ritmetický průměr není menší než H(u, v, w), tkže u+v+w 3 3ρ, u + v + w 9ρ. Sečtením nerovností ( i j ) 0 pro všechny dvojice (i, j), pro které pltí i < j n, dostneme nerovnost (n 1)( n) ( n 1 n ), po úprvě n ( n ). n Omezíme-li se n nezáporná čísl, můžeme psát n n n n (Aritmetický průměr nezáporných čísel se nejvýše rovná jejich kvdrtickému průměru, rovnost obou nstává pouze v přípdě rovnosti všech číel jejichž průměry porovnáváme). Příkld 8 Dokžte, že pro kldná čísl, b, c vždy pltí b + b c + c 3 určete, kdy pltí rovnost. Řešení: Je to krásný příkld n užití AG nerovnosti podle níž je ( b + b c + c ) : 3 3 b b c c = 1 6

8 Úloh 7 Je-li součin kldných čísel, b, c roven 1, pk pltí Dokžte. b + b c + c + b + c. Úloh 8 Dokžte, že pro libovolná kldná čísl, b pltí nerovnost ( 3 b 1 b ( + b) + 1 ). b Zjistěte, kdy nstne rovnost. 3 Trojúhelníková nerovnost Nejznámější je si nerovnost trojúhelníková. Kždý ví, že nejkrtší cest z bodu A do bodu C je krtší, než cest z bodu A do bodu B z bodu B do bodu C s výjimkou přípdu, kdy bod B leží mezi body A C, tedy kdy bod B je bodem úsečky AC, tj. vždy pltí AC AB + BC rovnost pltí právě jen v přípdě když je B bodem úsečky AC. Tvoří-li body A, B, C vrcholy trojúhelníku, pk při obvyklém oznčení délek strn trojúhelníku = BC, b = CA, c = AB pltí < b + c, b < c +, c < + b. () A obráceně, pltí-li pro kldná čísl, b, c tyto nerovnosti, existuje (při zvolené jednotce délky) trojúhelník, jehož strny mjí délky, b, c. Kromě toho je tkový trojúhelník ž n shodnost jediný. Příkld 9 Jsou-li, b, c délky strn trojúhelníku, je + b + c < (b + bc + c). Dokžte. Řešení: Výše uvedené nerovnosti () postupně vynásobíme, b, c sečteme. Příkld 10 Ukžte, že pltnost nerovností () je ekvivlentní s pltností jediné nerovnosti bc > b + c. Řešení: Z pltnosti () postupně plyne b c <, c b <, tedy b c <. Zároveň pltí < b + c, proto (b c) < < (b + c), tkže b + c < bc b c < bc, odkud b + c < bc. Obráceně plyne z této nerovnosti bc > b + c součsně bc > b c, tj. > (b c) tké (b + c) > tedy > b c, > c b, b + c >, což jsou vlstně nerovnosti (). 7

9 Příkld 11 Oznčme s poloviční obvod trojúhelníku, t, t b, t c délky těžnic tohoto trojúhelníku, tedy délky úseček spojujících vrchol trojúhelníku se středem protější strny. Odhdněte součet t = t + t b + t c zdol i shor pomocí vhodných násobků hodnoty s. Řešení: Oznčme, b, c obvyklým způsobem délky strn trojúhelníku. Z trojúhelníkové nerovnosti (viz obr.) okmžitě plyne t < c + cyklicky t b < + b, t c < b + c, sečtením těchto tří nerovností dostneme t < 3 ( + b + c) = 3s. Podobně plyne z trojúhelníkové nerovnosti c < + t cyklicky < b + t b, b < c + t c, sečtením máme s < s + t.dostli jsme tk pro t dolní odhd s horní odhd 3s, tedy s < t < 3s. Jsou to všk nejlepší odhdy? Nešel by dolní odhd zvětšit horní odhd zmenšit? Ukážeme, že to lze. K tomu stčí vědět, že se všechny tři těžnice trojúhelníku protínjí v jednom bodě, v těžišti T, který dělí těžnici v poměru :1, dv díly od vrcholu trojúhelníku jeden díl od středu protější strny (viz. obr.). Oznčme U, V středy strn BC, CA. V trojúhelníku ABT pltí c < 3 (t + t b ), cyklicky pltí tké < 3 (t b + t c ), b < 3 (t c + t ). Sečtením dostneme s < 4 3 t, tedy 3 s < t. Dále v trojúhelníku BUV pltí UV = 1 c, protože UV je střední příčk trojúhelníku rovnoběžná s AB, BV < BU + UV, tj. t b < 1 ( + c). Opět npíšeme i nerovnosti, které dostneme z této cyklickou záměnou, sečtením dostneme t < s, tkže 3 s < t < s. Dostli jsme tk lepší odhd dolní i horní. Ukážeme, že tyto odhdy se už nedjí zlepšit. Uvžujme rovnormenný trojúhelník se zákldnou rmeny délky b, < b. Pro tkový trojúhelník je s = b +, t = těžnic (viz. obr.) se rovná tkže t b = 3 s = 3 b + 3 4, t = b 4, délk kždé ze zbývjících dvou ( ) 9 b b = , b 4 + b +, s = b +. Pro blížící se k hodnotě b se 3 s i t blíží ke stejné hodnotě 3b, proto se dolní odhd 3 s nedá zvětšit. Podobně pro blížící se k nule se t i s blíží ke stejné hodnotě b, nedá se tedy horní odhd s zmenšit. Příkld 1 P je vnitřní bod rovnostrnného trojúhelníku ABC. Dokžte, že délky úseček P A, P B, P C jsou délkmi strn trojúhelníku, tedy, že kždá je menší, než součet zbývjících dvou. Řešení: Přímk AP protne strnu BC v bodě Q (viz obr.). Proto je P A < AQ AQ < AC = BC < P B + P C, tkže P A < P B + P C. Anlogicky dokážeme i dlší dvě nerovnosti. 8

10 Úloh 9 Dokžte,že pro délky, b, c strn libovolného trojúhelníku pltí ( + b )c ( b ) bc. Pro kterétrojúhelníky nstne v předchozím vzthu rovnost? Úloh 10 Je-li S obsh trojúhelníku o strnách, b, c T obsh trojúhelníku o strnách +b, b+c, c+, pk pltí T 4S. Dokžte zjistěte, kdy nstne rovnost. 4 Cuchyov nerovnost (Augustin Louis Cuchy, , frncouzský mtemtik, čti kóši, kóšiov nerovnost) Ve třetím ročníku mtemtické olympiády byl tto úloh: Dokžte, že pro libovolná čtyři čísl u 1, u, v 1, v pltí nerovnost (u 1 v 1 + u v ) (u 1 + u )(v 1 + v ). Dnes by většin řešitelů úloh MO řekl, že to není třeb dokzovt, že to je známá Cuchyov nerovnost. A měli by prvdu. Úlohu můžeme ještě zobecnit, pro libovolná reálná čísl u 1, u,..., u n, v 1, v,..., v n pltí (u 1 v 1 + u v u n v n ) (u 1 + u u n)(v 1 + v v n) (3) Důkz dostneme sečtením všech nerovností 0 (u i v j u j v i ) pro všechny dvojice i < j. Odtud ihned vidíme, že rovnost v nerovnici (3) pltí právě tehdy, když jsou všechn čísl u 1, u,..., u n nulová, nebo je uspořádná n-tice (v 1, v,..., v n ) násobkem n-tice (u 1, u,..., u n ), tedy když existuje číslo k tk, že v 1 = ku 1, v = ku,..., v n = ku n Příkld 13 Ukžte, že pro reálná čísl 1,,..., n vždy pltí ( n ) n( n). Řešení: Pro všechn i < j pltí ( j i ) > 0. Sečtením těchto rovnic dostneme (n 1)( n) ( n 1 n ). Přičteme-li k oběm strnám součet n, dostneme poždovnou nerovnost. Důkz plyne ovšem tké z Cuchyovy nerovnosti, stčí položit u 1 = u =... = u n, v 1 = 1, v =,..., v n = n. Rovnost pltí právě jen pro 1 = =... = n. Příkld 14 Dokžte, že pro kldná čísl x 1, x,..., x n pltí vždy ( 1 (x 1 + x + + x n ) ) n x 1 x x n že rovnost pltí právě jen pro x 1 = x = = x n. Řešení: V Cuchyově nerovnosti položíme u 1 = x 1,..., u n = x n, v 1 = 1 x 1,..., v n = 1 x n. Bez užití Cuchyovy nerovnosti uprvíme levou strnu n tvr n + V, kde V je součet členů tvru ( x i x j + xj x i ), i < j. Kždý ten člen je větší nebo roven, je jich n(n 1), tkže n(n 1) n + V n + = n. 9

11 Příkld 15 Z Cuchyovy nerovnosti plyne, že pro kždá tři kldná čísl x, y, z pltí xy+yz+zx x + y + z. Dokžte. Dále jsme si již ukázli, že pro délky x, y, z strn libovolného trojúhelníku pltí x + y + z < (xy + yz + zx). Ukžte, že kldná čísl x, y, z nemusí být délkmi strn trojúhelníku, i když pro ně pltí uvedená nerovnost. Njděte největší číslo m tk, by z nerovnosti x + y + z < m(xy + yz + zx) plynulo pro kldná čísl x, y, z, že jsou délkmi strn trojúhelníku. Řešení: Pro splnění první části úlohy stčí npst Cuchyovu nerovnost pro trojice (x, y, z), (y, z, x). Položíme-li x =, y = z = 1, je x + y + z = 6, xy + yz + zx = 5, tkže x + y + z < (xy + yz + zx), všk, 1, 1 nejsou délkmi strn trojúhelníku. Tím jsme dokázli druhou část úlohy. Pro x =, y = z = 1 je x +y +z = 6 5 (xy+yz +zx). Zkusíme proto dokázt, že z pltnosti x +y +z < 6 5 (xy +yz +zx) už plyne, že x, y, z jsou délky strn trojúhelníku. Důkz provedeme sporem. Budeme předpokládt, že kldná čísl x, y, z splňují tuto nerovnost, le nejsou to délky strn trojúhelníku, že lespoň jedno z nich, třeb číslo z, není menší než součet zbývjících dvou, tedy že pltí z x + y. Budeme tedy předpokládt z = x + y + p, kde p 0. Doszením z z do předpokládné nerovnosti dostneme po úprvě tj. 5(x + y + x + xy + y + (x + y)p + p ) < 6(xy + (x + y)(x + y + p)), 4(x y) + 4p(x + y) + 5p < 0, což je spor, součet nezáporných čísel nemůže být záporný. Úloh 11 Nechť P (x) = x + bx + c je kvdrtický trojčlen s nezápornými reálnými koeficienty. Dokžte, že pro libovolné kldné číslo x pltí ( ) 1 P (x) P (P (1)) x 5 Nerovnice Protože pro kždá dvě reálná čísl, b, pltí ( b) 0, pltí pro ně tké + b b. Tuto nerovnost jsme už několikrát využili. Zvláště tedy pltí pro kždé reálné číslo x nerovnost x + 9 6x s rovností právě jen pro x = 3. Už všk nepltí, že pro všechn reálná čísl x je x x. Hledáme-li množinu všech hodnot x, pro která pltí x x, říkáme, že řešíme nerovnici x x. Řešíme ji tk, že ji uprvíme postupně n tvr x 10x 9 x 10x (x 5) 16 tedy x 5 4, která pltí právě tehdy, když x 5 4 nebo 5 x 4. Množinou všech řešení nerovnice x x je proto sjednocení intervlů (, 1 9, ). Řešením nerovnice x 5 < 4 je doplněk v R předcházející množiny řešení, tedy všechn x z intervlu (1, 9). Obecněji: Řešením nerovnice x b je pro b > 0 množin všech x z intervlu ( b, + b), v přípdě b 0 nemá rovnice žádné řešení. Uvádíme to proto, že nerovnice tvru x < b se hodně používjí v definicích limity. 10

12 Lineárními nerovnicemi tvru x b, x b stejně tk kvdrtickými nerovnicemi (npř. x + bx + c 0, 0) se zde nebudeme zbývt, všichni je dovedete řešit. Pouze občs se stne, že někdo z fktu, že rovnice x + bx + c 0 nemá žádný reálný kořen, diskriminnt b 4c je záporný, tvrdí, že ni příslušná nerovnice nemá žádné řešení. Správně je pk x + bx + c kldné číslo pro všechn[ x v přípdě > 0 nebo je záporné pro všechn x v přípdě < 0. Je totiž (x ) x + bx + c = 1 + b ] b 4c 4, výrz v lomené závorce je při záporném diskriminntu pro všechn x kldný celý výrz x + bx + c má pro kždé x stejné znménko jko číslo. Všimněme si teď nerovnic tvru p(x) q(x) > 0 p(x) q(x) > 0, kde p(x), q(x) jsou mnohočleny v x(lineární, kvdrtické i vyššího stupně). Je ihned vidět, že obě nerovnice jsou exvivlentní, tedy pro kždé x je p(x) q(x) > 0 právě tehdy, když p(x) q(x) > 0. Je totiž součin dvou čísel kldný právě tehdy, když jsou obě kldná nebo obě záporná, totéž pltí pro jejich podíl, tkže pltí Ale pozor! le p(x) q(x) > 0 p(x) > 0 (p(x) > 0 q(x) > 0) (p(x) < 0 q(x) < 0). q(x) p(x) q(x) 0 (p(x) 0 q(x) 0) (p(x) 0 q(x) 0) p(x) 0 (p(x) 0 q(x) > 0) (p(x) 0 q(x) < 0). q(x) Oznčíme-li po řdě K, L množinu všech řešení nerovnic p(x) q(x) 0, p(x) q(x) 0 M množinu všech kořenů rovnice q(x) = 0, je L = K M. Příkld 16 Řešte nerovnici (x + )(x 3) (x 4) (x + 1) 0. Řešení: Nutně musí být x 4 x 1. Určitě vyhovují čísl x = x = 3. Dále všechny ty hodnoty x, pro které je (x + )(x 3)(x + 1) > 0, tedy právě t x, která ptří do množiny (, 1) (3, ). Řešení dné nerovnice dostneme, když z této množiny vyndáme ještě číslo 4, řešením jsou tedy všechn x (, 1) (3, 4) (4, ). Příkld 17 Řešte nerovnici (x 4) (x 9) (x + x + )(x 3) 0. Řešení: Výrz x + x + = (x + 1) + 1 je kldný pro kždé x. Nutně musí být x 3. Určitě vyhovuje x = 4 x = 4, 5. Dále pk ty hodnoty, pro které je (x 9)(x 3) > 0 tedy x (, 3) (4, 5; ). Množinou všech řešení dné nerovnice je (, 3) (4, 5; ) {4}. Úloh 1 Řešte nerovnici (3 x)(x 4) (5 + x)(x 3) 0. V mtemtické olympiádě byl zřzen úloh trochu opčná, úloh, v níž máme určit nerovnici tk, by množinou všech řešení byl dná množin. 11

13 Příkld 18 Njděte reálná čísl, b, c, d tk, by množinou všech řešení nerovnice byl množin 0 (4, ). x + bx + c + dx x Řešení: Nerovnici nejprve uprvíme n tvr x 0 x3 + (d )x + ( b)x c + dx x. Protože 0 má být řešením, musí být c = 0. Jelikož 0 má být izolovným řešením, musí být 0 dvojnásobným kořenem čittele, tedy = b, všk 0 nesmí být kořenem jmenovtele, 0. Řešíme tedy nerovnici 0 x (x + d) x dx. Čittel zlomku se rovná nule v bodě 0 v bodě x = d. Kdyby byl jmenovtel kldný pro všechn x R, tj. kdyby d +4 < 0, byl by řešením všechn x {0} d, ), což je ve sporu s tím, že intervl v množině všech řešení je otevřený. Proto se musí dát jmenovtel rozložit jedním kořenem jmenovtele musí být kořen čittele, tj. číslo d. Musí tedy pltit ( 4 d) = 0. Kdyby = 0, byl by 0 kořenem jmenovtele, to jsme už vyloučili. Je-li = 4+d, řešíme nerovnici 0 x (x + ) (x d )(x + ) = x x d, řešením jsou všechn x (d +, ) {0}, tedy d =, = 8, b = 16. Původní nerovnice musel tedy mít tvr 8x + 16x 8 + x x x, po úprvě 0 x (x + ) (x 4)(x + ). Úloh 13 Určete všechny dvojice celých čísel (x, y), které jsou řešením nerovnice x + 6 x y x < 5 y y. 1

14 6 Řešení úloh Většin úloh několik příkldů je převzto ze strších ročníků mtemtické olympiády. 1. Pomocí ekvivlentních úprv s využitím předpokldů lze nerovnost (+1)(b+) 8 uprvit npř. n nerovnost ( 1) 0, která je splněn pro všechn.. Při řešení využijte již známou nerovnost c + 1 c pro c = Po roznásobení použijeme dvkrát nerovnost c + 1 c resp. b + b. 4. ) Postupnými ekvivlentními úprvmi nhrzováním součinů b resp. cd číslem 1 uprvíme zdnou nevnost do tvru d + bc c + bd, kterou lze ještě převést n ( b)(c d) 0. Tto nerovnost obecně splněn není, sndno nlezneme protipříkld (npř. = c = 3, b = d = 1 3 ). b) Stejně jko v přípdě ) úprvmi nhrzováním součinů c resp. bd číslem 1 převedeme zdnou nevnost do tvru b + bc + cd + d 4, kterou lze ještě uprvit n ( + c)(b + d) 4. Tto nerovnost pltí pro všechn kldná čísl, b, c, d, která splňují podmínku c = bd = 1, jelikož = 1 c resp. b = 1 b součet kldného čísl jeho převrácené hodnoty je vždy větší nebo roven. 5. Ze zdání úlohy plyne, že všechn čísl x 1,..., x n jsou nenulová. Všechn čísl s lichými indexy se rovnjí témuž nenulovému číslu m, všechn čísl se sudými indexy se rovnjí témuž nenulovému číslu 1 m. Řešme nyní úlohu zvlášť pro n liché pro n sudé. ) Je-li n liché, z rovnice x 1 x = x n x 1 plyne rovnost x = x n. Všechn x i jsou tedy stejná rovnjí se 1 nebo -1 (neboť musí pltit m = 1 m ). Součet druhých mocnin čísel x i je tedy roven n. b) Je-li n sudé, pk součet druhých mocnin čísel x i bude součtem n hodnot m součtem n 1 hodnot m. Již víme, že součet kldného čísl jeho přvrácené hodnoty je větší nebo roven číslu, tj. pltí x 1 + x x n = n m + n 1 m = n (m + 1m ) n = n. 6. Je-li x + y r, je x + y x + xy + y = ( x + y ) r. Pro x = y = r je sice x + y = r, le x + y = r > r. Pro x, y splňující podmínku x + y r le pltí ( x + y ) = x + xy + y x + y = (x + y ) r proto x + y r. Využili jsme známou nerovnost xy x + y, která pltí pro všechny dvojice x, y. 7. Z AG nerovnosti pro trojici čísel b, b, b c z podmínky bc = 1 plyne ( 1 3 b + b + b ) 3 c b b b c = 3 bc = 3 3 bc =. 13

15 Pltí tedy odhd Stejným způsobem lze odvodit odhdy 3b + b 3c. b 3c + c 3 b, c 3 + 3b c. Sečtením těchto tří odhdů dostáváme dokzovnou nerovnost. 8. Umocníme-li obě strny n třetí, dostneme ekvivlentní nerovnost b b b b 4 + b + b. Užitím A-G nerovnosti n kldná čísl b, 1, 1 (resp. b, 1, 1) dostneme nerovnost ( b resp. b ) b b Rovnost nstne, právě když = b. Sečtením posledních dvou nerovností drobnou úprvou již získáme nerovnost hlednou. 9. Nerovnost převedeme n ekvivlentní tvr 0 ( b ) ( b + b )c dále n tvr 0 ( b) [( + b) c ]. Tto nerovnost pltí pro délky strn libovolného trojúhelníku (plyne z trojúhelníkové nerovnosti + b > c), rovnost pltí pro rovnormenné trojúhelníky se zákldnou c ( = b). 10. K vyjádření hodnot S T použijeme Heronův vzorec. Podle něj S = 1 4 ( + b + c)(b + c )( + c b)( + b c), T = 1 4 ( + b + c)()(b)(c) = bc( + b + c). Dokzujeme tedy nerovnost bc( + b + c) ( + b + c)(b + c )( + c b)( + b c). Uprvenou ekvivlentní nerovnost mezi odmocňovnými výrzy bc (b+c )(+c b)(+b c) můžeme dokázt npř. tk, že nerovnost z původních proměnných, b, c přepíšeme do nových proměnných u = + b c > 0, v = b + c > 0, w = + b + c > 0 do tvru (u + v)(u + w)(v + w) 8uvw. Pltnost této nerovnosti sndno odvodíme složením AG nerovností u + v uv, u + w uw, v + w vw. Rovnost nstne pouze v přípdě u = v = w, tj. = b = c, tj. rovnost nstne pouze pro rovnostrnný trojúhelník. 11. Při řešení užijeme zobecněnou Cuchyovu nerovnost. ( ) 1 P (x) P = (x + bx + c) ( 1x x + b 1x ) + c = 14

16 ( (x ) ( ) ) ( ) ( ) = + bx + c + x ( ) b + ( c ) x ( x x + b bx x + c c ) = ( + b + c) = (P (1)) 1. x (, 5), 3) (3, ). 13. Je zřejmé, že x > 0, y > 0, tedy že x, y jsou přirozená čísl. Vynásobíme-li obě strny nerovnice kldným číslem y x, dostneme ekvivlentní nerovnici xy + 6 < 5 xy, kterou můžeme dále uprvit do tvru ( xy 3)( xy ) < 0. 15

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25 56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje. 4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

II. kolo kategorie Z5

II. kolo kategorie Z5 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem

Více

3. Kvadratické rovnice

3. Kvadratické rovnice CZ..07/..08/0.0009. Kvdrtické rovnice se v tetice oznčuje lgebrická rovnice druhého stupně, tzn. rovnice o jedné neznáé, ve které neznáá vystupuje ve druhé ocnině (²). V zákldní tvru vypdá následovně:

Více

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4) KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1

Více

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby: .. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto

Více

2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]

2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ] - FUNKCE A ROVNICE Následující zákldní znlosti je nezbytně nutné umět od okmžiku probrání ž do konce studi mtemtiky n gymnáziu. Vyždováno bude porozumění schopnost plikovt ne pouze mechnicky zopkovt. Některé

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 67. ročník mtemtické olympiády Úlohy krjského kol ktegorie A 1. Pvel střídvě vpisuje křížky kolečk do políček tbulky (zčíná křížkem). Když je tbulk celá vyplněná, výsledné skóre spočítá jko rozdíl X O,

Více

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky. 2.cvičení 1. Polopřímk: od O dělí přímku n dvě nvzájem opčné polopřímky. Úsečk: průnik dvou polopřímek,. Polorovin: přímk dělí rovinu n dvě nvzájem opčné poloroviny. Úhel: průnik polorovin (pozor n speciální

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

4. cvičení z Matematiky 2

4. cvičení z Matematiky 2 4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log Řešme n množině reálných čísel rovnice: ) 6 b) 8 d) e) c) f) ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC Co budeme potřebovt? Chápt definici ritmu. Znát průběh ritmické funkce. Znát jednoduché vět o počítání

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu 10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Lineární nerovnice a jejich soustavy

Lineární nerovnice a jejich soustavy teorie řešené úlohy cvičení tipy k mturitě výsledky Lineární nerovnice jejich soustvy Víš, že pojem nerovnice není opkem pojmu rovnice? lineární rovnice má většinou jediné řešení, kdežto lineární nerovnice

Více

63. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Ostrava, března 2014

63. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Ostrava, března 2014 63. ročník mtemtické olympiády III. kolo ktegorie Ostrv, 23. 26. řezn 204 MO . Nechť n je celé kldné číslo. Oznčme všechny jeho kldné dělitele d, d 2,..., d k tk, y pltilo d < d 2

Více

2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II

2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II 2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II Předpokldy: 020406 Př. 1: oplň tbulku. Zdání sss α < 180 c Zdání Náčrtek Podmínky sss sus usu b + b > c b + c > c + c > b b α < 180 c α + β < 180 c Pedgogická poznámk: Původní

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E)

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E) . Když c + d + bc + bd = 68 c+ d = 4, je + b+ c+ d rovno: 9 7 34 64 4. Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n + 3n + n je totožná s posloupností: n n =. n+ = 3, = n Povrch rotčního

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF RNDr. Petr Rádl RNDr. Bohumil Černá RNDr. Ludmil Strá 0 Petr Rádl, 0 ISBN 97-0-77-9- OBSAH Předmluv... Poždvky k přijímcí zkoušce z mtemtiky..

Více

2.5.9 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

2.5.9 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice 59 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 57, 58 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin Příkld 8 9 zůstávjí n vičení nebo polovinu hodin při píseme + b + - zákldní

Více

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují . Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně

Více

2.5.9 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

2.5.9 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice 59 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 57, 58 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin Příkld 8 9 zůstávjí n vičení nebo polovinu hodin při píseme + b + - zákldní

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

Větu o spojitosti a jejich užití

Větu o spojitosti a jejich užití 0..7 Větu o spojitosti jejich užití Předpokldy: 706, 78, 006 Pedgogická poznámk: Při proírání této hodiny je tře mít n pměti, že všechny věty, které studentům sdělujete z jejich pohledu neuvěřitelně složitě

Více

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu. Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze

Více

Hyperbola a přímka

Hyperbola a přímka 7.5.8 Hperol přímk Předpokld: 75, 75, 755, 756 N orázku je nkreslen hperol = se středem v počátku soustv souřdnic. Jká je vzájemná poloh této hperol přímk, která prochází počátkem soustv souřdnic? E B

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady:

( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady: 4.4. Sinová vět II Předpokldy 44 Kde se stl hy? Námi nlezené řešení je správné, le nenšli jsme druhé hy ve hvíli, kdy jsme z hodnoty sin β určovli úhel β. β je úhel z intervlu ( ;π ). Jk je vidět z jednotkové

Více

17 Křivky v rovině a prostoru

17 Křivky v rovině a prostoru 17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,

Více

Řešené příklady k MAI III.

Řešené příklady k MAI III. Řešené příkldy k MAI III. Jkub Melk 28. říjn 2007 1 Obsh 1 Metrické prostory 2 1.1 Teoretickéotázky.... 2 1.2 Metriky..... 4 1.3 Anlýzmnožin... 4 1.3.1 Uzávěry... 4 1.3.2 Zkoumejtenásledujícímnožiny....

Více

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

8. cvičení z Matematiky 2

8. cvičení z Matematiky 2 8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

Půjdu do kina Bude pršet Zajímavý film. Jedině poslední řádek tabulky vyhovuje splnění podmínky úvodního tvrzení.

Půjdu do kina Bude pršet Zajímavý film. Jedině poslední řádek tabulky vyhovuje splnění podmínky úvodního tvrzení. 4. Booleov lger Booleov lger yl nvržen v polovině 9. století mtemtikem Georgem Boolem, tehdy nikoliv k návrhu digitálníh ovodů, nýrž jko mtemtikou disiplínu k formuli logikého myšlení. Jko příkld použijeme

Více

Říkáme, že přímka je tečnou elipsy. p T Přímka se protíná s elipsou právě v jednom bodě.

Říkáme, že přímka je tečnou elipsy. p T Přímka se protíná s elipsou právě v jednom bodě. 7.5. Elips přímk Předpokldy: 7504, 7505, 7508 Př. : epiš všechny možné vzájemné polohy elipsy přímky. Ke kždému přípdu nkresli obrázek. Z obrázků je zřejmé, že existují tři přípdy vzájemné polohy kružnice

Více

Povídání ke čtvrté sérii

Povídání ke čtvrté sérii Povídání ke čtvrté sérii Ve čtvrté sérii můžeš s úspěchem použít několik známých nerovností. Pro rozšíření obzorů méně zkušených řešitelů pro připomenutí těm zkušenějším je zde uvádíme. Všechny uvedené

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Komentáře k domácímu kolu kategorie Z9

Komentáře k domácímu kolu kategorie Z9 5. ročník Mtemtické olympiády Komentáře k domácímu kolu ktegorie Z9. Čtyřúhelník, který nemá žádné dvě strny stejně dlouhé, nzveme nerovnostrnným. Prvidelný dvnáctiúhelník má obsh 8 cm. Nrýsujte všechny

Více

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících. 4.4. Sinová vět Předpokldy Trigonometrie řešení úloh o trojúhelnííh. Prktiké využití změřování měření vzdáleností, tringulční síť Tringulční síť je prolém měřit vzdálenosti dvou odů v krjině změříme velmi

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

Úlohy krajského kola kategorie C

Úlohy krajského kola kategorie C 6. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C. Pro libovolná reálná čísla x, y, z taková, že x < y < z, dokažte nerovnost x 2 y 2 + z 2 > (x y + z) 2. 2. Honza má tři kartičky, na každé

Více

( a) Okolí bodu

( a) Okolí bodu 0..5 Okolí bodu Předpokldy: 40 Pedgogická poznámk: Hodin zjevně překrčuje možnosti většiny studentů v 45 minutách. Myslím, že nemá cenu přethovt do dlší hodiny, příkldy s redukovnými okolími nejsou nutné,

Více

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice Logritmická funkce. 4 Logritmická funkce, ritmus, ritmická rovnice - získá se jko funkce inverzní k funkci eponenciální, má tvr f: = Pltí: > 0!! * * = = musí být > 0, > 0 Rozlišujeme dv zákldní tp: ) >

Více

61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Hradec Králové, března 2012

61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Hradec Králové, března 2012 61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Hradec Králové, 5. 8. března 01 MO 1. Najděte všechna celá čísla n, pro něž je n 4 3n + 9 prvočíslo. (leš Kobza) Řešení. Zadaný výraz lze jednoduchou

Více

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}? 1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno

Více

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c ) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším

Více

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306 7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C 61. ročník Matematické olympiády Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Najděte všechny trojčleny p(x) = ax 2 + bx + c, které dávají při dělení dvojčlenem x + 1 zbytek 2 a při dělení dvojčlenem x

Více

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 6. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic y + 3x = 4x 3, x + 3y = 4y 3. 2. V rovině uvažujme lichoběžník ABCD se základnami

Více

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

ZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.

ZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x. VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

Symbolicko - komplexní metoda I Opakování komplexních čísel z matematiky

Symbolicko - komplexní metoda I Opakování komplexních čísel z matematiky Symbolicko - komplexní metod I pkování komplexních čísel z mtemtiky Použité zdroje: Blhovec,.: Elektrotechnik II, Informtorium spol.s r.o., Prh 005 Wojnr, J.: Zákldy elektrotechniky I, Tribun EU s.r.o.,

Více

Základy teorie matic

Základy teorie matic Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy) KVADRATICKÁ FUNKCE (vlstnosti, gr) Teorie Kvdrtikou unkí se nzývá kždá unke dná předpisem ; R,, R; D( ) je proměnná z příslušného deiničního ooru unke (nejčstěji množin R),, jsou koeiient kvdrtiké unke,

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Neurčité výrazy

Neurčité výrazy .. Neurčité výrzy Předpokldy: Př. : Vypočti ity: ) d) ) d) neeistuje,, Zjímvé. Získli jsme čtyři nprosto rozdílné výsledky, přestože přímým doszením do všech výrzů získáme to smé: výrz může při výpočtu

Více

Diferenciální počet. Spojitost funkce

Diferenciální počet. Spojitost funkce Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE

ANALYTICKÁ GEOMETRIE Technická niverzit v Liberci Fklt přírodovědně-hmnitní pedgogická Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky NLYTICKÁ GEOMETRIE Pomocný čební text Petr Pirklová Liberec, listopd 2015 NLYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH

Více

Opakování ke státní maturitě didaktické testy

Opakování ke státní maturitě didaktické testy Číslo projektu CZ..7/../.9 Škol Autor Číslo mteriálu Název Tém hodiny Předmět Ročník/y/ Anotce Střední odborná škol Střední odborné učiliště, Hustopeče, Msrykovo nám. Mgr. Rent Kučerová VY INOVACE_MA..

Více

Logaritmické rovnice I

Logaritmické rovnice I .9.9 Logritmické rovnice I Předpokldy: 95 Pedgogická poznámk: Stejně jko u eponenciálních rovnic rozkldů n součin bereme ritmické rovnice jko nácvik výběru metody. Sestvujeme si rzenál metod n konci máme

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 (Souřdnicové výpočty) 1 ročník bklářského studi studijní progrm G studijní obor G doc Ing Jromír Procházk CSc listopd 2015 1 Geodézie 1 přednášk č7 VÝPOČET SOUŘADNIC JEDNOHO

Více

5.2.4 Kolmost přímek a rovin II

5.2.4 Kolmost přímek a rovin II 5..4 Kolmost přímek rovin II Předpokldy: 503 Př. 1: Zformuluj stereometrické věty nlogické k plnimetrické větě: ným bodem lze v rovině k dné přímce vést jedinou kolmici. Vět: ným bodem lze v prostoru k

Více

9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie

9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie 9 Axonometrie Mongeov projekce má řdu předností: jednoduchost, sndná měřitelnost délek úhlů. Je všk poměrně nenázorná. Podsttnou část technických výkresů proto tvoří kromě půdorysu, nárysu event. bokorysu

Více

6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace

6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,

Více