PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE JAROMÍR KUBEN PAVLÍNA RAČKOVÁ

PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE JAROMÍR KUBEN PAVLÍNA RAČKOVÁ Brno 2014 Verze 12. června 2014

Obsah 1 Parciání diferenciání rovnice 1 1.1 Úvod...................................... 1 1.2 Lineární parciání diferenciání rovnice 2. řádu................ 2 1.3 Kasifikace ineárních PDR.......................... 3 1.4 LPDR druhého řádu důežité v apikacích................... 7 1.5 Vnová rovnice................................. 10 1.5.1 Struna nekonečné déky (d Aembertova metoda řešení)........ 10 1.5.2 Struna konečné déky (Fourierova metoda řešení)........... 13 1.6 Rovnice vedení tepa.............................. 17 Literatura 19 iii

1 Kapitoa 1 Parciání diferenciání rovnice 1.1 Úvod Parciání diferenciání rovnice je rovnice, v níž je neznámým objektem funkce dvou nebo více proměnných, přičemž tato neznámá funkce se zde vyskytuje včetně (některých) parciáních derivací. Řád parciání diferenciání rovnice je nejvyšší derivace neznámé funkce, která se v rovnici vyskytuje. Řešení parciání diferenciání rovnice je funkce, která má na jisté množině potřebné derivace a spňuje danou rovnici. Příkady parciáních diferenciáních rovnic 1) Parciání diferenciání rovnice 1. řádu: u x + u y = 1, kde u = u(x, y). Stručný zápis: u x + u y = 1. Řešením jsou např. funkce: 1. u(x, y) = x + 3, (x, y) R 2 =, 2. u(x, y) = 2x y + 7, (x, y) R 2 =. 2) Parciání diferenciání rovnice 2. řádu: 2 u x 2 + 2 u y 2 = 0, kde u = u(x, y). Stručný zápis: u xx + u yy = 0, resp. u = 0. Tato rovnice se nazývá Lapaceova parciání diferenciání rovnice. Symbo se nazývá apacián nebo Lapaceův operátor. Řešením jsou např. funkce: 1. u(x, y) = Ax + By + C, kde A, B, C R, (x, y) R 2 =, 2. u(x, y) = xy, (x, y) R 2 =, 3. u(x, y) = x 2 y 2, (x, y) R 2 =,

2 Parciání diferenciání rovnice 4. u(x, y) = n x 2 + y 2, (x, y) R 2 {(0, 0)} =. 3) Parciání diferenciání rovnice 2. řádu: 2 u x y = 0, kde u = u(x, y). Stručný zápis: u xy = 0. Řešením jsou např. funkce: 1. u(x, y) = f (x) + g(x), kde f a g jsou ibovoné funkce takové, že existuje f a g, např.: 2. u = sin x + e y, 3. u = tg x + n y. 4) Parciání diferenciání rovnice 2. řádu: 2 u x 2 + 2 u y 2 + 2 u z 2 = 0, kde u = u(x, y, z). Stručný zápis: u xx + u yy + u zz = 0, resp. u = 0. Jde o Lapaceovu parciání diferenciání rovnici v R 3. Řešením jsou např. funkce: 1. u(x, y, z) = Ax + By + Cz + D, A, B, C, D R, (x, y, z) R 3 =, 1 2. u(x, y, z) =, (x, y, z) x 2 +y 2 +z 2 R3 {(0, 0, 0)} =. 1.2 Lineární parciání diferenciání rovnice 2. řádu Budeme se zabývat rovnicemi tvaru A(x, y)u xx + 2B(x, y)u xy + C(x, y)u yy + + D(x, y)u x + E(x, y)u y + F (x, y)u = G(x, y), (1.1) spňujícími podmínku A + B + C > 0, (x, y) R 2 (tedy vždy aspoň jeden z koeficientů figurujících u druhých derivací je nenuový). Takové rovnice se nazývají ineární parciání diferenciání rovnice 2. řádu, stručně LPDR 2. řádu. Přitom: 1) x, y jsou nezávise proměnné, 2) u = u(x, y) je hedaná funkce proměnných x, y, 3) u x, u y jsou parciání derivace prvního řádu funkce u = u(x, y), 4) u xx, u xy, u yy jsou parciání derivace druhého řádu funkce u = u(x, y), přičemž předpokádáme, že u xy = u yx, 5) A, B, C, D, E, F, G jsou zadané funkce proměnných x, y. Jestiže je G 0, jedná se o homogenní LPDR 2. řádu. V případě, že G = 0, hovoříme o nehomogenní LPDR 2. řádu. Graf funkce u = u(x, y), která je řešením LPDR, si ze představit jako pochu v prostoru.

1.3 Kasifikace ineárních PDR 3 Stručně ze rovnici zapsat resp. Au xx + 2Bu xy + Cu yy + Du x + Eu y + F u = G(x, y), Au xx + 2Bu xy + Cu yy = H (x, y, u, u x, u y ), kde H (x, y, u, u x, u y ) = G(x, y) Du x Eu y F u. Poznamenejme, že koeficient u smíšené derivace u xy píšeme ve tvaru 2B z formáních důvodů, zjednoduší se tím totiž některé zápisy (zejména když se použijí k označení matice). Jak uvidíme dáe, mezi tyto rovnice patří řada rovnic, které mají významné apikace ve fyzice a mnoha technických oborech. Díky tomu patří k zákadním nástrojům matematického modeování. 1.3 Kasifikace ineárních PDR Naším cíem bude změnit souřadnicový systém tak, aby se zjednoduši tvar rovnice (1.1), a to tak, aby koeficienty u některých druhých parciáních derivací byy rovny nue. Označení: Staré souřadnice: x, y Nové souřadnice: ξ, η. Vazba mezi novými a starými souřadnicemi je dána vztahy ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y), kde ϕ a ψ jsou vhodné funkce. Transformace mezi starými a novými souřadnicemi musí být prostá na a musí patit ϕ x ϕ y = 0. u = u(x, y) je neznámá funkce ve starých souřadnicích. ψ x ψ y U = U(ξ, η) je neznámá funkce v nových souřadnicích. Vazba mezi nimi je dána vztahem u(x, y) = U(ξ, η) = U[ϕ(x, y), ψ(x, y)]. Po zderivování a dosazení dostaneme: ÃU ξξ + 2 BU ξη + CU ηη = H (ξ, η, U, U ξ, U η ), kde Ã, B, C a H jsou funkce proměnných ξ a η, které jsou dány funkcemi A, B, C a H. Lze ukázat, že vhodnou transformací ze vždy dosáhnout právě jedné ze tří možností: 1. à = 0 = C U ξη = H (ξ, η, U, U ξ, U η ) rovnice hyperboického typu U ξη = H je kanonický tvar LPDR hyperboického typu. 2. à = 0 = B U ηη = H (ξ, η, U, U ξ, U η ) nebo rovnice paraboického typu B = 0 = C U ξξ = H (ξ, η, U, U ξ, U η ) U ηη = H resp. U ξξ = H je kanonický tvar LPDR parabooického typu. 3. B = 0 a à = C U ξξ + U ηη = H (ξ, η, U, U ξ, U η ) rovnice eiptického typu U ξξ + U ηη = H je kanonický tvar LPDR eiptického typu.

4 Parciání diferenciání rovnice Určení typu LDPR a naezení transformace K rovnici (1.1) přiřadíme tzv. charakteristickou rovnici Pozor, znaménko u koeficientu 2B se mění! A(ẏ) 2 2Bẋẏ + C(ẋ) 2 = 0. (1.2) Označení: x = x(t), y = y(t), ẋ = dx dt, ẏ = dy dt. Řešením je dvojice funkcí ( x(t), y(t) ), kterou interpretujeme jako křivku v R 2. Tato křivka se nazývá charakteristika LPDR. Předpokádejme, že charakteristika je grafem funkce proměnné x, tedy y = y(x). Pak patí: y = dy dx = ẏ dt ẋ dt = ẏ ẋ. Pro A = 0 z rovnice (1.2) po úpravě vyjde (ẏ ) 2 ẏ A 2B ẋ ẋ + C = 0, tudíž A(y ) 2 2By + C = 0. (1.3) Rovnice (1.3) je kvadratická a diferenciání, její řešení je ve tvaru y 1,2 = 2B ± 4B 2 4AC 2A = B ± B 2 AC A. (1.4) Lze ukázat, že výše uvedené tři typy odpovídají znaménku diskriminantu B 2 AC. 1. Hyperbooický typ nastane, právě když B 2 AC > 0. V tomto případě dostaneme z (1.4) dvě obyčejné diferenciání rovnice y 1 = a y 2 =. Předpokádejme, že jejich řešení dostanme v impicitním tvaru ϕ(x, y) = c 1, ψ(x, y) = c 2, kde c 1, c 2 jsou integrační konstanty. Pak nové proměnné voíme takto: ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y). 2. Paraboický typ nastane, právě když B 2 AC = 0. V tomto případě získáme z (1.4) jednu obyčejnou diferenciání rovnici y =. Předpokádejme, že její řešení dostaneme v impicitním tvaru ϕ(x, y) = c, kde c je integrační konstanta. Pak nové proměnné voíme takto: ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y), kde funkci ψ ze zvoit ibovoně tak, aby ϕ x ϕ y = 0. Obvyke ze voit η = y. ψ x ψ y 3. Eiptický typ nastane, právě když B 2 AC < 0. V tomto případě získáme z (1.4) dvě obyčejné diferenciání rovnice y =, kde pravé strany obsahují kompexní jednotku i a jsou kompexně sdružené. (Takovými rovnicemi jsme se při studiu obyčejných diferenciáních rovnic nezabývai.) V jednoduchých případech je ze formáně řešit např. separací proměnných. Dostaneme dvojici řešení v impicitním tvaru ϕ(x, y) ± i ψ(x, y) = c, kde c je integrační konstanta Pak nové proměnné voíme takto: ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y).

1.3 Kasifikace ineárních PDR 5 Výraz B 2 AC je obecně funkcí dvou proměnných x a y, takže jeho znaménko se v množině může měnit. Tedy konkrétní LPDR rovnice může být v některých bodech eiptická, v jiných paraboická atd. O takové LPDR 2. řádu říkáme, že je smíšeného typu. Pro každou část množiny, kde je rovnice stejného typu, se musí najít tranformace samostatně. Poznámka 1.1 V předchozím textu jsme předpokádai, že charakteristika je grafem funkce proměnné x, tedy y = y(x). Obdobně ze postupovat, když je grafem funkce proměnné y, tedy x = x(y). Pak pro C = 0 je A 2Bx + C(x ) 2 = 0, kde x = dx dy = ẋ ẏ. Daší postup je zcea stejný. Pokud A = 0 = C, je rovnice přímo v kanonickém tvaru (hyperboický typ) a není ji třeba transformovat. Příkad 1.2 Určete typ násedující LPDR a převeďte ji na kanonický tvar: Řešení. Napíšeme charakteristickou rovnici: Jejím řešením dostaneme: u xx 2u xy 3u yy + u x = 0. (1.5) (y ) 2 + 2y 3 = 0. y 1,2 = 2 ± 4 y 1 2 = 3 a y 2 = 1 rovnice je hyperboického typu. y = 3 dy dx = 3 dy = 3dx y = 3x + c 1 c 1 = 3x + y, y = 1 dy dx = 1 dy = dx y = x + c 2 c 2 = y x. Zavedeme nové souřadnice: ξ = 3x + y, η = y x, u(x, y) = U(ξ, η) = U[3x + y, y x]. Vypočteme parciání derivace. Přitom použijeme pravida pro derivaci sožené funkce. u x = U ξ ξ x + U η η x, u y = U ξ ξ y + U η η y, u x = U ξ 3 + U η ( 1), u y = U ξ 1 + U η 1. Dáe u xx = U ξξ (ξ x ) 2 + 2U ξη ξ x η x + U ηη (η x ) 2 + U ξ ξ xx + U η η xx, u yy = U ξξ (ξ y ) 2 + 2U ξη ξ y η y + U ηη (η y ) 2 + U ξ ξ yy + U η η yy, u xy = U ξξ ξ x ξ y + U ξη ξ x η y + U ξη ξ y η x + U ηη η x η y + U ξ ξ xy + U η η xy, tedy u xx = U ξξ 9 6U ξη + U ηη + U ξ 0 + U η 0, u yy = U ξξ + 2U ξη + U ηη + U ξ 0 + U η 0, u xy = 3U ξξ + 3U ξη U ξη U ηη + U ξ 0 + U η 0.

6 Parciání diferenciání rovnice Dosadíme do rovnice (1.5): 9U ξξ 6U ξη + U ηη 6U ξξ 4U ξη + 2U ηη 3U ξξ 6U ξη 3U ηη + 3U ηη U η = 0 16U ξη + 3U ξ U η = 0 U ξη = 3 16 U ξ 1 16 U η Příkad 1.3 Určete typ násedující LPDR a převeďte ji na kanonický tvar: Řešení. Napíšeme charakteristickou rovnici: Jejím řešením dostaneme: y 1,2 = 2xy ± 0 2x 2 y = y x = y x dy dx = y x Zavedeme nové souřadnice: x 2 u xx 2xyu xy + y 2 u yy + 2xu x = 0. (1.6) x 2 (y ) 2 + 2xy y + y 2 = 0. rovnice je paraboického typu dy dx y = n y = n x + n c c = xy. x ξ = xy, η = y, u(x, y) = U(ξ, η) = U[xy, y]. Druhou rovnost, η = y voíme; je třeba provést kontrou, že jakobián je nenuový. Vypočteme parciání derivace. Použijeme pravida pro derivaci sožené funkce viz příkad 1.2. u x = yu ξ, u y = xu ξ + U η, Dosadíme do rovnice (1.6): u xx = y 2 U ξξ, u yy = x 2 U ξξ + 2xU ξη + U ηη, u xy = xyu ξξ + yu ξη + U ξ. x 2 y 2 U ξξ 2x 2 y 2 U ξξ 2xy 2 U ξη 2xyU ξ + x 2 y 2 U ξξ + 2xy 2 U ξη + y 2 U ηη + 2xyU ξ = 0 y 2 U ηη = 0 U ηη = 0 Tuto rovnici snadno vyřešíme, stačí dvakrát integrovat pode proměnné η (proměnná ξ se chová jako konstanta): U η = 0 dη = K(ξ) U = K(ξ) dη = K(ξ)η + L(ξ), kde K(ξ) a L(ξ) jsou ibovoné funkce mající spojité druhé derivace. Dosazením za ξ a η dostaneme obecné řešení zadané rovnice: u(x, y) = K(xy)y + L(xy). Tedy obecné řešení závisí na dvou funkcích, které můžeme ibovoně voit.

1.4 LPDR druhého řádu důežité v apikacích 7 Příkad 1.4 Určete typ násedující LPDR a převeďte ji na kanonický tvar: Řešení. Napíšeme charakteristickou rovnici: Jejím řešením dostaneme: u xx + 2u xy + 5u yy = 0. (1.7) (y ) 2 2y + 5 = 0. y 1,2 = 2 ± 4 20 = 1 ± 2i rovnice je eiptického typu 2 y = 1 ± 2i dy dx = 1 ± 2i dy = (1 ± 2i)dx y = (1 ± 2i)x + c c = y x ± 2ix. Zavedeme nové souřadnice: ξ = y x, η = 2x, u(x, y) = U(ξ, η) = U[y x, 2x]. Vypočteme parciání derivace. Použijeme pravida pro derivaci sožené funkce viz příkad 1.2. u x = U ξ + 2U η, u y = U ξ, u xx = U ξξ 4U ξη + 4U ηη, u yy = U ξξ, u xy = U ξξ + 2U ξη. Dosadíme do rovnice (1.7): U ξξ 4U ξη + 4U ηη 2U ξξ + 4U ξη + 5U ξξ = 0 4U ξξ + 4U ηη = 0 U ξξ + U ηη = 0 1.4 LPDR druhého řádu důežité v apikacích Veká část matematických modeů vychází ze zákonů a principů, které vyjadřují rovnováhu mezi stavovými a tokovými veičinami a jejich prostorovými a časovými změnami. Říká se jim bianční zákony. Zákadní bianční zákon říká, že změna cekového množství veičiny u obsažené v obasti B mezi časy t 1 a t 2 se musí rovnat cekovému množství veičiny, která proteče přes hranici B během časového intervau t 1, t 2 a přírůstku nebo úbytku veičiny u vyprodukované zdroji nebo pohcené norami uvnitř B během tohoto časového intervau. Vztahy mezi stavovými veičinami a odpovídajícími tokovými veičinami závisí na vastnostech konkrétního prostředí nebo materiáu. Obvyke je nazýváme konstitutivní zákony nebo materiáové vztahy.

8 Parciání diferenciání rovnice Vedení tepa v jedné dimenzi Uvažujme jednorozměrnou tyč s konstantní hustotou ρ a konstantní měrnou tepenou kapacitou c. Označíme-i tepotu v bodě x a čase t funkcí u = u(x, t), pak veičina ρcu(x, t) představuje hustotu tepené energie. V tomto případě zákon zachování vyjadřuje rovnováhu mezi vnitřní energií ρcu a tepeným tokem φ: ρcu t (x, t) + φ x (x, t) = 0 (1.8) Vztahem, který svazuje tok φ a tepotu u, zde bude Fourierův tepený zákon, který říká, že tok je přímo úměrný gradientu tepoty se zápornou konstantou úměrnosti, tedy φ = Ku x. Konstanta K představuje součinite tepené vodivosti. Fourierův zákon je obdobou Fickova zákona: tepo proudí z tepejších obastí do chadnějších. Dosadíme-i výše uvedené vztahy do zákadního zákona zachování (1.8), dostáváme u t ku xx = 0, k = K ρc což je difuzní rovnice v jedné dimenzi. Obdobné rovnice v rovinném a prostorovém případě mají tvar u t = k(u xx + u yy ), u t = k(u xx + u yy + u zz ). Popisují šíření tepa (nebo jiný difuzní proces) v rovinné desce nebo těesu v prostoru. Stručně je ze zapsat ve tvaru u t = k u, kde je Lapaceův operátor. Kmitání struny a vnová rovnice Daší zákadní parciání diferenciání rovnice, tzv. vnová rovnice, popisuje jeden z nejčastějších jevů v přírodě: vnění (např. eektromagnetické vnění, vny na vodní hadině nebo akustické vny). Uvažujme pružnou strunu déky a předpokádejme, že dochází pouze k maým kmitům ve vertikáním směru. Výchyku v bodě x a čase t popišme spojitě diferencovatenou funkcí u(x, t). Vastnosti struny jsou popsány spojitými funkcemi ρ(x, t) a T (x, t), které představují hustotu a vnitřní napětí struny v bodě x a čase t. Předpokádáme, že napětí T (x, t) má vždy směr tečny k profiu struny v bodě x. Uvažujme ibovoný, avšak pevný úsek mezi body x = a a x = b. K odvození rovnice popisující pohyb struny použijeme tentokrát Newtonův pohybový zákon, který říká, že změna hybnosti v daném úseku je rovna působící síe. Budeme předpokádat, že jedinou siou, která na úsek struny působí, je napětí vyvoané okoními částmi struny. Po úpravách dojdeme k zákadní rovnici matematického modeování popisující kmitání struny v jedné dimenzi u tt = a 2 u xx, a 2 = T ρ. (1.9) Rovnice (1.9) se nazývá vnová rovnice a konstanta a > 0 vystihuje rychost šíření vny.

1.4 LPDR druhého řádu důežité v apikacích 9 Obdobné rovnice v rovinném a prostorovém případě mají tvar u tt = a 2 (u xx + u yy ), u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ). Popisují např. kmitání rovinné desky nebo těesa v prostoru. Stručně je ze zapsat ve tvaru u tt = a 2 u, kde je Lapaceův operátor. Lapaceova a Poissonova rovnice stacionární případ Při vyšetřování předchozích případů nás nyní bude zajímat pouze chování v tzv. rovnovážném (ustáeném) stavu, tedy ve stavu, kdy řešení nezávisí na čase (u t = u tt = 0). Vnová i difuzní rovnice pak v ibovoné dimenzi přejde na Lapaceovu rovnici u = 0, která má ve dvou dimenzích tvar u xx + u yy = 0. Řešením Lapaceovy rovnice jsou tzv. harmonické funkce. V jednorozměrném případě si ze představit podéně izoovanou tenkou tyč, u které dochází k výměně tepa s okoím pouze přes její konce. Funkce u = u(x) popisující tepotu v tyči pak závisí pouze na proměnné x. Lapaceova rovnice se zredukuje na tvar u xx = = 0. Obdobná rovnice v prostoru má tvar u xx + u yy + u zz = 0. Rovnovážný stav můžeme zkoumat i v případě, že jsou v modeu přítomny časově nezávisé zdroje. Vnová i difuzní rovnice pak pro u t = u tt = 0 (stacionární případ) přejde na tvar u = f, což je tzv. Poissonova rovnice. Je-i F potenciáové poe (na přímce, v rovině nebo v prostoru), pak jeho potenciá U vyhovuje Lapaceově resp. Poissonově rovnici. Okrajové a počáteční podmínky Stejně jako u obyčejných diferenciáních rovnic patí, že samotná parciání diferenciání rovnice neposkytuje dostatečnou informaci k tomu, abychom její řešení byi schopni určit jednoznačně. K jednoznačnému určení řešení je třeba mít k dispozici ještě daší informace. U stacionárních rovnic to bývají nejčastěji tzv. okrajové podmínky, které spou s rovnicí tvoří tzv. okrajovou úohu. Např. u xx + u yy = 0, u(x, y) = ϕ(x, y) pro (x, y) tvoří tzv. Dirichetovu okrajovou úohu pro Lapaceovu rovnici. (Symbo značí hranici množiny.)

10 Parciání diferenciání rovnice U nestacionárních rovnic máme obvyke k dispozici kromě okrajových podmínek ještě tzv. počáteční podmínky, které spou s rovnicí a okrajovými podmínkami tvoří tzv. počátečně- -okrajovou úohu. Např. u tt = u xx, t > 0, x 0, 1, u(0, t) = u(1, t) = 0, t > 0, u(x, 0) = ϕ(x), u t (x, 0) = ψ(x), x 0, 1, tvoří tzv. počátečně-okrajovou úohu pro vnovou rovnici. Okrajové podmínky jsou zde homogenní Dirichetovy. Funkce ϕ značí počáteční výchyku a ψ počáteční rychost struny v daném bodě x. Derivace u t se v čase t = 0 chápe jako derivace zprava. 1.5 Vnová rovnice Uvažujme strunu umístěnou do osy x a předpokádejme, že dochází pouze k maým kmitům ve vertikáním směru. Pak vastní kmity struny jsou dány rovnicí u tt = a 2 u xx, (1.10) kde x je déková souřadnice, t 0 je čas, u(x, t) je výchyka v bodě x v čase t, a 2 = T ρ > 0 je konstanta vystihující rychost šíření vny (T je napětí struny, ρ je ineární hustota). 1.5.1 Struna nekonečné déky (d Aembertova metoda řešení) V daším budeme předpokádat, že máme nekonečně douhou strunu, tj. x R a t 0. Pokusíme se najít obecné řešení této vnové rovnice. K rovnici (1.10) napíšeme charakteristickou rovnici (x ) 2 a 2 = 0, kde x = x(t) (oproti předchozí kapitoe, kde nezávise proměnné byy označeny x a y, teď používáme t a x). Jejím řešením dostaneme: x 1,2 = ±a rovnice je hyperboického typu x = a, x = a x = at + c 1, x = at + c 2 c 1 = x at, c 2 = x + at. Nové souřadnice jsou: Vypočteme parciání derivace: ξ = x at, η = x + at, u(x, t) = U(ξ, η) = U[x at, x + at]. u x = U ξ + Uη, u t = au ξ + au η, u xx = U ξξ + 2U ξ U η + U ηη, u tt = a 2 U ξξ 2a 2 U ξη + a 2 U ηη.

1.5 Vnová rovnice 11 Dosadíme do původní rovnice a upravíme: a 2 U ξξ 2a 2 U ξη + a 2 U ηη a 2 U ξξ 2a 2 U ξη a 2 U ηη = 0 Rovnice (1.10) přejde na rovnici 4a 2 U ξη = 0 Rovnici (1.11) ze snadno integrovat U ξ = 0 dη = K(ξ), U(ξ, η) = K(ξ) dξ = K(ξ) + L(η), U ξη = 0. (1.11) kde K = K. Obecné řešení rovnice (1.6) má tudíž tvar U(ξ, η) = K(ξ) + L(η), kde K a L jsou ibovoné funkce mající spojité druhé derivace. Pak vztah u(x, t) = U[x at, x + at] = K(x at) + L(x + at) (1.12) je obecným řešením rovnice (1.10). Aby řešení rovnice (1.12) byo určeno jednoznačně, budeme předpokádat, že jsou navíc spněny počáteční podmínky u(x, 0) = ϕ(x)... počáteční výchyka (počáteční tvar struny), u t (x, 0) = ψ(x)... počáteční okamžitá rychost, kde ϕ a ψ jsou dané funkce. Najdeme konkrétní tvar funkcí K a L ze vztahu (1.12), aby byy spněny počáteční podmínky. Pro t = 0 musí patit u(x, 0) = K(x) + L(x) = ϕ(x), (1.13) u t (x, t) = ak (x at) + al (x + at), u t (x, 0) = ak (x) + al (x) = ψ(x). (1.14) Rovnici (1.14) integrujeme na intervau x 0, x nebo x, x 0, kde x 0 je pomocný pevně zvoený bod. a(k(x) K(x 0 )) + a(l(x) L(x 0 )) = K(x) + L(x) = 1 a x Sečtením (1.13) a (1.15) dostaneme: 2L(x) = ϕ(x) + 1 a x x x 0 ψ(s)ds, x 0 ψ(s)ds + c, kde c = L(x 0 ) K(x 0 ). (1.15) x 0 ψ(s)ds + c L(x) = 1 2 ϕ(x) + 1 2a x x 0 ψ(s)ds + c 2.

12 Parciání diferenciání rovnice Odečtením (1.13) a (1.15) dostaneme: 2K(x) = ϕ(x) 1 a x Řešení počáteční úohy je pak ve tvaru: x 0 ψ(s)ds c K(x) = 1 2 ϕ(x) 1 2a u(x, t) = K(x at) + L(x + at) = = 1 x at 1 c ϕ(x at) ψ(s)ds 2 2a 2 + 1 1 ϕ(x + at) + 2 2a x 0 x x 0 ψ(s)ds c 2. x+at x 0 ψ(s)ds + c 2, tedy u(x, t) = 1 2 [ ] ϕ(x at) + ϕ(x + at) + 1 2a x+at x at ψ(s) ds. Tento tvar řešení odvodi v roce 1746 d Aembert. První dva čeny vystihují viv počáteční výchyky: počáteční vna se rozděí na dvě části, z nichž jedna postupuje ve směru kadné pooosy x rychostí a a druhá ve směru záporné pooosy x rychostí a. Integrá vyjadřuje viv počáteční rychosti. Označíme-i (s) primitivní funkci k ψ(s), bude mít předchozí vzorec tvar u(x, t) = 1 2 [ ] ϕ(x at) + ϕ(x + at) + 1 [ ] (x + at) (x at). 2a Příkad 1.5 Najděte d Aembertovo řešení rovnice u tt = 9u xx s počátečními podmínkami ϕ(x) = e x2 a ψ(x) = cos x. Řešení. Ze zadání je vidět, že a = 3. Dosazením do rovnice dostaneme u(x, t) = 1 2 = 1 2 = 1 2 [ e (x 3t)2 + e (x+3t)2] + 1 6 x+3t x 3t cos s ds = [ e (x 3t)2 + e (x+3t)2] + 1 6[ sin(x + 3t) sin(x 3t) ] = [ e (x 3t)2 + e (x+3t)2] + 1 cos x sin 3t. 3 V závěrečné úpravě jsme použii vzorec sin α sin β = 2 cos α+β 2 sin α β 2.

1.5 Vnová rovnice 13 1.5.2 Struna konečné déky (Fourierova metoda řešení) Uvažujme strunu konečné déky > 0. Umístíme ji na osu x tak, že evý konec bude v počátku. Kmity struny ze opět popsat vnovou rovnicí u tt = a 2 u xx, s počátečními podmínkami u(x, 0) = ϕ(x)... počáteční výchyka (počáteční tvar struny), x 0,, u t (x, 0) = ψ(x)... počáteční okamžitá rychost, x 0,, a okrajovými podmínkami u(0, t) = α(t), t 0, u(, t) = β(t), kde ϕ, ψ, α a β jsou dané funkce. Budeme předpokádat, že v krajních bodech x = 0 a x = patí tzv. podmínky kompatibiity ϕ(0) = α(0), ψ(0) = α (0), ϕ() = β(0), ψ() = β (0). My se omezíme na případ struny s pevnými konci, tedy α(t) 0, β(t) 0. Poznámka 1.6 Při řešení využijeme princip superpozice. 1. Jsou-i u 1 (x, t), u 2 (x, t) řešení rovnice (1.10). Pak také u 1 (x, t) + u 2 (x, t) je řešením rovnice (1.10). Tedy součet dvou řešení je zase řešení. Jsou-i totiž u 1 a u 2 řešení, pak patí (u 1 + u 2 ) tt = a 2 (u 1 + u 2 ) xx, protože (u 1 + u 2 ) tt = u 1 tt + u 2 tt a podobně (u 1 + u 2 ) xx = u 1 xx + u 2 xx. 2. Je-i u(x, t) řešení rovnice (1.10) a α R, pak αu(t, x) je také řešení rovnice (1.10). Tedy násobek řešení konstantou je zase řešení. Je-i totiž u řešení,pak (αu) tt = a 2 (αu) xx, protože (αu) tt = αu tt a podobně (αu) xx = αu xx. 3. Pokud u 1 (x, t) a u 2 (x, t) spňují nuové okrajové podmínky, pak také u 1 (x, t) + u 2 (x, t), resp. αu je spňují také. Cekově: Nechť u 1 (x, t),..., u n (x, t) jsou řešení rovnice u tt = a 2 u xx, x 0,, t 0, které spňují nuové okrajové podmínky u i (0, t) = u i (, t) = 0, i = 1,..., n, a α 1,..., α n jsou ibovoné konstanty. Pak také ineární kombinace α 1 u 1 (x, t) + + α n u n (x, t) je řešení této úohy spňující nuové okrajové podmínky. Obecně ae nejsou spněny počáteční podmínky.

14 Parciání diferenciání rovnice Princip Fourierovy metody 1. Najdeme jakási speciání řešení rovnice vnové rovnice spňující okrajové podmínky (ae obecně ne počáteční podmínky). Takových řešení bude ceá nekonečná posoupnost {u n }. 2. Pokusíme se najít konstanty α 1, α 2,... tak, aby ineární kombinace α 1 u 1 (x, t)+α 2 u 2 (x, t)+ +... spnia nejen okrajové, ae i počáteční podmínky. (Půjde o nekonečné řady budeme proto předpokádat, že konvergují, ze je derivovat čen po čenu atd.) 1. Hedáme řešení ve tvaru u(x, t) = T (t) X(x), (1.16) kde X(x) a T (t) jsou reáné funkce jedné reáné proměnné, jejichž druhé derivace existují a jsou spojité. Navíc tyto funkce spňují okrajové podmínky u(0, t) = 0, u(, t) = 0. Úoha má vždy triviání řešení u 0. My hedáme netriviání řešení! Derivací (1.16) obdržíme: Dosazením do vnové rovnice dostaneme: u tt = T (t) X(x), u xx = T (t) X (x). T (t)x(x) = a 2 T (t)x (x) T (t) a 2 T (t) = X (x) X(x). Protože evá strana závisí jen na t a pravá jen na x, je to možné pouze v případě, že obě strany jsou konstantní. Označme tuto konstantu λ. Tedy musí patit T (t) a 2 T (t) = λ = X (x) X(x) X (x) + λx(x) = 0, T (t) + a 2 λt (t) = 0. Dostáváme tedy pro T (t) a X(x) obyčejné ineární diferenciání rovnice 2. řádu. Z okrajových podmínek vyjde T (t) X(0) = 0, T (t) X() = 0 X(0) = 0 = X(). (Kdyby X(0) = 0 nebo X() = 0, museo by být T (t) 0 a dostai bychom triviání řešení.) Nejprve budeme řešit tzv. okrajovou úohu X + λx = 0, X(0) = 0 = X(). Tvar řešení bude záviset na parametru λ. Tato úoha se nazývá Sturmův-Liouvieův probém. i) Je-i λ < 0, pak charakteristická rovnice je µ 2 + λ = 0 µ = ± λ

1.5 Vnová rovnice 15 a k ní přísušející obecné řešení je Z okrajových podmínek X = c 1 e λx + c 2 e λx. X(0) = c 1 + c 2 = 0, X() = c 1 e λ + c 2 e λ = 0 dostaneme c 1 (e λ e λ ) = 0, protože λ = λ pro λ < 0 a exponenciáa je rostoucí funkce. Tedy c 1 = 0 c 2 = 0 výsedkem je jen triviání řešení. ii) Je-i λ = 0, pak X = 0 a charakteristická rovnice je a k ní přísušející obecné řešení je Z okrajových podmínek µ 2 = 0 µ 1,2 = 0 X = c 1 + c 2 x. X(0) = c 1 = 0, X() = c 1 + c 2 = 0 dostaneme c 1 = 0, c 2 = 0. Tedy výsedkem je opět jen triviání řešení. iii) Je-i λ > 0, pak charakteristická rovnice má tvar µ 2 + λ = 0 µ 2 = λ, a tedy µ 1,2 = ±i λ X = c 1 cos λx + c 2 sin λx. Z okrajových podmínek dostaneme X(0) = c 1 1 + c 2 0 = 0 c 1 = 0, X() = 0 cos λ + c 2 sin λ = 0. Aby řešení nebyo triviání, musí být λ = nπ, n N, tedy Řešení je pak ve tvaru ( nπ λ n = ) 2. X n (x) = C n sin nπ x, n N, kde C n jsou ibovoné konstanty.

16 Parciání diferenciání rovnice Nyní budeme řešit druhou diferenciání rovnici ( nπ T (t) + a 2 λt (t) = 0, kde λ n = ( nπa ) 2T T (t) + (t) = 0. Přísušná charakteristická rovnice má tvar ( nπa ) 2 µ 2 + = 0, tj. µ 1,2 = ±i nπa. Obecné řešení je pak T n (t) = A n cos nπa Cekové řešení vnové rovnice ze psát ( u n (x, t) = A n cos nπa konstanta C n je zahrnuta do A n, B n, n N. 2. Řešení hedáme ve tvaru u(x, t) = ( n=1 A n cos nπa t + B n sin nπa t. ) 2, tj. t + B n sin nπa ) t sin nπ t + B n sin nπa ) t sin nπ Konstanty A n a B n určíme z počátečních podmínek. Z podmínky u(x, 0) = A n sin nπ x = ϕ(x), x, 0 n=1 určíme A n. Zřejmě A n musí být Fourierovy koeficienty rozvoje ϕ(x) do sinové řady, tedy n=1 A n = 2 0 ϕ(x) sin nπ x dx. Z druhé podmínky derivováním čen po čenu vyjde ( nπa u t (x, t) = A n sin nπa nπa t + B n cos nπa ) t sin nπ tedy u t (x, 0) = n=1 B n nπa sin nπ x = ψ(x), takže koeficienty u sinů musí být Fourierovy koeficienty rozvoje ψ(x) do sinové řady, tedy tudíž B n nπa = 2 0 ψ(x) sin nπ B n = 2 ψ(x) sin nπ nπa 0 x dx, x dx. x, x. x,

1.6 Rovnice vedení tepa 17 1.6 Rovnice vedení tepa Uvažujeme tenkou tyč déky, jejíž konce jsou udržovány na konstantní tepotě u = 0, a kde je v čase t = 0 rozožení tepoty v tyči dáno funkcí ϕ = ϕ(x). Naézt rozožení tepoty v tyči v čase t > 0 znamená naézt řešení u = u(x, t) rovnice vedení tepa u t = ku xx, 0 < x <, t > 0 (1.17) s okrajovými podmínkami a počáteční podmínkou u(0, t) = 0, u(, t) = 0 u(x, 0) = ϕ(x). Opět použijeme Fourierovu metodu. Protože postup je obdobný (jen o něco kratší), shrneme stručně zákadní kroky. Nejprve hedáme speciání řešení, které spňuje okrajové podmínky, a které má tvar u(x, t) = X(x) T (t). Po dosazení do (1.17) a po úpravách dostaneme T (t) kt (t) = X (x) X(x) = λ. Tímto jsme rovnici (1.17) převedi na dvě obyčejné diferenciání rovnice T + λkt = 0, X + λx = 0. Pro neznámou funkci X s využitím okrajových podmínek X(0) = X() = 0 dostaneme ( nπ ) 2, λ n = n N a odpovídající řešení ve tvaru X n (x) = C n sin nπ x. Rovnice má charakteristickou rovnici ( nπ T + ( nπ µ + ) 2kT = 0 ) 2k = 0, takže její obecné řešení je T n (t) = A n e (nπ/)2 kt. Cekové řešení pak můžeme vyjádřit ve tvaru nekonečné řady u(x, t) = C n e (nπ/)2kt sin nπ n=1 x.

18 Parciání diferenciání rovnice (Konstanty A n jsou zahrnuté do konstant C n.) Konstanty C n určíme jako koeficienty Fourierovy řady z počáteční podmínky u(x, 0) = ϕ(x) = C n sin nπ n=1 x. Zřejmě C n musí být Fourierovy koeficienty rozvoje ϕ(x) do sinové řady, tedy C n = 2 0 ϕ(x) sin nπ x dx.

19 Literatura [1] Barták, J., Herrmann, L., Lovicar, V., Vejvoda, O. Parciání diferenciání rovnice II. Evouční rovnice. 1. vydání. Praha: SNTL, 1988. 222 s. Dostupné v knihovně UO pod čísem S 2670/21. [2] Mika, S., Kufner, A. Parciání diferenciání rovnice I. Stacionární rovnice. 1. vydání. Praha: SNTL, 1983. 184 s. Dostupné v knihovně UO pod čísem S 2670/20. [3] Drábek, P., Houbová, G. Parciání diferenciání rovnice [onine]. Skriptum. 1. vydání. Ostrava: VŠB, 2011, viii+283 s. Dostupné z http://mi21.vsb.cz/ sites/mi21.vsb.cz/fies/unit/parciani_diferenciani_ rovnice.pdf [cit. 2014-04-24].