UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Zákoy velkých čísel Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Ig. Lubomír Kubáček, DrSc., Dr. h. c. Rok odevzdáí: 20 Vypracoval: Veroika Mikolášová MAP, III. ročík

Prohlášeí Prohlašuji, že jsem vytvořila tuto diplomovou práci samostatě za vedeí prof. RNDr. Ig. Lubomíra Kubáčka, DrSc., Dr. h. c., a že jsem v sezamu použité literatury uvedla všechy zdroje použité při zpracováí práce. V Olomouci de 4. březa 20

Poděkováí Ráda bych a tomto místě poděkovala vedoucímu bakalářské práce prof. RNDr. Ig. Lubomíru Kubáčkovi, DrSc., Dr. h. c. za ceé rady a obětavost, se kterou se mi věoval při vytvářeí této práce. Také chci poděkovat mé rodiě za trpělivost a laskavou pomoc po celou dobu mého studia.

Obsah Úvod 4 Základí pojmy 5. Míra a itegrál............................ 5.. Míra.............................. 5..2 Měřitelé fukce a jejich kovergece............ 7..3 Lebesgueův itegrál...................... 9.2 Pravděpodobost............................2. Náhodý jev, defiice pravděpodobosti...........2.2 Náhodá veličia, způsob zadáí, číselé charakteristiky. 4.2.3 Náhodý vektor, ezávislé áhodé veličiy........ 8.2.4 Některá rozděleí pravděpodobostí áhodých veliči.. 20.2.5 Cetrálí limití věta..................... 22.3 Statistika............................... 22 2 Zákoy velkých čísel 25 2. Slabý záko velkých čísel....................... 25 2.2 Silý záko velkých čísel....................... 28 2.3 Empirická distribučí fukce, Glivekova věta........... 36 3 Příklady 4 Závěr 50 Přílohy 52 Sezam obrázků Fukce f i............................... 42 2 Fukce g i............................... 44 3 Kovergece empirické distribučí fukce χ 2 7........... 46 4 Kovergece empirické distribučí fukce P o(5)......... 46 5 Kovergece aritmetických průměrů Poissoovo rozděleí.... 48 6 Kovergece aritmetických průměrů rovoměré rozděleí... 48 7 Kovergece aritmetických průměrů ormálí rozděleí..... 48 3

Úvod Zákoy velkých čísel lze právem považovat za jede z ejdůležitějších základích pozatků teorie pravděpodobosti. Podstatou měrou totiž přispívají k přesvědčeí o pozatelosti světa. Uplatňují se rověž výrazě ve dvou fudametálích větách matematické statistiky, zejméa v Glivekově větě o stejoměré kovergeci empirické distribučí fukce k jejímu teoretickému protějšku. Iterferece zákoů velkých čísel s reálým světem se obzvlášť projevuje při experimetálích metodách získáváí zalostí o reálých jevech a procesech. Pozatek o zákoech velkých čísel tak proikl do všech experimetálích disciplí ve formě přesvědčeí, že čím více měřeí bude provedeo, tím přesější představu získáme o skutečé hodotě měřeé veličiy. Cílem práce je vytvořit relativě uzavřeou teorii zákoů velkých čísel a základě odboré literatury. Výchozím podkladem pro ás bude teorie míry a itegrálu, která od prví poloviy miulého století tvoří fudametálí metodiku teorie pravděpodobosti. V závěrečé kapitole bude rověž poukázáo a využití těchto zákoů v ěkterých statistických úlohách. 4

. Základí pojmy V této části práce budou shruty základí pojmy a věty teorie míry a itegrálu (zúžeé pak a teorii pravděpodobosti), potřebé pro samotou práci. V závěru této kapitoly pak bude vysvětleo ěkolik základích pojmů matematické statistiky. Mimo to práce předpokládá základí zalosti teorie moži a elemetárí aalýzy (poslouposti, řady reálých čísel i fukcí, jejich limita / kovergece)... Míra a itegrál... Míra Defiice.. Systém podmoži (začíme Σ) možiy X azveme σ-algebra ad možiou X, jestliže A X, N, platí: (i) A Σ A 2 Σ (A \ A 2 ) Σ (ii) {A } = Σ = A Σ (iii) X Σ Pozámka.. Prví dvě podmíky předchozí defiice lze slově vyjádřit tak, že σ-algebra je systém moži uzavřeý a operaci rozdílu a spočetého sjedoceí moži. Věta.. Možiová σ-algebra Σ je uzavřeá také a operaci spočetý průik moži. D ů k a z: Viz [, str. 24] Věta.2. Průik libovolého systému σ-algeber Σ i idexové možiy I, je rověž σ-algebra ad X. ad X, kde i je z ějaké D ů k a z: Viz [2, str. 27]; podmíka X i I Σ i je zřejmá. 5

Věta.3. Nechť G je libovolý systém podmoži možiy X. Ozačme G systém všech σ-algeber obsahujících G. Průik tohoto systému je ejmeší σ-algebra geerovaá (obsahující) G. D ů k a z: Viz [2, str. 28] Defiice.2. Nechť G je systém všech otevřeých moži v R. Nejmeší σ-algebru geerovaou tímto systémem azveme σ-algebrou borelovských moži v R a začíme B. Pozámka.2. V R je tedy σ-algebra borelovských moži defiováa jako miimálí σ-algebra geerovaá systémem všech otevřeých itervalů. Defiice.3. Možiovou fukci µ a σ-algebře Σ azveme míra, jestliže: (i) µ: Σ 0, ) (ii) µ( ) = 0 (iii) Jestliže {E } = Σ a E i E j = pro i j, pak ( ) µ E = µ(e ) (řekeme, že µ je σ-aditiví). = = Defiice.4. Uspořádaou trojici (X, Σ, µ), kde X je ějaká (eprázdá) možia, Σ je σ-algebra ad X a µ je míra a Σ, azveme prostor s mírou (ebo také měřitelý prostor.) Věta.4 (Vlastosti míry). Nechť (X, Σ, µ) je prostor s mírou. Pak platí:. A, B Σ, A B µ(a) µ(b) (tzv. mootoie míry) 2. A Σ, =, 2, µ ( = A ) = µ(a ) 3. A A 2 A = = A µ(a) = lim µ(a ) 4. A A 2 A = = A : µ(a ) < µ(a) = lim µ(a ) D ů k a z: Viz [, str. 37-38] 6

Pozámka.3. Na σ-algebře borelovských moži B lze defiovat tzv. Lebesgueovu míru µ L, která vziká rozšířeím míry z okruhu geerovaého zleva uzavřeými itervaly. Míra a tomto okruhu vziká přirozeým rozšířeím možiové fukce, která itervalu přiřadí jeho délku. Rozšířeí míry z okruhu a miimálí σ-okruh lze provést Caratheodoryho postupem pomocí tzv. vější míry (podroběji viz [])...2. Měřitelé fukce a jejich kovergece Pokud ebude řečeo jiak, budeme adále uvažovat měřitelý prostor (X, Σ, µ). Defiice.5. Fukce f : X R se azývá měřitelá (ěkdy také Σ-měřitelá), jestliže platí: {x X; f(x) < a} Σ a R Pozámka.4. Podmíce z předchozí defiice jsou ekvivaletí také tyto: a R: {x X; f(x) a}, resp. {x X; f(x) > a}, resp. {x X; f(x) a} D ů k a z: [2, str. 72] Pozámka.5. Nechť (R, B, µ), N je měřitelý prostor. Fukci f : R R azveme borelovsky měřitelá (borelovská), je-li B -měřitelá. Věta.5 (Vlastosti měřitelých fukcí). Nechť f a g jsou měřitelé fukce. Pak také fukce:. cf(x) c R 2. f(x)+g(x) po vhodém dodefiováí v bodech, kde f(x)+g(x) emá smysl 3. f(x) 4. max{f(x), g(x)} 5. f(x) g(x) 6. f(x) po dodefiováí v bodech, kdef(x) = 0 7

jsou měřitelé fukce. D ů k a z: Viz [2, str. 74] Věta.6. Nechť je dáa posloupost {f } = měřitelých fukcí. Pak také fukce sup N f (x), if N f (x), lim sup N f (x), lim if N f (x) jsou měřitelé. D ů k a z: Viz [, str. 84] Defiice.6. Řekeme, že měřitelá fukce s: X R je jedoduchá, jestliže možia s(x) (obor hodot) je koečá. Takovou fukci lze také zapsat pomocí tzv. charakteristické fukce χ A : s(x) = α i χ Ai (x) χ A (x) = i= { x A 0 jide kde α i jsou libovolé kostaty a možiy A i jsou po dvou disjuktí takové, že i= A i = X. Pozámka.6. Libovolou reálou fukci f lze rozložit a tzv. kladou a záporou část: f + (x) := max{f(x), 0}... kladá část fukce f f (x) := max{ f(x), 0}... záporá část fukce f Pak lze psát: f = f + f f = f + + f Věta.7. Nechť f je měřitelá fukce. Pak existuje posloupost {s } = jedoduchých fukcí, pro které platí: i. s (x) s 2 (x)... x X ii. s f a X Pro jistotu zopakujme dva základí druhy kovergece poslouposti fukcí {f }: bodová kovergece (z.f f) a M: ε > 0 x M 0 N: 0 f (x) f(x) < ε stejoměrá kovergece (z.f f) a M: ε > 0 0 N x M : 0 f (x) f(x) < ε 8

iii. pro f 0 a X lze zvolit s s 2..., tj. s f D ů k a z: [, str. 85] Teorie míry ám umožňuje zavést další druhy kovergece fukčích posloupostí, které, jak dále uvidíme, ám poslouží jako postačující podmíky itegrovatelosti: Defiice.7. Řekeme, že posloupost {f } skoro všude koečých měřitelých fukcí koverguje skoro všude a možiě M (začíme f f s.v. a M), jestliže ε > 0 x M \ M 0 0 N N: 0 f (x) f(x) < ε, kde µ(m 0 ) = 0. Pozámka.7. Pojem skoro všude a možiě zameá, že daá vlastost eplatí pouze a takové podmožiě daé možiy, která má ulovou míru. Defiice.8. Řekeme, že posloupost {f } skoro všude koečých měřitelých fukcí koverguje k fukci f podle míry (začíme f µ f s. v. a M), jestliže ε > 0: lim µ({x; f (x) f(x) ε}) = 0 Věta.8. Nechť f f s.v. a M, µ(m) <. Pak také f µ f a M. D ů k a z: Viz [2, str. 25] Věta.9. Nechť f µ f a M, µ(m) <. Pak existuje podposloupost {f k } = {f } = taková, že f k f s. v. a M. D ů k a z: Viz [2, str. 26]..3. Lebesgueův itegrál Defiice.9. Nechť s(x) = i= α iχ Ai (x), µ(a i ) <, i =,..., pak Lebesgueův itegrál z jedoduché fukce s je defiová takto: X s(x) dµ = α i µ(a i ) i= 9

Pozámka.8. Zřejmě:. 2. X χ A dµ = µ(a) s(x) dµ = χ E X Es(x) dµ = X E Σ i= α iχ Ai χ E dµ = i= α iµ(a i E), kde Defiice.0. Nechť f 0 je měřitelá fukce taková, že existuje posloupost jedoduchých fukcí {s } =, s (x) = m i= α i χ Ai (x), pro kterou platí s f pro a µ( m() i= A i ) < N. Pak Lebesgueův itegrál z ezáporé fukce f položíme: X f(x) dµ = lim s (x) dµ X Defiice.. Nechť f je libovolá měřitelá fukce. Pak její Lebesgueův itegrál defiujeme X má-li teto výraz smysl. f(x) dµ = X f + (x) dµ X f (x) dµ Věta.0 (Mootoie itegrálu). Nechť 0 f(x) g(x) s.v. Pak 0 f(x) dµ g(x) dµ D ů k a z: [2, Str. 95] X X Věta.. Nechť f(x) je měřitelá fukce, c libovolé reálé číslo. Pak platí: D ů k a z: [2, str. 07] X cf(x) dµ = c f(x) dµ X Věta.2.. X f(x) dµ < f < s.v. v X 0

2. f(x) dµ > f > s.v. v X X D ů k a z: Viz [2, str. 96] Věta.3. Nechť f(x) a g(x) jsou měřitelé fukce, které mají koečý itegrál, a echť h(x) = f(x) + g(x) a h je dodefiováo tam, kde teto součet defiová eí. Pak: X D ů k a z: Viz [2, str. ] h(x) dµ = X f(x) dµ + X g(x) dµ Věta.4. Měřitelá fukce f má koečý Lebesgueův itegrál f +, f mají koečý Lebesgueův itegrál f má koečý Lebesgueův itegrál a platí f(x) dµ f(x) dµ. X X D ů k a z: Prví ekvivalece plye přímo z defiice Lebesgueova itegrálu měřitelé fukce, zbytek viz [2, str. 96]..2. Pravděpodobost.2.. Náhodý jev, defiice pravděpodobosti Teorie pravděpopodobosti studuje výsledky tzv. áhodých pokusů, tj. pokusů (určeých pevě daým systémem podmíek), které mohou mít více růzých výsledků, z ichž astává vždy právě jede. Uvažujme tedy ějaký pevě zvoleý pokus. Ozačme Ω možiu všech možých výsledků tohoto pokusu, ω Ω jede kokrétí výsledek. Defiice.2. Každá podmožia A Ω se azývá jev, každá jedoprvková podmožia {ω} Ω se azývá elemetárí jev. Řekeme, že při realizaci áhodého pokusu astal jev A, astal-li takový výsledek ω, pro který platí ω A, tedy astal-li výsledek přízivý jevu A.

Prázdá možia se azývá emožý jev, možia všech výsledků Ω jistý jev. Sjedoceí jevů A,..., A je jev, který astae, jestliže astae alespoň jede z jevů A,..., A ; začíme A A ebo i= A i. Průik jevů A,..., A je jev, který astae, astaou-li všechy jevy A,..., A současě; začíme A A ebo i= A i. Rozdíl jevů A a B je jev, který astae, astae-li A a zároveň eastae B; začí se A \ B. Jev opačý (doplěk) k jevu A je jev A C = Ω \ A. Jevy A a B azveme eslučitelé (disjuktí), emohou-li astat současě, tedy A B =. Abychom mohli zavést a Ω fukci pravděpodobosti, je třeba uvažovat systém jevů obsahující Ω, který je uzavřeý a operaci rozdílu a spočetého sjedoceí jevů ám už zámou σ-algebru. Defiice.3. Nechť Ω je možia výsledků áhodého pokusu. Je-li Σ σ-algebra podmoži možiy Ω, azývá se jevové pole. Prvky A Σ se azývají áhodé jevy. Defiice.4. Nechť je dáa eprázdá možia Ω a a í defiovaá σ-algebra Σ. Pravděpodobostí (pravděpodobostí mírou) azveme každou reálou fukci P() defiovaou a Σ, která splňuje tyto podmíky: (i) P(A) 0, A Σ (ii) P(Ω) = (iii) Jestliže {A } = Σ a A i A j = pro i j, pak ( ) P A = 2 = P(A ) =

Defiice.5. Uspořádaou trojici (Ω, Σ, P) azýváme pravděpodobostí prostor. Pozámka.9. Pokud ebude řečeo jiak, budeme v dalším textu uvažovat pravděpodobostí prostor (Ω, Σ, P). Věta.5 (Vlastosti pravděpodobosti). Pro libovolé áhodé jevy A, B Σ, {A } = Σ platí: (V.) P( ) = 0 (V.2) P(A C ) = P(A) (V.3) P(A) (V.4) A B P(A) P(B) (V.5) P(B \ A) = P(B) P(A B), speciálě A B P(B \ A) = P(B) P(A) (V.6) P( = A ) = P(A ) D ů k a z: Viz [3, str. -4] Pozámka.0. Z defiičích vlastostí (i) a (iii) a z tvrzeí (V.) předchozí věty je patré, že pravděpodobost je speciálí případ míry. Rověž lze aopak tvrdit, že míra µ, která splňuje podmíku µ(x) =, je pravděpodobostí. Pozámka.. Podle předchozí pozámky tedy lze tvrzeí uvedeá v sekcích.. -.3. aplikovat i a pravděpodobostí prostor (Ω, Σ, P). Pro ěkteré pojmy teorie míry se však v teorii pravděpodobosti užívají speciálí ázvy. Pro ás budou v dalším důležité tyto: a) jestliže P(X má určitou vlastost) =, řekeme, že X má tuto vlastost skoro jistě (s. j.), b) pojmům kovergece skoro všude a kovergece podle míry odpovídají v teorii pravděpodobosti po řadě pojmy kovergece skoro jistě a kovergece podle pravděpodobosti. 3

Defiice.6. Náhodé jevy A, B se azývají ezávislé, jestliže platí P(A B) = P(A) P(B) Věta.6. Pro libovolý áhodý jev A platí, že Ω a A jsou ezávislé, a také a A jsou ezávislé. D ů k a z: [3, str. 27] Defiice.7. Náhodé jevy systému C = {A λ, λ Λ} se azývají ezávislé, jestliže pro každou koečou skupiu {λ,... λ k } Λ platí: ( k ) P A λi = i= k P(A λi ) i= Věta.7. Jestliže jsou áhodé jevy systému C = {A λ, λ Λ} azávislé, pak jsou ezávislé áhodé jevy libovolého podsystému C C. D ů k a z: Plye přímo z defiice ezávislých áhodých jevů..2.2. Náhodá veličia, způsob zadáí, číselé charakteristiky Defiice.8. Reálou fukci X : Ω R azveme áhodou veličiou, jestliže je tato fukce Σ-měřitelá, to zameá, jestliže pro každé x R platí {ω Ω; X(ω) x} z. = (X x) Σ Pozámka.2. Obdobě zavedeme pro zjedodušeí zápisu toto začeí: {ω Ω; X(ω) B} z. = (X B) Defiice.9. Rozděleí pravděpodobostí áhodé veličiy X je možiová fukce P X (B): B R defiovaá vztahem: P X (B) = P(X B), B B Věta.8. Nechť X je áhodá veličia, P X její rozděleí pravděpodobostí. Pak (R, B, P X ) tvoří pravděpodobostí prostor. D ů k a z: Viz [3, str. 36] 4

Defiice.20. Nechť X je áhodá veličia. Fukce F X : R R defiovaá předpisem F X (x) = P(X < x), x R se azývá distribučí fukce áhodé veličiy X. Věta.9 (Vlastosti distribučí fukce).. F X je eklesající fukce 2. lim x F X (x) = lim x F X (x) = 0 3. F X je zleva spojitá v každém bodě x R D ů k a z: Viz [3, str. 37-38] 2 Defiice.2. Distribučí fukce F X se azývá a) diskrétí, existuje-li (koečá či ekoečá) prostá posloupost reálých čísel {x } a jí odpovídající posloupost kladých čísel {p }, p =, pro které platí F X (x) = : x <x p x R Fukci p(x ) = p azýváme pravděpodobostí fukcí áhodé veličiy X. b) absolutě spojitá, existuje-li ezáporá, borelovsky měřitelá fukce f X (x): R R, pro kterou platí vztah: F X (x) = x f X (t)dt x R Fukci f X azveme hustotou (rozděleí pravděpopodobostí) áhodé veličiy X. Jestliže má X diskrétí (absolutě spojitou) distribučí fukci, pak stejě azveme i tuto áhodou veličiu samotou a její rozděleí pravděpodobostí. 2 Teto důkaz je vede sice pro distribučí fukci defiovaou předpisem F X (x) = P(X x), x R, která je spojitá zprava, ovšem důkaz spojitosti zleva ámi defiovaé distribučí fukce by se s ezbytými úpravami vedl aalogicky. 5

Defiice.22. Nechť X je áhodá veličia. Její středí hodotou rozumíme číslo E(X) = X(ω) d P Ω Možiu všech áhodých veliči defiovaých a pravděpodobostím prostoru (Ω, Σ, P), které mají koečou středí hodotu, budeme začit symbolem L (Ω, Σ, P) ebo zkráceě L. Pozámka.3. Praktický výpočet středí hodoty se provádí pomocí těchto vzorců, odvozeých z předešlé defiice: E(X) = x p pro X diskrétí, E(X) = xf(x)dx R pro X absolutě spojitou. Věta.20 (Vlastosti středí hodoty áhodé veličiy). Nechť X, Y jsou áhodé veličiy z možiy L a a, b jsou libovolá reálá čísla. Pak platí:. E(aX) = a E(X) 2. E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) 3. P (X Y ) = E(X) E(Y ) 4. P(X = a) = E(X) = a D ů k a z: [3, str. 54] Defiice.23. Rozptylem (variací) áhodé veličiy X rozumíme číslo var(x) = σ 2 (X) = E(X E(X)) 2 Věta.2 (Vlastosti rozptylu). Nechť X má koečý rozptyl, a, b R. Platí:. var(x) 0 2. var(x) = 0 P(X = c) = 6

3. var (a + bx) = b 2 var (X) 4. var (X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 D ů k a z: [3, str. 58] Věta.22. Libovolou áhodou veličiu X lze trasformovat a tzv. ormovaou áhodou veličiu, tedy takovou áhodou veličiu Y, pro kterou platí E(Y ) = 0 a var(y ) =. D ů k a z: Uvažujme Y = X E(X) var(x) Platí: E(Y ) = E ( ) X E(X) = var(x) E(X E(X)) var(x) = E(X) E(X) var(x) = 0 var(y ) = var ( ) X E(X) = var(x) var(x E(X)) var(x) = var(x) var(x) = Defiice.24. Číslo x α R, (α (0, )), azveme α-kvatil áhodé veličiy X, jestliže platí: P(X < x α )) α P(X > x α ) α Pozámka.4. Kvatily ormovaého ormálího rozděleí obvykle začíme u α, α (0, ). Druhou erovost v předešlé defiici lze psát P(X x α ) α, dohromady pak P(X < x α )) α P(X x α ) a tedy x α je takové číslo, které splňuje F X (x α ) α F X (x α + 0). Jestliže je X absolutě spojitá áhodá veličia, platí α = F X (x α ). 7

.2.3. Náhodý vektor, ezávislé áhodé veličiy Defiice.25. Zobrazeí X: Ω R azveme (-rozměrý) áhodý vektor, jestliže je Σ-měřitelé. Pozámka.5. Pro zjedodušeí zápisu zavedeme ásledující ozačeí: X(ω) x X x,..., X x, kde x = (x,... x ) R Pozámka.6. Σ-měřitelost zobrazeí X zameá, že platí: {ω Ω; X(ω) x} Σ x R, ebo ekvivaletě {ω Ω; X(ω) B} Σ B B Věta.23. X = (X,..., X ): Ω R je áhodým vektorem právě tehdy, když X i je áhodá veličia pro všecha i =,...,. D ů k a z: [3, str. 80] Defiice.26. (Sdružeou) distribučí fukcí áhodého vektoru X rozumíme fukci F X : R R defiovaou vztahem: F X (x) = F X (x,..., x ) = P(X < x,..., X < x ) = P(X < x), x R Pozámka.7. Distribučí fukce F X (x,... x ) áhodého vektoru X se azývá diskrétí, existuje-li prostá posloupost {x m } R (koečá ebo ekoečá) a jí odpovídající posloupost kladých čísel {p m }, p m =, takové, že platí F X (x,..., x ) = F X (x) = p m, x R m: x m < x Řekeme pak, že áhodý vektor X je diskrétí. Distribučí fukce F X (x,... x ) áhodého vektoru X se azývá absolutě spojitá, existuje-li ezáporá borelovsky měřitelá fukce f(x) = f(x,... x ): R R taková, že: F X (x,..., x ) = F X (x) = x x 8 f(t,..., t ) dt... dt x R

Fukce f(x) se azývá hustota áhodého vektoru X a o vektoru X rověž říkáme, že je absolutě spojitý. Defiice.27. Náhodý vektor (X i,... X ik ), k =,..., ; i <... < i k, se azývá margiálí áhodý vektor příslušý k áhodému vektoru X a jeho distribučí fukce F Xi,...,X ik (x i,..., x ik ) margiálí distribučí fukce k fukci F X (x,..., x ). Věta.24. Nechť X = (X,..., X ) je áhodý vektor s distribučí fukcí F X (x,..., x ). Pro distribučí fukci áhodého vektoru (X i,..., X ik ), k =,..., ; i <... < i k D ů k a z: [3, str. 88] F Xi,...,X ik (x i,..., x ik ) = platí lim F X (x,..., x ) x j j i,...,i k Defiice.28. Nechť X = {X λ, λ Λ} je systém áhodých veliči. Řekeme, že áhodé veličiy tohoto systému jsou ezávislé, jestliže pro každou koečou podmožiu {λ,..., λ } Λ platí F Xλ,...,X λ (x,..., x ) = F Xλj (x j ) j= (x,..., x ) R Věta.25 (Nutá a postačující podmíka ezávislosti áhodých veliči). Nechť F X (x) = F X,...,X (x,..., x ) je sdružeá distribučí fukce áhodého vektoru X = X,..., X a F Xj (x), j =,...,, jsou margiálí distribučí fukce příslučé áhodé veličiy X j. Náhodé veličiy X,..., X jsou ezávislé právě tehdy, když platí F X (x) = D ů k a z: Viz [3, str. 95] F Xj (x j ) x = (x,..., x ) R j= Věta.26. Nechť X,..., X jsou ezávislé áhodé veličiy a echť φ j (x): R R, j =,...,, jsou borelovsky měřitelé fukce. Potom jsou áhodé veličiy Y j = φ j (X j ), j =,...,, rověž ezávislé. 9

D ů k a z: Viz [3, str. 97] Věta.27. Jsou-li X,..., X mezávislé áhodé veličiy s koečými druhými momety, potom platí: ( ) var X j = j= var(x j ) j= D ů k a z: Viz [3, str. 04].2.4. Některá rozděleí pravděpodobostí áhodých veliči Defiice.29. Řekeme, že diskrétí áhodá veličia X má biomické rozděleí pravděpodobostí s parametry a p, N, p (0, ), (začíme X Bi(, p)), jestliže abývá pouze hodot j = 0,...,, a to s pravděpodobostmi P(X = j) = ( ) p j ( p) j, j = 0,..., j Defiice.30. Řekeme, že diskrétí áhodá veličia X má Poissoovo rozděleí pravěpodobostí s parametrem λ, λ > 0, (začíme X P o(λ)), jestliže abývá pouze hodot j = 0,,... s pravděpodobostmi P(X = j) = λj j! e λ j = 0,,... Pozámka.8. Náhodá veličia X P o(λ) má tyto charakteristiky: E(X) = λ var(x) = λ Defiice.3. Řekeme, že absolutě spojitá áhodá veličia X má rovoměré rozděleí s parametry a a b, a, b R, jestliže má hustotu f X (x) = { b a x (a, b) 0 x / (a, b) 20

Pozámka.9. Náhodá veličia s rovoměrým rozděleím o parametrech (a, b) má tyto charakteristiky: E(X) = a + b 2 var(x) = (b a)2 2 Defiice.32. Řekeme, že absolutě spojitá áhodá veličia X má ormálí (Gaussovo) rozděleí s parametry µ a σ 2, µ R, σ 2 > 0, jestliže má hustotu f X (x) = σ 2π (x µ) 2 e 2σ 2 Pozámka.20. Náhodá veličia X, která má ormálí rozděleí N(µ, σ 2 ), má tyto charakteristiky: E(X) = µ var(x) = σ 2 Pozámka.2. Pro libovolou áhodou veličiu X N(µ, σ 2 ) platí: P(µ σ < X < µ + σ) 68, 3% P(µ 2σ < X < µ + 2σ) 95, 5% P(µ 3σ < X < µ + 3σ) 99, 7% Posledí výraz je zámý pod ázvem pravidlo tří sigma a v podstatě říká, že mimo uvedeý iterval se realizuje pouze velmi malý zlomek hodot áhodé veličiy X N(µ, σ 2 ). Defiice.33. Nechť X,..., X k jsou ezávislé áhodé veličiy s rozděleím N(0, ). Pak řekeme, že áhodá veličia Q = k= X 2 k má χ 2 -rozděleí s k stupi volosti. Začíme Q χ 2 k. 2

.2.5. Cetrálí limití věta Oblast cetrálích limitích vět přesahuje rámec ámi probíraé teorie, ale s jejich využitím budeme moci sáze ilustrovat Glivekovu větu zmiňovaou v úvodu (viz příklad 3.3). Proto alespoň okrajově zmííme jedu z těchto vět, a to Moivre-Laplaceovu, kterou později v uvedeém příkladu použijeme. Defiice.34. Nechť {X } = je posloupost áhodých veliči a echť X je áhodá veličia, každá z ich defiovaá a pravděpodobostím prostoru (Ω, Σ, P). Řekeme, že posloupost áhodých veliči {X } koverguje k X v distribuci (podle rozděleí), jestliže lim F X (x) = F X (x) v každém bodě spojitosti fukce F X. Začíme X D X Věta.28 (Moivreova-Laplaceova věta). Mějme posloupost {Y } = ezávislých áhodých veliči, Y Bi(, p). Potom Z = Y p p( p) D X N(0, ) Řekeme, že posloupost {Z } má asymptoticky rozděleí N(0, ) (začíme {Z } as N(0, ) ). D ů k a z: Viz [3, straa 28] Pozámka.22. Z tvrzeí předchozí věty a podle vět.20 a.2 je zřejmé, že Y as N(p, p( p)), Y ( as N p, ) p( p).3. Statistika V praktickém životě ezáme přesé teoretické rozděleí pravděpodobostí (či distribučí fukci) zkoumaé áhodé veličiy (statistického zaku) apř. pravděpodobosti výskytu vadého výrobku, počtu mikroorgaismů ve vzorku, chyby 22

měřeí. Ovšem provedeím ěkolika a sobě ezávislých pokusů lze získat představu o tom, jak teoretická distribučí fukce vypadá. Pomocí zákoů velkých čísel pak můžeme dokázat, že pokud provedeme dostatečě velké možství pokusů, můžeme se s libovolou přesostí blížit teoretickým výpočtům teorie pravděpodobosti. Defiice.35. Náhodý vektor X = (X (ω),..., X (ω)), jehož složky jsou ezávislé áhodé veličiy se stejým rozděleím pravděpodobostí Q, se azývá áhodý výběr o rozsahu z rozděleí Q. Defiice.36. Každou borelovsky měřitelou fukci φ(x (ω),..., X (ω)) áhodého výběru X = (X (ω),..., X (ω)) azýváme výběrovou fukcí ebo také statistikou áhodého výběru X. Pozámka.23. Jedou z ejzámějších a ejužívaějších statistik áhodého výběru je tzv. výběrový průměr X = i= X i. Věta.29. Nechť X = (X (ω),..., X (ω)) je áhodý výběr z rozděleí ( ) N(µ, σ 2 ). Pak výběrový průměr X má rozděleí N µ, σ2. Realizací áhodého výběru o rozsahu získáme -tici hodot (x,..., x ). Vytvoříme tzv. vektor variat získaé hodoty uspořádáme a opakující se hodoty zahreme pouze jedou. Vektor variat začíme (x [],..., x [r] ). Defiice.37. Počet všech výskytů variaty x [i] v této realizaci azveme absolutí četostí této variaty a začíme i. Číslo r i = i azveme relativí četostí variaty x [i]. Součet všech relativích četostí variat meších či rových x [i] azveme relativí kumulativí četost a začíme F i. 23

Defiice.38. Empirická distribučí fukce F je fukce defiovaá tímto předpisem: 0 x x [] F (x) = F i x [i] < x x [i+], i =,... r x > x [r] Pozámka.24. Empirická distribučí fukce je tedy schodovitá distribučí fukce, a ose x jsou vyesey aměřeé variaty x [i], a skoky v ich mají velikost i /, (tedy relativí četost daé variaty). 24

2. Zákoy velkých čísel 2.. Slabý záko velkých čísel Věta 2. (Čebyševova erovost). Nechť X je áhodá veličia se středí hodotou E(X) a rozptylem σ 2 (X). Pak ε > 0: P({ω; X(ω) E(X) ε}) ε 2 σ2 (X) D ů k a z: Ozačme A = {ω; X(ω) E(X) ε}, A C její doplěk, tedy A C = {ω; X(ω) E(X) < ε}. Můžeme psát: σ 2 (X) = (X E(X)) 2 d P = A (X E(X))2 d P + A C (X E(X)) 2 d P Odtud přímo plye tvrzeí věty. A (X E(X))2 d P ε 2 P(A) Věta 2.2 (Slabý záko velkých čísel). Nechť {X } = je posloupost ezávislých áhodých veliči, která splňuje ásledující podmíky: (i) E(X ) = X d P = 0 N (ii) σ 2 (X ) = X 2 d P < N (iii) lim 2 σ 2 (X i ) = 0 i= Pak posloupost aritmetických průměrů { } X i koverguje k 0 podle pravděpodobosti. i= D ů k a z: Uvažujme áhodou veličiu X = X i. i= Podívejme se a její středí hodotu a rozptyl: 25

( E(X) = E σ 2 (X) = σ 2 ( ) X i = i= E(X i ) = 0 i= ) X i = σ 2 (X 2 i ) i= i= Použijeme Čebyševovu erovost: P(ω; X(ω) ε) ε 2 2 σ 2 (X i ) i= Tedy 0 lim P(ω; X(ω) ε) lim ε 2 2 σ 2 (X i ) = 0 i= přičemž prví erovost plye z defiičích vlastostí míry a posledí rovost zaručuje předpoklad (iii) tvrzeí věty. Odtud plye: lim P(ω; X(ω) ε) = 0 což zameá, že X koverguje k 0 podle pravděpodobosti, a to je ovšem požadovaý výsledek. Pozámka 2.. Prví předpoklad tvrzeí 2.2 lze zobecit: stačí předpokládat, že všechy uvažovaé áhodé veličiy mají koečou středí hodotu, tedy E(X ) <, N. Pak za platosti ostatích předpokladů věty platí: (X i E(X i )) P 0 i= Tedy i= X i P lim E(X i ). i= D ů k a z: Budeme uvažovat áhodou veličiu Y = i= (X i E(X i )). Dále využijeme stejý postup jako v předešlém důkaze: ( ) E(Y ) = E (X i E(X i )) = (E(X i ) E(X i )) = 0 i= i= 26

σ 2 (Y ) = σ 2 ( ) (X i E(X i )) = 2 σ2 (X i ) i= Z Čebyševovy erovosti tedy: 0 lim P(ω; Y (ω) ε) lim ε 2 2 σ 2 (X i ) = 0 Odtud plye, že Y = i= (X i E(X i )) koverguje k ule podle pravděpodobosti. Defiice 2.. Nechť {X i } je posloupost áhodých veliči, pro které platí i= i N: σ 2 (X i ) b, 0 b < Pak řekeme, že áhodé veličiy X i mají stejoměrě omezeé rozptyly. Věta 2.3 (o aritmetickém průměru). Nechť {X } je posloupost po dvou ezávislých áhodých veliči, které mají stejoměrě omezeé rozptyly, a platí pro ě E(X ) = a R, N. Pak lim i= X i P a D ů k a z: Předpoklad (ii) tvrzeí věty 2.2 je zřejmě splě. Rověž platí: lim 2 A podle pozámky 2. platí: i= σ 2 b (X i a) lim = 0 i= X i P lim i= a a = lim = a Věta 2.2 vyjadřuje pouze postačující podmíky k tomu, aby posloupost áhodých veliči splňovala slabý záko velkých čísel. V ásledující větě uvidíme, že áhodé veličiy X i emusí za určitých podmíek být ai ezávislé. 27

Věta 2.4 (Markovova). Nechť pro posloupost áhodých veliči {X } = platí: [ ( )] lim var X 2 j = 0 Pak posloupost { } (X j E(X j )) koverguje k 0 podle pravědpodobosti. D ů k a z: j= j= { } Použijme a posloupost j= (X j E(X j )) Čebyševovu erovost: ( ) ( 0 P j= (X j E(X j )) ε = P j= X ) j j= E(X j) ε = ( ( = P j= X ) ) j E j= X j ε var( P [ ( j= X j) )] = var ε 2 ε 2 2 j= X j Posledí čle koverguje k 0 podle předpokladu, čímž je dokázáo tvrzeí věty. Pro úplost uveďme ještě větu, která eklade žádá omezeí a rozptyl uvažovaých áhodých veliči: Věta 2.5 (Chičiova). Nechť {X j } je posloupost ezávislých stejě rozděleých áhodých veliči, které mají koečou středí hodotu E(X j ) = a, j N. Pak j= X j P a D ů k a z: Viz [3, str. 8-20] 2.2. Silý záko velkých čísel Věta 2.6 (Kolmogorovova erovost). Nechť {X i } i= je posloupost ezávislých áhodých veliči s ulovou středí hodotou a koečými rozptyly a echť X(ω) = max k { k i= X i(ω) } (tedy X(ω) je maximum absolutích hodot částečých součtů). Pak ε > 0: P({ω; X(ω) ε}) ε 2 σ 2 (X k ) k= 28

D ů k a z: Ozačme: E = {ω; X(ω) ε} (hledaý jev) s k = k i= X i (k-tý částečý součet) E k = {ω; s k (ω) ε} i<k {ω; s i(ω) < ε} (k-tý částečý součet je prví, který vyskočí z epsiloového okolí uly, tedy E k, k =, 2,... jsou eslučitelé jevy) Platí: = E k ( s 2 d P = E k s 2 k + 2s k i=k+ E k X i + ( s k + i=k+ Rozeberme podroběji jedotlivé sčítace: i=k+ X i 2 + 2 X i ) 2 d P = i=k+ j=i+ X i X j ) d P 2s k E k X i d P = i=k+ χ Ek 2s k i=k+ X i d P = 2 χ Ek s k d P i=k+ X i d P = 0 (veličiy χ Ek s k a X i, i k+, jsou ezávislé, tedy itegrál lze rozdělit a souči; druhý itegrál je ulový podle předpokladu a z aditivity itegrálu) X 2 i d P = E k i=k+ i=k+ χ Ek Xi 2 d P = P(E k ) i=k+ X 2 i d P (opět χ Ek a X i, i k + jsou ezávislé) 2 E k i=k+ j=i+ j=i+ X i X j d P = 2 ( ) X j d P = 2 E k = 2 i=k+ ( P(E k ) i=k+ j=i+ i=k+ ( E k X i X j d P = 2 ) χ Ek X i d P ) X i d P j=i+ j=i+ ( P(E k ) ( i=k+ ( ) X i d P E k ) χ Ek X j d P = ) X j d P = 0 29

(podle předpokladů jsou áhodé veličiy X i a X j, i j ezávislé, rověž jsou pro i k + všechy ezávislé s fukcí χ Ek, středí hodota X d P = 0,, takže výsledek je ulový) Tedy souhrem: s 2 d P = s 2 k d P + P(E k ) Xi 2 d P s 2 k d P P(E k )ε 2 E k E k E k Pak lze psát: i=k+ ( ) ( ) 2 σ 2 (X k ) = σ 2 X k = X k d P = k= k= k= P(E k )ε 2 = P(E)ε 2 Odtud už přímo plye tvrzeí. k= s 2 d P k= E k s 2 d P Věta 2.7. Nechť {y } je posloupost reálých čísel, pro kterou je lim y koečá. Pak také lim y i = y i= = y D ů k a z: Z předpokladů plye, že ε > 0 0 N 0 : y y < ε 2 Nechť je přirozeé číslo větší ež 0 takové, pro které platí: 0 i= y i y < ε 2 Pro > platí: y i y = i= y i y 0 (y i y) + i= < 0 i= i= (y i y) + 0 ε 2 < ε i= 0 + (y i y) < 30

Věta 2.8. Nechť {y } je posloupost reálých čísel taková, že y = = s <. Pak lim y i = 0 i= D ů k a z: Ozačme: Odtud: s 0 = 0 s = y i i= i t = i= y i pro N y i = (s i s i )i + + + + t + = y i = is i is i = is i (i + )s i = i= i= i= i= i=0 = s 0 + (is i (i + )s i ) + ( + )s + = s i + ( + )s + Rovost vydělíme výrazem (+): i= i=0 t + + = + s i + s + i=0 Tedy: lim t + + = s + s = 0 (z předchozí věty) Věta 2.9. Nechť {X } je posloupost ezávislých áhodých veliči, pro kterou platí: (i) X d P = 0 N (ii) = σ2 (X ) < Pak X koverguje skoro jistě. = 3

D ů k a z: Ozačme: s (ω) = X i (ω) i= a m (ω) = sup{ s m+k (ω) s m (ω) ; k N} a(ω) = if{a m (ω); m N} Dokažme ejprve, že X (ω) koverguje a(ω) = 0 = Podle Cauchy Bolzaova kritéria kovergece řad: X koverguje ε > 0 0 N m 0 k N: s m+k (ω) s m (ω) < ε = Tato erovost platí pro všecha k, tedy rověž a m (ω) = sup{ s m+k (ω) s m (ω) ; k N} < ε Tvrzeí pak plye z libovolosti ε: if{ε, ε > 0} = 0 a(ω) = if{a m (ω), m N} = 0 Předpokládejme, že a(ω) = if{a m (ω), m N} = 0. Odtud vyplývá, že: ε > 0 m 0 N: a m0 (ω) < ε tj. tj. ε > 0 m 0 N: sup{ s m0 +k(ω) s m0 (ω) ; k N} < ε ε > 0 m 0 N k N: s m0 +k(ω) s m0 (ω) < ε 32

Pro libovolá přirozeá čísla, p > m 0 pak platí: s (ω) s p (ω) s (ω) s m0 (ω) + s p (ω) s m0 (ω) < 2ε Čímž jsme dokázali cauchyovskost (a tedy kovergeci): ε > 0 m 0 N, p > m 0 : s (ω) s p (ω) < 2ε Tímto je ekvivalece dokázáa. Z Kolmogorovovy erovosti ε > 0, m, N: P ({ω; sup{ s m+k (ω) s m (ω) ; k =, 2,... } ε}) ε 2 Při limitím přechodu se erovost ezměí: P({ω; a m (ω) ε}) ε 2 k=m+ Protože a(ω) = if{a m (ω)}, zřejmě platí i erovost: 0 P({ω; a(ω) ε}) ε 2 k=m+ σ 2 (X k ) σ 2 (X k ) < m+ k=m+ σ 2 (X k ) Protože řada = σ2 (X ) koverguje (a tedy posloupost zbytků této řady koverguje k 0: lim m =m+ σ2 (X ) = 0), platí: 0 P({ω; a(ω) ε}) 0 Z libovolosti ε pak plye a(ω) = 0 s. v., a tvrzeí je tímto dokázáo. Věta 2.0 (Silý záko velkých čísel). Nechť {X } = je posloupost ezávislých áhodých veliči, která splňuje ásledující podmíky: (i) E(X ) = X d P = 0 N (ii) σ 2 (X ) = X 2 d P < N 33

(iii) σ 2 (X ) = 2 < Pak posloupost aritmetických průměrů { } X i i= koverguje k 0 skoro jistě. D ů k a z: Ozačme Y (x) = X(x). Podívejme se, zda posloupost {Y } splňuje předpoklady předchozí věty: σ 2 (Y ) = = = E(Y ) = E ( ) σ 2 X = ( X = ) = E(X ) = 0 σ 2 (X ) 2 < podle předpokladu (iii) Předpoklady věty 2.9 jsou splěy, tedy platí: Y = = = X Pak z věty 2.8 o posloupostech plye, že lim a tedy tvrzeí věty je dokázáo. koverguje skoro jistě. X i = 0 skoro jistě i= Pozámka 2.2. Předpoklad (i) předešlé věty lze rověž zobecit stačí uvažovat E(X ) <, N. Pak X i i= E(X i ) 0 skoro jistě i= Tedy lim i= X i = lim i= E(X i) s. j. D ů k a z: Za {Y } yí vezmeme Y = X E(X) jako v předchozí větě. a důkaz vedeme aalogicky 34

Pozámka 2.3. Předpoklady silého ZVČ jsou zřejmě silější ež předpoklady slabého ZVČ. D ů k a z: Dokažme ejprve, že = σ 2 (X ) 2 < lim 2 σ 2 (X i ) = 0 i= Protože rozptyl σ 2 (X) je ezáporý, zřejmě platí:, p N: p i= σ 2 (X +i ) ( + p) 2 p i= σ 2 (X +i ) ( + i) 2 Nekoečá číselá řada X + X 2 +... koverguje právě tehdy, když posloupost jejích částečých součtů je cauchyovská, tedy: ε > 0 0 N p N: Z předchozích dvou erovostí plye: ε > 0 0 N p N: 0 +p i= 0 + 0 +p i= 0 + σ 2 (X i ) i 2 σ 2 (X i ) ( 0 + p) 2 < < ε 0 +p i= 0 + σ 2 (X i ) i 2 < ε Odtud tedy: lim 2 σ 2 (X i ) = 0 i= Příklad takové poslouposti, která splňuje podmíky slabého ZVČ a esplňuje podmíky silého ZVČ, ajdeme v příkladu 3. v další kapitole. Tím bude tvrzeí pozámky dokázáo. Pozámka 2.4. Rověž předpoklady věty 2.0 jsou pouze postačujícími podmíkami, ikoli utými. Lze tedy apříklad ajít takovou posloupost {Y }, která koverguje k 0 skoro jistě, přičemž σ 2 (Y ) = 2 35 diverguje.

Klíčem k sestrojeí takové poslouposti bude ásledující defiice. V příkladu 3.2 pak jedu takovou posloupost zkostruujeme. Defiice 2.2. Řekeme, že dvě poslouposti fukcí {X } a {g } jsou ekvivaletí v Chičiově smyslu, jestliže P({ω; X (ω) Y (ω)}) < = 2.3. Empirická distribučí fukce, Glivekova věta Pomocí silého zákoa velkých čísel si yí dokážeme tzv. Glivekovu větu. Ta říká, že empirická fukce F (x) áhodého výběru z rozděleí Q koverguje skoro jistě k teoretické distribučí fukci F (x) tohoto rozděleí. 0 x x [] Připomeňme, že F (x) = F i = x [i] < x x [i+], i =,... r x > x [r] Lze tedy říct, že F (x) = k, kde k je počet realizovaých hodot meších ež x. Mějme áhodý výběr o rozsahu z rozděleí s distribučí fukcí F (x). Pravděpodobostí fukce áhodé veličiy Y (x): R {0,,..., } vyjadřující, kolik hodot bude při libovolé realizaci tohoto áhodého výběru alevo od bodu x, má zřejmě biomické rozděleí Bi(, F (x)): P (Y = k) = ( ) (F (x)) k ( F (x)) ( k) k = 0,,... k Vypočítejme středí hodotu a rozptyl této áhodé veličiy: = E(Y ) = k= ( ) k (F (x)) k ( F (x)) k = k k=0 k=0 ( )! (k )!( k)! (F (x))k ( F (x)) k = k! k!( k)! (F (x))k ( F (x)) k = k= ( ) (F (x)) k ( F (x)) k = k ( ) = F (x) (F (x)) k ( F (x)) k = F (x)(f (x) + ( F (x))) = F (x) k k=0 36

K určeí rozptylu využijeme ásledujícího výpočtu: E(Y (Y )) = =! k(k ) k!( k)! (F (x))k ( F (x)) k = k=0 k=2 = ( )! (k 2)!( k)! (F (x))k ( F (x)) k = k=2 ( 2)! (k 2)!( k)! (F (x))k ( F (x)) k = 2 ( ) 2 = ( ) (F (x)) k ( F (x)) 2 k = ( )F 2 (x) k k=0 Tedy: E(Y 2 ) E(Y ) = ( )F 2 (x) E(Y 2 ) = ( )F 2 (x) + F (x) σ 2 (Y ) = E(Y 2 ) E 2 (Y ) = ( )F 2 (x) + F (x) 2 F 2 (x) = = F (x)( F (x)) Nyí uvažujme posloupost {F (x)}, tedy posloupost empirických distribučích fukcí realizací áhodého výběru o rostoucím rozsahu a ověřme, zda splňuje předpoklady věty 2.0 ve zěí pozámky 2.2: ( ) Y E(F (x)) = E ) σ 2 (F (x)) = σ 2 ( Y = E(Y ) = σ2 (Y ) 2 F (x) = = = F (x) F (x)( F (x)) Uvažujme posloupost {F (x)} tedy posloupost empirických distribučích fukcí realizací áhodého výběru o rostoucím rozsahu a ověřme, zda splňuje předpoklad (iii) věty 2.0 : = σ 2 (f ) 2 = = 37 F (x)( F (x)) 2

K důkazu kovergece této řady využijeme itegrálí kriterium. Budeme uvažovat fukci f(x) = x 3, která je zřejmě a (, ) defiovaá, ezáporá a erostoucí, tedy splňuje předpoklady pro toto kriterium. Vypočítejme yí itegrál [ x dx = ] = 0 + 3 2x 2 2 = 2 < Protože teto itegrál koverguje, koverguje i uvažovaá řada, a tedy posloupost empirických distribučích fukcí {F (x)} splňuje předpoklady silého zákoa velkých čísel a koverguje skoro všude k F (x). Nyí si tedy odvodíme jedu z podstatých vět matematické statistiky Glivekovu( Catelliho) větu. Ta ám dává podklad k tvrzeí, že při dostatečém možství pozorováí lze s libovolou přesostí aproximovat skutečé zastoupeí pozorovaého jevu v celku. Věta 2. (Glivekova). Nechť áhodé veličiy X,... X jsou prvky áhodého výběru z rozděleí s distribučí fukcí F (x). Dále echť F (x) začí empirickou distribučí fukci a koečě ozačme Potom platí = sup F (x) F (x) <x< P( lim = 0) = D ů k a z: Pro každé M N a k =, 2,... M ozačme x M,k ejmeší takové číslo, pro které platí F (x) k M F (x + 0) (kde F (x + 0) = lim y x+ F (y)). Tyto body se acházejí tam, kde F (x) = k, ebo v bodech espojitosti teoretické M distribučí fukce. Ozačme: () = max F (x M,k ) F (x M,k ), (2) = max F (x M,k + 0) F (x M,k + 0) k M k M Dokažme, že pak platí: max( (), (2) ) + M 38

Uvažujme ejprve, že maximum v předchozí erovosti bude () a předpokládejme, že je této hodoty dosažeo v bodě x M,k. Když půjdeme od tohoto bodu doleva, rozdíl mezi empirickou a teoretickou distribučí fukcí se může zvětšovat. Ovšem maximálě do bodu, kdy se teoretická distribučí fukce síží a (resp. pod) hodotu k M, tedy do bodu x M,k. Ovšem v tom případě by uvažovaé maximum muselo být právě v bodě x M,k, což je spor s předpokladem. Hodota teoretické distribučí fukce tedy může klesout maximálě o M, přičemž F (x) emůže směrem doleva stoupat - a tedy celkově se rozdíl mezi imi zvýší o maximálě M (a tohoto maxima elze dosáhout). Pokud bychom se pohybovali od bodu x M,k apravo, okamžitě arazíme a limitu F (x M,k +0) F (x M,k +0), která je podle předpokladů meší ež aše maximum (a platí pro i aalogické tvrzeí, že při pohybu apravo od í emůžeme její hodotu přesáhout o více ež M ). Aalogické úvahy je možo provést i v případě, že maximum v předchozí erovosti je (2). Následující dva obrázky ilustrují popsaou situaci pro výběr z ormovaého ormálího rozděleí o rozsahu 7 pro M = 5. Zeleou barvou jsou vykresley rozdíly fukčích hodot v bodech x M,k, resp. x M,k +0, červeou je pak maximum rozdílu teoretické a empirické distribučí fukce a celé reálé ose. Podle silého ZVČ (viz také předchozí příklady) platí: x R: P( lim F (x) = F (x)) = P( lim F (x + 0) = F (x + 0)) = 39

Odtud tedy: x R: P( lim F (x) F (x) = 0) = P( lim F (x+0) F (x+0) ) = Z čehož vyplývá max( (), (2) ) 0 s. v. lim sup M s. v. Což se dá přepsat pomocí pravděpodobosti: ( P lim sup ) M ( = P Odtud limitím přechodem pro M P(lim sup > 0) = 0 Odtud už přímo plye dokazovaé tvrzeí. lim sup > M ) = 0 40

3. Příklady Příklad 3.. Najděme příklad poslouposti, která splňuje předpoklady slabého ZVČ a esplňuje silý ZVČ. Zkostruujme posloupost {f } ezávislých áhodých veliči, pro které σ 2 (f ) = + +. Posloupost { } je pro > rostoucí, tedy lze psát: l(+) l(+) lim 2 i= σ 2 (f i ) lim ( + ) 2 l( + ) = 0 Nyí dokažme, že řada = + 2 l(+) majoratí kriterium a itegrálí kriterium. = + 2 l( + ) = = ( diverguje. Využijeme k tomu obměěé ) 2 l( + ) + 2 l( + ) Na tuto řadu aplikujeme itegrálí kriterium: = l( + ) Mějme fukci f(x) =. Ta je zřejmě pro x (, ) defiovaá, ezáporá x l(x) a erostoucí, a tedy splňuje předpoklady itegrálího kriteria. Uvažujme yí fukci F (x) = l(l(x)). Její derivace podle x má tvar: df (x) dx = x l(x) dx = l(l(x)) = F (x) x l(x) Protože ovšem F ( ) = a F () =, itegrál proto divergují i obě řady: dx zřejmě diverguje, x l(x) = l( + ) a = + 2 l( + ) 4

Příklad 3.2. Najděme příklad takové poslouposti, která koverguje skoro všude k 0, a přitom esplňuje předpoklady silého ZVČ. Jak už bylo řečeo, k sestrojeí této poslouposti využijeme defiici 2.2. Nejprve defiujme posloupost {f (x)} a itervalu 0, : pro x 0, = A 2 f (x) = pro x, = A 2 2 0 jide... ozačme A c Toto je posloupost áhodých veliči defiovaých a pravděpodobostím prostoru (J, B J, P), kde J = 0,, B J je systém průiků borelovských moži B s J a P je Lebesgueova míra (viz pozámka.3) a R (P(J) =, tedy P je pravděpodobostí míra). Obrázek : Grafy prvích čtyř čleů poslouposti {f (x)} 42

Ukažme, že tato posloupost splňuje podmíky věty 2.0, a tedy koverguje skoro všude k 0: E(f ) = f d P = 0 f d P = P(A ) + P(A 2 ) ( ) + P(A c ) 0 = σ 2 (f ) = f 2 d P = = 0 = 2 2 + 0 = 0 f 2 d P = P(A ) 2 + P(A 2 ) ( ) 2 + P(A c ) 0 2 = σ 2 (f ) 2 = = 2 = 2 < 2 2 < 2 2 < 2 = Nyí sestrojme posloupost {g }, která je k {f } ekvivaletí v Chičiově smyslu: e pro x A g (x) = e pro x A 2 0 pro x A c Dokažme, že je tato posloupost je opravdu ekvivaletí s {f }: Platí: P({x; f (x) g (x)}) = = P(A A 2 ) = = = 2 2 = 2 = 2 < ε > 0 x (0, ) 0 N N : 0 g (x) = 0 g (x) 0 = 0 < ε Odtud plye, že posloupost {g } ekoverguje pouze v bodech 0 a, přičemž P({0, }) = 0, a tedy {g } 0 s. v. Nyí dokažme, že posloupost {g } esplňuje podmíku (iii) silého ZVČ. σ 2 (g 2 ) = 0 g 2 d P = 2 P(A ) e 2 = 2e2 2 43

Obrázek 2: Grafy prvích čtyř čleů poslouposti {g (x)} = σ 2 (g ) 2 = = 2e 2 2 > e 2 2 2 2 Tato řada diverguje podle limitího Cauchyova odmociového kritéria: = lim e 2 2 = lim e 2 2 2 = e2 2 2 lim 2 = e2 2 > 44

Příklad 3.3. Graficky ukažme, že empirická distribučí fukce áhodého výběru z rozděleí a) chí-kvadrát, b) Poissoova, skutečě koverguje k teoretické distribučí fukci toho rozděleí. Z výpočtů v sekci 2.3. víme, že áhodá veličia Y vyjadřující počet aměřeých hodot vyskytujících se při realizaci áhodého výběru rozsahu alevo od bodu x má biomické rozděleí Bi(, F (x)). Dále víme, že ( ) Y E(F (x)) = E (x) = F (x), var(f (x)) = p( p) Rověž z pozámky za větou.28 víme, že áhodá veličia Y ( ) rozděleí N F (x),, tedy F (x)( F (x)) má asymptoticky F (x) F (x) F (x)( F (x)) N(0, ) Pro každé x R můžeme sestrojit iterval, v ěmž se bude hodota F (x) pohybovat s pravděpodobostí 95% (95% iterval spolehlivosti): P ( u 0,025 F (x) F (x) F (x)( F (x)) u0,975 ) = = P ( F (x) u 0,975 F (x)( F (x)) ) F (x)( F (x)) F (x) F (x) + u 0,975 Grafy pro Poissoovo a χ 2 rozděleí vytvoříme v programu Matlab (použitý zdrojový kód viz příloha). Červeou barvou je vyzačea teoretická distribučí fukce daého rozděleí, zeleou hraice výše uvedeého itervalu a modrou empirická distribučí fukce pro jedu vygeerovaou realizaci áhodého výběru z tohoto rozděleí. 45

Obrázek 3: Kovergece empirické distribučí fukce χ 2 7 Obrázek 4: Kovergece empirické distribučí fukce P o(5) Z obrázků je jasě patré, že iterval spolehlivosti se pro rostoucí zužuje, což lze ostatě jedoduše dokázat výpočtem: l(x) = F (x) + u 0,975 F (x)( F (x)) ( F (x) u 0,975 F (x)( F (x)) ) = 2 u 0,975 F (x)( F (x)) což pro rostoucí klesá Rověž je zřejmé, že limitu horí i dolí hraice itervalu tvoří teoretická distribučí fukce F (x): lim ( ) F (x)( F (x)) F (x) u 0,975 = F (x) u 0,975 F (x)( F (x)) lim = F (x) 46

Příklad 3.4. Pro Poissoovo, rovoměré a ormálí rozděleí, pro které platí a) E =, var. =, b) E = 6, var. = 6, graficky zázorěte kovergeci aritmetických průměrů áhodých výběrů o rostoucím rozsahu k teoretické středí hodotě E daého rozděleí. V programu Matlab asimulujeme prováděí áhodého pokusu z daého rozděleí, tím ám vzike posloupost čísel, kterou ozačíme {x j }. Hodotu arimetického průměru aměřeých hodot budeme vyšetřovat vždy po k (ve zdrojovém kódu uvedeém v přílohách se tato proměá azývá krok) měřeích a tyto průměry vyeseme do grafu s vyzačeou teoretickou středí hodotou daého rozděleí. Teto výpočet provedeme celkem -krát (v Matlabu azýváme pocet). Maximálí rozsah souboru tedy bude rove k. Jak je vidět z íže vyobrazeých grafů, pro rozděleí s rozptylem bylo obecě třeba mohem meší rozsah áhodého výběru, aby se jeho průměr ustálil v itervalu E 0, ; E +0,. Porováí všech tří zadaých typů rozděleí přiáší poměrě zajímavé zjištěí totiž že ejméě korektí vlastosti vykazuje ormálí rozděleí: aritmetický průměr se k teoretické středí hodotě blíží relativě ejpomaleji a má ejvětší výkyvy. Ovšem podle věty.29 platí X N(µ, σ2 ). Výběrový průměr má tedy ormálí rozděleí a lze použít pravidlo tří sigma (pozámka.2): hodoty áhodé veličiy X se budou s pravděpodobostí zhruba 0.997 pohybovat v itervalu I = E(X ) 3 var(x ), E(X ) + 3 var(x ) Teto iterval se pro zužuje až k jediému bodu E(X ) = µ. Když hraice tohoto itervalu vykreslíme do grafu (zeleou barvou), vidíme, že hodoty aritmetického průměru se v tomto itervalu vesměs pohybují. Pozámka 3.. Pravidlo tří sigma ám v tomto případě zaručuje, že pro každý rozsah k i, i =,.. je pravděpodobost, že křížek ozačující aritmetický průměr realizace áhodého výběru x k i bude uvitř itervalu I k i, rova 0.997, ikoli, 47

Obrázek 5: Kovergece aritmetických průměrů Poissoovo rozděleí Obrázek 6: Kovergece aritmetických průměrů rovoměré rozděleí Obrázek 7: Kovergece aritmetických průměrů ormálí rozděleí 48

že je to pravděpodobost počtu křížků vyskytujících se uvitř oblasti vyzačeé hraicemi I v rámci jedoho pozorováí (simulace). Pozámka 3.2. Obdobé itervaly I by se daly vykreslit i pro ostatí rozděleí, ovšem k jejich sestrojeí je třeba další teorie, která eí předmětem této práce. 49

Závěr V rámci této bakalářské práce jsem se zabývala zákoy velkých čísel. Na základě literatury jsem dokázala základí zěí slabého a silého zákoa velkých čísel, i ěkteré jejich obecější variaty, a a příkladě ukázala jejich rozdílost. Práce rověž obsahuje důkaz Glivekovy věty o stejoměré kovergeci empirické distribučí fukce k teoretické, jejíž platost je pak také demostrováa a příkladu. Dále jsem se zabývala vyšetřováím kovergece aritmetických průměrů áhodého výběru z určitého rozděleí ke středí hodotě tohoto rozděleí v závislosti a jeho typu - kokrétě jsem zkoumala ormálí, Poissoovo a rovoměré rozděleí. Z příkladu je patré, že ejpomalejší kovergeci v tomto smyslu jeví ormálí rozděleí, ale i u ěj se s rostoucím rozsahem áhodého výběru tato kovergece projevuje. 50

Referece [] Halmos, Paul R. Measure Theory. Spriger Verlag, New York Ic., 974 [2] Jarík, Vojtěch. Itegrálí počet II. Academia. Praha. 984 [3] Kuderová, Pavla. Úvod do teorie pravděpodobosti a matematické statistiky. 2. vydáí. Olomouc: VUP. 2004 [4] Réyi, Alfred. Teorie pravděpodobosti. Praha: Academia. 972 Sezam příloh Příloha A. Zdrojový kód k příkladu 3.3 52 Příloha B. Příklad zdrojového kódu k příkladu 3.4 54 5

Přílohy Příloha A. Zdrojové kódy pro tvorbu grafů ilustrujících kovergeci empirické distribučí fukce k teoretické (příklad 3.3) v programu Matlab : fuctio poissemp(, lambda) R = poissrd(lambda,[ ]); [f,rf]=ecdf(r); stairs(rf,f); x = 0:0.2:5; F = poisscdf(x,lambda); hold o; stairs(x,f, r ) if=f-.96*sqrt(f.*(-f)/); sup=f+.96*sqrt(f.*(-f)/); stairs(x,if, g-. ) stairs(x,sup, g-. ) hold off; fuctio chi2emp(, st) R = chi2rd(st,[ ]); [f,rf]=ecdf(r); stairs(rf,f); x = 0:0.2:5; F = chi2cdf(x,st); hold o; plot(x,f, r ) if=f-.96*sqrt(f.*(-f)/); sup=f+.96*sqrt(f.*(-f)/); plot(x,if, g-. ) plot(x,sup, g-. ) 52

hold off; Příklad voláí: poissemp(0, 5) title( Po(5), = 0, fotsize, 4) 53

Příloha B. Příklad zdrojového kódu fukcí pro tvorbu grafů kovergece aritmetických průměrů áhodého výběru k teoretické středí hodotě (příklad 3.4). Normálí rozděleí (ostatí obdobě): fuctio ormali(e, var, pocet, krok) max=pocet*krok; x=0:0.:max; plot(x,e, Color, Red ); axis([0,max+,e-.3,e+.3]) set(gca, YTick, [E-:0.5:E+]) set(gca, YTickLabel, [E-:0.5:E+], fotsize, 4) hold o plot(x, E-0., Color, Yellow ); plot(x, E+0., Color, Yellow ); prumer=zeros(,pocet); vyber=ormrd(e,var,[pocet krok]); for i=:pocet suma(i)=sum([vyber(i,:)]); prumer(i)=sum(suma)/(i*krok); xove(i)=i*krok; yove(i)=3*sqrt(var/(i*krok)); ed plot(xove,prumer, b+ ); plot(xove,e+yove, Color, gree ); plot(xove,e-yove, Color, gree ); 54