Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava Fakulta stavebí katedra kostrukcí Ig. Karel Kubečka Využití statistických metod při statickém avrhováí a posuzováí železobetoových kostrukcí. Straa č.
Obsah :. Úvod... 3.. Náhodá proměost vlastostí materiálu a zatížeí... 3.. Statistika a metoda mezích stavů... 4.3. Statistické vyšetřováí... 5.4. Postup z idividuálích hodot... 6.5. Postup ze skupiového rozděleí četostí... 7.6. Teoretický matematicko statistický model... 8. Teorie výpočtu betoových kostrukcí..... Návrh betoové kostrukce a jeho teoretické základy..... Mezí stavy stavebích kostrukcí....3. Stadia působeí a ávrhové situace... 3.4. Náhodá promělivost zatížeí... 4.5. Náhodá promělivost odporu kostrukce... 7.6. Metody avrhováí betoových kostrukcí a jejich vývoj... 8.6.. Determiistické metody avrhováí... 8.6.. Pravděpodobostí metody avrhováí... 9.6.3. Ekoometrické metody avrhováí... 3. Statistické metody hodoceí betou (ČSN 73 404)... 3.. Hodoceí izolovaého souboru... 3 3... Velmi malý výběr... 3 3... Testováí odlehlých hodot... 3 3... Posouzeí ormality rozděleí jedotlivých souborů... 6 3...3. Testováí odlehlých hodot... 6 3... Velký výběr... 35 3... Hodoceí aměřeých hodot jako velkého souboru... 39 4. Statistická iterpretace výsledků hodoceí podle ČSN ISO 60... 4 5. Praktické určeí pevosti a základě vyhodoceí velmi malého výběru... 45 5.. Hodoceí izolovaého souboru postup dle ČSN 73 404... 45 5... Testováí odlehlých hodot:... 45 5... Odhad souborového podílu hodot se sížeou jakostí... 46 5.. Hodoceí izolovaého souboru postup dle ČSN ISO 60... 47 6. Literatura... 5 7. Normy... 5 Straa č.
. Úvod Na každé stavbě můžeme zjistit, že vlastosti použitých materiálů a rozměry provedeých kostrukci se liší od předpokládaých údajů v projektu a to místo od místa, takže podrobímeli ěkterou sledovaou vlastost zkouškám, ať již přímo a stavbě ebo v laboratoři, obdržíme výsledky vykazující jisté rozptýleí okolo svého průměru. Obdobě jako vlastosti materiálu a rozměry kostrukce měí se i zatížeí. Stálé zatížeí, vyvozeé vlastí tíhou kostrukcí, měí svou velikost v růzých místech ásledkem ahodilých změ objemové hmotosti a rozměrů. Nahodilé zatížeí, jehož účikům je osá kostrukce v provozu vystavea, měí svou velikost v závislosti a čase. Rozdílé výsledky těchto áhodě proměých veliči spočívají buď v povaze materiálů a zatížeí ebo v emožosti dokoalého provedeí stavby a jejich chováí lze postihout pouze rozborem většího počtu zkoušek, prováděým metodami matematické statistiky... Náhodá proměost vlastostí materiálu a zatížeí. Uveďme pro ilustraci co do počtu zkoušek silě zjedodušeý příklad. Náhodě proměou veličiou bude krychelá pevost betou zjištěá a dvou stavbách A a B. Zkoušky daly tyto výsledky : a stavbě A : 5, 0, 5 MPa a stavbě B : 8, 0, MPa Průměrá pevost je tedy R = 0 MPa u obou staveb stejá, je však zřejmé, že a stavbě B je výroba betou kvalitější, výsledky zde mají meší rozptyl. Z uvedeého vyplývá, že průměr eí jediým a rozhodujícím ukazatelem a pro celkové posouzeí chováí áhodě proměé veličiy je uto uvážit ještě další charakteristiky statistického souboru. Objasěme si v dalším důležité pojmy z oboru statistiky : Statistický soubor je defiová jako souhr všech aměřeých hodot vyšetřovaého zaku. Zak Zakem rozumíme měřeou ebo zkouškami zjišťovaou veličiu jako apříklad pevost betou, objemovou hmotost betou, mez kluzu ebo pevost oceli, velikost zatížeí atp. Rozsah souboru tvoří počet všech aměřeých hodot souboru. Co do velikosti rozsahu souboru rozezáváme : základí soubor, který elze obvykle zkouškami celý postihout; áhodý výběr, který tvoří pouze jistý počet vzorků vybraých ze základího souboru. Tak apříklad z celkového počtu paelů a skládce tvořícího základí soubor provádíme kotrolu jakosti pouze a meším počtu áhodě vybraých prvků. Při zjišťováí Straa č. 3
krychelé pevosti betou a stavbě odebíráme pouze část betoové směsi pro zhotoveí jistého počtu zkušebích krychlí. Podle velikosti rozsahu áhodého výběru při posuzováí jakosti betou dělíme výběr a : velký áhodý výběr > 00 malý áhodý výběr 7 < < 00 velmi malý áhodý výběr (3 6), Při meším rozsahu souboru ( < 3) již elze provádět statistické hodoceí. U áhodých výběrů je uto postupovat při výběru tak, aby každý vzorek měl stejou šaci být vybrá. Kvatitativí zak. Povaha tohoto zaku je taková, že jeho hodoty jsou udáy čísly, což bude u.převážé většiy případů. Jsouli důležité ejižší hodoty zaku, půjde o tzv. zak prvího druhu (apř.pevost, mez kluzu, ale i objemová hmotost). Naopak, zajímajíli ás ejvyšší hodoty, jde o zak druhého druhu (zatížeí ahodilé, objemová hmotost). Některý zak se může současě vyskytovat v obou druzích. Kvalitativí zak U kvalitativího zaku jde v podstatě o zodpovězeí otázky, zda zkoumaé vzorky z jistého hlediska vyhovují, či e. I zde se pro hodoceí převážě užívá áhodých výběrů. V prai se apř. staovuje tzv. podíl zmetkovitosti, tj. podíl evyhovujících výrobků k celkovému počtu kotrolovaých. Charakteristiky souboru Charakteristikami souboru (u kvatitativího zaku) budeme rozumět důležité číselé údaje, podle ichž můžeme hodotit chováí áhodě proměé veličiy. Jsou to průměr, rozptyl, směrodatá odchylka, variačí součiitel a šikmost. Hodoty těchto charakteristik budeme zjišťovat z umerického souboru eperimetálích výsledků (zpravidla vždy půjde o áhodý výběr) podle vztahů uvedeých dále. Parametry základího souboru Parametry základího souboru jsou opět průměr, rozptyl atd., avšak jejich hodoty jsou zpravidla ezámé. Zvětšujemeli však počet zkoušek u áhodého výběru, blíží se hodoty vypočteých charakteristik hodotám ezámých parametrů základího souboru. Při větším počtu zkoušek se zpravidla předpokládá.jejich rovost, při meším jejich počtu se provádí patřičé korekce... Statistika a metoda mezích stavů Matematická statistika je jedím ze základů teorie mezích stavů, eboť jediě s její pomocí je možo zajistit z teoretického hlediska bezpečou úosost kostrukce. Je možo vysvětlit teto stěžejí problém a jedoduchém příkladu. Byl avrže železobetoový prostý osík z jistého druhu betou a oceli. Výpočtem byly staovey jeho rozměry b, h a potřebé možství tahové výztuže v ebezpečém řezu I I uprostřed rozpětí (viz ásledující obrázek). Při správém ávrhu a výrobě se dá Straa č. 4
předpokládat, že vyrobíli se celá řada takových osíků, přeesou tyto bezpečě uvažovaé zatížeí. Nejdůležitější otázkou bezpečého ávrhu však bude, s jakými hodotami materiálových kostat a s jakou velikostí zatížeí budeme ve výpočtu počítat. V ebezpečém průřezu jsou totiž vlastosti použitých materiálů, rozměry průřezu i velikost zatížeí veličiy áhodě proměé a bude správé v ávrhu předpokládat, že právě v jedom z osíků se v jeho ebezpečém průřezu vytvoří ty ejepřízivější okolosti, totiž, že pevosti betou a oceli i rozměry průřezu zde budou právě ejmeší, působící zatížei však aopak ejvětší. Bude tedy schopost odporu ebezpečého průřezu, kterou budeme vyjadřovat mezím mometem úososti M u, záviset a statisticky miimálích hodotách vlastostí materiálu (zaky l.druhu). Naopak momet od zatížei M r bude urče ze statisticky maimálích hodot zatížeí (zaky.druhu). Hodoty těchto statistických etrémů lze staovit vyšetřeím statistických souborů uvedeých proměých veliči, přičemž je uto předem zvolit začě vysokou spolehlivost jejich určeí, jiými slovy : pravděpodobost p výskytu ižších (u zaku l.druhu) ebo vyšších (u zaku.druhu) hodot ež uvedeé etrémy musíme staovit mizivě ízkou (v miulosti v zemích RVHP to bylo apř. p=05, v západoevropských zemích p=0). Běžě se hodoty statistických etrémů azývají výpočtové hodoty. Pro materiály jako beto a ocel to budou výpočtová amáháí betou a oceli (R b, R a ), pro zatížeí pak výpočtová zatížeí. Jejich teoretické odvozei je uvedeo v ásledující stati. Z uvedeého vyplývá, že požadavek bezpečé úososti lze formulovat erovostí (v krajím případě rovostí) M u > M r kde veličia M u je fukcí výpočtových amáháí betou a oceli, veličia Mr pak fukcí výpočtového zatížeí. Ve skutečosti je však pravděpodobost, že astae případ M u = M r ještě podstatě meší, eboť jde o tzv. pravděpodobost složeou. Kromě zmíěé teoretické úlohy se uplatňuje statistika při kotrole a staoveí jakosti betou vyráběého a stavbách. Při hodoceí se zde kromě hlediska bezpečosti uplatňují i další, jako hledisko ekoomické ebo hledisko stupě orgaizovaosti výroby betou. Zpravidla se zodpovídá otázka, zda vyrobeý beto odpovídá projektovaé třídě ebo se porovává kvalita výroby betou a dvou i více stavbách, ebo v rámci jedoho i více výrobích podiků. Ze skutečostí uvedeých v předchozím odstavci vyplývá, že kromě statisticky se u metody mezích stavů uplatňuje částečě i počet pravděpodobosti. Proto se tato metoda také řadí mezi t.zv. metody semiprobabilistické (z frac. probabilité pravděpodobost)..3. Statistické vyšetřováí V ásledujícím budeme statisticky vyšetřovat kvatitativí zak, který ozačíme obecě X. Z eperimetů dostaeme řadu umerických výsledků, které tvoří áhodý výběr. Straa č. 5
Rozsah tohoto umerického souboru je. Jedotlivé hodoty souboru jsou ozačey i (pro i =,,..., ). Další vyšetřováí se může provádět buď přímo z těchto idividuálích hodot ebo z t. zv. skupiového rozděleí četostí..4. Postup z idividuálích hodot Při meším rozsahu áhodého výběru ( < 00) je ještě možo vycházet při ručím zpracováí výsledků z idividuálích hodot. Základí charakteristiky souboru jsou : průměr rozptyl s směrodatá odchylka s variačí součiítel v šikmost a Výrazy pro jejich výpočet : průměr je středí hodotou souboru a udává jeho polohu rozptyl s je dá průměrem kvadrátů odchylek hodot i od průměru. Udává jejich rozptýleí okolo průměru. Při umerickém výpočtu je možo často výhoději použít upraveého vztahu pro rozptyl směrodatá odchylka s je mírou rozptýleí a vypočte se jako kladě vzatá druhá odmocia rozptylu = s s i = ( i = s = + s i ) variačí součiitel v je relativí mírou rozptýleí a určí se jako podíl směrodaté odchylky a průměru s v = = s ( i ) šikmost a udává esouměrost souboru vůči jeho průměru a = s 3 ( i ) 3 Při umerickém výpočtu je možo často výhoději použít upraveého vztahu a 3 3 i 3 i + 3 s = 3 Straa č. 6
.5. Postup ze skupiového rozděleí četostí Při větším rozsahu souboru ( > 00) je výpočet jeho charakteristik z idividuálích hodot pracý. Pokud zpracováváme výsledky ručě, je lépe uspořádat hodoty souboru do k tříd eboli itervalů stejé velikosti (délky) h. Počet tříd k se volí v počtu 7 < k < 0, ejlépe však k = 8 až. Rozpětí souboru je rozdíl mezi maimálí a miimálí hodotou souboru r = ma mi Doporučuje se, aby délka itervalu byla volea h = 8 r a uto ji zaokrouhlit a celé číslo. Střed ité třídy je t. zv. hodota třídího zaku z i ; ( i =,,..., k ). Třídí zak pak zastupuje všechy hodoty zaku v ité třídě. Počet hodot zaku v určité třídě se azývá četost třídy i. Tím dostaeme ový, pro zpracováí podstatě meší soubor s umerickými hodotami z i, jejichž počet je k. Při výpočtu charakteristik je uto respektovat četosti jedotlivých tříd. Vycházíli se ze skupiového rozděleí četostí, pak další výrazy pro charakteristiky umerického souboru jsou : Průměr = k i z i Rozptyl rozptyl (alterativě) s s = = k k i z ( z ) i i i Pro směrodatou odchylku s a variačí součiitel v zůstávají beze změy v platosti vztahy uvedeé výše. s = + s s v = Šikmost a = s k 3 i ( zi ) 3 šikmost (alterativě) a k k 3 i zi 3 i zi + 3 s = 3 Rozděleím hodot souboru do tříd a jejich ahrazeím třídími zaky se dopouštíme jisté chyby, která je však malá a výpočty prakticky eovlivňuje. Početí zpracováí výrazů pro průměr, rozptyl a šikmost se provádí ejlépe tabelárě a při případém ručím způsobu zpracováí lze dosáhout dalšího zjedodušeí zavedeím vhodě zvoleé ové proměé. Straa č. 7
Často používaým grafickým zázorěím skupiového rozděleí četostí je t. zv. histogram četostí. Je to sloupcový diagram (viz obr.), jehož sloupce mají stejou délku h a výšku i. Zpravidla se do histogramu vyzačí také průměr, směrodatá odchylka s a šikmost a..6. Teoretický matematicko statistický model Doposud jsme dovedli staovit charakteristiky souboru, který byl áhodým výběrem a výsledky jsme zázorili histogramem četosti.mámeli však zjistit chováí zaku ezámého základího souboru, budeme k tomu potřebovat teoretický matematickostatistický model vyjádřeý spojitou áhodě proměou veličiou,defiovaou ěkterou z těchto dvou fukcí : hustotou pravděpodobosti f() distribučí fukcí F() Souvislost mezi umerickým souborem a jeho teoretickým modelem si můžeme představit pomoct souboru velkého rozsahu, který je uspořádá do k tříd s četostmi i. Relativí četost je pak poměr f i = i který současě udává t.zv. eperimetálí pravděpodobost výskytu hodoty v i té třídě. Pro součet všech relativích četostí platí k k i fi = = Pravděpodobost (eperimetálí) výskytu hodoty v celém souboru je tedy rova,0. Tvar histogramu relativích četostí je podobý tím více grafickému vyjádřeí fukce hustoty pravděpodobosti f(), čím větší bude rozsah umerického souboru a počet tříd k. Fukce hustoty pravděpodobosti je tedy teoretickým modelem relativích četostí zaku. Straa č. 8
Určeme dále tzv. kumulativí relativí četost F i daou výrazem : F i = f + f + K + f i = i j = f j V grafickém vyjádřeí tvoří kumulativí relativí četost jistou část plochy histogramu (a předcházejícím obrázku se jedá o vyšrafovaou část), jíž odpovídá teoretická plocha pod křivkou f() (a předcházejícím obrázku je obrys této plochy silě vytaže), která určuje distribučí fukci F(). Distribučí fukce je tedy teoretickým modelem kumulativích relativích četostí F(i). Uvedeé fukce vystihující modelovou křivku se vztahují k teoretickému základímu souboru, jehož charakteristiky azýváme parametry. Jsou to : Průměr µ směrodatá odchylka σ šikmost α Přesé hodoty těchto parametrů ezáme, můžeme je však při dostatečém počtu zkoušek odhadovat pomocí vypočteých charakteristik umerického souboru tak, že předpokládáme jejich vzájemou rovost. S ohledem a vztah k k i fi = = bude dále platit, že obsah plochy vymezeé modelovou křivkou a vodorovou osou, bude rove jedé. Současě to zameá, že pravděpodobost p výskytu hodoty v itervalu až + je rova jedé. Zaveďme ještě ěkteré důležité pojmy : Kvatil p je hodota áhodé proměé, pro kterou je pravděpodobost výskytu meších, resp.větších hodot souboru rova číslu p. U zaku l. druhu je hodota pravděpodobosti p dáa velikostí vyšrafovaé poohy v ásledujícím obrázku s ideem a) u zaku. druhu v obrázku b). Pravděpodobost q, se kterou se vyskytou hodoty zaku X aopak větší, resp. meší ež p se azývá spolehlivost. Platí vždy p + q = Straa č. 9
Pro velmi malé pravděpodobosti (p = 5 až 0) se kvatil p azývá kritická hodota, která je pro zvoleou pravděpodobost statistickým miimem zaku. druhu. Podobě bychom mohli defiovat statistické maimum kvatilem p (zde je p > µ p ). Nejčastěji užívaým teoretickým modelem je Gaussovo ormálí rozděleí. Teto model je vhodý pro symetrická rozděleí hodot zaku. Obsahuje dva parametry: průměr µ směrodatou odchylku σ Fukce hustoty pravděpodobosti f() tvoří v grafickém zázorěí zvoovitou symetrickou křivku, jejíž osa symetrie prochází průměrem. Šikmost α je tedy rova ule. Aalytický výraz pro Gaussovo ormálí rozdělei má tvar : f ( ) = σ ( µ ) σ e π kde e je základ přirozeých logaritmů. Gaussova rozděleí lze použít pro vyhodocováí zkoušek pevosti betou i v případě esouměrého rozděleí výsledku (a > < 0) pokud vykazují malý variačí součiitel (v R < 0,). U esymetricky rozděleých hodot souboru (a > < 0) je vhodé volit obecější rozděleí hustoty pravděpodobosti. Zde se ejčastěji používá Pearsoovy křivky typu III. Parametry této fukce obsahují kromě průměru µ. a směrodaté odchylky σ ještě avíc šikmost α, jejíž hodota se uvažuje v mezích až +. Grafickým zázorěím hustoty pravděpodobosti je esouměrá zvoovitá křivka s šikmostí α > < 0. Nesouměrost se zvětšuje s rostoucí absolutí hodotou α.. Pro α = 0 přechází Pearsoova křivka typu III v Gaussovo ormálí rozděleí. Aalytický výraz pro Pearsoovu křivku typu III je dosti složitý a zpravidla jsou hodoty fukce tabelováy v podobě tzv. ormovaého rozděleí. Pro praktické použití je výhodé zavedeí tzv. ormovaé proměé t, která má ulový průměr a směrodatou odchylku rovou jedé. Nemá tedy žádý parametr a její rozděleí se jedoduše tabeluje. Nová proměá t vzike trasformací µ t = σ Dosazeím do výrazu f ( ) = σ ( µ ) σ e π Straa č. 0
obdržíme symetrické rozděleí ormovaé proměé : f ( t) = t e π Distribučí fukci pak dostaeme itegrací předchozího vztahu. f ( t) = t t π e dt. Teorie výpočtu betoových kostrukcí Nosé kostrukce stavebích objektů je třeba avrhovat, popř. posuzovat takovým způsobem, aby byly spolehlivé během realizace a obvyklého užíváí objektů. Úkolem teorie betoových kostrukcí je proto jedak staoveí postupů, jakými lze určovat silové a přetváré účiky zatížeí s uvážeím všech důležitých vlastostí betoové kostrukce a dále určeí vztahu mezi účiky zatížeí a odporem betoové kostrukce proti jejímu porušeí... Návrh betoové kostrukce a jeho teoretické základy Potřebou spolehlivost betoové a vlastě jakékoli stavebí kostrukce však elze zabezpečit pouze pečlivým ávrhem kostrukce v duchu uvedeých zásad. Při ávrhu je třeba předpokládat, že: kostrukci realizují osoby s potřebou odborostí a zkušeostmi, je zajištěa ezbytá kotrola ve výrobách a a stavbě, použité stavebí materiály mají vlastosti podle příslušých předpisů, kostrukce se bude užívat v souladu s předpoklady uvažovaými při ávrhu kostrukce, kostrukce bude áležitě udržováa. Uvedeé důležité výchozí předpoklady společě s požadavky a kvalifikačí předpoklady projektata statika podmiňují eje spolehlivé avrhovái betoových kostrukcí podle ČSN 73 0, ale jsou výslově uvedey též v ovější ormě Evropské orgaizace pro stadardizaci (CEN) pro avrhováí betoových kostrukcí Eurokód. Část Eurokódu již byla v překladu vydáa v České republice jako ČSN P ENV 99 Navrhováí betoových kostrukcí. Oba ormativí dokumety jsou založey a moderí metodě avrhováí podle mezích stavů. Straa č.
.. Mezí stavy stavebích kostrukcí V průběhu zatěžováí prochází kostrukce spojitě stavy apjatosti a přetvořeí, které můžeme matematicky popsat tzv. stavovou charakteristikou kostrukce, zázorěou pro zvoleý případ a obrázku. Ze spojitých stavů lze vybrat takové, které jsou pro chováí zatěžovaé kostrukce typické a které dokážeme popsat ejlépe. Na obr. je to apříklad stav vziku trhli při zatížeí F r, stav výzačého průhybu, charakterizovaý zatížeím F def, stav kolapsu při zatížeí F col apod. Protože tyto stavy začí určité meze a stavové charakteristice, azýváme je mezími stavy. Během předpokládaé doby životosti má kostrukce splňovat tyto dva základí požadavky: údržba, opravy, rekostrukce, evakuace, kolaps; I mezí stavy úososti, II mezí stavy použitelosti Obr. Stavová charakteristika daé kostrukce esmí se zřítit ebo jiak porušit, což začí, že musí zůstat úosá, esmí přestat (ai dočasě) plit fukce, pro které byla avržea, tj. musí zůstat použitelá. Obecě je třeba uplatit při ávrhu kostrukce oba požadavky, které ejsou avzájem zaměitelé. Přitom odpovídají požadavkům a úosost mezí stavy úososti a požadavkům a použitelost mezí stavy použitelosti. ČSN 73 0 používá pro mezí stavy úososti též ozačeí mezí stavy prví skupiy a pro mezí stavy použitelosti ozačeí mezí stavy druhé skupiy. Základí rozdíl mezi oběma skupiami mezích stavů lze vidět v povaze ásledků, které přiáší jejich překročeí. Při překročeí mezího stavu prví skupiy dojde k úplé a evraté ztrátě způsobilosti kostrukce, zatímco překročeí mezích stavů druhé skupiy ztěžuje obvyklé užíváí objektu, popřípadě zkracuje dobu životosti objektu. Proto se spolehlivost proti dosažeí mezích stavů úososti předepisuje podstatě vyšší ež proti dosažeí mezích stavů použitelosti. Mezím stavem lze tedy obecě ozačit stav, kdy stavebí kostrukce, základ ebo základová půda (jako edílá součást osého systému základová půda základ adzákladová kostrukce) přestae vyhovovat předepsaým provozím požadavkům ebo požadavkům a její prováděí. Jakým způsobem vyjadřujeme matematicky podmíky spolehlivosti jako vztah mezi silovým účikem zatížeí S d (setkáme se i s pojmem odezvy kostrukce a účiky zatížeí) a mezi přípustou hodotou odporu kostrukce R lim staoveou s přihlédutím k rozměrům prvku, použitému materiálu a způsobu vyztužeí. Podmíka spolehlivosti pro prví skupiu mezích stavů má tvar: S d R lim Straa č.
a podmíka spolehlivosti pro druhou skupiu mezích stavů, tj. matematický vztah mezi přetvárým účikem zatížeí ω s a jeho přípustou hodotou ω lim : ω s ω lim.3. Stadia působeí a ávrhové situace Při ověřováí spolehlivosti prvků, částí ebo celých kostrukcí je třeba uvážit všecha stadia působeí, která se mohou avzájem lišit: uspořádáím a vlastostmi osého systému (změy podepřeí, rozpětí, vzpěré délky při dopravě, maipulaci, osazováí ebo v provozím stadiu), zatížeím, kdy se měí druh, sestavy i kombiace zatížeí (uvažuje se podle požadavků ČSN 73 0035) stářím kostrukce, kdy se mohou měit apř. vlastosti materiálu, délkou trváí jedotlivých stadií působeí. Například mostí kostrukce z dílců z dodatečě předpjatého betou prochází postupě stadiem výroby a dopravy epředpjatých dílců, jejich předpíáím ve výrobě ebo a staveišti, stadiem osazováí, popř. dalšího předpíáí, zatěžovacími zkouškami, provozím stadiem, stadii oprav ebo dopíáí a koečě stadiem demotáže a demolice. U betoových kostrukcí pozemího stavitelství avrhovaých podle ČSN 73 0 z praktických důvodů rozlišujeme obvykle je dvě stadia: výrobí stadium, které trvá pouze zlomek doby životosti díla a zahruje výrobu, motáž, zatěžovací zkoušky, opravy, popř. demotáž, provozí stadium, které trvá převážou část doby životosti. Se stadii působeí úzce souvisí ávrhové situace, které je třeba rozlišovat při výpočtu kostrukcí podle mezích stavů. Návrhová situace může být: trvalá, která odpovídá obvyklému užíváí objektu v provozím stadiu, trvá po převážou část doby životosti a pravděpodobost jejího výskytu je rova jedé (astae s určitostí); dočasá, odpovídající výrobímu stadiu (výroba, přeprava, motáž, oprava aj.), trvá krátkou dobu, ale pravděpodobost jejího výskytu je rova také jedé (výskyt s určitostí); ehodová s velmi malou pravděpodobostí výskytu i s krátkou dobou trváí, která však může být výzamá z hlediska možých ásledků (apř. výbuch, áraz, požár, havárie, pád břemee, selháí ěkteré části kostrukce). Návrhové situace se charakterizují jedak výpočetím modelem, dále výčtem mezích stavů, podle kterých se musí kostrukce dimezovat a hodotami parametrů dimezováí (viz dále odd..4). Návrhové situace, pro které je třeba kostrukce dimezovat, předepisují ormy pro avrhováí (v ašem případě ČSN 73 0). Je samozřejmé, že z hlediska spolehlivosti klademe ižší požadavky a ávrhové situace, které se vyskytou krátkodobě ebo které se emusí během doby životosti kostrukce vyskytout vůbec. Straa č. 3
.4. Náhodá promělivost zatížeí Spolehlivost avrhovaé kostrukce je ovlivěa řadou čiitelů, většiou ezávislých a projektatovi. Jde o áhodé a eáhodé čiitele. Náhodý charakter má apř. kolísáí fyzikálě mechaických vlastostí materiálu, rozměrů průřezu, ahodilé zatížeí ve skladu apod. Neáhodý charakter mají aopak chyby při ávrhu a výrobě kostrukcí, přetížeí kostrukce způsobeé edbalostí apod. Ke vlivu hrubých chyb se při avrhováí epřihlíží. Vliv eáhodých systematických odchylek a chyb, zapříčiěých edostatkem iformací, edokoalostmi teoretických ástrojů, kotroly při realizaci aj. dovedeme většiou předvídat a v metodě avrhováí podle mezích stavů vyjádřit ve formě růzých korekčích součiitelů, které ajdeme v ormách pro avrhováí. Patří sem i stupeň společeského a ekoomického výzamu objektu, který se podle ČSN 73 003 vystihuje součiitelem účelu γ, uvedeým v tab.. Tab. Třídy výzamu objektu a součiitel účelu γ Třída objektu výzamu Výzam objektu Součiitel účelu γ U Objekty s mimořádým ekoomickým aebo společeským výzamem >,00 I Objekty s velkým ekoomickým aebo společeským výzamem,00 II Objekty se středím ekoomickým aebo společeským výzamem 0,95 III Objekty s omezeým ekoomickým aebo společeským výzamem 0,90 Podle ČSN 73 003 patří do třídy U podle tab. výzamé objekty dopravích a vodohospodářských celků (mimořádě výzamé mosty, přehradí hráze a objekty). Do třídy I řadíme ižeýrské stavby pro dopravu a vodohospodářské objekty, které jsme ezařadili ve třídě U, těží věže a strojovy těžích strojů, budovy hlavích vetilátorů plyujících dolů, budovy divadel, ki, emocic, škol a předškolích zařízeí, obchodích domů, rozhledy, ádraží haly, čekáry, tribuy a kryté sportoví objekty, muzea a státí archivy, hlaví objekty elektráre a distribučí soustavy velmi vysokého apětí, vysoké pece, komíy a atéí stožáry, věžové zásobíky, zásobíky a ádrže a ropu a ropé produkty ebo chemikálie a objekty ozbrojeých složek zvláští důležitosti. Ve třídě II budou objekty obyté a občaské výstavby, objekty pro průmyslovou, rostliou a živočišou výrobu a spoje (ezařazeé do tříd I ebo III), objekty ústředích skladů pro zásobováí obyvatelstva, třídíre a balíre, skladů ceých techických zařízeí a přístrojů, výzbroje a výstroje ozbrojeých složek, dočasé ebo přeosé sportoví objekty a objekty místích komuikací III. a IV.tř. a účelových komuikací, vleček a drah zvláštího určeí (kromě laových drah). Koečě do třídy III podle tab. zatřídíme objekty skladů ezařazeých ve třídě II a skladů zemědělských výrobků a hojiv (epatříli do třídy I), zásobíky (kromě věžových), skleíky, pařeiště, stožáry sítě vysokého a ízkého apětí, osvětlovací stožáry apod. Straa č. 4
Součiitel účelu podle tab. se použije při výpočtu etrémích výpočtových hodot zatížeí (viz dále) tak, že se jím ásobí hodoty součiitele zatížeí γ f > ebo dělí hodoty součiitele zatížeí γ f <. Při výpočtu kostrukcí podle.skupiy mezích stavů a při výpočtu podle mezího stavu porušeí úavou (viz dále) má součiitel účelu hodotu γ =. U dočasých objektů s předpokládaou dobou životosti pět let a kratší se použije hodota γ = 0,8. Spolehlivost kostrukce je však ovlivňováa i áhodými čiiteli, které vyžadují odlišý přístup. Zatížeí je vliv, způsobující změy apjatosti, přetvořeí, tvaru ebo i polohy kostrukce. Zatížeím jsou jak vější síly (tíha kostrukce, sěhu, skladovaý materiál), tak fyzikálí vlivy (účiek teploty, dotvarováí a smršťováí betou). Zatížeí lze dále třídit a přírodí (gravitace, hmota, tlak vzduchu ebo vody, klimatické teploty aj.) a techologická (statické ebo dyamické účiky techologických procesů, dopravy apod.) Pro popis zatížeí musíme zát jeho itezitu, trváí a opakováí (tz. jeho průběh v čase). Tyto vlastosti mají áhodé chováí. Ze statistického hlediska jsou ejjedodušší zatížeí stálá, která působí a kostrukci trvale. Sem patří apř. vlastí tíha kostrukce, zatížeí úpravami podlah, stálý zemí tlak, výplňové zdivo, obvodový a střeší plášť aj. Jejich statistické rozděleí má ejčastěji tvar podle obr.a. V závislosti a čase se buď eměí vůbec ebo jeom málo (viz obr. 3a). Zatížeí ahodilá jsou dlouhodobá, krátkodobá ebo mimořádá. K dlouhodobým ahodilým zatížeím řadíme trvale osazeá techologická zařízeí, dále tlak plyů, kapali ebo sypkých hmot v ádržích a zásobících, dlouhodobé teplotí účiky, účiky erovoměrého přetvořeí základové půdy a plyulých přetvořeí teréu a poddolovaém území, účiky smršťováí a dotvarováí betou ebo zdiva, dyamická zatížeí periodického charakteru aj. Mezi Obr. Příklady statistického rozděleí zatížeí F krátkodobá ahodilá zatížeí počítáme užitá zatížeí stropů a střech, zatížeí sěhem, větrem, ámrazou, krátkodobé klimatické teplotí změy, zatížeí jeřáby, zatížeí vzikající při přepravě a výstavbě kostrukce, eperiodická dyamická zatížeí aj. Obr.3 Časový průběh stálého a ahodilého zatížeí K mimořádým zatížeím patří seismická zatížeí, účiky výbuchů a tlakových vl, zatížeí při poruchách a haváriích, zatížeí požárem, od mimořádých přetvořeí základové půdy Straa č. 5
(apř. prosedutí spraše), espojitých přetvořeí poddolovaého území aj. Případy statistického rozděleí těchto zatížeí ukazuje obr.. Rozděleí podle obr. c by patřilo zatížeí s vyrovaou pravděpodobostí výskytu všech hodot. Podle obr.d by se vyskytovalo zatížeí stěy ádrže s áhodou, ale shora omezeou výškou hladiy. Časový průběh zatížeí podle obr.3b odpovídá apř. průběžě měřeému zatížeí větrem ebo sěhem. Základími parametry zatížeí jsou jeho ormové hodoty F, které se staoví takto: pro zatížeí od vlastí tíhy kostrukcí a základě projektovaých rozměrů a průměré objemové hmotosti; pro klimatická zatížeí a základě ejvětších hodot zjištěých v pozorovacím období při daé středí době ávratu jejich překročeí, pro statická užitá zatížeí a základě očekávaých ejvětších hodot při předpokládaých podmíkách užíváí, pro dyamická užitá zatížeí a základě parametrů dyamických zatížeí ebo hmot a geometrických rozměrů pohybujících se mechaizmů v souladu s jejich kiematickým schématem a pracovím režimem, pro zatížeí od vyuceých přetvořeí, seismická ebo havarijí zatížeí a základě rozborů ejepřízivějších projevů daého jevu. Možé epřízivé odchylky zatížeí (kladé i záporé) od jeho ormových hodot způsobeé promělivostí zatížeí, popřípadě áhodým edodržeím podmíek obvyklého užíváí objektu se vyjadřují v metodě podle mezích stavů pomocí součiitelů spolehlivosti zatížeí γ f (kratčeji též součiitelů zatížeí). Vyásobeím ormových hodot zatížeí součiiteli zatížeí obdržíme výpočtové hodoty zatížeí, které mohou být: etrémí, vystihující ejepřízivější možé přetížeí ebo odlehčeí kostrukce; součiitele γ f abývají hodot γ fu > při epřízivém působeí zatížeí ebo γ fu < při přízivém působeí zatížeí a použijí se při výpočtech podle mezích stavů prvé skupiy. provozí, odpovídající běžému, trvalému ebo opakovaému zatížeí a součiitele γ f se zavádějí ejčastěji hodotou γ fs = při výpočtech podle mezích stavů druhé skupiy ebo při vyšetřováí mezích stavů porušeí úavou. Zatížeí se zavádějí do výpočtu v takových hodotách a uspořádáích, která vyvolají ve vyšetřovaé kostrukci ebo její části ejepřízivější možý účiek. Zmešeí pravděpodobosti současého překročeí výpočtových hodot u ěkolika zatížeí se vyjádří součiitelem kombiace zatížeí ψ c. Normové hodoty zatížeí, součiitele zatížeí i součiitele kombiace zatížeí uvádí pro většiu případů ČSN 73 0035. Straa č. 6
.5. Náhodá promělivost odporu kostrukce Na pravé straě podmíky spolehlivosti (S d R lim ) musíme vyjádřit odpor kostrukce proti dosažeí meze porušeí, která závisí a mechaických vlastostech materiálu osých kostrukcí, jejích geometrických rozměrech a ěkdy též a umělých stavech apjatosti, záměrě veseých do kostrukce (apř. předpětí). Mechaické vlastosti stavebích materiálů jsou áhodě proměé veličiy, které lze popsat vhodými frekvečími fukcemi statistického rozděleí, jak ukazuje apř. obr.4. Statistická rozděleí vlastostí materiálu jsou všecha přibližě stejého typu, mají ale rozdílé statistické parametry, apř. promělivost meze kluzu oceli je meší (tj. a obr.4 má meší šířku) ež pevost betou. Obr.4 a Statistické rozděleí hodot pevosti R; b staoveí hodoty R p jako /p.00% kvatilu Na základě zámého statistického rozdělei vlastosti materiálu můžeme staovit jedak průměrou hodotu této vlastosti R (obr.4a) a dále apř. též hodotu R p, jejíž pravděpodobost výskytu je /p.00%, kde R p je /p.00% kvatil (obr.4b). Základími parametry materiálu osých kostrukcí jsou jejich ormové pevosti R. Pravděpodobostí záruka dosažeí ormové pevosti zabudovaého materiálu musí být rova ejméě 0,95. Hodoty ormových pevostí se obvykle považují za kotrolí charakteristiky (podle kterých se provádí kotrola) ebo také za zamítací charakteristiky, tj. za hodoty, které se esmí v dodávce vyskytout. Kromě uvedeých ormových pevostí se a základě statisticky vyhodoceého rozděleí četostí určují i ormové hodoty dalších techicky důležitých vlastostí materiálu, pro avrhováí kostrukcí apř. modulu pružosti, objemové hmotosti, součiitelů dotvarováí, smršťováí aj. Tyto veličiy se ejčastěji kladou rové středí hodotě vyšetřovaé veličiy, poěvadž se v kostrukci uplatí globálě, tj. buď v celé kostrukci ebo v její rozhodující části. Možé epřízivé odchylky pevosti ebo jié charakteristiky materiálu od její ormové hodoty se vystihou pomocí součiitele spolehlivosti materiálu γ m (krátce též Straa č. 7
součiitele materiálu). Velikost součiitele materiálu se liší podle šíře rozděleí četosti aměřeých pevostí (viz obr.4). Např. výztuž s přísou výrobí a výstupí kotrolou má hodoty součiitele materiálu malé (okolo γ m =,), a rozdíl od pevosti betou v tlaku s γ m =,3 a zejméa začě promělivé pevosti betou v tahu, kde bylo třeba zavést ještě podstatě opatrější hodotu γ m =,5. Hodoty součiitele materiálu γ m > použijeme pouze při avrhováí podle prví skupiy mezích stavů. U druhé skupiy mezích stavů se obvykle zavádí hodota γ m =. V ormách pro avrhováí se uvádí kromě ormových pevostí materiálu i jeho výpočtová pevost R d = R /γ m. Vlivy a pevost materiálu, které mají systematickou povahu (apř. vliv stupě vyztužeí, teploty, mohokrát opakovaého amáháí) se v metodě podle mezích stavů vyjadřují pomocí součiitelů podmíek působeí γ r (pro beto se použije začky γ b, pro betoářskou výztuž γ s a pro předpíací výztuž γ p ). Těmito součiiteli ásobíme a pravých straách podmíek spolehlivosti () pevost materiálu (podroběji viz dále). Podobým statistickým rozděleím lze popisovat i odchylky skutečých od projektovaých rozměrů osých kostrukcí (viz dále součiitel geometrie) ebo odchylky výpočtového modelu kostrukce od skutečých podmíek působeí kostrukce..6. Metody avrhováí betoových kostrukcí a jejich vývoj Podle způsobu vyjadřováí podmíek spolehlivosti lze rozdělit metody avrhováí takto: Metody determiistické, zámé pod ázvy metoda dovoleých amáháí a metoda stupě bezpečosti, Metody pravděpodobostí (probabilistické) jako metoda etrémích hodot polopravděpodobostí čili semiprobabilistická dále metoda fukčích etrémů a metoda eaktí. Metody ekoometrické..6.. Determiistické metody avrhováí V determiistických metodách avrhováí se vyjadřuje spolehlivost osé kostrukce pomocí hodot zatížeí a pevostí, které se většiou získaly empiricky. Tyto metody zpravidla edovolují použít výzamějším způsobem hospodárost jako výchozí kriterium avrhováí. Metoda dovoleých amáháí jako ejstarší metoda avrhováí předepisovala podmíku spolehlivosti ve tvaru: σ σ dov, kde σ je apětí vzikající v kostrukci účikem provozího (ormového) zatížeí, σ dov dovoleé amáháí materiálu získaé z jeho průměré pevosti R viz obr.5: σ dov = κ. R, κ míra bezpečosti pro určeí dovoleého amáháí (κ < ). Straa č. 8
Podmíky σ σ dov, byly předepisováy pro všechy typy materiálu, které se mohly v kostrukci vyskytovat a pro všechy způsoby amáháí. Dovoleá amáháí tedy evycházejí z fukce kostrukce (evyjadřují proto odpor kostrukce), ale vztahují se je k jejím materiálovým vlastostem. Proto muselo dovoleé amáháí σ dov vyjadřovat vliv možého sížeí pevosti proti průměré pevosti, vliv možého zvýšeí zatížeí proti jeho provozím (tj. ormovým viz odd..4) hodotám i vliv možých odchylek od předepsaých rozměrů průřezu. Podmíka použitelosti srov. se vztahem ω s ω lim v odd.. se zapisovala ve tvaru: f f dov, kde f je přetvárý účiek zatížeí (apř. průhyb, pootočeí ebo šířka trhliy), f dov dovoleá hodota tohoto účiku. Řada podmíek použitelosti byla ahrazováa dodržeím předepsaých kostrukčích ustaoveí v tehdy platých ormách. Metoda stupě bezpečosti byla zavedea po.světové válce a a rozdíl od metody dovoleých amáháí (apětí) již začala s vyjadřováím odporu proti porušeí pomocí souhrých charakteristik průřezu (mometů, ormálových a posouvajících sil). Přitom se vycházelo z průměrých pevostí betou a výztuže R a začalo se přihlížet i k jejich plastickým vlastostem. Tím bylo dosažeo objektivě výstižějšího vyjádřeí úososti. Odpor R se porovával s účikem provozího zatížeí S a kotrolovala se podmíka bezpečosti (viz obr.5): s. S R, kde s je stupeň bezpečosti předepisovaý odlišými hodotami pro růzé způsoby amáháí. Podmíky použitelosti se formulovaly v této metodě obvykle tak, aby teoreticky staoveé hodoty (přetvořeí, šířky trhli aj.) byly meší ež jejich přípustá hodota. To podle obr.5 začilo stupeň bezpečosti ejméě rový jedé. Při porováí s moderější metodou podle mezích stavů musel stupeň bezpečosti γ vystihovat podle obr.5 eje vliv možého zvýšeí velikosti zatížeí, ale též z hlediska odporu proti porušeí možé epřízivé odchylky rozměrů průřezu a další podmíky působeí osého prvku. Přes začý pokrok proti metodě dovoleých amáháí eobsahovaly ještě ormy pro avrhováí betoových kostrukcí podle stupě bezpečosti ěkteré důležité ovější pozatky, týkající se apříklad dotvarováí (dlouhodobého přetvořeí) betou..6.. Pravděpodobostí metody avrhováí Výše bylo vysvětleo áhodé chováí zatížeí i odporu kostrukce proti porušeí. To ám dovoluje předpokládat, že účiky zatížeí působící a kostrukci lze popsat výrazem: S (,,... m, C ), kde i (i =,,... m) jsou áhodě proměé veličiy vyjadřující jedotlivá zatížeí působící a kostrukci a C začí soubor kostat ebo áhodých fukcí vystihujících idealizaci zatížeí, edostatek iformací o zatížeí apod. Straa č. 9
Obdobě předpokládejme, že se ám podaří popsat áhodé chováí odporu kostrukce výrazem: R (z, z,... z m, C z ), kde z j (j =,,... ) jsou áhodě proměé veličiy popisující mechaické ebo jié vlastosti materiálu osých kostrukcí, rozměry průřezu, předpětí apod. a C z představuje soubor kostat ebo áhodých fukcí popisujících rozděleí apětí po průřezu a jié podmíky působeí prvku. Metoda etrémích hodot (polopravděpodobostí metoda), kterou jsme uvedli v odd.. až.5 pod u ás zavedeým ázvem metoda mezích stavů. Obr.5 Vyjádřeí spolehlivosti kostrukce ve vývoji metod avrhováí Pokud záme statistické rozděleí zatížeí i (viz obr.) a určité vlastosti materiálu, popř. rozměru kostrukce z j (viz obr.4), dokážeme staovit jejich výpočtové hodoty i,etr, popř. z j,etr, které smějí být u posuzovaé kostrukce překročey v ejhorším případě s pravděpodobostí p. Na obr.4 je tato výpočtová hodota ozačea R p. Z obr., 4 a 5 je zřejmé, že výpočtová hodota zatížeí může být ěkdy při levém a jidy zase při pravém okraji rozděleí pravděpodobosti. To záleží a tom, zda defiovaé maimum, popř. miimum veličiy má a posuzovaou spolehlivost přízivý, popř. epřízivý vliv. Proto ás zajímají u vlastostí materiálů většiou miimálí hodoty (pevost, rozměry) a u zatížeí mohou být epřízivé hodoty vysoké i ízké (viz obr.). Např. u zatížeí zajišťujícího stabilitu kostrukce budou rozhodovat miimálí etrémy výhradě stálého (zaručeého) zatížeí. Tvar podmíky spolehlivosti veliči podle obr.5 jsme již vyjádřili pro prvou skupiu mezích stavů pomocí vztahu S d R lim, kde přípustá hodota odporu R lim má yí ozačeí R d. Nedostatkem metody etrémích hodot je, že pravděpodobost dosažeí mezího stavu eí ve všech případech shodá. Proti uvedeým determiistickým metodám však dovoluje rozlišovat možý rozptyl základích parametrů zatížeí i stejoměrosti výroby prvků osých kostrukcí. Zásady současě platé metody avrhováí podle mezích stavů obsahuje ČSN 73 003. Straa č. 0
Metoda fukčích etrémů je výstižější ež zjedodušeá metoda etrémích hodot. Protože jsou veličiy i a z j ve výrazech (7) a (8) áhodě proměé, musí být áhodě proměými také výrazy (7) a (8). Zámeli statistické rozděleí obou těchto výrazů, musí eistovat při zvoleé pravděpodobosti p hodoty S ma a R mi, pro které by měla podmíka spolehlivosti tvar podmíky fukčích etrémů: S ma R mi Tato metoda eí doposud atolik propracovaá, aby se výzaměji uplatila v projekčí prai. Metoda eaktí pracuje s poměrem R/S ebo s rozdílem (RS) jako s jediou výsledou, áhodě proměou veličiou ebo fukcí. Podmíka spolehlivosti pak abývá tvaru buď: R mi S ebo mi [R S] 0. V uvedeých vztazích je třeba považovat jedičku ebo ulu a pravých straách za symboly, koformě s levými straami výše uvedeých podmíek. Statistická rozděleí pro vystižeí podílu R/S ebo rozdílu RS se mohou případ od případu měit. V oblasti praktického avrhováí se eaktí metoda a své uplatěí začala připravovat viz apř. Prof. P.Marek, (FAST VŠB TU Ostrava) aj..6.3. Ekoometrické metody avrhováí Spojeím matematickostatistických metod s ekoomickým pojetím obdržíme ekoometrické metody avrhováí. Při ávrhu se obvykle vychází z miimalizace celkových ákladů a objekt, jak již bylo uvedeo v odd.. viz požadavek hospodárosti. Des se esprávě považují za ekoometrické apř. optimalizačí metody, u kterých se optimalizuje ávrh je z hlediska vybraých čiitelů (vlastí tíha, úosost, pořizovací cea, pracost aj.) Propracováí ekoometrických metod v širším pojetí si zřejmě ještě vyžádá delší čas. 3. Statistické metody hodoceí betou (ČSN 73 404) Uplatěí statistických metod v oblasti betoových kostrukcí je ejčetější u hodoceí betou a to u určeí jeho pevostí, zejméa pak pevosti v tlaku. Se vzrůstajícím objemem saací kostrukcí a tedy i betoových kostrukcí se zvyšuje i podíl těchto saací a celkovém objemu stavebí výroby u ás za posledích patáct let. S ohledem a současý ekoomický vývoj se edá očekávat sížeí podílu saací a rekostrukcí v ašem stavebictví, ale právě aopak. Společě s tím vyvstává i utost stavebího průzkumu kde jede z moha požadavků je zjistit druh a kvalitu betou, to je změřit pevost v tlaku betoové kostrukce. O způsobu zkoušeí co do metod prováděí zkoušek eí účelé se zde zmiňovat. Zde popsaá metoda je kompleě použitelá pro sledováí jakosti eje betoové směsi, betou a betoových výrobků ze všech druhů betou, ale i dalších stavebích materiálů. Je to tedy vhodá metoda i pro vyhodoceí zkoušek pevosti betou v případě použití edestruktiví metody zkoušeí pomocí Schmidtova kladívka. Straa č.
Dále je třeba předeslat, že uvedeé vyhodoceí eí je modelovým příkladem aplikace statistiky ve stavebí prai, ale praktickým použitím, eboť zde uvedeé závěry byly v plém rozsahu použity v rámci zakázky HČ a stavebí fakultě VŠB TU Ostrava. V rámci této čiosti byla provedea možia měřeí a železobetoové kostrukci da bazéu Městských lází Vsetí, kde došlo k porušeí kostrukce a ašim úkolem bylo zjistit příčiu. Součástí bylo i edestruktiví zkoušeí betou včetě jeho vyhodoceí. Na úvod této kapitoly je uté zavést ěkteré pojmy, se kterými se bude dále pracovat. Hodoceí se dělí do skupi podle hodoceého zaku. Jeli obor dobré jakosti větší, ež daá mezí hodota, jedá se o zak.druhu. Teto zak se týká zejméa pevosti v tlaku a v tahu, krychelé pevosti, atd. Zak.druhu je charakterizová vztahem opačým, tedy obor dobré jakosti musí být meší, ež daá mezí hodota. Zde je možé jako příklad uvést velikost zatížeí. Zaky 3. a 4.druhu jsou kombiací zaků. a.druhu, protože vyšetřovaý obor dobré jakosti je omeze itervalem, jehož mezemi jsou ějaké daé mezí hodoty. Liší se od sebe pouze důsledky porušeí jakosti, tedy edodržeím hodot omezeých itervalem. Pro zak 3.druhu jsou důsledky porušeí stejé, padeli hodota mimo iterval vlevo ebo vpravo. U zaku 4.druhu je rozdíl, zda byl iterval poruše zleva ebo zprava. Pro statistické hodoceí zaku 3. i 4.druhu se používají stejé metody bez rozlišeí těchto zaků. V případě vyhodocováí edestruktivích zkoušek pevosti betou se bude pracovat se zakem.druhu. Při statistickém hodoceí se pracuje se statistickým souborem prvků, jejichž zaky áhodě kolísají. Možia hodot daého zaku tvoří umerický soubor, který je pro umožěí výpočtů ahraze vhodým matematickým modelem. Vhodost modelu je možo ověřit testem. U kvatitativího zaku, který lze vyjadřovat číselě, se pracuje s ormálím modelem pravděpodobosti. Kokrétě se jedá o rozděleí GaussLaplaceovo ebo o Pearsoovo rozděleí typu III (pokud se charakterizuje šikmost). U kvalitativího zaku, který má podobu výrokově logistickou, se používá rozděleí biomické. Takto adefiovaý statistický soubor prvků je azvá pojmem dávka a mohou se vyšetřovat buď izolovaé dávky ebo série dávek. Obecě uvedeo v samém počátku této práce. Straa č.
Statistické vyhodoceí spočívá ve vyšetřeí, zda se v souboru evyskytuje větší ež předepsaý maimálě přípustý podíl prvků se sížeou jakostí. Jeli k dispozici pouze malý ebo velmi malý áhodý výběr, lze toto zjištěí učiit pouze s ějakou předem daou pravděpodobostí. Samoté hodoceí jakosti se děje prověřeím platosti erovosti pro zak. druhu P if P if, cr, kde P if je zjištěý souborový podíl souborových prvků oboru hodot sížeé jakosti a P if,cr je předepsaý kritický souborový podíl prvků oboru hodot sížeé jakosti. Pro správé ohodoceí příslušého zaku, musí být předepsáy mezí hodoty if, maimálí přípustý souborový podíl hodot se sížeou jakostí P if,cr a pravděpodobost γ, s íž se má prověřeí platosti erovostí provést. Podle velikosti se výběry rozlišují a velmi malé (3 6), malé (7 99) a velké ( 00). 3.. Hodoceí izolovaého souboru 3... Velmi malý výběr Předpokládáme ormálě rozděleý soubor velmi malého výběru (3 6). Musíme posoudit etrémí hodoty výběru, zda ejsou příliš odlehlé a zda se ápadě eodlišují od ostatích. Jsouli hodoty příliš odlehlé od ostatích a je epochybé, že tato odlehlost je způsobea chybou měřeí, tyto hodoty ze souboru vyloučíme. V případě jakýchkoliv pochybostí musíme tyto hodoty testovat, zda z hlediska matematické statistiky do souboru patří. 3... Testováí odlehlých hodot Mějme soubor hodot,,...,, tj. i, kde,,...,. Vypočítáme průměr tohoto souboru hodot = i a výběrovou směrodatou odchylku s s = ( i ) V kokrétím výpočtu je dvacet souborů deseti měřeí. Nejprve se zhodotí každá série zvlášť jako velmi malý výběr. Straa č. 3
Naměřeé hodoty S 36,5 48,79 46,3 55,36 40,8 4,30 57,4 46,3 56,39 58,44 S 49,58 44,76 5,84 45,0 49,58 40,84 5,84 54,336 48,4 47,54 S3 45,75 47,54 5,84 48,4 5,84 4,34 37,90 4,8 48,699 43,5 S4 46,3 47,77 56,39 46,3 40,8 44,69 56,90 46,74 4,8 49,7 S5 40,79 55,36 35,6 4,3 49,7 55,88 5,8 50,75 33, 44,8 S6 45,0 6,53 4,79 8,7 48,4 5,80 39,3 44,69 48,4 36,07 S7 44,8 45,0 53,3 57,4 5,6 30 48,4 50,75 44,8 45,7 S8 5,6 47,77 50,75 48,70 48,4 47,5 60,49 48,70 55,36 50,75 S9 43,5 34,65 35,4 48,70 35,6 38,36 4,8 37,44 47,77 9,4 S0 49,7 55,88 48,4 36,5 9,4 45,7 58,44 56,90 30,46 30,9 S 37,90 4,30 46,74 54,85 54,34 50,75 48,70 45,0 34,7 38,36 S 8,99 3,75 53,3 59,98 53,8 46,74 4,30 53,3 64,70 49,6 S3 59,47 56,39 49,6 5,77 59,47 49,7 49,6 49,7 5,77 59,98 S4 39,80 5,6 46,3 5,8 58,95 48,4 39,80 38,36 54,85 5,6 S5 56,39 44,8 36,5 47,5 56,39 49,6 57,4 46,74 5,8 48,4 S6 39,80 5,8 4,8 44,8 49,7 54,34 49,7 50,75 4,79 43,5 S7 48,70 54,85 58,44 5,80 4,30 55,36 49,7 56,39 58,95 58,44 S8 5,6 55,88 56,39 55,36 48,4 44,69 5,80 59,47 5,80 49,6 S9 53,3 59,98 49,6 49,7 53,8 7,4 48,4 43,7 5,80 4,3 S0 40,79 5,8 5,6 45,0 4,8 47,77 50,3 44,69 45,0 49,6 b mi Z průměrů a směrodatých odchylek se vypočítají testovací charakteristiky, což jsou veličiy pro testováí odlehlých hodot bma a b = ma ma ; s b mi = s mi Testovací charakteristiky bma tabulce. a b mi se porovají s kritickou hodotou Bcr uvedeou v Jeli jeda z erovostí bma Bcr, bmi Bcr pravdivá, příslušá maimálí ebo miimálí hodota se vyloučí. Platíli obě erovosti současě, obě krají hodoty se v souboru poechají. Straa č. 4
B cr B cr B cr B cr 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7,54,463,67,8,938,03,0,76,34,85,35,37,409,443,475 8 9 0 3 4 5 30 35 40 45 50 60,504,53,557,580,603,64,644,663,745,8,866,94,956 3,05 70 80 90 00 0 40 60 80 00 30 60 90 30 350 Tabulka 3,08 3,30 3,7 3,07 3,69 3,33 3,367 3,40 3,436 3,479 3,59 3,55 3,584 3,605 Test kokrétích souborů: 380 40 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 000 3,637 3,659 3,680 3,7 3,744 3,776 3,787 3,808 3,89 3,840 3,86 3,88 3,893 3,903 Půměr Směr.odch. ma b ma b ma >B cr mi b mi b mi >B cr výsledek S 48,70 7,49 58,44,30 eplatí 36,5,659 eplatí obě poechat S 48,4 4,0 54,34,57 eplatí 40,8,9787 eplatí obě poechat S3 45,98 4,44 5,8,4 eplatí 37,90,887 eplatí obě poechat S4 47,68 5,8 56,90,78 eplatí 40,8,47 eplatí obě poechat S5 46,0 7,59 55,88,99 eplatí 33,,6853 eplatí obě poechat S6 4,6 8,6 5,80,44 eplatí 6,53,8056 eplatí obě poechat S7 47,0 7,0 57,4,48 eplatí 30,473 platí mi vyechat S8 50,93 3,90 60,49,454 platí 47,5 0,94 eplatí ma vyechat S9 39,9 5,85 48,70,67 eplatí 9,4,78 eplatí obě poechat S0 44,9 0,96 58,44,3 eplatí 9,4,3738 eplatí obě poechat S 45,3 6,77 54,85,4 eplatí 34,7,633 eplatí obě poechat S 47,4,77 64,70,354 eplatí 8,99,5 platí mi vyechat S3 53,66 4,40 59,98,437 eplatí 49,6,033 eplatí obě poechat S4 48,0 6,6 58,95,64 eplatí 38,36,4737 eplatí obě poechat S5 49,46 6,3 57,4,97 eplatí 36,5,08 eplatí obě poechat S6 46,86 4,78 54,34,56 eplatí 39,80,4766 eplatí obě poechat S7 53,49 5,8 58,95,034 eplatí 4,30,3095 platí mi vyechat S8 5,60 4,9 59,47,64 eplatí 44,69,8909 eplatí obě poechat S9 48,05 8,4 59,98,49 eplatí 7,4,4534 platí mi vyechat S0 46,84 3,73 5,8,46 eplatí 40,79,647 eplatí obě poechat Odlehlé hodoty, které eprošly testem jsou vyecháy a je uté zovu přepočítat průměr souborů a jejich směrodaté odchylky. Přepočítaé a upraveé hodoty jedotlivých souborů jsou výchozím stavem pro začátek vyhodocováí pevostí. Straa č. 5
Upraveé hodoty Průměr Sm.odch. S 36,5 48,79 46,3 55,36 40,8 4,30 57,4 46,3 56,39 58,44 48,70 7,49 S 49,6 44,8 5,8 45, 49,6 40,8 5,8 54,34 48,4 47,5 48,4 4,0 S3 45,7 47,5 5,8 48,4 5,8 4,3 37,9 4,8 48,7 43,5 45,98 4,44 S4 46,3 47,77 56,39 46,3 40,8 44,69 56,90 46,74 4,8 49,7 47,68 5,8 S5 40,79 55,36 35,6 4,3 49,7 55,88 5,8 50,75 33, 44,8 46,0 7,59 S6 45,0 6,53 4,79 8,7 48,4 5,80 39,3 44,69 48,4 36,07 4,6 8,6 S7 44,8 45,0 53,3 57,4 5,6 48,4 50,75 44,8 45,7 48,9 4,34 S8 5,6 47,77 50,75 48,70 48,4 47,5 48,70 55,36 50,75 49,86,36 S9 43,5 34,65 35,4 48,70 35,6 38,36 4,8 37,44 47,77 9,4 39,9 5,85 S0 49,7 55,88 48,4 36,5 9,4 45,7 58,44 56,90 30,46 30,9 44,9 0,96 S 37,90 4,30 46,74 54,85 54,34 50,75 48,70 45,0 34,7 38,36 45,3 6,77 S 3,75 53,3 59,98 53,8 46,74 4,30 53,3 64,70 49,6 50,56 9,03 S3 59,47 56,39 49,6 5,77 59,47 49,7 49,6 49,7 5,77 59,98 53,66 4,40 S4 39,80 5,6 46,3 5,8 58,95 48,4 39,80 38,36 54,85 5,6 48,0 6,6 S5 56,39 44,8 36,5 47,5 56,39 49,6 57,4 46,74 5,8 48,4 49,46 6,3 S6 39,80 5,8 4,8 44,8 49,7 54,34 49,7 50,75 4,79 43,5 46,86 4,78 S7 48,70 54,85 58,44 5,80 55,36 49,7 56,39 58,95 58,44 54,85 3,55 S8 5,6 55,88 56,39 55,36 48,4 44,69 5,80 59,47 5,80 49,6 5,60 4,9 S9 53,3 59,98 49,6 49,7 53,8 48,4 43,7 5,80 4,3 45,3 5,0 S0 40,79 5,8 5,6 45,0 4,8 47,77 50,3 44,69 45,0 49,6 46,84 3,73 3... Posouzeí ormality rozděleí jedotlivých souborů Histogramy ově vziklých souborů ukazují, zda rozděleí vypadá jako Gauss Laplaceovo ebo zda je uté ormalitu ověřit testem. Podle přiložeých grafů je zřejmé, že W test (ČSN 0 05) a testováí ormality souborů by byl vhodý pro soubory, 4, 5, 6, 9, 0,,, 3, 4, 5, 6 a 7. W test testovaou hypotézu emůže potvrdit, pouze zamítout či ezamítout. V dalším postupu se yí bude předpokládat rozděleí ormálí. 3...3. Testováí odlehlých hodot Pro odhad souborového podílu hodot se sížeou jakostí P if se použije metoda vydatého bodového odhadu podle orem ČSN 73 404. Pracujeme s průměrem upraveého souboru, směrodatou odchylkou s, dolí mezí if. Vypočítá se testovací veličia Q if pro souborový podíl jedotek v daém oboru Q if = s if Straa č. 6