9 Stereometrie 96 Odchylky přímek rovin Odchylku dvou přímek, dvou rovin přímky od roviny převádíme n určení velikosti úhlu dvou různoběžek Odchylk dvou přímek Odchylk dvou přímek splývjících nebo rovnoběžných je rovn nule Odchylk dvou různoběžek je rovn velikosti úhlu ϕ,ϕ 0, 90, který svírjí Odchylku dvou mimoběžek, b určíme tk, že libovolným bodem M vedeme přímky, b b určíme úhel různoběžek, b (Bod M může ležet n některé z mimoběžek) Řešený příkld Kvádr ABCDEFGH má délky hrn = AB, b = BC, c = AE Určete odchylky dvojic přímek: ) AF, AB b) AF, CH c) AF, DH d) BC, CG Řešení ) Odchylk přímek AF, AB je velikost úhlu α = FAB, který vypočteme ze vzthu c tn α = b) Přímky AF, CH jsou mimoběžné Sestrojíme střed S úsečky AF Přímk BE procházející bodem S je s přímkou CH rovnoběžná ; odchylk mimoběžek AF, CH je rovn velikosti úhlu β = FSB, pro který pltí β = α c) Odchylku mimoběžek AF, DH určíme jko úhel γ = EAF, protože přímk AE je rovnoběžná s přímkou DH Velikost úhlu γ určíme ze vzthu α + γ = 90 d) Přímky BC, CG jsou nvzájem kolmé, jejich odchylk δ = 90 394
9 Stereometrie Je dán prvidelný čtyřboký hrnol ABCDEFGH výšky v se středem horní podstvy S, jehož podstvná hrn má velikost Určete odchylku dvojic přímek: ) CG, AS b) BS, AC Řešení ) Odchylk mimoběžek CG, AS je rovn velikosti úhlu α = EAS, který určíme ze vzthu tn α = v b) Odchylk mimoběžek BS, AC je rovn velikosti úhlu β = GSB Trojúhelník EBG je rovnormenný, BS je jeho os, přímky BS, EG jsou nvzájem kolmé 395
9 Stereometrie Odchylk dvou rovin Odchylk dvou rovin splývjících nebo rovnoběžných je rovn nule Odchylku dvou různoběžných rovin α, β určíme tkto: n průsečnici r těchto rovin zvolíme bod vedeme tímto bodem přímky r, α, b r, b β Velikost úhlu různoběžek, b je odchylk obou rovin Řešený příkld V prvidelném čtyřbokém jehlnu ABCDV o hrně podstvy výšce v určete odchylku : ) roviny boční stěny od roviny podstvy, b) rovin dvou protějších stěn, c) rovin dvou sousedních stěn Řešení ) Sestrojíme střed podstvy S středy P, Q hrn BC, AD Přímk je průsečnice roviny podstvy ABCD roviny boční stěny BCV Přímk PQ leží v rovině podstvy, přímk PV leží v rovině boční stěny BCV, obě jsou kolmé k přímce BC Odchylk obou rovin je určen úhlem v α = SPV, pro jehož velikost pltí: tn α = 396
9 Stereometrie b) Odchylk protějších stěn jehlnu je určen úhlem β = PVQ, který vypočteme ze vzthu β α + = 90 c) Přímk CV je průsečnice rovin sousedních stěn BCV CDV Bod R je pt kolmic vedených v obou stěnách body B, D kolmo k přímce CV Odchylk obou rovin je dán úhlem γ = BRD v rovnormenném trojúhelníku BRD Pro určení jeho velikosti zjistíme velikost úsečky BR jko výšky trojúhelník BCV Obsh tohoto trojúhelník můžeme vyjádřit dvěm BC PV CV BR způsoby: =, kde v + sinγ = 4v + PV = v +, 4 CV = v + Pk pro úhel γ pltí: Odchylk přímky od roviny Přímk, která v dné rovině leží nebo je s ní rovnoběžná má od této roviny odchylku rovnu nule Odchylk přímky různoběžné s rovinou je velikost úhlu, který svírá dná přímk se svým kolmým průmětem do dné roviny Kolmý průmět přímky m do roviny ρ je průsečnice m roviny ρ s rovinou procházející přímkou m kolmo k rovině ρ Kolmý průmět přímky kolmé k rovině je bod 397
9 Stereometrie Řešený příkld V krychli ABCDEFGH o hrně podstvy určete odchylku přímky AM od roviny podstvy ABCD, kde bod M je střed hrny GH Řešení Kolmý průmět přímky AM do roviny ABCD je přímk AP, kde P CD, MP CD Odchylk přímky AM od roviny ABCD je určen úhlem α = MAP, pro který pltí: 5 tn α = = 5 5 398
9 Stereometrie Úlohy k řešení Úloh 99 V prvidelném čtyřbokém hrnolu ABCDEFGH o hrně podstvy výšce v určete odchylku dvojic přímek: ) AG, CE b) BC, FH c) AE, CD Úloh 930 Je dán prvidelný čtyřboký jehln ABCDV, jehož boční stěny jsou rovnostrnné trojúhelníky Určete odchylky dvojic přímek: ) AB, VC b) AV, VC Úloh 931 V krychli ABCDEFGH určete odchylku rovin α = ABC, β = BDG Úloh 93 V prvidelném čtyřbokém hrnolu ABCDEFGH o hrně podstvy výšce v určete odchylku rovin ρ = ACG, σ = ABF Úloh 933 V kvádru ABCDEFGH, jehož hrny mjí velikost = AB, b = AD, c = AE, určete odchylku přímky HM od roviny ρ = ABF, kde bod M je střed hrny FG Úloh 934 V prvidelném čtyřstěnu ABCD určete odchylku hrny AD od roviny α = ABC 399
9 Stereometrie Výsledky 99 ) Přímky AG, CE jsou různoběžné protínjí se v bodě S Jejich odchylk je velikost úhlu α v α = ASE, pro který pltí: tn = b) Přímky BC, EH jsou mimoběžné jejich odchylk je β = EHF = 45, protože BC EH c) Odchylk přímek AE, CD je dán úhlem γ = DCG = 90, protože AE CG 930 ) Přímky AB, VC jsou mimoběžné, jejich odchylk je dán úhlem α = DCV = 60 b) Odchylk přímek AV, VC je velikost úhlu β, pro který pltí: přímky AV, VC jsou nvzájem kolmé β sin = =, β = 90, 400
9 Stereometrie 931 Průsečnice obou rovin je přímk BD Přímky SC α, SG β jsou kolmé k přímce BD, jejich úhel ϕ = GSC, kde tn ϕ = =, ϕ = 54 44 8 je odchylk obou rovin 401
9 Stereometrie 93 Odchylk rovin ρ, σ je dán úhlem = ϕ ASB = 90 933 Přímk HM leží v horní stěně kvádru protíná přímku EF v bodě P Kolmý průmět přímky HM do roviny α = ABF je přímk EF její odchylk od této roviny je úhel ϕ = EPH, pro jehož b velikost pltí: tn ϕ = 934 Sestrojíme střed P hrny BC těžiště T trojúhelník ABC Spojnice VT je kolmá n rovinu ABC přímk AP je průmět přímky AV do roviny ABC V prvoúhlém trojúhelníku ATV je 3 3 AP = =, 3 3 AT 3 AT = =, cos ϕ = = 3 =, úhel 4 3 3 AV 3 ϕ = 54 44 8 je odchylk přímky AV od roviny ABC 40
403 9 Stereometrie