4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných bodech a jeho matici. a) f(x, y) x + 3xy 3 4x + y + 5, a (, 0), b (, ). Řešení. Definičním oborem dané funkce je množina D f R a funkce má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: a tedy x x + 3y3 4, y 9xy +, x, y xy, xy yx 9y. Dosazením souřadnic daných bodů dostaneme: (a), x (a) 0, y (a) 0. xy (b), (b) 36, (b) 36. x y xy Po dosazení parciálních derivací do vzorce pro. diferenciál dostaneme d dx + y dxdy + xy dy, d (a) dx, d (b) dx + 7 dxdy 36 dy. Pro matice kvadratických forem. diferenciálu dostaneme d (a) :, 0 0, 0 d (b) :, 36 36, 36 b) f(x, y) ln(x + y), a (, ), b (0, ). Řešení. Definičním oborem dané funkce je množina (polorovina) D f {(x, y); x + y > 0} a funkce má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: x x + y, 3 y x + y,
a x (x + y), y 4 (x + y), xy Dosazením souřadnic daných bodů dostaneme: (x + y). x (a) 6, y (a) 4, xy (a). Bod b (0, ) není bodem definičního oboru funkce, tudíž nelze v tomto bodě počítat parciální derivace, i když se souřadnice tohoto bodu dají do vyjádření pro derivace dosadit. Po dosazení parciálních derivací do vzorce pro. diferenciál dostaneme tedy d (x + y) ( dx 4 dxdy 4 dy ), d (a) 6 dx 4 dxdy 4 dy. Pro matici kvadratické formy. diferenciálu dostaneme d (a) : 6,, Příklad. Určete diferenciál d druhého řádu funkce f f(x, y) v obecném bodě (x, y) a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných bodech a jeho matici. a) f(x, y) 3x 3 x y + 5xy 6x + 3y 0, a (, ). Řešení. Definičním oborem dané funkce je množina D f R a funkce má spojité derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: x 9x 4xy + 5y 6, y x + 0xy + 3, x 4y, x tudíž v obecném bodě (x, y) D f y 0x, je xy 0y 4x, d (x 4y)dx + (0y 4x)dxdy + 0xdy. 4
Po dosazení souřadnic daného bodu dostaneme, že d (, ) dx dxdy + 0dy. Pro matici kvadratické formy. diferenciálu dostaneme d (a) :, 4 4, 0 b) f(x, y) x, a (, 3), b ( 3, 0). y Řešení. Definičním oborem dané funkce je množina D f {(x, y); y 0} a funkce má spojité derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: x y, y x y, tudíž v obecném bodě (x, y) D f x 0, je y x y, 3 d x ydxdy + y 3 dy. Po dosazení souřadnic bodu a (, 3) dostaneme, že d (, 3) 9 dxdy + 7 dy. xy y, Bod b ( 3, 0) není bodem definičního oboru funkce, tudíž druhý diferenciál v tomto bodě nelze počítat. Pro matici kvadratické formy. diferenciálu dostaneme d (a) : 0, 9 9, 7 Příklad 3. Určete diferenciál d druhého řádu funkce f f(x, y, z) v obecném bodě (x, y, z) a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných bodech a jeho matici. a) f(x, y, z) x + y + z, a (, 0, ). Řešení. Definičním oborem dané funkce je množina D f {(x, y, z); (x, y, z) o} a funkce má spojité derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: x x (x + y + z ) 3, x y (x + y + z ) 3, x 5 z (x + y + z ) 3.
Při výpočtu využijeme shody funkce v jednotlivých proměnných. x x y z xy (x + y + z ) 3 3x (x + y + z ) 5 x y z (x + y + z ) 3, (x + y + z ) 3 3y (x + y + z ) 5 y x z (x + y + z ) 3, (x + y + z ) 3 3z (x + y + z ) 5 z y x (x + y + z ) 3, 3xy (x + y + z ) 5, zy xz 3zy (x + y + z ) 5, 3xz (x + y + z ) 5, tudíž v obecném bodě (x, y, z) D f je d ( f (x y z )dx + (y x z )dy + (x + y + z ) 5 (z y x )dz + 6xydxdy + 6xzdxdz + 6yzdydz ). Po dosazení souřadnic bodu a (, 0, ) dostaneme, že d ( f(, 3) dx dy + dz 6dxdz ). Pro matici kvadratické formy. diferenciálu dostaneme, 0, 3, d (a) : 0,, 0 3, 0, Příklad 4. Určete diferenciál d druhého řádu funkce f f(x) e v obecném bodě x (x, x,..., x n ). Napište jeho obecný tvar a jeho matici. Řešení. Funkce je definovaná a má spojité parciální derivace všech řádu v celém R n. Pro derivace. řádu dostaneme podle pravidla o derivaci složené funkce vzorec ( x k ) e x k 6, k n.
Odtud pro derivace. řádu máme vzorce x k (4x k ) e 4x k x j e x k x j, k n,, k, j n, k j. Dosazením dostaneme vzorec pro diferenciál funkce ve tvaru d e k (4x k ) dx k + Matice diferenciálu je symetrická a má tvar d : e k,j,k j 4x k x j 4x, 4x x,..., 4x x n 4x x, 4x,..., 4x x n...,...,...,... 4x n x, 4x n x,..., 4x n. Neřešené úlohy Úloha : Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. a) f(x, y) ln(x + y ), a (, 0), b (, ). [D f R {(0, 0)} a funkce má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny; x x, x +y x (a), y y x +y ; y (a), (y x ), x (x +y ) (a) 0; xy (x y ), y (x +y ) x (b) 0, xy y (b) 0, 4xy. (x +y ) xy (b).] b) f(x, y) x + y, a (, 3), b (, ), c (, 5). [D f {(x, y); x + y 0} a funkce má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech množiny {(x, y); x + y > 0}. x x x, +y x (a) 3 7 7, y x ; +y x y (x, +y) 3, (a) 7 xy 7. 7 y 4 (x, +y) 3 xy x (x ; +y) 3 (a) y V bodě b (, ) parciální derivace neexistují. Bod c (, 5) není bodem definičního oboru dané funkce, parciální derivace nelze počítat.] c) f(x, y) 3 cos (x 3y + 5), a (π, π), b ( π, π). [D f R a funkce má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. 6 sin (x 3y + 5), 9 sin (x 3y + 5); x y cos (x 3y + 5), 7 cos (x 3y + 5), cos (x 3y + 5); x y xy (a) cos 5, (a) 7 cos 5, (a) cos 5; x y xy (b) cos 5, (b) 7 cos 5, (b) cos 5.] x y xy 7
d) f(x, y) arctg(xy). [D f R, x y +x y, y x ; +x y x y.] e) f(x, y) ln(e x + e y ). xy (+x y ) [D f R, x ex, e x +e y y f) f(x, y) x y + ln(x + y + ). [D f {(x, y); x + y + > 0}, [ x y (x+y+), g) f(x, y) e x y. [D f R, x xex y, ey ; e x +e y y 4 (x+y+), x xy3 (+x y ), x x xy + y ex y ; xy xex y.] h) f(x, y) 3xy + 6x 5y + 7. [D f R, 3y + 6, x y 3x 5; y ex+y (e x +e y ), x+y+, x3 y, y (+x y ) xy y x + x+y+ ] xy x (x+y+).] x ( + 4x )e x y, x 0, y 0, xy 3.] ex+y.] (e x +e y ) y e x y, Úloha : Určete diferenciál d druhého řádu funkce f f(x, y) v obecném bodě (x, y) a v daných bodech. a) f(x, y) x + y, a (, 0), b (0, 0). [D f R a funkce má spojité derivace druhého řádu v bodech množiny R {(0, 0)}. x x x, y +y y x ; y +y x (x, x +y ) 3 y (x, xy +y ) 3 xy (x ; +y ) 3 d (x +y ) 3 (y dx xydxdy + x dy ) ; d (, 0) dy. V bodě b (0, 0) nemá funkce parciální derivace, tudíž ani diferenciál druhého řádu v tomto bodě neexistuje.] b) f(x, y) arctg(x + y), a (, 0), b (, ). [D f R a funkce má spojité derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. ; (x+y), x y +(x+y) x y xy (+(x+y) ) d (x+y) (dx +dxdy+dy ); d (, 0) 4 (+(x+y) ) 5 (dx +dxdy+dy ); d (, ) 0.] c) f(x, y) e x sin y. [D f R, d e x (sin ydx + cos ydxdy sin ydy )] d) f(x, y) 3x y + 5 + y x + x y. [D f {(x, y); x 0, y 0}, d y dx x +y x 3 x y e) f(x, y) arctg ( ) x y. dxdy + x y 3 dy ] [D f {(x, y); y 0}, d (x +y ) ( xydx + (x y )dxdy + xydy )] f) f(x, y) x 4 + y 3 3x y + 5y 6x +. [D f R, d (x 6y)dx xdxdy + 6ydy ]