MASARYKOVA UNIVERZITA. Komparativní statika

MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Komparativní statika Bakalářská práce Brno, 2007 Petra Zatloukalová

PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracovala samostatně pod vedením RNDr. Lenky Přibylové, Ph.D. a uvedla v seznamu literatury všechny použité zdroje....

PODĚKOVÁNÍ Děkuji vedoucí bakalářské práce RNDr. Lence Přibylové, Ph.D. za cenné rady a připomínky při vedení mojí bakalářské práce.

Obsah Úvod 5 1 Teoretická část 6 1.1 Funkce a spojitost funkce............................ 6 1.2 Parciální derivace 1. řádu........................... 7 1.3 Diferencovatelná funkce, diferenciál...................... 8 1.3.1 Funkce jedné proměnné......................... 8 1.3.2 Funkce dvou a více proměnných.................... 8 1.4 Zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí................... 10 1.5 Implicitně zadaná funkce jedné proměnné................... 11 1.5.1 Implicitně zadané zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí..... 12 2 Úvod do komparativní statiky 14 2.1 Jednoduchý keynesiánský model národního důchodu..................................... 15 2.1.1 Dvousektorový model s dvěma endogenními proměnnými...... 15 2.1.2 Třísektorový model se třemi endogenními proměnnými....... 16 2.2 Lineární tržní model.............................. 18 2.2.1 Rozšíření lineárního tržního modelu.................. 20 3 Obecná analýza komparativní statiky 23 3.1 Tržní model................................... 25 3.1.1 Základní metoda pro jednoduché rovnice............... 25 3.1.2 Simultánní metoda pro systém rovnic................. 27 3.2 Mapa kanálů pro tržní model......................... 28 3.3 Model národního důchodu........................... 29 3.4 Mapa kanálů pro model národního důchodu................. 31 Závěr 34 Seznam použité literatury 35 4

Úvod Cílem této práce je shrnout teorii komparativní statiky a použít ji na vybraných ekonomických modelech. Model jako takový je abstrakce, zjednodušené zobrazení skutečností, které jsou pro sledovaný jev podstatné. Každý model je postaven na nějakých předpokladech, které často nejsou úplně realistické. Avšak umožňuje významně přispět k poznání podstaty jevu, základních charakteristik a vztahů základních veličin. Modely mají formu grafů, matematických rovnic nebo počítačových programů. Ekonomické modely mají dva typy proměnných: endogenní (vnitřní) proměnné a exogenní (vnější) proměnné. Model jako takový vyjadřuje chování endogenních proměnných v závislosti na sobě a také na exogenních proměnných, které můžeme považovat za z vnějšku dané parametry. Komparativní statická analýza rovnováhy, nebo-li komparativní statika, je tedy analýza změny výsledné hodnoty endogenních proměnných v závislosti na změně exogenních proměnných. Budeme se zabývat pouze statickými modely, ve kterých čas nehraje důležitou roli. Analýza modelu je zaměřena na podmínky rovnováhy a ne na časovou trajektorii dosažení rovnováhy. V první části této kapitoly si uvedeme potřebnou teorii pro analýzu komparativní statiky. Poté vysvětlíme analýzu na několika jednoduchých příkladech, kde vycházíme z jednoduchého dvousektorového modelu (sektor domácností a sektor podniků) a třísektorového modelu (kde navíc uvažujeme vládní sektor). Ve třetí části se budeme do určité hloubky zabývat standardními metodami komparativní statiky. 5

Kapitola 1 Teoretická část 1.1 Funkce a spojitost funkce Definice 1.1. Necht M R n, n 1, M. Zobrazení f : M R se nazývá reálná funkce n reálných proměnných a množina M se nazývá definiční obor této funkce a značí se D(f). Z definice funkce více proměnných vyplývá, že tato funkce je jednoznačně určena udáním jejího definičního oboru D(f) a předpisem, kterým je každému bodu x = [x 1,...,x n ] D(f) přiřazena funkční hodnota f(x). Pokud je předpis dán vzorcem a není udaný definiční obor funkce, pak definičním oborem rozumíme množinu všech bodů x R n, pro něž má tento vzorec smysl. Definice 1.2. Řekneme, že funkce f : Rn R (n 1) má v bodě a R n vlastní limitu L, L R, jestliže ke každému okolí O(L) bodu L existuje ryzí okolí O(a) bodu a takové, že pro každý bod x O(a) D(f) platí f(x) O(L). Píšeme lim f(x) = L. x a Definice 1.3. Necht bod [x 0,y 0 ] je hromadný bod definičního oboru D(f) funkce f : R 2 R, který patří do D(f). Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě [x 0,y 0 ], jestliže má v tomto bodě vlastní limitu a platí lim f(x,y) = f(x 0,y 0 ). (x,y) (x 0,y 0 ) Poznámka 1.1. Pro funkci n proměnných dostáváme zcela stejnou definici spojitosti: Necht f je funkce n proměnných, n 2. Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě x = [x 1,...,x n], který je hromadný bod množiny D(f) patřící do této množiny, jestliže má v tomto bodě vlastní limitu a platí lim x x f(x) = f(x ). Vzhledem k tomu, že spojitost funkce dvou a více proměnných se definuje pomocí pojmu limity funkce stejně jako pro funkci jedné proměnné, obdobně platí věta, že součet, součin a podíl spojitých funkcí je spojitá funkce, a dále platí věta o spojitosti složené funkce. 6

1. TEORETICKÁ ČÁST 7 1.2 Parciální derivace 1. řádu Připomeňme definici derivace funkce jedné proměnné: derivace funkce f : R R v bodě x 0 je limita f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim. x x0 x x 0 Derivace funkce v bodě udává směrnici tečny ke křivce y = f(x) v bodě [x 0,f(x 0 )]. Má-li funkce derivaci v bodě x 0, je v tomto bodě spojitá a tudíž zde existuje také limita funkce. Definice 1.4. Necht funkce f : R 2 R je definovaná v bodě [x 0,y 0 ] a nějakém jeho okolí. Položme ϕ(x) = f(x,y 0 ). Má-li funkce ϕ derivaci v bodě x 0, nazýváme tuto derivaci parciální derivací funkce f podle proměnné x v bodě [x 0,y 0 ] a označujeme f x (x 0,y 0 ), event. f x (x 0,y 0 ), f x(x 0,y 0 ). To znamená, že f x (x 0,y 0 ) = lim x x0 ϕ(x) ϕ(x 0 ) x x 0 = lim x x0 f(x,y 0 ) f(x 0,y 0 ) x x 0. Podobně, má-li funkce ψ(y) = f(x 0,y) derivaci v bodě y 0, nazýváme tuto derivaci parciální derivací funkce f podle proměnné y v bodě [x 0,y 0 ] a označujeme f y (x 0,y 0 ) ( f (x y 0,y 0 ), f y(x 0,y 0 )). Poznámka 1.2. Zcela analogicky se definují parciální derivace funkce n proměnných. Je-li z = f(x 1,...,x n ) funkce n proměnných, x = [x 1,...,x n] R n, definujeme f (x 1 [ ) = lim f(x x i t 0 t 1,...,x i 1,x i + t,x i+1,...,x n) f(x 1,...,x n) ]. Z definice parciální derivace plyne, že při jejím výpočtu postupujeme tak, že všechny argumenty kromě toho, podle něhož derivujeme, považujeme za konstanty. Protože parciální derivace f xi funkce n proměnných je definovaná jako,,obyčejná derivace podle proměnné x i, platí pro počítání parciálních derivací obvyklá pravidla pro derivování. Geometrický význam parciálních derivací pro funkce dvou proměnných. Necht je dána funkce f : R 2 R a G f je její graf. Necht π je rovina daná rovnicí y = y 0. Za rozumných předpokladů (např. spojitost funkce f) je průsečíkem G f π křivka γ v rovině π a parciální derivace f x (x 0,y 0 ) udává směrnici tečny t k této křivce v bodě Q 0 = [x 0,y 0,f(x 0,y 0 )]. Podobně derivace f y (x 0,y 0 ) udává směrnici tečny ke křivce v bodě Q 0, která vznikne průsečíkem plochy Q f s rovinou x = x 0.

1. TEORETICKÁ ČÁST 8 Zatímco u funkcí jedné proměnné plyne z existence derivace v daném bodě její spojitost, u funkcí více proměnných toto tvrzení neplatí. Má-li funkce f : R 2 R parciální derivace v bodě [x 0,y 0 ], nemusí být v tomto bodě spojitá. Skutečnost, že z existence parciálních derivací neplyne spojitost, je zcela přirozená, nebot parciální derivace udávají informaci pouze o chování funkce ve směrech rovnoběžných se souřadnými osami, přičemž v jiných směrech se funkce může chovat,,velmi divoce. 1.3 Diferencovatelná funkce, diferenciál 1.3.1 Funkce jedné proměnné Definice 1.5. Necht funkce f je definovaná v okolí O(x 0 ) a platí x 0 +h O(x 0 ). Pak číslo h nazýváme přírůstek nezávisle proměnné a rozdíl f(x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 ) nazýváme přírůstek funkce f v bodě x 0 s krokem h neboli přírůstek závisle proměnné. Definice 1.6. Řekneme, že funkce f je diferencovatelná v bodě x 0 R, jestliže existuje okolí O(x 0 ) bodu x 0 tak, že pro všechny body x 0 + h O(x 0 ) platí f(x 0 + h) f(x 0 ) = A h + τ(h), kde A je vhodné číslo a τ(h) je funkce taková, že lim h 0 τ(h) h = 0. Je-li funkce f v bodě x 0 diferencovatelná, nazývá se výraz A h diferenciál funkce f v bodě x 0 a značí se df(x 0 )(h) nebo stručně bez označení přírůstku h jen df(x 0 ). 1.3.2 Funkce dvou a více proměnných Definice 1.7. Řekneme, že funkce f : R2 R definovaná v okolí bodu [x 0,y 0 ] je v tomto bodě diferencovatelná, jestliže existují reálná čísla A, B taková, že platí f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) (Ah + Bk) lim = 0. (1.1) (h,k) (0,0) h2 + k 2 Lineární funkce Ah + Bk proměnných h, k se nazývá diferenciál funkce v bodě [x 0,y 0 ] a značí se df(x 0,y 0 )(h,k), příp. df(x 0,y 0 ). Poznámka 1.3. Ekvivalentní zápis definice diferencovatelnosti funkce dvou proměnných je tento: existují A, B R a funkce τ : R 2 R tak, že platí f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + τ(h,k) kde lim (h,k) (0,0) τ(h,k) h2 + k 2 = 0.

1. TEORETICKÁ ČÁST 9 Víme, že pro funkce dvou a více proměnných z existence parciálních derivací neplyne spojitost. Následující dvě věty ukazují, že diferencovatelnost funkce je tou,,správnou vlastností, která implikuje spojitost a některé další vlastnosti funkce. Věta 1.1. Je-li funkce f diferencovatelná v bodě [x 0,y 0 ], pak je v tomto bodě spojitá. Důkaz. Z diferencovatelnosti funkce f v bodě [x 0,y 0 ] plyne lim [f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 )] = lim [Ah + Bk + τ(h,k)] = 0, (h,k) (0,0) (h,k) (0,0) nebot podle Poznámky 1.3 je lim (h,k) (0,0) τ(h,k) = 0. Odtud je tedy funkce f spojitá v bodě [x 0,y 0 ]. lim f(x 0 + h,y 0 + k) = f(x 0,y 0 ), (h,k) (0,0) Poznámka 1.4. Opak této věty neplatí. Je-li funkce spojitá, nemusí být diferencovatelná, např. f(x,y) = x 2 + y 2 v bodě [0, 0]. Věta 1.2. Je-li funkce f diferencovatelná v bodě [x 0,y 0 ], pak má v tomto bodě parciální derivace a platí A = f x (x 0,y 0 ), B = f y (x 0,y 0 ), tj. df(x 0,y 0 ) = f x (x 0,y 0 )h + f y (x 0,y 0 )k. Důkaz. Položme v (1.1) k = 0. Pak lim h 0 f(x 0 +h,y 0 ) f(x 0,y 0 ) Ah h = 0, a proto f(x 0 + h,y 0 ) f(x 0,y 0 ) Ah lim h 0 h f(x 0 + h,y 0 ) f(x 0,y 0 ) = lim A = f x (x 0,y 0 ) A = 0, h 0 h tj. A = f x (x 0,y 0 ). Stejným obratem dokážeme rovnost f y (x 0,y 0 ) = B. Poznámka 1.5. Přírůstky h, k nezávisle proměnných x, y v definici diferenciálu se často značí dx, dy. Je-li funkce f diferencovatelná v každém bodě množiny M, má v každém bodě této množiny diferenciál, který je funkcí čtyř proměnných: x, y, h, k. Označíme-li dx = x x 0 = h, dy = y y 0 = k, dostáváme, že diferenciál funkce f je df(x,y) = f x (x,y)dx + f y (x,y)dy. Diferenciál se používá k přibližnému výpočtu funkčních hodnot. Zanedbáme-li funkci τ, z Poznámky 1.3 plyne f(x,y). = f(x 0,y 0 ) + df(x 0,y 0 ).

1. TEORETICKÁ ČÁST 10 Věta 1.3. Má-li funkce f v bodě [x 0,y 0 ] spojité parciální derivace 1. řádu, pak má v tomto bodě také diferenciál. Důkaz. Viz. [3]. Poznámka 1.6. Obecně funkce n proměnných f : R n R je diferencovatelná v bodě x R n, jestliže existuje a = (a 1,...,a n ) V n takové, že pro h = (h 1,...,h n ) V n platí f(x + h) f(x ) a,h lim h 0 h = 0, kde h = h 2 1 + + h 2 n a a,h = n i=1 a ih i je obvyklý skalární součin v R n. Diferenciálem funkce f v bodě x pak rozumíme lineární funkci definovanou předpisem h df(x ) a,h, tj. df(x )(h) = a,h. Stejně jako ve Větách 1.1 a 1.2, z existence diferenciálu v bodě x plyne spojitost funkce a existence parciálních derivací v tomto bodě a pro vektor těchto parciálních derivací f (x ) platí f (x f ) = a, tj. x i (x ) = a i, i = 1,...,n. Poznámka 1.7. Diferenciál definovaný v Definici 1.7 se nazývá také totální nebo také Fréchetův a lze jej definovat i pro zobrazení mezi lineárními normovanými prostory, což jsou většinou nekonečně dimenzionální prostory. 1.4 Zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí Definice 1.8. Necht jsou dány funkce f, g dvou proměnných a D = D(f) D(g). Dále necht zobrazení F : D R 2 je dáno předpisem [x,y] F [f(x,y),g(x,y)]. Pak řekneme, že zobrazení F je určeno funkcemi f, g, tyto funkce nazýváme složky nebo také souřadnicové funkce zobrazení F a píšeme F = {f,g}. Definice 1.9. Řekneme, že zobrazení F = {f,g} z R2 do R 2 je spojité v bodě [x 0,y 0 ], jsou-li funkce f, g spojité v [x 0,y 0 ]. Řekneme, že F je diferencovatelné v bodě [x 0,y 0 ], jestliže každá z funkcí f, g je diferencovatelná v bodě [x 0,y 0 ]. Zobrazení df(x 0,y 0 ) : R 2 R 2 dané předpisem [h,k] df [df(x 0,y 0 )(h,k), dg(x 0,y 0 )(h,k)] = = [f x (x 0,y 0 )h + f y (x 0,y 0 )k,g x (x 0,y 0 )h + g y (x 0,y 0 )k] nazýváme diferenciál zobrazení F v bodě [x 0,y 0 ] a značíme df(x 0,y 0 ).

1. TEORETICKÁ ČÁST 11 Podle této definice je tedy diferenciál zobrazení F lineární zobrazení z R 2 do R 2. Protože z lineární algebry víme, že každé lineární zobrazení mezi konečnědimenzionálními prostory lze reprezentovat vhodnou maticí, dostáváme se k následující definici. Definice 1.10. Necht zobrazení F = {f,g} z R 2 do R 2 je diferencovatelné v bodě [x 0,y 0 ]. Matici typu 2 2 ( ) F fx (x (x 0,y 0 ) = 0,y 0 ) f y (x 0,y 0 ) g x (x 0,y 0 ) g y (x 0,y 0 ) nazýváme Jacobiho matice zobrazení F v bodě [x 0,y 0 ], determinant této matice nazýváme jacobián zobrazení F v bodě [x 0,y 0 ]. Poznámka 1.8. Pro zobrazení mezi prostory dimenzí vyšších než dvě je situace analogická. 1.5 Implicitně zadaná funkce jedné proměnné Definice 1.11. Necht F je funkce dvou proměnných. Označme M = {[x,y] D(F) : F(x,y) = 0} a necht F(x 0,y 0 ) = 0. Jestliže existují čísla δ > 0, ǫ > 0 taková, že množina {[x,y] M : x x 0 < δ, y y 0 < ǫ} je totožná s grafem funkce y = f(x), x x 0 < δ, řekneme, že funkce f je v okolí bodu [x 0,y 0 ] definována implicitně rovnicí F(x,y) = 0. Jinými slovy, funkce y = f(x) je v okolí bodu [x 0,y 0 ] zadaná implicitně rovnicí F(x,y) = 0, jestliže existuje δ > 0 takové, že F(x,f(x)) = 0 pro x (x 0 δ,x 0 + δ). Věta 1.4. Necht je funkce F spojitá na čtverci R = {[x,y] D(F) : x x 0 < a, y y 0 < a} a necht F(x 0,y 0 ) = 0. Dále předpokládejme, že funkce F má spojitou parciální derivaci F(x,y) v bodě [x y 0,y 0 ] a platí F (x y 0,y 0 ) 0. Pak existuje okolí bodu [x 0,y 0 ], v němž je rovností F(x,y) = 0 implicitně definována právě jedna funkce y = f(x), která je spojitá. Důkaz. Viz. [2]. Poznámka 1.9. Podmínka F y (x 0,y 0 ) 0 je pouze dostatečnou, nikoliv nutnou podmínkou pro existenci implicitně zadané funkce. Na zadávající rovnici F(x,y) = 0 se můžeme dívat také jako na rovnici definující funkci x = ψ(y) proměnné y. Snadno se vidí na základě Věty 1.4, že dostatečnou podmínkou pro existenci takto implicitně zadané funkce x = ψ(y) v okolí bodu [x 0,y 0 ] je F x (x 0,y 0 ) 0. Věta 1.5. Necht jsou splněny předpoklady Věty 1.4 a funkce F má na R spojité parciální derivace 1. řádu. Pak má funkce f, která je implicitně určena v okolí bodu [x 0,y 0 ] rovnicí F(x,y) = 0, derivaci v bodě x 0 a platí f (x 0 ) = F x(x 0,y 0 ) F y (x 0,y 0 ).

1. TEORETICKÁ ČÁST 12 Důkaz. Necht f je funkce implicitně určená v okolí bodu [x 0,y 0 ] rovnicí F(x,y) = 0, tj. existuje δ > 0 takové, že pro x (x 0 δ,x 0 +δ) platí F(x,f(x)) = 0. Důkaz existence derivace implicitně zadané funkce f zde nebudeme provádět (podrobně uveden ve skriptu [8]), zde se pouze zaměříme na odvození vzorce pro f. Derivováním rovnosti F(x,f(x)) = 0 podle x dostáváme F x (x,f(x)) + F y (x,f(x))f (x) = 0, odtud f (x) = F x(x,f(x)) F y (x,f(x)). Dosadíme-li za x = x 0, pak ze skutečnosti, že f(x 0 ) = y 0, plyne dokazované tvrzení. Důsledek 1.6. Necht funkce F : R n+1 R, M = {[x,y] = [x 1,...,x n,y] R n+1,f(x,y) = 0}, [x,y ] M a F je spojitá na množině R = {[x,y] = [x 1,...,x n,y] : x i x i < a,i = 1,...,n, y y < a}. Dále předpokládejme, že F má spojitou parciální derivaci F y v bodě [x,y ] a F y (x,y ) 0. Pak existuje okolí bodu [x,y ], v němž je rovnicí F(x,y) = F(x 1,...,x n,y) = 0 implicitně určena právě jedna spojitá funkce y = f(x) = f(x 1,...,x n ). Má-li navíc funkce F v bodě [x,y ] spojité parciální derivace x i F, má implicitně určená funkce f v bodě x = [x 1,...,x n] parciální derivace a platí F f (x x ) = i (x,y ) F x i y (x,y ) 1.5.1 Implicitně zadané zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí Necht je dáno m funkcí F i, n + m proměnných x = [x 1,...,x n ], y = [y 1,...,y m ], i = 1,...,m, a uvažujme systém rovnic F 1 (x 1,...,x n,y 1,...,y m ) = 0 F m (x 1,...,x n,y 1,...,y m ) = 0.. (1.2) Na m-tici funkcí F 1,...,F m se můžeme dívat jako na zobrazení z R n+m R m, které označíme F. Pak F 1,...,F m jsou složky tohoto zobrazení, tj. F = {F 1,...,F m }. Podobně jako v předchozí části označme M = {[x,y] R n+m : F(x,y) = 0} a necht [x,y ] M. Jestliže existuje okolí bodu [x,y ] R n+m O([x,y ]) = O(x ) O(y ) a zobrazení ϕ : R m R n takové, že pro každé [x,y] O([x,y ]) je množina bodů [x,y] M totožná s množinou bodů [x,ϕ(x)], x O(x ), řekneme, že zobrazení ϕ je v okolí bodu [x,y ] implicitně určeno rovnicí F(x, y) = 0. Hledáme podmínky pro existenci implicitně zadaného zobrazení. Jinými slovy, chceme v okolí bodu [x,y ] ze systému rovnic (1.2) jednoznačně určit proměnné y 1,...,y m v závislosti na x 1,...,x n.

1. TEORETICKÁ ČÁST 13 Věta 1.7. Necht F = {F 1,...,F m } je spojité zobrazení na množině R = {[x,y] R n+m : [x,y] O a (x ) O a (y )}, necht matice y 1 F 1 (x,y) y m F 1 (x,y) F y (x,y) =. y 1 F m (x,y) y m F m (x,y) je regulární v bodě [x,y ] a její prvky jsou spojité v tomto bodě. Pak existuje okolí O([x,y ]) = O(x ) O(y ) bodu [x,y ] takové, že rovnicí F(x,y) = 0 je v tomto okolí bodu [x,y ] určeno jediné spojité zobrazení ϕ : O(x ) O(y ), tj. pro x O(x ) je F(x,ϕ(x)) = 0. Jsou-li navíc v bodě [x,y ] spojité prvky matice x 1 F 1 (x,y) x m F 1 (x,y) F x (x,y) =. x 1 F m (x,y) x m F m (x,y) pak jsou prvky Jacobiho matice implicitně určeného zobrazení ϕ spojité v x a platí ϕ (x ) = [F y (x,y )] 1 F x (x,y ). Důkaz. Označíme-li d = det F y (x,y ) a budeme-li s maticemi F y, F x manipulovat v podstatě stejně jako v důkazu Věty 1.4 a 1.5, zjistíme, že důkaz těchto vět,,projde i v maticovém případě. Podrobně je tato myšlenka realizována ve scriptu [8].

Kapitola 2 Úvod do komparativní statiky Ještě než se pustíme do samotné problematiky komparativní statiky, objasníme si některá fakta vyplývající z derivací. Jestliže může být znaménko derivace určeno z daných informací o parametrech, poznáme směr, ve kterém se bude endogenní proměnná pohybovat, když se exogenní proměnná nebo parametr změní. To představuje kvalitativní závěr. Jestliže můžeme zjistit velikost derivace, jde o kvantitativní závěr. Podobně můžeme vyjádřit uvedené závěry pro parciální derivace ostatních endogenních proměnných v závislosti na exogenních proměnných a parametrech. Všechny získané výsledky se mohou zdát být dosažitelné graficky. Je-li tomu tak, proč se vůbec obtěžujeme používat derivování? Odpověd je, že postup derivování má přinejmenším dvě významnější výhody: 1. Grafický způsob závisí na rozměrovém omezení, ale derivování nikoli. Dokonce když počet endogenních proměnných a parametrů je takový, že rovnovážný stav nelze graficky zobrazit, můžeme i přesto použít způsob derivování. 2. Metoda derivování nám může poskytnout výsledky, které jsou na vyšší úrovni obecného tvrzení. Výsledky zůstanou v platnosti bez ohledu na specifické hodnoty parametrů, pokud splňují znaménková omezení. Závěry komparativní statiky jsou ve výsledku použitelné pro nekonečný počet kombinací funkcí. Naproti tomu grafický způsob se zabývá pouze určitou specifickou křivkou. Odvozený analytický výsledek je tedy použitelný jen pro specifické funkce a jejich zobrazení. Dále by bylo vhodné podotknout, pokud řešíme soustavu nezávislých rovnic, musí se počet endogenních proměnných rovnat počtu rovnic soustavy, abychom vůči endogenním proměnným dostali jednoznačné řešení. Jestliže systém obsahuje navíc exogenní proměnné, vyjadřujeme řešení, tj. endogenní proměnné, s pomocí volných exogenních proměnných. 14

2. ÚVOD DO KOMPARATIVNÍ STATIKY 15 2.1 Jednoduchý keynesiánský model národního důchodu 2.1.1 Dvousektorový model s dvěma endogenními proměnnými Necht Y udává hodnotu agregátní nabídky zboží a služeb v ekonomice. Y představuje také národní důchod, který zahrnuje částky skutečně vyplacené výrobním faktorům jako mzdy, platy, zisky a ostatní formy příjmů spolu s podnikovými úsporami (přestože nejsou vyplaceny výrobním faktorům a pak jimi uspořeny). Agregátní poptávka po zboží a službách má 2 složky: spotřebu C a investice I. C je funkcí národního důchodu Y. Autonomní spotřebu, která je nezávislá na velikosti Y, pro jednoduchost nebudeme uvažovat. C je určeno spotřební funkcí C = cy, 0 < c < 1, (2.1) kde konstanta c je mezní sklon ke spotřebě. Tedy c = dc a udává nám, jak se změní dy spotřeba v důsledku změny velikosti národního důchodu. Předpokládejme, že proměnné C a Y jsou endogenní a proměnná I je exogenní proměnná a její hodnoty jsou tedy zadány z vnějšku. Podmínkou rovnováhy je, že agregátní nabídka se rovná agregátní poptávce Dosazením (2.1) do (2.2) dostáváme Y = C + I (2.2) Y = I 1 c (2.3) Zobrazíme tento model do grafu na obr. 2.1. Na vodorovné ose měříme Y, na svislé ose C, I a agregátní poptávku C + I. Osa prvního kvadrantu označená E znázorňuje souhrn bodů, ve kterých rovnost C + I = Y vyjadřuje souhrn potenciálních rovnovážných bodů. Přímka C se sklonem c udává spotřební funkci (2.1) a vodorovná přímka udává exogenní úroveň investic I. Přímka C opět se sklonem c označuje agregátní poptávkovou funkci C = C + I = cy + I a bod, ve kterém se protíná s osou E, udává úroveň rovnovážného důchodu Y, ve kterém je agregátní poptávka rovna agregátní nabídce. V tomto modelu je otázkou komparativní statiky: Jak změna vnějších (exogenních) investic I ovlivní úroveň rovnovážného důchodu Y? Z algebraického hlediska můžeme odpověd nalézt explicitně z (2.3) jako funkce proměnné I nebo implicitně z rovnice (1 c)y I = 0 V obou případech derivací důchodu Y podle investic I dostáváme k = dy di = 1 1 c > 0 Hodnota k nám udává, jak se změní velikost národního důchodu v důsledku změny investic. Tedy zvýšení investic zvyšuje rovnovážný národní důchod násobkem 1 1 c, který

2. ÚVOD DO KOMPARATIVNÍ STATIKY 16 C, I C + I E C, I C + I E C C C I 45 C I I 45 0 Y Y 0 Y Y Y Obr. 2.1: Rovnováha v jednoduchém keynesiánském modelu Obr. 2.2: Zvýšení investic zvyšuje rovnovážný důchod nazýváme investiční multiplikátor. Z podmínky pro mezní sklon ke spotřebě, 0 < c < 1, obdržíme podmínku pro hodnotu multiplikátoru k > 0. Tuto situaci zobrazíme na obr. 2.2. Zvýšení vnějších investic z I na I posunuje agregátní poptávku (C ) rovnoběžně nahoru k nové přímce C, tedy dává vyšší rovnovážný důchod Y. 2.1.2 Třísektorový model se třemi endogenními proměnnými Necht máme tři endogenní proměnné: Y... národní důchod, C... spotřeba a T... daň, které spojují vzájemné vztahy: Y = C + I + G C = α + β(y T) (α > 0; 0 < β < 1) T = γ + δy (γ > 0; 0 < δ < 1) (2.4) kde I jsou investice a G jsou vládní výdaje. Obě představují exogenní proměnné. První rovnice nám vyjadřuje podmínku rovnováhy pro národní důchod, zatímco druhá a třetí rovnice ukazuje, jak jsou C a T v modelu určeny. Parametry α, β, γ a δ jsou omezené a nyní vysvětlíme, co znamenají. Parametr α je kladný, protože spotřeba je kladná, i když disponibilní důchod 1 (Y T) je nulový. Představuje tu část spotřeby, která není ovlivněna důchodem. Parametr β (0, 1) je kladný, protože představuje mezní sklon ke spotřebě (β = dc ) a tato část spotřeby dy nemůže přesáhnout disponibiní důchod. Parametr γ je kladný, protože představuje vládní příjmy z nedůchodových daňových zdrojů. Nakonec parametr δ (0, 1) je kladný, protože 1 V makroekonomii osobní důchod snížený o daně z příjmů osob. Může být spotřebován nebo uspořen.

2. ÚVOD DO KOMPARATIVNÍ STATIKY 17 C, I, G C + I + G E C C G I α βγ 45 0 Ȳ Y Obr. 2.3: Rovnováha v modelu národního důchodu představuje míru zdanění 2 a jako takový nemůže přesáhnout 100% z nedůchodových daňových zdrojů. U všech parametrů a exogenních proměnných se předpokládá, že jsou na sobě nezávislé, tudíž některá z nich může nabýt novou hodnotu, která na ostatní nemá vliv. Jde o lineární systém tří rovnic o třech neznámých Y, C, T. Najdeme rovnovážný důchod Ȳ modelu (2.4). Řešením vzhledem k Y je rovnovážný důchod (v redukovaném tvaru): Ȳ = α βγ + I + G 1 β + βδ (2.5) Obdobně můžeme najít rovnovážné hodnoty také pro endogenní proměnné C a T. Zobrazíme tento model do grafu na obr. 2.3. Na vodorovné ose měříme Y, na svislé ose C, I, G a agregátní poptávku C + I + G. Osa prvního kvadrantu E znázorňuje souhrn bodů, ve kterých rovnost C + I + G = Y vyjadřuje souhrn potenciálních rovnovážných bodů. Přímka C se sklonem 0 < β(1 δ) < 1 (2.6) udává spotřební funkci C = α + β(y T), kde T = γ + δy. Vodorovné přímky udávají exogenní úroveň I a G. Přímka C opět se sklonem (2.6) je agregátní poptávková funkce C = C +I +G = α+β(y T)+I +G a bod, ve kterém se protíná s osou E, udává úroveň rovnovážného důchodu Ȳ, ve kterém je agregátní poptávka rovna agregátní nabídce. Z rovnice (2.5) můžeme získat šest parciálních derivací komparativní statiky, z nichž 2 Výše, resp. rozpětí daňových sazeb. V našem modelu se jedná o rovnou daň danou procentem. Obvykle se stanoví minimální příjem, jako hranice, od které příjmy podléhají dani.

2. ÚVOD DO KOMPARATIVNÍ STATIKY 18 následující tři mají zvláštní politický význam: Ȳ G = 1 1 β(1 δ) > 0 (2.7) Ȳ γ = β 1 β(1 δ) < 0 (2.8) Ȳ δ = β(α βγ + I + G) (1 β + βδ) 2 = βȳ 1 β(1 δ) < 0 (2.9) Parciální derivace (2.7) nám dává vládní výdajový multiplikátor. Má kladné znaménko, nebot platí (2.6). Jestliže jsou dány parametry β a δ, dostáváme z (2.7) hodnotu multiplikátoru. Parciální derivace z (2.8) může být nazvána jako nedůchodový daňový multiplikátor. Ukazuje, jak změna γ ovlivní rovnovážný důchod. Tento multiplikátor je záporný, nebot jmenovatel je kladný a čitatel je záporný. Nakonec parciální derivace (2.9) vyjadřuje multiplikátor důchodové sazby daně. Jako v předchozím případě je i tento záporný pro libovolný kladný rovnovážný důchod. Příklad 1. Předpokládejme vládní výdaje v jednoduchém keynesiánském modelu. Stát nakupuje zboží a služby v množství G a zvyšuje svůj příjem daní z příjmu. Necht míra daně z příjmu je t, tedy disponibilní důchod je (1 t)y. Jestliže t = 0.2, β = 0.8, α = 0 a I = 500, nalezneme hodnotu vládního výdajového multiplikátoru. Řešení. Agregátní poptávka je nyní C + I + G, kde C = β(y T) a pro rovnováhu tedy platí Y = C + I + G = β(1 t)y + I + G = 0.8(0.8)Y + 500 + G = 0.64Y + 500 + G 0.36Y = 500 + G odtud Vládní výdajový multiplikátor je Ȳ = 1400 + 2.8G dȳ dg = 2.8 2.2 Lineární tržní model Necht poptávka po zboží je dána lineární poptávkovou funkcí D = a bp a,b > 0, (2.10)

2. ÚVOD DO KOMPARATIVNÍ STATIKY 19 kde D je poptávané množství a P je jeho cena. Necht nabídka zboží je dána lineární nabídkovou funkcí S = c + dp c,d > 0 (2.11) kde S je nabízené množství. Pro tržní rovnováhu požadujeme, aby se nabídka rovnala poptávce, tedy rovnovážné množství na trhu je Q = S = D. Z dosazení lineárních funkcí (2.10) a (2.11) plyne také cenová rovnováha, kterou vyjádříme jako P : P = a + c b + d Q = ad bc b + d (2.12) Parametry a, b, c a d jsou na sobě nezávislé. Budeme sledovat, jak změna jednoho z parametrů ovlivní hodnotu P. Derivováním dostaneme následující čtyři parciální derivace z (2.12): P a = 1 b + d P b = 0(b + d) 1(a + c) (b + d) 2 = P c = 1 b + d P d (= P ) a = 0(b + d) 1(a + c) (b + d) 2 = (a + c) (b + d) 2 (a + c) (b + d) 2 (= P ) V modelu (2.10) a (2.11) jsou všechny parametry kladně omezeny a tak můžeme učinit závěr: P a = P c > 0 a P b = P d < 0 (2.13) Pro plnější pochopení se podíváme na obr. 2.4, ze kterého odvodíme čtyři grafy. Každý ukazuje změnu jednoho z parametrů (obr. 2.5). Všimněme si, že k zabezpečení řešení uvnitř kladného kvadrantu je nutná podmínka a > c. b d Obr. 2.5(a) zobrazuje zvýšení parametru a na a. Vzhledem k tomu, že parametr b, který vyjadřuje sklon křivky, je nezměněn, změna a vyvolá posun poptávkové křivky rovnoběžně nahoru z D na D. Nový průsečík S a D určuje rovnovážnou cenu P, která je větší než P. To potvrzuje výsledek, že P > 0. a Situace na obr. 2.5(c) je velice podobná. Liší se pouze v tom, že zvýšením parametru c se posunuje rovnoběžně nabídková křivka, a to směrem dolů, protože křivka má průsečík na svislé ose v bodě [ c, 0]. b

2. ÚVOD DO KOMPARATIVNÍ STATIKY 20 Q a S = c + dp Q D = a bp 0 c d P a b P c Obr. 2.4: Rovnováha na lineárním trhu Grafický výsledek komparativní statiky, že P převyšuje P, opět odpovídá tomu, co jsme očekávali, vzhledem ke kladnému znaménku derivace P. c Obr. 2.5(b) a 2.5(d) zobrazují vlivy změn parametrů sklonu b a d dvou funkcí v modelu. Zvýšení parametru b znamená, že sklon poptávkové křivky bude předpokládat větší absolutní hodnotu, to jest bude strmější. V souladu s výsledkem P < 0, se rovnovážná b cena P sníží. Zvýšení parametru d bude znamenat strmější sklon nabídkové křivky, což má za následek snížení rovnovážné ceny P. Opět je to v souladu s výsledkem P < 0. d 2.2.1 Rozšíření lineárního tržního modelu Původní model můžeme rozšířit o agregátní spotřebitelský důchod y. Poptávková funkce bude mít tvar: D = a bp + ey a,b,e > 0, a nabídková funkce: S = c + dp d > 0 Po dosazení do podmínky S = D dostaneme rovnovážnou cenu a množství: P = a c + ey b + d Q ad + dey + bc = b + d V tomto modelu je otázkou komparativní statiky: Jak změna spotřebitelského důchodu y ovlivní rovnovážnou cenu P? Na P můžeme pohlížet jako na funkci y a řešit bud explicitně P = a c b d + e b + d y

2. ÚVOD DO KOMPARATIVNÍ STATIKY 21 Q a a S Q a S c 0 P P D D P 0 c P P D D P (a) Zvýšení parametru a (b) Zvýšení parametru b Q S Q S S a S a D 0 c c P P D P 0 c P P P (c) Zvýšení parametru c (d) Zvýšení parametru d nebo implicitně V obou případech derivací dostaneme Obrázek 2.5: Změny parametrů a c (b + d)p + ey = 0 dp dy = e b + d > 0 Výsledkem zvýšení důchodu v uvedeném modelu je zvýšení rovnovážné ceny. Výše uvedené zvýšení rovnovážné ceny je graficky znázorněno na obr. 2.6. Zvýšení spotřebitelského důchodu y na y posouvá poptávkovou křivku směrem nahoru a dává nový rovnovážný bod P. Tedy rovnovážná cena se zvyšuje. Příklad 2. Mějme poptávkovou a nabídkovou funkci po zboží tvaru D = 30 2P y S = P. Nalezneme výsledek změny důchodu na rovnovážnou cenu a množství.

2. ÚVOD DO KOMPARATIVNÍ STATIKY 22 P ey +a b ey+a b S = c + dp P P D = a bp + ey 0 c Q Q a + ey a + ey Q c d Obr. 2.6: Zvýšení spotřebitelského důchodu zvyšuje rovnovážnou cenu Řešení. Rovnost D = S je podmínkou rovnováhy a odtud rovnovážná cena a množství P = 10 y 3, Q = 10 y 3, tedy hledané derivace komparativní statiky jsou dp dy = 1 3, dq dy = 1 3.

Kapitola 3 Obecná analýza komparativní statiky V předchozí kapitole jsme pojednávali o případu, kde byly rovnovážné hodnoty endogenních proměnných explicitně vyjádřeny pomocí exogenních proměnných a parametrů. Pro nalezení řešení jsme potřebovali pouze jednoduchou parciální derivaci. Nyní se budeme zabývat případem, kdy model obsahuje funkce v obecném tvaru, tudíž původní metodu zde nelze použít. Nová metoda umožňuje aplikovat jiné prostředky, jako parciální derivace a totální diferenciály, větu o implicitní funkci a její pravidla. Nejprve budeme uvažovat případ, ve kterém je stále pouze jedna endogenní proměnná x a jedna exogenní proměnná α. Předpokládejme, že máme ekonomický model a rovnovážné řešení, ze kterého je určena rovnice tvaru F( x,α) = 0 (3.1) Proměnná x je rovnovážná hodnota endogenní proměnné x a F je diferencovatelná funkce. Hledáme výsledek změny α na x, který vysvětlíme pomocí derivace d x, jestliže tato derivace existuje. Potřebujeme určit znaménko této derivace, abychom poznali směr změny dα rovnovážné hodnoty x. Budeme postupovat následujícím způsobem: Předpokládáme existenci řešení rovnice (3.1) jako diferencovatelné funkce x(α) proměnné α. Vložíme ji do podmínky rovnováhy a dostaneme Za předpokladu, že platí F x 0, aplikací Věty 1.5 dostáváme F ( x(α),α) = 0 (3.2) d x dα = F α( x,α) F x ( x,α), kde F x = F a F x α = F. Přičemž parciální derivace F α x a F α jsou vyhodnoceny v rovnovážném bodě [ x(α),α] a mohou být považovaná za daná čísla. Pro případ s více proměnnými je postup analogický. 23

3. OBECNÁ ANALÝZA KOMPARATIVNÍ STATIKY 24 Uvažujme dvě endogenní proměnné x 1 a x 2 a dvě exogenní proměnné α 1, α 2. Pro každou z nich požadujeme rovnováhu neboli podmínku 1. řádu. Tedy řešení modelu je dáno podmínkami F 1 ( x 1, x 2,α 1,α 2 ) = 0 F 2 ( x 1, x 2,α 1,α 2 ) = 0 (3.3) Odtud rovnovážné řešení pro endogenní proměnné závisí na exogenních proměnných. Opět jestliže existují derivace x i α j ; i,j = 1, 2, řešíme rovnice jako diferencovatelné funkce x 1 (α 1,α 2 ) a x 2 (α 1,α 2 ) proměnných α 1 a α 2. Vložením do podmínek (3.3) dostáváme Derivací (3.4) pro α 1 obdržíme F 1 ( x 1 (α 1,α 2 ), x 2 (α 1,α 2 ),α 1,α 2 ) = 0 F 2 ( x 1 (α 1,α 2 ), x 2 (α 1,α 2 ),α 1,α 2 ) = 0 F 1 1 F 2 1 x 1 + F 1 x 2 2 + Fα 1 α 1 α 1 = 0 1 x 1 + F 2 x 2 2 + Fα 2 α 1 α 1 = 0, 1 (3.4) kde Fα i 1 = F i α 1,i = 1, 2. Parciální derivace jsou opět vyhodnoceny v rovnovážném bodě a mohou být považovaná za daná čísla. Odtud můžeme zapsat rovnice jako lineární systém [ F 1 1 F 1 2 F 2 1 F 2 2 ][ x1 α 1 x 2 α 1 ] = [ F 1 α1 F 2 α 1 Podmínkou jednoznačné řešitelnosti tohoto systému je: D = F 1 1 F 2 2 F 2 1 F 1 2 0. Za předpokladu, že podmínka platí, použitím Cramerova pravidla (podrobně uveden v [9]) dostaneme řešení Fα 1 1 F 1 2 x 1 Fα 2 = 1 F2 2 = (F α 1 1 F2 2 Fα 2 1 F2 1 ) α 1 D D x 2 α 1 = F1 1 F 1 α 1 F 1 2 Fα 2 1 D ] = (F 1 1 F 2 α 1 F 2 1 F 1 α 1 ) D Analogicky bychom odvodili derivaci komparativní statiky pro změnu α 2.

3. OBECNÁ ANALÝZA KOMPARATIVNÍ STATIKY 25 Příklad 3. Mějme implicitní funkci Hledáme derivaci dx dα. Řešení. 3.1 Tržní model F (x (α),α) = lnx 2α 2 F (x (α),α) = lnx 2α 2 = 0 dx dα = F α = ( 4α) ( F 1 ) = 4αx x x 3.1.1 Základní metoda pro jednoduché rovnice Uvažujme jednoduchý trh zboží, kde poptávané množství Q d je funkcí ceny P a agregátního spotřebitelského důchodu Y 0, který zde představuje exogenní proměnnou. Nabízené množství Q s je pouze funkcí ceny P. Jestliže tyto funkce nejsou ve specifickém tvaru, můžeme obecně model zapsat tímto způsobem: Q d = Q s Q d = D(P,Y 0 ) Q s = S(P) ( ) D D < 0; > 0 P Y ( ) 0 ds dp > 0 (3.5) U obou funkcí D a S předpokládáme, že mají spojité parciální derivace neboli mají hladké grafy. Navíc pro zabezpečení ekonomického významu jsme stanovili znaménková omezení těchto derivací. Z omezení nabídkové funkce ds > 0 plyne, že je monotónně dp rostoucí funkcí ceny, i když je lineární nebo nelineární. Podobně z omezení poptávkové funkce plyne, že je klesající funkcí ceny, ale rostoucí funkcí důchodu. Tato omezení slouží k ohraničení naší analýzy na normální případ, se kterým se setkáme. V grafu poptávkové křivky obvykle dvourozměrného typu je úroveň důchodu pevně stanovena. Jestliže se důchod změní, poruší danou rovnováhu posunem křivky. V modelu (3.5) Y 0 poruší rovnováhu změnou v poptávkové funkce. Jelikož zde vyjadřuje pouze exogenní proměnnou nebo parametr, otázkou komparativní statiky tohoto modelu je: Jak změna důchodu Y 0 ovlivní rovnovážný stav modelu. Rovnovážný stav modelu je definován podmínkou rovnováhy Q d = Q s. Po dosazení funkcí z (3.5) a úpravě dostaneme D(P,Y 0 ) S(P) = 0 (3.6)

3. OBECNÁ ANALÝZA KOMPARATIVNÍ STATIKY 26 Tuto rovnici nejsme schopni řešit explicitně pro rovnovážnou cenu P. Ovšem předpokládejme, že zde existuje statická rovnováha 1. Ze znalosti se specificky funkčními modely uvažujme, že P je funkcí exogenní proměnné Y 0 : P = P(Y 0 ) (3.7) Tuto domněnku vysvětlíme pomocí aplikace Věty 1.4. Rovnice (3.6) je tvaru F(P,Y 0 ) = 0. Tudíž ze splnění podmínek uvedené věty vyplývá, že každá hodnota Y 0 přinese jednoznačnou hodnotu P v okolí bodu splnění podmínky (3.6), t.j. v okolí počátečního nebo původního rovnovážného řešení. Poté můžeme zapsat implicitní funkci (3.7). Hledáme komparativní statickou derivaci d P dy 0, jestliže tato derivace existuje. Ověříme následující podmínky: Funkce F(P,Y 0 ) má spojité derivace; t.j. její dvě složky D(P,Y 0 ) a S(P) mají spojité derivace. Parciální derivace F P = D ds proměnné P je záporná a odtud nenulová, bez ohledu, P dp kde je vyhodnocena. Věta 1.4 platí a podmínka (3.7) je vskutku legitimní. Za předpokladu existence rovnovážné ceny (3.7) můžeme podmínku (3.6) zapsat ve tvaru: D( P,Y 0 ) S( P) 0 (3.8) Nyní budeme aplikovat pravidlo Věty 1.5 pro nalezení komparativní statické derivace d P dy 0. Výsledným řešením je: d P = dy 0 F Y 0 F P = D Y 0 D ds P d P > 0 (3.9) Vzhledem k počáteční rovnováze P = P D se vyjádření P odkazuje na derivaci D, P která je vyhodnocena v rovnovážném bodě. Obdobně pro derivace ds D a d P Y 0. Na základě specifikovaných znamének v modelu (3.5) je hodnota d P dy 0 vždy kladná. Tudíž kvalitativním závěrem je, že zvýšení (snížení) úrovně důchodu bude výsledkem zvýšení (snížení) rovnovážné ceny. Jestliže známe (nebo můžeme odhadnout) hodnoty jednotlivých parciálních derivací, můžeme kvalitativní závěr (3.9) doplnit také kvantitativním závěrem. V uvedené diskusi hledáme výsledek změny parametru Y 0 na rovnovážnou cenu P. Podobně můžeme zjistit vliv na rovnovážné množství Q (= Q d = Q s ). Vezmeme-li rovnovážný stav Q = S( P) za podmínky (3.7), použitím řetězového pravidla získáme řešení d Q = ds dy 0 d P d P dy 0 > 0 Platí zde stejné závěry jako v případě rovnovážné ceny. 1 Situace, kdy subjekty nemají důvod měnit své chování. ( ) ds d P > 0 (3.10)

3. OBECNÁ ANALÝZA KOMPARATIVNÍ STATIKY 27 3.1.2 Simultánní metoda pro systém rovnic Výše uvedený model byl řešen pro jednoduchou rovnici (3.8), kde mohla být začleněna pouze jedna endogenní proměnná. Byli jsme tedy nuceni najít nejprve výsledek pro rovnovážnou cenu a až poté odvodit rovnovážné množství. Nyní budeme proměnné P a Q studovat dohromady. Jelikož máme dvě endogenní proměnné, zavedeme systém dvou rovnic. Ponecháme podmínku rovnováhy Q = Q d = Q s z (3.5) a uspořádáme tržní model na tvar: F 1 (P,Q;Y 0 ) = D(P,Y 0 ) Q = 0 F 2 (P,Q;Y 0 ) = S(P) Q = 0 (3.11) Opět ověříme podmínky Věty 1.7, tedy jestliže funkce F 1 a F 2 mají spojité derivace a Jacobián příslušný endogenním proměnným je skutečně nenulový bez ohledu, kde je vyhodnocen: J = Věta o implicitní funkci platí. F 1 P F 2 P F 1 Q F 2 Q = D P ds dp 1 1 = ds dp D P > 0 (3.12) Jestliže existuje rovnovážné řešení [ P, Q], věta nám říká, že implicitní funkce můžeme zapsat tvaru: P = P(Y 0 ) a Q = Q(Y0 ) (3.13) U těchto funkcí víme, že mají spojité derivace. Rovnice (3.11) pak budou vyjadřovat rovnovážné podmínky, tj.: D( P,Y 0 ) Q 0 S( P) Q 0 (3.14) Rovnice (3.14) budeme derivovat pro Y 0. Obdržíme: D P d P dy 0 + D Y 0 d Q dy 0 = 0 ds d P d P d Q = 0 dy 0 dy 0 (3.15) Parciální derivace jsou vyhodnoceny v rovnovážném bodě a mohou být považovány za daná čísla. Úpravou (3.15) dostaneme maticovou rovnici: [ D ] P d 1 P [ ] dy 0 D Y 0 = (3.16) 1 0 ds d P d Q dy 0

3. OBECNÁ ANALÝZA KOMPARATIVNÍ STATIKY 28 Pomocí Cramerova pravidla a Jacobiánu (3.12) najdeme následující řešení: D Y 0 1 d P 0 1 D Y = = 0 dy 0 J J d Q dy 0 = D P D Y 0 ds d P 0 J = ds d P D Y 0 J (3.17) Výsledky jsou totožné s dříve získanými ((3.9) a (3.10)). 3.2 Mapa kanálů pro tržní model At už modelujeme pomocí jednoduché rovnice (3.8) nebo simultánních rovnic (3.14), dostáváme totéž řešení a tytéž kvalitativní závěry komparativní statiky. Stejného výsledku dosáhneme, pokud rovnici (3.8) derivujeme podle Y 0 (podobně jako jsme provedli derivaci implicitně zadané funkce v důkaze Věty 1.5) s tím, že zohledňujeme přímý i nepřímý vliv Y 0 na jednotlivé funkce, které v rovnici (3.8) vystupují. Dostaneme následující rovnici: D P d P dy 0 + D Y 0 ds d P d P dy 0 = 0 (nepřímý vliv Y 0 na D) (přímý vliv Y 0 na D) (nepřímý vliv Y 0 na S) Řešením pro hodnotu d P dy 0 obdržíme stejný výsledek jako v (3.9). D P S Q Y 0 Obr. 3.1: Mapa kanálů Vlivy Y 0 na ostatní proměnné nám ukazuje mapa kanálů na obr. 3.1. Na této mapě můžeme vidět, že proměnná Y 0 přímo ovlivňuje poptávkovou funkci D, rovnovážnou cenu P a rovnovážné množství Q. Nepřímo ovlivňuje nabídkovou funkci S a také funkci D.

3. OBECNÁ ANALÝZA KOMPARATIVNÍ STATIKY 29 Přičemž proměnná P má přímý vliv na funkce D a S. Tedy mapa nám říká, že derivace D pro Y 0 zohledňuje nepřímý i přímý vliv, kdežto derivace S zohledňuje pouze nepřímý vliv. Podobně slouží mapa kanálů pro modelování pomocí simultánních rovnic (3.14). 3.3 Model národního důchodu V této části budeme aplikovat výše ilustrovaný postup na model národního důchodu, který bude nyní zadán obecnými funkcemi. Z původní varianty modelu (2.4) vyjmeme vládní výdaje a daně, které nahradíme vztahy zahraničního obchodu. Mimoto také zahrneme peněžní trh a trh zboží. Nejprve charakterizujme trh zboží následujícími čtyřmi funkcemi: 1. Investiční výdaje I jsou klesající funkcí úrokové míry i: kde I di di je derivace investiční funkce. I = I(i) (I < 0), 2. Úspory S jsou rostoucí funkcí národního důchodu Y a úrokové míry i: S = S(Y,i) (0 < S Y < 1;S i > 0) kde S Y S Y (mezní sklon k úsporám) a S i S i jsou parciální derivace. 3. Výdaje na import (dovoz) M jsou funkcí národního důchodu Y : kde M dm dy M = M(Y ) (0 < M < 1), (3.18) vyjadřuje mezní sklon k dovozu. 4. Úroveň exportu (vývozu) X 0 je exogenně určena: X 0 = konst. 5. Poptávka po penězích M d je rostoucí funkcí národního důchodu (= transakční poptávka 2 ), ale klesající funkcí úrokové míry (= spekulativní poptávka 3 ): M d = L(Y,i) (L Y > 0;L i < 0), kde L Y L a L Y i L jsou parciální derivace. Používáme zde funkční symbol i L, protože poptávková funkce po penězích je obvykle uváděna jako likvidní funkce. Symbol M d by měl být opatrně rozlišován od symbolu M, výdaji na import. 2 Poptávka pro uskutečnění běžných transakcí jako je nákup a prodej zboží. 3 Poptávka je dána nákupy zboží při nejisté tržní situaci a profesionální spekulací.

3. OBECNÁ ANALÝZA KOMPARATIVNÍ STATIKY 30 6. Peněžní nabídka M s je exogenně určena, nebot množství peněz na trhu stanovuje centrální banka 4 : M s = konst. U všech výše uvedených funkcí předpokládáme, že mají spojité derivace. Dosažení rovnováhy v tomto modelu vyžaduje splnění podmínky rovnováhy na trhu zboží (I + X = S + M) a na peněžním trhu (M d = M s ). Na základě výše citovaných obecných funkcí, může být rovnovážný stav popsán následujícími podmínkami: I(i) + X 0 = S(Y,i) + M(Y ) L(Y,i) = M s (3.19) Jelikož na proměnné I, S, M a L se můžeme dívat jako na funkční symboly, ve výsledku dostaneme pouze dvě endogenní proměnné, důchod Y a úrokovou míru i, a dvě exogenní proměnné, export X 0 (založený na cizích rozhodnutích ze zahraničí) a peněžní nabídku M s (určena vládními orgány). Tudíž podmínku (3.19) můžeme vyjádřit tvaru: F 1 (Y,i;X 0,M s ) = I(i) + X 0 S(Y,i) M(Y ) = 0 F 2 (Y,i;X 0,M s ) = L(Y,i) M s = 0 (3.20) Systém (3.20) splňuje podmínku Věty 1.7 za předpokladu, že Funkce F 1 a F 2 mají spojité derivace. Jakobián příslušný endogenním proměnným je nenulový: F 1 F 1 Y i J = = S Y M I S i F 2 Y F 2 i L Y L i = L i (S Y + M ) L Y (I S i ) > 0 (3.21) Řešení rovnic (3.20) je implicitně dáno jako: Tedy platí: Ȳ = Ȳ (X 0,M s ) a ī = ī(x 0,M s ) (3.22) I(ī) + X 0 S(Ȳ,ī) M(Ȳ ) 0 L(Ȳ,ī) M s 0 (3.23) 4 Vládou ustanovená vrcholná instituce zodpovědná za řízení peněžního oběhu v zemi, tj. za vydávání (emisi) peněz, stanovení úvěrových podmínek a dozor nad činností obchodních bank. Funguje proto jako banka emisní, banka bank a banka vlády. Provádí monetární politiku a cílem její činnosti není zisk.

3. OBECNÁ ANALÝZA KOMPARATIVNÍ STATIKY 31 Z rovnovážných podmínek (3.23) lze vyjádřit čtyři komparativní statické derivace pro proměnnou X 0 a M s. Použijeme parciální derivace rovnice (3.23) pro X 0 (pro M s je postup analogický). Dospějeme k maticové rovnici: [ ] SY M I Ȳ [ ] S i X 0 1 = (3.24) L Y L i ī X 0 Opět použitím Cramerova pravidla a Jacobiána (3.21) dostaneme řešení: 1 I S i Ȳ 0 L i = = L i > 0 X 0 J J ī X 0 = S Y M 1 L Y 0 J 0 = L Y J > 0 (3.25) Všechny derivace na pravé straně rovnající se znaménku (včetně derivací v (3.21)) jsou vyhodnoceny v počáteční rovnováze, t.j. v Y = Ȳ a i = ī. Můžeme vyvodit podobné kvantitativní či kvalitativní závěry jako v předchozích modelech. Jelikož sledujeme výsledek změny exportu, platí, že jeho zvýšení bude doprovázeno zvýšením proměnných Ȳ a ī. 3.4 Mapa kanálů pro model národního důchodu Podobně jako v tržním modelu můžeme vyjádřit vlivy proměn- né X 0 na ostatní proměnné, které můžeme shlédnout na mapě kanálů (obr. 3.2). Na schématu vidíme, že při derivování funkce úspor a likvidity nesmíme zapomenout na dva nepřímé vlivy, ī a Ȳ. S pomocí této mapy jsme schopni derivovat rovnice v (3.23) pro X 0. Obdržíme následující rovnice: I ī X 0 + 1 S Y Ȳ X 0 S i L Y ī X 0 M Ȳ X 0 = 0 Ȳ ī + L i = 0 X 0 X 0 (3.26) Řešením této soustavy vzhledem k Ȳ X 0 a ī X 0 dostaneme stejný výsledek jako v (3.25). Výraz Ȳ X 0 vyjadřuje multiplikátor exportu. Odtud export se bude zvýšením rovnovážného důchodu také zvyšovat. Aplikováním řetězového pravidla najdeme komparativní statickou derivaci: M = M Ȳ = M L i > 0 X 0 X 0 J

3. OBECNÁ ANALÝZA KOMPARATIVNÍ STATIKY 32 I : funkce investic S : funkce uspor ī L : funkce likvidity X 0 M : funkce importu Ȳ Obr. 3.2: Mapa kanálů Znaménko této derivace je kladné, protože proměnná M > 0 (podle (3.18)). Analogicky bychom postupovali pro nalezení derivace Ī X 0 (= I L Y ) a S L J X 0 (= S i Y + S J i L Y ). J Uvedený model národního důchodu si můžeme ukázat na obr. 3.3, který je známý pod označením IS-LM model. Model sestává ze dvou funkcí, představujících závislost mezi hrubým domácím produktem 5 Y (v tomto případě národní důchod) a úrokovou mírou i. Funkce IS (investice a úspory), která reprezentuje stranu zboží, je obecně nelineární a klesající. Funkce LM (likvidita a peněžní nabídka), která představuje peněžní stranu, je obecně nelineární a rostoucí. Při daných poptávkových funkcích po penězích existuje jen jeden bod rovnováhy mezi celkovou produkcí a úrokovou mírou v daném hospodářství. Obr. 3.4 znázorňuje případ, kdy zvýšení vnějších investic zvyšuje národní důchod a úrokovou míru. 5 Základní makroekonomický ukazatel. Zkráceně HDP. Celková hodnota finálních statků vyrobených v ekonomice země za určité období a procházejících trhem vyjádřená v peněžních jednotkách. Z HDP se odvozují makroekonomické ukazatele: čistý domácí produkt, hrubý a čistý národní produkt, národní důchod, osobní důchod a disponibilní důchod.

3. OBECNÁ ANALÝZA KOMPARATIVNÍ STATIKY 33 i LM i LM ī ī ī IS IS Ȳ Y Ȳ Ȳ Y Obr. 3.3: Rovnováha v modelu IS-LM Obr. 3.4: Zvýšení vnějších investic zvyšuje rovnovážný důchod a úrokovou míru

Závěr Problém komparativní statiky je hledání nových hodnot proměnných pro dosažení rovnováhy, pokud se mění parametry modelu. V tomto případě se zájem zaměřuje na původní rovnováhu a novou rovnováhu, ne na čas požadovaný pro změnu nebo trajektorii v čase od původní rovnováhy k nové rovnováze. Komparativní statika je užitečná ekonomicko-matematická disciplína, nebot v ekonomice se často zajímáme o to, jak nerovnovážná změna parametru ovlivní rovnovážný stav modelu. Je důležité si uvědomit, že komparativní statika nevěnuje pozornost procesu přizpůsobování od původní rovnováhy k nové. Proto nemusí brát nezbytně na vědomí předpoklady, kterých v důsledku nestability modelu, nová rovnováha nemusí nikdy dosáhnout. Studium procesu přizpůsobování patří samo o sobě do oblasti ekonomické dynamiky. Jestliže k tomuto dospějeme, pozornost bude orientovaná na způsob, jakým se změní proměnná v čase a vnější úvaha bude dána otázkou stability rovnováhy. Analýzu můžeme použít pro řadu dalších funkcí, které popisují závislost endogenní proměnné na exogenních proměnných. Příkladem takových funkcí mohou být produkční funkce, nákladové funkce, investiční funkce, užitkové funkce atd. Komparativní statika je stále se rozvíjející moderní disciplína a současné vývojové trendy komparativní statiky nabývají např. podobu aplikace obalového teorému. 34

Seznam použité literatury [1] Allen R. G. D. Matematická ekonomie : Mathematical economics (Orig.). Translated by Martin Černý. Praha: Academia, 1971. [2] Došlá Z. - Došlý O. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Brno: Masarykova unverzita, 2003. [3] Došlá Z. - Kuben J. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Brno: Masarykova unverzita, 2003. [4] Fialová H. - Fiala J. Malý ekonomický slovník s výkladem pojmů v češtině a v angličtině. Praha: A plus, 2006. [5] Fiala P. Úvod do kvantitativní ekonomie. Praha: VŠE, 2000. [6] Hoy M. Mathematics for economics. 2nd ed. Cambridge Mass.: The MIT Press, 2001. xiv, 1129. [7] Chiang A. C. Fundamental Methods of Mathematical Economics. McGraw - Hill, Inc., 1984. [8] Novák V. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Brno: Masarykova univerzita, 1983. [9] Slovák J. Lineární algebra. Učební text, Brno: Masarykova univerzita, 1998. 35