Vlny v plazmatu linární nlinární Linární vlny - malá porucha určitého v čas i prostoru pomalu proměnného stavu Linární rozvoj vličin a = a + a ( r, t) b= b + b ( r, t) a, b mohou obcně být funkcmi r, t a, a b, b Součiny zandbám (malé.řádu) V nohraničném prostřdí a = a p( ikr) dk k Poruchy s vyvíjjí nzávisl na sobě, stačí zkoumat vývoj priodické poruchy. PV
Často nás budou zajímat vlastní módy, tj. řšní v tvaru { a R a ( ) } p = i kr t Vlastní módy jsou jdnou z charaktristik prostřdí. Budm hldat disprzní vztah = ( k ) Způsob popisu Dvoukapalinová hydrodynamika - jdnoduchý, al v něktrých případch núplný popis prostřdí Vlasovova rovnic Rozdělní vln Podélné vlny příčné vlny Vysokofrkvnční (lktronové) vlny nízkofrkvnční Plazma bz stacionárního B plazma v magntickém poli PV
Plazmové vlny podélné vlny - rychlost u k vysokofrkvnční (v. přiblížní mi ) Uvažujm malé odchylky od homognního stacionárního stavu n = n + n ( r, t) u ( ) n = Zn = u + u r, t i Rovnic kontinuity = n + div( nu ) = t n. řád + div( nu ) = n = const. t n + div nu. řád + nu = t zandbám nu =. řád n + ndivu = t PV 3
Změny hustoty lktronů > E = + E ( r, t) q q div E = ( n Zni) div E = n Pohybová rovnic u q p + ( u ) u = E ν i( u ui) t m mn u q p + ν i u = E t m m n Budm přdpokládat řšní tvaru ( p = ) ikr ( t) ( k rálné) ( ( ) ) ikr t ikr ( t) a( r, t) = R A = R A ikr ( t) a= ( A + cc..) Vlká písmna komplní amplitudy PV 4
Studné plazma bz srážk (vypadnou posldní člny na obou stranách pohyb.rc) n t + n divu = div E u t ue, = = k n E m i N + n iku = ike + N = i U + E = m n t n + n = m Oprava na ionty = + p p pi n p = m Z n pi = mi U = N E i N k n k = PV 5
Rakc na vysokofrkvnční pol E (můž být vnější nbo vnitřní) i n j = nu+ nu = E m div E = ρ ρ + div j = div t t ij frkvnc i div E + = iσ E div + E = σ E n ( ) E vlastní vlny náboj p r = m = a tdy disprzní vztah = p nzávisí na k plazmové oscilac = div E = j E = r PV 6
Vliv srážk u n n t m t řšní + νi u= E + νi + pn = t i t i i, i ν ν ν i i pt t = ± p n n Vliv tlaku při T = v g 4 d = = dk = tlumné osc. k = kˆ u = u ˆ prostorový tvar poruchy s zachovává, zvolím u adiabatický děj, > ν i srážky nstačí = E P j izotropizovat rozdělovací funkci t m mn rj P PV 7
Nporušný tlak p = nkt B (skalár, T lktronová tplota) Porucha tlaku napříč vlnovému vktoru j dáno pouz změnou hustoty P P nk T T yy = zz = B = ( ) V podélném směru prác tlaku s musí změnit v tplnou nrgii dn nvk B dt = pdv= pv n dn n, dt T du p kt k B BT = n = n P = nkt n n B + n kt B = 3kBT n V podélném směru s lktrony chovají jako částic s stupněm volnosti (γ=3) 3k B T n u = E t m m n n 3kT n n + n = B t m m p 3k vt v T kbt/ m ( ) Plazmová vlna s šíří = + = PV 8
Disprzní vztah () l ( ) prostřdí s časovou a prostorovou disprzí r k v v v ϕ g g T = + 3k v p = = 3vT + k k p T d 3v k T = = dk + 3k v = 3v v ϕ, = p T p 3k vt PV 9
Popis pomocí Vlasovovy rovnic f + v f E f = t r p řšní f ( p ), E = Poruchy f( r, p), E f f f, k = k ˆ + v E = t p Řšní tvaru p(ik-it) = E f porucha nmusí být malá pro f i kv rzonanční lktrony p div E = n = f dp f ik + dp E k = kv p kd r g( p ) = n f ( p)dp dp y z = kv p v = v = /k E f ike i dp p g( p) r = dp ( ) v k ϕ PV
Při v ϕ = k v T použijm Taylorův rozvoj, rzonanční lktrony zandbám (při v ϕ > c njsou vůbc žádné rzonanční lktrony) = 3 v p k T p r p v 3k v ( ) r g p k + + dp přdp. Pak + p T v = u = 3k v Při v ϕ < c? co s pólm v intgrálu odpověď musím hldat řšním počátční úlohy, tj. porucha j zadána na počátku v čas t a sldujm, jak s vyvíjí Pro řšní počátční úlohy musím použít Laplacovu transformaci Laplacův obraz j dfinován intgrálm ( ) ( ) i A = at t dt pro s dostatčně vlkou kladnou imaginární částí (pro a(t) omzné j to pro Im() > ) Pro ostatní získám Laplacův obraz analytickým prodloužním funkc t PV
m p dg r = + dp k kv dp Pro Im() > lží intgrační csta pod pólm, při analytickém prodloužní musí csta zůstat nadál pod pólm (musím pól objít zspodu!) Z rziduové věty vím ž intgrál přs polokružnici dá i π rziduum Pro /k << c j m m P m m = = iπ δ p kv m k k m p k k p k k Zd P označuj intgrál v smyslu hlavní hodnoty PV
Pro rálné j Im r (, k) = π p m dg k dp m p = k Im( r ) > Im( r ) < Hldám komplní = R +i I takové, ž r (,k) = Slabě tlumné (pomalu rostoucí) vlny I << R PV 3
dr r( R) ( + i ) = R ( ) + iim ( ) + i = dr 3 v R p k T r = R = r R I r R r R I Pro R /k >> v T j ( ) a tdy imaginární část frkvnc j R = + 3k v R p T Im r( R) mr dg I = = πp dr r( R) k dp m R p = k d Vývoj j p(-i R t)p( I t) Pro Mawllovo rozdělní j R R - rychlost Landauova útlumu j γ L =- I π I = 8 k v v p R R p 3 3 T k T PV 4
Enrgi plazmové vlny E = j E = je t t E = E + E ( i * ) Rt irt E j komplní amplituda, R značí rálnou část, střduji přs čas d E = R ( ) 4dt ( σ) E dimσ R σ ( ) = R σ ( R) I d d d Im d E σ E = R σ ( R ) E 4dt 4 d dt R užito d E d t R π I R = E iσ Vodivost σ a prmitivita r souvisí r = + označm R = R( r ) obcný vztah (plazmová vlna d d ( R) E = R σ ( R) E d dt 4 d ( R ) = R d ) Wtot = hustota nrgi PV 5
Linární Nlinární Landaův útlum v soustavě spojné s vlnou j R = E U = = k k E = E sin k a p ϕ cos a pohybová rovnic lktronu j m = E sin k lktron osciluj v potnciální jámě s frkvncí Ek b = m / (bouncing frquncy) pro časy t b pohyb nní ovlivněn polm a Landaův útlum j linární pro γ L = I > b v čas t = π / b začínají lktrony vract nrgii vlně zachycné lktrony v v < v< v + v ϕ m t v t /= m E vt = mk ϕ ϕ / t PV 6
BGK módy (Brnstin, Grn, Kruskal) Vychází z nhomognní rovnováhy přsné nlinární řšní Stacionární Vlasovova rovnic pro částic s má řšní f f p v + qe s = sϕ p ms Njjdnodušší řšní pro chladné nzachycné svazky n ()v ( ) n = v n n f = f + q ( ) = f ( U ) i()v i( ) = v i v( ) = v + ϕ ( )/ m Rovnic kontinuity pro,i a pohyb částic v potnciálním poli (v i obdobně) Hustoty nábojů částic dosadím do Poissonovy rovnic i i i / / d ϕ n v vi n ϕ Zϕ = = + d v ( ) v ( ) m v M v Rovnic obdobná jako pro pohyb v potnciálním poli potnciál V(ϕ) d ϕ n ϕ M v i Zϕ i = V ( ϕ) V( ϕ) = m v + + d ϕ kd mv Z M v i i Z / / PV 7
Pro malá ϕ d ϕ d n + ϕ = K M i vi ϕ ( ) K = m v = Z řšní (posldní = pro snazší řšní) p ( ) ϕ( ) = ϕ sin / λ kd λ = v / priodický potnciál lktrony jj vidi obrácně K libovolnému potnciálu lz sstrojit takové stacionární rozdělní iontů a lktronů, ž vyvolá příslušný potnciál Cas-van Kampnovy módy Hldá s f pro zadané, k f = f p ( ik it ) obsahují δ funkc - nfyzikální Eistují kombinac CvK módů, ktré singularity nmají PV 8
Vysokofrkvnční lktrostatické vlny v plazmatu s stacionárním magntickým polm B k B magntické pol vlny novlivní plazmové vlny k B kromě lktrostatické síly lktrony vrací navíc i magntické pol cyklotronová frkvnc c při T= = + horní hybridní frkvnc p c h horní hybridní vlny plazmové vlny v směru kolmém na B v tplém plazmatu s šíří v důsldku trmokintického tlaku (obdobně jako plazmové vlny) navíc istují vlastní linární módy Vlasovovy rovnic, ktré nmají hydrodynamický kvivalnt Brnstinovy módy PV 9
Svazkové nstability (Dvousvazková nstabilita) Mnoho situací pohyb lktronů proti iontům či pohyb skupin lktronů Njjdnodušší situac (zvláště z hldiska analytického řšní) svazky lktronů proti sobě ionty nhybné u i = n A = n B = n /, Zn i = n v T << v E = nα uα E + ( nu α α) = + ( uα uα) = div E = ( na + nb n ) t t m hldám vývoj linární poruchy n α, u α, E ~ p(ik-it) in + ik n u / v n = in + ik n u /+ v n = ( ) ( ) A A A B B B E E iu ikv u = iu + ikv u = ike = n + n ( ) A A B B A B m m z pohybových rovnic vyjádřím amplitudy rychlostí a dosadím do rovnic kontinuity PV
n E n E n = k ( i) n = k ( i) m k m k A B ( v ) ( v ) + a dosadím do n ike = ik + E a odtud p = + získám disprzní vztah ( kv ) ( ) a upravím kv + Poissonovy rovnic m ( + kv ) ( kv ) ( ) p + (k v + ) + k v k v = 4 p, charaktr řšní závisí na znaménku absolutního člnu, pokud >, >, > a systém j stabilní, pokud k v < p, pak >, < a istuj kořn s kladnou imaginární frkvncí řšní rost v čas nstabilita p k v, = k v + ± + 8 p řšní = i 3, pro k v < p j j rostoucí p(-i 3 t) = p (γt) = ± i a rostoucí 3,4 PV
pro k v j 3 = iγ = i k v chcm najít mód (k), ktrý rost d( ) 3 p = k v = p; γ = d( k v ) 8 8 p njrychlji v maimu čili njrychlji rychljší mód rost jn o trochu pomalji nž j p Jak vypadají rostoucí módy? Pro malé k pro narůstající mód = ikv s poruchy hustot svazku A,B téměř vyruší (horní obrázk v =) Pol E vytvářno jn malou sumou hustot řádu ~k v / p narůstající pol p(ik+kv t) Njrychlji rostoucí mód (dolní obr.) J vidět nnulovou sumu poruch hustot svazků A,B Zd zvláštní případ zsilující statické poruchy (dáno symtrií úlohy) PV
Jiný případ pohyb lktronů vůči iontům rychlost v zavdu =/ p a y=kv / p m / Mi = + = F(, y) y Disprzní vztah ( ) pro y> hranic má disprzní vztah 4 rálné kořny - j stabilní pro y < hranic má rovnic jn rálné kořny nstabilita hranic stability maimální růst y /3 M m m = + + i 3 3 M m Mi i /3 m γma = p M i (tdy kv p ) PV 3