7.3.5 Obená rovnie přímky Předpoklady: 7303 Př. 1: Jsou dány body A[ 1; 1] a B [ 1;3]. Najdi parametriké vyjádření přímky AB. Nakresli přímku AB do kartézské soustavy souřadni a najdi její další vyjádření. Směrový vektor B A = ( 2;4) u = ( 1;2 ) Parametriké vyjádření: y 4 2 x = 1+ t y = 1+ 2 t, t R -4-2 -2 2 4 x -4 Přímka je také grafem lineární funke y = ax + b. Spočítáme koefiienty: 1; 1 1 = a 1 + b bod [ ] ( ) bod [ 1;3 ] 3 = a 1+ b 1 = a + b 3 = a + b odečteme rovnie 3 ( 1) = a ( a) + b b 2a = 4 a = 2 dosadíme do druhé rovnie: 3 = a + b = 2 + b b = 1 Jde o funki y = + 1 rovnie y + 1 = 0 je také rovnií přímky AB. Zdá se, že rovnie y + 1 = 0 je novým typem rovnie přímky AB. Parametriké vyjádření popisuje přímku AB mělo by obsahovat i rovnii y + 1 = 0. Jak získat rovnii y + 1 = 0 z parametrikého vyjádření? Neobsahuje parametr zkusíme se ho zbavit a ze dvou rovni udělat jednu x = 1+ t t = x + 1 y = 1+ 2t = 1+ 2 x + 1 ( ) y = 1+ + 2 y = + 1 y + 1 = 0 opravdu je to stejná rovnie. Jaký je její význam? 1
Jiný způsob zadání přímky v rovině: n přímku určuje bod a vektor, který je na přímku kolmý (normálový vektor n) A p Jaký je normálový vektor přímky AB? = 1;2 směrový vektor u ( ) normálový vektor n = ( 2; 1) Jak poznáme, že bod X [ x; y ] leží na příme AB? n u X[x;y] Vektor X A je kolmý na normálový vektor jejih skalární součin je nulový A p Zapíšeme předhozí podmínku rovnií: konkrétní příklad: 1; 1 n = 2; 1 A[ ], ( ) X A = ( x + 1; y + 1), n = ( 2; 1) ( X A) n = 0 ( x y )( ) x y + 1; + 1 2; 1 = 2 + 2 1 = 0 y + 1 = 0 teď už víme, kde se rovnie vzala obený postup: ; n = P[ p1 p 2 ], ( a; X A = ( x p1; y p2 ), n = ( a; ( X A) n = 0 ( )( ) Ke každé příme p lze najít taková čísla a, b,, aby X [ x; y] x p ; y p a; b = ax ap + by bp = 0 1 2 1 2 ap1 bp2 0 ax + by = ax + by + = ax + by + = 0 - obená rovnie přímky p právě když ax + by + = 0. platí i obráeně: Pro každou trojii reálnýh čísel a, b,, kde alespoň jedno z čísel a, b je nenulové, je X x; y pro které platí ax + by + = 0 přímka. množina všeh bodu [ ] Rovnie ax + by + = 0, kde alespoň jedno z čísel a, b je nenulové, se nazývá obená rovnie přímky. Čísla a, b jsou souřadnie normálového vektoru n = a; b této přímky, číslo získáme dosazením libovolného bodu přímky do ( ) rovnie. Př. 2: Urči obenou rovnii přímky CD, C [ 2;2], [ 1;3] Směrový vektor: u = D C = ( 3;1) Normálový vektor: n = ( 1;3 ) D. Obená rovnie přímky: ax + by + = 1 x + 3y + = 0. Hledáme koefiient dosazením bodu C: 1 2 + 3 2 + = 0 = 8 2
Obená rovnie přímky: x + 3y 8 = 0. Co když byhom dosadili bod D? 1 1 + 3 3 + = 0 = 8 - stejný výsledek Zkusíme: ( ) Pedagogiká poznámka: Pokud se někdo ptá, jestli záleží, který z bodů do rovnie dosadí, říkám, že si to má vyzkoušet. Obená rovnie přímky je první ukázkou nejčastějšího typu rovnie v analytiké geometrii. Rovnie ax + by + = 0 obsahuje pět písmen, které můžeme rozdělit do dvou skupin: a, b, jsou koefiienty, které odlišují různé přímky od sebe. Pro konkrétní přímku jsou nahrazeny čísly x, y jsou prázdná místa rovnie, do kterýh dosazujeme souřadnie bodů, o kterýh heme zjistit, zda leží na příme nebo ne Př. 3: Rozhodni, zda na příme CD z předhozího příkladu leží body E [ 1;2 ] a [ 5;1] F. Dosazením body do rovnie přímky: E 1;2 : x + 3y 8 = 1+ 3 2 8 = 1 0 rovnie nevyšla bod E neleží na příme CD bod [ ] bod [ 5;1] F : x + 3y 8 = 5 + 3 1 8 = 0 rovnie vyšla bod F leží na příme CD Pedagogiká poznámka: I když se snažím, aby všihni studenti sestavili svoji první obenou rovnii přímky sami podle návodu v rámečku, najde se pár, kteří potřebují něo ukázat. Proto následuje druhý příklad, který musí už všihni udělat samostatně. Jeho výsledky pak dále využijeme. Ryhlejší studenti mohou ihned přejít na příklad 4 s tím, že si pod příkladem 3 vynehají několik řádek. Př. 4: Urči obenou rovnii přímky KL, K [ 2;1], [ 2;3] Směrový vektor: L K = ( 4; 2) u = ( 2;1) Normálový vektor: n = ( 1; 2) Obená rovnie přímky: ax + by + = 1 x 2y + = 0. Hledáme koefiient dosazením bodu K: ( ) Obená rovnie přímky: x 2y + 4 = 0. Co kdybyhom nezkrátili směrový vektor? n = 2; 4 Zkusíme: Normálový vektor: ( ) Obená rovnie přímky: ax + by + = 2 x 4y + = 0. Hledáme koefiient dosazením bodu E: ( ) Obená rovnie přímky: 4y + 8 = 0. L. 1 2 2 1+ = 0 = 4 2 2 4 1+ = 0 = 8 Pedagogiká poznámka: Při hodině jsme získali všehny čtyři očekávatelné výsledky, kromě uvedenýh výše i jejih varianty vynásobené 1. 3
Pro jednu přímku vyšly různé obené rovnie: x 2y + 4 = 0 x + 2y 4 = 0 4y + 8 = 0 + 4y 8 = 0 pro jednu přímku existuje víe obenýh rovni Je mezi nimi nějaký vztah? Rovnie jsou navzájem svými násobky. Je to jasné, když rovnii vynásobíme nenulovým číslem, množina řešení se nezmění. Př. 5: Je dán trojúhelník ABC; A[ 2;3], B[ 4; 1], C [ 2;5] a) strana AB. Urči obené rovnie přímek, na kterýh leží: a) strana AB výška v ) osa strany AB d) těžnie t a e) střední příčka SABS normálový vektor: = B A = ( 6; 4) = ( 2;3) dosadíme bod A[ 2;3] : 2( 2) 3 3 0 obená rovnie přímky AB: + 3y 5 = 0 výška v AB n + 3y + = 0 + + = = 5 normálový vektor je shodný se směrovým vektorem přímky AB: = ( 3; 2) 3x 2y + = 0 dosadíme bod [ 2;5] C : 3 2 2 5 + = 0 = 4 obená rovnie přímky na které leží výška v : 3x 2y + 4 = 0 ) osa strany AB n normálový vektor je shodný se směrovým vektorem přímky AB: = ( 3; 2) 3x 2y + = 0 dosadíme bod [ 1;1] S : 3 1 2 1+ = 0 = 1 AB obená rovnie osy strany AB: 3x 2y 1 = 0 d) těžnie t a přímka určená body A[ 2;3], S BC [ 3;2] normálový vektor: BC = SBC A = ( 5;1) = ( 1; 5) dosadíme bod A[ 2;3] : ( 2) 5 3 + = 0 = 17 AS n x 5y + = 0 obená rovnie přímky, na které leží těžnie t : x 5y + 17 = 0 e) střední příčka SABS přímka určená body S AB [ 1;1], S [ 0;4] normálový vektor: AB = S SAB = ( 1;3 ) = ( 3;1) dosadíme bod S [ 1;1] : 3 1+ 1+ = 0 = 4 AB n S S n 3x + y + = 0 obená rovnie přímky, na které leží střední příčka SABS : 3x + y 4 = 0 4
Př. 6: Petáková: strana 105/vičení 1 a) ) d) e) (pouze obené rovnie) Shrnutí: Rovnie ax + by + = 0 s alespoň jedním nenulovým číslem a, b popisuje přímku v rovině. Koefiienty a, b se rovnají složkám normálového vektoru = ( a; n. 5