VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. Ing. DRAHOMÍR NOVÁK, DrSc. Ing. LUDĚK BRDEČKO, Ph.D. PRUŽNOST A PEVNOST MODUL BD - MO ZÁKLADNÍ POJMY A PŘEDPOKLADY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Základní pojm a předpoklad Drahomír Novák, Luděk Brdečko, 4 - (48) -
Obsah OBSAH Úvod...5. Cíle...5. Požadované nalosti...5.3 Doba potřebná ke studiu...5.4 Klíčová slova...5 Obecné ponámk a předpoklad...7. Historická východiska...7. Předmět a návanosti...7.3 Výchoí předpoklad lineární pružnosti...8 3 Deformace... 3. Posun... 3. Poměrné deformace... 4 Napětí...5 4. Prvek tělesa a vnitřní síl...5 4. Normálové a smkové napětí...6 4.3 Vět o napětí a napjatosti...9 4.3. Vájemnost smkových napětí...9 4.3. Saint-Venantův princip lokálnosti... 5 Fikální vtah...3 5. Hookův ákon lineárně pružný materiál...3 5... Příklad...5 5... Příklad...5 5...3 Příklad 3...6 5. Reálné tp materiálů...7 5.3 Pracovní diagram a jeho model...8 5.4 Změna teplot...9 5.4.. Příklad 4...3 6 Obecná napjatost v bodě tělesa...33 6. Tenor napětí a deformace...33 6. Geometrické rovnice...34 6.3 Diferenciální rovnice rovnováh...35 6.4 Fikální rovnice...35 6.5 Rovinná úloha...37 6.5. Rovinná napjatost a rovinná deformace...37 6.5. Hlavní napětí...38 6.5.3 Mohrova kružnice...39 6.5.3. Příklad 5...4 6.5.3. Příklad 6...4 7 Koncepce spolehlivosti při navrhování...4 8 Závěr...45 8. Shrnutí...45-3 (48) -
Základní pojm a předpoklad 8. Oták k procvičování... 45 9 Studijní pramen... 47 9. Senam použité literatur... 47 9. Senam doplňkové studijní literatur... 47 9.3 Odka na další studijní droje a pramen... 47-4 (48) -
Úvod Úvod. Cíle Cílem tohoto modulu je senámit čtenáře se ákladními předpoklad lineární teorie pružnosti a pojm teorie pružnosti jako jsou posun, poměrné deformace, napětí, apod. Pojm jsou uveden a podrobně vsvětlen v elementární rovině technické pružnosti, nicméně rošíření do rovin matematické teorie pružnosti v kap. 6 doplňuje ákladní potřebnou nalost problematik a vtváří předpoklad k širšímu pochopení souvislostí. Prostudování tohoto modulu je ákladním předpokladem ke studiu modulů navaujících ted modulu (jednotlivé případ namáhání prutu) a modulu 3 (složené případ namáhání prutu).. Požadované nalosti Před studiem tohoto modulu Pružnosti a pevnosti je třeba vládnout problematiku ákladů stavební mechanik, především pak výpočet průřeových charakteristik, složek reakcí a vnitřních sil na prutu..3 Doba potřebná ke studiu Tento modul předpokládá přibližně hodin intenivního studia..4 Klíčová slova Pružnost, pevnost, plasticita, posun, deformace, napětí, vnitřní síl, pracovní diagram, fikální rovnice, geometrické rovnice, rovnice rovnováh, rovinná napjatost, rovinná deformace, spolehlivost, mení stav. - 5 (48) -
Základní pojm a předpoklad - 6 (48) -
Obecné ponámk a předpoklad Obecné ponámk a předpoklad. Historická východiska Předmět Pružnosti a pevnosti (PP) vcháí obecně e snah postihnout chování atížených konstrukcí. První badatelé, Leonardo da Vinci v šestnáctém století, Galileo a Hooke v sedmnáctém, Euler a Coulomb ve století osmnáctém, aměřili své úsilí na re praktické problém chování nosníků a sloupů. Teprve poději blo apočato s obecným matematickým koumáním chování pružných těles, např. Navier (8) a Cauch (8). Paralelně se vvíjela stavební mechanika a teorie konstrukcí, která nní ahrnuje řadu růných oblastí a směrů. Nicméně Pružnost a pevnost tradičně pokrývá teoretické a praktické aspekt prvních badatelů: teorie namáhání prutu a obecná teorie pružnosti. Obr..: Galileo Galilei, Leonardo da Vinci. Předmět a návanosti Teorie PP vužívá ponatků vědních oborů, které studují pevnost materiálu, tj. obecně schopnost odolávat vnějším účinkům be porušení. Vtváří teoretický áklad pro navrhování a posuování konstrukcí ocelových, betonových, dřevěných, kompoitních aj. (teorie konstrukcí). Předmětem PP je souvislost mei deformací a porušováním vhledem k silovému působení, napěťová a deformační analýa těles. Pojem PP vnikl v dobách, kd vjadřoval především určování pružných deformací a posuování pevnosti odolnosti proti porušování. K velké většině porušení však docháí především v oboru nepružných deformací, únavou mate- - 7 (48) -
Základní pojm a předpoklad riálu, měnami v mikrostruktuře materiálu, které se projeví vnikem trhlin (betonové konstrukce), propagací trhlin až do konečného lomu. K postižení takového chování je třeba použití dnes již samostatné disciplín lomové mechanik. Z tohoto pohledu je již dnes pojem PP poněkud avádějící, musíme si uvědomit, že vjadřuje především elementární nalost problematik, která slouží jako áklad k dalšímu ponání reálného chování materiálů. Nutno ponamenat, že v anglosaské literatuře se obsah PP v našem pojetí krje s obsahem disciplín naývané Strength of materials. Tradiční rodělení PP: technická nauka o PP vužívá řadu jednodušujících předpokladů, je aměřena na elementární praktické problém (Strength of materials), matematická teorie PP aložena na všší matematické analýe a aměřena na náročnější problém mechanik kontinua jako jsou plošné konstrukce a obecná tělesa (Elasticit and plasticit). Zařaení oboru PP v rámci fik a mechanik: Fika: termodnamika optika akustika elektřina mechanika o tekutin o spkých látek o těles statika pružnost a pevnost kinematika dnamika.3 Výchoí předpoklad lineární pružnosti Klasická lineární pružnost představuje nejjednodušší pojetí teorie pružnosti a je aložena na následujících výchoích předpokladech: Spojitost látk těleso pokládáme a kontinuum, hmota aplňuje celý objem be meer. Vhledem k tomuto předpokladu le pojímat deformace a napětí jako spojité funkce. Homogenita a iotropie látka je homogenní, pokud jsou její fikální vlastnosti ve všech místech shodné. Iotropní materiál má vlastnosti ve všech směrech shodné, toto platí pro většinu látek (ne však např. u dřeva, kde jsou jiné vlastnosti ve směru vláken a kolmo na ně). - 8 (48) -
Obecné ponámk a předpoklad Lineární pružnost představuje schopnost látk vracet se po odstranění atížení do původního stavu. Materiál je fikálně lineární, pokud platí přímá úměrnost mei napětím a deformací (Hookův ákon). Malé deformace měn tvaru stavebních konstrukcí a posun jednotlivých bodů (např. průhb nosníků) jsou velmi malé ve srovnání s roměr konstrukce. Tento předpoklad umožňuje pravidla řadu jednodušení při matematickém řešení vede na geometrickou linearitu. Statické atěžování narůstání atížení, resp. jiných účinků je povlovné, dnamické účink je možno anedbat. Počáteční nenapjatost napětí ve výchoím stavu jsou rovna nule. Přímým praktickým důsledkem těchto výchoích předpokladů je možnost použití principu superpoice, ted skládání účinků vcháející linearit všech uplatněných matematických ávislostí. - 9 (48) -
Základní pojm a předpoklad - (48) -
Deformace 3 Deformace Vlivem atížení nebo jiných účinků (vliv teplot, reologické vliv apod.) se tělesa deformují (přetvářejí). Deformace vjadřuje chování tělesa, které je charakteriováno vdáleností dvou bodů tělesa při achování jeho spojitosti. Termín deformace však může namenat dvě růné fikální veličin: Posun (přemístění) [m, mm, ] absolutní deformace popisující deformace tělesa. Poměrné deformace [beroměrné] relativní veličina popisující deformace v bodě tělesa. Mei těmito výnam je třeba přesně rolišovat. V následujících podkapitolách budou tto pojm vsvětlen nejprve na elementární úrovni, obecný matematický popis následuje v kap. 6. 3. Posun Bod tělesa M před deformací přejde po deformaci do poice bodu M, obr. 3.. Spojnice těchto bodů MM v souřadném sstému,, představuje vektor posunů u, jeho složk do směrů os souřadnic,, onačujeme u, v a w. Tto složk posunů jsou kladné v případě shodného smslu s osami souřadného sstému. Obecně se vektor deformace spojitě mění od bodu k bodu a jeho složk jsou spojitými funkcemi souřadnic u=u(,,)., v M w M u v po deformaci, u,w před deformací Obr. 3.: Složk posuvů u, v a w - (48) -
Základní pojm a předpoklad Známe-li deformační posun každého bodu tělesa, pak je geometrie tělesa po deformaci plně popsána. Na ákladě těchto absolutních deformací jsme schopni odvodit všechn poměrné deformace, jak bude řejmé další podkapitol. Deformace tělesa je množina posunů všech jeho bodů. 3. Poměrné deformace Geometrické měn tělesa le popsat relativně pomocí poměrných deformací. Tto rolišujeme délkové (poměrné prodloužení, resp. krácení) a úhlové (kosení), jsou veličinami beroměrnými a jsou vtažen k bodu tělesa. Vsvětlení pojmu poměrné deformace le provést nejlépe v dvouroměrném případě na deformaci elementárního prvku v rovině, před deformací s vrchol MACB, po deformaci M A C B. Původní délk stran jsou d a d, po deformaci pak d a d.,v C D va d=d+ d vc d v b C A β D α B a A B u u c d d =d+ u b u Obr. 3.: Délkové a úhlové poměrné deformace v rovině Poměrné délkové deformace jsou d d d ε = =, d d d d d ε = =. (3.) d d - (48) -
Deformace Úhlová deformace je γ = α + β. (3.) Zobecněním na tři dimene můžeme analogick postupovat i v dalších rovinách, dospějeme tak ke třem poměrným délkovým deformacím a třem úhlovým deformacím. Deformace v bodě tělesa je poměrná deformace elementárního prvku tělesa, který tento bod tělesa obsahuje. Délková poměrná deformace (např. prodloužení) je poměr měn (např. přírůstku) délk k její původní hodnotě. Úhlová deformace je měna úhlu mei dvěma úsečkami, které bl před deformací kolmé. - 3 (48) -
Základní pojm a předpoklad - 4 (48) -
Napětí 4 Napětí 4. Prvek tělesa a vnitřní síl Na těleso působí vnější síl. Pokud je těleso v klidu, tvoří všechn vnější síl rovnovážnou soustavu (primární vnější síl atížení, sekundární vnější síl podporové reakce). Asi před let přišel Bernoulli na geniální mšlenku, že v tělese vnikají vnitřní síl, které se snaží při silovém působení na těleso vrátit toto těleso do původního stavu. Pokud je těleso v rovnováe musí být v rovnováe i každá jeho část (statická rovnováha námá e ákladů stavební mechanik). V PP pracujeme s prvkem tělesa, který představuje každou jeho oddělitelnou část. Praktick každá úloha PP ačíná uvolněním prvku. Uvolníme-li tělesa prvek, pak musíme na řeu avést účink vájemného působení podle ákona akce a reakce vnitřní síl. Situace je schematick náorněna na obr. 4.. Na těleso působí vnější síl P, P, p. Z tělesa uvolněme prvek, který rodělme řeem na dvě části. Účink vájemného působení vnitřní síl jsou náorněn na obr. 4.. Tto síl však sam o sobě mnoho o míře namáhání tělesa nevpovídají, neboť nejsou vtažen k velikosti, resp. tvaru odporující ploch. Z tohoto pohledu je třeba vnitřní síl normaliovat ve vtahu k ploše a vtáhnout k určitému bodu. Takto dospíváme ke klíčovému pojmu PP napětí. Vektor napětí v bodě představuje intenitu vnitřních sil v tomto bodě. p P P F Obr. 4.: Vnější síl, vnitřní síl, napětí - 5 (48) -
Základní pojm a předpoklad Obr. 4.: Stress (napětí) klíčový pojem PP (visuální pomůcka ke důranění etrémní důležitosti tohoto pojmu, kterého se v PP rohodně nevvarujeme) 4. Normálové a smkové napětí Po obecném úvodu definujícím napětí jako intenitu vnitřních sil přistupme ke skutečné definici napětí. K tomu nám poslouží opět prvek tělesa, při němž na řeu v okolí bodu vmeíme plošku A, obr. 4.3. Výslednici vnitřních sil na tuto plošku působící onačme jako vektor F. Tuto výslednici můžeme roložit do dvou složek, do směru normál N, a do směru rovin řeu (tečn) T. Normálové napětí v bodě daného řeu tělesem je pak definováno jako limita poměru složk N k ploše menšující se oblasti A : N = lim. (4.) A A Τ mšlený ře tělesem F Ν A-element ploch Obr. 4.3: Výslednice vnitřních sil k definici napětí Podobně smkové napětí (někd naývané jako tečné nebo tangenciální) je definováno jako limitní poměr T τ = lim. (4.) A A - 6 (48) -
Napětí Jednotkou napětí, jak je řejmé definice (síla dělená plochou), je newton dělený čtverečním metrem: pascal (Pa), Pa = N/m (jednotka SI). V praktických výpočtech se používají pravidla jednotk větší, megapascal (MPa), kilopascal (kpa) a gigapascal (GPa). V anglosaských emích se stále běžně používá jednotka psi (pound per square inch). Platí: kpa = 3 Pa, MPa = 6 Pa = MN/m = N/mm, GPa = 9 Pa, psi = 6.89 kpa. (4.3) V případě, že normálové napětí působí mšleného řeu ven, pak hovoříme o tahovém napětí, toto napětí má kladné naménko. V případě orientace do řeu se jedná o napětí tlakové, toto napětí onačujeme naménkem áporným. U smkového napětí se však orientace volí smluvně, což bude ukááno v dalším výkladu. Je řejmé, že hodnot normálového a smkového napětí jsou růné pro růné ře v bodě tělesa. Obecně tto hodnot onačujeme jako stav napjatosti v bodě tělesa. Eistuje ted nekonečně mnoho hodnot těchto napětí toho je řejmé, že orientaci řeu nele pro praktické účel volit naprosto libovolně. Je nutné avést určitý sstém, podobně jako tomu blo u deformací, váaný na souřadný sstém os,,. K tomuto účelu aveďme pojem kladných ploch řeu souřadnicových os. Např. kladná plocha řeu souřadnice, je plocha rovnoběžná s rovinou souřadnicového sstému,,, s materiálem orientovaným směrem vně ve směru normál k plošce a ve směru kladné os, obr. 4.4. n kladná plocha pro směr Obr. 4.4: K definici kladné ploch řeu - 7 (48) -
Základní pojm a předpoklad Je řejmé, že eistují 3 normálová napětí, jež onačujeme indeem os shodného směru. Na obr. 4.5 jsou složk popisující stav napjatosti v bodě vkreslen na rovinách rovnoběžných se souřadnicovými rovinami, pro náornost jsou odsunut od bodu M, k němuž je vtahujeme tvoří tak diferenciální element d, d, d. Smková napětí, která jsou na každé plošce dána dvěma složkami, mají první inde shodný s orientací normál k této rovině, druhý pak souhlasí s osou souřadnic, s níž je složka smkového napětí rovnoběžná. Redukce počtu složek v D případě je řejmá obr. 4.6. τ τ τ τ M τ τ Obr. 4.5 Složk napětí (3D) τ τ τ τ Obr. 4.6 Složk napětí (D) Ještě k jednotce napětí: Archimedes, Pascal a Newton hrají v nebi na schovávanou. Archimedes piká. Pascal se rohlédne a hbitě se schová do křoví. Newton veme klacek, do hlín vškrábne čtverec metr na metr a postaví se do něj. Nijak se neschovává. Archimedes dopiká, rohlíží se kolem sebe. Samořejmě, že ihned vidí Newtona a volá "Deset dvacet Newton!" Newton v klidu řekne: "Tak to teda oml! Newton na metr čtvereční je přece Pascal! (podle studentů matematicko-fikální fakult). - 8 (48) -
Napětí 4.3 Vět o napětí a napjatosti 4.3. Vájemnost smkových napětí Předpokládejme diferenciální element na obr. 4.7 o hranách d, d, d, vňatý tělesa. Tento element musí být samořejmě v rovnováe. Na hranách elementu jsou smková napětí a příslušné elementární síl dq, které vniknou vnásobením smkových napětí plochou, na kterou působí. Uvažujme osu vedenou těžištěm elementu S rovnoběžně s osou a napišme momentovou podmínku rovnováh k této ose: ΣM = : dq d dq d = τ d d d τ d d d =. (4.4) Rovnici le vdělit součinem d d d, pak dostáváme podmínku vájemnosti smkových napětí (analogickým postupem pro další dvě dvojice smkových napětí): τ = τ, τ τ =, τ = τ. (4.5) Ponámka: Na obr. 4.7 jsou vnačen pro přehlednost poue t síl, které vvolávají moment ke míněné ose kvádru. d dq =τ dd osa d dq S dq =τ dd dq d Obr. 4.7: Vájemnost smkových napětí Věta o vájemnosti smkových napětí: Smková napětí působící ve vájemně kolmých elementárních řeech kolmo k jejich průsečnici jsou stejně veliká a orientovaná buď k průsečnici nebo od ní, obr. 4.8. - 9 (48) -
Základní pojm a předpoklad τ τ Obr. 4.8: Dvě možnosti orientace vájemných smkových napětí 4.3. Saint-Venantův princip lokálnosti Soustavu vnějších sil le nahradit soustavou jinou, statick ekvivalentní, obr. 4.9. Dojde však ke měně složek napětí. Rovnovážná soustava sil přiložená k malé oblasti pružného tělesa ovlivní výnamně stav napjatosti poue v blíkém okolí (v oblasti poruch δ), ve vdálenějších bodech má měna účink praktick anedbatelné. Znáorníme-li průběh např. normálového napětí podél přímk vedené tělesem, a to pro původní roložení (realita R) a pro náhradní, statick ekvivalentní (SE) roložení ( a ), vidíme, že v dostatečné vdálenosti (větší než δ) od bodu A jsou napětí praktick stejná, obr. 4.. q F Obr. 4.9: Statická ekvivalence F E δ F E q q E q skutečné atížení q E statick ekvivalentní atížení δ Obr. 4.: Průběh napětí k ilustraci Saint-Venantova principu lokálnosti - (48) -
Napětí Saint-Venantův princip nám často usnadňuje řešení napjatosti, neboť umožňuje: avádět model silového působení (idealiace), avádět výpočtové model stku těles, rodělit řešení napjatosti a deformace váaného tělesa na řešení rovnováh tělesa jako celku (statika) a napjatosti a deformace uvolněného tělesa (PP). Silovou soustavu můžeme ted v PP nahraovat soustavou jinou, statick ekvivalentní. Jaká je míra přípustnosti nahraení však může rohodnout posuování tělesa (konstrukce či prvku) podle meních stavů definující rovněž provouschopnost. Saint-Venantův princip nele dokáat, intuitivně je však obecně přijatelný a eperimentálně podepřený. Saint Venantův princip: Nahradíme-li v určité oblasti tělesa jednu silovou soustavu jinou, statick ekvivalentní soustavou, pak napjatost tělesa je pro obě atížení praktick stejná s výjimkou blíkého okolí nahraované oblasti, jehož roměr jsou srovnatelné s roměr této oblasti. - (48) -
Základní pojm a předpoklad - (48) -
Fikální vtah 5 Fikální vtah 5. Hookův ákon lineárně pružný materiál Na obr. 5. je náorněna jednoosá napjatost pro elementární kvádr, který je namáhán poue normálovým napětím ve směru os. Vlivem působení napětí se kvádr poměrně prodlouží o ε. Konstantou úměrnosti mei těmito veličinami je v lineární pružnosti (kde platí jednonačná ávislost mei napětími a deformacemi ve všech fáích působení, atěžování i odlehčování) modul pružnosti v tahu a tlaku E (Youngův modul pružnosti). Vtah mei napětím a poměrným prodloužením ε je pak vjádřen tv. Hookovým ákonem v tahu a tlaku ε =. (5.) E Modul pružnosti je fikální konstanta, má roměr napětí a definuje úhel sklonu lineární ávislosti na diagramu napětí-deformace. Jak je řejmé obr. 5., prvek se deformuje rovněž ve směru kolmém na směr působícího napětí, tj. ve směru (resp. ) při kladném napětí docháí ke krácení. Toto krácení vjadřuje beroměrná fikální konstanta υ, kterou naýváme Poissonův součinitel příčné deformace. Mei poměrnými deformacemi pak platí vtah ε = ε = υε = υ. (5.) E d d po deformaci arctge ε d' d' Obr. 5.:Hookův ákon Poissonův součinitel je kladné číslo a dá se dokáat, že nemůže být větší než,5 (jinak b např. všestranně tlačené těleso většovalo svůj objem). Hookův ákon pro případ jednoosé napjatosti ve směru os nebo le ískat áměnou indeů. Pokud však působí všechna tři normálová napětí, ískáme superpoicí obecný Hookův ákon. - 3 (48) -
Základní pojm a předpoklad Ve směru os např. platí ε + E E E E = υ υ = [ υ( )]. (5.3) Podobně platí i lineární ávislost mei kosením a smkovým napětím. Závislost naýváme Hookův ákon ve smku a konstantou úměrnosti je modul pružnosti ve smku G, obr. 5.. τ τ d τ =τ τ =τ d arctgg γ γ po deformaci Obr. 5.:Hookův ákon ve smku Pro rovinu je τ γ =. (5.4) G Analogické vtah pak platí pro rovin a. Le dokáat, že tři ákladní fikální konstant, E, G a υ, nejsou v případě iotropní látk vájemně neávislé, platí mei nimi vtah E G = ( + υ ). (5.5) Je ted řejmé, že iotropní látka je plně charakteriována dvěma elastickými konstantami. Fikální konstant se jišťují eperimentálně kouškami a jsou uváděn v literatuře. Tpické hodnot pro ákladní materiál jsou uveden v tab. 5.. - 4 (48) -
Fikální vtah Tab. 5. Základní fikální konstant některých materiálů směr E[GPa] G[GPa] ν α[ o C - ]. -6 ocel 8,3 beton -4,4*E, dřevo rovnoběžně s vlákn,6-3 kolmo k vláknům,3 - - 3 (tan.) 4(rad.) sklo 7 8,6 6 5... Příklad Těleso (kvádr) je namáháno normálovým napětím ve směru = 8 MPa. Určete poměrné deformace v tělese, je-li modul pružnosti materiálu E = GPa a Poissonův součinitel υ =,3. Řešení: Deformace se určí vužitím fikálních vtahů (obecného Hookova ákona). Vhledem k tomu, že = = τ = τ = τ =, potom: 8 6 4 ε = = = 8,574, E 9 6 ν,3 8 4 ε = ε = = =,574, 9 E γ γ = γ =. = 5... Příklad Krchle o velikosti hran l =, m (vi obr. 5.3) bla atížena svislým napětím = -8 MPa. Přitom došlo ke měně délek hran na l' =,85 m a l' =,999474 m. Určete modul pružnosti E a Poissonův součinitel υ materiálu krchle. Řešení: Z původních délek l a nových délek l' se určí poměrné deformace l l,85, 5 ε = = = 5,95, l, - 5 (48) -
Základní pojm a předpoklad l l,999474, 4 ε = = =,963. l, l =mm 8MPa l' l=mm l' Obr. 5.3 Vhledem k tomu, že = = τ = τ = τ =, vjádří se materiálové charakteristik fikálních vtahů 6 8 9 ε = E = = = 7 = 7GPa, 4 E ε,963 5 9 ν ε 5,95 7 ε = ν = E = =,. 6 E 8 5...3 Příklad 3 Na krchli předchoího příkladu blo aplikováno atížení vvoující smkové napětí τ. Při tomto atěžování došlo k vodorovnému posunu horní plošk krchle o =,5 mm (vi obr 5.4). Určete velikost smkového napětí τ v krchli. l =mm =,5mm l=mm Obr. 5.4-6 (48) -
Fikální vtah Řešení: Zkosení γ se určí vhledem k malému úhlu (teorie malých deformací) jako,5 γ tgγ = = =,5. l, Pro určení modulu pružnosti ve smku se vužijí charakteristik ískané v předchoím příkladě 9 E 7 9 G = = =,5 =, 5GPa. ( + ν ) ( +,) Smkové napětí se íská fikální rovnice (Hookova ákona pro smk) 9 6 τ = Gγ =,5,5 =,85 =, 85MPa. 5. Reálné tp materiálů Reálné materiál se však Hookovým ákonem pravidla neřídí, Hookův ákon u nich platí většinou poue při malých napětích. Vtah mei napětím a přetvořením je nelineární, ávislost napětí-deformace má svůj vrchol, vnikají plastické deformace. Diagram napětí-deformace plně charakteriuje chování materiálu. Rolišujeme v ásadě tři ákladní tp, obr. 5.5:. Lineárně pružný (křehký) materiál. Jakmile napětí překročí určitou maimální me, pružné chování končí a napětí náhle poklesne k nule, obr. 5.5 a). Takové chování je tpické např. pro sklo.. Pružně-plastický materiál. Od určité úrovně ůstává napětí konstantní při narůstajícím přetvoření (materiál teče ), tpické chování pro ocel, obr. 5.5 b). 3. Kvaikřehký materiál. Po dosažení maima napětí postupně klesá. Říkáme, že docháí ke měkčení pokles napětí při narůstajícím přetvoření, obr. 5.5 c). Diagram napětí-deformace se měkčením je tpický pro kvaikřehké materiál jako je beton a růné kompoitní materiál. Na obr. 5.5 d) je náorněno již míněné měkčení. Pokud docháí k nárůstu napětí hovoříme o pevnění. - 7 (48) -
Základní pojm a předpoklad a) b) ε ε c) d) pevnění měkčení ε ε Obr 5.5.:Diagram napětí-deformace pro růné materiál: a) křehký, b) pružnoplastický, c) kvaikřehký, d) měkčení a pevnění. 5.3 Pracovní diagram a jeho model Závislost napětí-deformace ískanou eperimentálně naýváme pracovní diagram. Např. pro beton v tlaku je nelineární ávislost obraena na obr. 5.6 a), poue přibližně do úrovně 4 % mee pevnosti f u je možná lineární aproimace. a) b) (<) f u,4f P U f u f f pr P Y U R me pevnosti me kluu me úměrnosti ε (<) ε Obr 5.6: Pracovni diagram (a) betonu v tlaku (b) oceli v tahu - 8 (48) -
Fikální vtah Na obr. 5.6 b) je náorněn pracovní diagram konstrukční oceli v tahu. Do mee úměrnosti f pr platí Hookův ákon. Pak je již úměrnost porušena, k výranému nárustu deformací docháí po dosažení mee kluu f. Následně docháí ke pevnění, napětí narůstají až k dosažení mee pevnosti f u. Při všších napětích vnikají plastické deformace nevratného charakteru. Pokud např. po dosažení bodu A na diagramu snížíme napětí (odtěžujeme), neprobíhá odlehčení podle původní křivk, ale do bodu B, přibližně rovnoběžně s počáteční větví podle Hookova ákona. Při opětovném atížení probíhá deformace do bodu C a pak naváže na původní křivku. Je řejmé, že při numerických výpočtech respektujících nelineární chování materiálu se neobejdeme be modelů, které skutečný diagram napětídeformace jednodušují a určitým působem aproimují. Nejjednodušším modelem je tv. ideální pružnoplastický materiál, obr. 5.7. V počáteční fái je materiál v pružném stavu, po dosažení mee kluu je pak ve stavu plastickém. Odlehčení bodu A do bodu B a úplně do bodu D jasně vmeuje skutečnost, že deformace se skládají pružné ε E a plastické části ε P. odtěžování f arctg E ε Pl ε ε E atěžování ε -f Obr.5.7: Ideální pružnoplastický materiál 5.4 Změna teplot Vlivem teplot prvek (elementární kvádr o roměrech d, d, d) mění své roměr (na d, d, d ), obr. 5.8. Teplotní měna nevvodí žádná napětí, není-li prvku v deformaci bráněno a může-li volně dilatovat. Pokud se teplota prvku tělesa mění o T, poměrné deformace vvoené touto měnou jsou ε = ε = ε = α T, (5.6) T T TD T γ γ = γ =. (5.7) TD = T T - 9 (48) -
Základní pojm a předpoklad Fikální konstantu úměrnosti naýváme součinitel teplotní rotažnosti α t ( C) -. Hodnot tohoto parametru jsou uveden pro ákladní materiál v tab 5.. T( C) d d d d Obr. 5.8: Deformace od měn teplot 5.4.. Příklad 4 Těleso o roměrech podle obr. 5.9 blo ochlaeno C na -5 C. Určete jeho nové roměr, jeli součinitel teplotní rotažnosti α t = -5 ( C) -. mm 4mm 5mm Obr. 5.9 Řešení: Změna teplot se vpočte jako rodíl současné a původní teplot T = T T = 5 = 5 C. Dále se určí deformace od měn teplot, která je stejná pro všechn směr ( 5) =, 5 ε = ε = ε = ε = α T = 5. t t - 3 (48) -
Fikální vtah Současné roměr se ískají geometrického vjádření deformací l l ε = l ( + ) l = (,5),4 =, m l = ε 3999, obdobně pro další směr ( + ) l = (,5), =, m l = ε 9995, ( + ) l = (,5),5 =, m l = ε 499875. - 3 (48) -
Základní pojm a předpoklad - 3 (48) -
Obecná napjatost v bodě tělesa 6 Obecná napjatost v bodě tělesa 6. Tenor napětí a deformace V kap. 4. jsme definovali normálová a smková napětí vtažená k určitému bodu tělesa. Souhrnně tto hodnot definují stav napjatosti tělesa v uvažovaném bodu. Stav napjatosti má povahu tenoru, definovaného jednonačně v pravoúhlé soustavě souřadnic maticí τ τ = τ τ. (6.) τ τ Složk tenoru napětí a jejich výnam bl již plně popsán v kap. 4.. Vhledem ke vájemnosti smkových napětí (kap. 4.3.) se jedná o matici smetrickou. Proto pro popis stavu napjatosti používáme často vektor napětí obsahující 6 složek napětí ve tvaru T { } {,,, τ, τ, τ = }. (6.) Analogick le psát tenor deformace popisující stav deformace tělesa v bodě [] ε ε = γ γ γ ε γ γ γ ε (6.3) a vektor deformace se 6 složkami poměrných deformací T {} ε { ε, ε, ε, γ, γ, γ = }. (6.4) Základní nenámé v teorii pružnosti jsou ted repreentované (celkem 5 nenámých): Vektorem posuvů, u = {u, v, w} T ε = ε, ε, ε, γ, γ, γ Tenorem poměrných deformací, { } { } T Tenorem napětí, { } { } T =,,, τ, τ, τ - 33 (48) -
Základní pojm a předpoklad 6. Geometrické rovnice V kap. 3. bl definován poměrné deformace. Matematick formálněji le vtah (3.) přepsat pomocí parciálních derivací u a v u = ε, (6.5) v = ε. (6.6) Poměrné kosení (vtah (3.) ) pak je u v + = γ. (6.7) Zbývající složk vektoru deformace se odvodí e ávislostí ve bývajících dvou rovinách (plne též cklickou áměnou indeů) w = ε, (6.8) v w + = γ, (6.9) w u + = γ. (6.) Těchto 6 rovnic vjadřujících vtah mei vektorem posuvů a vektorem poměrných deformací se naývá geometrické rovnice a v maticovém vjádření se dají apsat jako u = - T ε, (6.) kde T je matice diferenciálních operátorů = / / / / / / / / /. (6.) - 34 (48) -
Obecná napjatost v bodě tělesa 6.3 Diferenciální rovnice rovnováh Všechn složk napětí jsou obecně funkcemi poloh bodu, např. = (,, ). Stav napjatosti je váán k bodu tělesa. Přejdeme-li jednoho bodu tělesa do druhého (velmi blíkého na diferenciálním elementu o hranách d, d, d), složk napětí se mění o určité přírůstk. Diferenciální element však musí být v rovnováe, tento nutný požadavek vede na tři diferenciální rovnice rovnováh (Cauchho rovnice) τ τ τ + + τ + τ + τ + + + X =, (6.3) + Y =, (6.4) + Z =, (6.5) ve kterých jsou ahrnut objemové síl X, Y, Z [N/m 3 ] (např. vlastní tíha). V maticovém tvaru se rovnice apíší + X =, (6.6) kde X = { X, Y, Z } T je vektor objemových sil. 6.4 Fikální rovnice V kap. 5. jsme již dospěli k obecnému Hookovu ákonu ve směru os [ υ( )] ε = +. (6.7) E Pro směr a analogick platí [ υ( )] ε = +, (6.8) E [ υ( )] ε = +. (6.9) E - 35 (48) -
Základní pojm a předpoklad Pro kosení platí dále tři vtah τ γ =, G (6.) τ γ =, G (6.) τ γ =. G (6.) Hookův ákon pro iotropní materiál můžeme apsat v maticovém tvaru ε = C, (6.3) kde C je matice poddajnosti materiálu vjádřená pomocí konstant E, υ a G [ C] / E ν / E ν / E = ν / E / E ν / E ν / E ν / E / E / G / G. (6.4) / G Inverí matice poddajnosti ískáme matici tuhosti materiálu D, D=C - pro vjádření vektoru napětí pomocí vektoru poměrných deformací = Dε. (6.5) Rekapitulace nenámých a ákladních rovnic teorie pružnosti: Základní nenámé v teorii pružnosti jsou repreentované: Vektorem přemístění, u = {u, v, w} T Tenorem přetvoření, ε = {ε, ε, ε, γ, γ, γ } T Tenorem napětí, = {,,, τ, τ, τ } T. Těchto 5 nenámých funkcí le ískat 5 ákladních rovnic: tři Cauchho rovnice rovnováh: + X = T šest rovnic přetvoření přemístění: ε - u = šest fikálních rovnic ε = C ( = Dε ) - 36 (48) -
Obecná napjatost v bodě tělesa 6.5 Rovinná úloha 6.5. Rovinná napjatost a rovinná deformace Pro konstrukce, jejichž roměr ve směru jedné os () je mnohem menší než bývající roměr (ve směru a ), přistupujeme často k idealiaci redukce na dvoudimeniální úlohu. Složk napětí v takovém případě bl již ukáán na obr. 4.6, vektor napětí obsahuje 3 složk { } { T τ,, = } }. (6.6) Podobně vektor poměrných deformací má složk {} { T γ ε ε ε,, =. (6.7) Rolišujeme dva případ: V případě = τ =τ =, ε se jedná o rovinnou napjatost (stěn, nebráněno deformaci ve směru os ), v případě ε = γ =γ =, se jedná o rovinnou deformaci (deformaci ve směru os je bráněno, např. idealiace konstrukce přehrad, tunelů apod.). Tab 6.: Matice poddajnosti a tuhosti materiálu pro rovinnou napjatost a rovinnou deformaci Rovinná napjatost Rovinná deformace C D ν ν ν ν G + + + + ) ( ) ( ) ( ) ( ν ν ν ν ν ν G ) ( ) ( ν ν ν ν ν ν ν ν G ν ν ν ν ν ν G V případě iotropního materiálu jsou všechn materiálové konstant neávislé na orientaci souřadnicových os. Matice poddajnosti a tuhosti pro rovinnou napjatost a deformaci mají řád 33 a jsou uveden v tab. 6.. Tabulka - 37 (48) -
Základní pojm a předpoklad ukauje, že matice pro rovinnou napjatost (levý sloupec) le přímo ískat matic pro rovinnou deformaci (pravý sloupec) nahraením Poissonova čísla υ konstantou ν ν =. (6.8) + ν 6.5. Hlavní napětí Tenor napětí vjadřující stav napjatosti v bodě je váán určitou polohou kartéského souřadnicového sstému. Změní-li se poloha tohoto sstému, tj. otáčíme-li souřadnicovým sstémem, pak se mění hodnot složek tenoru napětí. Eistuje poloha, při které jsou hodnot normálových napětí maimální a smková napětí jsou nulová. = (6.9) 3 Tato normálová napětí naýváme hlavní napětí. V případě rovinné napjatosti otáčíme souřadnicový sstém a normálové napětí bude maimální při určité hodnotě úhlu α. Tento úhel a rovněž velikosti hlavních napětí se dají odvodit analýou napětí v šikmém řeu hledáme etrém tohoto napětí matematick první derivace tohoto napětí podle úhlu α je rovna (podrobné odvoení vi odkaovaná literatura). Pak platí: tg τ α, =. (6.3) Tato rovnice určuje dva vájemně kolmé směr (α = α ± 9 ). Velikosti hlavních napětí jsou vjádřen vtahem ( + ) ± ( ) τ, = + 4. (6.3) Analogie s výpočtem hlavních momentů setrvačnosti v ákladech stavební mechanik je řejmá tato shoda je důsledkem tenorové povah těchto veličin. - 38 (48) -
Obecná napjatost v bodě tělesa 6.5.3 Mohrova kružnice Velikost a směr hlavních napětí le též určit pomocí tv. Mohrov kružnice napětí (Otto Mohr, 88), obr. 6.. τ C X -τ α α B S A Y τ τma Obr. 6.: Mohrova kružnice napětí Při jejím sestrojení postupujeme následovně: Na vodorovnou osu vnášíme normálová napětí, vtne na ose bod A, bod B. V těchto bodech, A a B, vneseme kolmo smkové napětí τ, bodu A nahoru je-li smkové napětí kladné, bodu B pak opačně. Tím ískáme bod X a Y. Spojnice bodů XY představuje průměr Mohrov kružnice a vtne nám střed kružnice S. Opíšeme-li pak kružnici, její průsečík s vodorovnou osou určují hodnot hlavních napětí, smková napětí jsou nulová. Poloměr Mohrov kružnice je roven maimálnímu smkovému napětí τ ma. Je řejmé, že τ ma,min = ± ( ). (6.3) Mohrova kružnice představuje množinu všech možných hodnot vektoru napětí při rovinné napjatosti, při otáčení souřadnicového sstému. Zahrnuje tak i případ maimálních normálových napětí (hlavních napětí) a stav maimálního smkového napětí. - 39 (48) -
Základní pojm a předpoklad 6.5.3. Příklad 5 S pomocí Mohrov kružnice určete druhé hlavní napětí, je-li maimální smkové napětí τ ma = /. Řešení: Velikost τ ma určuje poloměr Mohrov kružnice. Napětí = τ ma určuje druhý průsečík Mohrov kružnice s osou. První průsečík určující je o dva poloměr menší a ted =. Jedná se ted o případ osového tahu, kd =. τ S τ ma τ ma Obr. 6.: Mohrova kružnice pro osový tah 6.5.3. Příklad 6 S pomocí Mohrov kružnice určete velikost hlavních napětí a, jsou-li velikosti napětí =, = a τ >. Řešení: Vhledem k =, = leží bod A a B v počátku. Smkové napětí τ se vnese přímo na osu τ a je rovno τ ma, které určuje poloměr Mohrov kružnice. Vnese-li se τ od počátku oběma směr dostane se = -τ a = τ. Jedná se ted o případ čistého smku. τ S A B τ= τma =τ =τ Obr. 6.3: Mohrova kružnice pro čistý smk - 4 (48) -
Koncepce spolehlivosti při navrhování 7 Koncepce spolehlivosti při navrhování Návrh konstrukce se obecně skládá celé řad jednotlivých kroků vedoucích k návrhu dílčích prvků, které musí splňovat růná kriteria spolehlivosti. Tato kriteria musí samořejmě splňovat konstrukce i jako celek. Jinými slov, konstrukce musí být navržena tak, ab měla všší pevnost (odolnost, odpor) než je účinek atížení. Avšak eistuje mnoho příčin a drojů náhodnosti v atížení a odolnosti konstrukce. Výchoí veličin nejsou téměř nikd veličinami deterministickými, ve skutečnosti to jsou veličin náhodné, vnačující se větší či menší proměnlivostí, která je (i kdž často jen přibližně) náma. Jednoduchý případ uvažující dvě náhodné veličin odolnost konstrukce R a účinek atížení E, je na obr. 7.. Jejich proměnlivost je charakteriována odpovídajícími funkcemi hustot pravděpodobnosti f R ( r) a f E ( e). Na obráku jsou náorněn návrhové deterministické (nominální) hodnot těchto veličin RN a EN, používané při klasických přístupech podle norem (metoda meních stavů, metoda dovolených namáhání). Společným rsem těchto přístupů je požadavek, ab RN bl větší než EN s určitou specifikovanou reervou spolehlivosti. Nepracuje se však přímo se středními hodnotami odporu konstrukce a účinku atížení µ, µ. R E f f E (e) f R (r) E N R N µ E R,E µ R Obr. 7.: Klasický přístup: odolnost konstrukce R a účinek atížení E - dvě náhodné veličin. Deterministick formulovaná podmínka spolehlivosti má tvar RN E N. (7.) Pravděpodobnostní přístup k problému vžaduje tvar R E, (7.) - 4 (48) -
Základní pojm a předpoklad f R ( ) ( ) kde R a E jsou náhodné veličin s hustotami pravděpodobnosti r a f E e. Některé příklad odporu R (bariér) a odpovídajícího účinku E (akce) jsou uveden v tab 7.. Tab 7.: Příklad účinku a odporu konstrukce E ohbový moment v určitém průřeu nosníku od daného atížení etrémní atížení (kombinace atížení) sledované konstrukce napětí v emině od eistujícího atížení maimální průhb nosníku od daného atížení R ohbová únosnost tohoto průřeu (mení moment únosnosti průřeu) mení únosnost této konstrukce smková pevnost emin a její kohee dovolený průhb V současné prai se používají podmínk spolehlivosti odvoené požadavků posouení tv. meních stavů. Mení stav jsou takové stav, při jejichž překročení konstrukce přestává plnit návrhové požadavk na užitné vlastnosti. Mení stav mohou být vtažen k trvalým, přechodným nebo mimořádným návrhovým situacím. Obecně se rolišují mení stav únosnosti a mení stav použitelnosti: Mení stav únosnosti jsou takové mení stav, které souvisejí se řícením a podobnými poruchami konstrukce. Za mení stav únosnosti se pokládají také stav předcháející řícení konstrukce považované pro jednoduchost a vlastní řícení (např. vnik velkých trhlin nebo oblastí, kde se drtí materiál). Tato kategorie meních stavů má přiroeně nejvšší míru ávažnosti. Mení stav únosnosti se týkají: bepečnosti osob; bepečnosti konstrukce a jejího obsahu. Podmínk spolehlivosti, které vplývají meních stavů únosnosti mají ted obvkle tvar, který le slovně vjádřit jako: Účinek atížení odolnost konstrukce. (7.3) Mení stav použitelnosti souvisejí s podmínkami, po jejichž překročení nejsou splněn provoní požadavk na konstrukci nebo její část. Požadavk použitelnosti se týkají: funkce stavebního objektu a jeho částí; pohodlí osob; vhledu. - 4 (48) -
Koncepce spolehlivosti při navrhování Jedná se např. o deformace a posun, které ovlivňují vhled nebo účinné vužití konstrukce, nadměrné kmitání, které působuje nepohodlí osob, poškoení konstrukce nebo nesených materiálů, nebo které omeuje jejich funkční účinnost; poškoení (včetně trhlin), která mohou nepřínivě ovlivnit vhled, trvanlivost nebo funkce konstrukce; Odpovídající podmínk spolehlivosti ted mají u těchto meních stavů obvkle tvar: Deformační účinek vvoený atížením přípustná deformace (7.4) Zde pod pojmem deformace může být míněn nejenom průhb či posun, ale též šířka trhlin, frekvence kmitání apod. Spolehlivost návrhu je ted ajištěna skutečností, že jak odolnost konstrukce R tak účinek atížení E včíslujeme s výpočtovými hodnotami, které stanovují norm pro navrhování. Pracujeme např. s výpočtovou pevností materiálu, která je mnohem nižší, než průměrná. Výpočtové charakteristik jsou stanoven v normách na ákladě podrobných statistických roborů. - 43 (48) -
Základní pojm a předpoklad - 44 (48) -
Závěr 8 Závěr 8. Shrnutí Tento tet představuje první e tří modulů pracovaných pro kombinované studium předmětu Pružnost a pevnost. Znalost látk tohoto modulu je nebtná před studiem druhého a třetího modulu, neboť senamuje čtenáře se ákladní pojm a předpoklad lineární teorie pružnosti. V kapitolách 6 bl definován ákladní pojm v elementární rovině technické pružnosti. Kapitola 6 pak již opouští rovinu technické pružnosti a rošiřuje částečně áběr do matematické teorie pružnosti. Je rovněž uvedena ákladní koncepce spolehlivosti při navrhování, jako doplňující důležitá informace k předmětu Pružnost a pevnost. 8. Oták k procvičování Který předpoklad pružnosti umožňuje pracovat s deformacemi a napětími jako spojitými funkcemi? Kdž má materiál ve všech bodech stejné vlastnosti, naývá se homogenní nebo iotropní? Co vjadřuje princip superpoice účinků? Za jakých předpokladů je možno použít princip superpoice účinků? Která veličina popisuje relativní délkové, resp. úhlové měn v tělese? Vsvětlete rodíl mei posun a poměrnými protaženími. Vsvětlete pojem vnitřní síl. Vjmenujte vnitřní síl prostorově namáhaného prutu. Jaká veličina vstihuje namáhání konkrétního bodu tělesa? Jaké jsou dva ákladní druh napětí? Které napětí působí kolmo na plochu a které v ploše? Jaká je jednotka napětí? Vsvětlete výnam indeů onačujících napětí v kartéském souřadném sstému. Co vjadřuje věta o vájemnosti smkových napětí? Co vjadřuje Saint-Venantův princip? Popište praktické důsledk Saint-Venantova principu. Která napětí jsou sváána s poměrným protažením a která se kosením? Co vjadřuje Poissonův součinitel? Jaká je hodnota Poissonova součinitele pro beton a ocel? - 45 (48) -
Základní pojm a předpoklad Jaká je maimální hodnota Poissonova součinitele? Jaké materiálové charakteristik vstupují ve fikálních vtaích pro lineárně iotropní materiál a kolik těchto charakteristik je neávislých? Jaké je omeení platnosti Hookova ákona? Co jsou to plastické deformace a kd vnikají? Charakteriujte materiál křehký a kvaikřehký pomocí diagramu napětídeformace. Co je měkčení a pevnění? Jak naýváme grafické vjádření ávislosti deformace a napětí? Kolik funkcí posunů, deformací a napětí popisuje stav namáhaného tělesa? Jakou ávislost vjadřují statické diferenciální podmínk rovnováh a kolik jich je? Jakou ávislost vjadřují fikální rovnice a kolik jich je? Jakou ávislost vjadřují geometrické vtah a kolik jich je? Jaká materiálová charakteristika popisuje deformaci od měn teplot? Zvýšení teplot působuje poměrné protažení nebo krácení? Jaké problém posuuje mení stav únosnosti? Jaké problém posuuje mení stav použitelnosti? Jaké jsou nenámé a ákladní rovnice teorie pružnosti? Jaký je rodíl mei rovinnou napjatostí a rovinnou deformací? Jak le charakteriovat směr hlavních napětí? Jaký úhel mei sebou svírají směr prvního a druhého hlavního napětí? - 46 (48) -
Studijní pramen 9 Studijní pramen 9. Senam použité literatur [] Bittnar, Z. - Šejnoha J. Numerické metod mechanik. Praha, vdavatelství ČVUT, 99. [] Kaiser, J. a kol. Pružnost a plasticita I. Bratislava, Alfa, 99. [3] Servít, R. - Doležalová, E. - Crha, M. Teorie Pružnosti a plasticit I. Praha, SNTL/Alfa, 98 [4] Servít, R. - Drahoňovský, Z. - Šejnoha, J. - Kufner, V. Teorie Pružnosti a plasticit II. Praha, SNTL/Alfa, 984 [5] Šmiřák, S. Pružnost a plasticita I. (skriptum), Brno, PC-DIR, 995. [6] Teplý, B. - Šmiřák, S. Pružnost a plasticita II. (skriptum), Brno, vdavatelství VUT, 993. 9. Senam doplňkové studijní literatur [7] Horníková, J. - Burša, J. Pružnost a pevnost (Interaktivní studijní tet), Brno, vdavatelství VUT,. [8] Teplý, B. Novák, D. Spolehlivost stavebních konstrukcí (skriptum), Brno, vdavatelství VUT, 4. 9.3 Odka na další studijní droje a pramen [9] Bažant, Z. P. - Cedolin, L. Stabilit of Structures. New York, Oford Universit Press, 99. - 47 (48) -
Základní pojm a předpoklad - 48 (48) -