Sudní opora z pedmu Poíaové meody mechanky v dynamce prof. Ing. Eduard Malenovský, DrSc. Sudní oporu e nuno chápa ako doplkový sudní maerál. Jako základní sou uebnce a sudní exy. Sudní opora z poíaových meod v dynamce doplue zeména sudní ex : Slavík, J.: Poíaové meody mechanky I. V nkerých pípadech opora doplue danou problemaku, v nkerých ukazue na šrší souvslos a v nkerých podrobn vysvlue danou problemaku. Ve slovníku sou nkeré ermíny uvedeny v závorkách ypu <>. Píslušný odkaz na význam ohoo ermínu e ve slovníku, kerý e k dspozc na www sránkách www.ocp.udelf.nl//cadom/ifomm/web/ndex.hml Obsah. Problém vlasních hodno. Meody redukce. Pímá redukce. Fyzkální redukce.3 Guyanova redukce.4 Modální redukce.5 Redukce ve frekvenní oblas 3. Proporconální lumení 4. Odezva p vynuceném kmání 4. Odezva p vynuceném usáleném kmání 4. Odezva p pechodovém kmání 5. Kmání konnua 5. Podélné kmání pru 5. orzní kmání 5.3 Píné kmání pru 5.4 Kmání membrán 5.5 Kmání desek 6. Meoda penosových mac 7. Clvosní analýza 8. Ladní mechanckých sousav 9. Meody ešení nelneární ho kmání. Sabla pohyb u. Dynamcký lum vbrací. Elekro mechancká analoge 3. píklady 3. Píklad knemacké buzení 3. Píklad buzení rouícím lesem. Problém vlasních hodno V podsa se rozlšuí dva druhy problém vlasních hodno Sandardní Zobecnný Sandardní
Vychází se ze sousavy algebrackých rovnc ve varu Ax de A λe Hledaí se vlasní ísla mace A, ak aby plalo Píklad Sanove vlasní ísla mace A A 3 4 λ de 3 4 λ λ 5λ 5 ± 5 + 4 λ, λ.37, λ 5.37 Po zpném dosazení do sousavy algebrackých rovnc nelze explcn vypoía x, proože ob rovnce sou lneárn závslé. edy nap. pro první vlasní íslo +.37 x 3 4 +.37 x Obvykle se nkerá z neznámých volí a osaní se dopoíávaí. Zobecnný Vychází se z pohybové rovnce pro volné nelumené kmání (volné kmání) M + K Pedpokládané ešení e a po dosazení K M Zobecnní e dáno ím, že míso ednokové mace e mace hmonos. Pevedení na sandardní se provede vynásobením M M K E Nunou a posauící podmínkou pro o, aby sousava rovnc mla nenulové nervální ešení e, aby de M K E se nazývá frekvenní deermnan mace sousavy byl roven nule. Deermnan deermnan. Vlasní hodnoy sou pro úlohy dynamky vlasní frekvence kmání dynamckého sysému (frekvenní spekrum). Neznámé v omo pípad pedsavuí pravosranné vlasní vekory (kmna). Po uspoádání se obdrží modální mace pravosranných vekor - V. Obdobn bychom mohl sanov levosranné vekory. Levosranné vekory - W K M Po ransponování éo rovnce K M Odkud se sanoví levosranné vlasní vekory. Vlasní ísla sou sené. V pípad, že plaí levosranné a pravosranné vekory sené Normování Vzhledem k ednce Vzhledem k mac hmonos A A sou
W MV E W KV kde e spekrální mace Podmínky orogonaly v Mv δ v Kv δ Podmínky oroganly (kolmos) vyaduí nezávslos vlasních var na sob. ao skuenos má dva dsledky:. P harmonckém buzení frekvencí rovné vlasní kmá sousava pouze edným varem kmu s frekvencí rovnou budící frekvenc.. V pípad, že e znám urý var kmání, nelze na základ éo znalos usuzova ak budou vypada (pípadn e odvod) osaní vary kmání. Savový prosor V podsa e o snížení ádu pohybové rovnce M M M + B + K Q Macový záps M M M B K Q Zkrácen (pro volné kmání v homogenním varu) M + K Q Horní podržíka znaí zv. rozšíené velny. Pedpokládané ešení e λ, λ λre + λim. reálná ás komplexní ho vlasního ísla pedsavue lumení a magnární ás vlasní frekvenc lumeného kmání. Meody sanovení vlasních ísel a vekor Frekvenní deermnan Lancoszova meoda Meody založené na podobnosní ransformac Meoda yp mace A Poznámka Jacob symercká úplný problém LR algormus nesymercká úplný problém QR algormus nesymercká úplný problém QZ algormus nesymercká úplný problém Lanczosova nesymercká ásený Mocnnová nesymercká ásený Housenholderova nesymercká ásený Dležé velny λ λ ± λ - vlasní íslo e komplexn sdružené Re Im
k - vlasní frekvence nelumeného kmání m δ - vlasní frekvence lumeného kmání b δ - sounel doznívání, b sounel lumení m krcký úlum b p η δ b m π b p b p δ - b b km kr - pomrný úlum - logarmcký dekremen úlumu km A Sanovení lumení z ampludové charakersky. Šíka e sanovena pro ampludu.77a nebo p poklesu o 3 db ω b p ω η π Q - fakor Q b p A Pokles o 3 db odpovídá hodno 7.7 %, nebo aké hodno.77a (nomnální šíka pásma). f f f f Q f V pípad že se vlasní frekvence nelumeného málo lší od vlasní frekvence lumeného sysému, lze pblžn pro sanovení pomrného úlumu (Q fakoru) použí vlasní frekvenc lumeného sysému. Vlasní hodnoy sou obecn komplexn sdružená ísla. Reálná ás odpovídá lumení a magnární e vlasní frekvence kmání. Reálná ás rozhodue o sabl dynamckého sysému. Kladná znamená nesablní a záporná sablní. Vlasní ísla lze zobraz v Gausov rovn. Každému vlasnímu íslu odpovídá urý var odezvy v asové oblas. Rayleghv kvocen
Využívá se pro pblžné sanovení zpravdla nenžší vlasní frekvence. Paí mez pblžné meody ešení dynamckých vlasnosí konnuí. K M v Pro r-ou (zpravdla nenžší) vlasní frekvenc pak e vr Kvr r vr Mv r odud vr Kv v r r Kv E r p Poencální energe r λr v r Mvr v Ek Jednoková knecká energe r Mvr Rzova meoda Podsaa meody: Rayleghv kvocen leží v nervalu pesných hodno vlasních úhlových rychlosí. Proo se vlasní var aproxmue lneární kombnací nezávslých funkcí, keré spluí OP. Vlasní var mnmalzue Rayleghv kvocen. Nap. pro ednorozmrné konnuum n w( x) a f ( x) Pak λ λ ( a ) r r a musí bý λr Ep a a Ek E p Ek λ a a ( Ep λek ) pro,,, n a Obdrží se sousava n homogenních algebrackých rovnc. Pro eden konený prvek není mez Rzovou meodou a MKP žádný rozdíl.. Meody redukce V podsa e o snížení ádu úloh (snížení pou sup volnos). Meody:. Pímá. Fyzkální 3. Guyanova 4. Modální 5. Ve frekvenní oblas. Pímá redukce Je o pímé vynechání ádk a sloupc.. Fyzkální redukce Nkdy se éo meod íká meoda pevoením mechanckého modelu. V podsa se používaí dva druhy. Dva pružné leny se redukuí na eden a druhý, kdy se dva servané leny redukuí na eden.
k k kred m m mred Píklady redukce.3 Guyanova redukce Nkdy e ao meoda nazývána ako sacká kondenzace. Podsaa spoívá v rozdlení mace uhos na hlavní (m - maser) a vedleší (s - slave) prvky, pemž vedleší nesmí bý zaíženy. K mm K ms m Q m K sm K ss s K K Q mm m ms s m K K sm m ss s Po dosazení za s z druhé rovnce do první e K mmmk msk ss K smm Qm pak m K mmk msk ss K sm m s K msk ss K sm ransformaní mace pak má var K mmk msk ss K sm K msk ss K sm m s m Celá pohybová rovnce M + B + K Q m m m a dále po násobení ransponovanou ransformaní mací zleva M + B + K Q m m m.4 Modální redukce Podsaou e ransformace pohybové rovnce z fyzkálních souadnc do hlavních. Fyzkální souadnce nemaí. ransformaní rovnce má var ( x ) maí rozmr, hlavní x V kde V e modální mace pravosranných vekor Pohybová rovnce ve fyzkálních souadncích Mx + Bx + Kx F Pohybová rovnce ve fyzkálních souadncích
MV + BV + KV F Po násobení ransponovanou modální mací (obecn) levosranných vlasních vekor se obdrží W MV + W BV + W KV W F S phlédnuím k norm vzhledem k mac hmonos se obdrží E + W BV + Q Jel mace W BV dagonální (pípad zv. komuavního lumení), rozpadá se sousava n dferencálních rovnc druhého ádu na n nezávslých dferencálních rovnc druhého ádu. V omo pípad lze analyzova píspvek ednolvých var kmání na celkové odezv. Redukce nyní spoívá v zahrnuí pouze urého pou var kmání do ešení, edy m V n nm e pohybová rovnce ádu n m..5 Redukce ve frekvenní oblas Výchozím vzahem pro redukc ve frekvenní oblas e vzah pro dynamckou poddanos (vz níže) n G v w ω λ Do ešení zahrne pouze urý poe vlasních hodno a urý poe souadnc ve vlasních vekorech. Napíklad v pípad zahrnuí pouze druhého a páého prvku ve vlasních vekorech má ael (Dyadcký soun) var. Pdáním dalšího vlasního ísla (vekoru) se ád mace nemní....... x.. x 5 x x D Red..... x x...... x5.. x 55 3. Proporconální lumení Velm asý pípad výpoového modelování lumení (vskózní lumení). Pedpoklad: B αm + βk Po úprav V BV αv MV + βv KV pro -ý var kmu b αm + βk b - hlavní (modální) lumení m - hlavní (modální) hmonos k - hlavní (modální) uhos b k α + β m m b m δ α + β ( )
δ α bp + β Nebo α bp + β Jak ž bylo uvedeno, vlasní frekvenc lumeného kmání a sounel doznívání, resp. pomrný úlum lze sanov expermenáln. Zde mohou nasa základní pípady.. Pípad znaí se vlasní frekvence a pomrné úlumy od dvou var kmání. Koefceny α a β se sanoví ze sousavy dvou algebrackých rovnc α bp β b p. Pípad zná se vlasní frekvence a pomrný úlum enom od ednoho varu kmání. Druhá rovnce se sanoví za pedpokladu, že v pevážné všn echnckých aplkací e nemén lumen nenžší var kmání. edy z podmínky exrému lze sanov rovnc dbp α + β d Koefceny α a β se sanoví ze sousavy dvou algebrackých rovnc α b p β 3. Pípad znaí se vlasní frekvence a pomrné úlumy od více ak dvou var kmání. Koefceny α a β se sanoví z peurené sousavy algebrackých rovnc bp α β b pn n n Poznámka: Zpravdla se volí koefcen α 4 Zpravdla se volí koefcen β Koefcenem α se modelue konsrukní lumení Koefcenem β se modelue maerálové lumení Pozor, oba koefceny maí rozmr 4. Odezva p vynuceném kmání (vynucené kmání) Pohybová rovnce M + B + K Q kde Q e buzení sousavy (vnší síla, momen). ešení se skládá z ešení homogenní ás a parkulárního negrálu, edy
H + P Dva základní pípady Usálené kmání (ešení ve frekvenní oblas) parkulární negrál Pechodové kmání (odezva v asové oblas) 4. Odezva p vynuceném usáleném kmání Pohybová rovnce za pedpokladu harmonckého buzení má var (ampluda buzení e komplexní) M + B + K Q e kde Q e ampluda budících únk (vnší síla, momen) ešení se pedpokládá ve varu e Po dosazení M + B + K Q dynamcká uhos (pímá dynamcká uhos, fázov posunuá dynamcká uhos) K M + B + K Dyn Dynamcká poddanos G M + B + K Obdobn p ešení ve savovém prosoru M K Q Dynamcká poddanos má v omo pípad var (vynechán horní pruh) G M K Dynamckou poddanos lze rovnž sanov na základ modální ransformace. V omo pípad e n G v w ω λ Poznámka: v ael e zv. dyadcký soun. Pak odezvu p vynuceném usáleném kmání lze sanov ze vzah Bez redukce M + B + K Q P využí Guanovy redukce M + B + K Q P využí modální redukce (ransformace) W MV + W BV + W KV W F W MV + W BV + W KV W Q P využí redukce ve frekvenní oblas n v w Q G Q ω λ Pro s. volnos F F F + Re Im ω m + ωb + k k ω ω k ω ω + bp + Q
komplexní funkce frekvenní odezvy (penosová funkce p aplkac Laplaceovy ransformace) H ( ω) ω ω k + Q Modul a fáze H ( ω) ω ω ω ω k + k + b p Q ϕ ( ω) an ω Q ω Poznámka Sav kdy e frekvence buzení rovna vlasní (lumeného nelumeného kmání) se nazývá rezonance (opak anrezonance). Meoda rgonomerckých kolokací ao meoda kombnue ešení odezvy p vynuceném usáleném kmání s ešením v asové oblas. Jedná se o pomrn novou meodu. Buzení sousavy lze vyád bu v reálném, nebo komplexní m oboru. V éo kapole bude celá analýza provedena v reálném oboru. Pedpokládeme, že buzení e perodcké se známým násobky budící frekvence, keré lze zapsa ako prvky množny µ s prvky µ ve varu 4 5 µ { µ } {,, 3,...,,,...,,,..., k 3 3 3 l } kde m. Pedpokládeme, že odezva e perodcká s pedpokládaným násobky budící frekvence, keré lze zapsa ako prvky množny v s prvky v ve varu 4 5 { } {,, 3,...,,,...,,,..., k 3 3 3 } v v l kde n. budící sílu p zahrnuí sackého zaížení ak lze obecn vyád ve varu m ( ) + s sn ( µ ω ) + c cos( µ ω) Q Q Q Q kde ndexy s a c znaí snovou a kosnovou složku. ešení pohybové rovnce pedpokládeme ve seném varu n ( ) + s sn ( v ω ) + c cos( v ω ) Volba pou a ypu násobk závsí na ypu nelneary vazebného elemenu. Obecn nelneární pohybová rovnce s ohledem na aplkac meody rgonomercké kolokace v roorových sousavách má var M + B + K Q ( ) Pro rychlos a zrychlení plaí n sn v ωs cos v ω c v ω n cos v ω s sn v ω c v ω
Po dosazení a porovnáním len u sených neznámých se po úprav obdrží n m M sn + B cos + Ksn s Q sn s v ω v ω v ω v ω v ω µ ω n m M cos B sn + Kcos c Q cos c v ω v ω v ω v ω v ω µ ω V rovncích e ( n + ) neznámých, proo s ohledem na ešelnos e nuno druhé dv asov závslé rovnce psá nemén pro n kolokaních as. Gonomercké funkce sou pro daný as a násobek konsany. Konkréní asové okamžky se sanoví rozdlením nevší perody ve spekru odezvy na konený poe hodno. Jeslže dále oznaíme C Mv ω sn v ω + Bv ω cos v ω + Ksn v ω s C Mv ω cos v ω Bv ωsn v ω + Kcos v ω c lze pro k -ý as k psá ( µ ω ) ( µ ω ) Cs Q sn s k s k k C, Q, C c cos Qc c k k Pak má pohybová rovnce ven sackého ešení pro k -ý as var n m k k k + + K C Q Q Pro úlohu s dynamckou má pohybová rovnce pro k -ý as var n m k k C Q kde výchylka a rychlos k, k sou výsledné akuální velny v ase k. Na základ výsledné rovnce se sesaví pro vhodný poe asových okamžk sousava nelneárních algebrackých rovnc. Velkou výhodou éo meody e, že pro pops funkních závslosí nelneárních vazeb lze použí sené vzahy ako p ešení pechodového kmání. yo sou mnohem obecnší, než vzahy pro ešení usáleného kmání. oo e dáno skuenosí, že sou sesavovány pro konkréní as k a známou polohu a rychlos sedu hídele k a k. Nevýhodou éo meody e velký ád výsledné mace sousavy, zeména p zahrnuí všího pou frekvenních složek. 4. Odezva p pechodovém kmání Je o ešení v asové oblas. Fourerovou ransformací (rychlá Fourerova ransformace) lze získa ešení ve frekvenní oblas. Pohybová rovnce m b k Q kde Q e buzení sousavy (vnší síla, momen) poáení podmínky pro pohybu hídele sou dány vzahy,. Odezva p pechodovém kmání m λn λn τ e v w f ( τ ) e dτ m b λ m k + + + n ( ) n n k k k n k
n λ λτ e vw Q( τ ) e dτ + M + B + λm Na základ modální ransformace m λn λn τ e v w Q ( τ ) e dτ m b λ m k + + + n n λ λτ e vw Q( τ ) e dτ + M + B + λm ( ) n n k k k n k Na základ Laplaceovy ransformace Pohybová rovnce M + B + K Q dále e p ω - paramer Laplaceovy ransformace K M + B + K - mace dynamckých uhosí d p p G K - mace dynamckých poddanosí d ( p p ) M + B + K r R ( G) ( G) ad r K d R GR R de ( G ) de G - z oho se urí vlasní ísla λ n ad λ λτ ( τ ) e dτ + + + λ Q M B M λ λ λ kde pro s. volnos δ δ ( τ ) h p sn ( ) k sn m + Ce + ϕ + f τ e τ dτ kde p e zv. Duhamelv negrál Meody pímé negrace pohybových rovnc V podsa se meody dlí na explcní a mplcní. Meody: - explcní (Dferenní, R-K) - f (, Q ) + f,, (knemaka) - mplcní (Newmarkova, R-K) - f (, Q ) Meody Runge-Kuovy (R-K) Druhy: - explcní - mplcní ešení dferencální rovnce (savový prosor) M + K Q odkud M Q K f,, Podsaa meod + + +
m + + k kde k - sou konsany - funkní hodnoy + α, + β Meoda druhého ádu + + +, + Meoda eího ádu 4 + + + + 3 9 3 9, +, + 3 3 3 +, + 4 4 Meoda vrého ádu + + ( + + 3 + 4 ) 6, +, + 3 +, + (, ) + + 4 3 Meoda cenrálních dferencí - + v +
a v v + + + + Newmarkova meoda a,5,5,5 δ.5, α.5.5 + δ, Θ τ Θ A b + τ + τ + τ ( + τ ) ατ ατ α + + ( + τ ) Θ ( δ ) δ + + + +.5 α α + + + + + 5. Kmání konnua Zde budou analyzovány pouze nkeré základní ypy konnua (spoý model). Poznámka: srovnání s uhým lesem (uhé leso). Podélné kmání pru. orzní kmání pru 3. Píné kmání pru 4. Kmání membrán 5. Kmání desek Základní vzahy pro sesavení výchozí rovnce pro analýzu dynamckých vlasnosí. Rovnce rovnováhy (pohybová), zaížení zde pedsavue spo rozložené zaížení.. Konsuvní vzahy (Hookev zákon) 3. Rovnce kompably (spoos) 5. Podélné kmání pru. Newonv písup
. Rovnce rovnováhy (pohybová) F F + dx F adm x F u dx d ( ρsdx) x F u ρs x kde F e axální síla (síla). Konsuvní vzahy (Hookev zákon) F σ Eε kde σ e axální napí S 3. Rovnce kompably (spoos) u ε x Shrnuí u F u F ES ES x x x Poom u u ES ρs x ešení (zavedení subsuce) u x u x u, x Analýza volného nelumeného kmání (modální vlasnos) u x, u x u u x u e x x Po dosazení do pohybové rovnce ux ES u e ρsux ( x) ue x E ux + u x ( x) ρ x ešení ux C cos λx + C sn λx, λ E ρ Píklad: obousrann veknuá y: x, u, x l, u C sn λl λl nπ nπ l E ρ nπ l E ρ. Písup na základ MKP Prncp vruálních prací obecn δu F dv + δu F ds + δ F σδε dv V S V S V ( ) u u dv dv dv δ ρ σ δε δε σ V V V MKP:
uc [ x] u x Sc c c c l c odkud pro servané síly u x δu x δu x uc us A l l Aδ δ A u A pro elascké (vnní síly) u A ε x x l l B δε δ B Hookev zákon σ Eε Výsledný vzah δ ρ A A dv δ B E B dv V M + K M ρ V A A K B B V dv E dv x l x x M ρ dv x l l V l l K E dv l l V l ρsl M 6 ES K l 5. orzní kmání Newonv písup. Rovnce rovnováhy (pohybová) M ϕ ρi p x V x
kde M e krouící momen, ϕ e úhlové naoení, (druhá dervace podle asu e úhlové zrychlení). Konsuvní vzahy (Hookev zákon) M τ Gγ I p 3. Rovnce kompably (spoos) ϕ γ x Shrnuí M ϕ GI p x x Poom ϕ ϕ GI p ρi p x ešení ϕ x ϕ x ϕ, x Analýza volného nelumeného kmání (modální vlasnos) ϕ x, ϕ x ϕ ϕ x ϕ e x x Po dosazení do pohybové rovnce x G ϕ ϕ e ρϕ x ( x) ϕ e x G ϕx + ϕ x ( x) ρ x ešení ϕx C cos λx + C sn λx, λ G ρ Píklad: obousrann veknuá y: x, ϕ, x l, ϕ C sn λl λl nπ nπ l nπ l G ρ G ρ 5.3 Píné kmání pru (ohybové) Newonv písup Výsledná rovnce pro píné (volné nelumené) kmání pru 4 w w EI + ρs 4 x ešení w x w x w, x Analýza volného nelumeného kmání (modální vlasnos) w x, w x w w w e x x Po dosazení do pohybové rovnce
E I w ρ S x 4 x w 4 e wxw e 4 wx c w 4 e wxw e x 4 wx 4 p w x, x kde 4 ρs p E I EI c ρ S a dále 4 ρs p EI Obecné ešení lze vyád nkolka zpsoby, pemž nevýhodnší e ve varu zv. Rayleghových, (Krylovových) funkcí), kde w e prhyb nosníku x wx CS + C + C3U + C4V kde S S ( px) cosh cos px + px ( px) snh sn px + px U U ( px) cosh ( px) cos ( px) V V ( px) snh ( px) sn ( px) Výhoda nap. d ps dx, d p V dx ad. a navíc respekuí OP 3 ypy OP: w, dw, M d w, Q dm d w, 3 dx dx dx dx Píklad OP ednosrann veknuého pruu (veknuý nosník) x l Pro x,,, w w,,,,, Pro x l, w, w Poznámka: obdobn pro osaní okraové podmínky, pípadn ech kombnace (roaní vazba, resp. obecná). Vyšší vary kmání maí po délce uzly (uzel). 5.4 Kmání membrán
Membrány nepenášeí ohybové momeny. Druhy: - kruhové - obdélníkové ešení: - v karézských souadncích - obdélníkové - v polárních souadncích - kruhové Pohybová rovnce m w N w S + + r r r r ϕ Obdélníková membrána Laplacev operáor +, x y Obecné ešení (pro prhyb) var w x y w x w y, x y π x π x wx ( x) C sn + C cos a a π y π y wy ( y) D sn + D cos b b OP + vary kmání ve smru x : ve smru y : Kruhová membrána Obecné ešení má var (pro prhyb) w( r, ϕ ) wr ( r) w ϕ ( ϕ ) a pak dále w r C Y + C J sn + cos r n n w D n D n ϕ ϕ ϕ ϕ OP + vary kmání 5.5 Kmání desek Desky penášeí ohybové momeny. Druhy: - kruhové - obdélníkové ešení: - v karézských souadncích - obdélníkové
- v polárních souadncích - kruhové Pohybová rovnce ρh w w + D Obdélníková deska 4 4 4 + + 4 4 x x y y kde 3 Eh D ( µ ) Obecné ešení (pro prhyb) má var w x y w x w y x y, x y w C S + C + C U + C V 3 4 w D S + D + D U + D V 3 4 OP + vary kmání ve smru x : 4 ve smru y : 4 Píklad: Sanove okraové podmínky pro obdélníkovou desku na ednom okra veknuou a na druhém podepenou y veknuo podepeno b a x Pro x, w y, Pro x a, w y, Pro y, w x, Pro y b, w x, Kruhová deska Laplacev operáor w,, y w,, y w, x w, x 4 + + r r r r ϕ Obecné ešení má var
( ϕ ) ( ϕ ), r w r w r w ϕ ešení v obvodovém smru wϕ ( ϕ ) sn( mϕ + ψ ) ešení v radálním smru w r C Y + C J + C I + C K 3 4 r n n n n OP + vary kmání (analoge s píným kmání pru) v radálním smru: 4 Píklad Sanove okraové podmínky pro desku s ovorem na vnním polomru volnou a na vnším veknuou R R Pro Pro,,,,,, r, r,, r, r r R w w r R w w Píklad Sanove okraové podmínky pro desku bez ovoru a na vnším podepenou,,,, Pro r, w, w Pro r r,,,, r, r r R w w Poznámka: ešení dynamckých vlasnosí kmání membrán a desek zpravdla vede na ešení adam, edy Besselovým funkcem. Besselovy funkce sou rzných druh. Besselovy funkce sou ešením Besselovy dferencální rovnce ádu N: x y'' + x y' + (x - N ) y Besselovy funkce (vz Malab) sou: BESSELJ(N,Z) Besselovy funkce prvního druhu, ádu N BESSELY(N,Z) Besselovy funkce druhého druhu ádu N BESSELI(N,Z) Modfkované Besselovy funkce prvního druhu ádu N BESSELK(N,Z) Modfkované Besselovy funkce druhého druhu ádu N BESSELH(N,K,Z) Hankelova funkce ádu N AIRY(K,Z) Aryho funkce
Shrnuí Membrána Obdélníková m w N w S + x y Obecné ešení w x y w x w y, x y π x π x wx ( x) C sn + C cos a a π y π y wy ( y) D sn + D cos b b Kruhová m w N w S + + r r r r ϕ Obecné ešení w( r, ϕ ) wr ( r) w ϕ ( ϕ ) a dále w r C Y + C J r n n sn + cos w D n D n ϕ ϕ ϕ ϕ Deska ρh w w + D 4 4 4 + + x x y y x y D 4 4 Eh 3 ( µ ) Obecné ešení w x y w x w y, x y w C S + C + C U + C V 3 4 w D S + D + D U + D V 3 4 ρh w w D + 4 + + r r r r ϕ Obecné ešení w( r, ϕ ) wr ( r) w ϕ ( ϕ ) a dále wϕ ( ϕ ) sn( mϕ + ψ ) + + 3 + 4 w r C Y C J C I C K r n n n n vary kmu: uzlové áry (obdélníkové) uzlové plochy (obdélníkové) uzlové prmry (kruhové) uzlové kružnce (kruhové)
6. Meoda penosových mac V nedávné dob velm používaná meoda pro ešení kmání ady konsrukcí. Je nenároná na pam poíae. p p Q p pq sav prenos sav S P S +, + S... P P... S n, +, S PS n Poznámky - mac P e neznámá frekvence - zahrnuí OP - výpoe vlasních vekor - ešení vynuceného usáleného kmání - ešení pechodového kmání - možná kombnace MKP a MPP Píklad Sesavení rovnce pro analýzu dynamckých vlasnosí volného nelumeného kmání dynamckého ezce na edné sran veknuého a na druhé sran volného. Úpln uvolnné -é leso e na obrázku. Uzly sou oznaeny písmeny a. Q k m Q Pohybová rovnce z pohledu MKP má var k k Q m + k k Q Pedpokládané ešení pro pípad harmonckého buzení a kmání Q Qe ω ω, e Po dosazení k k Q k k ω m Q Po pevedení do varu vhodného pro meodu penosových mac k k k Q ( k ω m ) Q Výsledná rovnce pro konený prvek má var k k Q ( k ω m ) k Q a mace penosu
k k P ( k ω m ) k Penos mez mísem a n se sanoví násobením lokálních penosových mac. Po zahrnuí okraových podmínek má výsledná rovnce var p p n p p Q Z druhé rovnce poom e pq Nunou a posauící podmínkou pro o, aby sousava rovnc mla nenulové nervální ešení e, aby deermnan mace sousavy byl roven nule, edy de p V obecnším pípad e submace p funkcí frekvence. frekvence pro níž e deermnan roven nule e vlasní frekvence volného nelumeného kmání oeveného ezce. Zpným dosazením vlasních frekvencí do rovnc pro penos mez ednolvým uzly se pro ednu zvolenou velnu (mace e sngulární) vypoíaí vlasní vekory. Meoda konených prvk g gq g gq (slová varana neznámé sou síly) Q k k Q k k (deformaní varana neznámé sou deformace) 7. Clvosní analýza V podsa chceme sanov, na zmnu kerého parameru sou nevíce clvé modální vlasnos dynamckého sysému. Chceme edy sanov: λ vk, p p Posup pouze pro K M v λ λ p K λ M v M λ v + ( K λm ) p p p p K λ M v v M λ v + v ( K λm ) p p p p v K λ M λ K M v λ v p p p Výsledkem pak e mace
L( p ) L λ p 8. Ladní mechanckých sousav K M v λ Vekor naladní λ, λ,, λ n,,,, n l v v v Vekor paramer p [ p, p,, pm ] Vekor požadovaných modálních veln l λ, λ,, λ r, v, v,, v r Vekor vybraných neznámých (vypoíaných) paramer p [ p, p,, ps ] Maemacká formulace ladní l p l Meoda posupných lneárních aproxmací aylorv rozvo l l p l p + p p p + s ( ) p Jacobho mace zobrazení (mace ladní, nebo mace clvos) L( p ) L l ( p ) p ( p) ( p ) + L ( ) l l p p macov l p l p + L p p zkrácen l l + L p p odud s ohledem na výsledné ešení e p p + + Ll l Posup ladní M, K známe
. Urení všech modálních vlasnosí l. Výbr požadovaných modálních vlasnosí l 3. Clvosní analýza komplení 4. Výbr paramer pro ladní - p pro nevší spády 5. Volba chyby 6. Rozhodnuí o zavedení pípusné oblas 7. Proces ladní - erace 9. Meody ešení nelneárního kmání Meody. Pímá lnearzace Ekvvalenní lnearzace aylorv rozvo Pímá lnearzace M x x f x k x xf x k x A I mn M m dx A A A I M x M ( x) dx k k Ekvvalenní lnearzace Pedpoklad: harmoncké buzení harmoncké kmání m + f, Q e ω sn ( ω ϕ ) + ω cos( ω + ϕ ) a dále f, b + k b ω cos ω + ϕ + k sn ω + ϕ e e e e Podsaa rozvo funkce f (, ) ve Fourerovu adu f (, ) U cos( ω + ϕ ) + V sn ( ω + ϕ ) kde koefceny sou π U f + d π π (, ) cos( ω ϕ ) ( ω ) V f + d π U V be, k (, ) sn ( ω ϕ ) ( ω ) e ω aylorv rozvo Podsaa spoívá v rozvo nelneární funkce v aylorovu adu, pemž se berou v úvahu pouze eí první (lneární) leny. Pedpoklad malých km kolem rovnovážné polohy
(, ) f (, ) f f (, ) + Vlasnos nelneární ho kmání: subharmoncké kmání ulraharmoncké kmání. Sabla pohybu Sablu lze defnova z rzných hledsek dynamcká sabla globální sabla lokální sabla sabla srukury sabla varu sabla ve smyslu Lagrange sabla ve velkém sabla ve smyslu Lapunova echncká sabla Kréra posouzení sably Na základ reálné ás komplexní ho vlasního ísla Rouhovo Hurwzovo krérum Analýza ve fázové rovn Lapunovy exponeny Floueovo krérum Analýza v Gausové rovn Vlasní íslo λ λre + λim - (sabla ypu dvergence, nebo fluer) Rouhovo - Hurwzovo krérum Ve sacky rovnovážné poloze e rychlos pohybu nulová. Jeslže na sousavu nepsobí vnší síly, keré nemaí poencál, sacky rovnovážná poloha se sanoví (na základ Lagrangeových rovnc II. druhu) z rovnce E p Jednou z možnosí o rozhodnuí sablní, nesablní rovnovážné polohy e druhá dervace, edy pro sablní rovnovážnou polohu msí bý Ep > O om zda bude sacky rovnovážná poloha sablní, nebo lablní lze rozhodnou nap. na základ Rouhova Hurwzova kréra. Nedíve e nuno sesav zv. charakersckou rovnc n n n de A λe λ + a λ + a λ + + a λ + a n n Nunou a posauící podmínkou pro o, aby charakerscká rovnce mla všechny koeny se zápornou reálnou ásí e splnní nerovnosí:. a >,,,, n
. a a3 a a a3 a >, a3 a5 a a4 a >, a3 a > an an an an Lapunova defnce sably v zv. malém Nerozrušený pohyb e sablní, eslže pro každé kladné malé íslo ε lze naléz akové kladné íslo η, že pro všechny rušvé pohyby pro keré plaí x ( ) x ( ) < η bude pro všechna > x ( ) x ( ) < ε. Jeslže akové η > neexsue, pohyb e nesablní. Fázová rovna (Hayashho) Jeslže se pohyb zasupuícího bodu blíží k ohnsku, dynamcký sysém e sablní a pokud se vzdalue, dynamcký sysém e nesablní. Lapunovy exponeny Exponeny polynomu rozhoduí o sabl dynamckého sysému. Jech výpo e e zna n náro ný a provádí se v asové oblas. asov
Flueovo krérum (Floueova va) Floueova eore se vzahue k sousav lneárních obyených dferencálních rovnc prvního ádu x A x kde mace A e spoá perodcká funkce s perodou. Mace F se nazývá mací fundamenálních ešení, pemž sloupce sou lneárn závslým ešením. Pak lze ešení sousavy rovnc napsa ve varu x F F x Mace H, F F se nazývá penosová, nebo aké pechodová mace z asu asu (konsanní), pak e mace penosu dána vzahem ( ) H, e A do asu. Není-l mace ( ) A funkcí což e zv. macová exponencála. Je-l mace A ( ) funkcí asu, pak e mace penosu dána vzahem R( ) H (, ) Z( ) e Z ( ) Mez asy a (peroda) pak e ( ) H, e A nebo H, Z R e Z (kdy e Z( ) Z ). Mace e R se nazývá mace monodrome. Mace Z ( ) e dle Floueovy R vy regulární a rovnce Z e Z pedsavue podobnosní ransformac (nemní se vlasní ísla mace ped ransformací a po ní). Pak vlasní ísla mace H (,) a mace e R sou sené. Pak saí, posuzova sablu pouze podle mace penosu H (,). Nunou a posauící podmínkou pro o, aby dynamcký sysém byl sablní e, aby velkos všech vlasních ísel mez asy a ležela v rozsahu -. Sanovení mace H (,) (4 písupy) Homogenní var pohybových rovnc ve savovém prosoru má var (pro zednodušení zápsu e vynechán horní pruh) M + K eno lze uprav na var M K nebo aké A Mac penosu e nevýhodnší poía numercky.. Písup Je-l asový úsek (, ) H ( ) n, e A edy pes macovou exponencálu. Písup Je-l asový úsek (, ) rozdlen na n asových krok, pak rozdlen na n asových krok. Je-l asový krok negrace malý, lze bhem ohoo kroku považova mac A za konsanní a plaí
A P použí explcní meody e A odud E A a mace penosu mez sousedním kroky výpou H E A, (,), H H 3. Písup n Je-l asový úsek (, ) rozdlen na n asových krok. Je-l asový krok negrace malý, lze bhem ohoo kroku považova mac A za konsanní a plaí A P použí mplcní meody e A odud E A a mace penosu mez sousedním kroky výpou H E A, (,), H H n 4. Písup Pímým výpoem odezvy v ase na základ zvolených poáeních podmínek. V podsa se provádí opakovan výpoe odezvy v ase na základ zvolených poáeních podmínek. eno výpoe se opakue n krá. H, X X K výpou odezvy v ase lze využí nkerou z pímých meod negrace pohybových rovnc. Poznámka: V pípad použí meod pímé negrace pohybových rovnc lze rovnž využí Newmarkovu meodou, pípadn Runge Kuha 4. ádu. Explcní, nebo mplcní meoda zde byla ukázána pouze pro názornos Analýza v Gausové rovn Používá se p ešení vynuceného usáleného kmání. Pokud e pohyb zasupuícího bodu v Gausové rovn ve smyslu hodnových ruek, dynamcký sysém e sablní a naopak.. Dynamcký lum vbrací Pro ednoduchos bude ukázán prncp dynamckého lume vbrací na kmání sousav s s. volnos. Ampludo frekvenní charakerska má var
Ampludová charakerska pvodní sousavy Požadavkem nyní e, aby v rezonanc byla ampluda mnmální. Jedním ze zpsob ak oho lze dosáhnou e, pda k omuo dynamckému sysému druhý. ím se sousava s s. volnos zmní na sousavu se s. volnos. P buzení pvodní rezonanní frekvencí, leso první kmá mnmáln avšak kmá leso druhé, pídavného lume. Vhodným lumem umísným na druhém lese (lume) se sníží kmání ohoo lesa a dochází ak ke zmaení energe. Ampluda Ampluda Frekvence Frekvence Ampludová charakerska nové sousavy Poznámka: lum e funkní pouze p edné budící frekvenc. V pípad polyharmonckého buzení e návrh lume obížnší.. Elekro mechancká analoge Exsue analoge kmání v mechance a v elekroechnce. Schéma mechanckého sysému e všeobecn známa, proo zde není nakreslena.
Odpovídaící velny Mechanka Elekroechnka Hmonos m Indukce L uhos k Elekrcká elasance C lumení b Odpor R Buzení Q asová zmna du napáecího napí d Výchylka Proud I Rychlos v asová zmna proudu I zrychlení a Druhá dervace proudu I Pohybové rovnce m b k Q du I C d du LI RI I C d Další velny Vlasní frekvence Mechanka k m Elekroechnka CL Sounel doznívání b δ m δ R L 3. píklady Budou ukázány dva píklady na ešení odezvy p vynuceném usáleném kmání. Je o doplnní píklad, keré sou ve sudních oporách pro dynamku. 3. Píklad knemacké buzení Je dána sousava les podle obrázku. Základní leso, ke kerému e vázán pružný len koná harmoncký pohyb u u e ω. Koou o hmonos m a polomru R e pevn spoen s yí o 4 hmonos m délky l. m kg, m 3 kg, R. m, l. m, u mm, k N, m
N m s b, v cm, ω ω < > rad, α 3 deg. Sousava se nachází ve sacky s rovnovážné poloze a pedpokládee malé kmy kolem éo polohy. Pedpokládee, že dynamcký sysém e lneární. Pro danou sousavu eše:. Sanove vlasní frekvenc nelumeného a lumeného kmání a znázorne ampludovou charakersku.. Rozhodne, zda v pásmu provozního buzení nasane vymezení vle v. Rozbor úlohy Sousava les pedsavue sousavu, kerá má eden supe volnos. K sesavení pohybové rovnce budou využy Lagrangeovy rovnce druhého druhu. K analýze kmání lze psupova dvma zpsoby. Schéma prvního zpsobu e na prvním obrázku. Jako zobecnná souadnce e zvoleno naoení sousavy, edy ϕ. Výsledkem bude konrola vymezení vle podle vzahu v < cϕ cosψ < v. Schéma druhého zpsobu e na druhém obrázku. Jako zobecnná souadnce e zvoleno posunuí koncového bodu na yce, edy x. Výsledkem bude konrola vymezení vle podle vzahu v < x < v.
Mez obma písupy, na základ kerých musí bý dosaženy sené výsledky a sené závry plaí vzahy x cϕ cosψ x cϕ cosψ V obou pípadech e nuno sanov úhel ψ, pro kerá plaí R. ψ a an a an.3 rad R + l.+. ψ 8.44 deg a aké vzdálenos c, pro kerou plaí c R + R + l. +.+..3 m Poznámky P ešení nebudou uvažovány íhové síly, proože sousava e v rovnovážné poloze. Pro odlšení zobecnných veln (hmonos, uhos, lumení a vnší síly), keré sou oznaeny v eorecké ás od oznaení, keré e použo v píkladu, budou zde yo velny oznaeny nahoe hvzdkou.
ešení dle. písupu ( ϕ ) Pro aplkac Lagrangeových rovnc druhého druhu e nuno sanov kneckou a poencální energ, lumící funkc a prác (výkon) vnších sl, keré nemaí poencál. Knecká energe Ek m Iϕ ( I + I ) ϕ Zobecnná hmonos má charaker osového momenu servanos k ose kolmé na rovnu kmání. P eím sanovení e nuno použí Senerovu vu. l m I I + I mr + mr + ml + mr + R +. m. +. + 3. + 3. +.+.9 kgm Poencální energe P sanovení poencální energe e nuno vzí v úvahu ednak pohyb sedu kooue, kde e vázána pružna a poom pohyb základu, na kerý e pružna vázána. Ep krϕ ( snα ) u Dervace poencální energe podle zobecnné souadnce E p krϕ ( snα ) u R( snα ) ϕ odkud pro zobecnnou uhos e 4 k kr sn ( α ). sn ( 3) 5 Nm rad Pro zalumenou energ plaí Eb b b( Rϕ ) ( b4r ) odkud pro zobecnné lumení e b b4r 4..4 Nm rad ( s ) Ampluda budících sl, keré nemaí poencál bude sanovena na základ dervace poencální energe podle zobecnné souadnce 4 3 Q k [ u ] R( snα ).sn ( 3).5 Nm S ohledem na var knecké energe, eí parcální dervace podle zobecnné souadnce e nulová. Výsledný var pohybové rovnce pak e m + b + k Qe ω Vlasní frekvence volného nelumeného kmání k 5.47 rad m.9 s Sounel doznívání b.4 δ.5 rad, m.9 s Vlasní frekvence lumeného kmání l δ.47.5.4 rad s Na obr. e nakreslena ampludová charakerska pro daný píklad.
Pomrný úlum následn e δ.5 b p.9.4 [ ] S ohledem na rozsah provozního buzení ω < > rad a vlasní frekvenc lumeného kmání s l.4 rad, nasane v pásmu provozního buzení rezonanní sav, p kerém bude maxmální s odezva. Saí edy zkonrolova ampludu p rezonanním savu. Obecný vzah pro odezvu e Q A ω ω k b + p Rezonanní sav nasane, kdy e ω l, což po dosazení Q.5 A.9 rad l l.4.4 k b 5.9 + p +.47.47 Svslé posunuí koncového bodu na yce e dáno vzahem x c cos ψ.3.9 cos.3.33 m 3.3 cm A A Vzhledem k omu, že svslá ampluda kmání koncového bodu e vší než vle xa > v, 3.3 >, nasane v daném pásmu provozního buzení vymezení vle. Poznámka: Obdobn by se posupovalo v pípad, že by se pohybovalo základní leso, na keré e vázán lumící len. budící únky by byly sanovena ze vzahu pro dervac zalumené funkce. 3. Píklad buzení rouícím lesem Je dána sousava les podle obrázku. Koou o hmonos m a polomru R e pevn spoen s yí o hmonos m délky l. m kg, m 3 kg, R. m, l. m, nevývaha me. kgm, 4 k N b N, v cm ω ω < >, α 3 deg. Sousava se nachází, m ( s ), rad m s ve sacky rovnovážné poloze a pedpokládee malé kmy kolem éo polohy. Pedpokládee, že dynamcký sysém e lneární. Pro danou sousavu eše:. Sanove vlasní frekvenc nelumeného a lumeného kmání a znázorne ampludovou charakersku.. Rozhodne, zda v pásmu provozního buzení nasane vymezení vle v.
Rozbor úlohy Sousava les pedsavue sousavu, kerá má eden supe volnos. K sesavení pohybové rovnce budou využy Lagrangeovy rovnce druhého druhu. K analýze kmání lze psupova dvma zpsoby. Schéma prvního zpsobu e uvedena výše. Jako zobecnná souadnce e zvoleno naoení sousavy, edy ϕ. Výsledkem bude konrola vymezení vle podle vzahu v < cϕ cosψ < v. Schéma druhého zpsobu e uvedena výše. Jako zobecnná souadnce e zvoleno posunuí koncového bodu na yce, edy x. Výsledkem bude konrola vymezení vle podle vzahu v < x < v. Mez obma písupy, na základ kerých musí bý dosaženy sené výsledky a sené závry plaí vzahy x cϕ cosψ x cϕ cosψ V obou pípadech e nuno sanov úhel ψ, pro kerá plaí R. ψ a an a an.3 rad R + l.+. ψ 8.44 deg a aké vzdálenos c, pro kerou plaí c R + R + l. +.+..3 m Poznámky P ešení nebudou uvažovány íhové síly, proože sousava e v rovnovážné poloze. Pro odlšení zobecnných veln (hmonos, uhos, lumení a vnší síly), keré sou oznaeny v eorecké ás od oznaení, keré e použo v píkladu, budou zde yo velny oznaeny nahoe hvzdkou. ešení dle. písupu ( ϕ ) Pro aplkac Lagrangeových rovnc druhého druhu e nuno sanov kneckou a poencální energ, lumící funkc a prác (výkon) vnších sl, keré nemaí poencál. Knecká energe Ek m Iϕ ( I + I ) ϕ Zobecnná hmonos má charaker osového momenu servanos k ose kolmé na rovnu kmání. P eím sanovení e nuno použí Senerovu vu.
l m I I + I mr + mr + ml + mr + R +. m. +. + 3. + 3. +.+.9 kgm Poencální energe P sanovení poencální energe e nuno vzí v úvahu ednak pohyb sedu kooue, kde e vázána pružna a poom pohyb základu, na kerý e pružna vázána. Ep k k Rϕ kr ϕ odkud pro zobecnnou uhos e 4 k kr. Nm rad Pro zalumenou energ plaí Eb b brϕ ( cosα ) ( b4r cos α ) odkud pro zobecnné lumení e b b4r cos α 4. ( cos3).3 Nm rad s Buzení bude sanoveno na základ buzení rouícím lesem ω ω Q m ω Re Q e e S ohledem na var knecké energe, eí parcální dervace podle zobecnné souadnce e nulová. Výsledný var pohybové rovnce pak e m + b + k m e eω R ω Vlasní frekvence volného nelumeného kmání k.94 rad m.9 s Sounel doznívání b.3 δ.79 rad, m.9 s Vlasní frekvence lumeného kmání l δ.94.79.9 rad s Na obr. e nakreslena ampludová charakerska. Pomrný úlum následn e δ.79 b p.34 [ ].94 S ohledem na rozsah provozního buzení ω < > rad a vlasní frekvenc lumeného kmání s l.4 rad, nasane v pásmu provozního buzení rezonanní sav, p kerém bude maxmální s odezva. Saí edy zkonrolova ampludu p rezonanním savu. Obecný vzah pro odezvu e meω R A ω ω k b + p Rezonanní sav nasane, kdy e ω l, což po dosazení
m R..9. e l A l l.9.9 k b.34 + p +.94.94 Svslé posunuí koncového bodu na yce e dáno vzahem x c cos ψ.3.8cos.3.33 m.3 cm A A.8 rad Vzhledem k omu, že svslá ampluda kmání koncového bodu e menší než vle xa < v,. 3 <, nenasane v daném pásmu provozního buzení vymezení vle.