Statika soustavy těles Základy mechaniky, 6 přednáška Obsah přednášky : uvolňování soustavy těles, sestavování rovnic rovnováhy a řešení reakcí, statická určitost, neurčitost a pohyblivost, prut a jeho vlastnosti, prutové soustavy Doba studia : asi 1,5 hodiny Cíl přednášky : seznámit studenty se základním metodou řešení statiky soustav těles - metodou uvolňování; její aplikace na soustavy těles a na prutové soustavy
1 Základy mechaniky, 6 přednáška Několik těles, spojených navzájem vazbami, nazýváme v mechanice soustavou těles nebo též (jedná-li se o pohyblivou soustavu) mechanismem Ve statice se samozřejmě budeme zabývat výhradně nehybnými soustavami těles, zatíženými silami (momenty nebo spojitým zatížením) rám 1 4 C 3 3 V mechanice, zejména pak v kinematice, jednotlivá tělesa, tvořící soustavu (členy soustavy) číslujeme Číslo 1 přisuzujeme obvykle rámu ám je nehybné těleso, pevně spojené se Zemí Základní úlohou statiky soustavy těles je určení vazbových sil (momentů), tedy sil (momentů), přenášených vazbami Úloha je velmi podobná, ne-li totožná s úlohou řešení reakcí v uložení jednoho tělesa Základní metodou je metoda uvolňování Uvolnit těleso znamená pomyslně odstranit vazby a zavést vazbové účinky Postup demonstrujeme na příkladu Dvě tělesa charakteru tyče (těleso ) a C (těleso 3) jsou vázána jak k rámu (body a C) tak mezi sebou navzájem (bod ) kloubovými vazbami Tyč je zatížena silami 1 a, tyč 3 pak silami 3 a 4
x y 1 y x x y Základy mechaniky, 6 přednáška Kromě vnějšího zatížení 1 4 působí na tělesa a 3 v kloubech, a C vazbové síly x, y, x, y, Cx a Cy Síly x, y, Cx a Cy jsou reakce od rámu Síly x a y, jimiž na sebe navzájem působící na tělesa a 3 v kloubu, jsou podle zákona akce a reakce stejně velké, navzájem opačně orientované 4 Vzhledem k uložení se obě tělesa nemohou pohybovat Z toho je zřejmé, že silové soustavy, působící na obě tělesa, jsou v rovnováze Pro každé těleso (každou silovou soustavu) můžeme sestavit tři rovnice rovnováhy Zde 3 1x, 1y, x, y, 3x, 3y, 4x a 4y jsou vodorovné a svislé složky působících sil, 3 a, b, c, d, e, f, g, h a i jsou ramena, na nichž působí jak akční, tak reakční síly vůči zvoleným momentovým bodům ( a C) C xi = x + 3x 4x Cx 0 Cx xi = x + 1x x x = 0 yi y 3y 4y Cy Cy = + + = yi = y 1y y + y M Ci = x d + y e + 3x f + Mi = 1y a + y b y c + 3y g 4x h + 4y i Z této soustavy šesti rovnic není již problém vyřešit šest neznámých x, y, x, y, Cx a Cy Celkové reakce pak jsou : = + = + = + x y x y C Cx Cy
Tento postup použijeme vždy při řešení vazbových sil na soustavě těles Jednotlivé konkrétní příklady se budou lišit jednak rozsahem (větší počet těles, větší počet sil), jednak použitými vazbami V této souvislosti je třeba připomenout vlastnosti vazeb z hlediska přenosu sil, tak jak byly popsány na 4 přednášce Pro demonstraci uvedeme příklad, dosti podobný předchozímu, avšak místo kloubové vazby mezi oběma tělesy je použitá vazba posuvná 1 C 3 rám
M x y M y y Kloubové vazby těles a 3 vůči rámu přenáší dvě složky síly, nepřenáší moment Posuvná vazba mezi tělesy a 3 přenáší pouze sílu, kolmou k posuvu, přenáší však rovněž moment Podobně jako v předchozím příkladě jsou x, y, Cx a Cy reakce od rámu, y a M je síla a moment, jimiž na sebe působí tělesa a 3 navzájem Jsou stejně velké, opačně orientované Cx C Cy Podobně jako v předchozím příkladě sestavíme šest rovnic rovnováhy (po třech pro každé těleso - pro každou silovou soustavu) Z těchto rovnic vypočteme šest neznámých vazbových sil, uvedených v předchozím odstavci (přesněji pět vazbových sil a vazbový moment)
Soustava těles může být topologicky složitější, zvláště je-li tvořena větším počtem těles 9 rovnic rovnováhy, 9 vazbových sil (8 sil a 1 moment) pevný kloub 1 3 4 rám posuvná vazba pevný kloub pevný kloub posuvný kloub Při uvolňování soustavy těles mohou nastat tři, kvalitativně odlišné situace Počet neznámých vazbových sil / momentů je roven počtu rovnic rovnováhy Soustava těles je nehybná, staticky určitá Z rovnic rovnováhy přímo vypočteme vazbové síly (momenty)
Soustava těles může být topologicky složitější, zvláště je-li tvořena větším počtem těles 9 rovnic rovnováhy, 10 vazbových sil (9 sil a 1 moment) pevný kloub 1 3 4 rám posuvná vazba pevný kloub pevný kloub pevný kloub Při uvolňování soustavy těles mohou nastat tři, kvalitativně odlišné situace Počet neznámých vazbových sil / momentů je větší než počet rovnic rovnováhy Soustava těles je nehybná, staticky neurčitá bychom mohli vypočíst vazbové síly (momenty), musíme k rovnicím rovnováhy přidat chybějící rovnici (rovnice) - deformační podmínky Např posunutí bodu, v němž je kloubová vazba k rámu, je nulové
Soustava těles může být topologicky složitější, zvláště je-li tvořena větším počtem těles 9 rovnic rovnováhy, 8 vazbových sil (7 sil a 1 moment) pevný kloub 1 rám pohyb pohyb posuvná vazba pevný kloub 3 4 pohyb posuvný kloub posuvný kloub Při uvolňování soustavy těles mohou nastat tři, kvalitativně odlišné situace Počet neznámých vazbových sil / momentů je menší než počet rovnic rovnováhy Soustava těles je pohyblivá ovnice rovnováhy nemohou být všechny splněny Úlohu nelze řešit na poli statiky Soustava těles se bude pohybovat a její pohyb (včetně vazbových sil / momentů) je třeba řešit z pohybových rovnic Tím se však dostáváme na pole dynamiky
Na tomto místě je třeba definovat zvláštní druh tělesa, jež budeme nazývat prutem Prut je těleso : - jehož příčné rozměry jsou mnohokrát menší než jeho délka (podobně jako nosník); - jež je k ostatním tělesům vázáno kloubovými vazbami; - jež není zatíženo jinak, než vazbovými silami, přenášenými kloubovými vazbami Na uvolněný prut působí v kloubech a vazbové síly x, y, x a y Ze silových rovnic rovnováhy vyplývá : b x y a prut y x x = x y = y Momentové rovnice rovnováhy k bodu resp k bodu určují poměr vodorovné a svislé složky vazbových sil, přenášených klouby a : x b = y a y x = y x b a x b = Jak je zřejmé, oba klouby ( i ) přenášejí stejně velkou vazbovou sílu =, jež má směr osy prutu (spojnice bodů a ) = y a Prut přenáší sílu, jež má směr osy prutu
Tuto sílu budeme dále nazývat osovou silou Srovnáme-li namáhání prutu s vnitřními statickými účinky nosníku, pak osová síla je normálovou silou a namáhá prut na tah nebo tlak Namáhání posouvající silou a ohybovým momentem u prutu odpadá Tato skutečnost výrazně zjednodušuje statické řešení soustav těles, jež obsahují pruty Nosník soustavy je v bodě kloubově vázán k rámu, v bodě je pak podepřen prutem 3 D prut 1 3 C rám
Tuto sílu budeme dále nazývat osovou silou Srovnáme-li namáhání prutu s vnitřními statickými účinky nosníku, pak osová síla je normálovou silou a namáhá prut na tah nebo tlak Namáhání posouvající silou a ohybovým momentem u prutu odpadá Tato skutečnost výrazně zjednodušuje statické řešení soustav těles, jež obsahují pruty Nosník soustavy je v bodě kloubově vázán k rámu, v bodě je pak podepřen prutem 3 x D y Pro statické řešení nám zcela stačí uvolnit nosník Víme, že prut 3 na nosník působí silou, jež má směr osy prutu (spojnice C), má tedy známý směr Stačí tedy sestavit tři rovnice rovnováhy o třech neznámých x, y a V momentové rovnici k bodu bude dokonce jen jedna jediná neznámá - osová síla v prutu
Prutová soustava je soustava, tvořená výhradně pruty, - jež jsou k ostatním prutům vázány výhradně kloubovými vazbami; - jenž jsou zatíženy výhradně ve styčnících (kloubová spojení jednotlivých prutů) styčník 4 D D 8 prut 1 3 5 7 9 11 C C 6 E E 10 G Kloubové vazby mezi jednotlivými pruty nazýváme styčníky (stýkají se v nich jednotlivé pruty) Styčníky jsou na obrázku označeny písmeny,,, G V každém styčníku se může stýkat několik prutů Pruty jsou označeny čísly 1,,, 11 Ve styčnících působí zatěžující síly, C,, Předmětem řešení statiky prutové soustavy je zjištění velikosti osových sil v prutech Označíme je S 1, S,, S 11 Pruty jsou těmito osovými silami namáhány na tah nebo tlak Osové síly mají směr prutů, jejich směr je tedy dán geometrií prutové soustavy
Než provedeme řešení osových sil, vypočteme reakce v uložení soustavy To provedeme způsobem, popsaným na 4 přednášce Při tom si uvědomíme, že na prutovou soustavu můžeme pohlížet jako na jedno těleso, neboť geometrie soustavy je jednoznačně dána délkami prutů D G x C E y ix iy M i x y G =? G =? =? Jak však uvidíme dále, tento předběžný výpočet reakcí není nezbytný Jde jen o možnost, nikoliv nutnost
Seznámíme se se dvěma metodami řešení osových sil : - metoda styčníková (již lze považovat za základní metodu), - metoda průsečná (lze ji považovat za doplňkovou metodu) S 1 α S 3 β S 4 S 4 S 5 D γ D δ S 8 S 7 S 8 ε S 9 φ S 11 S 1 α S 3 β S 5 γ S 6 S 6 S 7 δ ε S 9 S 11 φ G x S S C C E E S 10 S 10 y Styčníková metoda spočívá v uvolnění jednotlivých styčníků Na styčníky působí tři druhy sil : vnější zatížení - síly, C,,, reakce x, y a G a konečně právě osové síly S 1, S,, S 11 (dvě, stejně velké, opačně orientované osové síly S i působí na dva styčníky, které prut spojuje) Tyto síly, působící na styčník, tvoří rovinnou silovou soustavu se společným působištěm ovnováhu této silové soustavy vyjádříme dvěma rovnicemi rovnováhy Např na styčník působí reakce x a y a osové síly S 1 a S ovnice rovnováhy jsou : xi yi = = x y + S + S x 1 1 S 1 sin α α y S cos α + S S 4 S 5 D γ xi yi D δ S 7 S 8 = = Dx Dy G Na styčník D působí síla D (její složky jsou Dx a Dy ) a osové síly S 4, S 5, S 7 a S 8 ovnice rovnováhy jsou : + S + S 4 5 + S 5 sin γ + S cos γ S 7 7 sin δ cos δ S 8
Seznámíme se se dvěma metodami řešení osových sil : - metoda styčníková (jež lze považovat za základní metodu), - metoda průsečná (lze ji považovat za doplňkovou metodu) S 1 α S 3 β S 4 S 4 S 5 D γ D δ S 8 S 7 S 8 ε S 9 φ S 11 S 1 α S 3 β S 5 γ S 6 S 6 S 7 δ ε S 9 S 11 φ G x S S C C E E S 10 S 10 y Pro každý styčník sestavíme dvě rovnice rovnováhy V takto vzniklé soustavě rovnic budou neznámé jednak hledané osové síly S 1, S,, S 11, jednak reakce v uložení x, y a G V uvedeném příkladu, kde je 7 styčníků, sestavíme tedy 14 rovnic, v nichž bude 14 neznámých - 11 osových sil a 3 reakce v uložení Jak je zřejmé, tyto reakce není nutné vypočíst předem z rovnováhy na soustavě jako celku Mohou být vyřešeny současně s osovými silami z jedné soustavy rovnic Součástí řešení je znaménková dohoda Tahové síly pokládáme za kladné, tlakové za záporné Tahové síly pak působí na styčníky směrem ze styčníku ven, tlakové naopak do styčníku + - tah G tlak
Průsečná metoda umožňuje vypočíst pouze některé z osových sil, nikoliv všechny Proto ji lze považovat za doplňkovou metodu Spočívá v rozdělení prutové soustavy na dvě dílčí pod-soustavy pomyslným přerušení tříprutů, jež nahradíme příslušnými osovými silami Na takto pomyslně oddělené dílčí podsoustavy prutů již pohlížíme jako na tuhá tělesa 1 3 C 4 5 C D D 6 7 E 8 9 E 10 11 G S 4 D S 4 γ S 5 x C C E E y G D S 5 γ S 6 S 6 G Soustavy sil, působící na obě, zdánlivě izolovaná tělesa, jsou v rovnováze Protože se jedná o rovinné silové soustavy s různým působištěm, můžeme sestavit pro každou soustavu tři rovnice rovnováhy xi yi M i xi yi M i Z jedné soustavy rovnic vypočteme tři neznámé osové síly (v uvedeném příkladu to jsou síly S 4, S 5 a S 6 ) Druhou soustavu rovnic můžeme použít pro kontrolu
Obsah přednášky : uvolňování soustavy těles, sestavování rovnic rovnováhy a řešení reakcí, statická určitost, neurčitost a pohyblivost, prut a jeho vlastnosti, prutové soustavy