.3.5 Součtové vzorce Předpoklad: 30 Závorku ve výrazu sin ( ) + není možné jen tak roznásobit ani rozdělit: 0 = sin ( ) = sin + sin + sin = + =. Způsob, jakým goniometrické funkce vrábějí ze zadaných čísel hodnot, sice známe, ale je tak neprůhledný, že není možné používat závorkové úprav na výraz uvnitř funkcí hodnotu goniometrické funkce musíme počítat + a na úprav výrazu můžeme použít pouze odvozené z čísla goniometrické vzorce. Vzorců je hodně, patří do několika skupin první skupinu tvoří součtové vzorce. sin + = sin cos + cos sin. Pro všechna reálná čísla, platí: Př. : Dokaž platnost vztahu cos = sin +. Použijeme vzorec sin + = sin cos + cos sin, abchom odstranili závorku na pravé straně rovnosti, dosazujeme =. sin + = sin cos + cos sin = sin 0 + cos = cos Př. : Vužij vztah pro sin ( + ) k odvození vzorce pro sin ( ). sin = sin + = sin cos + cos sin = sin cos cos sin. Podobné vzorce můžeme odvodit i pro funkci cos. Součtové vzorce: Pro všechna reálná čísla, platí: sin + = sin cos + cos sin sin = sin cos cos sin cos + = cos cos sin sin cos = cos cos + sin sin Pedagogická poznámka: Nepožaduji po studentech, ab vzorce uměli nazpaměť. Součtové vzorce (stejně jako vzorce, probírané v následujících hodinách) si mohou napsat na speciální papír, který mohou kromě hodin používat i při psaní písemek.
Pedagogická poznámka: Odvození součtových vzorců pro sin ( + ) a cos ( + ) v hodinách neprovádím. Je uvedeno na konci hodin pro zájemce. Př. 3: Dokaž platnost vztahu sin = cos. Použijeme vzorec cos = cos cos + sin sin, abchom odstranili závorku na pravé straně rovnosti, dosazujeme =. cos = cos cos + sin sin = cos 0 + sin = sin Př. : Zjednoduš výraz: cos cos + 6 6. cos cos + = cos cos + sin sin cos cos sin sin = 6 6 6 6 6 6 cos cos + sin sin cos cos + sin sin = sin sin = sin = sin 6 6 6 6 6 Pedagogická poznámka: Některým studentů dělá problém pochopit, že za ve při rozkladu cos dosazujeme. 6 Př. 5: Dokaž rovnost: cos = sin + cos. cos = cos cos + sin sin = cos + sin = = cos + sin = sin + cos Př. 6: Dokaž rovnost: sin = sin ( ) = sin ( + ) = sin ( ) ( ) = = ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin cos cos sin 0 cos sin sin sin + = sin cos + cos sin = 0 cos + sin = sin sin = sin cos cos sin = 0 cos sin = sin Pedagogická poznámka: Předchozí příklad slouží k snchronizaci tříd.
Př. 7: Odvoď součtový vzorec pro tg( ) tg ( ) +. sin cos + cos sin sin ( + ) sin cos + cos sin cos cos + = = = = cos ( + ) cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos sin + cos cos cos cos tg + tg = cos cos sin sin tg tg cos cos cos cos Pedagogická poznámka: ozšíření zlomku výrazem cos cos je studentům třeba poradit. Př. 8: Odvoď součtový vzorec pro tg( ). Problém: Odvození je příliš dlouhé použijeme tg( ) = tg + ( ) tg + tg( ) tg( ) = tg + ( ) = tg tg( ) Použijeme tg( ) = tg ( tg je lichá funkce). tg + tg( ) tg tg tg( ) = tg + ( ) = = tg tg( ) + tg tg Př. 9: Urči přesnou hodnotu cos 75.. Problém: Známe přesné hodnot pouze pro tabulkové hodnot 30, 5, 60 zkusíme vjádřit 75 sčítáním (odčítáním) tabulkových hodnot: 75 = 5 + 30. 3 cos 75 = cos( 5 + 30 ) = cos 5 cos 30 sin 5 sin 30 = = = 6 Př. 0: Urči přesnou hodnotu sin5. Problém: Známe přesné hodnot pouze pro tabulkové hodnot 30, 5, 60 zkusíme vjádřit 5 sčítáním (odčítáním) tabulkových hodnot: 5 = 5 30. sin5 = sin 5 30 = sin 5 cos 30 cos 5 sin 30 = 3 6 6 = = = Pedagogická poznámka: Můžete vzvat student, ab vsvětlili shodu výsledků dvou předchozích příkladů, případně podiskutovat o způsobu, jak získat přesné hodnot goniometrických funkcí v dalších bodech. 3
Př. : Vřeš rovnici: cos + sin =. Problém: Dvě různé goniometrické funkce s různými argument pomocí součtového vzorce rozložíme argument v cosinu, ab uvnitř všech goniometrických funkcí blo pouze. cos + sin = cos cos + sin sin + sin = cos 0 + sin + sin = sin = 5 sin = šestinové úhl v kladné polorovině = + k, = + k. 6 6 5 K = + k ; + k k Z 6 6 Př. : Vřeš rovnici: cos + + cos =. Problém: Dvě různé goniometrické funkce s různými argument pomocí součtových vzorců rozložíme argument obou cosinů, ab uvnitř všech goniometrických funkcí blo pouze. cos + + cos = cos cos sin sin + cos cos + sin sin = cos sin + cos + sin = cos = cos = cos = = = čtvrtinové úhl v kladné polorovině na ose 7 = + k, = + k. 7 K = + k ; + k k Z Př. 3: Vřeš nerovnici: sin + sin > 0. Problém: Závork u obou sinů se nerovnají, nemůžeme ted substituovat rozložíme pomocí součtových vzorců. sin + sin > 0
sin cos + cos sin sin cos cos sin > 0 sin cos + cos sin sin cos + cos sin > 0 cos sin > 0 cos > 0 cos > 0 K = + k ; + k k Z Př. : Petáková: strana 7, cvičení 55 a), c), e) strana 7, cvičení 56 d), e) strana 7, cvičení 57 b), d), h), l) strana 5, cvičení a), g), h) Pedagogická poznámka: Následující odvození o hodinách vnechávám, učebnice ho obsahuje pouze kvůli případným zájemcům, přesto je odvození psáno stlem, který v učebnici používám pro vsvětlování normální látk, ab v důležitých místech studenti získali čas a důvod na rozmšlenou. Pedagogická poznámka: V podstatě sledujeme odvození z učebnice Goniometrie: Odvárko, Prometheus. Odvození součtových vzorců K odvození součtových vzorců použijeme jednotkovou kružnici. Zakreslíme do obrázku jednotkové kružnice dva orientované úhl ab platilo >. T = ST, = SU, tak U - S - 5
Př. 5: Urči souřadnice bodů, T, U souřadné soustavě S. Platí: [ ;0 ], T [ cos,sin ], [ cos,sin ] U. Bodem T vedeme rovnoběžku s osou, bodem U rovnoběžku s osou. Vznikne tak pravoúhlý trojúhelník TUV. T T[cos ;sin ] V U - S - S V[cos ;sin ] U[cos ;sin ] Př. 6: Urči délk stran trojúhelníku TUV. Z obrázku vidíme: VU = cos cos, TV = sin sin. Délku přepon určíme pomocí Pthagorov vět: c = a + b. TU = cos cos + sin sin = cos cos + sin sin TU = cos cos cos + cos + sin sin sin + sin TU = cos + sin + cos + sin cos cos sin sin TU = + cos cos sin sin = cos cos sin sin Nní zopakujeme celý postup vzhledem k nové soustavě souřadnic S, kterou získáme otočením soustav S o úhel = SU. 6
' T - S - U - Př. 7: Urči souřadnice bodů T, U souřadné soustavě S. Platí: T cos ( ),sin ( ), [,0] U. Bodem T vedeme rovnoběžku s osou, bodem U rovnoběžku s osou. Vznikne tak pravoúhlý trojúhelník TUW. ' T ' T[cos( - ) ;sin( -) ] - S - W U - S - U[ ;0] W[cos( -) ;0] Př. 8: Urči délk stran trojúhelníku TUV. Z obrázku vidíme: WU = cos( ), TW sin ( ) =. Délku přepon určíme pomocí Pthagorov vět: c = a + b. TU = cos + sin = cos + sin TU = cos + cos + sin = cos + TU = cos = cos 7
Otočením soustav souřadnic se nemůže změnit vzdálenost bodů T, U obě vjádření délk úsečk TU musí být shodné: cos( ) = ( cos cos sin sin ). cos = cos cos sin sin cos = cos cos + sin sin - jeden ze vzorců, které jsme si ukázali na začátku hodin. Odvození není zcela kompletní. Musíme ověřit případ, které jsme vnechali v našich předpokladech: >,, 0; ). Ověření pro =,, 0; ) : Dosadíme do odvozeného vzorce: = : cos = cos cos + sin sin cos = cos cos + sin sin cos 0 cos sin = + = - platí. Ověření pro <,, 0; ) : Platí: cos ( ) = cos( ) cos = cos = cos = cos cos + sin sin, protože cos je sudá funkce. Ověření pro, : Víme, že pro, eistují:, 0; ) a k, m Z, tak, že platí: 0 0 = 0 + k, = 0 + m Dosadíme do obou stran vzorce (vužijeme periodičnost funkcí = sin a = cos ): ( ) = + k ( + m ) = + ( k m) = ( ) cos cos cos cos cos cos + sin sin = 0 0 0 0 0 0 ( k ) ( m ) ( k ) ( m ) cos + cos + + sin + sin + = 0 0 0 0 cos cos + sin sin 0 0 0 0 Odvození vztahu sin + = sin cos + cos sin : Platí: cos = cos cos + sin sin = 0 cos + sin = sin. Platí: sin = cos cos cos = + = (předchozí vztah). sin ( + ) = cos ( + ) = cos cos cos sin sin = + = = sin cos + cos sin Jsme z nní získaných odvodili již v začátku hodin pomocí přezávorkování a vužitím sudosti a lichosti goniometrických funkcí. 8
Shrnutí: ozkládat výraz uvnitř goniometrických funkcí můžeme pouze pomocí goniometrických vzorců. 9