KMA/GPM Barycentrické souřadnice a

KMA/GPM Barycentrické souřadnice a trojúhelníkové pláty František Ježek jezek@kma.zcu.cz Katedra matematiky Západočeské univerzity v Plzni, 2008 19. dubna 2009

1 Trojúhelníkové pláty obecně 2 Barycentrické souřadnice 3 Zobecnění Bernsteinových polynomů 4 Trojúhelníkový Bézierův plát

Z plátu čtyřúhelníkového lze vytvořit plát trojúhelníkový těmito cestami: redukcí jedné strany hranice na bod pro plochy určené sítí napr. volbou V 0,n = = V m,n, tečným napojením dvou sousedních okrajových křivek pro Bézierovu plochu např. pro n = m volbou V 1,0 V 0,0 = V 0,1 V 0,0

Barycentrické souřadnice na přímce Barycentrické souřadnice (x 0, x 1 ) bodu X na úsečce s krajními body P 0 P 1 definujeme předpisem X = x 0 P 0 + x 1 P 1 a podmínkou x 0 + x 1 = 1 (x 0 0, x 1 0). Barycentrické souřadnice v rovině Barycentrické souřadnice (x 0, x 1, x 2 ) bodu X splňují vztahy: X = x 0 P 0 + x 1 P 1 + x 2 P 2, x 0 + x 1 + x 2 = 1. Pokud x i 0, i = 0, 1, 2, náleží bod X trojúhelníku P 0 P 1 P 2.

Simplex v E n Simplexem v E n rozumíme n + 1 lineárně nezávislých bodů P i, i = 0,..., n. Barycentrické souřadnice v E n Barycentrické souřadnice (x 0, x 1,..., x n ) bodu X vzhledem k simplexu P 0,... P n definujeme předpisem X = n x i P i i=0 a podmínkou n i=0 x i = 1, (x i 0, i = 0,... n).

Geometrický význam barycentrických souřadnic Věta Pro barycentrické souřadnice x 0, x 1, x 2 bodu P vzhledem k trojúhelníku P 0 P 1 P 2 platí x 0 = O( PP 1P 2 ) O( P 0 P 1 P 2 ), x 1 = O( P 0PP 2 ) O( P 0 P 1 P 2 ) x 2 = O( P 0P 1 P) O( P 0 P 1 P 2 ) Důkaz: Z definice barycentrických souřadnic plyne: P = x 0 P 0 + x 1 P 1 + x 2 P 2 a x 0 + x 1 + x 2 = 1, což je soustava tří rovnic pro neznáme x 0, x 1, x 2 a její řešení (Cramerovým pravidlem) vede spolu s výpočtem obsahu trojúhelníka pomocí velikosti vektorové součinu vektorů dvou stran k dokazovaným vztahům.

Bernsteinův polynom v barycentrických souřadnicích Zobecněný Bernsteinův polynom definujeme vztahem B n i,j,k (x 0, x 1, x 2 ) = n! i!j!k! x i 0x j 1 x k 2, i + j + k = n, x 0 + x 1 + x 2 = 1. Nutno je doplnit, že 0! = 1 a ( q 0) = 1.

Vlastnosti zobecněných Bernsteinových polynomů Věta Pro x 0 + x 1 + x 2 = 1 platí i+j+k=n B n i,j,k (x 0, x 1, x 2 ) = 1 Věta Pro barycentrické souřadnice x 0 = 0, x 1 + x 2 = 1 a j + k = n platí B n 0,j,k (0, x 1, x 2 ) = B n j (x 1 ) = B n k (x 2)

Trojúhelníková sít Řídící polygon zde nahrazuje trojúhelníková řídící sít bodů, jež v případě n = 4 má podobu: V 040 V 031 V 130 V 022 V 121 V 220 V 013 V 112 V 211 V 310 V 004 V 103 V 202 V 301 V 400 Sít tvoří v obecném případě 1 2 (n + 1)(n + 2) bodů. Jejich počet se nazývá trojúhelníkové číslo.

Definice trojúhelníkového plátu Označme V ijk polohové vektory vrcholů trojúhelníkové řídící sítě. Indexy nabývají hodnot 0 až n a pro každý bod platí i + j + k = n. Pak trojúhelníkový Bézierův plát pro tuto sít je dán rovnicí (u 1 + u 2 + u 3 = 1): P(u 1, u 2, u 3 ) = i+j+k=n i,j,k V ijk B n ijk (u 1, u 2, u 3 ).

Vlastnosti trojúhelníkového Bézierova plátu Algoritmus de Casteljau Dána je řídící trojúhelníková sít a trojice parametrů (u 1, u 2, u 3 ), u 1 + u 2 + u 3 = 1. Určujeme bod Bézierovy plochy, který odpovídá daným parametrům. Pro trojúhelníky sítě určujeme opakovaně (rekurentně) body o barycentrických souřadnicích daných trojicí (u 1, u 2, u 3 ). Po zredukování sítě na bod dostáváme bod plochy, který odpovídá zadaným parametrům.

Vlastnosti trojúhelníkového Bézierova plátu Podmínka konvexního obalu bod Bézierovy plochy leží v konvexním obalu řídící sítě. Afinní invariance použití generátoru plochy a transformace je zaměnitelné. Okrajovými křivkami trojúhelníkové Bézierovy plochy jsou Bézierovy křivky určené okrajovými lomenými čarami trojúhelníkové sítě. Napojení plátů ve třídě spojitosti C 1 : okrajové trojúhelníky jsou koplanární (dvojice trojúhelníků leží v jedné rovině) a všechny si odpovídají v jedné afinní transformaci.