Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ Ivana Kozlová Modely analýzy obalu dat Plzeň 2010
Obsah 1 Efektivnost a její hodnocení 2 2 Základní principy modelu analýzy obalu dat 2 3 Jednoduché DEA modely 3 3.1 Model jednoho vstupu a jednoho výstupu............. 3 3.1.1 Konstantní výnos z rozsahu CRS.............. 3 3.1.2 Variabilní výnos z rozsahu VRS............... 5 3.2 Model dvou vstupů a jednoho výstupu............... 5 3.3 Model jednoho vstupu a dvou výstupů............... 6 4 CCR model 7 4.1 základní ilustrace DEA modelů................... 9 1
1 Efektivnost a její hodnocení Měření efektivnosti produkčních jednotek je důležitý předpoklad pro zlepšení chování těchto jednotek v konkurenčním prostředí. Pod pojmem produkční jednotka rozumíme jednotku, která vytváří nějaké výstupy, na jejichž produkci spotřebovává nějaké vstupy. Mohou to být tedy firmy, které produkují nějaké výrobky. Také bankovní pobočky, nemocnice, střední školy, finanční úřady neboli jednotky vytvářející stejnou nebo podobnou aktivitu. V praxi používaný nástroj pro analýzu efektivnosti jsou poměrové ukazatele vycházející z finančních výkazů firem. Tyto výkazy popisují pouze dva nebo několik málo faktorů, které mají vliv na celkovou efektivnost jednotky. Poměrové ukazatele jsou užitečné pro základní orientaci fungování jednotky a pro porovnání s ostatními jednotkami. Pro podrobnější analýzu efektivnosti je třeba použít nástroje založené na principu matematického modelování. Častou aplikační oblastí je hodnocení efektivnosti bankovních poboček v rámci banky. Banky mívají vlastní statistiky často založené na poměrových ukazatelích, které nejsou moc vypovídající. Modely které umožňují sledovat více vstupů a více výstupů přináší zcela nový pohled. 2 Základní principy modelu analýzy obalu dat Modely analýzy obalu dat byly navrženy jako speciální modelový nástroj pro hodnocení efektivnosti homogenních produkčních jednotek. Pod pojmem homogenní produkčních jednotky rozumíme soubor jednotek, které je zabývají produkcí identických nebo ekvivalentních efektů, které budeme značit výstupy této jednotky. Je žádoucí, aby výšší hodnota efektů vedla k vyšší efektivnosti dané jednotky. Pro vytvoření efektů spotřebovává jednotka vstupy. Tyto vstupy chceme naopak minimalizovat. tedy nižší hodnota vstupů vede k vyšší hodnotě výstupů sledované jednotky. Při hodnocení efektivnosti budeme nejdřív uvažovat jeden vstup(m) a jeden výstup(n). Poměrová funkce tedy bude vypadat N M. Dostáváme ukazatele jako je zisk na pracovníka firmy nebo počet pacientů na jednoho lékaře. Pro hodnocení efektivnosti je třeba vzít větší množství vstupů a výstupů. Pro sledování efektivnosti souboru homogenních jednotek U 1, U 2,..., U n uvažujeme r vstupů a m výstupů. Označme X = {x ij, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n} matici vstupů a obdobně Y = {y ij, i = 1, 2,..., r, j = 1, 2,..., n} matici výstupů. Míra efektivnosti jednotky U q můžeme vyjádřit jako i u iy iq j v jx jq, kde i u iy iq je vážený součet výstupů a v j, j = 1, 2,..., m jsou váhy přiřazené j-tému vstupu. Jmenovatel j v jx jq je vážený součet vstupů a u i, i = 1, 2,..., r jsou váhy přiřazené i-tému výstupu. 2
3 Jednoduché DEA modely DEA modely vychází z toho, že pro daný model existuje množina přípustných možností, tvořená všemi možnými kombinacemi vstupů a výstupů. Množina přípustných možností je tvořena efektivní hranicí. Produkční jednotky, jejichž kombinace vstupů a výstupů leží na efektivní hranici jsou efektivní jednotky. neexistuje jiná jednotka, která by dosáhla při stejném vstupu vyšších výstupů nebo stejných výstupů při nižších vstupech. 3.1 Model jednoho vstupu a jednoho výstupu Množinu přípustných možností a efektivní hranici ukážeme na příkladu obchodního řetězce s osmi pobočkami. Každá z poboček je charakterizovaná jedním vstupem x (počet pracovníků) a jedním výstupem y (průměrné denní tržby v desítkách tisíc Kč). Pro odvození efektivní hranice je třeba přijmout předpoklad Tabulka 1: Vstupní data pro případ jednoho vstupu a výstupu Pobočka U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 U 7 U 8 Počet pracovníků 12 7 9 3 7 4 9 2 Tržby 14 12 11 3 4 9 6 6 Tržby/počet pracovníků 1,17 1,71 1,22 1,00 0,57 2,25 0,67 3,00 o charakteru výnosů z rozsahu pro danou úlohu. Výnosy z rozsahu mohou být konstantní, variabilní, klesající nebo rostoucí. 3.1.1 Konstantní výnos z rozsahu CRS Uvažujeme, že kombinace vstupů a výstupů (x, y) je prvkem množiny přípustných možností, pak je prvkem této množiny i kombinace (αx, αy), kde α > 0. tedy pokud je (x, y) jednotkou efektivní, pak bude efektivní i jednotka (αx, αy), kde α > 0. Pro náš případ je tedy efektivní hranice přímka pouze jediná jednotka leží na efektivní hranici.znamená to, že existuje pouze jedna jednotka s nejvyššími tržbami na jednoho pracovníka. 3
Ostatní jednotky jsou neefektivní, což lze ukázat na příkladu jednotky U 6. S hodnotami (4, 9) není na efektivní hranici, aby se na tuto hranici dostala, musí bud : Zvýšit hodnotu produkovaného výstupu při zachování současného vstupu, dostaneme se tedy do bodu U = (4, 12). Modely, které se snaží maximalizovat výstup, se označují modely orientované na výstupy. Snížit hodnotu spotřebovaného vstupu při zachování úrovně výstupu, dostaneme se do bodu U = (3, 9).Modely, které se snaží najít efektivní jednotku minimalizací vstupů se označují modely orientované na vstupy. Kombinací obou předcházejících možností. Tento postup se používá v odchylkových modelech. V našem modelu můžeme míru efektivnosti získat porovnáním tržeb na zaměstnance s tržbami jednotky U 8. Pro jednotku U 6 získáme míru efektivnosti jako podíl 2, 25/3, 00 = 0, 75. Jedná se však o relativní míru, která závisí na celém souboru jednotek. Přidáme-li do souboru další jednotku, může se změnit efektivní hranice a změní se i míry efektivnosti ostatních jednotek. Míru efektivnosti lze snadno odvodit také jako: Pro model orientovaný na výstupy jako podíl původní a nové hodnoty výstupů, tedy na příkladě U 6 9/12 = 0, 75. Často se však uvádí obrácená hodnota, tu lze vysvětlit jako míru navýšení výstupu pro dosažení efektivní hranice. Pro model orientovaný na vstupy jako podíl původní a staré hodnoty vstupů, u našeho příkladu 3/4 = 0, 75. tuto míru lze vysvětlit jako potřebnou míru redukce vstupu pro dosažení efektivní hranice. 4
3.1.2 Variabilní výnos z rozsahu VRS Příklad variabilních výnosů z rozsahu vede k modifikaci efektivní hranice. V našem příkladě je efektivní hranice znázorněna na obrázku. Efektivní hranice zde tvoří obal dat, který je konvexní. Zde jsou oproti předchozímu příklady čtyři efektivní jednotky: U 1, U 2, U 6, U 8. je to proto, že nemusí být α-násobek vstupů doplněn stejným násobkem výstupů. Efektivní bude i jednotka když poměrný nárůst výnosů bude nižší případně vyšší než odpovídající nárůst vstupů. V tomto případě je míra efektivnosti vyšší než v předchozím příkladě. Jelikož efektivní hranice je ke všem jednotkám mimo ni blíž než v předchozím případě, bude jmenovatel při výpočtu míry nižší, tedy míra bude větší. Pro jednotku U 3 je míra efektivnosti v modelu CRS rovna 1, 22/3, 00 = 0, 407 pro oba orientované modely. V modelu VRS bude v modelu orientovaném na vstupy je míra efektivnosti určena poměrem x /x = 6/9 = 0, 667. Ve stejném modelu orientovaném na výstupy to bude y /y = 11/13 = 0, 85. Míra efektivnosti je v modelech s VRS může být různá při orientaci na vstupy a na výstupy. 3.2 Model dvou vstupů a jednoho výstupu Pro případ dvou vstupů a jednoho výstupu budeme předpokládat shodné, jednotkové výstupy.tento postup neodpovídá realitě, ale lze jej splnit tak, že oba vstupy nahradíme jejich podílem hodnotami výstupů. tedy na ose x budeme mít vstup 1/výstup a na ose y bude vstup 2/výstup. Dostaneme tak vstup na jednotku výstupu. To lze znázornit grafem. Z hlediska efektivnosti bude nižší hodnota vstupů na jednotku výstupu vést k vyšší efektivnosti. Z obrázku je zřejmé, že efektivní budou jednotky U 1, U 3, U 6, U 8. Jsou to hodnoty ke kterým neexistuje lepší hodnota vstupů na 5
Tabulka 2: Vstupní fata pro případ dvou vstupů a jednoho výstupu Jednotka U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 U 7 U 8 Vstup 1 1 3 2 4 5 7 9 12 Vstup 2 7 9 4 5 4 2 5 1 Výstup 1 1 1 1 1 1 1 1 jednotkový výstup. Efektivní jednotky tvoří efektivní hranici, která definuje množinu produkčních možností. Jednotka U 5 v našem případě neleží na efektivní hranici. Různé DEA modely se liší pouze v tom, jak měří vzdálenost od efektivní hranice. Tato vzdálenost je vlastně míra efektivnosti hodnocené jednotky. Tento model měří tuto vzdálenost radiálně a určují míru redukce od obou vstupů. V tomto případě dostaneme virtuální jednotku U = (4; 3, 2). Míra efektivnosti jednotky U 5 je tedy U /U 5 = 4/5 = 3, 2/4 = 0, 8. Tuto hodnotu lze interpretovat jako, že na dosažení efektivní hranice musí jednotka U 5 snížit oba vstupy o 80% při zachování současné hodnoty výstupu. Kromě radiálního způsoby měření efektivnosti lze i tady požít podobný způsob jako v minulých příkladech. Při zachování hodnoty na ose x budeme minimalizovat hodnotu na ose y. Takto dostaneme bod (5; 2, 8) a míra efektivnosti bodu U 5 bude y /y = 2, 8/4 = 0, 7. Při zachování hodnoty na ose y se snažíme také minimalizovat hodnotu na ose x. Takto dostaneme bod (2, 4) a míra efektivnosti bodu U 5 bude x /x = 2/5 = 0, 4. 3.3 Model jednoho vstupu a dvou výstupů V tomto příkladě budeme postupovat obdobně jako v minulém příkladě. Budeme uvažovat výstupy na jednotku vstupu, například počet zákazníků na jednoho 6
Tabulka 3: Vstupní fata pro případ jednoho vstupu a dvou výstupů Jednotka U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 U 7 U 8 Vstup 1 1 1 1 1 1 1 1 Výstup 1 7 9 4 5 4 2 5 1 Výstup 2 9 6 8 5 4 3 6 2 pracovníka. Tato situace je znázorněna na obrázku. Je zřejmé, že vyšší výstupy povedou k vyšší efektivnosti. Efektivní hranice zde bude tvořena jednotkami U 1, U 3, U 7, U 8. Ke každé neefektivní jednotce lze najít jednotku na efektivní ose, která má obě souřadnicové hodnoty vyšší. koukneme se podrobněji na jednotku U 5. Pro tuto jednotku najdeme opět radiálním způsobem virtuální jednotku U = (8, 64; 6, 91), která se nachází na efektivní hranici. Výsledkem je míra efektivnosti o kterou je potřeba navýšit oba výstupy pro dosažení efektivnosti. Tato míra je zde určena jako podíl U /U 5 = 8, 64/5 = 6, 91/4 = 1, 727. Znamená to, že jednotka U 5 se dostane na efektivní hranici pokud navýší oba výstupy o téměř 73%. Lze si všimnout, že v předchozím příkladě byla míra u neefektivních jednotek menší než jedna, zde je naopak větší než jedna. V předchozím případě vyjadřovala míra efektivnosti potřebnou redukci vstupů pro dosažení efektivní hranice. Zde udává míra efektivnosti potřebné navýšení výstupů pro dosažení efektivní hranice. 4 CCR model Tento DEA model byl navržen Charnesem, Cooperema Rhodosem v roce 1978. Jmenuje se podle počátečních písmen autorů. tento model maximalizuje míru 7
fektivnosti jednotky U q, která je vyjádřena jako podíl vážených výstupů a vážených vstupů. Míra efektivnosti všech ostatních jednotek je menší nebo rovna jedné. Pro každou jednotku tak dostaneme pomocí vah pro vstupy v j, j = 1, 2,..., m virtuální vstup v 1 x 1q +v 2 x 2q +...+v m x mq. Pomocí vah pro výstupy u i, i = 1, 2,..., r virtuální výstup u 1 y 1q + u 2 y 2q +... + u m y mq. CCR DEA model počítá váhy vstupů a výstupů optimalizačním výpočtem tak, aby to bylo pro hodnocenou jednotku co nejpříznivější z hlediska její efektivnosti. Tedy se maximalizuje míra efektivnosti hodnocené jednotky při dodržení podmínek maximálně jednotkové efektivnosti všech ostatních jednotek. Celý model lze pro jednotku U q formulovat jako úlohu lineárního lomeného programování následovně: maximalizovat z = za podmínek r i uiyiq m j vjxjq r i u iy ik m j v jx jk 1, k = 1, 2,..., n, u i ε = 1, 2,..., r, v j ε = 1, 2,..., m, kde z je míra efektivnosti jednotky U q a εje konstanta, pomocí které model zabezpečuje, že všechny váhy vstupů a výstupů budou kladné. x jk, j = 1, 2,..., m, k = 1, 2,..., n je hodnota i-tého vstupu pro jednotku U k a y ik, i = 1, 2,..., r, k = 1, 2,..., n je hodnota i-tého výstupu pro jednotku U k. Hodnoty vstupů a výstupů jsou uspořádány do matic X a Y, které mají rozměr (m, n) resp. (r, n). Tuto úlohu převedeme na standardní úlohu lineárního programování pomocí Charnes-Cooperovy transformace. Upravená úloha má podobu: maximalizovat z = r i u iy iq za podmínek r m u i y ik v j x jk, k = 1, 2,..., n, i j m v j x jq = 1, j u i ε = 1, 2,..., r, v j ε = 1, 2,..., m. Hodnocená jednotka U q leží na CCR efektivní hranici a označuje se jako CCR efektivní v případě, že optimální míra efektivnosti vypočtená tímto modelem je rovna jedné, tj. x = 1. pro neefektivní jednotky bude platit, že je jejich míra efektivnosti menší než jedna. Tento model je označován jako primární CCR model orientovaný na vstupy. Obdobně bude vypadat zadání primárního CCR modelu orientovaného na výstupy, zde chceme naopak, aby virtuální výstup byl roven jedné. Z výpočtového hlediska i z hlediska interpretace je lepší použít duální CCR model orientovaný na vstupy, který vypadá následovně: minimalizovat θ q za podmínek n x ij λ j λ q x iq, i = 1, 2,..., m, j=1 8
n x ij λ j y iq, i = 1, 2,..., r, j=1 λ j 0, j = 1, 2,..., n, kde λ = (λ 1, λ 2,..., λ n ), λ 0 je vektor vah, které jsou přiřazené jednotlivým jednotkám. Jedná se o vektor proměnných tohoto modelu. Další proměnnou je θ q, která je mírou efektivnosti hodnocené jednotky U q. proměnná θ q se může rovněž interpretovat jako potřebná míra redukce vstupů pro dosažení efektivní hranice a její hodnota bude menší nebo rovna jedné. Při hodnocení jednotky U q se model snaží najít virtuální jednotku charakterizovanou vstupy Xλ a výstupy Yλ, které jsou lineární kombinací vstupů a výstupů ostatních jednotek daného souboru a které jsou lepší než vstupy a výstupy hodnocené jednotky U q. Musí tedy platit Xλ θ q x q a Yλ y q, kde x q a y q jsou vektory vstupů a výstupů jednotky U q. Jednotka U q je označena za efektivní, pokud virtuální jednotka s uvedenými vlastnostmi neexistuje nebo je totožná s hodnocenou jednotkou, tedy Xλ = x q a Yλ = y q. To nastává pouze tehdy, je-li θ q = 1. Současně však musí být rovny nule všechny přídavné proměnné, které převádějí nerovnosti v předchozím modelu na rovnost. Po doplnění těchto proměnných do předchozího modelu bude mít výpočetní tvar modelu tento tvar: minimalizovat z = θ q ε(e T s + + e T s ), za podmínek Xλ + s = θ q x q, Yλ s + = y q, λ, s +, s 0, kde s + a s jsou vektory přídatných proměnných v omezeních pro všechny vstupy a výstupy, e T = (1, 1,..., 1) a ε je konstanta, která se volí zpravidla 10 8. Hodnocená jednotka je efektivní, jsou-li splněny následující dvě podmínky: Optimální hodnota proměnné θ q je rovna jedné. Optimální hodnoty všech přídatných proměnných s +, i = 1, 2,..., r a s, i = 1, 2,..., m jsou rovny nule. 4.1 základní ilustrace DEA modelů Víše uvedené příklady budeme ilustrovat na datech z první tabulky. Použijeme výpočtový duální model pro hodnocení efektivnosti jednotky U 3 : minimalizovat z = θ 3 ε(s + + s ), za podmínek 12λ 1 + 7λ 2 +... + 2λ 6 +... + 4λ 8 + s 1 = 9θ 3, 14λ 1 + 12λ 2 +... + 6λ 6 +... + 9λ 8 s + 1 = 9θ 3, λ i 0, i = 1, 2,..., 8, s 1 0, s+ 1 0. Tato úloha má optimální řešení z = θ 3 = 0, 4074, s 1 = 0, s+ 1 = 0, λ 6 = 1, 833 a všechny ostatní proměnné λ jsou rovny 0. Jednotka CCR tedy není efektivní a její míra efektivnosti je 0, 4071. Aby byla efektivní, musela by snížit svůj vstup z hodnoty 9 na hodnotu 9 0, 4071 = 3, 667. 9
Pro model BCC je oproti taková změna jako pro model variabilních výnosů oproti modelu konstantních výnosů. v modelu BCC přibude podmínka λ 1 + λ 2 +... + λ 8 = 1. Tabulka 4: Výsledky DEA analýzy pro model CCR míra efektivnosti původní hodnota cílová hodnota U 1 0,3889 12 4,666 U 2 0,5714 7 4,000 U 3 0,4074 9 3,666 U 4 0,3333 3 1,000 U 5 0,1905 7 1,333 U 6 1,0000 2 2,000 U 7 0,2222 9 2,000 U 8 0,7500 4 3,000 Tabulka 5: Výsledky DEA analýzy pro model BCC míra efektivnosti původní hodnota cílová hodnota U 1 1,0000 12 12,000 U 2 1,0000 7 7,000 U 3 0,6667 9 6,000 U 4 0,6667 3 2,000 U 5 0,2857 7 2,000 U 6 1,0000 2 2,000 U 7 0,2222 9 2,000 U 8 1,0000 4 4,000 10
Reference [1] Jablonský J., Dlouhý M.: Modely hodnocení efektivnosti produkčních jednotek. Professional publishing, 2004. 11