4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet LU rozkladu 5. Řešení soustav pomocí LU rozkladu 6. Použití LU rozkladu

4. Trojúhelníkový rozklad p. 3/20 4.1 Permutační matice DEFINICE 1 Matice P se nazývá permutační matice, je-li možno P získat z jednotkové matice I stejného typu postupnou výměnou řádků.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 3/20 4.1 Permutační matice DEFINICE 1 Matice P se nazývá permutační matice, je-li možno P získat z jednotkové matice I stejného typu postupnou výměnou řádků. Výměnu i-tého aj-tého řádku dané matice můžeme provést tak, že tuto matici vynásobíme zleva elementární permutační maticí P ij. Každou permutační matici P je možno zapsat ve tvaru P = P ik j k P i1 j 1 I = P ik j k P i1 j 1.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 4/20 4.1 Permutační matice PŘÍKLAD 1 I = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] r3 r 1 [ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ] r2 r 1 [ 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ] = P, takže P můžeme zapsat ve tvaru P = P 12 P 13 I = P 12 P 13.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 4/20 4.1 Permutační matice PŘÍKLAD 1 I = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] r3 r 1 [ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ] r2 r 1 [ 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ] = P, takže P můžeme zapsat ve tvaru P = P 12 P 13 I = P 12 P 13. LEMMA 1 Pro libovolnou permutační matici P platí P 1 = P

4.1 Permutační matice PŘÍKLAD 1 I = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] r3 r 1 [ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ] r2 r 1 [ 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ] = P, takže P můžeme zapsat ve tvaru P = P 12 P 13 I = P 12 P 13. LEMMA 1 Pro libovolnou permutační matici P platí P 1 = P DŮKAZ: Zřejmě platí P ij = P ij. Pak zp 1 ij = P ij (viz Lemma 2 z přednášky Inverzní matice ) plyne PP = P ik j k P i1 j 1 (P ik j k P i1 j 1 ) = P ik j k P i1 j 1 P i 1 j 1 P i k j k = P ik j k P i1 j 1 P i1 j 1 P ik j k = P 1 i k j k P 1 i 1 j 1 P i1 j 1 P ik j k = I 4. Trojúhelníkový rozklad p. 4/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 5/20 4.1 Permutační matice Elementární permutační maticep ij můžeme také použít k výměně i-tého aj-tého sloupce. K tomu stačí násobit maticíp ij zprava.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 5/20 4.1 Permutační matice Elementární permutační maticep ij můžeme také použít k výměně i-tého aj-tého sloupce. K tomu stačí násobit maticíp ij zprava. PŘÍKLAD 2 Například vynásobíme-li maticia = [a ij ] řádu 2 maticíp 12 zprava, dostaneme [ ][ a11 a AP 12 = 12 0 1 a 21 a 22 1 0 ] = [ a12 a 11 a 22 a 21 ] = [ s A 2,s A 1 ].

4. Trojúhelníkový rozklad p. 5/20 4.1 Permutační matice Elementární permutační maticep ij můžeme také použít k výměně i-tého aj-tého sloupce. K tomu stačí násobit maticíp ij zprava. PŘÍKLAD 2 Například vynásobíme-li maticia = [a ij ] řádu 2 maticíp 12 zprava, dostaneme [ ][ a11 a AP 12 = 12 0 1 a 21 a 22 1 0 ] = [ a12 a 11 a 22 a 21 ] = [ s A 2,s A 1 ]. K odvození obecného pravidla pro permutaci sloupců můžeme použít transponování.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 6/20 4.2 Trojúhelníkové matice DEFINICE 2 Čtvercová matice L(U) se nazývá dolní (horní) trojúhelníková matice, jestliže má nad (pod) diagonálou všechny prvky nulové. Pro prvky l ij dané dolní trojúhelníkové matice L tedy platí l ij = 0 pro i < j, zatímco pro prvky u ij dané horní trojúhelníkové matice U platíu ij = 0 pro i > j.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 6/20 4.2 Trojúhelníkové matice DEFINICE 2 Čtvercová matice L(U) se nazývá dolní (horní) trojúhelníková matice, jestliže má nad (pod) diagonálou všechny prvky nulové. Pro prvky l ij dané dolní trojúhelníkové matice L tedy platí l ij = 0 pro i < j, zatímco pro prvky u ij dané horní trojúhelníkové matice U platíu ij = 0 pro i > j. LEMMA 2 Součin dvou trojúhelníkových matic stejného typu je trojúhelníková matice téhož typu.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 6/20 4.2 Trojúhelníkové matice DEFINICE 2 Čtvercová matice L(U) se nazývá dolní (horní) trojúhelníková matice, jestliže má nad (pod) diagonálou všechny prvky nulové. Pro prvky l ij dané dolní trojúhelníkové matice L tedy platí l ij = 0 pro i < j, zatímco pro prvky u ij dané horní trojúhelníkové matice U platíu ij = 0 pro i > j. LEMMA 2 Součin dvou trojúhelníkových matic stejného typu je trojúhelníková matice téhož typu. DŮKAZ: Jsou-li například L = [l ij ] a M = [m ij ] dvě dolní trojúhelníkové matice ai < j, pak [LM] ij = l i1 m 1j + +l in m nj = l i1 0+ +l ii 0+0 m i+1j + +0 m nj = 0, takže LM je také dolní trojúhelníková matice.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 7/20 4.2 Trojúhelníkové matice VĚTA 1 Necht L = [l ij ] je čtvercová dolní trojúhelníková matice s nenulovými diagonálními prvky. Pak L je regulární a L 1 je dolní trojúhelníková matice.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 7/20 4.2 Trojúhelníkové matice VĚTA 1 Necht L = [l ij ] je čtvercová dolní trojúhelníková matice s nenulovými diagonálními prvky. Pak L je regulární a L 1 je dolní trojúhelníková matice. DŮKAZ: Je-li L dolní trojúhelníková matice s nenulovými prvky na diagonále, pak existují matice elementárních operací T p = G ip j p (α p ) si p < j p, případně T p = M ip (l 1 i p i p ) tak, že pro matici T = T k T 1 platí T [ L I ] = [ I B ]. Tedy L je regulární. Porovnáním levých částí příslušných matic dostaneme TL = I. Odtud tedy platí L = T 1, odkud dle definice inverzní matice je LT = I at = L 1.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 7/20 4.2 Trojúhelníkové matice VĚTA 1 Necht L = [l ij ] je čtvercová dolní trojúhelníková matice s nenulovými diagonálními prvky. Pak L je regulární a L 1 je dolní trojúhelníková matice. DŮKAZ: Je-li L dolní trojúhelníková matice s nenulovými prvky na diagonále, pak existují matice elementárních operací T p = G ip j p (α p ) si p < j p, případně T p = M ip (l 1 i p i p ) tak, že pro matici T = T k T 1 platí T [ L I ] = [ I B ]. Tedy L je regulární. Porovnáním levých částí příslušných matic dostaneme TL = I. Odtud tedy platí L = T 1, odkud dle definice inverzní matice je LT = I at = L 1. Jelikož všechny matice T i jsou dolní trojúhelníkové, je také matice dolní trojúhelníková matice. L 1 = T = T k T 1

4. Trojúhelníkový rozklad p. 8/20 4.3 Trojúhelníkový (LU) rozklad VĚTA 2 Necht A je regulární čtvercová matice. Pak existuje dolní trojúhelníková matice L, horní trojúhelníková matice U a permutační matice P tak, že Matice L, U jsou regulární. AP = LU.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 8/20 4.3 Trojúhelníkový (LU) rozklad VĚTA 2 Necht A je regulární čtvercová matice. Pak existuje dolní trojúhelníková matice L, horní trojúhelníková matice U a permutační matice P tak, že Matice L, U jsou regulární. AP = LU. DŮKAZ: Necht A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n. Z regulárnosti matice A plyne, že existuje i 1 tak, žea 1i1 0. Takže Ā = AP 1i 1 má v levém horním rohu nenulový prvek ā 11 = a 1i1.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 9/20 4.3 Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování První krok úpravy maticeā, který známe z Gaussovy eliminace, můžeme zapsat ve tvaru L 1 AP 1i1 = A 1,

4. Trojúhelníkový rozklad p. 9/20 4.3 Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování První krok úpravy maticeā, který známe z Gaussovy eliminace, můžeme zapsat ve tvaru L 1 AP 1i1 = A 1, kde A 1 = ā 11 ā 12... ā 1n 0 a 1 22... a 1 2n...... 0 a 1 n2... a 1 nn

4. Trojúhelníkový rozklad p. 9/20 4.3 Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování První krok úpravy maticeā, který známe z Gaussovy eliminace, můžeme zapsat ve tvaru L 1 AP 1i1 = A 1, kde A 1 = ā 11 ā 12... ā 1n 0 a 1 22... a 1 2n...... = a 1 11 a 1 12... a 1 1n 0 a 1 22... a 1 2n...... 0 a 1 n2... a 1 nn 0 a 1 n2... a 1 nn

4. Trojúhelníkový rozklad p. 9/20 4.3 Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování První krok úpravy maticeā, který známe z Gaussovy eliminace, můžeme zapsat ve tvaru L 1 AP 1i1 = A 1, kde A 1 = ā 11 ā 12... ā 1n 0 a 1 22... a 1 2n...... = a 1 11 a 1 12... a 1 1n 0 a 1 22... a 1 2n...... 0 a 1 n2... a 1 nn 0 a 1 n2... a 1 nn a L 1 = G 1n ( ā n1 /ā 11 ) G 12 ( ā 21 /ā 11 ) je dolní trojúhelníková matice, nebot je vyjádřena jako součin dolních trojúhelníkových matic.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 10/20 4.3 Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování MaticeA 1 je zřejmě součinem regulárních matic, takže je A 1 také regulární a existuje i 2 2 tak, žea 1 2i 2 0. Matice Ā1 = A 1 P 2i2 má tedy nenulový prvek ā 22 a stejný první sloupec jako maticea 1.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 10/20 4.3 Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování MaticeA 1 je zřejmě součinem regulárních matic, takže je A 1 také regulární a existuje i 2 2 tak, žea 1 2i 2 0. Matice Ā1 = A 1 P 2i2 má tedy nenulový prvek ā 22 a stejný první sloupec jako maticea 1. Opakováním tohoto postupu dosáhneme toho, že LAP = U,

4. Trojúhelníkový rozklad p. 10/20 4.3 Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování MaticeA 1 je zřejmě součinem regulárních matic, takže je A 1 také regulární a existuje i 2 2 tak, žea 1 2i 2 0. Matice Ā1 = A 1 P 2i2 má tedy nenulový prvek ā 22 a stejný první sloupec jako maticea 1. Opakováním tohoto postupu dosáhneme toho, že LAP = U, kde a U = a n 1 11 a n 1 12... a n 1 1n 0 a n 1 22... a n 1 2n...... 0 0... a n 1 nn = A n 1 P = P 1i1 P n 1in 1, L = Ln 1 L 1.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 11/20 4.3 Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování P je zřejmě permutační matice a L je dolní trojúhelníková matice, nebot každá matice L i je součinem dolních trojúhelníkových matic G ij ( ā i 1 ji /ā i 1 ii ) si < j.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 11/20 4.3 Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování P je zřejmě permutační matice a L je dolní trojúhelníková matice, nebot každá matice L i je součinem dolních trojúhelníkových matic G ij ( ā i 1 ji /ā i 1 ii ) si < j. Přenásobíme-li rovnici LAP = U zleva maticíl = L 1, dostaneme AP = LU.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 11/20 4.3 Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování P je zřejmě permutační matice a L je dolní trojúhelníková matice, nebot každá matice L i je součinem dolních trojúhelníkových matic G ij ( ā i 1 ji /ā i 1 ii ) si < j. Přenásobíme-li rovnici LAP = U zleva maticíl = L 1, dostaneme AP = LU. Matice L je regulární dolní trojúhelníková matice, nebot je inverzní k dolní trojúhelníkové matici L. Jelikož jsou matice A,P, L regulární, je také maticeu = LAP regulární.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 11/20 4.3 Trojúhelníkový (LU) rozklad DŮKAZ: Pokračování P je zřejmě permutační matice a L je dolní trojúhelníková matice, nebot každá matice L i je součinem dolních trojúhelníkových matic G ij ( ā i 1 ji /ā i 1 ii ) si < j. Přenásobíme-li rovnici LAP = U zleva maticíl = L 1, dostaneme AP = LU. Matice L je regulární dolní trojúhelníková matice, nebot je inverzní k dolní trojúhelníkové matici L. Jelikož jsou matice A,P, L regulární, je také maticeu = LAP regulární. Vyjádření matice ve tvaru součinu AP = LU se nazývá LU rozklad podle počátečních písmen anglických slov Lower (dolní) a Upper (horní). Matice L, U a P nejsou určeny jednoznačně.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 12/20 4.4 Výpočet LU rozkladu Dle důkazu předchozí věty lze LU rozklad matice A nalézt následovně:

4. Trojúhelníkový rozklad p. 12/20 4.4 Výpočet LU rozkladu Dle důkazu předchozí věty lze LU rozklad matice A nalézt následovně: 1. Úprava [ A I ] [ U L ]

4. Trojúhelníkový rozklad p. 12/20 4.4 Výpočet LU rozkladu Dle důkazu předchozí věty lze LU rozklad matice A nalézt následovně: 1. Úprava [ A I ] [ U L ] Nesmíme přičítat násobky řádků s vyšším indexem k řádkům s indexem nižším.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 12/20 4.4 Výpočet LU rozkladu Dle důkazu předchozí věty lze LU rozklad matice A nalézt následovně: 1. Úprava [ A I ] [ U L ] Nesmíme přičítat násobky řádků s vyšším indexem k řádkům s indexem nižším. Nesmíme vyměňovat řádky

4. Trojúhelníkový rozklad p. 12/20 4.4 Výpočet LU rozkladu Dle důkazu předchozí věty lze LU rozklad matice A nalézt následovně: 1. Úprava [ A I ] [ U L ] Nesmíme přičítat násobky řádků s vyšším indexem k řádkům s indexem nižším. Nesmíme vyměňovat řádky Pokud to je nutné, můžeme vyměnit sloupce a tyto výměny budeme zaznamenávat stejnými úpravami jednotkové matice t.j. I P, kde P je hledaná permutační matice.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 12/20 4.4 Výpočet LU rozkladu Dle důkazu předchozí věty lze LU rozklad matice A nalézt následovně: 1. Úprava [ A I ] [ U L ] Nesmíme přičítat násobky řádků s vyšším indexem k řádkům s indexem nižším. Nesmíme vyměňovat řádky Pokud to je nutné, můžeme vyměnit sloupce a tyto výměny budeme zaznamenávat stejnými úpravami jednotkové matice t.j. I P, kde P je hledaná permutační matice. 2. Vypočteme L = L 1 úpravou [ L I ] [ ] I L. K této úpravě opět nesmíme použít elementární řádkové operace popsané v 1.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 13/20 4.4 Výpočet LU rozkladu PŘÍKLAD 3 Úprava [ A I ] [ U L ] : [ ] [ ] 0 1 2 1 0 0 A I = 1 2 1 0 1 0 2 1 0 0 0 1 s 3 s 1 [ ] 2 1 0 1 0 0 0 3 2 1 2 0 0 1 2 0 0 1 3+r 2 = [ U L ] [ 2 1 0 1 0 0 1 2 1 0 1 0 0 1 2 0 0 1 ] [ 2 1 0 1 0 0 0 3 2 1 2 0 0 0 4 1 2 3 2+r 1 ] =

4.4 Výpočet LU rozkladu PŘÍKLAD 3 Úprava [ A I ] [ U L ] : [ ] [ ] 0 1 2 1 0 0 A I = 1 2 1 0 1 0 2 1 0 0 0 1 s 3 s 1 [ ] 2 1 0 1 0 0 0 3 2 1 2 0 0 1 2 0 0 1 3+r 2 = [ U L ] Sledování výměn sloupců: [ ] 1 0 0 I = 0 1 0 0 0 1 s 3 s 1 [ 2 1 0 1 0 0 1 2 1 0 1 0 0 1 2 0 0 1 [ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ] [ 2 1 0 1 0 0 0 3 2 1 2 0 0 0 4 1 2 3 ] = P 2+r 1 ] 4. Trojúhelníkový rozklad p. 13/20 =

4. Trojúhelníkový rozklad p. 14/20 4.4 Výpočet LU rozkladu PŘÍKLAD 3 Pokračování VýpočetL = L 1 úpravou [ L I ] [ ] I L : [ ] [ ] 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 [ L I = 1 2 0 0 1 0 r 1 0 2 0 1 1 0 1 2 3 0 0 1 r 1 0 2 3 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 0 1 1 0 0 0 3 0 1 1 = [ I L ] 1 2 1 3 ] r 2 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 2 2 0 0 1 0 1 1 3 3 =

4.4 Výpočet LU rozkladu PŘÍKLAD 3 Pokračování VýpočetL = L 1 úpravou [ L I ] [ ] I L : [ ] [ ] 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 [ L I = 1 2 0 0 1 0 r 1 0 2 0 1 1 0 1 2 3 0 0 1 r 1 0 2 3 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 0 1 1 0 0 0 3 0 1 1 = [ I L ] 1 2 1 3 ] r 2 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 2 2 0 0 1 0 1 1 3 3 1 0 0 [ ] 2 1 0 L = 1 1 0 2 2, U = 0 3 2, P = 0 1 1 0 0 4 3 3 Přímým výpočtem si můžeme ověřit, že platí AP = LU. [ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 = ] 4. Trojúhelníkový rozklad p. 14/20.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 15/20 4.4 Výpočet LU rozkladu Uvedený postup výpočtu LU rozkladu je spíše vhodný pro ruční výpočet. Pro počítačové nalezení LU rozkladu bychom využili následujících poznatků.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 15/20 4.4 Výpočet LU rozkladu Uvedený postup výpočtu LU rozkladu je spíše vhodný pro ruční výpočet. Pro počítačové nalezení LU rozkladu bychom využili následujících poznatků. Předpokládejme, že provádíme úpravu [ A I ] [ U L ] a máme upraveno k 1 sloupců. Pak A k 1 = a k 1 1,k. a k 1 k,k a k 1 k+1,k. a k 1 n,k

4.4 Výpočet LU rozkladu Uvedený postup výpočtu LU rozkladu je spíše vhodný pro ruční výpočet. Pro počítačové nalezení LU rozkladu bychom využili následujících poznatků. Předpokládejme, že provádíme úpravu [ A I ] [ U L ] a máme upraveno k 1 sloupců. Pak A k 1 = a k 1 1,k. a k 1 k,k a k 1 k+1,k. a k 1 n,k L k a k 1,k. a k k,k 0. 0, L k = 1... 0 0...0....... 0... 1 0...0 0... l k+1,k 1...0....... 0... l n,k 0...1 kde l i,k = a k 1 i,k /ak 1 k,k,i = k +1,...,n. 4. Trojúhelníkový rozklad p. 15/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 16/20 4.4 Výpočet LU rozkladu Po n 1 úpravách obdržíme U = LA, kde L = L n 1 L 1. Pro hledanou matici L ovšem platí L = L 1 = L 1 1 L 1 n 1.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 16/20 4.4 Výpočet LU rozkladu Po n 1 úpravách obdržíme U = LA, kde L = L n 1 L 1. Pro hledanou matici L ovšem platí L = L 1 1 = L 1 L 1 n 1. Pak se dá snadno dokázat, že 1... 0 0...0 1... 0 0...0.............. L 1 k = 0... 1 0...0 0...l k+1,k 1...0 a L = l k,1... 1 0...0.... l k+1,1...l k+1,k 1...0.......... 0... l n,k 0...1 l n1... l n,k l n,k+1...1

4. Trojúhelníkový rozklad p. 16/20 4.4 Výpočet LU rozkladu Po n 1 úpravách obdržíme U = LA, kde L = L n 1 L 1. Pro hledanou matici L ovšem platí L = L 1 1 = L 1 L 1 n 1. Pak se dá snadno dokázat, že 1... 0 0...0 1... 0 0...0.............. L 1 k = 0... 1 0...0 0...l k+1,k 1...0 a L = l k,1... 1 0...0.... l k+1,1...l k+1,k 1...0.......... 0... l n,k 0...1 l n1... l n,k l n,k+1...1 Případné výměny sloupců se budou opět zaznamenávat do I čímž obdržíme permutační matici P.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 17/20 4.4 Výpočet LU rozkladu S použitím výše uvedených poznatků můžeme navrhnout algoritmus pro přímé nalezení LU rozkladu matice A:

4. Trojúhelníkový rozklad p. 17/20 4.4 Výpočet LU rozkladu S použitím výše uvedených poznatků můžeme navrhnout algoritmus pro přímé nalezení LU rozkladu matice A: Algoritmus U = A, L = I fork = 1 to n 1 do for i = k +1 to n do l i,k = u i,k /u k,k u i,k:n = u i,k:n l i,k u k,k:n end for end for

4. Trojúhelníkový rozklad p. 18/20 4.5 Řešení soustav pomocí LU rozkladu Přenásobíme-li AP = LU zprava maticí P = P, dostaneme vyjádření A ve tvaru A = LU P s permutační maticí P.

4. Trojúhelníkový rozklad p. 18/20 4.5 Řešení soustav pomocí LU rozkladu Přenásobíme-li AP = LU zprava maticí P = P, dostaneme vyjádření A ve tvaru A = LU P s permutační maticí P. Místo soustavy Ax = b pak budeme řešit soustavu ( L U ( Px ) ) = b tak, že postupně vyřešíme

4. Trojúhelníkový rozklad p. 18/20 4.5 Řešení soustav pomocí LU rozkladu Přenásobíme-li AP = LU zprava maticí P = P, dostaneme vyjádření A ve tvaru A = LU P s permutační maticí P. Místo soustavy Ax = b pak budeme řešit soustavu ( L U ( Px ) ) = b tak, že postupně vyřešíme 1. Lz = b tzv. dopřednou substitucí

4. Trojúhelníkový rozklad p. 18/20 4.5 Řešení soustav pomocí LU rozkladu Přenásobíme-li AP = LU zprava maticí P = P, dostaneme vyjádření A ve tvaru A = LU P s permutační maticí P. Místo soustavy Ax = b pak budeme řešit soustavu ( L U ( Px ) ) = b tak, že postupně vyřešíme 1. Lz = b tzv. dopřednou substitucí 2. Uy = z tzv. zpětnou substitucí

4.5 Řešení soustav pomocí LU rozkladu Přenásobíme-li AP = LU zprava maticí P = P, dostaneme vyjádření A ve tvaru A = LU P s permutační maticí P. Místo soustavy Ax = b pak budeme řešit soustavu ( L U ( Px ) ) = b tak, že postupně vyřešíme 1. Lz = b tzv. dopřednou substitucí 2. Uy = z tzv. zpětnou substitucí 3. Px = y permutací složek řešení. 4. Trojúhelníkový rozklad p. 18/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 19/20 4.5 Řešení soustav pomocí LU rozkladu PŘÍKLAD 4 Využijte LU rozkladu z příkladu 3 k řešení soustavy: x 2 + 2x 3 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 1 2x 1 x 2 = 1

4. Trojúhelníkový rozklad p. 19/20 4.5 Řešení soustav pomocí LU rozkladu PŘÍKLAD 4 Využijte LU rozkladu z příkladu 3 k řešení soustavy: x 2 + 2x 3 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 1 2x 1 x 2 = 1 ŘEŠENÍ: Nejprve řešíme soustavu Lz = b, tedy z 1 = 1 1 2 z 1 + 1 2 z 2 = 1 1 3 z 2 + 1 3 z 3 = 1

4. Trojúhelníkový rozklad p. 19/20 4.5 Řešení soustav pomocí LU rozkladu PŘÍKLAD 4 Využijte LU rozkladu z příkladu 3 k řešení soustavy: x 2 + 2x 3 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 1 2x 1 x 2 = 1 ŘEŠENÍ: Nejprve řešíme soustavu Lz = b, tedy odkudz 1 = 1,z 2 = 3,z 3 = 6. z 1 = 1 1 2 z 1 + 1 2 z 2 = 1 1 3 z 2 + 1 3 z 3 = 1

4. Trojúhelníkový rozklad p. 19/20 4.5 Řešení soustav pomocí LU rozkladu PŘÍKLAD 4 Využijte LU rozkladu z příkladu 3 k řešení soustavy: x 2 + 2x 3 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 1 2x 1 x 2 = 1 ŘEŠENÍ: Nejprve řešíme soustavu Lz = b, tedy z 1 = 1 1 2 z 1 + 1 2 z 2 = 1 1 3 z 2 + 1 3 z 3 = 1 odkudz 1 = 1,z 2 = 3,z 3 = 6. Potom vyřešíme soustavuuy = z, tedy 2y 1 y 2 = 1 3y 2 2y 3 = 3 4y 3 = 6

4. Trojúhelníkový rozklad p. 19/20 4.5 Řešení soustav pomocí LU rozkladu PŘÍKLAD 4 Využijte LU rozkladu z příkladu 3 k řešení soustavy: x 2 + 2x 3 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 1 2x 1 x 2 = 1 ŘEŠENÍ: Nejprve řešíme soustavu Lz = b, tedy z 1 = 1 1 2 z 1 + 1 2 z 2 = 1 1 3 z 2 + 1 3 z 3 = 1 odkudz 1 = 1,z 2 = 3,z 3 = 6. Potom vyřešíme soustavuuy = z, tedy Odtudy 1 = 3 2,y 2 = 2,y 3 = 3 2. 2y 1 y 2 = 1 3y 2 2y 3 = 3 4y 3 = 6

4.5 Řešení soustav pomocí LU rozkladu PŘÍKLAD 4 Využijte LU rozkladu z příkladu 3 k řešení soustavy: x 2 + 2x 3 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 1 2x 1 x 2 = 1 ŘEŠENÍ: Nejprve řešíme soustavu Lz = b, tedy z 1 = 1 1 2 z 1 + 1 2 z 2 = 1 1 3 z 2 + 1 3 z 3 = 1 odkudz 1 = 1,z 2 = 3,z 3 = 6. Potom vyřešíme soustavuuy = z, tedy Odtudy 1 = 3 2,y 2 = 2,y 3 = 3 2. 2y 1 y 2 = 1 3y 2 2y 3 = 3 4y 3 = 6 Konečně určíme x řešením Px = y nebo zx = Py, takže x 1 = 3 2,x 2 = 2,x 3 = 3 2. 4. Trojúhelníkový rozklad p. 19/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 20/20 4.6 Použití LU rozkladu LU rozklad je základním prostředkem pro řešení soustav lineárních rovnic

4. Trojúhelníkový rozklad p. 20/20 4.6 Použití LU rozkladu LU rozklad je základním prostředkem pro řešení soustav lineárních rovnic Výpočetní náročnost je řádově stejná jako u Gaussovy eliminace, tj. 1 3 n3

4. Trojúhelníkový rozklad p. 20/20 4.6 Použití LU rozkladu LU rozklad je základním prostředkem pro řešení soustav lineárních rovnic Výpočetní náročnost je řádově stejná jako u Gaussovy eliminace, tj. 1 3 n3 LU rozklad je velmi efektivní nástroj pro řešení soustav s více pravými stranami (pro různé pravé strany stačí pouze řešit dopřednou a zpětnou substituci)

4. Trojúhelníkový rozklad p. 20/20 4.6 Použití LU rozkladu LU rozklad je základním prostředkem pro řešení soustav lineárních rovnic Výpočetní náročnost je řádově stejná jako u Gaussovy eliminace, tj. 1 3 n3 LU rozklad je velmi efektivní nástroj pro řešení soustav s více pravými stranami (pro různé pravé strany stačí pouze řešit dopřednou a zpětnou substituci) LU rozkladu je možné využít i k nalezení inverzní matice nebot A = LU P A 1 = PU 1 L 1

4.6 Použití LU rozkladu LU rozklad je základním prostředkem pro řešení soustav lineárních rovnic Výpočetní náročnost je řádově stejná jako u Gaussovy eliminace, tj. 1 3 n3 LU rozklad je velmi efektivní nástroj pro řešení soustav s více pravými stranami (pro různé pravé strany stačí pouze řešit dopřednou a zpětnou substituci) LU rozkladu je možné využít i k nalezení inverzní matice nebot A = LU P A 1 = PU 1 L 1 LU rozklad je taktéž velmi důležitý teoretický nástroj 4. Trojúhelníkový rozklad p. 20/20